15 1.4 Polinomul de interpolare al lui Lagrange

INTERPOLAREA S ¸I APLICAT ¸ IILE EI

Ion P˘AV˘ALOIU Nicolae POP

2

Cuprins

Introducere 11

1 Interpolare ˆın R ¸si C 13

1.1 Introducere . . . 13

1.2 Problema interpol˘arii . . . 14

1.3 Determinarea funct¸iilor de interpolare . . . 15

1.4 Polinomul de interpolare al lui Lagrange . . . 25

1.5 Diferent¸e divizate cu noduri simple . . . 32

1.6 Polinomul lui Lagrange sub forma lui Newton . . . 36

1.7 Alte forme pentru polinomul lui Lagrange . . . 38

1.8 Interpolare cu noduri multiple; polinomul lui Hermite . . . 40

1.9 Diferent¸e divizate pe noduri multiple . . . 50

1.10 Polinomul lui Hermite sub forma lui Newton . . . 54

1.11 Forma integral˘a a diferent¸elor divizate . . . 55

1.12 Interpolarea funct¸iilor de variabil˘a complex˘a . . . 61

2 Derivate de ordin superior ale funct¸iilor inverse ¸si funct¸iilor compuse 63 2.1 Derivatele funct¸iilor compuse . . . 63

2.2 Cazuri particulare . . . 67

2.3 Derivatele funct¸iei inverse . . . 72

2.4 Cazuri particulare . . . 76

3 Derivarea ¸si integrarea numeric˘a 79 3.1 Problema deriv˘arii numerice . . . 79

3.2 Formula de derivare numeric˘a ˆın cazul interpol˘arii Lagrange . . . 81

3.3 Integrarea numeric˘a a funct¸iilor . . . 83

3.4 Formule de cuadratur˘a de tip interpolator . . . 84

3.5 Formulele de cuadratur˘a Newton-Cˆotes . . . 86 3

4

3.5.1 Cazuri particulare ale formulelor de cuadratur˘a

Newton-Cˆotes . . . 87

3.6 Evaluarea erorii ˆın formulele de cuadratur˘a . . . 89

3.7 Formule Newton-Cˆotes compozite . . . 92

3.7.1 Formula dreptunghiului compozit˘a . . . 93

3.7.2 Formula trapezului compozit˘a . . . 94

3.7.3 Formula lui Simpson compozit˘a . . . 95

3.8 Formulele de cuadratur˘a de tip Gauss . . . 96

3.8.1 Polinoame ortogonale . . . 97

3.8.2 Alegerea optimal˘a a punctelorx_k ¸si a ponderilorw_k . 100 3.9 Formule de cubatur˘a . . . 103

3.9.1 Formulele de cubatur˘a de tip produs . . . 103

3.10 Aplicat¸ii ale integr˘arii numerice ˆın metode de element finit . . 107

4 Interpolarea invers˘a ¸si metode de iterat¸ie 111 4.1 Polinomul de interpolare invers˘a al lui Lagrange . . . 112

4.2 Polinomul de interpolare invers˘a al lui Taylor . . . 117

4.3 Polinomul de interpolare invers˘a al lui Hermite . . . 120

4.4 Metode iterative de tip interpolator . . . 121

4.5 Metode iterative de tip Cebˆa¸sev . . . 126

4.6 Metode iterative de tip Aitken-Steffensen . . . 131

4.7 Metode iterative obt¸inute prin interpolare invers˘a cu ajutorul funct¸iilor rat¸ionale de funct¸ii liniare . . . 137

4.8 Metode iterative obt¸inute cu ajutorul polinomului de interpo- lare invers˘a de tip Hermite . . . 141

5 Convergent¸a metodelor de iterat¸ie 143 5.1 Ordin de convergent¸˘a ¸si indice de eficient¸˘a . . . 143

5.2 Convergent¸a metodei iterative cu un singur pas . . . 156

5.3 Convergent¸a metodei iterat¸iei simple cu mai mult¸i pa¸si . . . . 168

5.4 Criterii generale de convergent¸˘a a ¸sirurilor de aproximare a r˘ad˘acinilor ecuat¸iilor . . . 172

5.5 Convergent¸a metodei lui Newton . . . 180

5.6 Convergent¸a metodelor de tip interpolator . . . 190

5.7 Convergent¸a monoton˘a a metodelor de tip Aitken-Steffensen . . . 201

5.8 Convergent¸a metodelor de tip Heron-Halley . . . 212

6 Algoritmi optimali de tip interpolator 217 6.1 Ordin de convergent¸˘a optimal . . . 217 6.2 Indice de eficient¸˘a optimal . . . 223 6.3 Metod˘a optimal˘a de tip Hermite cu 2 pa¸si . . . 229 7 Aproximarea r˘ad˘acinilor ecuat¸iilor algebrice 235 7.1 Marginile r˘ad˘acinilor ecuat¸iilor algebrice . . . 235 7.2 Calculul valorilor unui polinom ¸si a derivatelor sale . . . 242 7.3 Separarea r˘ad˘acinilor ecuat¸iilor . . . 246 7.4 Aplicat¸ii ale metodelor de tip Cebˆa¸sev la rezolvarea ecuat¸iilor

algebrice . . . 250 7.5 Rezolvarea ecuat¸iilor algebrice cu ajutorul seriilor . . . 260 8 Metode de integrare numeric˘a a ecuat¸iilor diferent¸iale or-

dinare de ordinul I cu valori init¸iale 267 8.1 Enunt¸ul problemei . . . 267 8.2 Metode de aproximare cu un singur pas . . . 269 8.3 Metoda lui Euler . . . 271 8.4 Metode de aproximare cu un pas avˆand ordinul de consistent¸˘a

p= 2 . . . 272 8.4.1 Metoda Euler modificat˘a . . . 274 8.4.2 Metoda lui Heun . . . 274 8.5 Metode cu un pas avˆand cu ordinul de consistent¸˘a p= 4 . . . 274 8.6 Metode de aproximare multipas a solut¸iilor problemelor cu

valori init¸iale . . . 275 8.7 Ordin de convergent¸˘a, ordin de consistent¸˘a ¸si stabilitate . . . 276 8.8 Convergent¸a metodei multipas . . . 277 8.9 Ordinul de consistent¸˘a ˆın cazul metodelor multipas liniare . . 279 8.10 Metode multipas liniare particulare . . . 281 9 Metode de integrare numeric˘a a ecuat¸iilor diferent¸iale ¸si cu

derivate part¸iale cucondit¸ii la limit˘a 291 9.0 Enunt¸ul problemei . . . 291 9.1 Metoda tirului (de tragere) . . . 292

