• Nu S-Au Găsit Rezultate

ANALIZ ˘ A MATEMATIC ˘ A

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "ANALIZ ˘ A MATEMATIC ˘ A"

Copied!
193
0
0

Text complet

(1)

GHEORGHE PROCOPIUC

PROBLEME

DE

ANALIZ ˘ A MATEMATIC ˘ A

S ¸I

ECUAT ¸ II DIFERENT ¸ IALE

IAS ¸I, 2007

(2)

Cuprins

1 Elemente de teoria spat¸iilor metrice 4

1.1 Spat¸ii metrice . . . 4

1.2 Mult¸imea numerelor reale . . . 8

2 S¸iruri ¸si serii 15 2.1 S¸iruri de numere reale . . . 15

2.2 Principiul contract¸iei . . . 26

2.3 S¸iruri ˆınRp . . . 28

2.4 Serii de numere reale . . . 28

2.5 Serii cu termeni pozitivi . . . 33

2.6 Serii cu termeni oarecare . . . 38

3 Limite de funct¸ii 42 3.1 Limita unei funct¸ii reale de o variabil˘a real˘a . . . 42

3.2 Limita unei funct¸ii de o variabil˘a vectorial˘a . . . 45

4 Funct¸ii continue 49 4.1 Continuitatea funct¸iilor reale de o variabil˘a real˘a . . . 49

4.2 Continuitatea uniform˘a a funct¸iilor de o variabil˘a . . . 51

4.3 Continuitatea funct¸iilor de o variabil˘a vectorial˘a . . . 53

5 Derivate ¸si diferent¸iale 55 5.1 Derivata ¸si diferent¸iala funct¸iilor de o variabil˘a . . . 55

5.2 Propriet˘at¸i ale funct¸iilor derivabile . . . 59

5.3 Derivatele ¸si diferent¸iala funct¸iilor denvariabile . . . 64

6 Funct¸ii definite implicit 74 6.1 Funct¸ii definite implicit de o ecuat¸ie . . . 74

6.2 Funct¸ii definite implicit de un sistem de ecuat¸ii . . . 77

6.3 Transform˘ari punctuale . . . 79

6.4 Dependent¸˘a ¸si independent¸˘a funct¸ional˘a . . . 81

6.5 Schimb˘ari de variabile . . . 83

2

(3)

CUPRINS 3 7 Extreme pentru funct¸ii de mai multe variabile 87

7.1 Puncte de extrem pentru funct¸ii de mai multe variabile . . . 87

7.2 Extreme pentru funct¸ii definite implicit . . . 89

7.3 Extreme condit¸ionate . . . 91

8 S¸iruri ¸si serii de funct¸ii 93 8.1 S¸iruri de funct¸ii reale . . . 93

8.2 Serii de funct¸ii . . . 97

8.3 Serii de puteri . . . 100

8.4 Serii Taylor . . . 101

9 Elemente de geometrie diferent¸ial˘a 104 9.1 Curbe plane . . . 104

9.2 Curbe ˆın spat¸iu . . . 112

9.3 Suprafet¸e . . . 118

10 Integrala Riemann ¸si extinderi 122 10.1 Primitive. Integrala nedefinit˘a . . . 122

10.2 Integrala definit˘a . . . 126

10.3 Integrale improprii . . . 133

10.4 Integrale cu parametri . . . 137

11 Integrale curbilinii 140 11.1 Lungimea unui arc de curb˘a . . . 140

11.2 Integrale curbilinii de primul tip . . . 141

11.3 Integrale curbilinii de tipul al doilea . . . 143

11.4 Independent¸a de drum a integralelor curbilinii . . . 146

11.5 Calculul ariei cu ajutorul integralei curbilinii . . . 147

12 Integrale multiple 148 12.1 Integrala dubl˘a . . . 148

12.2 Aria suprafet¸elor . . . 155

12.3 Integrala de suprafat¸˘a de primul tip . . . 157

12.4 Integrale de suprafat¸˘a de tipul al doilea . . . 158

12.5 Integrala tripl˘a . . . 160

13 Ecuat¸ii diferent¸iale ordinare 167 13.1 Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul ˆıntˆai . . . 167

13.2 Alte ecuat¸ii integrabile prin metode elementare . . . 173

13.3 Ecuat¸ii diferent¸iale de ordin superior . . . 175

13.4 Ecuat¸ii c˘arora li se poate mic¸sora ordinul . . . 176

14 Ecuat¸ii ¸si sisteme diferent¸iale liniare 178 14.1 Sisteme diferent¸iale liniare de ordinul ˆıntˆai . . . 178

14.2 Sisteme diferent¸iale liniare cu coeficient¸i constant¸i . . . 180

14.3 Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordinul n. . . 184

14.4 Ecuat¸ii de ordinulncu coeficient¸i constant¸i . . . 187

(4)

