1 SPAT ¸ II VECTORIALE
Fie V o mult¸ime nevid˘a ¸si K un corp comutativ (cˆamp). O structurˇa de spat¸iu vectorial pe mult¸imea V, peste corpul comutativK, (un
K-spat¸iu vectorial) este definitˇa de un triplet (V,+,·sc), unde (V,+) este un grup, iar·sc:K×V →V este o lege de compozit¸ie extern˘a, astfel c˘a au loc proprietˇat¸ile:
(V1) α·(¯x+ ¯y) =α·x¯+α·y, (¯ ∀)α∈K,¯x,y¯∈V; (V2) (α+β)·x¯=α·x¯+β·x, (¯ ∀)α, β∈K,x¯∈V; (V3) (α·β)·x¯=α·(β·x), (¯ ∀)α, β∈K,x¯∈V; (V4) 1·x¯= ¯x, (∀)¯x∈V.
Elementele mult¸imiiV se numescvectori, legea de compozit¸ie internˇa ,,+” peV se nume¸steadunarea vectorilor, iar legea de compozit¸ie externˇa ,,·” peV este numitˇaprodus cu scalari. .
Un spat¸iu vectorial peste corpul numerelor reale (K =IR) se nume¸ste spat¸iu vectorial real, iar un spat¸iu vectorial peste corpul numerelor complexe (K=C0) se nume¸stespat¸iu vectorial complex. Orice spat¸iu vectorial considerat ˆın continuare va fi real sau complex, dacˇa nu va fi fˇacutˇa altˇa specificat¸ie.
Doi vectori ¯x¸si ¯y pentru care exist˘a un scalarα∈Kastfel ˆıncˆat ¯x=α¯y sau ¯y=α¯xse numescvectori coliniari.
Dacˇa ¯x1,. . ., ¯xn∈V sunt vectori ¸siα1, . . .,αn∈Ksunt scalari, atunci se spune cˇa vectorul ¯x= Pn i=1
αıx¯ıeste ocombinat¸ie liniarˇa a vectorilor ¯x1, . . . ,x¯n. Astfel, de exemplu, dac˘a ¯x, ¯y∈V ¸siα,β∈K, atunci vectorul ¯z=α¯x+βy¯este o combinat¸ie liniar˘a a vectorilor ¯x¸si ¯y.
Exemple
1. FieIR2=IR×IR¸si legile de compozit¸ie:
+ :IR2×IR2→IR2,(x, y) + (a, b)def.= (x+a, y+b),(∀)(x, y),(a, b)∈IR2,
·:IR×IR2→IR2, α·(x, y)def.= (αx, αy),(∀)α∈IR,(x, y)∈IR2.
Tripletul (IR2,+,·) este un spat¸iu vectorial, numitspat¸iul vectorial aritmeticIR2. 2. Pentrun∈IN∗,peIRn=IR| × · · · ×{z IR}
n ori
se definesc legile de compozit¸ie:
+ :IRn×IRn→IRn,
(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn)def.= (x1+y1, x2+y2, . . . , xn+yn), (∀)(x1, x2, . . . , xn),(y1, y2, . . . , yn)∈IRn,
·:IR×IRn→IRn, α·(x1, x2, . . . , xn)def.= (αx1, αx2, . . . , αxn), (∀)α∈IR,(x1, x2, . . . , xn)∈IRn.
Tripletul (IRn,+,·) este un spat¸iu vectorial real, numitspat¸iul vectorial aritmetic IRn. 3. Un caz particular important al exemplului de mai sus este
n= 1.Astfel, corpul real (IR,+·) este un spat¸iu vectorial real, numitspat¸iul vectorial aritmeticIR.
4. ˆIn general, dac˘a (K,+,·) este un corp comutativ, atunci (K,+,·) este un K-spat¸iu vectorial.
5. Fie (K,+,·) un corp comutativ ¸sin∈IN∗. PeKn =K| × · · · ×{z K}
n ori
se definesc legile de compozit¸ie:
+ :Kn×Kn→Kn,
(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn)def.= (x1+y1, x2+y2, . . . , xn+yn), (∀)(x1, x2, . . . , xn),(y1, y2, . . . , yn)∈Kn,
·:K×Kn→IRn, α·(x1, x2, . . . , xn)def.= (αx1, αx2, . . . , αxn), (∀)α∈K,(x1, x2, . . . , xn)∈Kn.
Tripletul (Kn,+,·) este un spat¸iu vectorial peste corpulK.
6. Corpul complex (C0,+·) este un spat¸iu vectorial complex, conform exemplului 4. de mai sus.
7. Se poate defini un spat¸iu vectorial real (C0,+·IR), cu legile de compozit¸ie + : C0 ×C0 → C0, de adunare a numerelor complexe, ¸si·IR:IR×C0 →C0 , de ˆınmult¸ire a numerelor reale cu numerele complexe: α·(a+ib) =αa+iαb. S˘a remarc˘am c˘a este important s˘a fie specificat corpul peste care este definit un spat¸iu vectorial.
8. Ca un caz particular al exemplului 5. este spat¸iul vectorial complex (C0n,+,·).
9. Fiep, q ∈IN∗ ¸si Mp,q(K) ={(aij)i=1,p
j=1,q
|aij ∈K,(∀)i= 1, p, j = 1, q}, mult¸imea matricilor cu plinii ¸siq coloane, cu elemente din corpul comutativK. Se consider˘a legile de compozit¸ie
+ :Mp,q(K)× Mp,q(K)→ Mp,q(K), (aij)i=1,p,
j=1,q
+ (bij)i=1,p,
j=1,q
= (aij+bij)i=1,p,
j=1,q
, de adunare a matricilor, ¸si
·sc:K×Mp,q(K)→ Mp,q(K),α·(aij)i=1,p,
j=1,q
= (αaij)i=1,p,
j=1,q
, de ˆınmult¸ire a matricilor cu scalari dinK. Tripletul (Mp,q(K),+,·sc) este un spat¸iu vectorial peste corpulK.