9.1.1 Metoda tirului (de tragere) aproximat˘a cu metoda lui Newton . . . 293 9.1.2 Metoda tirului (de tragere) aproximat˘a cu o metod˘a

de iterat¸ie clasic˘a . . . 295 9.2 Metoda diferent¸elor finite pentru rezolvarea problemelor cu

condit¸ii la limit˘a . . . 295

6

9.3 Metode cu diferent¸e pentru rezolvarea numeric˘a a ecuat¸iilor cu derivate part¸iale . . . 297 9.3.1 Metode cu diferent¸e pentru rezolvarea numeric˘a a

ecuat¸iilor cu derivate part¸iale de tip eliptic . . . 299 9.3.2 Metode cu diferent¸e pentru rezolvarea numeric˘a

a ecuat¸iilor cu derivate part¸iale de tip hiperbolic . . . 302 9.3.3 Metode cu diferent¸e pentru rezolvarea numeric˘a

a ecuat¸iilor cu derivate part¸iale de tip parabolic . . . . 306

Contents

1 Interpolation in R and C

1.1 Introduction . . . . 1.2 Interpolation problem . . . . 1.3 Constructing the interpolation functions . . . . 1.4 Lagrange interpolation polynomial . . . . 1.5 Divided differences on simple nodes . . . . 1.6 Lagrange polynomial in the Newton form . . . . 1.7 Other forms for Lagrange polynomial . . . . 1.8 Interpolating on multiple nodes; Hermite polynomial . . . . 1.9 Divided differences on multiple nodes . . . . 1.10 Hermite polynomial in the Newton form . . . . 1.11 Divided differences in the integral form . . . . 1.12 Interpolation of the functions on complex variable . . . . 2 High order derivatives of the inverse functions

and composed functions

2.1 Derivatives of composed functions . . . . 2.2 Applications . . . . 2.3 Derivatives of inverse functions . . . . 2.4 Applications . . . . 3 Numerical differentiation and integration

3.1 Numerical differentiation problem . . . . 3.2 Numerical differentiation problem

for Lagrange interpolation . . . . 3.3 Numerical integration . . . . 3.4 Quadrature formulas of interpolator type . . . . 3.5 Newton-Cotes quadrature formulas . . . . 3.5.1 Applications of Newton-Cotes quadrature formulas . . . . 3.6 Error evaluation in quadrature formulas . . . . 3.7 Newton-Cotes composite formulas . . . . 3.7.1 Rectangle composite formulae . . . . 3.7.2 Trapezoid composite formulae . . . . 3.7.3 Simpson composite formulae . . . . 3.8 Gauss quadrature formulas . . . . 3.8.1 Orthogonal polynomial . . . . 3.8.2 Optimal choice of points x_k and weightsw_k. . . .

8

3.9 Cubature formulas . . . . 3.9.1 Cubature formulas of product type . . . . 3.10 Applications of numerical integration

in finite element method . . . . 4 Inverse interpolation and iterative methods

4.1 Lagrange inverse interpolation polynomial . . . . 4.2 Taylor inverse interpolation polynomial. . . . 4.3 Hermite inverse interpolation polynomial . . . . 4.4 Iterative methods of interpolatory type . . . . 4.5 Cebˆa¸sev-type iterative methods . . . . 4.6 Aitken-Steffenson-type iterative methods . . . . 4.7 Iterative methods obtained by inverse interpolation with

rational functions of linear functions . . . . 4.8 Iterative methods obtained with Hermite inverse

interpolation polynomial . . . . 5 Convergence of the iterative methods

5.1 Convergence order and efficiency index . . . . 5.2 Convergence of one-step iterative method . . . . 5.3 Convergence of the simple-iteration method

with multiple steps . . . . 5.4 Convergence criteria for sequences

of successive approximations to the roots of equations . . . . 5.5 Convergence of Newton’s method . . . . 5.6 Convergence of interpolator-type methods . . . . 5.7 Monotone convergence of Aitken-Steffenson-type methods . . . . 5.8 Convergence of heron-Halley-type methods . . . . 6 Optimal algorithms interpolator type

6.1 Optimal convergence order . . . . 6.2 Optimal efficiency index . . . . 6.3 Optimal method Hermite-type with two-steps . . . . 7 Approximation of the roots for the algebraic equations

7.1 Bounds of the roots for the algebraic equations . . . . 7.2 Value of the polynomial and their derivative polynomial . . . . 7.3 Separation of the roots equations . . . . 7.4 Application of Cebˆa¸sev method

to solving of the algebraic equations . . . . 7.5 Solving the algebraic equations with series . . . .

8 Numerical integration methods for the initial

value problems of the first-order differential equations

8.1 The problem . . . . 8.2 One-step approximation method . . . . 8.3 Euler’s method. . . . 8.4 One-step approximation methods

with consistency orderp= 2 . . . . 8.4.1 Modified Euler’s method . . . . 8.4.2 Heun’s method . . . . 8.5 One step method with consistency order p= 4 . . . . 8.6 Multi step method for boundary value problems . . . . 8.7 Convergence order, consistency order and stability . . . . 8.8 Convergence of multi-step method . . . . 8.9 Consistency order for linear multi-step method . . . . 8.10 Applications of linear multi-step method. . . . 9 Numerical integration methods for the boundary

value problems of the differential equations and partial differential equations

9.0 The problem . . . . 9.1 Shooting method . . . . 9.1.1 Shooting method approximated with Newton’s method . . . . 9.1.2 Absorbtion method approximated with classical

iterative method. . . . 9.2 Finite difference method for solving

the boundary value problems . . . . 9.3 Finite difference method for numerical solving

of the partial differential equations . . . . 9.3.1 Finite difference method for numerical solving

of the elliptic partial differential equations. . . . 9.3.2 Finite difference method for numerical solving

of the hyperbolic partial differential equations . . . . 9.3.3 Finite difference method for numerical solving

of the parabolic partial differential equations . . . .

Introducere

ˆIn lucrarea de fat¸˘a ne propunem o tratare elementar˘a a problemelor privind interpolarea funct¸iilor de o singur˘a variabil˘a ¸si cˆateva aplicat¸ii ale interpol˘arii ˆın rezolvarea unor probleme de aproximare ¸si calcul numeric.

Astfel, ˆın primul capitol se introduce not¸iunea de sistem interpolator ¸si se determin˘a forma general˘a a polinomului de interpolare cu noduri simple, folosind acest sistem. Se studiaz˘a restul ˆın formula general˘a de interpolare.

Tot aici este tratat˘a problema interpol˘arii prin polinoame, cu noduri simple respectiv noduri multiple. Se obt¸in astfel polinoamele lui Lagrange, respectiv Hermite, sub forma general˘a. Se studiaz˘a proprietu at¸ile acestor polinoame

¸si se determin˘a forma restului.

Diferent¸ele divizate ¸si propriet˘at¸ile lor sunt studiate am˘anunt¸it ¸si se dau reprezent˘ari ale polinoamelor lui Lagrange ¸si Hermite, precum ¸si reprezent˘ari ale restului cu ajutorul acestora.

ˆIn capitolul 2 se dau formule generale de calcul pentru derivatele funct¸iilor compuse ¸si pentru derivatele funct¸iei inverse. Se examineaz˘a ˆın principal cazurile particulare uzuale ale acestor formule.

Capitolul 3 este consacrat aplicat¸iilor interpol˘arii privind calculul aproxi- mativ al derivatelor ¸si al integralelor. Cˆateva formule de derivare numeric˘a ¸si de cuadratur˘a care se obt¸in folosind diverse aproxim˘ari prin interpolare sunt studiate ˆın mod am˘anunt¸it. Cazurile particulare uzuale ale acestor formule sunt puse ˆın evident¸˘a ˆımpreun˘a cu resturile respective.

