Construct¸ii geometrice

(1)

Construct¸ii geometrice

Paul A. Blaga

(2)

(3)

Cuprins

I Construct¸ii geometrice: Axiomatic˘a s¸i metode de rezolvare a proble-

melor 7

1 Generalit˘at¸i despre teoria construct¸iilor geometrice 9

1.1 Introducere . . . 9

1.2 Teoria general˘a a construct¸iilor geometrice ˆın planul euclidian . . . 10

1.2.1 Axiomele generale ale geometriei constructive . . . 10

1.3 Instrumente utilizate ˆın construct¸iile geometrice . . . 13

1.3.1 Rigla . . . 14

1.3.2 Compasul . . . 14

1.3.3 Rigla cu dou˘a muchii . . . 16

1.3.4 Echerul . . . 16

1.3.5 Construct¸ii fundamentale . . . 17

1.3.6 Problema de construct¸ie . . . 18

1.4 Probleme elementare de construct¸ii geometrice . . . 22

1.5 Metodica rezolv˘arii problemelor de construct¸ii geometrice . . . 26

1.5.1 Analiza . . . 27

1.5.2 Construct¸ia . . . 29

1.5.3 Demonstrat¸ia . . . 29

1.5.4 Discut¸ia . . . 30

1.6 Exemple de probleme de construct¸ii rezolvate . . . 30

2 Locuri geometrice 39 2.1 Not¸iunea de loc geometric . . . 39

2.2 O provizie de locuri geometrice . . . 43

2.3 O select¸ie a unor locuri geometrice foarte simple . . . 47 3

(4)

2.4 Metodica rezolv˘arii problemelor de loc geometric . . . 48

2.5 Metode analitice . . . 53

2.6 Intersect¸ii de locuri geometrice . . . 55

3 Transform˘ari geometrice 61 3.1 Introducere . . . 61

3.2 Translat¸ia . . . 61

3.2.1 Exemple de probleme de construct¸ii rezolvate cu ajutorul translat¸iei 62 3.3 Simetria axial˘a . . . 65

3.3.1 Not¸iuni teoretice . . . 65

3.3.2 Probleme de construct¸ii rezolvate folosind simetria axial˘a . . . 66

3.4 Rotat¸ia fat¸˘a de un punct . . . 70

3.4.2 Probleme de construct¸ii rezolvate folosind rotat¸ia fat¸˘a de un punct 71 3.5 Omotetia . . . 74

3.5.2 Aplicat¸ii ale omotetiei la rezolvarea problemelor de construct¸ii geometrice . . . 75

3.6 Inversiunea . . . 78

3.6.2 Aplicat¸ii ale inversiunii la rezolvarea problemelor de construct¸ii geometrice . . . 80

II Constructibilitate cu rigla s¸i compasul 83 4 Fundamentele teoriei constructibilit˘at¸ii 85 4.1 Puncte constructibile s¸i numere constructibile . . . 85

4.2 Modalit˘at¸i elementare de construire a unor obiecte constructibile . . . . 87

4.3 Corpul numerelor constructibile . . . 88

4.4 Caracterizarea numerelor constructibile . . . 90

4.4.1 Extinderi de corpuri . . . 90

4.5 Teorema (sau rezultatul) lui Wantzel . . . 92

4.6 Aplicat¸ii ale rezultatului lui Wantzel . . . 97

4.6.1 Cuadratura cercului . . . 97

4.6.2 Dublarea cubului . . . 97

4.6.3 Trisect¸iunea unghiului . . . 98

5 Poligoane regulate 101 5.1 Poligoane regulate constructibile . . . 101

5.2 Teorema lui Gauss . . . 102

5.3 Construct¸ii de poligoane regulate . . . 105

(5)

Cuprins 5 5.3.1 Triunghiul echilateral, p˘atratul, pentagonul regulat . . . 105 5.3.2 Poligonul cu 15 laturi . . . 106

A Transcendent¸a num˘arului 109

(6)

(7)

Partea I

Construct¸ii geometrice: Axiomatic˘a s¸i metode de rezolvare a

problemelor

7

(8)

(9)

CAPITOLUL 1

Generalit ˘at¸i despre teoria construct¸iilor geometrice

1.1 Introducere

Problemele de construct¸ii geometrice (de regul˘a executate cu rigla s¸i compasul – vom vedea mai tˆarziu care este semnificat¸ia acestor instrumente) se afl˘a, de peste dou˘a mii de ani, printre problemele esent¸iale ale geometriei elementare (sau, dac˘a preferat¸i, “sinte- tice”).

Se consider˘a c˘a cel care a fixat cele dou˘a instrumente canonice a fost Platon, des¸i dovezile cam lipsesc (des¸i mare parte din opera filozofului s-a p˘astrat, nu exist˘a ment¸iuni explicite ˆın ea la problemele de construct¸ii geometrice). Cartea care a “popularizat” problemele de construct¸ii geometrice este, f˘ar˘a ˆındoial˘a, cartea care st˘a la baza geometriei elementare s¸i ˆın zilele noastre,Elementelelui Euclid.

Nu intent¸ion˘am s˘a d˘am o “definit¸ie” foarte precis˘a a unei probleme de construct¸ii geometrice. Conform lui Euclid ˆınsus¸i, o problem˘a de construct¸ii geometrice este una ˆın care se dau o serie de elemente geometrice (pe care le vom numi figuri) s¸i se cere s˘a se construiasc˘a o serie de alte figuri geometrice, de regul˘a impunˆandu-se restrict¸ii asupra instrumentelor care sunt admise pentru realizarea construct¸iei.

C˘art¸ile vechi, ˆın special, dar s¸i multe dintre c˘art¸ile moderne, omit anumite preciz˘ari, care sunt absolut esent¸iale.

(i) A “rezolva” o problem˘a de construct¸ii geometrice nu ˆınseamn˘a, neap˘arat, s˘a de- senezi figurile cerute pe foaia de desen, ci s˘a furnizezi un algoritm prin care orice punct al figurii sau figurilor de desenat s˘a poat˘a fi desenat.

(ii) Problemele de construct¸ii geometrice sunt probleme “finite”: atˆat figurile date, cˆat 9

(10)

s¸i cele ce trebuie construite trebuie s˘a fie ˆın num˘ar finit. De asemenea, algoritmul furnizat pentru construct¸ie trebuie s˘a aib˘a un num˘ar finit de pas¸i.

Înc˘a din antichitate a devenit clar c˘a fixarea setului de instrumente de construct¸ie reprezint˘a o restrict¸ie foarte important˘a. Des¸i nu au fost capabili s˘a demonstreze acest fapt, mult¸i dintre marii matematicienii greci au ˆınt¸eles c˘a anumite construct¸ii geometrice (altminteri foarte “simple”: cuadratura cercului, trisect¸iunea unghiului, dublarea cubului) nu se pot realiza utilizând doar rigla negradat˘a s¸i compasul (des¸i ele pot fi realizate utilizând s¸i alte instrumente).

Abia Gauss a fost capabil s˘a stabileasc˘a ˆın ce condit¸ii o problem˘a de construct¸ii geometrice cu rigla s¸i compasul se poate, efectiv, rezolva.

De regul˘a, rezolvarea unei probleme de construct¸ii geometrice presupune, pe lˆang˘a elaborarea algoritmului de construct¸ie, demonstrarea corectitudinii acestui algoritm s¸i o discut¸ie a diferitelor situat¸ii speciale care pot ap˘area (de exemplu, solut¸iile multiple, ˆıntrucˆat rezolvarea unei probleme de construct¸ii geometrice ˆınseamn˘a determinareatu- turorsolut¸iilor posibile).

1.2 Teoria general˘a a construct¸iilor geometrice ˆın planul eu- clidian

1.2.1 Axiomele generale ale geometriei constructive

ˆIn acest curs, prin geometrie constructiv˘aˆınt¸elegem, f˘ar˘a a ˆıncerca s˘a d˘am o definit¸ie extrem de precis˘a, acea partea a geometriei elementare care se ocup˘a cu construct¸iile geometrice. Vom prezenta un sistem axiomatic minimal, preluat din [1] care, ˆın sti- lul caracteristic al acestei abord˘ari, ment¸ioneaz˘a care sunt elementele primare s¸i care sunt axiomele care leag˘a ˆıntre ele elementele nedefinite. Axiomele descrise ˆın aceast˘a sect¸iune nu au de-a face cu nici un instrument particular. Axiomele principalelor instrumente (care precizeaz˘a ce construct¸ii sunt posibile cu un anumit tip de instrument) vor fi tratate ˆıntr-o sect¸iune separat˘a.

Obiectul fundamental cu care vom lucra ˆın acest curs este acela defigur˘a geometric˘a.

O figur˘a geometric˘a este orice mult¸ime nevid˘a de puncte. Astfel, figurile geometrice cu care vom lucra cel mai frecvent vor fi: puncte, segmente de dreapt˘a, semidrepte, drepte, arce de cerc s¸i cercuri. Figurile geometrice vor fi notate, de regul˘a, cu majuscule greces¸ti:

ˆ1; ˆ2; : : :.

Vom spune c˘a o figur˘a geometric˘aˆ1este opartea unei figuri geometriceˆ2dac˘a, privite ca mult¸imi de puncte, avemˆ1 ˆ2.

Presupunem c˘a toate figurile geometrice pe care le vom ˆıntˆalni sunt cont¸inute ˆıntr- un acelas¸i plan (care este, evident, s¸i el o figur˘a geometric˘a), pe care ˆıl vom numiplan fundamental.

(11)

1.2. Teoria general˘a a construct¸iilor geometrice ˆın planul euclidian 11 Toate operat¸iile care se execut˘a cu mult¸imi (reuniune, intersect¸ie, diferent¸˘a) se pot executa, ˆın egal˘a m˘asur˘a, s¸i cu figuri geometrice, ˆıntrucˆat, la urma urmei, figurile geometrice sunt cazuri particulare de mult¸imi, ale c˘aror elemente sunt, dup˘a cum am v˘azut, puncte.