CUPRINS 4 14.5 Ecuat¸ia lui Euler . . . 189

(5)

Capitolul 1

Elemente de teoria spat¸iilor metrice

1.1 Spat¸ii metrice

1.1 Fie(G,+)un grup comutativ ¸si p:G→R+ o funct¸ie ce satisface propriet˘at¸ile:

1) p(x) = 0d.d. x= 0;

2) p(−x) =p(x),∀x∈G;

3) p(x+y)≤p(x) +p(y),∀x, y∈G.

S˘a se arate c˘a aplicat¸ia d:G×G→R,d(x, y) =p(x−y),∀x, y∈Geste o metric˘a peG.

R: Verific˘am c˘ad satisface axiomele metricii: 1o. d(x, y) =p(x−y)≤0,∀x, y ∈G pentru c˘ax−y =x+ (−y)∈G¸sid(x, y) = 0⇔ p(x−y) = 0⇔ x−y = 0 x=y;

2o. d(x, y) = p(x−y) = p(−x+y) = p(y −x) = d(y, x); 3o. d(x, y) = p(x−y) = p(x−z+z−y)≤p(x−z) +p(z−y) =d(x, z) +d(z, y),∀x, y, z∈G.

1.2 Fie N mult¸imea numerelor naturale. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele aplicat¸ii sunt distant¸e peN:

1) d:N×NR+,d(m, n) =|m−n|,∀m, n∈N.

2) d:N×NR+,d(m, n) = 1

mn1

,∀m, n∈N. 3)d:N×NR+,d(m, n) =

1+mm 1+nn

,∀m, n∈N.

1.3 Fie Rn = R×R× · · · ×R, produsul cartezian constˆand din n 1 factori ¸si x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) Rn. S˘a se arate c˘a aplicat¸iile: d, δ,∆ : Rn×RnR+, definite prin:

d(x,y) = vu utXn

k=1

(xk−yk)2, δ(x,y) = Xn

k=1

|xk−yk|, ∆(x,y) = max

k=1,n|xk−yk| sunt metrici peRn.

5

(6)

CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 6 R: Pentrudse aplic˘a inegalitatea lui Minkowski:

vu utXn

k=1

(ak+bk)2 vu utXn

k=1

a2k+ vu utXn

k=1

b2k, ∀a= (a1, a2, . . . , an), b= (b1, b2, . . . , bn).

1.4 S˘a se ha¸sureze ˆınR2 sferele deschiseS(0, r),r >0, relative la metricile d, δ,∆.

1.5 S˘a se arate c˘ad, δ,sunt metrici echivalente peRn. R: Se demonstreaz˘a inegalit˘at¸ile: ∆≤δ≤√

n·d≤n·≤n·δ≤n√ n·δ.

1.6 S˘a se arate c˘ad:R×RR+,d(x, y) = 1+|x−y||x−y| ,∀x, y∈Reste o metric˘a peR.

R: Se t¸ine seama c˘a oricare ar fia, b, c≥0 cua≤b+c, avem:

a

1 +aa≤ b

1 +bb+ c 1 +cc, deoarece din 0≤α≤β urmeaz˘a 1+αα 1+ββ .

1.7 Fie d : X×X→R+ o metric˘a pe X. S˘a se arate c˘a aplicat¸ia δ : X×X→R+

definit˘a prinδ(x, y) =1+d(x,y)d(x,y) este de asemenea o metric˘a peX. 1.8 S˘a se arate c˘a ˆıntr-un spat¸iu metric(X, d) avem:

1) d(x1, xn)Pn

i=1

d(xi, xi+1),∀x1, . . . , xn∈X,n≥2.

2) |d(x, z)−d(z, y)| ≤d(x, y),∀x, y, z∈X.