ˆIn vederea aproxim˘arii solut¸iilor ecuat¸iilor, un rol important ˆıl joac˘a in- terpolarea invers˘a. Astfel ˆın Capitolul 4 se trateaz˘a problema interpol˘arii in- verse ¸si se arat˘a c˘a majoritatea metodelor de aproximare a solut¸iilor ecuat¸iilor se pot genera cu ajutorul polinoamelor de interpolare invers˘a de tip Lagrange

¸si Hermite.

Studiul convergent¸ei metodelor de iterat¸ie ce au fost puse ˆın evident¸˘a ˆın capitolul anterior se face ˆın Capitolul 5. Aici sunt introduse not¸iuni de baz˘a privind ordinul de convergent¸˘a ¸si indicele de eficient¸˘a al metodelor de iterat¸ie. Studiul convergent¸ei metodelor ˆın cauz˘a este permanent dominat de cele 2 not¸iuni amintite. Metodele de iterat¸ie ce aproximeaz˘a r˘ad˘acinile

11

ecuat¸iilor simultan, atˆat prin lips˘a cˆat ¸si prin adaos, prezint˘a avantajul c˘a ofer˘a un control al erorii la fiecare pas de iterat¸ie (aposteriori).

Din acest punct de vedere, un paragraf aparte este consacrat studiului conver- gent¸ei metodelor de tip Aitken-Steffensen, despre care se arat˘a c˘a ˆın condit¸ii uzuale asupra funct¸iilor ce intervin ˆın ecuat¸iile date, conduc la ¸siruri ce aproximeaz˘a bilateral r˘ad˘acinile acestora.

ˆIn capitolul 6 se examineaz˘a 2 probleme de optim privind ordinul de convergent¸˘a, respectiv indicele de eficient¸˘a. Se dau algoritmi prin care, din diverse clase de metode se selecteaz˘a acelea care au ordinul de convergent¸˘a maxim, respectiv indicele de eficient¸˘a maxim.

Capitolul 7 este consacrat aplicat¸iilor metodelor de iterat¸ie la aproxi- marea r˘ad˘acinilor polinoamelor.

Ultimul capitol este consacrat studiului unor metode de aproximare a unor probleme la limite (pentru ecuat¸ii diferent¸iale ¸si cu derivate part¸iale).

Unele rezultate expuse ˆın aceast˘a lucrare sunt clasice ¸si bine cunoscute, altele sunt relativ noi, ele au fost obt¸inute ¸si publicate ˆın ultimul timp de c˘atre autorii acestui volum, precum ¸si de alt¸i autori cu preocup˘ari similare.

ˆIn expunerea materialului am preferat s˘a folosim, pe cˆat s-a putut, not¸iunile pe care le-am considerat, cele mai elementare din Analiz˘a Mate- matic˘a ¸si Analiz˘a Numeric˘a, pentru a face ca volumul s˘a poat˘a fi consultat de un num˘ar cˆat mai mare de speciali¸sti cu preocup˘ari de Analiz˘a Numeric˘a

¸si Teoria Aproxim˘arii.

Cartea poate fi folosit˘a pentru informare ¸si chiar pentru cercetare de c˘atre student¸ii ¸si doctoranzii de la facult˘at¸ile cu profil adecvat, precum ¸si de matematicieni, ingineri, economi¸sti etc.

Autorii

Capitolul 1

Interpolare ˆın R ¸ si C

1.1 Introducere

ˆIn calculul practic, ˆıntˆalnim frecvent probleme legate de calculul valorilor unor funct¸ii f : E → R; E ⊆ R. Chiar dac˘a pe anumite puncte din mult¸imeaE, fie acesteax₁, x₂, ..., x_n+1 cunoa¸stem valorilef(x_i), i= 1, n+ 1 ale funct¸iei f, este necesar s˘a putem calcula valorile aproximative ale lui f

¸si pe alte puncte ale mult¸imii E. Pentru aceasta, un procedeu des ˆıntˆalnit, pe lˆang˘a altele, este acela prin care se construie¸ste o funct¸ie ϕ : E → R, mai simpl˘a, din punct de vedere al calculelor decˆat f, care pe punctele f(x_i), i= 1, n+ 1 s˘a ia acelea¸si valori ca ¸si funct¸iaf. O astfel de funct¸ie se nume¸ste funct¸ie de interpolare. Problema construct¸iei funct¸ieiϕse nume¸ste problema interpol˘arii. ˆIn cele mai des ˆıntˆalnite cazuri funct¸iaϕ se alege din mult¸imea polinoamelor de un anumit grad, deoarece acestea ofer˘a cel mai simplu algoritm de calcul. Evident pe lˆang˘a cerint¸a ca funct¸ia ϕ s˘a fie o funct¸ie simpl˘a din punct de vedere al calculelor, se pune problema dac˘a aceast˘a funct¸ie odat˘a construit˘a, poate ˆınlocui ˆın calcule funct¸ia f. Aceasta depinde ˆın mare m˘asur˘a de precizia cu care dorim s˘a obt¸inem valorile aproximative ale lui f, prin ˆınlocuirea acesteia cuϕ.

Este deci util s˘a cunoa¸stem valoarea diferent¸eiR(f;x) =f(x)−ϕ(x) pe fiecare punct al mult¸imii E sau dac˘a aceasta nu este posibil atunci s˘a avem la dispozit¸ie o inegalitate de forma |f(x)−ϕ(x)| ≤ε, ε∈R, ε >0, adic˘a s˘a cunoa¸stem o margine superioar˘a a funct¸iei |R(f;x)|, pentru orice x∈E.

ˆIn paragrafele urm˘atoare ne va interesa atˆıt problema determin˘arii funct¸iei ϕcˆat ¸si problema determin˘arii funct¸ieiR(f;x), adic˘a problema determin˘arii restului.

13

1.2 Problema interpol˘ arii

Not˘am cu E = [a, b], a, b ∈ R, a < b un interval al axei reale ¸si cu F, mult¸imea funct¸iilor definite pe E cu valori ˆın R. Mult¸imea F formeaz˘a evident un spat¸iu vectorial. Alegem ˆın mult¸imea F o submult¸ime a sa I, num˘arabil˘a sau finit˘a de funct¸ii{ϕ_i}, despre care presupunem c˘a orice sistem finit de elemente dinI formeaz˘a un sistem liniar independent. Submult¸imea I poate fi format˘a din puterile succesive ale lui xcu exponentn∈N, adic˘a:

(1.2.1) I ={1, x, x², ..., xⁿ, ...} sau din funct¸ii trigonometrice de forma:

(1.2.2) I ={1,sin x,cos x, ...,sin nx,cos nx, ...}.

De asemenea dac˘a α_i ∈R, i= 1,2, ..., α_i =α_j pentru i=j, atunci putem considera

(1.2.3) I ={1, e^α1x, e^α2x, ..., e^αnx, ...}.