ˆIn particular, operat¸iile cu mult¸imi pot fi utilizate pentru a defini noi figuri geometrice. Fie, de exemplu, punctele distincte din planul fundamentalA1; A2; : : : ; An, unde n3este un num˘ar natural. Vom numipoligon cunlaturifigura geometric˘a

A1A2[A2A3[ [An 1An[AnA1:

Aici, fires¸te, cuAiAiC1not˘am segmentul de dreapt˘a determinat de cele dou˘a puncte¹. Axioma I. Planul fundamental este construit.

Axioma II. Dac˘a dou˘a figuri sunt construite, atunci se poate stabili dac˘a diferent¸˘a lor este mult¸imea vid˘a sau nu.

Axioma III. Dac˘a diferent¸a a dou˘a figuri construite este nevid˘a, atunci aceast˘a diferent¸˘a este, de asemenea, construit˘a.

Axioma IV. Dac˘a sunt construite dou˘a figuri cu intersect¸ia nevid˘a, atunci se poate construi cel put¸in un punct din aceast˘a intersect¸ie.

Vom demonstra acum o serie de rezultate care rezult˘a direct din aceste axiome.

Propozit¸ia 1.1. Dac˘a dou˘a figuri sunt construite, se poate stabili dac˘a diferent¸a lor este mult¸imea vid˘a sau nu.

Demonstrat¸ie. S˘a presupunem c˘a figurileˆ1 s¸iˆ2sunt construite. FieS1 Dˆ1nˆ2

– diferent¸a celor dou˘a figuri. Este clar c˘aS1se poate reprezenta s¸i sub forma S1 Dˆ1n.ˆ1\ˆ2/ ;

de unde rezult˘a c˘a

ˆ1DS1[.ˆ1\ˆ2/ :

Dac˘a figurileˆ1s¸iˆ2sunt construite, atunci, ˆın virtutea axiomei II, putem spune dac˘a diferent¸a lor,S1, este vid˘a sau nu. Dac˘aS1D ;, atunci, ˆın mod evident,ˆ1\ˆ2 Dˆ1, deci aceast˘a intersect¸ie este nevid˘a, ˆıntrucˆat orice figur˘a geometric˘a trebuie s˘a cont¸in˘a cel put¸in un punct.

Dac˘a, ˆın schimb,S₁ ¤ ;, atunci, ˆın virtutea axiomei III, aceast˘a figur˘a se consider˘a construit˘a iar, ˆın virtutea axiomei II, putem spune dac˘a diferent¸a ˆ1nS1 este vid˘a sau nu. Darˆ1nS1 ˆ1\ˆ2, ceea ce ˆıncheie demonstrat¸ia.

1Nu se presupune c˘a poligonul este simplu, prin urmare, el poate avea auto-intersect¸ii

(12)

Propozit¸ia 1.2. Dac˘a dou˘a figuri sunt construite, iar intersect¸ia lor este nevid˘a, atunci aceast˘a intersect¸ie se poate presupune construit˘a.

Demonstrat¸ie. Fieˆ1s¸iˆ2cele dou˘a figuri construite. Atunci ˆ1\ˆ2 Dˆ1n.ˆ1nˆ2/ ; iar figura din membrul drept este construit˘a, conform axiomei III.

Propozit¸ia 1.3. Dac˘a sunt construite dou˘a figuri, atunci s¸i reuniunea lor este construit˘a.

Demonstrat¸ie. Fieˆ1s¸iˆ2cele dou˘a figuri construite. Not˘am cu…planul fundamental. Dac˘a una dintre figuri coincide cu planul fundamental, atunci reuniunea lor este egal˘a cu acesta, care este deja construit (axiom I).

S˘a presupunem acum c˘a nici una dintre cele dou˘a figuri construite nu coincide cu planul fundamental. Atunci, ˆın virtutea axiomei III, sunt construite s¸i figurile F1 D

…nˆ1s¸iF2D…nˆ2.

Utiliz˘am acum identitateaˆ1 [ˆ2 D …n.F1\F2/. Dac˘a intersect¸ia este vid˘a, atunciˆ1[ˆ2 D…, deci reuniunea este construit˘a ˆın virtutea axiomei I. Dac˘a, dim- potriv˘a, F1 \F2 ¤ ;, atunci aceast˘a intersect¸ie, dup˘a cum am v˘azut mai sus, este construit˘a, iarˆ1[ˆ2este construit˘a ˆın virtutea axiomei III.

Propozit¸ia 1.4. Dac˘a sunt construite dou˘a figuri, iarn este un num˘ar natural (nenul) oarecare, atunci ˆıntotdeauna se poate stabili dac˘a intersect¸ia celor dou˘a figuri cont¸ine cel put¸innpuncte sau cont¸ine mai put¸ine.

Demonstrat¸ie. Remarc˘am, ˆınainte de toate c˘a, ˆın conformitate cu consecint¸a 1.1, date fiind dou˘a figuri construite ˆ1 s¸i ˆ2, se poate stabili ˆıntotdeauna dac˘a intersect¸ia lor, ˆ1\ˆ2, este vid˘a sau nu.

În primul caz, consecint¸a este, ˆın mod evident, demonstrat˘a. În cel de-al doilea caz, ˆın virtutea axiomei IV, se poate construi un punctP⁰al intersect¸ieiˆ1\ˆ2. Apoi, ˆın virtutea axiomei II, se poate stabili dac˘a mult¸imileˆ⁰₁Dˆ1n fP⁰gs¸iˆ⁰₂ Dˆ2n fP⁰g sunt sau nu nevide s¸i, prin urmare, s¸i dac˘a ˆ⁰₁ \ˆ⁰₂ este vid˘a sau nu. Dac˘a aceast˘a intersect¸ie este vid˘a, ˆınseamn˘a c˘aˆ1s¸iˆ2au un singur punct comun, anumeP⁰. Dac˘a, ˆın schimb, ˆ⁰₁ \ˆ⁰₂ ¤ ;, atunci, ˆın virtutea axiomei IV, se poate construi cel put¸in un punct, fie elP⁰⁰, care apart¸ine atât luiˆ⁰₁, cât s¸i luiˆ⁰₂. Este clar atunci, din modul de construct¸ie, c˘a punctele P⁰s¸iP⁰⁰apart¸ine atât luiˆ₁, cât s¸i luiˆ₂, prin urmare am reus¸it s˘a construim dou˘a puncte comune celor dou˘a figuri. Consider˘am acum figurile

ˆ⁰⁰₁Dˆ1n fP⁰; P⁰⁰g; s¸i ˆ⁰⁰₂ Dˆ2n fP⁰; P⁰⁰g:

Din nou, fie intersect¸ia lor este mult¸imea vid˘a, s¸i atunci ˆ1 s¸iˆ2 au ˆın comun numai dou˘a puncte, adic˘a P⁰ s¸iP⁰⁰, fie este nevid˘a, iar atunci se poate construi un al treilea punct comun al figurilorˆ1s¸iˆ2.

(13)

1.3. Instrumente utilizate ˆın construct¸iile geometrice 13 Repetˆand acest rat¸ionament, dup˘a un num˘ar finit de pas¸i, putem r˘aspunde la ˆıntrebarea dac˘a intersect¸iaˆ1\ˆ2cont¸inea sau nu cel put¸innpuncte distincte. Astfel, consecint¸a este demonstrat˘a.

Propozit¸ia 1.5. Se poate construi orice num˘ar finit de puncte comune a dou˘a figuri construite, dac˘a astfel de puncte exist˘a.

Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezult˘a, ˆın mod direct, din demonstrat¸ia consecint¸ei prece- dente.

Propozit¸ia 1.6. Se poate construi un punct care s˘a apart¸in˘a unei figuri construite.

Demonstrat¸ie. Fie ˆo figur˘a construit˘a. Reprezent˘am figura ˆ ca intersect¸ie a dou˘a figuri: ˆ1 D ˆ s¸i ˆ2 D ˆ. Atunci, ˆın mod evident, ˆ D ˆ1 \ˆ2. Cum, conform axiomei IV, se poate construi un punct comun a dou˘a figuri date, afirmat¸ia este demonstrat˘a.

Propozit¸ia 1.7. Dac˘a este construit˘a o figur˘a care nu coincide cu ˆıntregul plan fundamental, atunci se poate construi un punct din planul fundamental care, ˆın mod evident, nu apart¸ine figurii construite.

Demonstrat¸ie. S˘a presupunem c˘a ˆın planul fundamental s-a construit o figur˘a ˆ, care nu coincide cu ˆıntregul plan. Atunci, ˆın virtutea axiomelor I s¸i III, se poate considera construit˘a s¸i figura…nˆ. ˆIn virtutea consecint¸ei 1.6, se poate construi un punct care s˘a apart¸in˘a figurii…nˆ, adic˘a s˘a nu apart¸in˘a figuriiˆ.

1.3 Instrumente utilizate ˆın construct¸iile geometrice

Cele mai importante instrumente utilizate ˆın construct¸iile geometrice sunt urm˘atoarele patru:

(i) rigla (cu o singur˘a muchie);

(ii) compasul;

(iii) rigla cu dou˘a muchii (cu laturile paralele);

(iv) echerul.

Aceste instrumente se utilizeaz˘a fie ˆın mod individual, fie ˆın diferite combinat¸ii. De regul˘a, dac˘a ˆın formularea unei probleme de construct¸ii geometrice nu se precizeaz˘a instrumentele ce trebuie utilizate, se presupune c˘a aceste instrumente sunt rigla cu o singur˘a muchie s¸i compasul.

(14)

1.3.1 Rigla

Rigla, ˆın sensul utilizat ˆın teoria construct¸iilor geometrice, este un instrument abstract.