10. FieK un corp comutativ ¸si K[X] = {P∞
n=0
anXn = a0+a1X +a2X2+· · ·+anXn+· · · |an ∈ K, (∀)n∈ IN ¸si (∃)n0 ∈IN a.ˆı. an = 0, (∀)n > n0}, mult¸imea polinoamelor ˆın nedeterminataX, cu coeficient¸ii dinK. Se consider˘a legile de compozit¸ie
+ :K[X]×K[X]→K[X], P∞
n=0
anXn+ P∞
n=0
bnXn = P∞
n=0
(an+bn)Xn, de adunare a polinoamelor ¸si·sc:K×K[X]→K[X], α· P∞
n=0
anXn=
= P∞
n=0
(αan)Xn, de ˆınmult¸ire a polinoamelor cu scalari dinK.
Tripletul (K[X],+,·sc) este un spat¸iu vectorial peste corpulK.
11. FieM o mult¸ime ¸si V unK-spat¸iu vectorial. Atunci mult¸imeaF(M, V) ={f :M →V}, a funct¸iilor cu domeniulM
¸si codomeniulV, cu legile de compozit¸ie + :F(M, V)×F(M, V)→F(M, V) ¸si
·:K×F(M, V)→F(M, V), definite prin (f+g)(x) =f(x) +g(x) ¸si (α·f)(x) =α·f(x), (∀)f, g∈F(M, V),α∈K,x∈M, este unK-spat¸iu vectorial.
Fie unK-spat¸iu vectorial (V,+,·). Sunt adev˘arate urm˘atoarele propriet˘at¸i:
1. 0·x¯= ¯0, (∀)¯x∈V. 2. α·¯0 = ¯0, (∀)α∈K.
3. Dac˘a α∈K ¸si ¯x∈V sunt astfel ˆıncˆatα·x¯= ¯0, atunciα= 0 sau ¯x= ¯0.
4. Dac˘aα, β∈K ¸si ¯x,y¯∈V:
5. Dacˇaα·x¯=β·x¯¸si ¯x6= ¯0, atunci α=β;
6. Dacˇaα·x¯=α·y¯¸siα6= 0, atunci ¯x= ¯y.
7. (−1)·x¯=−x, (¯ ∀)¯x∈V.
8. ¯x+ ¯y= ¯y+ ¯x, (∀)¯x,y¯∈V, adicˇa grupul (V,+) este un grup comutativ.
2 Subspat ¸ii vectoriale
FieV unK-spat¸iu vectorial. Unsubspat¸iu vectorial al luiV este o submult¸ime nevid˘a W ⊂V care are proprietatea cˇa pentru orice ¯x,y¯∈W ¸siα∈K rezultˇa ¯x+ ¯y,α·x¯∈W.
Orice K-spat¸iu vectorial V cont¸ine ca subspat¸ii vectoriale pe el ˆınsu¸si (V ⊂V) ¸si subspat¸iul nul{¯0} ⊂V, care cont¸ine numai vectorul nul. Acestea se numescsubspat¸ii vectoriale improprii. Celelalte subspat¸ii vectoriale se numecproprii. A¸sadar, un subspat¸iu vectorial W este propriu dacˇa cont¸ine un vector nenul ((∃)¯x ∈ W\{¯0}) ¸si existˇa un vector V necont¸inut ˆın subspat¸iulW ((∃)¯y∈V\W).
Se observ˘a c˘a din condit¸ia c˘a submult¸imeaW ⊂V este un subspat¸iu vectorial, rezult˘a c˘a W +W ⊂W ¸si K·W ⊂W, unde am notat
W +W ={w¯1+ ¯w2|w¯1,w¯2∈W}¸siK·W ={α·w¯|α∈K, ¯w∈W}. Rezult˘a c˘a restrict¸iile celor dou˘a operat¸ii laW definesc aplicat¸iile induse + :W×W →W ¸si·:K×W →W.
Propozit¸ia 1 Fie V unK-spat¸iu vectorial. Atunci W ⊂V este un subspat¸iu vectorial dac˘a ¸si numai dac˘a orice combinat¸ie liniar˘a de dou˘a elemente ale luiW este ˆınW, mai precis, dac˘a
¯
w1,w¯2∈W ¸si α1,α2∈K, atunci α1w¯1+α2w¯2∈W.
Un subspat¸iu vectorial este la rˆandul s˘au ub spat¸iu vectorial.
Propozit¸ia 2 Dacˇa V este un K-spat¸iu vectorial, atunci orice subspat¸iu vectorial W ⊂ V este la rˆandul sˇau un K-spat¸iu vectorial cu operat¸iile induse de peV.
Exemple.
1. FieV unK-spat¸iu vectorial ¸si ¯x∈V. Atunci submult¸imeaV¯x={α·¯x|α∈K} ⊂V este un subspat¸iu vectorial. Dac˘a
¯
x6= ¯0, atunciVx¯nu este spat¸iu vectorial nul (pentru c˘a ˆıl cont¸ine pe ¯x). Nu putem afirma ˆıns˘a, ˆın general, c˘aV¯x⊂V este un subspat¸iu propriu, deoarece este posibil caVx¯=V.
2. Fien∈IN ¸si Kn[X]⊂K[X] submult¸imea polinoamelor cu elemente din K, care au gradul cel mult n(reaminitim c˘a gradul unui polinom nenulf = P∞
k=0
akXk este cel mai mic num˘arn0∈IN astfel ˆıncˆatan = 0, (∀)n > n0, iar gradul polinomului nul este −∞).