Fie ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_n, primele n+ 1 funct¸ii din mult¸imea I, pe care o pre- supunem ordonat˘a ¸si not˘am cuI_n mult¸imea tuturor combinat¸iilor liniare de forma:

(1.2.4) a₀ϕ₀+a₁ϕ₁+...+a_nϕ_n undea₀, a₁, ..., a_n∈R. EvidentI_n⊂F.

Not˘am cu

(1.2.5) x₁, x₂, ..., x_m+1, x_i =x_j pentru i=j

m+ 1 puncte din intervalulE, pe care le numim noduri de interpolare.

Problema interpol˘arii const˘a ˆın urm˘atoarele:

Fiec˘arei funct¸ii f ∈F, ˆıi punem ˆın corespondent¸˘a o funct¸ie ϕ∈ I_n de forma (1.2.4) astfel ˆıncˆat:

(1.2.6) f(x_i) =ϕ(x_i), i= 1, m+ 1.

Mai general dac˘af ¸siϕsunt derivabile pˆan˘a la un anumit ordin pe punctele mult¸imiix_idat˘a de (1.2.5), atunci putem pune condit¸ia ca ¸si valorile derivate- lor funct¸iilorf¸siϕde diferite ordine, pe punctele (1.2.5) s˘a coincid˘a. Aceste probleme vor fi precizate ˆın paragrafele urm˘atoare.

Determinarea funct¸iilor de interpolare 15

1.3 Determinarea funct ¸iilor de interpolare

Ne m˘arginim aici la problema determin˘arii funct¸iei ϕ∈I_n cu condit¸iile date de (1.2.6).

Dac˘a t¸inem cont de forma funct¸iei ϕ dat˘a de (1.2.4), atunci din (1.2.6), pentru determinarea coeficient¸ilor a_i, i= 0, n obt¸inem un sistem de m+ 1 ecuat¸ii cu n+ 1 necunoscute. Matricea sistemului amintit are urm˘atoarea form˘a:

(1.3.1) A=

⎛

⎜⎜

⎜⎝

ϕ₀(x₁) ϕ₁(x₁) · · · ϕ_n(x₁) ϕ₀(x₂) ϕ₁(x₂) · · · ϕ_n(x₂)

... · · · · · · ... ϕ₀(x_m+1) ϕ₁(x_m+1) · · · ϕ_n(x_m+1)

⎞

⎟⎟

⎟⎠.

Dac˘a dorim ca pentru orice funct¸ie f ∈ F s˘a putem determina cel put¸in o funct¸ieϕ∈I_n, atunci este necesar carang A=m+ 1 ¸sin≥m. ˆIn plus dac˘a punem condit¸ia ca fiec˘arei funct¸ii f ∈ F s˘a-i corespund˘a o singur˘a funct¸ie ϕ∈I_n, atunci trebuie can=m¸si determinantul:

(1.3.2) ∆ =

ϕ₀(x₁) ϕ₁(x₁) · · · ϕ_n(x₁) ϕ₀(x₂) ϕ₁(x₂) · · · ϕ_n(x₂)

· · · · · · · · · · · · ϕ₀(x_n+1) ϕ₁(x_n+1) · · · ϕ_n(x_n+1)

s˘a fie diferit de zero.

ˆIn acest caz pentru orice f ∈ F sistemul de n+ 1 ecuat¸ii cu n+ 1 necunoscute dat de (1.2.6) va avea o solut¸ie unic˘a ¸si coeficient¸ii a_i se pot pune sub forma:

(1.3.3) a_i = ∆_i

∆, i= 0, n ,

unde determinant¸ii ∆_i se obt¸in din ∆ prin ˆınlocuirea coloanei de rang icu coloana termenilor liberi format˘a cu valorilef(x_j), j = 1, n+ 1 ale funct¸iei f pe nodurile (1.2.5).

ˆIn acest fel funct¸iei f ∈ F ˆıi punem, ˆın mod unic, ˆın corespondent¸˘a funct¸iaϕ de forma:

(1.3.4) ϕ(x) = ∆₀

∆ ϕ₀(x) +∆₁

∆ ϕ₁(x) +· · ·+∆_n

∆ ϕ_n(x).

Dac˘a dezvolt˘am determinant¸ii ∆_i, i= 0, n, dup˘a elementele coloanei de rang i obt¸inem:

(1.3.5) a_i =

n+1

j=1f(x_j)∆_ij

∆ , i= 0;n

unde ∆_ij sunt complement¸i algebrici ai elementelor corespunz˘atoare coloanei de rang i. Astfel funct¸iaϕmai poate fi pus˘a ¸si sub urm˘atoarea form˘a:

(1.3.6) ϕ(x) =f(x₁)ψ₀(x) +f(x₂)ψ₁(x) +· · ·+f(x_n+1)ψ_n(x)

undeψ_i, i= 0, n sunt combinat¸ii liniare ale funct¸iilorϕ_i, i= 0, n¸si ˆın plus ele nu depind de funct¸ia f, dar depind de nodurile x_i, 1, n+ 1.

Dac˘a punem condit¸ia ca pentru orice funct¸ie f ∈ F, funct¸ia ϕdat˘a de (1.3.6) s˘a verifice condit¸iile:

f(x_j) = ϕ(x_j) =f(x₁)ψ₀(x_j) +f(x₂)ψ₁(x_j) + + · · ·+f(x_n+1)ψ_n(x_j), j = 1, n+ 1, (1.3.7)

atunci funct¸iile ψ_i, i= 0, nverific˘a egalit˘at¸ile:

(1.3.8) ψ_i(x_j+1) = 1 i=j

0 i=j , i= 0, n, j= 1, n+ 1.

Vom pune acum problema ca funct¸iaϕs˘a poat˘a fi determinat˘a ˆın mod unic, pentru fiecare funct¸ie f ∈F, oricum am alege nodurile x₁, x₂, ..., x_n+1 ∈E.

Pentru aceasta, ipoteza ca orice sistem finit de funct¸ii dinI s˘a fie liniar inde- pendent nu este suficient˘a. Astfel dac˘a consider˘am E = [0, π], I₁={1, sin x} ¸six₁∈E, x₂ =π−x₁, atunci

∆₂=

1 sin x₁ 1 sin x₂

= 0 de¸si funct¸iile 1 ¸si sin xsunt liniar independente.

Se impune deci ˆın acest caz, o condit¸ie mai tare asupra funct¸iilorϕ_i, i= 0, n.

Suntem condu¸si astfel la urm˘atoarea definit¸ie:

Definit¸ia 1.3.1. Spunem c˘a sistemul de funct¸iiϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_n∈I, formeaz˘a un sistem Cebˆı¸sev sau sistem interpolator pe intervalul E, dac˘a pentru orice sistem de n+ 1 punctex₁, x₂, ..., x_n+1, x_i =x_j, i=j din intervalulE, deter- minantul ∆dat de (1.3.2) este diferit de zero.

Condit¸ia ca un sistem de funct¸iiϕ_i, i= 0, ns˘a formeze un sistem inter- polator pe E este echivalent˘a cu condit¸ia ca orice ecuat¸ie de forma

a₀ϕ₀(x) +a₁ϕ₁(x) +...+a_nϕ_n(x) = 0

undea₀, a₁, ..., a_n∈R¸sia²₀+a²₁+...+a²_n>0 s˘a admit˘a cel multnr˘ad˘acini ˆın mult¸imeaE.