Ea este, ˆın esent¸˘a, un instrumentde formaunei rigle, de tipul celor utilizate la desen, cu urm˘atoarele preciz˘ari:

1. doar una dintre cele dou˘a muchii ale sale se consider˘a dreapt˘a, cealalt˘a putˆand avea orice form˘a;

2. rigla nu este gradat˘a;

3. l˘at¸imea riglei nu este important˘a;

4. lungimea riglei poate fi oricât de mare (ˆıntrucât, dup˘a cum vom vedea mai jos, folosind o singur˘a dat˘a rigla, se pot uni oricare dou˘a puncte ale planului, indiferent cât de ˆındep˘artate ar fi unele de altele).

Iat˘a de ce trebuie s˘a facem o distinct¸ie net˘a ˆıntreconstruct¸iile geometrice, ˆın care trebuie doar s˘a descriem modul de construire a unei figuri s¸idesenul geometric, ˆın care aceste figuri trebuie desenate ˆın mod practic s¸i ˆın care caracteristicileconcreteale instrumentelor geometrice sunt esent¸iale. Urm˘atoarea axiom˘a precizeaz˘a construct¸iile elementare ce se pot realiza cu ajutorul unei rigle:

Axioma A(Axioma riglei). Cu rigla se pot efectua urm˘atoarele construct¸ii geometrice:

a) construirea unui segment care unes¸te dou˘a puncte construite;

b) construirea unei drepte care trece prin dou˘a puncte construite;

c) construirea unei semidrepte care pleac˘a dintr-un punct construit s¸i trece printr-un alt punct construit.

1.3.2 Compasul

Compasul utilizat ˆın construct¸iile geometrice poate fi de dou˘a tipuri:

1. compasul colapsant;

2. transportatorul de segmente.

Cu primul tip de compas se poate construi doar un cerc sau un arc de cerc. Imediat ce se ridic˘a de pe hˆartie, cele dou˘a brat¸e ale sale cad unul peste cel˘alalt (“colapseaz˘a”). De aceea, cu acest instrument, nu este posibil s˘a construim dou˘a cercuri de aceeas¸i raz˘a sau s˘a determin˘am, pe o dreapt˘a dat˘a, un segment de dreapt˘a de lungime egal˘a cu cea a unui segment dat (adic˘a s˘a “transport˘am segmentul”).

(15)

1.3. Instrumente utilizate ˆın construct¸iile geometrice 15 Cel de-al doilea compas este cel pe care ˆıl s¸tim din s¸coal˘a. Cu el se pot executa operat¸iile imposibile pentru cel˘alalt tip de compas. Este interesant c˘a, dup˘a cum vom vedea imediat, cele dou˘a tipuri de compase sunt, de fapt, echivalente (cu alte cuvinte, cu un compas colapsant se pot realiza toate construct¸iile realizabile cu un transportator de segmente).

Trebuie s˘a ment¸ion˘am s¸i aici, ca s¸i ˆın cazul riglei, c˘a un compas utilizat ˆın teoria construct¸iilor geometrice este, de asemenea, un instrument idealizat. Vom vedea, de exemplu, c˘a cu compasul se pot construi cercuri de diametre oricˆat de mari, ceea ce, desigur, cu un instrument concret este imposibil.

Compasul la care se refer˘a axioma urm˘atoare este transportatorul de segmente.

Axioma B(Axioma compasului). Cu compasul se pot realiza urm˘atoarele construct¸ii geometrice:

a) construirea unui cerc, dac˘a este construit centrul s˘au s¸i un segment de lungime egal˘a cu raza cercului (sau, cel put¸in, capetele acestui segment);

b) construirea oric˘aruia dintre cele dou˘a arce de cerc complementare, dac˘a este construit centrul cercului, precum s¸i capetele comune ale arcelor.

Propozit¸ia 1.8. Compasul colapsant s¸i transportatorul de segmente sunt echivalente, ˆın sensul c˘a cu ajutorul unui compas colapsant se pot realiza toate construct¸iile care se pot executa cu ajutorul transportatorului de segmente.

Demonstrat¸ie. Una dintre implicat¸ii este evident˘a: este clar c˘a orice construct¸ie realizabil˘a cu transportatorul de segmente se poate realiza s¸i cu ajutorul compasului colapsant, as¸a c˘a ne vom concentra asupra celeilalte implicat¸ii.

Construct¸ia b) din axioma compasului, se poate executa, desigur, s¸i cu compasul colapsant, prin urmare trebuie doar s˘a demonstr˘am c˘a, cu acest tip de compas, se poate realiza s¸i construct¸ia a).

FieAun punct dat din plan s¸i BC un segment dat. Ceea ce trebuie s˘a facem este s˘a construim cercul de raz˘aBC s¸i de centruA, folosind compasul colapsant. Vom face asta folosind urm˘atoarea serie de construct¸ii:

1) Construim cercul cu centrul ˆınAs¸i care trece prinB.

2) Construim cercul cu centrul ˆınB s¸i care trece prinA. Aceste dou˘a cercuri se intersecteaz˘a ˆın puncteleDs¸iE.

3) Construim cercul cu centrul ˆınE s¸i care trece prinC. 4) Construim cercul cu centrul ˆınDs¸i care trece prinC.

5) Cercurile de la pas¸ii 3) s¸i 4) se intersecteaz˘a din nou ˆın punctulF. Cercul de centru As¸i de raz˘aAF este cercul care trebuia construit.

(16)

A

B C

D E

F

Figura 1.1

L˘as˘am pe seama cititorului s˘a demonstreze c˘a triunghiurile (dreptunghice!) AFD s¸i BCD sunt congruente, ceea ce demonstreaz˘a c˘aAF DBC, adic˘a cercul de dentruA s¸i de raz˘aBC este, ˆıntr-adev˘ar, cercul care trebuia construit.

1.3.3 Rigla cu dou˘a muchii

Rigla cu dou˘a muchii este, ˆın fapt, o rigl˘a pentru care s¸i cea de-a doua muchie este dreapt˘a, paralel˘a cu prima muchie. Ca s¸i ˆın cazul riglei cu o singur˘a muchie, s¸i aici se consider˘a c˘a muchiile (ambele, de data aceasta) sunt infinite s¸i vom nota distant¸a dintre ele cuh.

Axioma C (Axioma riglei cu dou˘a muchii). Cu ajutorul riglei cu dou˘a muchii se pot realiza urm˘atoarele construct¸ii:

a) orice construct¸ie care se poate realiza cu rigla simpl˘a;

b) ˆın fiecare din cele dou˘a semiplane determinate de o dreapt˘a construit˘a ˆın planul fundamental, se poate construi cˆate o dreapt˘a situat˘a la distant¸ahde aceasta;

c) dac˘a sunt construite dou˘a puncteAs¸iB, atunci se poate stabili dac˘a distant¸aAB este sau nu mai mare decˆat l˘at¸imea h a riglei, iar dac˘a AB > h, atunci se pot construi dou˘a perechi de drepte paralele care trec, respectiv, prin puncteleAs¸iB s¸i sunt situate, una fat¸˘a de cealalt˘a, la distant¸ah.

1.3.4 Echerul

Echerul este, ˆın esent¸a lui, echerul pe care ˆıl cunoas¸tem din geometria elementar˘a, cu comentariile de rigoare privitoare la trasarea liniilor drepte pe care le-am f˘acut ˆın cazul riglei. De asemenea, spre deosebire de echerele pe care le folosim ˆın geometrie, ˆın teoria

(17)

1.3. Instrumente utilizate ˆın construct¸iile geometrice 17 abstract˘a a construct¸iilor geometrice nu are important¸˘a ce unghiuri sunt ˆın celelalte dou˘a vˆarfuri. De fapt, singurul lucru important este prezent¸a unghiului drept.

Axioma D(Axioma echerului). Echerul permite:

a) realizarea tuturor construct¸iilor ment¸ionate ˆın axioma dreptei;

b) construirea unei drepte care trece printr-un punct dat s¸i este perpendicular˘a pe o dreapt˘a construit˘a;

c) dac˘a sunt construite un segmentABs¸i o figur˘aˆ, atunci se poate stabili dac˘a figura ˆcont¸ine sau nu puncte din care segmentulABse vede sub un unghi drept, iar dac˘a astfel de puncte exist˘a, se poate construi unul dintre ele.

1.3.5 Construct¸ii fundamentale

Not¸iunea deconstruct¸ie fundamental˘aeste o not¸iune care depinde de sistemul de instrumente selectat. Astfel, pentru o select¸ie de instrumente sunt acele construct¸ii ment¸ionate ˆın axiomele instrumentelor s¸i ˆın axiomele VII–IX. Orice construct¸ie geometric˘a se poate realiza cu instrumentele selectate dac˘a s¸i numai dac˘a ea se poate reduce la o secvent¸˘a finit˘a de construct¸ii fundamentale. Vom enumera aici doar construct¸iile fundamentale corespunz˘atoare celei mai comune select¸ii de instrumente: rigla s¸i compasul.

As¸adar, cu ajutorul riglei s¸i compasului se pot realiza urm˘atoarele construct¸ii fundamentale:

1) construirea unui segment care unes¸te dou˘a puncte date (axioma A, a));

2) construirea unei drepte care trece prin dou˘a puncte construite (axioma A, b));

3) construirea unei semidrepte care pleac˘a dintr-un punct construit s¸i trece printr-un alt punct construit (axioma A, c));

4) construirea unui cerc dac˘a sunt construite centrul cercului s¸i un segment de dreapt˘a a c˘arei lungime este egal˘a cu raza cercului sau, cel put¸in, capetele acestui segment (axioma B, a));

5) construirea oric˘aruia dintre cele dou˘a arce complementare de cerc dac˘a sunt construite capetele lor comune s¸i centrul cercului (axioma B, b));

6) construirea oric˘arui num˘ar finit de puncte comune a dou˘a figuri construite, dac˘a astfel de puncte exist˘a (Propozit¸ia 1.5);

7) construirea unui punct care apart¸ine unei figuri construite (Propozit¸ia 1.6);

8) construirea unui punct care nu apart¸ine unei figuri construite dac˘a aceast˘a figur˘a nu coincide cu ˆıntreg planul fundamental (Propozit¸ia 1.7).

(18)

1.3.6 Problema de construct¸ie

ˆIntr-o problem˘a de construct¸ii geometrice se cere construirea unei figuri geometrice ˆın condit¸iile ˆın care:

se prescrie un set de instrumente (dac˘a nu se face acest lucru, se presupune, ˆın mod implicit, c˘a aceste instrumente sunt rigla s¸i compasul);

ˆın planul fundamental este construit˘a o figur˘a (figura dat˘a);

sunt indicate o serie de propriet˘at¸i pe care trebuie s˘a le aib˘a figura care trebuie construit˘a (propriet˘at¸i care, de regul˘a, leag˘a figura de construit cu figura dat˘a).

O figur˘a care ˆındeplines¸te condit¸iile problemei se numes¸tesolut¸iea problemei de construct¸ie corespunz˘atoare.

Arezolvao problem˘a de construct¸ii geometrice ˆınseamn˘a a g˘asitoatesolut¸iile problemei. A g˘asi o solut¸ie, ˆınseamn˘a s˘a realiz˘am respectiva construct¸ie printr-o secvent¸˘a finit˘ade construct¸ii fundamentale.

Vom da acum un exemplu de problem˘a de construct¸ii geometrice care va fi rezolvat˘a cu diferite seturi de instrumente. ˆIn aceast˘a problem˘a se cere, pur s¸i simplu, s˘a se construiasc˘a mijlocul unui segment, dat prin capetele sale, A s¸i B. Pentru fiecare set de instrumente vom enumera construct¸iile fundamentale care conduc la rezolvarea problemei.

1. Realizarea construct¸iei cu ajutorul riglei s¸i al compasuluiSe construiesc, succesiv

!₂ !₁

M

N A

O B

Figura 1.2 (vezi figura 1.2):

1) dreaptaAB(construct¸ia fundamental˘a 2);

2) cercul!1.A; AB/(construct¸ia fundamental˘a 4);

3) cercul!2.B; AB/(construct¸ia fundamental˘a 4);

4) punctele comuneM s¸iN ale cercurilor!1s¸i!2(construct¸ia fundamental˘a 6);

(19)

1.3. Instrumente utilizate ˆın construct¸iile geometrice 19 5) dreaptaMN (construct¸ia fundamental˘a 2);

6) punctul comunOal dreptelorABs¸iMN (construct¸ia fundamental˘a 6).

Este us¸or s˘a ne convingem c˘aAO DBO, ceea ce ˆınseamn˘a c˘aOeste punctul c˘autat.

2. Realizarea construct¸iei cu ajutorul compasuluiSe construiesc succesiv (vezi fi-

!

!₅

!₁

M

C D

N A

X

B E

!₂

!3

!₆

!₄

Figura 1.3 gura 1.3):

1) cercul!.B; BA/(axioma A, a));

2) cercul!1.A; AB/(axioma A, a));

3) punctul comunC al cercurilor!s¸i!1(axioma VII);

4) cercul!2.C; CA/(axioma A, a));

5) punctul comunDal cercurilor!s¸i!2, diferit de punctulA(axioma VII);

6) cercul!₃.D; DB/(axioma A, a));

7) punctul comunEal cercurilor!s¸i!3, diferit de punctulC (axioma- VII).

Remarc˘am c˘a puncteleA; B; Esunt situate pe o dreapt˘a, iarAE D2AB. Construim, mai departe:

(20)

8) cercul!4.E; EA/(axioma A, a));

9) punctele comuneM s¸iN ale cercurilor!1s¸i!4(axioma VII);

10) cercul!5.M; MA/(axioma A, a));

11) cercul!6.N; NA/(axioma A, a));

12) punctul comunX al cercurilor!5s¸i!6, diferit deA(axioma VII).

Nu este greu de constatat c˘a punctulX se afl˘a pe dreaptaB. ˆIn plus, triunghiulAM X este asemenea cu triunghiulAEM, ˆıntrucˆat ambele sunt isoscele s¸i au unghiulMAE de la baze comun. Prin urmare, avem:

AX

AM D AM

AE sau AX

AB D AB 2AB; astfel c˘a

AX D 1 2AB s¸i, prin urmare, punctulX este cel c˘autat.

3. Realizarea construct¸iei cu ajutorul riglei cu dou˘a muchii

b

a

h

h C

D E

P

A X B

Figura 1.4

Construim, succesiv (vezi figura 1.4):

1) dreaptaAB(axioma C, a);

2) o dreapt˘aa, paralel˘a cuABs¸i care trece la distant¸ah(l˘at¸imea riglei) de ea (axioma C, b);

3) dreaptab, paralel˘a cua, situat˘a fat¸˘a de ea la distant¸ah, care nu coincide cu dreapta AB(axioma C, b);

4) un punctC pe dreaptab(axioma VIII);

(21)

1.3. Instrumente utilizate ˆın construct¸iile geometrice 21 5) drepteleAC s¸iBC (axioma C, a);

6) puncteleDDa\AC s¸iE Da\BC (axioma VII);

7) drepteleAEs¸iBD(axioma C, a);

8) punctulP DAE\BD(axioma VII);

9) dreaptaCP (axioma C, a);

10) punctulX DCP \AB(axioma VII).

CumDEeste linia mijlocie a triunghiuluiACB, rezult˘a c˘aAEs¸iBDsunt medianele sale s¸i, prin urmare, s¸iCP trebuie s˘a fie median˘a, ceea ce ˆınseamn˘a c˘a punctulX este punctul c˘autat.

4. Realizarea construct¸iei cu ajutorul echerului

A X B

P C

C⁰ D

A⁰ P⁰ B⁰

Figura 1.5

Construct¸ia const˘a ˆın urm˘atorii pas¸i (vezi figura 1.5):

1) construim dreaptaAB(axioma D, a));

2) construim drepteleAA⁰s¸iBB⁰, perpendiculare pe dreaptaAB(axioma D, b));

3) alegem peAA⁰un punct oarecareC, diferit deA(axiomele IV s¸i VIII);

4) prin punctulC ducemC C⁰?AC (axioma D, b));

Construim apoi, ˆın mod succesiv:

5) punctulDDC C⁰\BB⁰(axioma VII);

6) drepteleADs¸iBC (axioma D, a);

7) punctulP AD\BC (axioma VII);

(22)

8) dreaptaPP⁰?AB(axioma D, b));

9) punctulX DPP i\AB(axioma VII).

Se poate verifica foarte us¸or c˘a punctulX este cel c˘autat.

1.4 Probleme elementare de construct¸ii geometrice

Am v˘azut ˆın exemplul de problem˘a de construct¸ii geometrice pe care l-am rezolvat la sfˆars¸itul paragrafului precedent c˘a chiar pentru o problem˘a foarte simpl˘a, cum este cea examinat˘a, descompunerea problemei ˆın probleme fundamentale este foarte laborioas˘a s¸i implic˘a un num˘ar mare de pas¸i. De aceea, ˆın practic˘a, lucrurile se desf˘a˘as¸oar˘a un pic altfel, ˆın sensul c˘a o problem˘a dat˘a se reduce nu la o secvent¸˘a de probleme fundamentale (adic˘a, pˆan˘a la urm˘a, la axiome), ci la o serie de probleme elementare, care se presupun cunoscute de toat˘a lumea.

Nu exist˘a un consens general ˆın privint¸a select¸iei problemelor elementare de construct¸ii geometrice, dar ideea este c˘a ele trebuie s˘a fie cele ˆıntˆalnite ˆın manualele de geometrie din s¸coala elementar˘a. Reproducem aici lista lui Dadaian, cea mai recent˘a s¸i, ˆın acelas¸i timp, una dintre cele mai cuprinz˘atoare.

Construct¸ia 1.1. S˘a se construiasc˘a un segment egal cu un segment dat,a.

Demonstrat¸ie. Construim o dreapt˘a oarecare, fie eaMN, pe care construim un punctA.

Din punctul A, ca centru, s¸i cu o raz˘a egal˘a cu segmentul data, construim un cerc ce intersecteaz˘a dreapmta MN ˆın puncteleBs¸iC. SegmenteleABs¸iAC sunt, ambele, solut¸ii ale problemei, deoarece este clar c˘a fiecare dintre ele are lungimeaa.

Construct¸ia 1.2. Se d˘a un cerc.C/s¸i se cere s˘a se construiasc˘a ˆın el ocoard˘a a c˘arei lungime s˘a fie egal˘a cu cea a unui segment dat,a.

Demonstrat¸ie. Este clar c˘a, ˆıntr-un cerc, nu pot exista coarde care s˘a aib˘a lungimea mai mare decˆat diametruld al cercului. Prin urmare, pentru ca problema s˘a aib˘a solut¸ii, trebuie s˘a avema d. S˘a presupunem, prin urmare, c˘a aceast˘a condit¸ie este ˆındeplinit˘a.

Construim, pe.C/, un punct oarecare,A. DinA, ca centru, s¸i cu raza egal˘a cua, construim un car care intersecteaz˘a .C/ˆın punctele B s¸iC. SegmenteleAB s¸iAC sunt coardele c˘autate. Ele coincid dac˘aaDd.

Construct¸ia 1.3. S˘a se construiasc˘a un segment egal cu suma a dou˘a segmente datea s¸ib.

Demonstrat¸ie. Construim o dreapt˘aMN s¸i pe ea construim un punct oarecare,A. Din A, ca centru, s¸i cu raz˘a egal˘a cua, construim un cerc ce intersecteaz˘a semidreaptaAN ˆınB. DinB, ca centru, s¸i cu razab, construim un cerc ce intersecteaz˘a semidreaptaBN ˆınC. SegmentulAC este cel c˘autat.

(23)

1.4. Probleme elementare de construct¸ii geometrice 23 Construct¸ia 1.4. S˘a se construiasc˘a un segment egal cu diferent¸a a dou˘a segmente,as¸i b.

Demonstrat¸ie. Presupunem, pentru fixarea ideilor, c˘a a b. Construim o dreapt˘a oarecare,MN, s¸i pe ea construim un punctA. DinA, ca centru, s¸i cu razaA, construim un cerc care intersecteaz˘a semidreaptaAN ˆın punctulB. DinB, ca centru, s¸i cu razab, construim un cerc ce intersecteaz˘a semidreaptaBN ˆın punctulC. SegmentulAC este cel c˘autat. Dac˘a a D b, atunci C D A, ceea ce ˆınseamn˘a c˘a segmentul diferent¸˘a se reduce la un punct.

Construct¸ia 1.5. S˘a se construiasc˘a un triunghi cu laturile egale cu 3 segmente date, a; b; c. Presupunem, pentru fixarea ideilor, c˘abCc > a.

Demonstrat¸ie. Construim o dreapt˘a oarecare,MN, s¸i pe ea lu˘am un punctB. DinB, ca centru, s¸i cu raza a, ducem un cerc ce intersecteaz˘a semidreaptaBN ˆın punctulC. DinB, ca centru, s¸i cu razac, se duce un cerc.C₁/. DinC, ca centru, s¸i cu razab, se duce un cerc .C₂/. Cercurile.C₁/s¸i.C₂/se intersecteaz˘a ˆın punctele As¸iA⁰. Fiecare dintre triunghiurile ABC s¸iA⁰BC reprezint˘a cˆate o solut¸ie a problemei. ˆIntr-adev˘ar, avemBC Da,CADCA⁰Dbs¸iABDA⁰B Dc.

A

A⁰

B C

M a N

c

b

Figura 1.6

Construct¸ia 1.6. S˘a se construiasc˘a un unghi egal cu un unghi dat,˛.

Demonstrat¸ie. Construim, mai ˆıntâi, o dreapt˘a oarecare s¸i, pe ea, un punct O. Din vârful unghiului ˛, ca centru, s¸i cu o raz˘a arbitrar˘a, ducem un cerc ce intersecteaz˘a laturile unghiului ˆın puncteleAs¸iB. Cu aceeas¸i raz˘a, dar, de data aceasta, cu centrul ˆın punctulO, ˆıncepând de la semidreaptaON, ˆın sens pozitiv, construim arcul>

O1O2, unde O1 2 MN. DinO1, ca centru, s¸i cu razaAB, construim un cerc de intersecteaz˘a arcul O>1O2ˆın punctulC. Construim semidreaptaON. Unghiul c˘autat este unghiul†CON.

(24)

O

M N

A B

˛

Figura 1.7

Construct¸ia 1.7. Construit¸i bisectoarea unui unghi dat.

Demonstrat¸ie. Fie †ABC unghiul dat. Din vˆarful B al unghiului, ca centru, s¸i cu o raz˘a arbitrar˘a, ducem un cerc care intersecteaz˘a semidrepteleBA, respectivBC, ˆınD, respectiv E. Din D s¸i E, ca centre, cu o raz˘a arbitrar˘a, ducem cˆate un cerc (raza e aceeas¸i pentru ambele). Fie H punctul din interiorul unghiului ˆın care se intersecteaz˘a cele dou˘a cercuri. AtunciBH este bisectoarea unghiului†ABC.

A B

C

D

E H

Figura 1.8

Construct¸ia 1.8. S˘a se construiasc˘a mediatoarea unui segment dat.

Demonstrat¸ie. Fie AB segmentul dat. DinA s¸iB, ca centre, cu o aceeas¸i raz˘a, mai mare decˆat jum˘atate din lungimea segmentului AB, se construiesc dou˘a cercuri, care se intersecteaz˘a ˆın puncteleC s¸iD. Construim dreaptaCD. Aceasta este mediatoarea segmentuluiAB, iar punctul de intersect¸ie,fMg DAB\CDeste mijlocul segmentului AB.

(25)

1.4. Probleme elementare de construct¸ii geometrice 25

A B

C

D M

Figura 1.9

Construct¸ia 1.9. Dintr-un punct dat,P, exterior unei drepte dateMN, s˘a se construiasc˘a o perpendicular˘a pe aceast˘a dreapt˘a.

Demonstrat¸ie. Din P, ca centru, s¸i cu raz˘a mai mare decˆat distant¸a de la P la MN, construim un cerc ce intersecteaz˘a MN ˆın punctele A s¸i B. Atunci perpendiculara c˘autat˘a este mediatoarea segmentuluiAB(construct¸ia precedent˘a).

Construct¸ia 1.10. Printr-un punctP, exterior unei drepte date,MN, s˘a se construiasc˘a o paralel˘a laMN.

Demonstrat¸ie. DinP, ca centru, s¸i cu o raz˘a mai mare decˆat distant¸a de laP laMN, construim un cerc .C1/, care intersecteaz˘a MN ˆın puncteleAs¸iB. DinB, ca centru, s¸i cu aceeas¸i raz˘a, construim un cerc.C₂/. DinP, ca centru, cu razaAB, construim un cerc.C₃/. FieC unul dintre punctele de intersect¸ie ale cercurilor.C₂/s¸i.C₃/(cel situat de aceeas¸i parte a drepteiMN ca s¸iP). Construim dreaptaBC. Este us¸or de constatat c˘aP C kMN.

Construct¸ia 1.11. S˘a se construiasc˘a un triunghi dac˘a se dau o latur˘a s¸i dou˘a unghiuri.

Demonstrat¸ie. Rematc˘am, ˆınainte de toate, c˘a dac˘a se conosc dou˘a unghiuri, atunci, ˆın mod automat, se cunoas¸te s¸i cel de-al treilea unghi. Prin urmare, putem presupune c˘a cele dou˘a unghiuri date au ca latur˘a comun˘a latura dat˘a. Construim, prin urmare, cele dou˘a unghiuri la capetele segmentului dat s¸i prelungim laturile necomune pˆan˘a se intersecteaz˘a s¸i, ˆın acest mod, obt¸inem cel de-al treilea vˆarf al triunghiului.

Construct¸ia 1.12. S˘a se construiasc˘a un triunghi dac˘a se dau dou˘a laturi s¸i unghiul cuprins ˆıntre ele.

Construct¸ia 1.13. S˘a se construiasc˘a un triunghi dac˘a se dau dou˘a laturi s¸i unghiul opus uneia dintre ele.

Construct¸ia 1.14. S˘a se construiasc˘a mijlocul unui arc de cerc.

(26)

Construct¸ia 1.15. S˘a se construiasc˘a un cerc care trece prin trei puncte necoliniare date,A; B; C.

Construct¸ia 1.16. S˘a se construiasc˘a un cerc dac˘a se dau dou˘a puncteAs¸iB ale sale s¸i tangentaAT ˆın punctulA.

Construct¸ia 1.17. S˘a se construiasc˘a un cerc dac˘a se dau o coard˘a a sa s¸i un unghi ˆınscris care se sprijin˘a pe aceast˘a coard˘a.

Construct¸ia 1.18. S˘a se construiasc˘a tangenta ˆıntr-un punct dat al unui cerc dat.

Construct¸ia 1.19. S˘a se construiasc˘a o tangent˘a la un cerc dat, paralel˘a cu o dreapt˘a dat˘a.

Construct¸ia 1.20. S˘a se construiasc˘a o tangent˘a la un cerc dat care trece printr-un punct dat, exterior cercului.

Construct¸ia 1.21. S˘a se construiasc˘a tangentele comune la dou˘a cercuri date.

1.5 Metodica rezolv˘arii problemelor de construct¸ii geometrice

Pentru rezolvarea unui anumit tip de probleme este necesar, mai ˆıntˆai, s˘a se elaboreze o schem˘a de rezolvare a problemelor respective. O posibil˘a modalitate de abordare a problemelor de construct¸ii geometrice ar putea fi urm˘atoarea:

1. Stabilim mai ˆıntˆai un num˘ar (finit) de cazuri care s˘a epuizeze toate posibilit˘at¸ile de alegere a datelor problemei.

2. Pentru fiecare dintre cazuri stabilim dac˘a problema are solut¸ii s¸i, ˆın caz afirmativ, stabilim num˘arul lor.

3. Pentru fiecare caz cˆand problema are solut¸ii, indic˘am o modalitate de determinare (cu ajutorul instrumentelor selectate) a fiec˘arei dintre solut¸iile posibile sau stabilim c˘a solut¸ia nu poate fi obt¸inut˘a cu ajutorul instrumentelor selectate.

Experient¸a a demonstrat c˘a acest “algoritm” nu este cel mai eficient s¸i s-a optat pentru un altul, care se bazeaz˘a, ˆın fapt, pe metodele generale de rezolvare a problemelor de ma- tematic˘a. Conform acestei abord˘ari, rezolvarea unei probleme de construct¸ii geometrice se face, ˆın general, ˆın urm˘atorii pas¸i:

1. analiza;

2. construct¸ia;

3. demonstrat¸ia;

4. discut¸ia.

Vom explica acum, rˆand pe rˆand, semnificat¸ia acestor patru pas¸i.

(27)

1.5. Metodica rezolv˘arii problemelor de construct¸ii geometrice 27 1.5.1 Analiza

Acest pas este unul preg˘atitor s¸i el ne permite stabilirea unor dependent¸e ˆıntre figura dat˘a s¸i cea c˘autat˘a care s˘a ne conduc˘a la stabilirea unui mod de construire a figurii c˘autate.

Se construies¸te, mai ˆıntˆai, cu aproximat¸ie, figura c˘autat˘a. (Sintagma ce se utilizeaz˘a, ˆın astfel de situat¸ii, este: “Presupunem figura deja construit˘a”). Eventual, la nevoie, se pot face s¸i construct¸ii ajut˘atoare.

S˘a presupunem, de exemplu, c˘a trebuie s˘a construim un triunghi la care se cunoas¸te o latur˘a s¸i mediana s¸i ˆın˘alt¸imea care ˆıi corespund (vezi figura 1.10). Considerˆand figura auxiliar˘a, remarc˘am imediat c˘a triunghiulABC este us¸or de construit dac˘a putem construi triunghiulBDE. Dar triunghiulBDE este un triunghi dreptunghic la care se cunoas¸te ipotenuza m s¸i cateta h, problem˘a care se presupune rezolvat˘a (problema elementar˘a 12.).

A D E C

B

h m

Figura 1.10

Este util s˘a avem ˆın vedere urm˘atoarele observat¸ii, utile pentru analiza problemei.

1) Dac˘a pe desenul auxiliar pe care l-am f˘acut nu vedem leg˘aturi evidente ˆıntre elementele date s¸i cele ce trebuie construite, care s˘a ne ajute efectiv la rezolvarea problemei, putem s˘a facem construct¸ii auxiliare: dac˘a printre elementele date sunt puncte, putem s˘a le unim prin drepte s¸i s˘a c˘aut˘am punctele de intersect¸ie ale acestor drepte, dac˘a se dau segmente putem, iar˘as¸i, s˘a le prelungim s¸i s˘a c˘aut˘am punctele de intersect¸ie ale dreptelor corespunz˘atoare, etc. Uneori este util s˘a ducem paralele la dreptele date sau perpendiculare pe ele.

S˘a presupunem, de exemplu, c˘a trebuie s˘a construim o dreapt˘a care trece printr-un punct dat A s¸i este egal dep˘artat˘a de dou˘a puncte date, B s¸i C (vezi figura 1.11).

Este comod s˘a ˆıncepem prin desenarea figurii cerute: construim, mai ˆıntˆai, o dreapt˘a a, pe ea alegem un punctA s¸i, la distant¸e egale de dreaptaa, de-o parte s¸i de alta

(28)

a sa, alegem puncteleB s¸i C. Nu apare, ˆınc˘a, pe desen, nici o conexiune care s˘a ne permit˘a s˘a rezolv˘am problema. Coborˆam perpendiculareleBB1s¸iC C1dinB s¸i C pea(B1; C1 2a), construim segmentulBC s¸i punctulM ˆın care acest segment intersecteaz˘a dreaptaa. Este us¸or de verificat c˘a punctulM este mijlocul segmentului BC, s¸i de aici rezult˘a modul de realizare a construct¸iei.

A a

B₁

M C₁

C B

Figura 1.11

2) Dac˘a ˆın enunt¸ul problemei se d˘a suma sau diferent¸a a dou˘a segmente de dreapt˘a sau dou˘a unghiuri, acestea trebuie reprezentate pe desenul auxiliar, dac˘a nu cumva deja sunt prezente.

S˘a presupunem, de exemplu, c˘a ni se cere s˘a construim un triunghi dreptunghic, ˆın care se cere un unghi ascut¸it s¸i suma catetelor (vezi figura 1.12). Desen˘am un triunghi dreptunghic oarecare,ABC. Prin ipotez˘a, se dau: †˛s¸i un segment de lungimem.

D

45^ı

C A

c B

Figura 1.12

Triunghiul ABC c˘autat trebuie s˘a verifice condit¸iile: †A D ˛, AC CCB D m,

†C D 90^ı. Pentru a introduce ˆın desen segmentul de lungime mplas˘am, pe pre- lungirea laturiiAC, segmentulCD DBC; atunciADDm. TriunghiulADB este us¸or de construit, deoarece ˆın el sunt cunoscute: laturaAD D ms¸i dou˘a unghiuri:

(29)

1.5. Metodica rezolv˘arii problemelor de construct¸ii geometrice 29

†A D ˛ s¸i †D D 45^ı (problema elementar˘a 8). Dup˘a construirea triunghiului ADB, construirea triunghiului cerut ˆın problem˘a se reduce la problema elementar˘a 4.

3) Un alt lucru pe care este bine s˘a ˆıl facem ˆın timpul analizei este s˘a ne reamintim teo- reme s¸i probleme de construct¸ii rezolvate de noi mai ˆınainte s¸i care sunt asem˘an˘atoare cu problema curent˘a.

1.5.2 Construct¸ia

Aceast˘a etap˘a a rezolv˘arii este momentul culminant, deoarece acum se realizeaz˘a, efectiv, construct¸ia, folosindu-se construct¸iile fundamentale s¸i cele elementare, ment¸ionate mai devreme. Vom ilustra aceast˘a etap˘a printr-o problem˘a cunoscut˘a din s¸coal˘a, aceea a construirii cercului ˆınscris ˆıntr-un triunghi dat.

Dup˘a cum se s¸tie, centrul cercului ˆınscris se afl˘a ˆın punctul de intersect¸ie a bisectoa- relor triunghiului. Prin urmare, construct¸ia va consta din urm˘atorii pas¸i:

1) Se construiesc bisectoarele a dou˘a unghiuri ale triunghiuluiABC (problema elementar˘a 5).

2) Se construies¸te punctul de intersect¸ie, I a celor dou˘a bisectoare (construct¸ia fundamental˘a 6).

3) Se construies¸te perpendiculara coborˆat˘a dinI pe laturaAB (construct¸ia elementar˘a 4).

4) Se construies¸te piciorul M al perpendicularei de la punctul precedent (construct¸ia fundamental˘a 6).

5) Se construies¸te cercul de centruI s¸i de raz˘aIM (cercul ˆınscris ˆın triunghiulABC, construct¸ia fundamental˘a 4).

1.5.3 Demonstrat¸ia

Rolul demonstrat¸iei ˆın rezolvarea unei probleme de construct¸ii geometrice este acela de a stabili faptul c˘a figura pe care am construit-o ˆındeplines¸te, ˆıntr-adev˘ar, toate condit¸iile din enunt¸ul problemei.

ˆIn cazul construct¸iei cercului ˆınscris ˆıntr-un triunghi, realizat˘a mai sus, trebuie s˘a demonstr˘am c˘a cercul pe care l-am construit este, ˆıntr-adev˘ar, cercul ˆınscris ˆın triunghiul dat. Pentru aceasta, remarc˘am, ˆınainte de toate, c˘a cercul de centru I s¸i de raz˘a IM este tangent drepteiAB, deoarece dreapta este perpendicular˘a pe razaIM a cercului. ˆIn plus, este clar c˘a raza cercului este egal˘a cu distant¸a de laI la laturaABa triunghiului ABC.

(30)

Remarc˘am, ˆın continuare, c˘a centrulIal cercului este egal dep˘artat de cele trei laturi ale triunghiuluiABC, deoarece se afl˘a la intersect¸ia celor trei bisectoare interioare ale triunghiului. Prin urmare, distant¸a de la centrul cercului pˆan˘a la laturileAC s¸iBC este egal˘a, de asemenea, cu raza cercului construit. Deci, dac˘a ducem prinIperpendicularele pe aceste laturi, picioarele acestor perpendiculare se afl˘a pe cerc. Asta ˆınseamn˘a c˘a drepteleAC s¸iBC sunt tangente la cerc, deci demonstrat¸ia este ˆıncheiat˘a.

1.5.4 Discut¸ia

Atunci cˆand facem construct¸ia, de regul˘a de restrˆangem lao singur˘asolut¸ie s¸i presupunem c˘a tot¸i pas¸ii construct¸iei se pot realiza. De multe ori, ˆıns˘a, ˆın practic˘a lucrurile nu stau chiar as¸a. De aceea, pentru ca solut¸ia s˘a fie complet˘a, trebuie s˘a facem o discut¸ie cae s˘a acopere aspectele de mai jos.

1) ˆInainte de toate, trebuie s˘a stabilim dac˘a pentru orice date init¸iale construct¸ia este posibil˘a, cu instrumentele alse s¸i prin metoda aleas˘a.

2) ˆIn cazul ˆın care, pentru anumite date init¸iale, problema nu se poate rezolva prin metoda aleas˘a, se poate rezolva prin alt˘a metod˘a, cu acelas¸i set de instrumente?

3) Cˆate solut¸ii exist˘a pentru o anumit˘a alegere a datelor init¸iale?

Vom vedea, ˆın solut¸iile problemelor de mai jos cum se procedeaz˘a ˆın cazuri concrete.

1.6 Exemple de probleme de construct¸ii rezolvate

Problema 1. S˘a se construiasc˘a un triunghi dac˘a se dau: o latur˘a s¸i medianele corespunz˘atoare celorlalte dou˘a laturi.

Solut¸ie. Analiza. Presupunem c˘a triunghiulABC este cel c˘autat (vezi figura 1.13).

ABeste latura dat˘a, iarAM1s¸iBM2sunt medianele date, iarGeste punctul de intersect¸ie a medianelor (i.e. centrul de greutate). Prin ipotez˘a, ni se dau trei segmente de lungime c; m1; m2 astfel ˆıncâtAB D c; AM1 D m1 s¸iBM2 D m2. Construct¸ia triunghiului ABC se reduce la construct¸ia a trei puncte – vârfurile triunghiului. Cum laturaABeste dat˘a, dou˘a dintre vârfurile triunghiului sunt deja construite, deci mai r˘amâne de construit doar vârfulC. Pe de alt˘a parte,fCg DAM2\BM1, deci problema este rezolvat˘a dac˘a sunt construite puncteleM1s¸iM2.

Punctele M1 s¸i M2 se afl˘a pe semidreptele AG, respectivBG, iar punctulM1 se afl˘a la distant¸am1 deA, ˆın timp ce punctulM2 se afl˘a la distant¸am2de B. As¸a stând lucrurile, rezolvarea problemei se reduce la construirea punctuluiG. PunctulG este al treile vârf al triunghiului ABGs¸i se poate construi (As¸iBfiind date), ˆıntrucât AG D

2

3m1, iarBG D ²3m2, adic˘a toate laturile triunghiuluiABGsunt cunoscute.

Construct¸ia. Construim succesiv:

(31)

1.6. Exemple de probleme de construct¸ii rezolvate 31

A B

c

M₁

G M₂

C

Figura 1.13

1) segmentulAB, de lungime dat˘ac(problema elementar˘a 1);

2) segmentulr1de lungime ²₃m1; 3) segmentulr2de lungime ²₃m2;

4) triunghiulABG, de laturi de lungimi egale, respectiv, cuc; r1; r2(problema elementar˘a 7);

5) semidrepteleAGs¸iBG (construct¸ia fundamental˘a 3);

6) punctulM1pe semidreaptaAP astfel ˆıncˆatAM1 Dm1(problema elementar˘a 1);

7) punctulM2pe semidreaptaBP astfel ˆıncˆatBM2 Dm2(problema elementar˘a 1);

8) punctulC DAM2\BM1.

Demonstrat¸ia. Din construct¸ie nu rezult˘a, ˆın mod explicit, un singur lucru:

faptul c˘aAM1s¸iBM2 sunt, ˆıntr-adev˘ar,medianeletriunghiuluiABC construit de noi.

Pentru asta este suficient s˘a demonstr˘am c˘a punctulM1este mijlocul segmentuluiBC, ˆın timp ce punctulM2este mijlocul segmentuluiAC.

Not˘am cuN1mijlocul segmentuluiAP s¸i cuN2– mijlocul segmentuluiBP. Atunci patrulaterulM1M2N1N2este un paralelogram, deoarece diagonalele sale se ˆınjum˘at˘at¸esc (vezi figura 1.14). As¸adar, segmentele de dreapt˘aM1M2s¸iN1N2sunt egale s¸i paralele.

Pe de alt˘a parte, segmentul N1N2 este linie mijlocie ˆın triunghiul ABP, ceea ce ˆınseamn˘a c˘aN1N2 kAB s¸iN1N2 D ¹2AB. Din cele spuse de mai sus rezult˘a, atunci, c˘a avem s¸i M1M2 k AB s¸iM1M2 D ¹2AB. Dar asta ˆınseamn˘a c˘aM1M2 este linie mijlocie ˆın triunghiulABC, adic˘aAM1s¸iBM2sunt mediane ˆın triunghiulABC.

(32)

A c C N₂

N₁ P

M₂ M₁

C

Figura 1.14

Discut¸ia.De regul˘a, cˆand facem discut¸ia unei solut¸ii a unei probleme de construct¸ii geometrice, ne ˆıntoarcem la realizarea construct¸iei, examin˘am pas¸ii pe care i-am f˘acut s¸i ˆıncerc˘am s˘a identific˘am locurile unde ar putea exista probleme. Acestea sunt legate de construct¸iile care nu se pot realiza ˆıntotdeauna.

ˆIn cazul nostru concret, construct¸iile 1), 2) s¸i 3) se pot realiza, ˆın mod evident, totdeauna. ˆIn ceea ce prives¸te construct¸ia 4), trebuie s˘a impunem nis¸te restrict¸ii. Astfel, ˆın acest caz, trebuie s˘a construim triunghiulABP, ale c˘arui laturi au lungimileAB Dc, AP D ²3m1,BP D ²3m2. Pentru ca acest triunghi s˘a poat˘a fi construit, este necesar s¸i suficient ca aceste lungimi s˘a verifice inegalit˘at¸ile triunghiului, care, ˆın cazul nostru, se pot sintetiza prin

2

3jm1 m2j< c < 2

3.m1Cm2/: (1.1)

Prin urmare triunghiulABP exist˘a dac˘a s¸i numai dac˘a este verificat˘a dubla inegalitate de mai sus.

Mai departe, construct¸iile de la punctele 5), 6) s¸i 7) sunt, de asemenea, ˆın mod evident, posibile pentru orice date init¸iale.

Mai avem de verificat cazul construct¸iei 8). Aceasta ˆınseamn˘a s˘a vedem dac˘a dreptele AM2 s¸i BM1 se intersecteaz˘a pentru orice date init¸iale, iar intersect¸ia se afl˘a de aceeas¸i parte a drepteiABca s¸i punctulP (admit¸ˆand c˘a acesta exist˘a).

S˘a presupunem c˘a drepteleAM2s¸iBM1ar fi paralele. Atunci segmentele paralele ABs¸iM2M1cuprinse ˆıntre cele dou˘a drepte paralele ar fi egale. Dar noi am demonstrat c˘aM2M1D ¹2AB, deci ajungem la o contradict¸ie.

Dac˘a, ˆın schimb, drepteleAM2s¸iBM1s-ar intersecta, dar de cealalt˘a parte a dreptei AB, relativ la punctulP, atunci segmentulAB ar fi mai mic decˆat segmentulM2M1, ceea ce ne-ar conduce, din nou, la o contradict¸ie.

(33)

1.6. Exemple de probleme de construct¸ii rezolvate 33 Prin urmare, singura restrict¸ie pentru realizarea construct¸iei este cea de la construct¸ia 4). Deci, triunghiulABC exist˘a s¸i se poate construi cu rigla s¸i compasul dac˘a s¸i numai dac˘a este ˆındeplinit˘a condit¸ia (1.1).

Observat¸ia 1. Discut¸ia, as¸a cum am f˘acut-o, nu este, propriu-zis, complet˘a. Ar mai r˘amˆane de demonstrat c˘a solut¸ia este unic˘a, mai precis, pˆan˘a la urm˘a, c˘a o latur˘a s¸i medianele ce pleac˘a din cele dou˘a capete ale sale determin˘a ˆın mod unic triunghiul.

L˘as˘am pe seama cititorului s˘a verifice acest fapt.

Problema 2. Dou˘a drepte,a s¸ib, intersecteaz˘a o a treia dreapt˘a, fie eac. S˘a se construiasc˘a un segment de lungime egal˘a cu o lungime dat˘al, astfel ˆıncˆat segmentul s˘a fie paralel cu dreaptacs¸i s˘a aib˘a un cap˘at pe dreaptaa, iar cel˘alalt pe dreaptab.

Solut¸ie. Analiza. Fie AB segmentul c˘autat (vezi figura 1.15). Asta ˆınseamn˘a c˘a AB Dl,ABkc,A2a; B 2b.

c

A

Q

M

P

B N

b a

l

Figura 1.15

Pentru evident¸ierea leg˘aturilor dintre elementele date s¸i cele c˘autate, vom face, mai ˆıntˆai, nis¸te construct¸ii suplimentare.

Astfel, fie P D c \b. Ducem AM k b s¸i fie Q D AM \c. Atunci PQ D AB Dl, deoarece patrulaterulABPQeste un paralelogram. As¸adar, pentru construirea segmentuluiABeste suficient s˘a determin˘am pozit¸ia punctuluiA, care ne conduce apoi la construirea punctuluiQ, care dup˘a cum vom vedea, nu este dificil˘a.

Construct¸ia. Construct¸ia decurge ˆın modul urm˘ator:

1) Construim punctulP Db\c (construct¸ia fundamental˘a 6.).

2) Pe dreaptac construim un punctQastfel ˆıncˆat s˘a avemPQDl(problema elementar˘a 1.).

3) Construim dreaptaQM kb(problema elementar˘a 1.).

4) Construim punctulADQM \a(construct¸ia fundamental˘a 6.).

(34)

5) Construim dreaptaAN kc(problema elementar˘a 11.).

6) Construim punctulBDAN \b.

SegmentulABeste segmentul c˘autat.

Demonstrat¸ia. Din construct¸ie se observ˘a c˘aA2a,B 2bs¸iAB kc. ˆIn plus, AB DPQDl, ca laturi opuse ale unui paralelogram.

Discut¸ia. PunctulP exist˘a, deoarece, din ipotez˘a, dreaptacse intersecteaz˘a cu dreaptab. De aceea, construct¸ia 1) este, ˆıntotdeauna, posibil˘a (vezi figura 1.16).

a c

A

Q

M b

B⁰ A⁰

B

P Q⁰

M⁰

Figura 1.16

Construct¸ia 2) este, de asemenea, totdeauna posibil˘a s¸i ne d˘a dou˘a puncte, Q s¸i Q⁰, situate de o parte s¸i de alta a punctului P, pe dreapta c. Construct¸ia 3) este, de asemenea, ˆıntotdeauna realizabil˘a s¸i are o singur˘a solut¸ie, atˆat pentru punctulQ, cˆat s¸i pentru punctulQ⁰.

Mai departe, avem trei situat¸ii posibile:

a) QM (deci s¸iQ⁰M⁰) intersecteaz˘a dreaptaa(vezi figura 1.16);

b) QM (deci s¸iQ⁰M⁰) este paralel˘a dreaptaa(vezi figura 1.17);

c) una dintre drepteleQM sauQ⁰M⁰coincide cu dreaptaa.

Cazul a) are loc, ˆın mod evident, dac˘a dreptele a s¸i b se intersecteaz˘a. Atunci construct¸iile 4)–6) se pot realiza ˆın mod unic atˆat pentru punctulQ, cˆat s¸i pentru punctul Q⁰. Problema are, deci, ˆın acest caz, dou˘a solut¸ii.

Cazul b) are loc atunci cˆanda k b. Aici avem dou˘a variante: fiePQ D l (adic˘a Q 2 b) s¸i atunci avem o infinitate de solut¸ii (orice dreapt˘a paralel˘a cuc va intersecta as¸ibˆın dou˘a puncte care ne furnizeaz˘a o solut¸ie a problemei), fieQ … b, s¸i atunci nu avem nici o solut¸ie.

(35)

1.6. Exemple de probleme de construct¸ii rezolvate 35

c

b M a M⁰

Q

l l

P Q⁰

Figura 1.17

DE CONTINUAT AICI

Problema 3. S˘a se construiasc˘a un triunghi dac˘a se cunosc² bisectoarea, mediana s¸i ˆın˘alt¸imea care pleac˘a dintr-un acelas¸i vˆarf.

Solut¸ie. Analiza.FieABC triunghiul c˘autat (vezi figura 1.18),AH DhA– ˆın˘alt¸imea coborˆat˘a dinA,AM Dm_A– mediana dinAs¸iADDb_A– bisectoarea unghiului^BAC

1

^.

Consider˘am, de asemenea, cercul!, circumscris triunghiuluiABC. FieO centrul s˘au.

Atunci dreaptaOM este perpendicular˘a pe coardaBC s¸i, de aceea, ˆımparte ˆın dou˘a p˘art¸i egale fiecare dintre cele dou˘a arce de cerc determinate de aceast˘a dreapt˘a. Dar bisectoareaADde asemenea ˆımparte ˆın dou˘a p˘art¸i egale arcul de pe cercul!pe care se sprijin˘a unghiul^BAC

1

. De aceea, dreaptaOM s¸i bisectoareaADse intersecteaz˘a ˆıntr-un punct P de pe cercul circumscris triunghiuluiABC. Mai remarc˘am c˘a perpendiculara dinO peAP trece prin mijloculS al segmentuluiAP.

Construct¸ia. ˆIncepem prin a construi triunghiul dreptungic AHD, ˆın care cunoas¸tem ipotenuza AD D b_A s¸i cateta AH D h_A. Pe semidreapta HD construim punctul M, intersecˆand cercul !.A; mA/ cu dreapta DH. Not˘am cu P punctul de intersect¸ie dintre dreaptaADs¸i perpendiculara ˆınM pe dreaptaDH. Construim centrul Oal centrului circumscris!ca intersect¸ie dintre dreaptaMP s¸i mediatoarea segmentu- luiAP.

PuncteleBs¸iC se determin˘a intersectˆand dreaptaDH cu cercul! !.O; OA/.

Demonstrat¸ie.SegmentulAHeste ˆın˘alt¸ime a triunghiuluiABC, din construct¸ia triunghiului dreptunghic AHD, cu unghiul drept ˆın H. Prin urmare, drepteleAH s¸i DH BC sunt perpendiculare. PunctulM este mijlocul segmentuluiBC, deoarece este punctul de intersect¸ie dintre coardaBC s¸i un diametru al cercului circumscris perpendicular pe ea. ˆIntrucˆat punctul P este mijlocul arculuiBP C, unghiurile ˆınscrise

1

BAP s¸i^CAP

1

sunt egale ˆıntre ele, astfel c˘aADeste bisectoarea unghiuluiA.

2ca lungimi de segmente!

(36)

! A

A M D

H C

O S

P

Figura 1.18

Discut¸ie. O condit¸ie necesar˘a pentru rezolvabilitatea problemei este dubla inegalitate:

mAbAhA;

ˆıntrucˆat, ˆıntr-un triunghi, fie bisectoarea este situat˘a ˆıntre median˘a s¸i ˆın˘alt¸ime, fie cele trei linii coincid³. Dac˘amADbADhA, atunci problema const˘a ˆın construirea unui triunghi isoscel cunoscˆand ˆın˘alt¸imea care pleac˘a din v˘arful ˆın care se intersecteaz˘a laturile egale.

ˆIn mod evident, aceast˘a problem˘a este nedeterminat˘a (are o infinitate de solut¸ii!), iar construirea unei solut¸ii particulare este absolut trivial˘a. De aceea, de acum ˆıncolo vom considera c˘a suntem ˆın situat¸ia ˆın care e valabil˘a dubla inegalitate:

mA> bA> hA

s¸i discut˘am construct¸ia de mai sus.

TriunghiulADH se poate construi s¸i este unic determinat de datele problemei. Cer- cul!.A; mA/se intersecteaz˘a cu dreaptaHDˆın punctulM, deoarecemA> hA.

Punctul P exist˘a s¸i este unic determinat, ca intersect¸ie dintre o perpendicular˘a s¸i o oblic˘a pe aceeas¸i dreapt˘a. Dreapta AP nu este perpendicular˘a peMP, deoarece ea nu este paralel˘a cu DH; de aceea, perpendiculara pe segmentul AP se intersecteaz˘a ˆıntotdeauna cuMP, adic˘a centrul cercului circumscris exist˘a s¸i este determinat ˆın mod unic prin construct¸ie. DreaptaDH se intersecteaz˘a cu cercul!ˆın dou˘a puncte, fie ele

3Demonstrat¸i acest fapt!

(37)

1.6. Exemple de probleme de construct¸ii rezolvate 37 B s¸iC, ˆıntrucˆat trece prin punctulD, care este interior acestui cerc. Astfel, modalitatea de construct¸ie descris˘a conduce ˆıntotdeauna la o solut¸ie.

O alt˘a modalitate de construct¸ie nu poate furniza o nou˘a solut¸ie. ˆIntr-adev˘ar, dac˘a se obt¸ine un alt triunghiABC, este us¸or de demonstrat c˘a el este egal cu cel construit mai sus⁴.

Problema 4. S˘a se construiasc˘a un triunghiABC dac˘a se dau ˆın˘alt¸imile corespunz˘atoare a dou˘a vârfuri,hBs¸ihC, precum s¸i mediana coresounz˘atoare celui de-al treilea vârf,mA. Solut¸ie. Analiza. FieABC triunghiul c˘autat (vezi figura 1.19),AD D mA – mediana sa care pleac˘a din vârfulA,BL DhB s¸iCH DhC – ˆın˘alt¸imile care pleac˘a din vârfurileB, respectivC. Construirea triunghiuluiABC ar deveni mult mai simpl˘a dac˘a am reus¸i s˘a determin˘am unghiul^BAC

1

^{. Dar}

]BAC D]CADC]BAD:

A L F C

D H

B

Figura 1.19

DucemDF ?AC. Atunci devine evident c˘a unghiulCADeste us¸or de determinat prin construirea triunghiului dreptunghicAFD, ˆın care se cunosc ipotenuzaAD DmA

s¸i catetaDF D ¹₂hB. ˆIn mod analog se determin˘a s¸i unghiul^BAD.

1

Construct¸ia. (vezi figura 1.20)

1) Construim triunghiul dreptunghicADF, cu ipotenuzaAD D mA s¸i o catet˘a egal˘a cuDF D ¹2hB.

2) Construim triunghiul dreptunghicADE, astfel ˆıncˆat puncteleE s¸iF s˘a fie de p˘art¸i diferite ale drepteiADs¸iDE D ¹2hC.

4Facet¸i aceast˘a demonstrat¸ie! Trebuie ar˘atat c˘a dac˘a pentru dou˘a triunghiuri bisectoarea, mediana s¸i ˆın˘alt¸imea care pleac˘a din acelas¸i vˆarf au aceeas¸i lungime (iar cele trei lungimi ale elementelor triunghiurilor nu sunt egale ˆıntre ele), atunci triunghiurile sunt egale.

(38)

3) Pe semidreaptaFDlu˘am un segmentFKDhB.

4) Prin punctul K ducem o dreapt˘a paralel˘a cu dreaptaAF s¸i not˘am cu B punctul de intersect¸ie dintre aceast˘a dreapt˘a s¸i semidreaptaAE.

5) Construim dreaptaBD.

6) Not˘am cuC punctul de intersect¸ie dintre drepteleBD s¸iAF. TriunghiulABC este triunghiul c˘autat.

A

L F

C D

H E

B K

Figura 1.20

Demonstrat¸ia. Din egalitatea triunghiurilorDBK s¸iCDF rezult˘a c˘aBD D DC, adic˘aAD este median˘a. AD D mA, din construct¸ie. Coborâm dinB perpendiculara BLpe AF. AtunciBL D KF D hB. Fie CH ? AB. În triunghiulCHB, segmentulDEeste linie mijlocie. De aceea,CH D2DE Dh_C, ˆıntrucâtDE D ¹₂h_C, prin construct¸ie. Discut¸ia. Primul pas al construct¸iei de mai sus este ˆıntotdeauna posibil˘a s¸i furnizeaz˘a o solut¸ie unic˘a dac˘a mA > ¹₂hB, al doilea – dac˘a mA > ¹₂hC. Pas¸ii 3, 4, 5, 6 sunt t¸ntotdeauna posibili. Astfel, algoritmul de ma sus ne furnizeaz˘a o solut¸ie unic˘a dac˘a s¸i numai dac˘a sunt ˆındeplinite simultan inegalit˘at¸ile hB < 2mA

s¸i hC < 2mA. Dac˘a m˘acar una dintre aceste inegalit˘at¸i nu este verificat˘a, nu exist˘a solut¸ie.

(39)

CAPITOLUL 2

Rezolvarea problemelor de construct¸ii folosind intersect¸ii de locuri geometrice

2.1 Not¸iunea de loc geometric

O figur˘a geometric˘a se poate da ˆın mai multe moduri diferite: ca intersect¸ie, reuniune, diferent¸˘a a altor figuri, prin indicarea anumitor propriet˘at¸i pe care trebuie s˘a le verifice punctele sale, etc. Astfel, de exemplu, acelas¸i segmentABse poate da:

1) ca intersect¸ie a dou˘a semidrepte de sensuri opuse,AM s¸iBN, de pe dreaptaAB;

2) ca diametru al unui cerc!dat, perpendicular pe o coard˘al;

3) ca mult¸imea mijloacelor coardelor cercului!paralele cu o dreapt˘a dat˘a sau ˆın alte moduri.

Dac˘a o figur˘a este dat˘a prin indicarea unei propriet˘at¸i pe care trebuie s˘a le aib˘a punctele unei figuri s¸i numai ele, se numes¸telocul geometric al punctelorcare verific˘a aceast˘a proprietate.

ˆIn cazul nostru concret, segmentulAB este locul geometric al mijloacelor cercului

!, paralele cu dreaptal.

Proprietatea prin care se caracterizeaz˘a un loc geometric se numes¸teproprietatea caracteristic˘aa locului geometric cu pricina.

Foarte des se ˆıntˆampl˘a ca unele figuri noi s˘a se introduc˘a tocmai ca locuri geometrice.

Este cazul cercului, de exemplu, ˆın cursul de geometrie elementar˘a sau al conicelor ˆın geometria analitic˘a.

39