3) |d(x, y)−d(x0, y0)| ≤d(x, x0) +d(y, y0),∀x, x0, y, y0 ∈X.

R: 3)d(x, y)≤d(x, x0) +d(x0, y)≤d(x, x0) +d(x0, y0) +d(y0, y).

1.9 FieX o mult¸ime nevid˘a. S˘a se arate c˘a aplicat¸iad:X×X R, definit˘a prin:

d(x, y) =

0, x=y 1, x6=y este o metric˘a peX (metrica discret˘a peX).

1.10 S˘a se arate c˘a aplicat¸ia d:R+×R+R+, definit˘a prin:

d(x, y) =

x+y, x6=y, 0, x6=y este o metric˘a peR+.

1.11 S˘a se arate c˘a aplicat¸ia d:Rn×Rn R, definit˘a prin:

d(x,y) = Xn

k=1

1

2k · |xk−yk| 1 +|xk−yk|,

x= (x1, x2, . . . , xn),y= (y1, y2, . . . , yn)Rn este o metric˘a peRn.

(7)

CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 7 1.12 S˘a se arate c˘a urm˘atoarele aplicat¸ii sunt metrici pe mult¸imile indicate:

1) d: (0,∞)×(0,∞)→R,d(x, y) = 1xy1

.

2) d:R×RR,d(x, y) = 1+x

1+x2x− y

1+

1+y2

. 3) d:R2×R2R,

d(x,y) =

|x2−y2|, x1=y1,

|x2|+|y2|+|x1−y1|, x16=y1, (metrica mersului prin jungl˘a), unde: x= (x1, y1),y= (y1, y2).

4) d:R2×R2R, d(x,y) =

pp(x1−x2)2+ (x2−y2)2, dac˘a exist˘a o dreapt˘a δ⊂R2 a.ˆı.0,x,y∈δ, x21+x22+p

y12+y22, ˆın rest,

(metrica c˘aii ferate franceze), unde: 0= (0,0),x= (x1, y1),y= (y1, y2).

1.13 S˘a se arate c˘a urm˘atoarele aplicat¸ii sunt norme pe Rn: 1) ||x||=

sPn

k=1

x2k,∀x= (x1, x2, . . . , xn)Rn. 2) ||x||= Pn

k=1

|xk|,∀x= (x1, x2, . . . , xn)Rn.

3) ||x||= sup|xk|,k= 1, n,x= (x1, x2, . . . , xn)Rn. 1.14 Fie M={A=

a+bi c+di

−c+di a−bi

, cu a, b, c∈R, i2 =−1} ¸si f : M →R+, f(A) =

detA. S˘a se arate c˘a(M,|| · ||) este spat¸iu normat ˆın raport cu norma dat˘a prin||A||=f(A).

1.15 Fie C[1,e]0 ={f : [1, e] R, f continu˘a pe [1, e]}. S˘a se arate c˘a aplicat¸ia|| · || : C0[1,e] R definit˘a prin ||f|| = Re

1(f2(x)·lnx)dx1/2

este o norm˘a pe C[1,e]0 ¸si s˘a se g˘aseasc˘a norma funct¸ieif(x) =

x.

1.16 Fie C[0,1]1 = {f : [0,1] R, f derivabil˘a cu derivat˘a continu˘a pe [0,1]}. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele aplicat¸ii sunt norme peC[0,1]1 :

1)||f||= sup{|f(x)|, x[0,1]}. 2)||f||=R1

0 |f(x)|dx.

3)||f||=|f(0)|+ sup{|f(x)|, x[0,1]}. 4)||f||=hR1

0 f2(x)dx i1/2

. 1.17 Fie mult¸imea X ={1,2,3,4}¸si clasele:

τ1={∅, X,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}}, τ2={∅, X,{1},{2},{3,4},{2,3,4}}.

1) S˘a se arate c˘aτ1 este topologie pe X darτ2 nu este topologie pe X.

2) S˘a se g˘aseasc˘a sistemele de vecin˘at˘at¸i ale punctelor 3 ¸si 4 din spat¸iul topologic (X, τ1).

(8)

CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 8 R: Se verific˘a propriet˘at¸ile din definit¸ia topologiei. Pentru τ2 se constat˘a c˘a, de exemplu{1} ∪ {2}={1,2}∈/τ2.