Din cele afirmate pˆan˘a aici rezult˘a f˘ar˘a dificultate urm˘atoarea teorem˘a:

Determinarea funct¸iilor de interpolare 17 Teorema 1.3.1. Dac˘a sistemul de funct¸ii ϕ_i, i = 0, n formeaz˘a un sistem interpolator pe E, atunci pentru orice sistem de nodurix₁, x₂, ..., x_n+1∈E, x_i =x_j pentru i=j, ¸si pentru orice funct¸ie f ∈F exist˘a o singur˘a funct¸ie ϕ∈I_n care verific˘a condit¸iile:

f(x_i) =ϕ(x_i), i= 1, n+ 1.

ˆIn paragrafele urm˘atoare ne va fi util˘a urm˘atoarea generalizare a teore- mei lui Rolle.

Teorema 1.3.2. Dac˘a funct¸iile ϕ_i, i= 0, n¸si funct¸ia f verific˘a condit¸iile:

i. funct¸iile ϕ_i, i = 0, n admit derivate pˆın˘a la ordinul n+ 1 inclusiv pe intervalul E;

ii. funct¸iaf admite derivate pˆan˘a la ordinuln+1inclusiv peE, ¸si ecuat¸ia f(x) = 0 are cel put¸in n+ 2 r˘ad˘acini ˆın intervalul E;

iii. tot¸i determinant¸ii de forma:

W[ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_k] =

ϕ₀(x) ϕ₁(x) · · · ϕ_k(x) ϕ₀(x) ϕ₁(x) · · · ϕ_k(x) ... ... · · · ... ϕ^(k)₀ (x) ϕ^(k)₁ (x) · · · ϕ^(k)_k (x)

, k= 0,1, ..., n

sunt diferit¸i de zero pentru orice x∈E.

Atunci exist˘a cel put¸in un punctc∈(a, b), astfel ˆıncˆat pe acest punct funct¸ia:

L_n+1[f] = W[ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_n, f] W[ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_n] ia valoarea zero.

ˆIn enunt¸ul teoremei de mai sus am notat:

W [ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_n, f] =

ϕ₀(x) ϕ₁(x) · · · ϕ_n(x) f(x) ϕ₀(x) ϕ₁(x) · · · ϕ_n(x) f(x) ... ... · · · ... ... ϕ⁽ⁿ⁾₀ (x) ϕ⁽ⁿ⁾₁ (x) · · · ϕ⁽ⁿ⁾_n (x) f⁽ⁿ⁾(x) ϕ⁽ⁿ⁺¹⁾₀ (x) ϕ⁽ⁿ⁺¹⁾₁ (x) · · · ϕ⁽ⁿ⁺¹⁾_n (x) f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)

.

Demonstrat¸ie. Consider˘am operatoriiL_k+1, k= 0,1, ..., n, dat¸i de relat¸iile L_k+1[ϕ] = W[ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_k, ϕ]

W[ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_k]

undeϕeste o funct¸ie care admite derivate pˆan˘a la ordinuln+ 1 inclusiv pe E.

Vom ar˘ata c˘a exist˘a n+ 1 funct¸ii, b₀, b₁, ..., b_n, definite pe E cu valori reale, astfel ˆıncˆat:

L_k+1[ϕ] = d

dxL_k[ϕ]−b_k(x)L_k[ϕ].

ˆIntradev˘ar,L_k+1este operator diferent¸ial liniar de ordink+ 1 cu coeficientul derivatei ϕ^(k+1)(x) egal cu 1. Funct¸iile ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_k formeaz˘a un sistem fundamental de solut¸ii pentru ecuat¸ia diferent¸ial˘a L_k+1[ϕ] = 0, conform ipotezei iii.

Operatorul

d

dxL_k[ϕ]−b_k(x)L_k[ϕ] =

= W[ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_k−1]_dx^dW[ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_k−1, ϕ]− W²[ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_k−1]

−W[ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_k−1, ϕ]_dx^dW[ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_k−1]

W²[ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_k−1] −b_kL_k[ϕ],

este tot un operator diferent¸ial de ordin k+1, cu coeficientul derivateiϕ^(k+1)(x) egal cu 1. Din faptul c˘a L_k[ϕ_i] = 0 pentru i = 0, k−1, rezult˘a c˘a au loc identit˘at¸ile:

d

dxL_k[ϕ_i]−b_k(x)L_k[ϕ_i] = 0, pentru i= 0, k−1 ¸si orice x∈E.

Dac˘a punem

b_k(x) =

dxdL_k[ϕ_k]

L_k[ϕ_k] , pentru orice x∈E atunci are loc ¸si egalitatea

d

dxL_k[ϕ_k]−b_k(x)L_k[ϕ_k] = 0,pentru orice x∈E .

Determinarea funct¸iilor de interpolare 19 DeoareceL_k[ϕ_k] este diferit˘a de zero pentrux∈E, rezult˘a c˘ab_keste funct¸ie continu˘a pe E. Din cele ar˘atate rezult˘a c˘a sistemul de funct¸ii ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_k este fundamental pentru operatorul diferent¸ial

d

dxL_k[ϕ]−b_k(x)L_k[ϕ] = 0

¸si deci L_k+1 se poate reprezenta astfel:

L^[ϕ]_k+1= d

dxL_k[ϕ]−b_kL_k[ϕ]. Consider˘am acum funct¸ia g₁ :E→R;

g₁(x) =f(x)·exp

− _x

a

b₀(t)dt

, a∈E , pentru care avem:

g₁(x) = [f(x)−b₀(x)f(x)]exp

− _x

a

b₀(t)dt

=L₁[f]exp

− _x

a

b₀(t)dt

. Funct¸iag₁ are, conform ipotezeiii cel put¸in,n+2 r˘ad˘acini peE, care coincid cu r˘ad˘acinile lui f ¸si atunci, conform teoremei lui Rolle, ecuat¸ia g(x) = 0 va avea cel put¸in n+ 1 r˘ad˘acini pe intervalul E, adic˘a L₁[f] are cel put¸in n+ 1 r˘ad˘acini peE.

ˆIn continuare dac˘a consider˘am g₂ :E →R, dat˘a de relat¸ia g₂(x) =L₁[f]· exp

− _x

a

b₁(t)dt

,

atunci un rat¸ionament analog ne conduce la concluzia c˘a funct¸ia:

g₂(x) =L₂[f]· exp

− _x

a

b₁(t)dt

,

are cel put¸in nr˘ad˘acini peE ¸si deci L₂[f] are cel put¸in nr˘ad˘acini peE.

Continuˆand acest procedeu vom deduce, din aproape ˆın aproape, c˘a ecuat¸ia L_n+1[f] = 0

are cel put¸in o r˘ad˘acin˘a pe E.

