R un interval mărginit şi A ⊂ R o mulţime oarecare, funcţia reală f : [a, b

Tema 5

Extensiuni ale integralei Riemann

Modulul 5.1 - Integrale definite, cu parametru.

Integrale improprii.

Integrale definite, cu parametru

Studiul integralelor definite cu parametru real este intim legat de reprezentarea integrală a funcţiilor reale de o variabilă reală care apare în descrierea matematică a multor fenomene din: economie, fizică, tehnica etc.

Fie [a, b] ⊂ R un interval mărginit şi A ⊂ R o mulţime oarecare, funcţia reală f : [a, b] × A→ R depinde de două variabile reale:

x ∈ [a, b] şi y ∈ A. Dacă f este bine definită în raport cu x pe [a, b] şi integrabilă Riemann după x, atunci există integrala definită:

( )

^,

b

a f x y dx

∫

care depinde de parametrul real y, y ∈ A. Funcţia:

( )

^{1 : R;}

( )

^b

( )

^{, ,}

a

F A→ F y =

∫

f x y dx y A^∈

este dată printr-o integrală definită care depinde de parametrul real y, atunci când f satisface condiţiile precizate. Vom studia proprietăţile funcţiei F din (1): existenţa limitei pentru y₀ ∈ A’ ∩ R (y₀ punct de acumulare pentru A), continuitate, derivabilitate şi integrabilitate. Dacă F nu este simplu calculabilă din (1), vom preciza în ce condiţii au loc transferurile de proprietăţi de la f : [a, b] × A→ R la F dată prin (1).

Definiţia 5.1

Funcţia f : [a, b] × A→ R tinde uniform pe [a, b] către funcţia

g : [a, b]→ R pentru y → y0 cu y₀ ∈ A' ∩ R, dacă şi numai dacă avem:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ]

0 0

0, 0 a.î. cu şi '

2 , , ,

R

y A y y y A

f x y g x x a b

⎧∀ε > ∃δ ε > ∀ ∈ − < δ ε ∈ ∩

⎪⎨

⇒ − < ε ∀ ∈

⎪⎩

notat: f ⎯⎯⎯_{[ ]a b}^u_, →g pentru y →y₀ sau

( ) ( ) [ ]

0

lim , ^u , ,

y y f x y g x x a b

→ = ∈ .

Teorema 5.1 (Transfer de trecere la limită)

Fie f : [a, b] × A→ R funcţie continuă pe [a, b] pentru ∀y ∈ A. Dacă există limita

( ) ( )

0 0

lim , cu ' R

y y

g x f x y y A

= → ∈ ∩ şi f tinde uniform către g pe [a, b] în y0, atunci avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

3 lim lim ^b , ^b lim , ^b

y y F y y y a f x y dx a y y f x y dx a g x dx

→ → →

⎡ ⎤

=

∫

=

∫

⎢⎣ ⎥⎦ =

∫

Demonstraţie. Se aplică (2) cu

(

^{b a 0}

b a^{ε − >}

)

− şi în ipotezele teoremei, avem:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( ) ( )

0

0

, ,

cu şi , lim .

b b b b

a a a a

b

y y a

f x y dx g x dx f x y g x dx dx

b a

y A y y x a b F y g x dx

→

− ≤ − < ε

−

∀ ∈ − < δ ε ∀ ∈ ⇒ =

∫ ∫ ∫ ∫

∫

= ε,

Teorema 5.2 (Transfer de continuitate)

Fie f : D ⊂ R² → R cu D = [a, b] × [c, d] o funcţie continuă pe D, atunci F este continuă pe [c, d].

Demonstraţia revine la a dovedi că ∀ y₀ ∈[c, d] există

0 0

lim ( ) ( )

y y F y F y

→ = . În

ipoteza f continuă pe D compactă (închisă şi mărginită), rezultă f uniform continuă pe D şi conform definiţiei, avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

' ''

0, 0 a.î. ', ' , '', '' cu

' '' 4

', ' '', '' , 0 . În ipotezele din

x y x y D x x

y y

f x y f x y b a

b a

⎧∀ε > ∃δ ε > ∀ ∈ ⎧ −⎪ < δ ε

⎪ ⎨

⎪ ⎪⎩ − < δ ε

⎨⎪ ε

⇒ − < − >

⎪ −

⎩

enunţ şi folosind (4), se obţine:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0 0

0 0

0 0

, ,

, , , ,

pentru - există lim ,

b b

a a

b b

a a

b

y y a

F y F y f x y dx f x y dx

f x y f x y dx f x y f x y dx

dx y y F y F y

b a ^→

− = − =

⎡ ⎤

= ⎣ − ⎦ ≤ − <

< ε = ε < δ ε ⇒ =

−

∫ ∫

∫ ∫

∫

0

[ ]

, continuă pe ,

[

y c d F c d

∀ ∈ ⇒

]

∈ .◄

Teorema 5.3 (Transfer de derivabilitate)

Dacă f : [a, b] × [c, d] → R este continuă şi există fy' (derivata parţială a lui f în raport cu y) funcţie continuă pe D = [a, b] × [c, d], atunci F este derivabilă pe [c, d] şi avem:

( ) ( )

^{5 ' b} y^{' ,}

( )

^,

[ ]

^,

a

F y =

∫

f x y dx ∀y c d

Demonstraţie. F este derivabilă pe [c, d], dacă pentru ∀y0 ∈ [c, d]

există

( ) ( ) ( )

0

0

0 0

lim ' R

y y

F y F y y y F y

→

− = ∈

− . Derivata parţială a lui f în raport cu y în y₀

∈ [c, d] este dată prin:

( ) ( ) ( )

0

0 0

0

, ,

' , lim R

y y y

f x y f x y f x y

y y

→

= −

− ∈ şi cum fy' este continuă pe D este şi funcţie integrabilă în raport cu x pe [a, b].

Folosind teorema 5.1, obţinem:

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0

0 0

, ,

lim lim ^b

y y y y a

F y F y f x y f x y

y y y y dx

→ →

− −

= =

−

∫

−

( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0 0

0

, ,

lim ' , ' R,

b b

y y y

a a

f x y f x y

dx f x y dx F y y y

→

⎡ − ⎤

=

∫

⎢⎣ − ⎥⎦ =

∫

^{= ∈}

F

,

[ ]

0 ,

y c d

∀ ∈ ⇒ este derivabilă pe [c, d] şi are loc formula (5). ◄ Teorema 5.4 (Transfer de integrabilitate)

Dacă f : [a, b] × [c, d] → R este funcţie continuă pe compactul D = [a, b] × [c, d], atunci F este integrabilă pe [c, d] şi avem:

( )

^{6 d}

( )

^{d b}

( )

^{, b d}

( )

c c a c

a

F y dy= ⎡⎢⎢⎣ f x y dx dy⎤⎥⎥⎦ = ⎡⎢⎣ f x y dy dx⎤⎥⎦

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

^.

Demonstraţia formulei (6) - în bibliografie ([5], [11], [14], [17]). ◄

Cazul mai general de funcţii definite prin integrale Riemann care depind de un parametru este atunci când şi limitele de integrare a, b sunt funcţii de acest parametru. Fie α, β : [c, d] → [a, b] continue, avem:

( ) [ ] ( ) ( )

( )

7 : , R, ( )^y ,

y

G c d G y ^β f x y dx

→ =

∫

α

Teorema 5.5 (Formula de derivare a lui Leibniz)

Fie f : [a, b] × [c, d] → R şi α, β : [c, d] → [a, b]. Dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) f continuă pe D = [a, b] × [c, d] 2) există fy' continuă pe D,

3) α, β ∈ C¹ ( [c, d] ), atunci G este derivabilă şi are loc formula lui Leibniz:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

8 ' ' ' ( )^y _y' ,

y

G y f y y y f y y y ^β f x y dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ α

= ⎣β ⋅ ⎦β − ⎣α ⋅ ⎦α +

∫

^{, ∀ ∈y}

^{[ ]}

^{c d, .}

Demonstraţia în bibliografie ([5], [11], [14], [17]). ◄ Teorema 5.6 (Transfer de integrabilitate)

Fie f : [a, b] × [c, d] → R o funcţie continuă şi α, β : [c, d] → [a, b] continue pe [c,d], atunci G din (7) este integrabilă pe [c, d] şi avem:

( ) ( ) ( )

( )

9 ^{d d} ( )^y ,

c G y dy c ^βy f x y dy

α

⎡ ⎤

= ⎢⎣ ⎥⎦

∫ ∫ ∫

Demonstraţia în capitolul Integrala dublă şi în bibliografie ([5], [11], [14], [17]). ◄

Exemple.

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 0 2 2

0 0

1 sin sin cu

1 1

cos 2 cos 2 cos 2 cos 2

2 4

o F y x y x y dx y R F y

y x dx y x

π

π π

= − + ∈ ⇒

⎡ ⎤ π

= ⎣ − − ⎦ = −

∫

∫

₄

=

⇒

( )

^{cos 2 ,}

4 ^R

F y π y y

⇒ = ∀ ∈

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1

2 2

2 2

0 0

2

2 2

2 , 0, 1ln

2 1

1 1

ln 1 ln ln , 0

2 2

x o

x

F y xdx y F y x y

x y

y y y y

y

=

=

= ∈ ∞ ⇒ = +

+

+ − = + ∀ >

∫

⁼

( )

^{2 2}

( )

²

( )

²

0

3^o G y =

∫

^y 2xy x dx− cu y∈ 0,∞ ⇒ 2xy x− = y² − x y− ^{şi prin} schimbarea de variabilă x y t ^{x t y}

dx dt

⎧ = +

− = ⇒ ⎨

⎩ = şi

( )

( ) ( )