1.18 Fie X ={α, β, γ, δ} ¸si familia de mult¸imi:

τ={∅,{α},{γ},{α, β},{α, γ},{α, β, γ}, X}.

S˘a se arate c˘a τ este o topologie pe X ¸si s˘a se determine sistemele de vecin˘at˘at¸i ale punctelorα,β,γ ¸siδ.

1.19 Dac˘a X 6= ¸si τ0 = {∅, X}, atunci (X, τ0) este spat¸iu topologic pe X, numit spat¸iul topologicnondiscret (grosier) pe X.

1.20 Dac˘a X 6=∅ ¸siP(X) este mult¸imea tuturor p˘art¸ilor mult¸imiiX, iarτ1=P(X), atunci(X, τ1)este spat¸iu topologic peX, numit spat¸iul topologic discret peX.

1.21 Dac˘a X are mai mult de dou˘a elemente ¸si a∈ X, fixat, atunci τ = {∅,{a}, X}

este o topologie peX, diferit˘a de topologia nondiscret˘a ¸si de cea discret˘a.

1.22 Fie X ={a, b, c, d, e}. S˘a se precizeze care dintre urm˘atoarele familii de p˘art¸i ale luiX este o topologie pe X:

1) τ1={∅, X,{a},{a, b},{a, c}}.

2) τ2={∅, X,{a, b, c},{a, b, d},{a, b, c, d}}.

3) τ3={∅, X,{a},{a, b},{a, c, d},{a, b, c, d}}.

R:τ1¸siτ2 nu,τ3 da.

1.23 Fie τ={∅,R,(q,∞)}, q∈Q. S˘a se arate c˘aτ este o topologie pe R.

R: Mult¸imeaA= S

q∈Q

{(q,∞), q >√

2}= (

2,∞) este o reuniune de mult¸imi dinτ, totu¸si ea nu apart¸ine luiτ deoarece

2∈/Q.

1.24 Pe mult¸imea X={a, b, c} urm˘atoarele familii de p˘art¸i ale luiX sunt topologii:

τ1={∅, X,{a},{b, c}}; τ2={∅, X,{a},{a, c}};

τ3={∅, X,{b},{a, c}}; τ4={∅, X,{c},{b, c}}.

1.25 Fie τ={∅,R,(−α, α)},α >0. S˘a se arate c˘aτ este o topologie pe R.

1.26 Pe mult¸imea X={1,2,3,4,5}se consider˘a topologia:

τ={∅, X,{1},{1,2},{1,3,4},{1,2,3,4},{1,2,5}}.

1) S˘a se g˘aseasc˘a punctele interioare ale mult¸imiiA={1,2,3}.

2) S˘a se g˘aseasc˘a punctele exterioare ale mult¸imiiA.

3) S˘a se g˘aseasc˘a punctele frontier˘a ale mult¸imiiA.

R: 1) IntA={1,2}deoarece 1∈ {1,2} ⊂A, 2∈ {1,2} ⊂A. 3 nu este punct interior luiA deoarece nu apart¸ine la nici o mult¸ime deschis˘a inclus˘a ˆın A. 2) CA = {4,5} ¸si IntCA=∅, deci nu exist˘a puncte exterioare luiA. 3) FrA={3,4,5}.

(9)

CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 9 1.27 S˘a se arate c˘a urm˘atoarele familii de p˘art¸i sunt topologii pe R:

1) τi={∅,R,(a,∞)},∀a∈R, (topologia inferioar˘asau dreapt˘a a luiR).

2) τs={∅,R,(−∞, a)},∀a∈R, (topologia superioar˘asau stˆang˘a a lui R).

1.28 S˘a se g˘aseasc˘a interiorul, exteriorul ¸si frontiera intervalului I = [3,∞)relativ la spat¸iul topologic(R, τi), undeτi este topologia inferioar˘a pe R.

R: Cea mai ampl˘a mult¸ime deschis˘a, cont¸inut˘a ˆınI, este (3,∞), deci IntA= (3,∞).

CI = (−∞,3) ¸si nu cont¸ine nici o alt˘a mult¸ime deschis˘a ˆın afar˘a de mult¸imea vid˘a.

IntCA=∅, FrA= (−∞,3].