Teorema demonstrat˘a aici ne d˘a posibilitatea s˘a d˘am condit¸ii suficiente pentru ca un sistem de funct¸ii s˘a fie interpolator, adic˘a are loc urm˘atoarea teorem˘a:

Teorema 1.3.3. Dac˘a ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_n admit derivate pˆan˘a la ordinul n+ 1 inclusiv pe E ¸si determinant¸ii W[ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_k] sunt diferit¸i de zero pentru orice x∈E ¸si pentru orice k= 0, n, atunci funct¸iile ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_n formeaz˘a un sistem interpolator pe E.

Demonstrat¸ie. Presupunem c˘a ipotezele teoremei sunt ˆındeplinite, dar funct¸iile ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_n nu formeaz˘a un sistem interpolator, atunci exist˘a o funct¸ie de forma:

g(x) =c₀ϕ₀(x) +c₁ϕ₁(x) +...+c_nϕ_n(x),

unde c²₀+c²₁ +...+c²_n >0, c_i ∈ R, i = 0, n pentru care ecuat¸ia g(x) = 0 are cel put¸in n+ 1 r˘ad˘acini pe E. De aici rezult˘a, conform Teoremei 1.3.2, c˘a exist˘a cel put¸in un punct c∈(a, b) pentru care funct¸ia L_n[g] ia valoarea zero. Folosind o proprietate elementar˘a a determinant¸ilor deducem u¸sor urm˘atoarea egalitate

L_n[g] = W[ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_n−1, g]

W[ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_n−1] =c_nW[ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_n−1, ϕ_n] W[ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_n−1] ,

de unde, t¸inˆand cont de ipotezele teoremei, din egalitatea L_n[g] = 0 pentru x=c, rezult˘a c˘ac_n= 0. De aici rezult˘a c˘a ecuat¸ia

g(x) =c₀ϕ₀(x) +c₁ϕ₁(x) +...+c_n−1ϕ_n−1(x) = 0

are cel put¸in n+ 1 r˘ad˘acini pe intervalul E. Repetˆand rat¸ionamentul de mai sus pentru L_n−1[g], deducem c˘a c_n−1 = 0 ¸si ˆın continuare vom obt¸ine egalit˘at¸ilec_i= 0 pentru oricei= 0, n, ceea ce contrazice ipoteza pe care s-a bazat acest rat¸ionament.

Fie ˆın continuare ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_n un sistem interpolator, atunci funct¸ia de interpolare ϕdat˘a de (1.3.4) se poate determina ˆın mod unic pentru fiecare funct¸ie f ∈F.

Vom presupune c˘a sunt ˆındeplinite condit¸iile teoremei 1.3.3. ˆIn aceste ipoteze vom determina restul ˆın formula de interpolare dat˘a de funct¸iaϕdin relat¸ia (1.3.4).

Pentru aceasta consider˘am funct¸iaK :E×E→R, K(x, s) =W⁻¹[ϕ₀(s), ϕ₁(s)...ϕ_n(s)]·

(1.3.9) ·

ϕ₀(s) ϕ₁(s) · · · ϕ_n(s) ϕ₀(s) ϕ₁(s) · · · ϕ_n(s) . . . . . . · · · . . . ϕ⁽ⁿ⁻¹⁾₀ (s) ϕ⁽ⁿ⁻¹⁾₁ (s) · · · ϕ⁽ⁿ⁻¹⁾_n (s) ϕ₀(x) ϕ₁(x) · · · ϕ_n(x)

= n i=0

g_i(s)ϕ_i(x).

Determinarea funct¸iilor de interpolare 21 Aceast˘a funct¸ie ˆın variabilaxeste o combinat¸ie liniar˘a a funct¸iilorϕ_i, i= 0, n

¸si deci L_n+1[K(x, s)] = 0 pentru oricex∈E ¸si orices∈E unde:

(1.3.10) L_n+1[K(x, s)] = W[ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_n, K(x, s)]

W[ϕ₀, ϕ₁, ..., ϕ_n] Din (1.3.9) deducem egalit˘at¸ile:

(1.3.11) ∂^lK(x, s)

∂x^l

x=s

= 0, dac˘a l≤n−1, 1, dac˘a l=n−1.

Observ˘am acum c˘a funct¸ia y:E →Rdat˘a de relat¸ia:

(1.3.12a) y(x) = n

i=0

α_iϕ_i(x) + _x

a

K(x, s)ψ(s)ds, unde a∈E , verific˘a ecuat¸ia:

(1.3.12b) L_n+1[y] =ψ(x),

pentru orice α_i ∈R, i= 0, n. ˆIntradev˘ar t¸inˆand cont c˘a L_n+1 este operator liniar, obt¸inem:

L_n+1[y] = n

i=0

α_iL_n+1[ϕ_i] +L_{n+1 x}

a

K(x, s)ψ(s)ds

dar L_n+1[ϕ_i] = 0 pentru orice i= 0, n¸si deci (1.3.12) L_n+1[y] =L_n+1

_x

a

K(x, s)ψ(s)ds

Pentru a dovedi egalitatea (1.3.12b) vom ar˘ata c˘a:

L_{n+1 x}

a

K(x, s)ψ(s)ds

=ψ(x)

Pentru aceasta calcul˘am derivatele succesive ale funct¸iei h dat˘a de h(x) =_x

a K(x, s)ψ(s)ds¸si obt¸inem:

d dx

_x

a

K(x, s)ψ(s)ds

=K(x, x)ψ(x) + _x

a

∂K(x, s)

∂x ψ(s)ds dar K(x, x) = 0 conform cu egalit˘at¸ile (1.3.11) ¸si deci

d dx

_x

a

K(x, s)ψ(s)ds= _x

a

∂K(x, s)

∂x ψ(s)ds

Aplicˆınd ˆın mod repetat rat¸ionamentul de mai sus ¸si t¸inˆand cont de fiecare dat˘a de egalit˘at¸ile (1.3.11) obt¸inem:

d^l dx^l

_x

a

K(x, s)ψ(s)ds= _x

a

∂^lK(x, s)

∂x^l ψ(s)ds pentru orice l≤n. Pentru l=n+ 1 vom obt¸ine:

dⁿ⁺¹ dxⁿ⁺¹

_x

a

k(x, s)ψ(s)ds= ∂ⁿK(x, x)

∂xⁿ ψ(x) + _x

a

∂ⁿ⁺¹K(x, s)

∂xⁿ⁺¹ ψ(s)ds de unde t¸inˆand cont de (1.3.11) deducem:

dⁿ⁺¹ dxⁿ⁺¹

_x

a

K(x, s)ψ(s)ds=ψ(x) + _x

a

∂ⁿ⁺¹K(x, s)

∂xⁿ⁺¹ ψ(s)ds.

Din egalit˘at¸ile de mai sus rezult˘a egalitatea:

L_{n+1 x}

a

K(x, s)ψ(s)ds

=ψ(x) + _x

a

L_n+1[K(x, s)]ψ(s)ds

de unde t¸inˆand cont de observat¸ia conform c˘areia L_n+1[K(x, s)] = 0 pentru orice x, s∈E, rezult˘a egalitatea dorit˘a.