2 2 2 2

0

2 2

2 2 2 2

2 2

2

0 2

2

arcsin

, 0,

2

y y

y

t y t y

y y

y t y y

t y

x t y

G y xy x dx y t dt

x y t y

y t t

dt y t y t y t dt

y t y

G y y y

−

= =

− =− =− −

= → = −

⎧ = − = − =

⎨ = → =

⎩

= − = + − − −

−

⇒ = π ∀ ∈ ∞

∫ ∫

∫ ∫

^{2 ⇒}

Integrale improprii

Integrala Riemann s-a definit pe intervale compacte din R şi orice funcţie integrabilă în mod necesar este mărginită. O extensiune a integralei Riemann se obţine înlăturând un dintre aceste două condiţii: interval de integrare compact (închis şi mărginit), funcţia de integrat mărginită. Vom defini un alt concept de integrală considerând funcţii de integrat arbitrare (adică mărginite sau nemărginite în vecinătatea unui punct) şi intervale de integrat arbitrare (mărginite, nemărginite sau închise, neînchise). Sensul geometric al noului concept de integrală este determinat de calculul ariilor unor mulţimi din plan mărginite de graficul unei funcţii, asimptote orizontale, asimptote verticale, drepte paralele cu Oy şi axa Ox.

Acest nou concept de integrală se va numi integrală improprie sau integrală generalizată sau integrală pe interval necompact.

Să calculăm aria mulţimilor din plan mărginite de graficul unei funcţii continue, pozitivă şi o asimptotă orizontală, avem cazurile:

f : [a, ∞) → R continuă, f > 0 şi y = α asimptotă orizontală

( )

^u

( )

u =

∫

a f x dx

A şi cercetăm

dacă există:

( ) ( )

0 0

lim lim ^u R

u u a f x dx

→ ^{A u} = →

∫

∈ ^.

f : (−∞, b] → R continuă, f > 0 şi y = α asimptotă orizontală

( )

^b

( )

v

v =

∫

f x

A dx şi cercetăm

dacă există:_v→−∞^{lim A v}

( )

⁼

( )

lim ^b R

v v f x dx

= →−∞

∫

∈

f : R → R, f continuă, f > 0 şi y = α asimptotă orizontală

( )

^{, u}

( )

v

v u =

∫

f x dx

A şi

cercetăm dacă există

( ) ( )

lim ^u lim , R

u v u

v v

f x dx v u

→+∞ →+∞

→−∞ →−∞

= ∈

∫

^{A .}

Fie f : I − {c} → R şi punctul x = c ∈ I este punct singular al lui f

dacă există V ∈ _V (c) a. î. f este nemărginită pe V ∩ I; în acest caz graficul lui f admite asimptotă verticală x = c. Vom considera intervale necompacte din R de forma: [a, c) cu c ≤ +∞, (c, b] cu c ≤ −∞ şi (a, b) cu a ≥ −∞, b ≤ +∞.

Să calculăm aria mulţimilor din plan mărginite de graficul unei funcţii continue, pozitivă, axa Ox şi o asimptotă verticală; avem cazurile:

f : [a, c) → R, x = c punct singular şi dreapta x = c asimptotă verticală

( )

^{, u}

( )

v u =

∫

v f x dx A

şi cercetăm dacă există

x = a

A(a,0 0 M(u,0) x

y

] [

y = α

N(v,0) 0 B(b,0) x

y

y = α

N(v,0) 0 M(u,0) x

y

[ ]

y =

y

A(a,0)

[ _M(u,0)

x = c

0

] x

y

N(v,0) [

B(b,0) x = a

0

] x

( ) ( )

lim lim ^u R

u c u c a

u c a u c

u f x dx

→ →

< < <

=

∫

∈

A

f : (c, b] → R, x = c punct singular şi dreapta x = c asimptotă verticală

( )

^b

( )

v =

∫

v f x dx

A şi cercetăm dacă există

( ) ( )

lim ^b limA

v c c v c

v c b v c

f x dx v

→ →

> > >

= ∈

∫

^R

y

N(v,0) M(u,0)

x = a

0

x x = b

] )

( [

f : (a, b) → R, x₁ = a, x₂ = b puncte singulare şi dreptele x1 = a şi x2 = b

asimptote verticale şi

cercetăm dacă există

( )

^{, u}

( )

v

u v =

∫

f x d

A x

( ) ( )

lim , lim ^u R

v a v a v

u b u b

a v u b a v u b

v u f x dx

→ →

→ →

< < < < < <

=

∫

∈

A

Exemple.

1^o f : [0, ∞) → R,

( )

2

1 f x 1

= x

+ , G_f are asimptota orizontală y = 0 şi aria de calculat:

( )

0 2 arctg 0 arctg

1

u dx u

u x u

= x = =

∫

+ A

( )

⇒ lim lim arctg

2 ^R

u u u

→∞ →∞

= = ∈π

A = A u

M(u,0) x (0,1)

0 y

2^o f : [0, 1) → R,

( )

¹ ₂

f x 1

= x

− are x = 1 punct singular şi dreapta x = 1

asimptotă la graficul lui f; aria de calculat:

( )

_{2 0}

0 arcsin arcsin

1

u dx u

x u

= x =

∫

− A u

1

( )

1

1

lim lim arcsin

2 R

u u

u

→ → u

<

= = ∈π

A = A u ^M(u,0)

x 0

y

x = 1

Observaţii

1. Prin schimbarea de variabilă _x

( ) ( ) (

_{t , t} ^{t c a}

)

c t

= ϕ ϕ = −

− cu

[ ) [ )

¹

( [ ) )

: ,a c a, şi C a c

ϕ → ∞ ϕ∈ , se aplică intervalul necompact şi mărginit [a, c) pe intervalul închis şi nemărginit [a, ∞).