1.2 Mult¸imea numerelor reale

1.29 S˘a se arate c˘a mult¸imea A = {xn = n n+ n1

n + 1n + 1, n N, n 2} este m˘arginit˘a.

R: Dinx+1x 2 pentru orice num˘ar real pozitiv, rezult˘axn>2 + 0 + 1 = 3, adic˘a a= 3 este un minorant pentru A. Cum pentru n≥2, 1< n

n < 2 ¸si n1 12, urmeaz˘a xn<2 + 1 + 12+ 1 = 92, adic˘a b= 92 este un majorant pentruA.

1.30 S˘a se arate c˘a mult¸imeaAα={y∈R, y=xαx+12+x+2, x∈R}este m˘arginit˘a pentru oriceα∈R¸si s˘a se determineinfAα ¸sisupAα.

R: Fie y Aα. Atunci: yx2+ (y−α)x+ 2y1 = 0, care trebuie s˘a aib˘a solut¸ii reale. Deci (y−α)24y(2y1) = −7y22(α2)y+α2 0, de unde, notˆand cu β= 2

2−α+ 1,:

y∈

2−α−β

7 ,2−α+β 7

. A¸sadar:

infAα= minAα= 2−α−β

7 , supAα= maxAα= 2−α+β

7 .

1.31 S˘a se determine minorant¸ii, majorant¸ii, cel mai mic element ¸si cel mai mare element (dac˘a exist˘a) ale urm˘atoarelor mult¸imi de numere reale:

1)A={sin 1,sin 2,sin 3}. 2)A=

1n1, n∈N . 3)A=

n2n−1

2n+1, n∈N o

. 4)A={x∈R, x25}.

5)A={x∈R, x0, x2>5}. 6)A={x∈R, x3−x≤0}.

7)A={x−sinx, x∈R}.

R: 1) Cum: sin 2 = sin(π−2), sin 3 = sin(π−3), deoarece: 0< π−3<1< π−2< π2

¸si funct¸ia sinus este strict cresc˘atoare pe 0,π2

, rezult˘a:

sin 0<sin(π3)<sin 1<sin(π2)<sinπ 2

¸si deci 0<sin 3<sin 1<sin 2<1. A¸sadar: minA= sin 3, maxA= sin 2 ¸si orice num˘ar a≤sin 3 este un minorant, iar orice num˘arb≥sin 2 este un majorant.

(10)

CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 10 2) Deoarece n1 1, rezult˘a c˘a 1n1 0. Deci 0 este un minorant al mult¸imii A¸si orice num˘ara∈ (−∞,0] este minorant. Nici un num˘ar a > 0 nu poate fi minorant al mult¸imiiAdeoarece 0∈A¸si din definit¸ia minorantului ar rezulta c˘aa≤0 (contradict¸ie).

Evident infA = minA = 0. Mult¸imea majorant¸ilor este [1,∞). ˆIntr-adev˘ar, b 1 implic˘ab≥11n, pentru oricen∈N. Dac˘ab <1 rezult˘a 1−b >0 ¸si atunci∃n∈N a.ˆı. 1−b > n1 saub <1n1, adic˘a bnu ar mai fi majorant. Evident supA= 1, ˆın timp ce maxAnu exist˘a.

3) Din inegalitatea:

1

3 2n1

2n+ 1 <1, nN, deducem c˘a mult¸imea miniorant¸ilor lui A este −∞,13

, mult¸imea majorant¸ilor este [1,∞), infA= minA= 13, supA= 1, iar maxAnu exist˘a.

4) infA= minA=−√

5, supA= maxA= 5, 5) infA=

5, supA=∞, 6) infA=−∞, maxA= supA= 1, 7) infA7=−∞, supA7=∞.

1.32 S˘a se determine infA,minA,supA¸simaxA dac˘a:

1)A={x∈R, x= a2a+1+a+1, a∈R}.

2)A={y∈R, y= xx22−3x+2+x+1, x∈R}.

3)A={y∈R, y= 3x2+4xx2+13−1, x∈R}.

R: 1) Din xa2+ (x1)a+x−1 = 0, cu a R, rezult˘a A =

13,1 . Deci infA= minA=13, supA= maxA= 1. 2)A=

h9−2 21

3 ,9+2321 i

. 3)A= [−3,5].