Subspat¸iul vectorial Kn[X] ⊂ K[X] este propriu, deoarece cont¸ine polinoamele constante nenule, care au gradul 0 (de exemplu,f = 1∈Kn[X]), deciKn[X]6={¯0}, ¸si exist˘a polinomulXn+1∈K[X]\Kn[X], deoarece are graduln+ 1).
Propozit¸ia 3 Intersect¸ia a douˇa sau mai multe subspat¸ii vectoriale ale unuiK-spat¸iu vectorialV este un subspat¸iu vectorial al lui V.
FieM ⊂V o submult¸ime a unui spat¸iu vectorial. FieL(M) intersect¸ia toturor subspat¸iilor vectoriale care cont¸in peM, adic˘a
L(M) = \
M⊂W⊂V Wsubspat¸iu
W.
Din propozit¸ia 3 rezult˘a c˘a L(M)⊂V este un subspat¸iu vectorial, care se nume¸stesubspat¸iul vectorial generat de mult¸imea M. S˘a remarc˘am faptul c˘a M ⊂ L(M), deoarece M este inclus ˆın toate subspat¸iile vectoriale care se intersecteaz˘a pentru a se obt¸ineL(M).
Definit¸ia subspat¸iului vectorial generat de o mult¸ime este dificil de folosit ˆın aplicat¸ii. De aceea, este util urm˘atorul rezultat, care exprim˘a concret forma elementelor luiL(M).
Propozit¸ia 4 Fie V un spat¸iu vectorial ¸si M ⊂V o submult¸ime a sa. Atunci L(M) ={α1¯v1+α2v¯2+· · ·+αnv¯n|¯v1, ¯v2, . . . ,v¯n ∈M,
α1,α2,. . . , αn∈K}(adic˘a subspat¸iul vectorial generat de mult¸imeaM este format din mult¸imea tuturor combinat¸iilor liniare cu elemente dinM ¸si scalari dinK, numit˘a acoperirea liniar˘a a lui M).
Aceasta arat˘a c˘asubspat¸iul liniar generat de o submult¸ime a unui spat¸iu vectorial coincide cu acoperirea liniar˘a a submult¸imii.
Se consider˘a spat¸iul vectorial canonic (IR2,+,·) ¸si subspat¸iile
V1=IR×{0},V2={0}×IR⊂IR2. Se observ˘a c˘aV1∪V2⊂IR2nu este un subspat¸iu vectorial, pentru c˘a suma (1,0) + (0,1) = (1,1)∈/V1∪V2. Prin urmare reuniunea a dou˘a subspat¸ii vectoriale nu este, ˆın general, un subspat¸iu vectorial. ˆIn schimb, se poate demonstra rezultatul urm˘ator.
Propozit¸ia 5 Fie V un K-spat¸iu vectorial ¸siV1,V2⊂V sunt douˇa subspat¸ii vectoriale. Atunci V1+V2={x¯+ ¯y | x¯∈V1,
¯
y∈V2} este un subspat¸iu vectorial al luiV ¸si are loc egalitateaV1+V2=L(V1∪V2).
Avem, ˆın general, urm˘atorul rezultat.
Propozit¸ia 6 Dac˘aM1,M2⊂V sunt dou˘a submult¸imi ale spat¸iului vectorialV, atunci L(M1) +L(M2) =L(M1∪M2).
Dou˘a subspat¸ii vectoriale V1, V2 ⊂ V spunem c˘a sunt transverse dac˘a V1 ∩V2 = {¯0}, adic˘a dac˘a intersect¸ia lor este subspat¸iul vectorial nul.
Dac˘a dou˘a subspat¸ii vectoriale V1, V2 ⊂V sunt transverse, atunci suma lor, V1+V2, se noteaz˘a V1⊕V2 ¸si se nume¸ste sum˘a direct˘a a celor dou˘a subspat¸ii.
Propozit¸ia 7 Fie dou˘a subspat¸ii vectorialeV1,V2⊂V. Atunci sunt echivalente afirmat¸iile:
1. V1 ¸siV2 sunt transverse;
2. (∀)¯v∈V1+V2 se scrie ˆın mod unic sub forma¯v= ¯v1+ ¯v2, cu¯v1∈V1¸si ¯v2∈V2.
Spunem c˘a spat¸iul vectorialV estesuma direct˘a a dou˘a subspat¸ii vectorialeV1, V2 ⊂V, dac˘a V =V1⊕V2. ˆIn acest caz subspat¸iileV1 ¸siV2 se spune c˘a suntsubspat¸ii suplimentare.
Vom ar˘ata ˆın continuare c˘a mult¸imea solut¸iilor unui sistem liniar ¸si omogen poate fi privit˘a ca un subspat¸iu vectorial al unui spat¸iu vectorial de matrici coloan˘a.
Un sistem liniar ¸si omogen, cumecuat¸ii ¸si nnecunoscute, cu coeficient¸ii din corpulK, este un sistem de forma:
a11x1 +· · ·+ a1nxn = 0, ...
am1x1 +· · ·+ amnxn = 0, .
(1)
unden, m∈IN∗¸siaij ∈K, (∀)i= 1, m,j = 1, n. Sistemul de mai sus se poate scrie matricial:
A·X= 0m, (2)
undeA= (aij)i=1,m
j=1,n
=
a11 · · · a1n
... ... am1 · · · amn
∈ Mm,n(K),
X=
x1 ... xn
∈ Mn,1(K) ¸si 0m=
0 ... 0
∈ Mm,1(K).
O matrice X =
x1 ... xn
∈ Mn,1(K) care verific˘a egalitatea (2) se nume¸ste solut¸ie a sistemului liniar ¸si omogen dat;
not˘am cuS ⊂ Mn,1(K) mult¸imea solut¸iilor. Dupˇa cum se ¸stie, mult¸imea de matriciMn,1(K) este unK-spat¸iu vectorial.