2. Din acest motiv vom studia un singur tip de integrală improprie pentru f : [a, ∞)

→ R cu interval de integrare nemărginit (tip I); cazul

f : [a, c) → R cu x = c punct singular (tip II) se va reduce prin

( )

x= ϕ t la primul caz.

3. După discuţia precedentă şi exemplele rezolvate se constată cerinţa

obligatorie pentru f de a fi local integrabilă (integrabilă pe orice compact din mulţimea sa de definiţie) pe mulţimea sa de definiţie.

4. Dacă f : [a, ∞) → R este local integrabilă pentru ∀u > a asociem lui f integrala parţială:

( )

^{1 u}

( )

^not

( )

^,

a f x dx = F u ∀u a

∫

^>

<

care este o integrală Riemann. La fel pentru f : (−∞, b] → R, avem:

( ) ( )

^{1' b}

( )

^,

G v =

∫

v f x dx ∀v b şi cazul f : R → R,

( ) ( )

^{1'' , u}

( )

^{pentru , R cu}

H u v =

∫

v f x dx ∀u v∈ v u^<

∈

. Definiţia 5.2

1] Fie f : [a, ∞) → R local integrabilă şi ∀u > a. Dacă există limita finită

( )

2 lim ^u

( )

lim

( )

1 R

u a f x dx u F u I

→∞

∫

= →∞ =

prin definiţie, integrala improprie din f pe [a, ∞), notată,

( )

a^∞ f x dx

∫

este convergentă sau are sens în R şi valoarea ei este 1

( )

a

I =

∫

^∞ f x dx. Dacă limita (2) nu există sau este infinită integrala improprie

( )

a^∞ f x dx

∫

^{este divergentă sau}

nu are sens.

2] Fie f : (−∞, b] local integrabilă şi ∀v < b variabil. Dacă există limita finită:

( )

3 lim ^b

( )

lim

( )

2 v V f x dx v G V I

→−∞

∫

= →−∞ = ^∈R

prin definiţie, integrala improprie din f pe (−∞, b], notată ^{b f x dx}

( )

∫

−∞ ^este

convergentă sau are sens în R şi valoarea ei este

2

( )

I b f x dx

=

∫

−∞ . Dacă limita (3) nu există sau este infinită integrala improprie

b

( )

f x dx

∫

−∞ ^{este divergentă sau} nu are sens.

3] Fie f : R → R local integrabilă şi ∀u, v ∈ R variabili cu v < u. Dacă există limita finită

( )

4 lim ^u

( )

lim

( )

, 3 R

v v v

u u

f x dx H u v I

→−∞ →−∞

→+∞ →+∞

= =

∫

^{∈ ,}

prin definiţie, integrala improprie din f pe R = (−∞, ∞), notată, ^{∞ f x dx}

( )

∫

−∞ ^este

convergentă sau are sens în R şi valoarea ei este ^∞ f x dx I

( )

3

−∞ =

∫

^.

Definiţia 5.3

1^o] Fie f : [a, c) → R cu x = c punct singular, f local integrabilă şi ∀u variabil cu a < u < c. Dacă există limita finită:

( )

5 lim ^u

( )

lim

( )

1 R

u c a u c

u c u c

f x dx F u J

→ →

< <

= =

∫

^∈

prin definiţie, integrala improprie din f pe [a, c), notată, ^c

( )

a⁻ f x dx

∫

este convergentă sau are sens în R şi valoarea ei este

( )

1 c

a⁻ f x dx J=

∫

. Dacă limita

(5) nu există sau este infinită, integrala improprie ^c

( )

a⁻ f x dx

∫

^{este divergentă sau}

nu are sens.

2^o] Fie f : [a, c) → R cu x = a, punct singular, f local integrabilă şi ∀v variabil cu a

< v < c. Dacă există limita finită:

( )

6 lim ^c

( )

lim

( )

2 R

v a v v a

v a v a

f x dx G v J

→ →

> >

= =

∫

^∈

prin definiţie, integrala inproprie din f pe (a, c], notată, ^c

( )

a f x dx

∫

+ ^este

convergentă sau are sens în R şi valoarea ei este

( )

2 c

a f x dx J

+ =

∫

. Dacă limita (6)

nu există sau este infinită, integrala improprie ^c

( )

a f x dx

∫

+ ^{este divergentă sau nu}

are sens.

3o] Fie f : (a, c) → R cu x₁ = a, x₂ = c puncte singulare, f local integrabilă şi ∀u, v ∈ (a, c) variabili cu a < v < u < c. Dacă există limita finită:

( )

7 lim ^u

( )

lim

( )

, 3 R

v a v v a

u c u c

a v u c

f x dx H u v J

→ →

→ →

< < <

= =

∫

^∈

prin definiţie, integrala inproprie din f pe (a, c), notată, ^c

( )

a⁻ f x dx

∫

+ ^este

convergentă sau are sens în R şi valoarea ei este

( )

2 c

a⁻ f x dx J

+ =

∫

. Dacă limita (7)

nu există sau este infinită, integrala improprie ^c

( )

a⁻ f x dx

∫

+ ^{este divergentă sau nu}

are sens. Exemple.

1^o 0 ^x ; 0 ^x lim 0^{u x} lim 0^u

(

^x

)

' lim

( )

^{u 0u}

u u u

e dx e dx e dx e dx e

∞ ∞

− − − − −

→∞ →∞ →∞

= = − = −

∫ ∫ ∫ ∫

⁼

e dx⁻x

( )

₀

lim 1 ^u 1

u e^{− ∞}

= →∞ − = ⇒

∫

convergentă cu valoarea

1=

∫

0^∞e dx^{−x .} 2^o 1 ^x ; 1 ^x lim 1^{u x} lim

( )

^{x 1u} lim

⁽

^u

⁾

u u u

e dx e dx e dx e e e

∞ ∞

→∞ →∞ →∞

= = = − = +

∫ ∫ ∫

^{∞ ⇒}

1

e dxx

⇒

∫

∞ este divergentă.

3^o

( )

₁

1 ln ; 1 ln lim 1^uln lim ln ^u

u u

xdx xdx xdx x x x

∞ ∞

→∞ →∞

⎡ ⎤

= = ⎢⎣ − ⎥⎦=

∫ ∫ ∫

( ) ( )

1

lim ln 1 lim ln 1 1 ln

u u u u u u u ^∞ xdx

→∞ →∞⎡ ⎤

= − + = ⎣ − + = ∞ ⇒⎦

∫

^este

divergentă.

4^o _{2 2 2} 1

; lim lim arctg

4 4 4 2 2

u u

v v v v

u u

dx dx dx x

x x x

∞ ∞

→−∞ →−∞

−∞ −∞

→∞ →∞

⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥=

+ + + ⎢⎣ ⎥⎦

∫ ∫ ∫

( ) ( )

1 1 1 1

lim arctg arctg arctg arctg

2 2 2 2 2 2

vu

u v

→−∞→∞

⎡ ⎤

= ⎢⎣ − ⎥⎦= +∞ − −∞ =

1

2 2 2 2

⎡π ⎛ π⎞⎤

= ⎢⎣ − −⎜⎝ ⎟⎠⎥⎦ = π

5^{o 1 1}

1 1 0

0 0 0

1

; lim lim 2 1

1 1 1

u u

u u

u

dx dx dx

x x x x

− −

→ →

<

⎡ ⎤

= = ⎢⎣− − ⎥⎦=

− − −

∫ ∫ ∫

( )

¹

1 0

lim 2 1 2 2

1

u

x dx

x

−

→ − − + = ⇒

∫

− este convergentă cu

1

2 0

1 dx

x

= −

∫

− ^.

6^{o 1 1} ₀ ¹ ₀

( )

¹

0 0

0

ln ; ln lim ln lim ln

v v v v

v

xdx xdx xdx x x x

→ →

+ +

>

⎡ ⎤

= = ⎢⎣ − ⎥⎦=

∫ ∫ ∫

[ ]

¹

0 0

lim 1 ln 1 ln

v v v v xdx

→ +

= − − + = − ⇒

∫

este convergentă cu

1

1 0 lnxdx

− =

∫

+ ^.

7^o

1 1 1 1 1

2 2 0 2 0 0

0 0 0

0 0

1 1

; lim lim lim 1

v v v v v

v v

dx dx dx dx

x x ^→ x ^→ x ^→ v 2

+ + +

> >

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = ⎢⎢⎣− ⎥⎥⎦= ⎢⎣− + ⎥⎦ = +∞ ⇒

∫ ∫ ∫ ∫

_x

este divergentă.

8^o cu 0şi 0; lim ^u

a a a u

dx dx

a x dx

a x dx

x x

∞ ∞ ∞

−α −α

α > α > α = = →∞

∫ ∫ ∫ ∫

⁼

1 1 1

ln ; 1 ln ln ; 1

lim 11 ; 1 lim 11 1 1 ; 1

u a

u

u u

a

x u a

x u a

→∞ −α+ →∞

α− α−

⎧ α = ⎧ − α =

⎪⎪ = ⎪ ⎡ ⎤

⎨⎪⎪⎩ − α α ≠ ⎨⎪ − α ⎣⎩ ⎢ − ⎥⎦ α ≠

( ) [ ]

( )

1 1

1

lim ln ln ; 1 ; 1

lim 1 1 1 ; 0 1

lim1 ; 1 1 ; 1

1

u u

u

u a

F u

u a

a

→∞

→∞

α− α−

→∞

α−

⎧⎪

⎧ − α = ⎪∞ α =

⎪ ⎪

= ⎨⎪⎩ − α ⎣⎡⎢ − ⎤⎥⎦ α ≠ = ∞⎨⎪⎪ α >

⎪⎩ α −

< α <

a

dx x

∞

⇒

∫

α este convergentă pentru α > 1 cu valoarea

(

¹¹

)

^{a 1 a dxx}

∞

α− = α

α −

∫

şi divergentă pentru α ≤ 1.

9^o

( )

^{cu 0}

( )

^lim

( )

c c u

a a u c a

u c

dx dx

c x dx

c x c x

− − −λ

λ λ →

<

λ > ⇒ = − =

− −

∫ ∫ ∫

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

1

1 1

ln ln ; 1

ln ; 1

lim 11 ; 1 lim 11 1 1 ; 1

u a

u c u c

u c

c a c u

c x

c x c a c a

→ −λ+ →

< λ− λ−

⎧ − − − λ =

⎧− − λ = ⎪

⎪ ⎪ ⎡ ⎤

= ⎨ = ⎨

⎢ − ⎥ λ ≠

− − λ ≠

⎪ − λ ⎪ −λ ⎢ − − ⎥

⎩ ⎪⎩ ⎣ ⎦

( )

( ) ( )

( )

¹

( )

¹

lim ln ln ; 1

lim 1 1 1

lim ; 1

1

u c

u cu c

u c

c a c u

F u

c a c u

→

→< → λ− λ−

⎧ ⎡⎣ − − − ⎤⎦ λ =

⎪⎪ ⎧ ⎫

⇒ = ⎨⎪ ⎪⎨ ⎡⎢ − ⎤⎥⎪⎬ λ ≠ ⇒

− λ ⎢ − − ⎥

⎪ ⎪⎩ ⎣ ⎦⎪⎭

⎩

( )

( )

( )

1

; 1

lim ; 1

1 1

; 1

1

c

u c a

u c

F u dx

c x c a

−

→ λ

<

λ−

⎧⎪

∞ λ =

⇒ = ∞⎪⎪⎨ λ > ⇒

⎪ −

⎪ ⋅ λ <

⎪ − λ −

⎩

∫

este convergentă pentru λ<1 cu valoarea

( )

¹

( )

1 1

1

c a

dx

c a c x

−

λ− λ

⋅ =

− λ −

∫

− şi este divergentă pentru λ≥1.

Observaţii.

1. Integralele improprii sau pe interval necompact cu f : [a, c) → R, c ≤ +∞ sunt de două tipuri:

I pentru c = ∞, avem

( )

a^∞ f x dx

∫

^{de tip I sau} integrală pe interval nemărginit

II pentru c ∈ R finit şi x = c punct singular al lui f, avem ^c

( )

a⁻ f x dx

∫

^{de tip}

II sau integrală improprie din funcţie nemărginită (în x = c limita superioară).

2. Prin schimbarea de variabilă _x

( ) ( ) (

_{t , t} ^{t c a}

)

c t

= ϕ ϕ = −

− cu ^ϕ∈C1

( [

^{a c,}

) )

intervalul [a, c) este aplicat pe [a, ∞) şi la fel ^{t 1}

( )

^{x cx}

x c a

= ϕ− =

+ − aplică [a, ∞) pe [a, c). Se va studia numai teoria integralelor improprii cu interval nemărginit (de tip I).

3. Pentru 2

( )

I b f x dx

=

∫

−∞ convergentă prin schimbarea de variabilă x = −t se

obţine

( )

1

b f t dt I

∞

− − − =

∫

care este de forma

( )

a^∞ f x dx

∫

^.

4. Prin teorema de reducere:

Teorema 5.7 (Teorema de reducere) Fie f : R → R o funcţie local integrabilă pe R. (i) Dacă I3 ^∞ f x dx

( )

=

∫

−∞ este convergentă, atunci pentru ∀a ∈ R sunt convergente integralele: 1

( )

şi 2 ^a

( )

a

I ^∞ f x dx I f x dx

=

∫

=

∫

−∞ şi are loc formula de reducere:

( )

8

( )

^a

( ) ( ) (

3 2 1

)

f x dx f x dx a f x dx I I I

∞ ∞

−∞ = −∞ + =

∫ ∫ ∫

⁺

(ii) Dacă există a ∈R a.î. integralele improprii 2

( )

I a f x dx

=

∫

−∞ ^şi

1

( )

a

I =

∫

^∞ f x dx sunt convergente atunci ^∞ f x dx I

( )

3

−∞ =

∫

este convergentă şi are loc formula de reducere (8).

Demonstraţia în bibliografie ([5], [6]). ◄

5. Dintre integralele improprii cu interval nemărginit se vor studia numai cele de

tipul

( )

1

notat a^∞ f x dx⎛⎜⎝ = I ⎞⎟⎠

∫

^.

6. Integralele improprii mixte, cu intervalul de integrare nemărginit şi integrandul are cel puţin un punct singular se vor descompune în integrale improprii de tip I şi de tip II, izolând punctul singular.

Exemple.

( ) ( )

( )

0 cu : 0, , 0

1 dx R 1 dx

x x f x

∞ ∞

+ ∞ → +

∫ ∫

_x are în x = 0

punct singular şi se consideră ∀δ > 0, deci:

( )

0^δ f x dx

∫

+ de tip II şi

( )

f x dx

∞

∫

δ de tip I definite prin:

( ) ( )

2 0 0 0

0

lim lim 2arctg

1 ^v_v ^v 1 ^{v v}

dx dx

J x

x x x x

δ δ δ

→ →

+ >

⎛ ⎞

=

∫

+ =

∫

+ = ⎜⎝ ⎟⎠⁼

( )

lim 2arctg0 2arctg 2arctg

v v

= → δ − = δ

( ) ( )

1 lim lim 2arctg

1 1

u u

u u

dx dx

I x

x x x x

∞

→∞ →∞ δ

δ δ

⎛ ⎞

= = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ +

∫ ∫

⁼

( )

₀

_{( )}

lim 2arctg 2arctg 2 2arctg

2 1

u

u dx

x x

∞

→∞ +

= − δ = π− δ ⇒

∫

+ ⁼

2 1 2 arctg 2 arctg

J I

= + = δ + π − δ = π. Definiţia 5.4

Fie f : [a, ∞) → R funcţie local integrabilă.

1] Integrala improprie

( )

a^∞ f x dx

∫

este prin definiţie absolut convergentă dacă şi numai dacă, integrala improprie

( )

a^∞ f x dx

∫

este convergentă.

2] Integrala improprie

( )

a^∞ f x dx

∫

este prin definiţie simplu convergentă sau semiconvergentă, dacă şi numai dacă,

( )

a^∞ f x dx

∫

este convergentă şi nu este absolut convergentă (

( )

a^∞ f x dx

∫

este divergentă).

Teorema 5.8 (Criteriul general al lui Cauchy sau teorema lui Cauchy) Fie f : [a, ∞) → R funcţie local integrabilă. Integrala improprie

a^∞ f x dx

( )

∫

este convergentă ⇔

( ) ( ) ( )

( )

0

''

0 '

0, oricât de mare dorim a.î. ', '' [ , ) cu

9 ' '' ^u

u

u u

u u u f x dx

⎧∀ε > ∃ ε ∀ ∈ ∞

⎪⎨

< < ⇒ ≤ ε

⎪⎩

∫

u a

Demonstraţia în bibliografie ([5], [6], [11], [16]). ◄ Consecinţa 5.1

Fie f : [a, ∞) → R funcţie local integrabilă şi care are limita la (+∞).

Dacă

( )

a^∞ f x dx

∫

este convergentă, atunci (în mod necesar) ^lim_x→∞ ^{f x}

( )

^=0.

Demonstraţia este o consecinţă imediată a teoremei lui Cauchy (5.8). ◄ Consecinţa 5.2

Fie f : [a, ∞) → R funcţie local integrabilă. Dacă integrala improprie

( )

a^∞ f x dx

∫

este absolut convergentă, atunci ea este convergentă.

Demonstraţie. Aplicând teorema lui Cauchy şi folosind o proprietate a integralei definite, avem: ∀u', u'' > a cu u' < u'', avem

( ) ( )

'' ''

' '

u u

u f x dx ≤ u f x dx

∫ ∫

^.◄

Observaţii

1. Dacă f : [a, ∞) → R funcţie local integrabilă şi există ^lim_x→∞ ^{f x}

( )

^{= ≠l 0,}

atunci

( )

a^∞ f x dx

∫

este divergentă (condiţie suficientă).

2. În cazul [a, b] ⊂ R interval compact are loc situaţia: f integrabilă pe [a, b] ⇒ | f | integrabilă pe [a, b].

În cazul [a, ∞) ⊂ R interval compact are loc situaţia:

( )

a^∞ f x dx

∫

convergentă

a^∞ f x dx

( )

⇒

∫

convergentă; reciproca nu este în general adevărată, conform definiţiei 5.4 o integrală simplu convergentă nu este şi absolut convergentă.

Teorema 5.9

Dacă integrala

( )

a^∞ f x dx

∫

este convergentă, atunci pentru orice şir

( )

^b_{n n>1} ^{⊂[ , )a ∞} crescător şi cu lim _n

(

0 1

)

n b a b b

→∞ = +∞ = < <… seria numerică

( )

1

0

n

n

n b

n b

f x dx

+

∑∫

= este convergentă şi are loc egalitatea:

( ) ( )

¹

( )

0

10 ⁿ

n

b

a b

n

f x dx ⁺ f x dx

∞ ∞

=

=

∑

∫ ∫

^.

Demonstraţia în bibliografie ([5], [6], [11], [16]). ◄ Observaţii

1. Teorema 5.9 pune în evidenţă legătura dintre Teoria integralelor improprii şi Teoria seriilor numerice.

2. Din acest motiv se va pune în evidenţă o analogie între criteriile de convergenţă pentru integrale improprii şi criteriile de convergenţă pentru serii numerice.

3. Studiul integralelor improprii cuprinde două probleme:

I natura integralei improprii: fie convergentă, fie divergentă II valoarea numerică a unei integrale improprii convergentă.

Modulul 5.2 - Criterii de convergenţă pentru integrale improprii şi metode de calcul. Integrale improprii remarcabile

Criterii de convergenţă pentru integrale improprii

Vom prezenta criterii de convergenţă pentru integrale improprii cu integrantul de semn constant (pozitiv) şi cu integrantul de semn oarecare pe intervalul de integrare. Fie f ≥ 0, ∀ x ≥ a şi f local integrabilă pe [a, ∞); atunci f = |f

| şi convergenţa

a^∞ fdx

∫

coincide cu convergenţa absolută. În acest caz pentru ∀ u >

a variabil, integrala parţială F(u) = ^u ( )

a f x dx

∫

^{şi ∀u1<u2, avem:}

1 2

( )1 ^u ( ) ^u ( )

a a

F u = f x dx≤ f x dx= ^{2 2}

1 1 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u u u

a u u

∫ ∫ ∫

^{f x dx+}

∫

^{f x dx F u= +}

∫

^{f x dx F u= , deci F}

este funcţie monoton crescătoare. Există lim ( )

u F u

→∞ ⇔ F funcţie crescătoare este mărginită superior (majorată) pentru u →∞.

Teorema 5.10 Fie f : [a, ∞) →R pozitivă şi local integrabilă. Integrala improprie ( )

a^∞ f x dx

∫

este convergentă dacă şi numai dacă, integrala parţială F(u) este mărginită superior pe [a, ∞) pentru u →∞.

Demonstraţie. ( )

a^∞ f x dx

∫

convergentă ^def lim ( ) ₁

u F u I

⇔ ∃ →∞ = ∈R ⇔ F monoton crescătoare pe [a, ∞) este mărginită superior.◄

Teorema 5.11 (Criteriul de comparaţie cu inegalităţi)

Fie f , g: [a, ∞) →R pozitive şi local integrabile. Dacă avem (1°): f (x)≤g(x), ∀ x≥a, atunci au loc afirmaţiile:

1) ( ) convergentă ⇒

a^∞g x dx

∫ ∫

a^∞ f x dx^{( )} convergentă;

2) ( )

a^∞ f x dx

∫

divergentă ⇒ ( ) divergentă.

a^∞g x dx

∫

Demonstraţie. Din f (x) ≤ g(x), ∀ x ≥ a ⇒ F(u) = ^u

a fdx

∫

^{≤ G(u) = , ∀ u >}

a. 1) Dacă convergentă ⇒ G(u) mărginită superior pentru u →∞ şi F(u)

≤ G(u), ∀ u > a ⇒ F(u) mărginită superior pentru u→∞

u a gdx

∫

a^∞g x dx( )

∫

.1

T⇒ ( )

a^∞ f x dx

∫

convergentă.

2) ( )

a^∞ f x dx

∫

divergentă , F(u) crescătoare şi pozitivă ⇒ F(u) nemărginită superior şi cum F(u) ≤ G(u), ∀ u > a ⇒ G(u) nemărginită superior pentru u →∞, G(u) crescătoare şi pozitivă ⇒

lim ( )

def

u F u

⇒ →∞ = ∞

lim ( )

u G u

→∞ = ∞ ⇒^def ( ) divergentă.◄

a^∞g x dx

∫

Teorema 5.12 (Criteriul de comparaţie cu limită)

Fie f , g: [a, ∞) →R pozitive şi local integrabile. Dacă există limita (2°)

( )

[

lim , 0,

( )

x

f x l l g x

→∞ = ∈ ∞

]

atunci au loc afirmaţiile:

1°) pentru l finit (l < ∞) şi ( ) convergentă ⇒

a^∞g x dx

∫ ∫

a^∞ f x dx^{( )} convergentă;

2°) pentru l nenul (l >0) şi ( ) divergentă ⇒

a^∞g x dx

∫ ∫

a^∞ f x dx^{( )} divergentă;

3°) pentru 0 < l < +∞, integralele ( )

a^∞ f x dx

∫

^şi ( ) au aceeaşi natură.

a^∞g x dx

∫

Demonstraţie. Ipoteza (2°) ⇔(2°)’ ∀ε > ∃ >0, u_ε 0 şi u_ε>aa. î. ∀ >x u_ε >a

şi folosind teorema 2° se obţin afirmaţiile din enunţ ([5], [11], [16]). ◄

(^l )^{g x( ) f x l( )}( )^{g x( )}

⇒ − ε < + ε

Teorema 5.13 (Criteriul în α)

Fie f : [a, ∞) →R pozitivă şi local integrabilă.

(i) Dacă există α > 1 a. î. (3°) lim ( )

x x f x^α l

→∞ = < ∞ atunci: ( )

a^∞ f x dx

∫

convergentă;

(ii) Dacă există α ≤ 1 a. î. (4°) lim ( ) 0

x x f x^α l

→∞ = > atunci: ( )

a^∞ f x dx

∫

divergentă.

Demonstraţie. Se aplică teorema 3° cu g x( ) ¹ , x a 0 x^α

= ∀ ≥ > şi ¹

a dx

x

∞

∫

α

convergentă pentru α > 1 şi divergentă pentru α ≤ 1 (exemplul 8°).◄