Observ˘am acum c˘a dac˘a ˆın locul funct¸iilorϕ_i, i= 0, n, consider˘am orice alt sistem de n+ 1 funct¸ii liniar independente, care sunt solut¸ii ale ecuat¸iei

L_n+1[ϕ] = 0,

obt¸inem aceea¸si funct¸ie K, dat˘a de (1.3.9). ˆIntradev˘ar fieψ₀, ψ₁, ..., ψ_n, n+1, astfel de funct¸ii, adic˘aL_n+1[ψ_i] = 0, i= 0, n ¸si

ψ_i(x) = n j=0

α_ijϕ_j(x), i= 0, n unde coeficient¸ii α_ij,i, j= 0, nverific˘a relat¸ia

D=

α₀₀ α₀₁ · · · α_0n α₁₀ α₁₁ · · · α_1n

· · · · · · α_n0 α_n1 · · · α_nn

= 0.

T¸ inˆand cont de cele de mai sus ¸si aplicˆand propriet˘at¸ile determinant¸ilor, obt¸inem:

ψ₀(s) ψ₁(s) · · · ψ_n(s) ψ₀(s) ψ₁(s) · · · ψ_n(s)

· · · · · ·

ψ⁽ⁿ⁻¹⁾₀ (s) ψ⁽ⁿ⁻¹⁾₁ (s) · · · ψ⁽ⁿ⁻¹⁾_n (s) ψ₀(x) ψ₁(x) · · · ψ_n(x)

=D·

ϕ₀(s) ϕ₁(s) · · · ϕ_n(s) ϕ₀(s) ϕ₁(s) · · · ϕ_n(s)

· · · · · ·

ϕ⁽ⁿ⁻¹⁾₀ (s) ϕ⁽ⁿ⁻¹⁾₁ (s) · · · ϕ⁽ⁿ⁻¹⁾_n (s) ϕ₀(x) ϕ₁(x) · · · ϕ_n(x)

Determinarea funct¸iilor de interpolare 23 de unde rezult˘a afirmat¸ia referitoare la funct¸iaK.

Funct¸iile ψ_i, i = 0, n din (1.3.6) sunt, a¸sa cum am v˘azut, combinat¸ii liniare ale funct¸iilor ϕ_i, i = 0, n ¸si aceste funct¸ii sunt liniar independente, deoarece dac˘a t¸inem cont de (1.3.8) ¸si presupunem c˘a exist˘a c_i, 0, n nu tot¸i nuli pentru care

c₀ψ₀(x) +c₁ψ₁(x) +...+c_nψ_n(x) = 0 oricare ar fi x∈E,

atunci pentru x = x_i, t¸inˆand cont de propriet˘at¸ile funct¸iilor ψ_i, i = 0, n, adic˘aψ_i−1(x_i) = 1 obt¸inemc_i−1= 0, i= 1, n+ 1.

Avˆand ˆın vedere cele de mai sus, rezult˘a c˘a funct¸ia K dat˘a de (1.3.9), undeϕ_i se ˆınlocuie¸ste cuψ_i, i= 0, n, se poate pune sub forma:

K(x, s) = n

i=0

G_i(s)ψ_i(x).

Dac˘a t¸inem cont de (1.3.8) obt¸inem:

K(x_j, s) = n

i=0

G_i(s)ψ_i(x_j) =G_j−1(s), adic˘a

K(x, s) = n i=0

K(x_i+1, s)ψ_i(x).

Dac˘a folosim faptul c˘a ecuat¸ia (1.3.12b) este verificat˘a de orice funct¸iey de forma:

y(x) = n i=0

β_iψ_i(x) + n i=0

ψ_i(x) _x

xi+1

G_i(s)ds

¸si y(x_i+1) = β_i , i = 0, n, obt¸inem ˆın particular pentru funct¸ia h dat˘a de egalitatea

h(x) = n

i=0

ψ_i(x) _x

xi+1

G_i(s)ds, urm˘atoarele propriet˘at¸i:

(1.3.13) L_n+1[h] = 1

¸si

h(x_j) = 0 pentruj= 1, n+ 1

adic˘a ecuat¸iah(x) = 0, nu poate avea, conform Teoremei 1.3.2 decˆıt r˘ad˘acinile x_j, j = 1, n+ 1, ˆın caz contrar ar fi contrazis˘a egalitatea (1.3.13).

Fie acum ϕdat˘a de egalitatea (1.3.6) ¸si funct¸iaR:E →R, dat˘a de R(x) =f(x)−ϕ(x) =f(x)−ⁿ

i=0

f(x_i+1)ψ_i(x).

Ecuat¸ia R(x) = 0 are r˘ad˘acinile x_i, i = 1, n+ 1, atunci t¸inˆand cont de observat¸ia de mai sus relativ˘a la funct¸ia h, rezult˘a c˘a ¸si ecuat¸ia ψ(x) = 0, undeψ:E →Rare forma:

ψ(x) =f(x)−ϕ(x)−M h(x), M ∈R

nu poate avea mai put¸in den+1 r˘ad˘acini peE. Mai mult, r˘ad˘acinile ecuat¸iei ψ(x) = 0 sunt nodurile de interpolare x_i, i= 1, n+ 1.

Fie z = x_i, i = 1, n+ 1 ¸si M ∈ R astfel ˆıncˆat ψ(z) = 0, adic˘a M = f(z)−ϕ(z)

h(z) . Pentru M, astfel determinat, ecuat¸ia ψ(x) = 0, va avea n+ 2 r˘ad˘acini pe E. Aplic˘am acum Teorema 1.3.2 ¸si rezult˘a c˘a exist˘a cel put¸in un punct c∈(a, b) astfel ˆıncˆat

L_n+1[ψ(c)] = 0.

T¸ inˆand cont de (1.3.13) ¸si de semnificat¸ia operatoruluiL_n+1 obt¸inem:

L_n+1[ψ(x)] =L_n+1[f(x)]−M, de unde pentru x=c obt¸inem

M =L_n+1[f(c)]

care ˆımpreun˘a cu egalitatea

M = f(z)−ϕ(z) h(z) ne conduce la:

f(z)−ϕ(z) =L_n+1[f(c)]·h(z), adic˘a, restulR[f;x], are urm˘atoarea form˘a:

(1.3.14) R[f;x] =L_n+1[f(c)]h(x).

Polinomul de interpolare al lui Lagrange 25

1.4 Polinomul de interpolare al lui Lagrange

Problema pe care o vom analiza aici nu o vom trata ca un caz particular al problemelor tratate ˆın paragrafele anterioare, pentru c˘a a¸sa cum vom constata, o tratare independent˘a ne va pune ˆın evident¸˘a multe propriet˘at¸i care se vor obt¸ine mai u¸sor decˆat prin particulariz˘ari ale rezultatelor din paragrafele anterioare.

Definit¸ia 1.4.1. Numim polinom de interpolare al lui Lagrange, al funct¸iei f, un polinom P_n, de grad cel mult n, care pe nodurile (1.2.5) ia valorile P_n(x_i) =f(x_i), i= 1, n+ 1.

Existent¸a ¸si unicitatea acestui polinom este evident asigurat˘a de faptul c˘a funct¸iileϕ_i;ϕ_i(x) =xⁱ, i= 0, nformeaz˘a un sistem interpolator, deoarece dup˘a cum este bine cunoscut, orice polinom de grad n nu poate avea mai mult de nr˘ad˘acini reale.