Propozit¸ia 8 Submult¸imea S ⊂ Mn,1(K)a solut¸iilor unui sistem liniar ¸si omogen de forma (2) este un subspat¸iu vectorial al mult¸imii matricilor coloan˘a, Mn,1(K).
Exemplu. Fie sistemul de ecuat¸ii
½ x +2y +z = 0
−x +y −2z = 0 , care se scrie matricial
µ 1 2 1
−1 1 −2
¶
·
x y z
= µ 0
0
¶
; solut¸iile sunt de forma
x=−5
3α, y=1
3α,z=α,α∈IR, sauX =
−5 3α 1 3α
α
ˆın notat¸ie matricial˘a. Rezult˘a c˘a
S=
X =
−5 3α 1 3α
α
∈ M3,1(IR)|α∈IR
⊂ M3,1(IR)
esteL({X0}), subspat¸iul generat deX0, undeX0=
−5 31 31
.
Fie dou˘a sisteme de ecuat¸ii liniare omogene cu acela¸si num˘ar de necunoscute, scrise sub form˘a matricial˘a: A·X = 0m ¸si A0·Y = 0m0, undeA∈ Mm,n(K),A0∈ Mm0,n(K),X, Y ∈ Mn,1(K). S˘a not˘am cuS,S0 ⊂ Mn,1(K) mult¸imea solut¸iilor celor dou˘a sisteme de ecuat¸ii ¸si s˘a consider˘am mult¸imea solut¸iilor S00⊂ Mn,1(K) a sistemului liniar omogen
µ A B
¶
·Z= 0m+m0, obt¸inut prin reunirea ecuat¸iilor celor dou˘a sisteme. AtunciS00=S ∩ S0.
O submult¸ime L ⊂V a unui spat¸iu vectorial V este osubvarietate liniar˘a dac˘a exist˘a un subspat¸iu vectorial V0 ⊂V, numitsubspat¸iu vectorial director al luiL¸si un vector ¯x0∈V astfel ˆıncˆat
L={x¯0}+V (={¯x0+ ¯x|x¯∈V0}).
Exemplu. Fie mult¸imea solut¸iilor sistemului liniar ¸si neomogen cumecuat¸ii ¸si nnecunoscute, cu coeficient¸iiK:
a11x1+ · · · +an1xn = b1 ...
a1mx1+ · · · +anmxn = bm
(3) care se poate scrie matricial sub forma:
A·X =b, (4)
unde:
A=
a11 · · · an1 ... ... a1m · · · anm
∈ Mm,n(K), X=
x1 ... xn
∈ Mn,1(K),
b=
b1
... bm
∈ Mm,1(K).
Prin scrierea matricialˇa, mult¸imea solut¸iilor unui sistem de ecuat¸ii liniare de mecuat¸ii ¸si nnecunoscute poate fi consideratˇa ca o submult¸ime a mult¸imii de matriciMn,1(K), (mult¸imea matricilor cu nlinii, unde neste numˇarul de necunoscute, ¸si o coloanˇa, cu elemente dinK).
Propozit¸ia 9 FieA·X =bun sistem compatibil de ecuat¸ii liniare, unde A∈ Mm,n(K),X ∈ Mn,1(K)¸si b∈ Mm,1(K).
Atunci mult¸imea solut¸iilor sistemului dat este o subvarietate liniar˘a a spat¸iului vectorialMn,1(K), care are ca subspat¸iu vectorial director subspat¸iul vectorial al solut¸iilor sistemului omogen asociat A·Z= 0m.
3 Sisteme de vectori
3.1 Dependent ¸ˇ a ¸ si independent ¸ˇ a liniarˇ a
FieV unK-spat¸iu vectorial. O mult¸imeS⊂V se nume¸stesistem de vectori. Spunem c˘a un sistem de vectoriS⊂V este liniar independent dacˇa din orice combinat¸ie liniarˇa nulˇa cu elemente dinS
(α1v¯1+· · ·+αn¯vn= ¯0 cu α1, . . . , αn∈K ¸si ¯v1,. . ., ¯vn∈S) rezultˇa c˘a tot¸i coeficient¸ii sunt nuli (α1=· · ·=αn= 0).
Exemplu. Dac˘a ¯v∈V\{¯0} este un vector nenul, atunci mult¸imea S={v¯} este liniar independent˘a, deoareceα·¯v= ¯0, α∈K¸si ¯v6= 0 ⇒α= 0.
O mult¸imeS⊂V se spune cˇa esteliniar dependentˇadacˇa nu este liniar independentˇa. Aceasta revine la condit¸ia cˇa existˇa o combinat¸ie liniarˇa nulˇa cu elemente dinS, ai c˘arei coeficient¸i nu sunt tot¸i nuli, adicˇa existˇaα1v¯1+· · ·+αn¯vn= ¯0 cuα1, . . . , αn ∈K, nu tot¸i nuli, ¸si ¯v1,. . ., ¯vn ∈S.
Exemple.
1. O mult¸ime S ⊂ V care cont¸ine vectorul nul (¯0 ∈ S), este mult¸ime liniar dependent˘a, deoarece dac˘a ¯v ∈ S, atunci 0·¯v+ 1·¯0 = ¯0, coeficient¸ii nefiind tot¸i nuli.
2. Dac˘a ¯v ∈V este un vector ¸si α∈ K este un scalar, atunci mult¸imea S ={¯v, α·¯v} este liniar dependent˘a, deoarece α·v¯+ (−1)·(α·v) = ¯¯ 0, coeficient¸ii nefiind tot¸i nuli. Rezult˘a a¸sadar c˘a doi vectori coliniari formeaz˘a o mult¸ime liniar dependent˘a.
