GHEORGHE PROCOPIUC
PROBLEME
DE
ANALIZ ˘ A MATEMATIC ˘ A
S ¸I
ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE
IAS ¸I, 2007
Cuprins
1 Elemente de teoria spat¸iilor metrice 4
1.1 Spat¸ii metrice . . . 4
1.2 Mult¸imea numerelor reale . . . 8
2 S¸iruri ¸si serii 15 2.1 S¸iruri de numere reale . . . 15
2.2 Principiul contract¸iei . . . 26
2.3 S¸iruri ˆınRp . . . 28
2.4 Serii de numere reale . . . 28
2.5 Serii cu termeni pozitivi . . . 33
2.6 Serii cu termeni oarecare . . . 38
3 Limite de funct¸ii 42 3.1 Limita unei funct¸ii reale de o variabil˘a real˘a . . . 42
3.2 Limita unei funct¸ii de o variabil˘a vectorial˘a . . . 45
4 Funct¸ii continue 49 4.1 Continuitatea funct¸iilor reale de o variabil˘a real˘a . . . 49
4.2 Continuitatea uniform˘a a funct¸iilor de o variabil˘a . . . 51
4.3 Continuitatea funct¸iilor de o variabil˘a vectorial˘a . . . 53
5 Derivate ¸si diferent¸iale 55 5.1 Derivata ¸si diferent¸iala funct¸iilor de o variabil˘a . . . 55
5.2 Propriet˘at¸i ale funct¸iilor derivabile . . . 59
5.3 Derivatele ¸si diferent¸iala funct¸iilor denvariabile . . . 64
6 Funct¸ii definite implicit 74 6.1 Funct¸ii definite implicit de o ecuat¸ie . . . 74
6.2 Funct¸ii definite implicit de un sistem de ecuat¸ii . . . 77
6.3 Transform˘ari punctuale . . . 79
6.4 Dependent¸˘a ¸si independent¸˘a funct¸ional˘a . . . 81
6.5 Schimb˘ari de variabile . . . 83
2
CUPRINS 3 7 Extreme pentru funct¸ii de mai multe variabile 87
7.1 Puncte de extrem pentru funct¸ii de mai multe variabile . . . 87
7.2 Extreme pentru funct¸ii definite implicit . . . 89
7.3 Extreme condit¸ionate . . . 91
8 S¸iruri ¸si serii de funct¸ii 93 8.1 S¸iruri de funct¸ii reale . . . 93
8.2 Serii de funct¸ii . . . 97
8.3 Serii de puteri . . . 100
8.4 Serii Taylor . . . 101
9 Elemente de geometrie diferent¸ial˘a 104 9.1 Curbe plane . . . 104
9.2 Curbe ˆın spat¸iu . . . 112
9.3 Suprafet¸e . . . 118
10 Integrala Riemann ¸si extinderi 122 10.1 Primitive. Integrala nedefinit˘a . . . 122
10.2 Integrala definit˘a . . . 126
10.3 Integrale improprii . . . 133
10.4 Integrale cu parametri . . . 137
11 Integrale curbilinii 140 11.1 Lungimea unui arc de curb˘a . . . 140
11.2 Integrale curbilinii de primul tip . . . 141
11.3 Integrale curbilinii de tipul al doilea . . . 143
11.4 Independent¸a de drum a integralelor curbilinii . . . 146
11.5 Calculul ariei cu ajutorul integralei curbilinii . . . 147
12 Integrale multiple 148 12.1 Integrala dubl˘a . . . 148
12.2 Aria suprafet¸elor . . . 155
12.3 Integrala de suprafat¸˘a de primul tip . . . 157
12.4 Integrale de suprafat¸˘a de tipul al doilea . . . 158
12.5 Integrala tripl˘a . . . 160
13 Ecuat¸ii diferent¸iale ordinare 167 13.1 Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul ˆıntˆai . . . 167
13.2 Alte ecuat¸ii integrabile prin metode elementare . . . 173
13.3 Ecuat¸ii diferent¸iale de ordin superior . . . 175
13.4 Ecuat¸ii c˘arora li se poate mic¸sora ordinul . . . 176
14 Ecuat¸ii ¸si sisteme diferent¸iale liniare 178 14.1 Sisteme diferent¸iale liniare de ordinul ˆıntˆai . . . 178
14.2 Sisteme diferent¸iale liniare cu coeficient¸i constant¸i . . . 180
14.3 Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul n. . . 184
14.4 Ecuat¸ii de ordinulncu coeficient¸i constant¸i . . . 187
CUPRINS 4 14.5 Ecuat¸ia lui Euler . . . 189
Capitolul 1
Elemente de teoria spat¸iilor metrice
1.1 Spat¸ii metrice
1.1 Fie(G,+)un grup comutativ ¸si p:G→R+ o funct¸ie ce satisface propriet˘at¸ile:
1) p(x) = 0d.d. x= 0;
2) p(−x) =p(x),∀x∈G;
3) p(x+y)≤p(x) +p(y),∀x, y∈G.
S˘a se arate c˘a aplicat¸ia d:G×G→R,d(x, y) =p(x−y),∀x, y∈Geste o metric˘a peG.
R: Verific˘am c˘ad satisface axiomele metricii: 1o. d(x, y) =p(x−y)≤0,∀x, y ∈G pentru c˘ax−y =x+ (−y)∈G¸sid(x, y) = 0⇔ p(x−y) = 0⇔ x−y = 0⇔ x=y;
2o. d(x, y) = p(x−y) = p(−x+y) = p(y −x) = d(y, x); 3o. d(x, y) = p(x−y) = p(x−z+z−y)≤p(x−z) +p(z−y) =d(x, z) +d(z, y),∀x, y, z∈G.
1.2 Fie N mult¸imea numerelor naturale. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele aplicat¸ii sunt distant¸e peN:
1) d:N×N→R+,d(m, n) =|m−n|,∀m, n∈N.
2) d:N∗×N∗→R+,d(m, n) = 1
m−n1
,∀m, n∈N∗. 3)d:N×N→R+,d(m, n) =
1+mm −1+nn
,∀m, n∈N.
1.3 Fie Rn = R×R× · · · ×R, produsul cartezian constˆand din n ≥ 1 factori ¸si x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn. S˘a se arate c˘a aplicat¸iile: d, δ,∆ : Rn×Rn→R+, definite prin:
d(x,y) = vu utXn
k=1
(xk−yk)2, δ(x,y) = Xn
k=1
|xk−yk|, ∆(x,y) = max
k=1,n|xk−yk| sunt metrici peRn.
5
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 6 R: Pentrudse aplic˘a inegalitatea lui Minkowski:
vu utXn
k=1
(ak+bk)2≤ vu utXn
k=1
a2k+ vu utXn
k=1
b2k, ∀a= (a1, a2, . . . , an), b= (b1, b2, . . . , bn).
1.4 S˘a se ha¸sureze ˆınR2 sferele deschiseS(0, r),r >0, relative la metricile d, δ,∆.
1.5 S˘a se arate c˘ad, δ,∆ sunt metrici echivalente peRn. R: Se demonstreaz˘a inegalit˘at¸ile: ∆≤δ≤√
n·d≤n·∆≤n·δ≤n√ n·δ.
1.6 S˘a se arate c˘ad:R×R→R+,d(x, y) = 1+|x−y||x−y| ,∀x, y∈Reste o metric˘a peR.
R: Se t¸ine seama c˘a oricare ar fia, b, c≥0 cua≤b+c, avem:
a
1 +aa≤ b
1 +bb+ c 1 +cc, deoarece din 0≤α≤β urmeaz˘a 1+αα ≤1+ββ .
1.7 Fie d : X×X→R+ o metric˘a pe X. S˘a se arate c˘a aplicat¸ia δ : X×X→R+
definit˘a prinδ(x, y) =1+d(x,y)d(x,y) este de asemenea o metric˘a peX. 1.8 S˘a se arate c˘a ˆıntr-un spat¸iu metric(X, d) avem:
1) d(x1, xn)≤Pn
i=1
d(xi, xi+1),∀x1, . . . , xn∈X,n≥2.
2) |d(x, z)−d(z, y)| ≤d(x, y),∀x, y, z∈X.
3) |d(x, y)−d(x0, y0)| ≤d(x, x0) +d(y, y0),∀x, x0, y, y0 ∈X.
R: 3)d(x, y)≤d(x, x0) +d(x0, y)≤d(x, x0) +d(x0, y0) +d(y0, y).
1.9 FieX o mult¸ime nevid˘a. S˘a se arate c˘a aplicat¸iad:X×X →R, definit˘a prin:
d(x, y) =
0, x=y 1, x6=y este o metric˘a peX (metrica discret˘a peX).
1.10 S˘a se arate c˘a aplicat¸ia d:R+×R+→R+, definit˘a prin:
d(x, y) =
x+y, x6=y, 0, x6=y este o metric˘a peR+.
1.11 S˘a se arate c˘a aplicat¸ia d:Rn×Rn →R, definit˘a prin:
d(x,y) = Xn
k=1
1
2k · |xk−yk| 1 +|xk−yk|,
∀x= (x1, x2, . . . , xn),y= (y1, y2, . . . , yn)∈Rn este o metric˘a peRn.
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 7 1.12 S˘a se arate c˘a urm˘atoarele aplicat¸ii sunt metrici pe mult¸imile indicate:
1) d: (0,∞)×(0,∞)→R,d(x, y) = 1x−y1
.
2) d:R×R→R,d(x, y) = 1+√x
1+x2x− y
1+√
1+y2
. 3) d:R2×R2→R,
d(x,y) =
|x2−y2|, x1=y1,
|x2|+|y2|+|x1−y1|, x16=y1, (metrica mersului prin jungl˘a), unde: x= (x1, y1),y= (y1, y2).
4) d:R2×R2→R, d(x,y) =
pp(x1−x2)2+ (x2−y2)2, dac˘a exist˘a o dreapt˘a δ⊂R2 a.ˆı.0,x,y∈δ, x21+x22+p
y12+y22, ˆın rest,
(metrica c˘aii ferate franceze), unde: 0= (0,0),x= (x1, y1),y= (y1, y2).
1.13 S˘a se arate c˘a urm˘atoarele aplicat¸ii sunt norme pe Rn: 1) ||x||=
sPn
k=1
x2k,∀x= (x1, x2, . . . , xn)∈Rn. 2) ||x||= Pn
k=1
|xk|,∀x= (x1, x2, . . . , xn)∈Rn.
3) ||x||= sup|xk|,k= 1, n,∀x= (x1, x2, . . . , xn)∈Rn. 1.14 Fie M={A=
a+bi c+di
−c+di a−bi
, cu a, b, c∈R, i2 =−1} ¸si f : M →R+, f(A) =√
detA. S˘a se arate c˘a(M,|| · ||) este spat¸iu normat ˆın raport cu norma dat˘a prin||A||=f(A).
1.15 Fie C[1,e]0 ={f : [1, e] →R, f continu˘a pe [1, e]}. S˘a se arate c˘a aplicat¸ia|| · || : C0[1,e] → R definit˘a prin ||f|| = Re
1(f2(x)·lnx)dx1/2
este o norm˘a pe C[1,e]0 ¸si s˘a se g˘aseasc˘a norma funct¸ieif(x) =√
x.
1.16 Fie C[0,1]1 = {f : [0,1] → R, f derivabil˘a cu derivat˘a continu˘a pe [0,1]}. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele aplicat¸ii sunt norme peC[0,1]1 :
1)||f||= sup{|f(x)|, x∈[0,1]}. 2)||f||=R1
0 |f(x)|dx.
3)||f||=|f(0)|+ sup{|f(x)|, x∈[0,1]}. 4)||f||=hR1
0 f2(x)dx i1/2
. 1.17 Fie mult¸imea X ={1,2,3,4}¸si clasele:
τ1={∅, X,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}}, τ2={∅, X,{1},{2},{3,4},{2,3,4}}.
1) S˘a se arate c˘aτ1 este topologie pe X darτ2 nu este topologie pe X.
2) S˘a se g˘aseasc˘a sistemele de vecin˘at˘at¸i ale punctelor 3 ¸si 4 din spat¸iul topologic (X, τ1).
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 8 R: Se verific˘a propriet˘at¸ile din definit¸ia topologiei. Pentru τ2 se constat˘a c˘a, de exemplu{1} ∪ {2}={1,2}∈/τ2.
1.18 Fie X ={α, β, γ, δ} ¸si familia de mult¸imi:
τ={∅,{α},{γ},{α, β},{α, γ},{α, β, γ}, X}.
S˘a se arate c˘a τ este o topologie pe X ¸si s˘a se determine sistemele de vecin˘at˘at¸i ale punctelorα,β,γ ¸siδ.
1.19 Dac˘a X 6= ∅ ¸si τ0 = {∅, X}, atunci (X, τ0) este spat¸iu topologic pe X, numit spat¸iul topologicnondiscret (grosier) pe X.
1.20 Dac˘a X 6=∅ ¸siP(X) este mult¸imea tuturor p˘art¸ilor mult¸imiiX, iarτ1=P(X), atunci(X, τ1)este spat¸iu topologic peX, numit spat¸iul topologic discret peX.
1.21 Dac˘a X are mai mult de dou˘a elemente ¸si a∈ X, fixat, atunci τ = {∅,{a}, X}
este o topologie peX, diferit˘a de topologia nondiscret˘a ¸si de cea discret˘a.
1.22 Fie X ={a, b, c, d, e}. S˘a se precizeze care dintre urm˘atoarele familii de p˘art¸i ale luiX este o topologie pe X:
1) τ1={∅, X,{a},{a, b},{a, c}}.
2) τ2={∅, X,{a, b, c},{a, b, d},{a, b, c, d}}.
3) τ3={∅, X,{a},{a, b},{a, c, d},{a, b, c, d}}.
R:τ1¸siτ2 nu,τ3 da.
1.23 Fie τ={∅,R,(q,∞)}, q∈Q. S˘a se arate c˘aτ este o topologie pe R.
R: Mult¸imeaA= S
q∈Q
{(q,∞), q >√
2}= (√
2,∞) este o reuniune de mult¸imi dinτ, totu¸si ea nu apart¸ine luiτ deoarece√
2∈/Q.
1.24 Pe mult¸imea X={a, b, c} urm˘atoarele familii de p˘art¸i ale luiX sunt topologii:
τ1={∅, X,{a},{b, c}}; τ2={∅, X,{a},{a, c}};
τ3={∅, X,{b},{a, c}}; τ4={∅, X,{c},{b, c}}.
1.25 Fie τ={∅,R,(−α, α)},α >0. S˘a se arate c˘aτ este o topologie pe R.
1.26 Pe mult¸imea X={1,2,3,4,5}se consider˘a topologia:
τ={∅, X,{1},{1,2},{1,3,4},{1,2,3,4},{1,2,5}}.
1) S˘a se g˘aseasc˘a punctele interioare ale mult¸imiiA={1,2,3}.
2) S˘a se g˘aseasc˘a punctele exterioare ale mult¸imiiA.
3) S˘a se g˘aseasc˘a punctele frontier˘a ale mult¸imiiA.
R: 1) IntA={1,2}deoarece 1∈ {1,2} ⊂A, 2∈ {1,2} ⊂A. 3 nu este punct interior luiA deoarece nu apart¸ine la nici o mult¸ime deschis˘a inclus˘a ˆın A. 2) CA = {4,5} ¸si IntCA=∅, deci nu exist˘a puncte exterioare luiA. 3) FrA={3,4,5}.
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 9 1.27 S˘a se arate c˘a urm˘atoarele familii de p˘art¸i sunt topologii pe R:
1) τi={∅,R,(a,∞)},∀a∈R, (topologia inferioar˘asau dreapt˘a a luiR).
2) τs={∅,R,(−∞, a)},∀a∈R, (topologia superioar˘asau stˆang˘a a lui R).
1.28 S˘a se g˘aseasc˘a interiorul, exteriorul ¸si frontiera intervalului I = [3,∞)relativ la spat¸iul topologic(R, τi), undeτi este topologia inferioar˘a pe R.
R: Cea mai ampl˘a mult¸ime deschis˘a, cont¸inut˘a ˆınI, este (3,∞), deci IntA= (3,∞).
CI = (−∞,3) ¸si nu cont¸ine nici o alt˘a mult¸ime deschis˘a ˆın afar˘a de mult¸imea vid˘a.
IntCA=∅, FrA= (−∞,3].
1.2 Mult¸imea numerelor reale
1.29 S˘a se arate c˘a mult¸imea A = {xn = √n n+ √n1
n + 1n + 1, n ∈ N, n ≥ 2} este m˘arginit˘a.
R: Dinx+1x ≥2 pentru orice num˘ar real pozitiv, rezult˘axn>2 + 0 + 1 = 3, adic˘a a= 3 este un minorant pentru A. Cum pentru n≥2, 1< √n
n < 2 ¸si n1 ≤ 12, urmeaz˘a xn<2 + 1 + 12+ 1 = 92, adic˘a b= 92 este un majorant pentruA.
1.30 S˘a se arate c˘a mult¸imeaAα={y∈R, y=xαx+12+x+2, x∈R}este m˘arginit˘a pentru oriceα∈R¸si s˘a se determineinfAα ¸sisupAα.
R: Fie y ∈ Aα. Atunci: yx2+ (y−α)x+ 2y−1 = 0, care trebuie s˘a aib˘a solut¸ii reale. Deci (y−α)2−4y(2y−1) = −7y2−2(α−2)y+α2 ≥ 0, de unde, notˆand cu β= 2√
2α2−α+ 1,:
y∈
2−α−β
7 ,2−α+β 7
. A¸sadar:
infAα= minAα= 2−α−β
7 , supAα= maxAα= 2−α+β
7 .
1.31 S˘a se determine minorant¸ii, majorant¸ii, cel mai mic element ¸si cel mai mare element (dac˘a exist˘a) ale urm˘atoarelor mult¸imi de numere reale:
1)A={sin 1,sin 2,sin 3}. 2)A=
1−n1, n∈N∗ . 3)A=
n2n−1
2n+1, n∈N∗ o
. 4)A={x∈R, x2≤5}.
5)A={x∈R, x≥0, x2>5}. 6)A={x∈R, x3−x≤0}.
7)A={x−sinx, x∈R}.
R: 1) Cum: sin 2 = sin(π−2), sin 3 = sin(π−3), deoarece: 0< π−3<1< π−2< π2
¸si funct¸ia sinus este strict cresc˘atoare pe 0,π2
, rezult˘a:
sin 0<sin(π−3)<sin 1<sin(π−2)<sinπ 2
¸si deci 0<sin 3<sin 1<sin 2<1. A¸sadar: minA= sin 3, maxA= sin 2 ¸si orice num˘ar a≤sin 3 este un minorant, iar orice num˘arb≥sin 2 este un majorant.
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 10 2) Deoarece n1 ≤1, rezult˘a c˘a 1−n1 ≥0. Deci 0 este un minorant al mult¸imii A¸si orice num˘ara∈ (−∞,0] este minorant. Nici un num˘ar a > 0 nu poate fi minorant al mult¸imiiAdeoarece 0∈A¸si din definit¸ia minorantului ar rezulta c˘aa≤0 (contradict¸ie).
Evident infA = minA = 0. Mult¸imea majorant¸ilor este [1,∞). ˆIntr-adev˘ar, b ≥ 1 implic˘ab≥1−1n, pentru oricen∈N∗. Dac˘ab <1 rezult˘a 1−b >0 ¸si atunci∃n∈N∗ a.ˆı. 1−b > n1 saub <1−n1, adic˘a bnu ar mai fi majorant. Evident supA= 1, ˆın timp ce maxAnu exist˘a.
3) Din inegalitatea:
1
3 ≤2n−1
2n+ 1 <1, n∈N∗, deducem c˘a mult¸imea miniorant¸ilor lui A este −∞,13
, mult¸imea majorant¸ilor este [1,∞), infA= minA= 13, supA= 1, iar maxAnu exist˘a.
4) infA= minA=−√
5, supA= maxA=√ 5, 5) infA=√
5, supA=∞, 6) infA=−∞, maxA= supA= 1, 7) infA7=−∞, supA7=∞.
1.32 S˘a se determine infA,minA,supA¸simaxA dac˘a:
1)A={x∈R, x= a2a+1+a+1, a∈R}.
2)A={y∈R, y= xx22−3x+2+x+1, x∈R}.
3)A={y∈R, y= 3x2+4xx2+1√3−1, x∈R}.
R: 1) Din xa2+ (x−1)a+x−1 = 0, cu a ∈ R, rezult˘a A =
−13,1 . Deci infA= minA=−13, supA= maxA= 1. 2)A=
h9−2√ 21
3 ,9+23√21 i
. 3)A= [−3,5].
1.33 Utilizˆand axioma lui Arhimede, s˘a se arate c˘a pentru orice x∈R∗ exist˘a n∈Z a.ˆı. s˘a avem:
1)x2+n≥nx+ 1. 2)x2≥2x+n.
R: 1) Inegalitatea se mai scrie: x2−1≥n(x−1). Pentru x= 1 este evident˘a. Dac˘a x6= 1, pentru num˘arul real xx−12−1 =x+ 1, conform axiomei lui Arhimede, exist˘an∈Z a.ˆı. x+ 1≥n.
1.34 Fie [an, bn] ⊃[an+1, bn+1], n ∈ N∗ un ¸sir descendent de segmente reale. S˘a se arate c˘a:
1) ∞T
n=1
[an, bn]6=∅ (Cantor-Dedekind).
2) Dac˘a bn−an≤ n1,n∈N∗, atunci exist˘a un num˘ar x0 ∈R,unic determinat, cu proprietatea c˘a: ∞T
n=1
[an, bn] ={x0}.
R: 1) Din [an, bn]⊃[an+1, bn+1] rezult˘a c˘aan ≤bm,∀n, m∈N∗. A¸sadar mult¸imea A = {an, n ∈ N∗} este m˘arginit˘a superior (orice bm este un majorant), iar mult¸imea B={bm, m∈N∗}este m˘arginit˘a inferior (oriceaneste un minorant). Exist˘a deci supA
¸si infB ¸si supA≤infB. ˆIn concluzie, ∞T
n=1[an, bn]⊃[supA,infB]6=∅.
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 11 2) Dac˘a ar exista x¸si y cux < y ¸si x, y ∈ ∞T
n=1[an, bn], atunci din an ≤x < y ≤bn
rezult˘a: 0< y−x≤bn−an ≤ n1, adic˘a n(y−x) ≤1,n ∈N∗, ceea ce ar contrazice axioma lui Arhimede aplicat˘a numerelory−x¸si 1.
1.35 Dac˘a a1, a2, . . . , an∈R∗+ ¸si a1·a2· · · · ·an= 1, atunci a1+a2+· · ·+an ≥n.
R: Folosim metoda induct¸iei matematice. P(2) : dac˘aa1, a2∈R∗+¸sia1·a2= 1, atunci a1+a2≥2. Fiea1≥1 ¸sia2≤1. Urmeaz˘a (a1−1)(a2−1)≤0 saua1+a2≥1+a1·a2≥2.
P(n) : dac˘aa1, a2, . . . , an ∈R∗+¸sia1·a2· · · · ·an= 1, atuncia1+a2+· · ·+an ≥n.
P(n+ 1) : dac˘a a1, a2, . . . , an, an+1 ∈ R∗+ ¸si a1 ·a2· · · · · an ·an+1 = 1, atunci a1+a2+· · ·+an+an+1≥n+ 1.
Printre numerelea1, a2, . . . , an, an+1exist˘a cel put¸in unul mai mare sau cel put¸in egal cu 1 ¸si cel put¸in unul mai mic sau cel mult egal cu 1. F˘ar˘a a restrˆange generalitatea, putem presupune c˘a acestea sunta1 ¸si a2. Din P(2) avem c˘a a1+a2 ≥1 +a1·a2, de unde deducem:
a1+a2+· · ·+an+an+1≥1 +a1·a2+a3+· · ·+an+an+1≥1 +n, deoarecea1·a2, . . . , an, an+1 suntnnumere al c˘aror produs este 1.
1.36 Inegalitatea mediilor. Fiex1, x2, . . . , xn∈R∗+ ¸siAmedia aritmetic˘a,Gmedia geometric˘a,H media armonic˘a a celornnumere, definite prin;
A=x1+x2+· · ·+xn
n , G= √n
x1·x2· · · · ·xn, H= n
1
x1 + 1
x2 +· · · 1
xn
. S˘a se arate c˘a au loc inegalit˘at¸ile: H ≤G≤A.
R: Din definit¸ia mediei geometrice avem:
x1·x2· · · · ·xn
Gn = 1 sau x1
G ·x2
G · · · · ·xn
G = 1.
Luˆand ˆın exercit¸iul precedentak = xGk,k= 1, n, obt¸inem: xG1 +xG2 +· · ·+xGn ≥n, sau A≥G. ˆInlocuind aici pe xk prin 1
xk,k= 1, n, g˘asimH ≤G.
1.37 Inegalitatea lui Schwarz-Cauchy. Pentru orice numere reale a1, a2, . . . , an ¸si b1, b2, . . . , bn are loc inegalitatea:
(a1b1+a2b2+· · ·+anbn)2≤ a21+a22+· · ·+a2n
b21+b22+· · ·+b2n ,
sau
Xn
k=1
akbk
≤
vu utXn
k=1
a2k· vu utXn
k=1
b2k.
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 12 R: Fie trinomul de gradul al doilea:
f(x) = a21+a22+· · ·+a2n
x2−2 (a1b1+a2b2+· · ·+anbn)x+ b21+b22+· · ·+b2n , care se mai scrie:
f(x) = (a1x−b1)2+ (a2x−b2)2+· · ·+ (anx−bn)2≥0 pentru oricex∈R, deci ∆≤0, ceea ce implic˘a inegalitatea dat˘a.
1.38 Inegalitatea lui Minkowski. Pentru orice numere realeak,bk,k= 1, nare loc
inegalitatea: v
uu tXn
k=1
(ak+bk)2≤ vu utXn
k=1
a2k+ vu utXn
k=1
b2k. R: Tinˆand seama de inegalitatea lui Schwarz-Cauchy, avem:
Xn
k=1
(ak+bk)2= Xn
k=1
a2k+ 2 Xn
k=1
akbk+ Xn
k=1
b2k ≤ Xn
k=1
a2k+ 2 vu utXn
k=1
a2k· vu utXn
k=1
b2k+ Xn
k=1
b2k, sau
Xn
k=1
(ak+bk)2≤
vu utXn
k=1
a2k+ vu utXn
k=1
b2k
2
, de unde, extr˘agˆand radicalul rezult˘a inegalitatea dat˘a.
1.39 Inegalitatea lui Bernoulli. Oricare ar fi a ∈ [−1,∞) ¸si α ∈ [1,∞) avem:
(1 +a)α≥1 +αa.
R: Inegalitatea rezult˘a din studiul monotoniei funct¸iei f : [−1,∞) → R, f(x) = (1 +x)α−αx−1, observˆand c˘a aceasta are un minim egal cu 0 ˆınx= 0.
1.40 Dac˘a a∈[−1,∞)¸sin∈N∗ atunci: (1 +a)n ≥1 +na.
R: Se ia ˆın inegalitatea lui Bernoulliα=n.
1.41 Dac˘a b >0,b6= 1, atunci:
1+nb n+1
n+1
> bn. R: Aplicˆand inegalitatea lui Bernoulli, avem:
1 +nb n+ 1
n+1
=
b+ 1−b n+ 1
n+1
=bn+1
1 + 1−b b(n+ 1)
n+1
> bn+1
1 + 1−b b
=bn. 1.42 S˘a se arate c˘a:
1)
1 + 1 n+ 11
n+1
>
1 + 1
n n
. 2)
1− 1 n+ 1
n+1
>
1− 1
n n
.
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 13 R: Se ia ˆın inegalitatea precedent˘ab= 1 + 1n, respectivb= 1 +n1.
1.43 S˘a se arate c˘a oricare ar fi numerele reale a1, a2, . . . , an ≥ −1, de acela¸si semn, are loc inegalitatea (generalizare a inegalit˘at¸ii lui Bernoulli):
(1 +a1)(1 +a2)· · ·(1 +an)≥1 +a1+a2+· · ·+an. R: Se folose¸ste induct¸ia matematic˘a.
1.44 Inegalitatea lui Cebˆı¸sev. Fie a1, a2, . . . , an ¸si b1, b2, . . . , bn numere reale cu a1 ≥a2 ≥ · · · ≥ an, b1 ≥b2 ≥ · · · ≥ bn ¸si S =a1bi1+a2bi2+· · ·anbin, n≥2, unde {i1, i2, . . . , in}={1,2, . . . , n}. S˘a se arate c˘a:
a1bn+a2bn−1+· · ·anb1≤S≤a1b1+a2b2+· · ·+anbn.
R:Fiej < k,ij< ik atunci (aj−ak)(bij −bik)≥0 implic˘a: ajbij+akbik ≥ajbik+ akbij. Deci orice inversiune ˆın mult¸imea {i1, i2, . . . , in} mic¸soreaz˘a suma S, ca atare ea este maxim˘a pentru permutarea identic˘a {1,2, . . . , n} ¸si minim˘a pentru permutarea {n, n−1, . . . ,1}.
1.45 Fie a1, a2, . . . , an ¸sib1, b2, . . . , bn numere reale cu a1 ≥a2 ≥ · · · ≥an,b1 ≥b2≥
· · · ≥bn. S˘a se arate c˘a:
n· Xn
i=1
aibi
!
≥ Xn
i=1
ai
!
· Xn
i=1
bi
! .
R: Din exercit¸iul precedent rezult˘a c˘a maxS= Pn
i=1
aibi. Avem deci inegalit˘at¸ile:
Xn
i=1
aibi = a1b1+a2b2+· · ·+anbn, Xn
i=1
aibi ≥ a1b2+a2b3+· · ·+anb1, ...
Xn
i=1
aibi ≥ a1bn+a2b1+· · ·+anbn−1. Prin adunare membru cu membru obt¸inem inegalitatea din enunt¸.
1.46 Fie a, b, c >0. S˘a se arate c˘a:
1) b+ca +a+cb b+a+bc c≥32. 2) a+b+c≤a22c+b2 +b22a+c2 +c2+a2b2 ≤ abc3+cab3 +cab3. R: Se aplic˘a inegalitatea lui Cebˆı¸sev:
1) pentru tripletele (a, b, c) ¸si
1
b+c,a+c1 ,a+b1 , 2) pentru tripletele: (a2, b2, c2) ¸si 1c,1b,a1
, respectiv (a3, b3, c3) ¸si abca ,abcb ,abcc .
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 14 1.47 Inegalitatea lui H¨older. Dac˘a a1, a2, . . . , an ≥ 0, b1, b2, . . . , bn ≥ 0, p > 1, q >1¸si p1+1q = 1, atunci:
Xn
i=1
aibi≤ Xn
i=1
api
!1/p n X
i=1
bqi
!1/q .
R: Dac˘a Pn
i=1
api = 0 sau Pn
i=1
bqi = 0 inegalitatea este evident˘a. Fie:
A= api Pn i=1
api
, B= bqi Pn i=1
bqi
¸si funct¸ia f : [0,∞)→R, definit˘a prin: f(x) = xα−αx,α∈(0,1). Deoarecef are ˆın x= 1 un maxim egal cu 1−α, rezult˘a c˘a: xα−αx≤1−α, ∀x∈[0,∞). Lu˘amx= BA
¸si α= 1p, deci 1−α= 1q, deducem: A1p ·B1q ≤ Ap +Bq. ˆInlocuind aici A¸si B, sumˆand apoi dup˘aide la 1 lan, obt¸inem inegalitatea din enunt¸.
1.48 S˘a se arate c˘a pentru orice n∈N∗ are loc inegalitatea:
1·√ 2·√3
3!· · · · · N√
n!≤ (n+ 1)!
2n . R: Se folose¸ste majorarea: √k
k! =√k
1·2· · · · ·k≤ 1+2+···+kk = k+1k . 1.49 Dac˘a x1, x2, . . . , xn∈R∗+, atunci:
(x1+x2+· · ·+xn) 1
x1 + 1
x2 +· · ·+ 1 xn
≥n2. R: Se folose¸ste inegalitatea lui Schwarz-Cauchy cuai=√
xi,bi= √1xi,i= 1, n.
1.50 Dac˘a a1, a2, . . . , an∈R∗+, atunci:
(a21+a1+ 1)· · · · ·(a2n+an+ 1) a1·a2· · · · ·an
≥3n. R: Se folose¸ste inegalitatea: x+x1 ≥2, pentru oricex∈R∗+.
1.51 Dac˘a a1, a2, . . . , an∈R∗+,n≥2 ¸siS=a1+a2+· · ·+an atunci:
a1
S−a1
+ a2
S−a2
+· · ·+ an
S−an
≥ n n−1. R: Not˘ambi= S−a1
i1,i= 1, n. DeoareceS > ai rezult˘a c˘abi>0. putem scrie:
(b1+b2+· · ·+bn) 1
b1+ 1
b2+· · ·+ 1 bn
≥n2, sau
n2 n−1 ≤
Xn
k=1
ak
! n X
k=1
bk
!
≤n a1
S−a1 + a2
S−a2 +· · ·+ an
S−an
.
CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 15 1.52 Dac˘a a, b, c∈R∗+, atunci:
ab
a+b + bc
b+c + ca
c+a ≤ a+b+c
2 .
R: Se t¸ine seama c˘a a+bab ≤a+b4 etc.
1.53 Dac˘a a1, a2, . . . , an∈R∗+,n≥2, atunci:
a1
a2 +a2
a3+· · ·+an−1
an +an
a1 ≥n.
R: Se foloset¸e inegalitatea mediilor.
1.54 Dac˘a a1, a2, . . . , an∈R∗+, atunci:
(1 +a1)(1 +a2)· · ·(1 +an)≥2n. R: Se ˆınmult¸esc membru cu membru inegalit˘at¸ile: 1 +ai≥2√
ai,i= 1, n.
1.55 Dac˘a a, b, c∈R∗+, atunci: (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.
R: Se ˆınmult¸esc membru cu membru inegalit˘at¸ile: a+b≥2√ abetc.
1.56 Dac˘a a1, a2, . . . , an>0,b1, b2, . . . , bn>0, atunci:
pn
(a1+b1)(a2+b2)· · ·(an+bn)≥ √n
a1a2· · ·ann
pb1b2· · ·bn. R: Se folose¸ste inegalitatea mediilor pentru numerele: aai
i+bi, i = 1, n¸si respectiv:
bi
ai+bi,i= 1, n¸si se adun˘a inegalit˘at¸ile obt¸inute.
1.57 Dac˘a a, b, c∈R∗+, atunci:
aa·bb·cc ≥(abc)a+b+c3 .
R: F˘ar˘a a restrˆange generalitatea, putem presupune a ≥b ≥c. Din aa−b ≥ba−b, bb−c ≥cb−c, aa−c ≥ca−c prin ˆınmult¸ire membru cu membru se obt¸ine inegalitatea din enunt¸.
Capitolul 2
S ¸iruri ¸si serii
2.1 S ¸iruri de numere reale
2.1 Folosind teorema de caracterizare cuεa limitei unui ¸sir, s˘a se arate c˘a:
1) lim
n→∞
3·4n+ (−4)n
5n = 0. 2) lim
n→∞
n2+ 2
n+ 1 = +∞.
R: 1) Fieε >0 arbitrar. Este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a exist˘a un rangN =N(ε) a.ˆı.
3·4n+ (−4)n
5n −0
< ε, ∀n > N.
Dar
3·4n+(−4)5n n
≤ 4·45nn < εpentrun > lnlnε44
5. A¸sadar, putem lua N(ε) =
( 0,h ε >4,
lnε4 ln45
i
, ε≤4.
2) Fie ε > 0 arbitrar. Este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a exist˘a un rang N = N(ε) a.ˆı.
n2+2
n+1 > ε,∀n > N. ˆIns˘a nn+12+2 =n−1 + n+13 > n−1> ε, pentru n >1 +ε. Putem lua N(ε) = [1 +ε].
2.2 Folosind teorema de caracterizare cuεa limitei unui ¸sir, s˘a se arate c˘a:
1) lim
n→∞
n 2n−1 = 1
2. 2) lim
n→∞
4n+ 1 5n−1 =4
5. 3) lim
n→∞
n2
2(n2+ 1) = 1 2.
2.3 Folosind criteriul lui Cauchy, s˘a se arate c˘a ¸sirurile (xn)n∈N∗ sunt convergente, unde:
1)xn = Xn
k=1
1
k2. 2)xn = Xn
k=1
sin(kx)
2k , x∈R.
3)xn = Xn
k=1
αk
ak. |αk|<1, k∈N∗, a >1.
16
CAPITOLUL 2. S¸IRURI S¸I SERII 17 R: 1) Ar˘at˘am c˘a∀ε >0,∃N(ε) a.ˆı. |xn+p−xn|< ε,∀n > N(ε) ¸sip∈N∗. Deoarece
1
(n+k)2 < 1
(n+k) (n+k−1) = 1
n+k−1− 1 n+k, avem:
|xn+p−xn|= 1
(n+ 1)2+· · ·+ 1
(n+p)2 < 1 n− 1
n+p < 1 n < ε pentrun > 1ε. Putem luaN(ε) =1
ε
.
2) Ar˘at˘am c˘a∀ε >0,∃N(ε) a.ˆı. |xn+p−xn|< ε,∀n > N(ε) ¸sip∈N∗. Avem:
|xn+p−xn|=
sin(n+ 1)x
2n+1 +· · ·+sin(n+p)x 2n+p
≤ 1
2n+1 +· · ·+ 1 2n+p = 1
2n
1− 1 2p
, deci|xn+p−xn|<21n < εpentrun > lnln 21ε. Putem luaN(ε) =
hln1ε ln 2
i . 3) Avem
|xn+p−xn|= αn+1
an+1 +· · ·+αn+p
an+p
≤ |αn+1|
an+1 +· · ·+|αn+p| an+p < 1
an+1 +· · ·+ 1 an+p, deci|xn+p−xn|< an(a−1)1 ·
1− 1ap
< an(a−1)1 1< εpentru n > lnε(a−1)lna1 . Putem lua N(ε) =
lnε(a−1)1 lna
.
2.4 Folosind criteriul lui Cauchy, s˘a se arate c˘a ¸sirul (xn)n∈N∗ este divergent, unde xn= 1 +1
2 +1
3 +· · ·+1 n.
R: Este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a exist˘a unε0 >0 ¸si unp∈N∗ a.ˆı. |xn+p−xn| ≥ε0. Se constat˘a ˆıns˘a imediat c˘a pentrup=navem:
|x2n−xn|= 1
n+ 1 +· · ·+ 1 2n≥ 1
2 =ε0.
2.5 S˘a se cerceteze natura urm˘atoarelor ¸siruri(xn)n∈N cu termenii generali:
1)xn= 10 1 +11
3 +· · ·+n+ 10
2n+ 1. 2)xn = sinn.
R: 1) S¸irul este divergent. Se observ˘a c˘a:
|x2n−xn|= n+ 11
2n+ 3 +· · ·+2n+ 10
4n+ 1 > 2n+ 10 4n+ 1 > 1
2.
2) Presupunem c˘a exist˘a limxn = x. Atunci avem ¸si limxn+1 =x, limxn−1 = x, ceea ce implic˘a:
n→∞lim [sin(n+ 1)−sin(n−1)] = 0,
adic˘a lim 2 sin 1 cosn = 0 sau lim cosn = 0. Din sin 2n = 2 sinncosn ar rezulta c˘a lim sin 2n = 0. Dar ¸sirul (sin 2n)n∈N∗ este un sub¸sir al ¸sirului (sinn)n∈N∗, de unde se deduce c˘a lim sinn= 0. A¸sadar am avea: lim sin2n+ cos2n
= 0. Contradict¸ie. Deci
¸sirul (xn) este divergent.