Noi vom dovedi existent¸a ¸si unicitatea polinomului lui Lagrange f˘ar˘a s˘a ne baz˘am direct pe observat¸ia de mai sus.

Ar˘at˘am prin induct¸ie complet˘a c˘a exist˘a un polinom de grad cel mults, P_s(x) care pe punctelex_i, i= 1, s+ 1 ia valorilef(x_i), i= 1, s+ 1, adic˘aP_s(x_i) =

=f(x_i), i= 1, s+ 1, pentru orices= 0, n.

ˆIntr-adev˘ar, pentru s = 0, polinomul de grad zero P₀(s) = f(x₁) verific˘a condit¸ia cerut˘a.

Presupunem c˘a exist˘a un polinomP_k−1 de grad cel mult k−1 care verific˘a condit¸iile P_k−1(x_i) = f(x_i), i = 0, k, unde k < n. Observ˘am atunci c˘a polinomul P_k, dat de egalitatea:

P_k(x) =P_k−1(x) + [f(x_k+1)−P_k−1(x_k+1)]

k

i=1(x−x_i) k

i=1(x_k+1−x_i)

este de grad cel multk¸si verific˘a egalit˘at¸ileP_k(x_i) =f(x_i), i= 1, k+ 1. Cu aceasta existent¸a polinomului lui Lagrange este dovedit˘a.

S˘a ar˘at˘am ˆın continuare c˘a un astfel de polinom este unic. Pentru aceasta admitem prin absurd c˘a ar exista cel put¸in dou˘a polinoameP_n¸siQ_n de grad cel mult ncare s˘a verifice condit¸iile

P_n(x_i) =Q_n(x_i) =f(x_i), pentru oricei= 1, n+ 1

Observ˘am acum c˘a polinomul H_n, H_n(x) =P_n(x)−Q_n(x) este de grad cel mult n ¸si H_n(x_i) = 0 pentru orice i = 1, n+ 1, ceea ce este absurd. Cu aceasta unicitatea este dovedit˘a.

Observat¸ia 1.4.1. Dac˘a asupra unui polinomP punem numai condit¸iile de interpolare, adic˘a

(1.4.1) P(x_i) =f(x_i) i= 1, n+ 1

f˘ar˘a a pune restrict¸ii asupra gradului, atunci exist˘a o infinitate de polinoame care verific˘a aceste condit¸ii.

ˆIntr-adev˘ar, dac˘a not˘am cu L(x₁, x₂, ..., x_n+1;f|x) polinomul lui La- grange pe nodurile x_i, i= 1, n+ 1 al funct¸ieif, atunci polinomulP dat de relat¸ia

P(x) =L(x₁, x₂, ..., x_n+1;f|x) +Q(x)

n+1

i=1

(x−x_i)

undeQeste polinom arbitrar neidentic nul, verific˘a condit¸iile (1.4.1) ¸si gradul s˘au este cel put¸in n+ 1.

Observat¸ia 1.4.2. Polinomul de interpolare al lui Lagrange poate fi carac- terizat ¸si prin aceea c˘a el este polinomul de grad efectiv minim care verific˘a condit¸iile (1.4.1).

Aceast˘a afirmat¸ie este o consecint¸˘a imediat˘a a faptului c˘a polinomul lui Lagrange este unicul polinom, de grad cel mult n, care verific˘a (1.4.1).

ˆIn continuare vom stabili forma polinomului lui Lagrange ˆın funct¸ie de nodurile x_i ¸si valorile f(x_i), i= 1, n+ 1.

Pentru aceasta consider˘am polinomul lui Lagrange de forma

(1.4.2) P(x) =

n+1

i=1

l_i(x)f(x_i)

unde l_i(x) sunt polinoame de grad n ce urmeaz˘a s˘a fie determinate cu condit¸iile (1.4.1). Din (1.4.1) deducem u¸sor pentru l_i(x), i = 1, n+ 1, urm˘atoarele condit¸ii:

(1.4.3) l_i(x_j) =

1 dac˘a i=j

0 dac˘a i=j, i, j = 1, n+ 1. Dac˘a not˘am cuω polinomul ω(x) =ⁿ⁺¹

i=1(x−x_i), atuncil_i se poate exprima cu ajutorul lui ω astfel:

(1.4.4) l_i(x) = c_iω(x)

x−x_i , i= 1, n+ 1

Polinomul de interpolare al lui Lagrange 27 undec_i ∈R. Se observ˘a c˘al_i dat¸i de (1.4.4) verific˘a relat¸iilel_i(x_j) = 0 dac˘a i=j; i, j= 1, n+ 1. Pentrui=j avem:

l_i(x_i) = lim

x→xi

c_iω(x)

x−x_i =c_iω(x_i) = 1, i= 1, n+ 1 de unde se vede c˘a dac˘a lu˘amc_i= _ω(x¹

i), atunci polinoamelel_i, i= 1, n+ 1 verific˘a egalit˘at¸ile (1.4.3).

Dac˘a t¸inem cont de (1.4.2) atunci, pentru polinomul lui Lagrange, avem urm˘atoarea form˘a:

(1.4.5) L(x₁, x₂, ..., x_n+1;f|x) =

n+1

i=1

f(x_i) ω(x) (x−x_i)ω(x_i); unde a¸sa cum am notat mai sus

(1.4.6) ω(x) =

n+1

j=1

(x−x_j).

Presupunˆand c˘a f ∈F, atunci putem face urm˘atoarea observat¸ie:

Observat¸ia 1.4.3. Restrict¸ia oric˘arei funct¸iif ∈F, f :E →Rla o mult¸ime format˘a din n+ 1 puncte din E, coincide cu restrict¸ia polinomului lui La- grange al lui f, de gradn, la aceea¸si mult¸ime de puncte.

Unicitatea polinomului lui Lagrange, precum ¸si observat¸ia (1.4.3) ne d˘a posibilitatea s˘a ar˘at˘am u¸sor c˘a:

Observat¸ia 1.4.4. Dac˘a f ∈F este un polinom de grad cel multn, atunci L(x₁, x₂, ..., x_n+1;f|x) =f(x) pentru orice x∈R.

Din (1.4.5) se deduce imediat urm˘atoarea proprietate:

Teorema 1.4.1. Dac˘a f₁, f₂∈F ¸si α, β ∈R, atunci L(x₁, x₂, ..., x_n+1; αf₁+βf₂|x) =

=αL(x₁, x₂, ..., x_n+1;f₁|x) +βL(x₁, x₂, ..., x_n+1;f₂|x).

Aceast˘a teorem˘a ne arat˘a c˘a dac˘a privim polinomul lui Lagrange ca aplicat¸ie de laF la mult¸imea polinoamelor de grad cel multn, atunci aceasta este liniar˘a, adic˘a aditiv˘a ¸si omogen˘a.

ˆIn continuare vom stabili o relat¸ie de recurent¸˘a ˆıntre polinoame ale lui Lagrange de grade consecutive ¸si anume: