1 SPAT ¸ II VECTORIALE

(1)

1 SPAT ¸ II VECTORIALE

Fie V o mult¸ime nevid˘a ¸si K un corp comutativ (cˆamp). O structurˇa de spat¸iu vectorial pe mult¸imea V, peste corpul comutativK, (un

K-spat¸iu vectorial) este deﬁnitˇa de un triplet (V,+,·sc), unde (V,+) este un grup, iar·sc:K×V →V este o lege de compozit¸ie extern˘a, astfel c˘a au loc proprietˇat¸ile:

(V1) α·(¯x+ ¯y) =α·x¯+α·y, (¯ ∀)α∈K,¯x,y¯∈V; (V2) (α+β)·x¯=α·x¯+β·x, (¯ ∀)α, β∈K,x¯∈V; (V3) (α·β)·x¯=α·(β·x), (¯ ∀)α, β∈K,x¯∈V; (V4) 1·x¯= ¯x, (∀)¯x∈V.

Elementele mult¸imiiV se numescvectori, legea de compozit¸ie internˇa ,,+” peV se nume¸steadunarea vectorilor, iar legea de compozit¸ie externˇa ,,·” peV este numitˇaprodus cu scalari. .

Un spat¸iu vectorial peste corpul numerelor reale (K =IR) se nume¸ste spat¸iu vectorial real, iar un spat¸iu vectorial peste corpul numerelor complexe (K=C0) se nume¸stespat¸iu vectorial complex. Orice spat¸iu vectorial considerat ˆın continuare va fi real sau complex, dacˇa nu va fi fˇacutˇa altˇa specificat¸ie.

Doi vectori ¯x¸si ¯y pentru care exist˘a un scalarα∈Kastfel ˆıncˆat ¯x=α¯y sau ¯y=α¯xse numescvectori coliniari.

Dacˇa ¯x₁,. . ., ¯x_n∈V sunt vectori ¸siα₁, . . .,α_n∈Ksunt scalari, atunci se spune cˇa vectorul ¯x= Pn i=1

α_ıx¯_ıeste ocombinat¸ie liniarˇa a vectorilor ¯x1, . . . ,x¯n. Astfel, de exemplu, dac˘a ¯x, ¯y∈V ¸siα,β∈K, atunci vectorul ¯z=α¯x+βy¯este o combinat¸ie liniar˘a a vectorilor ¯x¸si ¯y.

Exemple

1. FieIR²=IR×IR¸si legile de compozit¸ie:

+ :IR²×IR²→IR²,(x, y) + (a, b)^def.= (x+a, y+b),(∀)(x, y),(a, b)∈IR²,

·:IR×IR²→IR², α·(x, y)^def.= (αx, αy),(∀)α∈IR,(x, y)∈IR².

Tripletul (IR²,+,·) este un spat¸iu vectorial, numitspat¸iul vectorial aritmeticIR². 2. Pentrun∈IN^∗,peIRⁿ=IR| × · · · ×{z IR}

n ori

se deﬁnesc legile de compozit¸ie:

+ :IRⁿ×IRⁿ→IRⁿ,

(x¹, x², . . . , xⁿ) + (y¹, y², . . . , yⁿ)^def.= (x¹+y¹, x²+y², . . . , xⁿ+yⁿ), (∀)(x¹, x², . . . , xⁿ),(y¹, y², . . . , yⁿ)∈IRⁿ,

·:IR×IRⁿ→IRⁿ, α·(x¹, x², . . . , xⁿ)^def.= (αx¹, αx², . . . , αxⁿ), (∀)α∈IR,(x¹, x², . . . , xⁿ)∈IRⁿ.

Tripletul (IRⁿ,+,·) este un spat¸iu vectorial real, numitspat¸iul vectorial aritmetic IRⁿ. 3. Un caz particular important al exemplului de mai sus este

n= 1.Astfel, corpul real (IR,+·) este un spat¸iu vectorial real, numitspat¸iul vectorial aritmeticIR.

4. ˆIn general, dac˘a (K,+,·) este un corp comutativ, atunci (K,+,·) este un K-spat¸iu vectorial.

5. Fie (K,+,·) un corp comutativ ¸sin∈IN^∗. PeKⁿ =K| × · · · ×{z K}

n ori

se deﬁnesc legile de compozit¸ie:

+ :Kⁿ×Kⁿ→Kⁿ,

(x¹, x², . . . , xⁿ) + (y¹, y², . . . , yⁿ)^def.= (x¹+y¹, x²+y², . . . , xⁿ+yⁿ), (∀)(x¹, x², . . . , xⁿ),(y¹, y², . . . , yⁿ)∈Kⁿ,

·:K×Kⁿ→IRⁿ, α·(x¹, x², . . . , xⁿ)^def.= (αx¹, αx², . . . , αxⁿ), (∀)α∈K,(x¹, x², . . . , xⁿ)∈Kⁿ.

Tripletul (Kⁿ,+,·) este un spat¸iu vectorial peste corpulK.

6. Corpul complex (C0,+·) este un spat¸iu vectorial complex, conform exemplului 4. de mai sus.

7. Se poate defini un spat¸iu vectorial real (C0,+·IR), cu legile de compozit¸ie + : C0 ×C0 → C0, de adunare a numerelor complexe, ¸si·IR:IR×C0 →C0 , de ˆınmult¸ire a numerelor reale cu numerele complexe: α·(a+ib) =αa+iαb. S˘a remarc˘am c˘a este important s˘a fie specificat corpul peste care este definit un spat¸iu vectorial.

8. Ca un caz particular al exemplului 5. este spat¸iul vectorial complex (C0ⁿ,+,·).

(2)

9. Fiep, q ∈IN^∗ ¸si Mp,q(K) ={(aij)_i=1,p

j=1,q

|aij ∈K,(∀)i= 1, p, j = 1, q}, mult¸imea matricilor cu plinii ¸siq coloane, cu elemente din corpul comutativK. Se consider˘a legile de compozit¸ie

+ :Mp,q(K)× Mp,q(K)→ Mp,q(K), (a_ij)_i=1,p,

j=1,q

+ (b_ij)_i=1,p,

j=1,q

= (a_ij+b_ij)_i=1,p,

j=1,q

, de adunare a matricilor, ¸si

·sc:K×Mp,q(K)→ Mp,q(K),α·(aij)_i=1,p,

j=1,q

= (αaij)_i=1,p,

j=1,q

, de ˆınmult¸ire a matricilor cu scalari dinK. Tripletul (Mp,q(K),+,·sc) este un spat¸iu vectorial peste corpulK.

10. FieK un corp comutativ ¸si K[X] = {P^∞

n=0

anXⁿ = a0+a1X +a2X²+· · ·+anXⁿ+· · · |an ∈ K, (∀)n∈ IN ¸si (∃)n⁰ ∈IN a.ˆı. an = 0, (∀)n > n⁰}, mult¸imea polinoamelor ˆın nedeterminataX, cu coeﬁcient¸ii dinK. Se consider˘a legile de compozit¸ie

+ :K[X]×K[X]→K[X], P^∞

n=0

anXⁿ+ P^∞

n=0

bnXⁿ = P^∞

n=0

(an+bn)Xⁿ, de adunare a polinoamelor ¸si·sc:K×K[X]→K[X], α· P^∞

n=0

anXⁿ=

= P^∞

n=0

(αan)Xⁿ, de ˆınmult¸ire a polinoamelor cu scalari dinK.

Tripletul (K[X],+,·sc) este un spat¸iu vectorial peste corpulK.

11. FieM o mult¸ime ¸si V unK-spat¸iu vectorial. Atunci mult¸imeaF(M, V) ={f :M →V}, a funct¸iilor cu domeniulM

¸si codomeniulV, cu legile de compozit¸ie + :F(M, V)×F(M, V)→F(M, V) ¸si

·:K×F(M, V)→F(M, V), deﬁnite prin (f+g)(x) =f(x) +g(x) ¸si (α·f)(x) =α·f(x), (∀)f, g∈F(M, V),α∈K,x∈M, este unK-spat¸iu vectorial.

Fie unK-spat¸iu vectorial (V,+,·). Sunt adev˘arate urm˘atoarele propriet˘at¸i:

1. 0·x¯= ¯0, (∀)¯x∈V. 2. α·¯0 = ¯0, (∀)α∈K.

3. Dac˘a α∈K ¸si ¯x∈V sunt astfel ˆıncˆatα·x¯= ¯0, atunciα= 0 sau ¯x= ¯0.

4. Dac˘aα, β∈K ¸si ¯x,y¯∈V:

5. Dacˇaα·x¯=β·x¯¸si ¯x6= ¯0, atunci α=β;

6. Dacˇaα·x¯=α·y¯¸siα6= 0, atunci ¯x= ¯y.

7. (−1)·x¯=−x, (¯ ∀)¯x∈V.

8. ¯x+ ¯y= ¯y+ ¯x, (∀)¯x,y¯∈V, adicˇa grupul (V,+) este un grup comutativ.

2 Subspat ¸ii vectoriale

FieV unK-spat¸iu vectorial. Unsubspat¸iu vectorial al luiV este o submult¸ime nevid˘a W ⊂V care are proprietatea cˇa pentru orice ¯x,y¯∈W ¸siα∈K rezultˇa ¯x+ ¯y,α·x¯∈W.

Orice K-spat¸iu vectorial V cont¸ine ca subspat¸ii vectoriale pe el ˆınsu¸si (V ⊂V) ¸si subspat¸iul nul{¯0} ⊂V, care cont¸ine numai vectorul nul. Acestea se numescsubspat¸ii vectoriale improprii. Celelalte subspat¸ii vectoriale se numecproprii. A¸sadar, un subspat¸iu vectorial W este propriu dacˇa cont¸ine un vector nenul ((∃)¯x ∈ W\{¯0}) ¸si existˇa un vector V necont¸inut ˆın subspat¸iulW ((∃)¯y∈V\W).

Se observ˘a c˘a din condit¸ia c˘a submult¸imeaW ⊂V este un subspat¸iu vectorial, rezult˘a c˘a W +W ⊂W ¸si K·W ⊂W, unde am notat

W +W ={w¯1+ ¯w2|w¯1,w¯2∈W}¸siK·W ={α·w¯|α∈K, ¯w∈W}. Rezult˘a c˘a restrict¸iile celor dou˘a operat¸ii laW deﬁnesc aplicat¸iile induse + :W×W →W ¸si·:K×W →W.

Propozit¸ia 1 Fie V unK-spat¸iu vectorial. Atunci W ⊂V este un subspat¸iu vectorial dac˘a ¸si numai dac˘a orice combinat¸ie liniar˘a de dou˘a elemente ale luiW este ˆınW, mai precis, dac˘a

¯

w₁,w¯₂∈W ¸si α₁,α₂∈K, atunci α₁w¯₁+α₂w¯₂∈W.

Un subspat¸iu vectorial este la rˆandul s˘au ub spat¸iu vectorial.

Propozit¸ia 2 Dacˇa V este un K-spat¸iu vectorial, atunci orice subspat¸iu vectorial W ⊂ V este la rˆandul sˇau un K-spat¸iu vectorial cu operat¸iile induse de peV.

(3)

Exemple.

1. FieV unK-spat¸iu vectorial ¸si ¯x∈V. Atunci submult¸imeaV¯x={α·¯x|α∈K} ⊂V este un subspat¸iu vectorial. Dac˘a

¯

x6= ¯0, atunciVx¯nu este spat¸iu vectorial nul (pentru c˘a ˆıl cont¸ine pe ¯x). Nu putem aﬁrma ˆıns˘a, ˆın general, c˘aV¯x⊂V este un subspat¸iu propriu, deoarece este posibil caVx¯=V.

2. Fien∈IN ¸si Kn[X]⊂K[X] submult¸imea polinoamelor cu elemente din K, care au gradul cel mult n(reaminitim c˘a gradul unui polinom nenulf = P^∞

k=0

akX^k este cel mai mic num˘arn⁰∈IN astfel ˆıncˆatan = 0, (∀)n > n⁰, iar gradul polinomului nul este −∞).

Subspat¸iul vectorial Kn[X] ⊂ K[X] este propriu, deoarece cont¸ine polinoamele constante nenule, care au gradul 0 (de exemplu,f = 1∈Kn[X]), deciKn[X]6={¯0}, ¸si exist˘a polinomulXⁿ⁺¹∈K[X]\Kn[X], deoarece are graduln+ 1).

Propozit¸ia 3 Intersect¸ia a douˇa sau mai multe subspat¸ii vectoriale ale unuiK-spat¸iu vectorialV este un subspat¸iu vectorial al lui V.

FieM ⊂V o submult¸ime a unui spat¸iu vectorial. FieL(M) intersect¸ia toturor subspat¸iilor vectoriale care cont¸in peM, adic˘a

L(M) = \

M⊂W⊂V Wsubspat¸iu

W.

Din propozit¸ia 3 rezult˘a c˘a L(M)⊂V este un subspat¸iu vectorial, care se nume¸stesubspat¸iul vectorial generat de mult¸imea M. S˘a remarc˘am faptul c˘a M ⊂ L(M), deoarece M este inclus ˆın toate subspat¸iile vectoriale care se intersecteaz˘a pentru a se obt¸ineL(M).

Deﬁnit¸ia subspat¸iului vectorial generat de o mult¸ime este diﬁcil de folosit ˆın aplicat¸ii. De aceea, este util urm˘atorul rezultat, care exprim˘a concret forma elementelor luiL(M).

Propozit¸ia 4 Fie V un spat¸iu vectorial ¸si M ⊂V o submult¸ime a sa. Atunci L(M) ={α₁¯v₁+α₂v¯₂+· · ·+α_nv¯_n|¯v₁, ¯v₂, . . . ,v¯_n ∈M,

α₁,α₂,. . . , α_n∈K}(adic˘a subspat¸iul vectorial generat de mult¸imeaM este format din mult¸imea tuturor combinat¸iilor liniare cu elemente dinM ¸si scalari dinK, numit˘a acoperirea liniar˘a a lui M).

Aceasta arat˘a c˘asubspat¸iul liniar generat de o submult¸ime a unui spat¸iu vectorial coincide cu acoperirea liniar˘a a submult¸imii.

Se consider˘a spat¸iul vectorial canonic (IR²,+,·) ¸si subspat¸iile

V1=IR×{0},V2={0}×IR⊂IR². Se observ˘a c˘aV1∪V2⊂IR²nu este un subspat¸iu vectorial, pentru c˘a suma (1,0) + (0,1) = (1,1)∈/V1∪V2. Prin urmare reuniunea a dou˘a subspat¸ii vectoriale nu este, ˆın general, un subspat¸iu vectorial. ˆIn schimb, se poate demonstra rezultatul urm˘ator.

Propozit¸ia 5 Fie V un K-spat¸iu vectorial ¸siV1,V2⊂V sunt douˇa subspat¸ii vectoriale. Atunci V1+V2={x¯+ ¯y | x¯∈V1,

¯

y∈V2} este un subspat¸iu vectorial al luiV ¸si are loc egalitateaV1+V2=L(V1∪V2).

Avem, ˆın general, urm˘atorul rezultat.

Propozit¸ia 6 Dac˘aM1,M2⊂V sunt dou˘a submult¸imi ale spat¸iului vectorialV, atunci L(M1) +L(M2) =L(M1∪M2).

Dou˘a subspat¸ii vectoriale V₁, V₂ ⊂ V spunem c˘a sunt transverse dac˘a V₁ ∩V₂ = {¯0}, adic˘a dac˘a intersect¸ia lor este subspat¸iul vectorial nul.

Dac˘a dou˘a subspat¸ii vectoriale V₁, V₂ ⊂V sunt transverse, atunci suma lor, V₁+V₂, se noteaz˘a V₁⊕V₂ ¸si se nume¸ste sum˘a direct˘a a celor dou˘a subspat¸ii.

Propozit¸ia 7 Fie dou˘a subspat¸ii vectorialeV₁,V₂⊂V. Atunci sunt echivalente aﬁrmat¸iile:

1. V1 ¸siV2 sunt transverse;

2. (∀)¯v∈V1+V2 se scrie ˆın mod unic sub forma¯v= ¯v1+ ¯v2, cu¯v1∈V1¸si ¯v2∈V2.

Spunem c˘a spat¸iul vectorialV estesuma direct˘a a dou˘a subspat¸ii vectorialeV1, V2 ⊂V, dac˘a V =V1⊕V2. ˆIn acest caz subspat¸iileV1 ¸siV2 se spune c˘a suntsubspat¸ii suplimentare.

Vom ar˘ata ˆın continuare c˘a mult¸imea solut¸iilor unui sistem liniar ¸si omogen poate ﬁ privit˘a ca un subspat¸iu vectorial al unui spat¸iu vectorial de matrici coloan˘a.

Un sistem liniar ¸si omogen, cumecuat¸ii ¸si nnecunoscute, cu coeﬁcient¸ii din corpulK, este un sistem de forma:







a₁₁x¹ +· · ·+ a_1nxⁿ = 0, ...

am1x¹ +· · ·+ amnxⁿ = 0, .

(1)

(4)

unden, m∈IN^∗¸siaij ∈K, (∀)i= 1, m,j = 1, n. Sistemul de mai sus se poate scrie matricial:

A·X= 0_m, (2)

undeA= (aij)_i=1,m

j=1,n

=





a11 · · · a1n

... ... am1 · · · amn



∈ Mm,n(K),

X=



 x¹ ... xⁿ



∈ Mn,1(K) ¸si 0_m=



 0 ... 0



∈ Mm,1(K).

O matrice X =



 x¹ ... xⁿ



 ∈ Mn,1(K) care veriﬁc˘a egalitatea (2) se nume¸ste solut¸ie a sistemului liniar ¸si omogen dat;

not˘am cuS ⊂ Mn,1(K) mult¸imea solut¸iilor. Dupˇa cum se ¸stie, mult¸imea de matriciMn,1(K) este unK-spat¸iu vectorial.

Propozit¸ia 8 Submult¸imea S ⊂ Mn,1(K)a solut¸iilor unui sistem liniar ¸si omogen de forma (2) este un subspat¸iu vectorial al mult¸imii matricilor coloan˘a, Mn,1(K).

Exemplu. Fie sistemul de ecuat¸ii

½ x +2y +z = 0

−x +y −2z = 0 , care se scrie matricial

µ 1 2 1

−1 1 −2

¶

·



 x y z



= µ 0

0

¶

; solut¸iile sunt de forma

x=−5

3α, y=1

3α,z=α,α∈IR, sauX =







−5 3α 1 3α

α





ˆın notat¸ie matricial˘a. Rezult˘a c˘a

S=







 X =







−5 3α 1 3α

α





∈ M3,1(IR)|α∈IR







⊂ M3,1(IR)

esteL({X₀}), subspat¸iul generat deX₀, undeX₀=







−5 31 31





.

Fie dou˘a sisteme de ecuat¸ii liniare omogene cu acela¸si num˘ar de necunoscute, scrise sub form˘a matricial˘a: A·X = 0m ¸si A⁰·Y = 0m⁰, undeA∈ Mm,n(K),A⁰∈ Mm⁰,n(K),X, Y ∈ Mn,1(K). S˘a not˘am cuS,S⁰ ⊂ Mn,1(K) mult¸imea solut¸iilor celor dou˘a sisteme de ecuat¸ii ¸si s˘a consider˘am mult¸imea solut¸iilor S⁰⁰⊂ Mn,1(K) a sistemului liniar omogen

µ A B

¶

·Z= 0m+m⁰, obt¸inut prin reunirea ecuat¸iilor celor dou˘a sisteme. AtunciS⁰⁰=S ∩ S⁰.

O submult¸ime L ⊂V a unui spat¸iu vectorial V este osubvarietate liniar˘a dac˘a exist˘a un subspat¸iu vectorial V⁰ ⊂V, numitsubspat¸iu vectorial director al luiL¸si un vector ¯x0∈V astfel ˆıncˆat

L={x¯0}+V (={¯x0+ ¯x|x¯∈V⁰}).

Exemplu. Fie mult¸imea solut¸iilor sistemului liniar ¸si neomogen cumecuat¸ii ¸si nnecunoscute, cu coeﬁcient¸iiK:







a₁₁x¹+ · · · +a_n1xⁿ = b₁ ...

a1mx¹+ · · · +anmxⁿ = bm

(3) care se poate scrie matricial sub forma:

A·X =b, (4)

unde:

A=





a₁₁ · · · a_n1 ... ... a1m · · · anm



∈ Mm,n(K), X=



 x¹ ... xⁿ



∈ Mn,1(K),

b=



 b1

... bm



∈ Mm,1(K).

(5)

Prin scrierea matricialˇa, mult¸imea solut¸iilor unui sistem de ecuat¸ii liniare de mecuat¸ii ¸si nnecunoscute poate ﬁ consideratˇa ca o submult¸ime a mult¸imii de matriciMn,1(K), (mult¸imea matricilor cu nlinii, unde neste numˇarul de necunoscute, ¸si o coloanˇa, cu elemente dinK).

Propozit¸ia 9 FieA·X =bun sistem compatibil de ecuat¸ii liniare, unde A∈ Mm,n(K),X ∈ Mn,1(K)¸si b∈ Mm,1(K).

Atunci mult¸imea solut¸iilor sistemului dat este o subvarietate liniar˘a a spat¸iului vectorialMn,1(K), care are ca subspat¸iu vectorial director subspat¸iul vectorial al solut¸iilor sistemului omogen asociat A·Z= 0m.

3 Sisteme de vectori

3.1 Dependent ¸ˇ a ¸ si independent ¸ˇ a liniarˇ a

FieV unK-spat¸iu vectorial. O mult¸imeS⊂V se nume¸stesistem de vectori. Spunem c˘a un sistem de vectoriS⊂V este liniar independent dacˇa din orice combinat¸ie liniarˇa nulˇa cu elemente dinS

(α1v¯1+· · ·+αn¯vn= ¯0 cu α1, . . . , αn∈K ¸si ¯v1,. . ., ¯vn∈S) rezultˇa c˘a tot¸i coeﬁcient¸ii sunt nuli (α1=· · ·=αn= 0).

Exemplu. Dac˘a ¯v∈V\{¯0} este un vector nenul, atunci mult¸imea S={v¯} este liniar independent˘a, deoareceα·¯v= ¯0, α∈K¸si ¯v6= 0 ⇒α= 0.

O mult¸imeS⊂V se spune cˇa esteliniar dependentˇadacˇa nu este liniar independentˇa. Aceasta revine la condit¸ia cˇa existˇa o combinat¸ie liniarˇa nulˇa cu elemente dinS, ai c˘arei coeﬁcient¸i nu sunt tot¸i nuli, adicˇa existˇaα1v¯1+· · ·+αn¯vn= ¯0 cuα1, . . . , αn ∈K, nu tot¸i nuli, ¸si ¯v1,. . ., ¯vn ∈S.

Exemple.

1. O mult¸ime S ⊂ V care cont¸ine vectorul nul (¯0 ∈ S), este mult¸ime liniar dependent˘a, deoarece dac˘a ¯v ∈ S, atunci 0·¯v+ 1·¯0 = ¯0, coeﬁcient¸ii neﬁind tot¸i nuli.

2. Dac˘a ¯v ∈V este un vector ¸si α∈ K este un scalar, atunci mult¸imea S ={¯v, α·¯v} este liniar dependent˘a, deoarece α·v¯+ (−1)·(α·v) = ¯¯ 0, coeﬁcient¸ii neﬁind tot¸i nuli. Rezult˘a a¸sadar c˘a doi vectori coliniari formeaz˘a o mult¸ime liniar dependent˘a.

Propozit¸ia 10 O mult¸ime de vectoriS⊂V este liniar dependent˘a dac˘a ¸si numai dac˘a unul dintre vectori este o combinat¸ie liniar˘a a unui num˘ar ﬁnit de vectori dinS.

Propozit¸ia 11 Fie S⊂V un sistem liniar independent. Atunci:

1. Dac˘a S⁰ ⊂ S, atunci ¸si S⁰ este liniar independent (adic˘a orice

subsistem al unui sistem liniar independent este tot liniar independent).

2. Dac˘av¯1,. . .,¯vn∈S sunt diferit¸i doi cˆate doi, α1,. . .,αn∈K ¸si

¯

v=α1¯v1+· · ·+αnv¯n, atunciα1,. . .,αn sunt unic determinat¸i (adic˘a coeﬁcient¸ii prin care un vector este o combinat¸ie liniar˘a a unor vectori liniar independent¸i dat¸i, sunt deternminat¸i ˆın mod unic).

Un sistem de vectoriS ⊂V se spune cˇa estesistem de generatori pentruV dacˇa acoperirea sa liniarˇa coincide cu ˆıntreg spat¸iul vectorialV, adicˇaL(S) =V.

Un sistem de vectoriB ⊂V se spune cˇa estebazˇaa spat¸iului vectorialV dacˇa este liniar independent ¸si sistem de generatori pentruV.

FieB={¯v1, . . . ,¯vn} o baz˘a a luiV. Dacˇa ¯x=α¹¯v1+· · ·αⁿv¯n, atunci, cu propozit¸ia 11, coeﬁcient¸iiα¹, . . . , αⁿ sunt unic determinat¸i. Coeﬁcient¸iiα¹, . . . , αⁿ se numesc coordonatele vectorului ¯xˆın bazaB.

Exemple.

1. FieKⁿ=K| × · · · ×{z K}

nori

¸siK-spat¸iul vectorial (Kⁿ,+,·sc). AtunciB={e¯1, . . . ,e¯n} ⊂Kⁿ, unde

¯

e1= (1,0, . . . ,0), . . . ,e¯n = (0, . . . ,0,1),

este o baz˘a, numit˘a baza canonic˘a a spat¸iului vectorial (Kⁿ,+,·). Coordonatele unui vector ¯x= (x¹, . . . , xⁿ) =x¹e¯1+· · ·+ xⁿ¯e_n, ˆın baza canonic˘a, suntx¹, . . . , xⁿ.

2. Dac˘a corpul K are cel put¸in n+ 1 elemente (de exemplu, K poate ﬁ o mult¸ime inﬁnit˘a, cum este IR sau C0) ¸si (K_n[X],+,·sc) esteK-spat¸iul vectorial al polinoamelor de grad cel multn, atunci mult¸imea de polinoame

{1, X, X², . . . , Xⁿ} ⊂ K_n[X] formeaz˘a o baz˘a, numit˘a baza canonic˘a. Dac˘a f = a₀+a₁X +· · ·+a_nXⁿ ∈ K_n, atunci coordonatele luifˆın baza canonic˘a sunta₀, . . . , a_n.

Propozit¸ia 12 Dacˇa S={v¯1, . . . ,¯vn} ⊂V este un sistem de vectori liniar independent, atunci S ⊂ L(S) este o bazˇa a lui L(S).

Propozit¸ia 13 Fie S ={¯v1, . . . ,v¯n} ⊂ V un sistem de vectori liniar independent, x¯ = α¹v¯1+α²v¯2+· · ·αⁿv¯n ∈ L(S) ¸si 1≤k≤n. Fie sistemul de vectori S⁰={v¯1, . . . ,v¯k−1,x,¯ v¯k+1,. . . ,¯vn} ⊂ L(S).

Atunci sunt echivalente aﬁrmat¸iile:

(6)

1. S⁰ este un sistem de vectori liniar independent.

2. α^k6= 0.

3. L(S) =L(S⁰).

Propozit¸ia 14 DacˇaS={v¯₁, . . . ,v¯_n} ⊂V este un sistem de vectori liniar independent ¸si S⁰={w¯₁, . . . ,w¯_k} ⊂ L(S)este de asemenea un sistem de vectori liniar independent, atunci k≤n.

Propozit¸ia 15 Fie S ={w¯₁, . . . ,w¯_p} ⊂V un sistem de generatori pentru V. Atunci exist˘a o baz˘aB ⊂V astfel c˘a B ⊂S (adic˘a din orice sistem de generatori pentru V se poate extrage o baz˘a a lui V).

Propozit¸ia 16 Orice spat¸iu vectorial care admite un sistem ﬁnit de generatori admite o baz˘a format˘a dintr-un num˘ar ﬁnit de vectori.

ˆIn general, se poate ar˘ata c˘a orice spat¸iu vectorial admite o baz˘a. Demonstrat¸ia acestui fapt folose¸ste cuno¸stint¸e de matematic˘a superioar˘a (lema lui Zorn, echivalent˘a cu axioma alegerii).

Teorema 1 (Teorema dimensiunii) DacˇaB={¯v1, . . . ,¯vn} ⊂V este o bazˇa a luiV, atunci orice altˇa bazˇa a luiV are acela¸si num˘arnde vectori.

Num˘arul vectorilor dintr-o baz˘a a luiV se nume¸stedimensiunealuiV ¸si se noteazˇa cu dimKV, sau dimV. DacˇaV ={¯0}, atunci se define¸ste dimV = 0. Un spat¸iu vectorial care admite o bazˇa finitˇa se spune cˇa este finit dimensional. Spat¸iile vectoriale considerate ˆın continuare sunt presupuse finit dimensionale.

Spat¸iile vectoriale (Kⁿ,+,·sc) ¸si (Kn[X],+,·sc) peste K au baze cu n, respectiv n+ 1 vectori, deci au dimensiunile dimKⁿ=n¸si dimKn[X] =n+ 1.

Propozit¸ia 17 Fie W ⊂V un subspat¸iu vectorial al unui spat¸iu vectorial (ﬁnit dimensional) V. Atunci:

1. Orice baz˘a a luiW se poate completa la o baz˘a a luiV.

2. Exist˘a un subspat¸iu vectorial W⁰ ⊂ V astfel ˆıncˆat V = W ⊕W⁰ (adic˘a V este sum˘a direct˘a a subspat¸iilor vectoriale suplimentareW ¸si W⁰).

Propozit¸ia 18 DacˇadimV =n, atunci

1. orice sistem care cont¸ine nvectori liniar independent¸i formeazˇa o bazˇa ˆın V; 2. orice sistem de generatori care cont¸ine nvectori formeazˇa o bazˇa ˆın V;

3. dac˘aW ⊂V este un subspat¸iu vectorial, atunciW =V dac˘a ¸si numai dac˘adimW =n.

Propozit¸ia 19 Fie V1, V2⊂V douˇa subspat¸ii vectoriale (ﬁnit dimensionale) ale unui spat¸iu vectorialV. Atunci:

dim(V1) + dim(V2) = dim(V1∩V2) + dim(V1+V2), formul˘a cunoscut˘a sub numele de formula dimensiuniisau formula lui Grassmann.

3.2 Rangul unui sistem de vectori

Dacˇa M ⊂V este un sistem de vectori dinV, atuncirangul luiM este dimensiunea subspat¸iului vectorial generat deM (rangM = dimL(M)).

Propozit¸ia 20 Fie matricea A∈ Mm,n(K)¸si ﬁe sistemele de vectori: C ⊂ Mm,1(K), format din coloanele matricii A¸si L⊂ M1,n(K), format din liniile matriciiA. Au loc urmˇatoarele egalitˇat¸i ˆıntre rangurile sistemelor de vectoriC ,L¸si rangul matriciiA:

rangC= rangL= rangA, rezultat cunoscut sub numele de formula rangului.

Propozit¸ia 21 Fie F ={¯v₁, . . . ,v¯_k} ⊂V un sistem ﬁnit de vectori din V ¸si [F]_B matricea coordonatelor vectorilor din F ˆıntr-o bazˇa oarecare B ⊂V, cu cordonatele scrise pe coloan˘a. Atunci:

1. Rangul luiF este egal cu rangul matricii[F]_B (adic˘a rangF= rang [F]_B).

2. Rangul matricii[F]_B este k(rang [F]_B=k) dac˘a ¸si numai dac˘a vectorii dinF sunt liniar independent¸i.

(7)

3. Rangul matricii[F]_B este strict mai mic decˆatkdac˘a ¸si numai dac˘a vectorii dinF sunt liniar dependent¸i.

4. Rangul matricii[F]_B este egal cu dimensiunea luiV

(rang [F]_B= dimV) dac˘a ¸si numai dac˘a vectorii dinF formeazˇa o bazˇa (adicˇaF ⊂V este o bazˇa) a lui V. Exemplu.

Fie ¯v1= (1,−1,2), ¯v1= (−1,1,1) ¸si ¯v3= (1,1,−1)∈IR³. Matricea coordonatelor vectorilor esteA=



 1 −1 1

−1 1 1

2 1 −1



,

iar detA=−6, prin urmare rangA= 3, deci{¯v1,v¯2,v¯3} ⊂IR³formeaz˘a o baz˘a.

Datˇa o bazˇaB={¯v₁, . . . ,¯v_n} ⊂V, ﬁecˇarui vector ¯x∈V i se asociazˇa o matrice coloanˇa formatˇa din cordonatele vectorului

¯

xˆın aceastˇa bazˇa:

V 3x¯→[¯x]_B=



 x¹

... xⁿ



∈ Mn,1(K), unde ¯x=x¹¯v₁+· · ·+xⁿv¯_n.

Vom numi matricea [¯x]_B reprezentarea matricialˇaa vectorului ¯xˆın bazaB. Exemplu.

Fie baza B⁰ = {¯v1 = (1,−1,2),¯v1 = (−1,1,1),v¯3 = (1,1,−1)} ⊂ IR³. Vectorul ¯x = (2,4,1) ∈ IR³ se scrie sub forma

¯

x= 1·¯v1+ 2·v¯2+ 3·¯v3. Reprezentarea matricial˘a a lui ¯xeste [¯x]_B0 =



 1 2 3



∈ M3,1(IR).

DacˇaB={¯e1, . . . ,e¯n} ⊂V ¸si B⁰ ={f¯1, . . . ,f¯n} ⊂V sunt douˇa baze ale luiV, atunci matricea de trecere de la bazaBla bazaB⁰ este, prin deﬁnit¸ie, matricea A= (aⁱ_j)_{i,j= 1,n}, unde ¯f_j =

Pn i=1

aⁱ_je¯_i,n= dimV. Explicit,cordonatele vectorilor din baza B⁰ formeazˇa coloanele matricii A. Not˘amA= [B,B⁰].

Exemplu.

Fie baza canonic˘a

B={e¯1 = (1,0,0), ¯e2 = (0,1,0)}, ¯e3 = (0,0,1)} ⊂IR³ ¸si B⁰ ={¯v1 = (1,−1,2),v¯2 = (−1,1,1),¯v3 = (1,1,−1)} ⊂IR³ baza considerat˘a ˆın exemplele de mai sus. Matricea de trecere de la bazaBla baza B⁰ este matricea

[B,B⁰] =



 1 −1 1

−1 1 1

2 1 −1



.

Propozit¸ia 22 Fie B,B⁰ ⊂V dou˘a baze. Pentru un vector x¯ ∈V, ˆıntre reprezentˇarile sale matriciale ˆın cele douˇa baze ¸si matricea de trecere existˇa relat¸ia:

[¯x]_B= [B,B⁰]·[¯x]_B₀. (5)

Dacˇan= dimV,B={¯ei}i=1,n,B⁰={f¯j}j=1,n,x¯=x¹¯e1+· · ·+xⁿe¯n=

=y¹f¯1+· · ·+yⁿf¯n ¸si ¯ei= Pn j=1

a^j_if¯j,(∀)i= 1, n, atunci:



 x¹

... xⁿ



=





a¹₁ · · · a¹_n ... ... aⁿ₁ · · · aⁿ_n



·



 y¹

... yⁿ



. (6)

Exemplu. Vectorul ¯x= (2,4,1)∈IR³ , are reprezent˘arile matriciale [¯x]_B=



 2 4 1



ˆın baza canonic˘a

B ={¯e1 = (1,0,0), ¯e2 = (0,1,0), ¯e3= (0,0,1)} ⊂IR³ ¸si [¯x]_B0 =



 1 2 3



ˆın bazaB⁰ ={¯v1= (1,−1,2), ¯v2 = (−1,1,1),¯v3 =

(1,1,−1)} ⊂ IR³. Matricea de trecere de la baza B la baza B⁰ este [B,B⁰] =



 1 −1 1

−1 1 1

2 1 −1



. ˆIntr-adev˘ar, [x]_B =

[B,B⁰][x]_B0, pentru c˘a



 2 4 1



=



 1 −1 1

−1 1 1

2 1 −1







 1 2 3



.

(8)

Propozit¸ia 23 FieV unK-spat¸iu vectorial de dimensiunen. Dac˘aB,B⁰ sunt dou˘a baze ale sale, matricea de trecere[B,B⁰], de la bazaBla bazaB⁰, este o matrice inversabil˘a, inversa sa ﬁind[B⁰,B]. Reciproc, dac˘aBeste o baz˘a a luiV ¸siA∈ Mn(K) este o matrice inversabil˘a, atunci exist˘a o baz˘aB⁰ astfel ˆıncˆat[B,B⁰] =A.

Fiind dat˘a o baz˘aB, s˘a observ˘am c˘a matricea unitateI_n poate ﬁ considerat˘a dreptI_n = [B,B] (adic˘a matricea de trecere care las˘a baza neschimbat˘a).

Propozit¸ia 24 Fie B,B⁰ ¸si B⁰⁰ trei baze ale unui spat¸ie vectorialV. Atunci are loc egalitatea matricial˘a:

[B,B⁰]·[B⁰,B⁰⁰] = [B,B⁰⁰].

Dacˇa B={e¯₁, . . . ,e¯_n} ⊂V ¸si B⁰={f¯₁, . . . ,f¯_n} ⊂V sunt douˇa baze ale unui spat¸iu vectorial realV, atunci:

1. Dac˘a det[B,B⁰]>0, atunci se spune c˘a bazeleB¸siB⁰ suntla fel orientate;

2. Dac˘a det[B,B⁰]<0, atunci se spune c˘a bazele B¸siB⁰ suntinvers orientate.

Propozit¸ia 25 Pe mult¸imea tuturor bazelor unui spat¸iu vectorial realV, relat¸ia ,,B ∼ B⁰ dac˘aB ¸si B⁰ sunt la fel orientate (adic˘adet[B,B⁰]>0)” este o relat¸ie de echivalent¸˘a.

Mult¸imea tuturor bazelor se scrie ca reuniunea a dou˘a clase de echivalent¸˘a; dou˘a baze din aceea¸si clas˘a sunt la fel orientate, iar dou˘a baze din clase diferite sunt invers orientate.

De exemplu, ˆınIR², dac˘a se iau bazeleB0={¯e1= (1,0), ¯e2= (0,1)}¸siB1={f¯1= (1,0), ¯f2= (0,−1)}, atunci cele dou˘a baze nu sunt echivalente, pentru c˘a [B0,B1] =

µ 1 0 0 −1

¶

, det[B0,B1] =−1, deciB0¸siB1 determin˘a dou˘a clase diferite.

3.3 Lema substitut ¸iei

Propozit¸ia 26 (Lema substitut¸iei) Fie B ={e¯1, . . . ,¯en} o bazˇa a unui K-spat¸iu vectorial V, doi vectorix¯0 =x¹₀e¯1+· · ·+ xⁿ₀¯en∈V ¸si

¯

x=x¹¯e₁+· · ·+xⁿe¯_n∈V ¸si un indice i₀∈ {1, . . . , n}. Atunci

1. Mult¸imea B⁰={e¯₁, . . .¯e_i₀₋₁,x¯₀,e¯_i₀₊₁,¯e_n}este o bazˇa a lui V dacˇa ¸si numai dacˇaxⁱ₀⁰ 6= 0.

2. Dacˇaxⁱ₀⁰6= 0 ¸si

¯

x=y¹e¯1+· · ·+yⁱ⁰⁻¹¯ei₀−1+yⁱ⁰x¯0+yⁱ⁰⁺¹¯ei₀+1+· · ·+yⁿe¯n este scrierea vectoruluix¯ˆın baza B⁰, atunci:

yⁱ⁰ = xⁱ⁰

xⁱ₀⁰, yⁱ=xⁱxⁱ₀⁰−xⁱ₀xⁱ⁰ xⁱ₀⁰ =

¯¯¯¯ xⁱ₀⁰ xⁱ⁰ xⁱ₀ xⁱ

¯¯¯¯

xⁱ₀⁰ , (∀)i6=i0.

Numˇarulxⁱ₀⁰ se nume¸stepivot, iar regula de calcul a cordonateloryⁱ,i6=i₀, se nume¸steregula dreptunghiului, deoarece din tabelul cordonatelor vectorilor:

¯

x0 x¯

¯

e₁ x¹₀ x¹ ... ... ...

¯

e_i₀₋₁ x¯ⁱ₀⁰⁻¹ x¯ⁱ⁰⁻¹

iese din baz˘a

← e¯i₀ xⁱ₀⁰ xⁱ⁰

¯

e_i₀₊₁ x¯ⁱ₀⁰⁺¹ x¯ⁱ⁰⁺¹ ... ... ...

¯

e_i xⁱ₀ xⁱ ... ... ...

¯

e_n xⁿ₀ xⁿ :

xⁱ₀⁰ xⁱ⁰ .&

xⁱ₀ xⁱ

se observ˘a c˘a yⁱ, care va lua locul lui xⁱ, se obt¸ine ca rezultat al sc˘aderii produselor xⁱxⁱ₀⁰ −xⁱ₀xⁱ⁰ (al elementelor aﬂate ˆın colt¸urile dreptunghiului din dreapta), ˆımp˘art¸it la pivolulxⁱ₀⁰.

Se obt¸ine:

(9)

¯

x₀ x¯

¯

e1 0 y¹=^x¹^x

i0 0 −x¹₀xⁱ⁰

xⁱ₀⁰

... ... ...

¯

ei₀−1 0 yⁱ⁰⁻¹= ^xⁱ⁰⁻¹^x

i0

0 −xⁱ₀⁰⁻¹xⁱ⁰ xⁱ₀⁰

¯

x₀ 1 yⁱ⁰ =^xⁱ⁰

xⁱ₀⁰

¯

ei₀−1 0 yⁱ⁰⁺¹=^xⁱ^{0 +1}^x

i0

0 −xⁱ₀^{0 +1}xⁱ⁰ xⁱ₀⁰

... ... ...

¯

ei 0 yⁱ= ^xⁱ^x

i0 0 −xⁱ₀xⁱ⁰

xⁱ₀⁰

... ... ...

¯

en 0 yⁿ =^xⁿ^x

i0 0 −xⁿ₀xⁱ⁰

xⁱ₀⁰

Vom prezenta ˆın continuare cˆateva aplicat¸ii ale lemei substitut¸iei.

3.3.1 Determinarea rangului unui sistem de vectori

Exemplu. Fie vectorii ¯v1= (1,2,−1), ¯v2= (1,−1,1), ¯v3= (2,1,0), ¯v4= (0,3,−2)∈IR³.

¯

v1 v¯2 v¯3 v¯4

¯

e₁ 1 1 2 0

¯

e₂ 2 −1 1 3

¯

e3 −1 1 0 −2

¯

v1 1 1 2 0

¯

e2 0 −3 −3 3

¯

e₃ 0 2 2 −2

¯

v1 1 0 1 1

¯

v2 0 1 1 −1

¯

e3 0 0 0 0

S-au f˘acut dou˘a ˆınlocuiri, deci rangul sistemului{v¯1,¯v2,v¯3,v¯4} ⊂IR⁴este 2 ¸si L({v¯1,¯v2}) =L({¯v1,v¯2,¯v3,v¯4}).

3.3.2 Rezolvarea unui sistem de ecuat¸ii liniare Exemple.

1. Sistemul urm˘ator este incompatibil:





x¹ −x² +x³ = 0 x¹ +x² +x³ = 6 3x¹ +x² +3x³ = 1

. Avem:

¯

c1 c¯2 c¯3 ¯b

¯

e1 1 −1 1 0

¯

e2 1 1 1 6

¯

e₃ 3 1 3 1

¯

c1 1 −1 1 0

¯

e2 0 2 0 6

¯

e3 0 4 0 1

¯

c₁ 1 0 1 3

¯

c₂ 0 1 0 3

¯

e₃ 0 0 0 −11

⇔





x¹ +x³ = 3

x² = 3

0 = 11

Sistemul este incompatibil, pentru c˘a−116= 0. Justiﬁcarea este urm˘atoarea: ¯b= 3¯c₁+ 3¯c₂−11¯e₂, iar{¯c₁,¯c₂} ⊂ L({¯c₁,¯c₂,c¯₃}) este baz˘a, deci ¯b /∈ L({c¯₁,c¯₂,¯c₃}).

2. Sistemul urm˘ator este compatibil:





2x¹ −x² +x³ = 3 x¹ +2x² +x³ = 6 3x¹ +x² +2x³ = 9

.

(10)

Sistemul este compatibil, pentru c˘a ¯b∈ L({¯c1,c¯2}). Sistemul, ˆın forma simpliﬁcat˘a, din care putem scrie solut¸iile, se scrie:







x¹ +3

5x³ =12 5 +x² +1

5x³ = 9 5

,

deci mult¸imea solut¸iilor este{(−3 5α+12

5 ,−1 5α+9

5, α)|α∈IR}. Necunoscutax³este necunoscut˘a secundar˘a ¸si necunoscutele x¹ ¸six² sunt necunoscute principale.Urmeaz˘a tabelul:

¯

c₁ ¯c₂ c¯₃ ¯b

¯

e1 2 −1 1 3

¯

e2 1 2 1 6

¯

e3 3 1 2 9

¯

c1 1 −1 2

1 2

3 2

¯ e2 0

5

2 1

2 9 2

¯

e3 0 5

2 1 2

9 2

¯

c₁ 1 0 3

5 12

5

¯

c₂ 0 1 1

5 9

¯ 5

e3 0 0 0 0

3.3.3 Calcularea inversei unei matrici

Exemplu. S˘a se determine inversa matriciiA=



 1 −1 1

−1 1 0

1 0 −1



.

¯

c1 c¯2 c¯3 e¯1 e¯2 e¯3

¯

e₁ 1 −1 1 1 0 0

¯

e₂ −1 1 0 0 1 0

¯

e3 1 0 −1 0 0 1

¯

c1 1 −1 1 1 0 0

¯

e2 0 0 1 1 1 0

¯

e3 0 1 −2 −1 0 1

¯

c₁ 1 −1

2 0 1

2

¯ e₂ 0

1

2 0 1

2 1 1

2

¯

c₃ 0 −1

2 1 1

2 0 −1

2

¯

c1 1 0 0 1 1 1

¯

c2 0 1 0 1 2 1

¯

c3 0 0 1 1 1 0

⇒A⁻¹=



 1 1 1 1 2 1 1 1 0



 .

ˆIntr-adev˘ar,

 1 −1 1

−1 1 0

1 0 −1







 1 1 1 1 2 1 1 1 0



=



 1 1 1 1 2 1 1 1 0







 1 −1 1

−1 1 0

1 0 −1



=



 1 0 0 0 1 0 0 0 1



.

4 Aplicat ¸ii liniare ˆıntre dou˘ a spat ¸ii vectoriale

FieV ¸siW dou˘a spat¸ii vectoriale peste acela¸si corpK.

O aplicat¸ief :V →W se nume¸steaplicat¸ie liniar˘a dac˘a are proprietatea c˘a f(α¯x+βy) =¯ αf(¯x) +βf(¯y), (∀)¯x,y¯∈V ¸si (∀)α, β∈K. Not˘am cuL(V, W) ={f :V →W|f aplicat¸ie liniar˘a}.

De exemplu, dac˘aV =Mn,1(K),W =Mm,1(K) ¸siA∈ Mm,n(K), atunci aplicat¸iaf :Mn,1(K)→ Mm,1(K) definit˘a prin f(X) =A·X, este o aplicat¸ie liniar˘a. Într-adev˘ar, t¸inând seama de propriet˘at¸ile operat¸iilor cu matrici, avemf(αX+βY) = αf(X) +βf(Y)⇔

A·(αX+βY) =α(A·X) +β(A·Y), (∀)X, Y ∈ Mn,1(K) ¸siα, β∈K, ceea ce este, evident, adev˘arat.