Propozit¸ia 10 O mult¸ime de vectoriS⊂V este liniar dependent˘a dac˘a ¸si numai dac˘a unul dintre vectori este o combinat¸ie liniar˘a a unui num˘ar finit de vectori dinS.
Propozit¸ia 11 Fie S⊂V un sistem liniar independent. Atunci:
1. Dac˘a S0 ⊂ S, atunci ¸si S0 este liniar independent (adic˘a orice
subsistem al unui sistem liniar independent este tot liniar independent).
2. Dac˘av¯1,. . .,¯vn∈S sunt diferit¸i doi cˆate doi, α1,. . .,αn∈K ¸si
¯
v=α1¯v1+· · ·+αnv¯n, atunciα1,. . .,αn sunt unic determinat¸i (adic˘a coeficient¸ii prin care un vector este o combinat¸ie liniar˘a a unor vectori liniar independent¸i dat¸i, sunt deternminat¸i ˆın mod unic).
Un sistem de vectoriS ⊂V se spune cˇa estesistem de generatori pentruV dacˇa acoperirea sa liniarˇa coincide cu ˆıntreg spat¸iul vectorialV, adicˇaL(S) =V.
Un sistem de vectoriB ⊂V se spune cˇa estebazˇaa spat¸iului vectorialV dacˇa este liniar independent ¸si sistem de generatori pentruV.
FieB={¯v1, . . . ,¯vn} o baz˘a a luiV. Dacˇa ¯x=α1¯v1+· · ·αnv¯n, atunci, cu propozit¸ia 11, coeficient¸iiα1, . . . , αn sunt unic determinat¸i. Coeficient¸iiα1, . . . , αn se numesc coordonatele vectorului ¯xˆın bazaB.
Exemple.
1. FieKn=K| × · · · ×{z K}
nori
¸siK-spat¸iul vectorial (Kn,+,·sc). AtunciB={e¯1, . . . ,e¯n} ⊂Kn, unde
¯
e1= (1,0, . . . ,0), . . . ,e¯n = (0, . . . ,0,1),
este o baz˘a, numit˘a baza canonic˘a a spat¸iului vectorial (Kn,+,·). Coordonatele unui vector ¯x= (x1, . . . , xn) =x1e¯1+· · ·+ xn¯en, ˆın baza canonic˘a, suntx1, . . . , xn.
2. Dac˘a corpul K are cel put¸in n+ 1 elemente (de exemplu, K poate fi o mult¸ime infinit˘a, cum este IR sau C0) ¸si (Kn[X],+,·sc) esteK-spat¸iul vectorial al polinoamelor de grad cel multn, atunci mult¸imea de polinoame
{1, X, X2, . . . , Xn} ⊂ Kn[X] formeaz˘a o baz˘a, numit˘a baza canonic˘a. Dac˘a f = a0+a1X +· · ·+anXn ∈ Kn, atunci coordonatele luifˆın baza canonic˘a sunta0, . . . , an.
Propozit¸ia 12 Dacˇa S={v¯1, . . . ,¯vn} ⊂V este un sistem de vectori liniar independent, atunci S ⊂ L(S) este o bazˇa a lui L(S).
Propozit¸ia 13 Fie S ={¯v1, . . . ,v¯n} ⊂ V un sistem de vectori liniar independent, x¯ = α1v¯1+α2v¯2+· · ·αnv¯n ∈ L(S) ¸si 1≤k≤n. Fie sistemul de vectori S0={v¯1, . . . ,v¯k−1,x,¯ v¯k+1,. . . ,¯vn} ⊂ L(S).
Atunci sunt echivalente afirmat¸iile:
1. S0 este un sistem de vectori liniar independent.
2. αk6= 0.
3. L(S) =L(S0).
Propozit¸ia 14 DacˇaS={v¯1, . . . ,v¯n} ⊂V este un sistem de vectori liniar independent ¸si S0={w¯1, . . . ,w¯k} ⊂ L(S)este de asemenea un sistem de vectori liniar independent, atunci k≤n.
Propozit¸ia 15 Fie S ={w¯1, . . . ,w¯p} ⊂V un sistem de generatori pentru V. Atunci exist˘a o baz˘aB ⊂V astfel c˘a B ⊂S (adic˘a din orice sistem de generatori pentru V se poate extrage o baz˘a a lui V).
Propozit¸ia 16 Orice spat¸iu vectorial care admite un sistem finit de generatori admite o baz˘a format˘a dintr-un num˘ar finit de vectori.
ˆIn general, se poate ar˘ata c˘a orice spat¸iu vectorial admite o baz˘a. Demonstrat¸ia acestui fapt folose¸ste cuno¸stint¸e de matematic˘a superioar˘a (lema lui Zorn, echivalent˘a cu axioma alegerii).
Teorema 1 (Teorema dimensiunii) DacˇaB={¯v1, . . . ,¯vn} ⊂V este o bazˇa a luiV, atunci orice altˇa bazˇa a luiV are acela¸si num˘arnde vectori.
Num˘arul vectorilor dintr-o baz˘a a luiV se nume¸stedimensiunealuiV ¸si se noteazˇa cu dimKV, sau dimV. DacˇaV ={¯0}, atunci se define¸ste dimV = 0. Un spat¸iu vectorial care admite o bazˇa finitˇa se spune cˇa este finit dimensional. Spat¸iile vectoriale considerate ˆın continuare sunt presupuse finit dimensionale.
Spat¸iile vectoriale (Kn,+,·sc) ¸si (Kn[X],+,·sc) peste K au baze cu n, respectiv n+ 1 vectori, deci au dimensiunile dimKn=n¸si dimKn[X] =n+ 1.
Propozit¸ia 17 Fie W ⊂V un subspat¸iu vectorial al unui spat¸iu vectorial (finit dimensional) V. Atunci:
1. Orice baz˘a a luiW se poate completa la o baz˘a a luiV.
2. Exist˘a un subspat¸iu vectorial W0 ⊂ V astfel ˆıncˆat V = W ⊕W0 (adic˘a V este sum˘a direct˘a a subspat¸iilor vectoriale suplimentareW ¸si W0).
Propozit¸ia 18 DacˇadimV =n, atunci
1. orice sistem care cont¸ine nvectori liniar independent¸i formeazˇa o bazˇa ˆın V; 2. orice sistem de generatori care cont¸ine nvectori formeazˇa o bazˇa ˆın V;
3. dac˘aW ⊂V este un subspat¸iu vectorial, atunciW =V dac˘a ¸si numai dac˘adimW =n.
Propozit¸ia 19 Fie V1, V2⊂V douˇa subspat¸ii vectoriale (finit dimensionale) ale unui spat¸iu vectorialV. Atunci:
dim(V1) + dim(V2) = dim(V1∩V2) + dim(V1+V2), formul˘a cunoscut˘a sub numele de formula dimensiuniisau formula lui Grassmann.
3.2 Rangul unui sistem de vectori
Dacˇa M ⊂V este un sistem de vectori dinV, atuncirangul luiM este dimensiunea subspat¸iului vectorial generat deM (rangM = dimL(M)).
Propozit¸ia 20 Fie matricea A∈ Mm,n(K)¸si fie sistemele de vectori: C ⊂ Mm,1(K), format din coloanele matricii A¸si L⊂ M1,n(K), format din liniile matriciiA. Au loc urmˇatoarele egalitˇat¸i ˆıntre rangurile sistemelor de vectoriC ,L¸si rangul matriciiA:
rangC= rangL= rangA, rezultat cunoscut sub numele de formula rangului.
Propozit¸ia 21 Fie F ={¯v1, . . . ,v¯k} ⊂V un sistem finit de vectori din V ¸si [F]B matricea coordonatelor vectorilor din F ˆıntr-o bazˇa oarecare B ⊂V, cu cordonatele scrise pe coloan˘a. Atunci:
1. Rangul luiF este egal cu rangul matricii[F]B (adic˘a rangF= rang [F]B).
2. Rangul matricii[F]B este k(rang [F]B=k) dac˘a ¸si numai dac˘a vectorii dinF sunt liniar independent¸i.
3. Rangul matricii[F]B este strict mai mic decˆatkdac˘a ¸si numai dac˘a vectorii dinF sunt liniar dependent¸i.
4. Rangul matricii[F]B este egal cu dimensiunea luiV
(rang [F]B= dimV) dac˘a ¸si numai dac˘a vectorii dinF formeazˇa o bazˇa (adicˇaF ⊂V este o bazˇa) a lui V. Exemplu.
Fie ¯v1= (1,−1,2), ¯v1= (−1,1,1) ¸si ¯v3= (1,1,−1)∈IR3. Matricea coordonatelor vectorilor esteA=
1 −1 1
−1 1 1
2 1 −1
,
iar detA=−6, prin urmare rangA= 3, deci{¯v1,v¯2,v¯3} ⊂IR3formeaz˘a o baz˘a.
Datˇa o bazˇaB={¯v1, . . . ,¯vn} ⊂V, fiecˇarui vector ¯x∈V i se asociazˇa o matrice coloanˇa formatˇa din cordonatele vectorului
¯
xˆın aceastˇa bazˇa:
V 3x¯→[¯x]B=
x1
... xn
∈ Mn,1(K), unde ¯x=x1¯v1+· · ·+xnv¯n.
Vom numi matricea [¯x]B reprezentarea matricialˇaa vectorului ¯xˆın bazaB. Exemplu.
Fie baza B0 = {¯v1 = (1,−1,2),¯v1 = (−1,1,1),v¯3 = (1,1,−1)} ⊂ IR3. Vectorul ¯x = (2,4,1) ∈ IR3 se scrie sub forma
¯
x= 1·¯v1+ 2·v¯2+ 3·¯v3. Reprezentarea matricial˘a a lui ¯xeste [¯x]B0 =
1 2 3
∈ M3,1(IR).
DacˇaB={¯e1, . . . ,e¯n} ⊂V ¸si B0 ={f¯1, . . . ,f¯n} ⊂V sunt douˇa baze ale luiV, atunci matricea de trecere de la bazaBla bazaB0 este, prin definit¸ie, matricea A= (aij)i,j= 1,n, unde ¯fj =
Pn i=1
aije¯i,n= dimV. Explicit,cordonatele vectorilor din baza B0 formeazˇa coloanele matricii A. Not˘amA= [B,B0].
Exemplu.
Fie baza canonic˘a
B={e¯1 = (1,0,0), ¯e2 = (0,1,0)}, ¯e3 = (0,0,1)} ⊂IR3 ¸si B0 ={¯v1 = (1,−1,2),v¯2 = (−1,1,1),¯v3 = (1,1,−1)} ⊂IR3 baza considerat˘a ˆın exemplele de mai sus. Matricea de trecere de la bazaBla baza B0 este matricea
[B,B0] =
1 −1 1
−1 1 1
2 1 −1
.
Propozit¸ia 22 Fie B,B0 ⊂V dou˘a baze. Pentru un vector x¯ ∈V, ˆıntre reprezentˇarile sale matriciale ˆın cele douˇa baze ¸si matricea de trecere existˇa relat¸ia:
[¯x]B= [B,B0]·[¯x]B0. (5)
Dacˇan= dimV,B={¯ei}i=1,n,B0={f¯j}j=1,n,x¯=x1¯e1+· · ·+xne¯n=
=y1f¯1+· · ·+ynf¯n ¸si ¯ei= Pn j=1
ajif¯j,(∀)i= 1, n, atunci:
x1
... xn
=
a11 · · · a1n ... ... an1 · · · ann
·
y1
... yn
. (6)
Exemplu. Vectorul ¯x= (2,4,1)∈IR3 , are reprezent˘arile matriciale [¯x]B=
2 4 1
ˆın baza canonic˘a
B ={¯e1 = (1,0,0), ¯e2 = (0,1,0), ¯e3= (0,0,1)} ⊂IR3 ¸si [¯x]B0 =
1 2 3
ˆın bazaB0 ={¯v1= (1,−1,2), ¯v2 = (−1,1,1),¯v3 =
(1,1,−1)} ⊂ IR3. Matricea de trecere de la baza B la baza B0 este [B,B0] =
1 −1 1
−1 1 1
2 1 −1
. ˆIntr-adev˘ar, [x]B =
[B,B0][x]B0, pentru c˘a
2 4 1
=
1 −1 1
−1 1 1
2 1 −1
1 2 3
.
Propozit¸ia 23 FieV unK-spat¸iu vectorial de dimensiunen. Dac˘aB,B0 sunt dou˘a baze ale sale, matricea de trecere[B,B0], de la bazaBla bazaB0, este o matrice inversabil˘a, inversa sa fiind[B0,B]. Reciproc, dac˘aBeste o baz˘a a luiV ¸siA∈ Mn(K) este o matrice inversabil˘a, atunci exist˘a o baz˘aB0 astfel ˆıncˆat[B,B0] =A.
Fiind dat˘a o baz˘aB, s˘a observ˘am c˘a matricea unitateIn poate fi considerat˘a dreptIn = [B,B] (adic˘a matricea de trecere care las˘a baza neschimbat˘a).
Propozit¸ia 24 Fie B,B0 ¸si B00 trei baze ale unui spat¸ie vectorialV. Atunci are loc egalitatea matricial˘a:
[B,B0]·[B0,B00] = [B,B00].
Dacˇa B={e¯1, . . . ,e¯n} ⊂V ¸si B0={f¯1, . . . ,f¯n} ⊂V sunt douˇa baze ale unui spat¸iu vectorial realV, atunci:
1. Dac˘a det[B,B0]>0, atunci se spune c˘a bazeleB¸siB0 suntla fel orientate;
2. Dac˘a det[B,B0]<0, atunci se spune c˘a bazele B¸siB0 suntinvers orientate.
Propozit¸ia 25 Pe mult¸imea tuturor bazelor unui spat¸iu vectorial realV, relat¸ia ,,B ∼ B0 dac˘aB ¸si B0 sunt la fel orientate (adic˘adet[B,B0]>0)” este o relat¸ie de echivalent¸˘a.
Mult¸imea tuturor bazelor se scrie ca reuniunea a dou˘a clase de echivalent¸˘a; dou˘a baze din aceea¸si clas˘a sunt la fel orientate, iar dou˘a baze din clase diferite sunt invers orientate.
De exemplu, ˆınIR2, dac˘a se iau bazeleB0={¯e1= (1,0), ¯e2= (0,1)}¸siB1={f¯1= (1,0), ¯f2= (0,−1)}, atunci cele dou˘a baze nu sunt echivalente, pentru c˘a [B0,B1] =
µ 1 0 0 −1
¶
, det[B0,B1] =−1, deciB0¸siB1 determin˘a dou˘a clase diferite.
3.3 Lema substitut ¸iei
Propozit¸ia 26 (Lema substitut¸iei) Fie B ={e¯1, . . . ,¯en} o bazˇa a unui K-spat¸iu vectorial V, doi vectorix¯0 =x10e¯1+· · ·+ xn0¯en∈V ¸si
¯
x=x1¯e1+· · ·+xne¯n∈V ¸si un indice i0∈ {1, . . . , n}. Atunci
1. Mult¸imea B0={e¯1, . . .¯ei0−1,x¯0,e¯i0+1,¯en}este o bazˇa a lui V dacˇa ¸si numai dacˇaxi00 6= 0.
2. Dacˇaxi006= 0 ¸si
¯
x=y1e¯1+· · ·+yi0−1¯ei0−1+yi0x¯0+yi0+1¯ei0+1+· · ·+yne¯n este scrierea vectoruluix¯ˆın baza B0, atunci:
yi0 = xi0
xi00, yi=xixi00−xi0xi0 xi00 =
¯¯¯¯ xi00 xi0 xi0 xi
¯¯¯¯
xi00 , (∀)i6=i0.
Numˇarulxi00 se nume¸stepivot, iar regula de calcul a cordonateloryi,i6=i0, se nume¸steregula dreptunghiului, deoarece din tabelul cordonatelor vectorilor:
¯
x0 x¯
¯
e1 x10 x1 ... ... ...
¯
ei0−1 x¯i00−1 x¯i0−1
iese din baz˘a
← e¯i0 xi00 xi0
¯
ei0+1 x¯i00+1 x¯i0+1 ... ... ...
¯
ei xi0 xi ... ... ...
¯
en xn0 xn :
xi00 xi0 .&
xi0 xi
se observ˘a c˘a yi, care va lua locul lui xi, se obt¸ine ca rezultat al sc˘aderii produselor xixi00 −xi0xi0 (al elementelor aflate ˆın colt¸urile dreptunghiului din dreapta), ˆımp˘art¸it la pivolulxi00.
Se obt¸ine:
¯
x0 x¯
¯
e1 0 y1=x1x
i0 0 −x10xi0
xi00
... ... ...
¯
ei0−1 0 yi0−1= xi0−1x
i0
0 −xi00−1xi0 xi00
¯
x0 1 yi0 =xi0
xi00
¯
ei0−1 0 yi0+1=xi0 +1x
i0
0 −xi00 +1xi0 xi00
... ... ...
¯
ei 0 yi= xix
i0 0 −xi0xi0
xi00
... ... ...
¯
en 0 yn =xnx
i0 0 −xn0xi0
xi00
Vom prezenta ˆın continuare cˆateva aplicat¸ii ale lemei substitut¸iei.
3.3.1 Determinarea rangului unui sistem de vectori
Exemplu. Fie vectorii ¯v1= (1,2,−1), ¯v2= (1,−1,1), ¯v3= (2,1,0), ¯v4= (0,3,−2)∈IR3.
¯
v1 v¯2 v¯3 v¯4
¯
e1 1 1 2 0
¯
e2 2 −1 1 3
¯
e3 −1 1 0 −2
¯
v1 1 1 2 0
¯
e2 0 −3 −3 3
¯
e3 0 2 2 −2
¯
v1 1 0 1 1
¯
v2 0 1 1 −1
¯
e3 0 0 0 0
S-au f˘acut dou˘a ˆınlocuiri, deci rangul sistemului{v¯1,¯v2,v¯3,v¯4} ⊂IR4este 2 ¸si L({v¯1,¯v2}) =L({¯v1,v¯2,¯v3,v¯4}).
3.3.2 Rezolvarea unui sistem de ecuat¸ii liniare Exemple.
1. Sistemul urm˘ator este incompatibil:
x1 −x2 +x3 = 0 x1 +x2 +x3 = 6 3x1 +x2 +3x3 = 1
. Avem:
¯
c1 c¯2 c¯3 ¯b
¯
e1 1 −1 1 0
¯
e2 1 1 1 6
¯
e3 3 1 3 1
¯
c1 1 −1 1 0
¯
e2 0 2 0 6
¯
e3 0 4 0 1
¯
c1 1 0 1 3
¯
c2 0 1 0 3
¯
e3 0 0 0 −11
⇔
x1 +x3 = 3
x2 = 3
0 = 11
Sistemul este incompatibil, pentru c˘a−116= 0. Justificarea este urm˘atoarea: ¯b= 3¯c1+ 3¯c2−11¯e2, iar{¯c1,¯c2} ⊂ L({¯c1,¯c2,c¯3}) este baz˘a, deci ¯b /∈ L({c¯1,c¯2,¯c3}).
2. Sistemul urm˘ator este compatibil:
2x1 −x2 +x3 = 3 x1 +2x2 +x3 = 6 3x1 +x2 +2x3 = 9
.
Sistemul este compatibil, pentru c˘a ¯b∈ L({¯c1,c¯2}). Sistemul, ˆın forma simplificat˘a, din care putem scrie solut¸iile, se scrie:
x1 +3
5x3 =12 5 +x2 +1
5x3 = 9 5
,
deci mult¸imea solut¸iilor este{(−3 5α+12
5 ,−1 5α+9
5, α)|α∈IR}. Necunoscutax3este necunoscut˘a secundar˘a ¸si necunoscutele x1 ¸six2 sunt necunoscute principale.Urmeaz˘a tabelul:
¯
c1 ¯c2 c¯3 ¯b
¯
e1 2 −1 1 3
¯
e2 1 2 1 6
¯
e3 3 1 2 9
¯
c1 1 −1 2
1 2
3 2
¯ e2 0
5
2 1
2 9 2
¯
e3 0 5
2 1 2
9 2
¯
c1 1 0 3
5 12
5
¯
c2 0 1 1
5 9
¯ 5
e3 0 0 0 0
3.3.3 Calcularea inversei unei matrici
Exemplu. S˘a se determine inversa matriciiA=
1 −1 1
−1 1 0
1 0 −1
.
¯
c1 c¯2 c¯3 e¯1 e¯2 e¯3
¯
e1 1 −1 1 1 0 0
¯
e2 −1 1 0 0 1 0
¯
e3 1 0 −1 0 0 1
¯
c1 1 −1 1 1 0 0
¯
e2 0 0 1 1 1 0
¯
e3 0 1 −2 −1 0 1
¯
c1 1 −1
2 0 1
2 0 1
2
¯ e2 0
1
2 0 1
2 1 1
2
¯
c3 0 −1
2 1 1
2 0 −1
2
¯
c1 1 0 0 1 1 1
¯
c2 0 1 0 1 2 1
¯
c3 0 0 1 1 1 0
⇒A−1=
1 1 1 1 2 1 1 1 0
.
ˆIntr-adev˘ar,
1 −1 1
−1 1 0
1 0 −1
1 1 1 1 2 1 1 1 0
=
1 1 1 1 2 1 1 1 0
1 −1 1
−1 1 0
1 0 −1
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
4 Aplicat ¸ii liniare ˆıntre dou˘ a spat ¸ii vectoriale
FieV ¸siW dou˘a spat¸ii vectoriale peste acela¸si corpK.
O aplicat¸ief :V →W se nume¸steaplicat¸ie liniar˘a dac˘a are proprietatea c˘a f(α¯x+βy) =¯ αf(¯x) +βf(¯y), (∀)¯x,y¯∈V ¸si (∀)α, β∈K. Not˘am cuL(V, W) ={f :V →W|f aplicat¸ie liniar˘a}.
De exemplu, dac˘aV =Mn,1(K),W =Mm,1(K) ¸siA∈ Mm,n(K), atunci aplicat¸iaf :Mn,1(K)→ Mm,1(K) definit˘a prin f(X) =A·X, este o aplicat¸ie liniar˘a. ˆIntr-adev˘ar, t¸inˆand seama de propriet˘at¸ile operat¸iilor cu matrici, avemf(αX+βY) = αf(X) +βf(Y)⇔
A·(αX+βY) =α(A·X) +β(A·Y), (∀)X, Y ∈ Mn,1(K) ¸siα, β∈K, ceea ce este, evident, adev˘arat.