1.33 Utilizˆand axioma lui Arhimede, s˘a se arate c˘a pentru orice x∈R exist˘a n∈Z a.ˆı. s˘a avem:

1)x2+n≥nx+ 1. 2)x22x+n.

R: 1) Inegalitatea se mai scrie: x21≥n(x−1). Pentru x= 1 este evident˘a. Dac˘a x6= 1, pentru num˘arul real xx−12−1 =x+ 1, conform axiomei lui Arhimede, exist˘an∈Z a.ˆı. x+ 1≥n.

1.34 Fie [an, bn] [an+1, bn+1], n N un ¸sir descendent de segmente reale. S˘a se arate c˘a:

1) T

n=1

[an, bn]6=∅ (Cantor-Dedekind).

2) Dac˘a bn−an n1,n∈N, atunci exist˘a un num˘ar x0 R,unic determinat, cu proprietatea c˘a: T

n=1

[an, bn] ={x0}.

R: 1) Din [an, bn][an+1, bn+1] rezult˘a c˘aan ≤bm,∀n, m∈N. A¸sadar mult¸imea A = {an, n N} este m˘arginit˘a superior (orice bm este un majorant), iar mult¸imea B={bm, m∈N}este m˘arginit˘a inferior (oriceaneste un minorant). Exist˘a deci supA

¸si infB ¸si supA≤infB. ˆIn concluzie, T

n=1[an, bn][supA,infB]6=∅.

(11)

CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 11 2) Dac˘a ar exista x¸si y cux < y ¸si x, y T

n=1[an, bn], atunci din an ≤x < y ≤bn

rezult˘a: 0< y−x≤bn−an n1, adic˘a n(y−x) 1,n N, ceea ce ar contrazice axioma lui Arhimede aplicat˘a numerelory−x¸si 1.

1.35 Dac˘a a1, a2, . . . , anR+ ¸si a1·a2· · · · ·an= 1, atunci a1+a2+· · ·+an ≥n.

R: Folosim metoda induct¸iei matematice. P(2) : dac˘aa1, a2R+¸sia1·a2= 1, atunci a1+a22. Fiea11 ¸sia21. Urmeaz˘a (a1−1)(a2−1)≤0 saua1+a21+a1·a22.

P(n) : dac˘aa1, a2, . . . , an R+¸sia1·a2· · · · ·an= 1, atuncia1+a2+· · ·+an ≥n.

P(n+ 1) : dac˘a a1, a2, . . . , an, an+1 R+ ¸si a1 ·a2· · · · · an ·an+1 = 1, atunci a1+a2+· · ·+an+an+1≥n+ 1.

Printre numerelea1, a2, . . . , an, an+1exist˘a cel put¸in unul mai mare sau cel put¸in egal cu 1 ¸si cel put¸in unul mai mic sau cel mult egal cu 1. F˘ar˘a a restrˆange generalitatea, putem presupune c˘a acestea sunta1 ¸si a2. Din P(2) avem c˘a a1+a2 1 +a1·a2, de unde deducem:

a1+a2+· · ·+an+an+11 +a1·a2+a3+· · ·+an+an+11 +n, deoarecea1·a2, . . . , an, an+1 suntnnumere al c˘aror produs este 1.

1.36 Inegalitatea mediilor. Fiex1, x2, . . . , xnR+ ¸siAmedia aritmetic˘a,Gmedia geometric˘a,H media armonic˘a a celornnumere, definite prin;

A=x1+x2+· · ·+xn

n , G= n

x1·x2· · · · ·xn, H= n

1

x1 + 1

x2 +· · · 1

xn

. S˘a se arate c˘a au loc inegalit˘at¸ile: H ≤G≤A.

R: Din definit¸ia mediei geometrice avem:

x1·x2· · · · ·xn

Gn = 1 sau x1

G ·x2

G · · · · ·xn

G = 1.

Luˆand ˆın exercit¸iul precedentak = xGk,k= 1, n, obt¸inem: xG1 +xG2 +· · ·+xGn ≥n, sau A≥G. ˆInlocuind aici pe xk prin 1

xk,k= 1, n, g˘asimH ≤G.

1.37 Inegalitatea lui Schwarz-Cauchy. Pentru orice numere reale a1, a2, . . . , an ¸si b1, b2, . . . , bn are loc inegalitatea:

(a1b1+a2b2+· · ·+anbn)2 a21+a22+· · ·+a2n

b21+b22+· · ·+b2n ,

sau

Xn

k=1

akbk

vu utXn

k=1

a2k· vu utXn

k=1

b2k.

(12)

CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 12 R: Fie trinomul de gradul al doilea:

f(x) = a21+a22+· · ·+a2n

x22 (a1b1+a2b2+· · ·+anbn)x+ b21+b22+· · ·+b2n , care se mai scrie:

f(x) = (a1x−b1)2+ (a2x−b2)2+· · ·+ (anx−bn)20 pentru oricex∈R, deci ∆0, ceea ce implic˘a inegalitatea dat˘a.

1.38 Inegalitatea lui Minkowski. Pentru orice numere realeak,bk,k= 1, nare loc

inegalitatea: v

uu tXn

k=1

(ak+bk)2 vu utXn

k=1

a2k+ vu utXn

k=1

b2k. R: Tinˆand seama de inegalitatea lui Schwarz-Cauchy, avem:

Xn

k=1

(ak+bk)2= Xn

k=1

a2k+ 2 Xn

k=1

akbk+ Xn

k=1

b2k Xn

k=1

a2k+ 2 vu utXn

k=1

a2k· vu utXn

k=1

b2k+ Xn

k=1

b2k, sau

Xn

k=1

(ak+bk)2

 vu utXn

k=1

a2k+ vu utXn

k=1

b2k

2

, de unde, extr˘agˆand radicalul rezult˘a inegalitatea dat˘a.

1.39 Inegalitatea lui Bernoulli. Oricare ar fi a [−1,∞) ¸si α [1,∞) avem:

(1 +a)α1 +αa.

R: Inegalitatea rezult˘a din studiul monotoniei funct¸iei f : [−1,∞) R, f(x) = (1 +x)α−αx−1, observˆand c˘a aceasta are un minim egal cu 0 ˆınx= 0.

1.40 Dac˘a a∈[−1,∞)¸sin∈N atunci: (1 +a)n 1 +na.

R: Se ia ˆın inegalitatea lui Bernoulliα=n.

1.41 Dac˘a b >0,b6= 1, atunci:

1+nb n+1

n+1

> bn. R: Aplicˆand inegalitatea lui Bernoulli, avem:

1 +nb n+ 1

n+1

=

b+ 1−b n+ 1

n+1

=bn+1

1 + 1−b b(n+ 1)

n+1

> bn+1

1 + 1−b b

=bn. 1.42 S˘a se arate c˘a:

1)

1 + 1 n+ 11

n+1

>

1 + 1

n n

. 2)

1 1 n+ 1

n+1

>

1 1

n n

.

(13)

CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 13 R: Se ia ˆın inegalitatea precedent˘ab= 1 + 1n, respectivb= 1 +n1.

1.43 S˘a se arate c˘a oricare ar fi numerele reale a1, a2, . . . , an ≥ −1, de acela¸si semn, are loc inegalitatea (generalizare a inegalit˘at¸ii lui Bernoulli):

(1 +a1)(1 +a2)· · ·(1 +an)1 +a1+a2+· · ·+an. R: Se folose¸ste induct¸ia matematic˘a.

1.44 Inegalitatea lui Cebˆı¸sev. Fie a1, a2, . . . , an ¸si b1, b2, . . . , bn numere reale cu a1 ≥a2 ≥ · · · ≥ an, b1 ≥b2 ≥ · · · ≥ bn ¸si S =a1bi1+a2bi2+· · ·anbin, n≥2, unde {i1, i2, . . . , in}={1,2, . . . , n}. S˘a se arate c˘a:

a1bn+a2bn−1+· · ·anb1≤S≤a1b1+a2b2+· · ·+anbn.

R:Fiej < k,ij< ik atunci (aj−ak)(bij −bik)0 implic˘a: ajbij+akbik ≥ajbik+ akbij. Deci orice inversiune ˆın mult¸imea {i1, i2, . . . , in} mic¸soreaz˘a suma S, ca atare ea este maxim˘a pentru permutarea identic˘a {1,2, . . . , n} ¸si minim˘a pentru permutarea {n, n−1, . . . ,1}.

1.45 Fie a1, a2, . . . , an ¸sib1, b2, . . . , bn numere reale cu a1 ≥a2 ≥ · · · ≥an,b1 ≥b2

· · · ≥bn. S˘a se arate c˘a:

Xn

i=1

aibi

!

Xn

i=1

ai

!

· Xn

i=1

bi

! .

R: Din exercit¸iul precedent rezult˘a c˘a maxS= Pn

i=1

aibi. Avem deci inegalit˘at¸ile:

Xn

i=1

aibi = a1b1+a2b2+· · ·+anbn, Xn

i=1

aibi a1b2+a2b3+· · ·+anb1, ...

Xn

i=1

aibi a1bn+a2b1+· · ·+anbn−1. Prin adunare membru cu membru obt¸inem inegalitatea din enunt¸.

1.46 Fie a, b, c >0. S˘a se arate c˘a:

1) b+ca +a+cb b+a+bc c≥32. 2) a+b+c≤a22c+b2 +b22a+c2 +c2+a2b2 abc3+cab3 +cab3. R: Se aplic˘a inegalitatea lui Cebˆı¸sev:

1) pentru tripletele (a, b, c) ¸si

1

b+c,a+c1 ,a+b1 , 2) pentru tripletele: (a2, b2, c2) ¸si 1c,1b,a1

, respectiv (a3, b3, c3) ¸si abca ,abcb ,abcc .

(14)

CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 14 1.47 Inegalitatea lui H¨older. Dac˘a a1, a2, . . . , an 0, b1, b2, . . . , bn 0, p > 1, q >1¸si p1+1q = 1, atunci:

Xn

i=1

aibi Xn

i=1

api

!1/p n X

i=1

bqi

!1/q .

R: Dac˘a Pn

i=1

api = 0 sau Pn

i=1

bqi = 0 inegalitatea este evident˘a. Fie:

A= api Pn i=1

api

, B= bqi Pn i=1

bqi

¸si funct¸ia f : [0,∞)→R, definit˘a prin: f(x) = xα−αx,α∈(0,1). Deoarecef are ˆın x= 1 un maxim egal cu 1−α, rezult˘a c˘a: xα−αx≤1−α, ∀x∈[0,∞). Lu˘amx= BA

¸si α= 1p, deci 1−α= 1q, deducem: A1p ·B1q Ap +Bq. ˆInlocuind aici A¸si B, sumˆand apoi dup˘aide la 1 lan, obt¸inem inegalitatea din enunt¸.

1.48 S˘a se arate c˘a pentru orice n∈N are loc inegalitatea:

1·√ 2·√3

3!· · · · · N

n!≤ (n+ 1)!

2n . R: Se folose¸ste majorarea: k

k! =√k

1·2· · · · ·k≤ 1+2+···+kk = k+1k . 1.49 Dac˘a x1, x2, . . . , xnR+, atunci:

(x1+x2+· · ·+xn) 1

x1 + 1

x2 +· · ·+ 1 xn

≥n2. R: Se folose¸ste inegalitatea lui Schwarz-Cauchy cuai=

xi,bi= 1xi,i= 1, n.

1.50 Dac˘a a1, a2, . . . , anR+, atunci:

(a21+a1+ 1)· · · · ·(a2n+an+ 1) a1·a2· · · · ·an

3n. R: Se folose¸ste inegalitatea: x+x1 2, pentru oricex∈R+.

1.51 Dac˘a a1, a2, . . . , anR+,n≥2 ¸siS=a1+a2+· · ·+an atunci:

a1

S−a1

+ a2

S−a2

+· · ·+ an

S−an

n n−1. R: Not˘ambi= S−a1

i1,i= 1, n. DeoareceS > ai rezult˘a c˘abi>0. putem scrie:

(b1+b2+· · ·+bn) 1

b1+ 1

b2+· · ·+ 1 bn

≥n2, sau

n2 n−1

Xn

k=1

ak

! n X

k=1

bk

!

≤n a1

S−a1 + a2

S−a2 +· · ·+ an

S−an

.

(15)

CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE TEORIA SPAT¸ IILOR METRICE 15 1.52 Dac˘a a, b, c∈R+, atunci:

ab

a+b + bc

b+c + ca

c+a a+b+c

2 .

R: Se t¸ine seama c˘a a+bab a+b4 etc.

1.53 Dac˘a a1, a2, . . . , anR+,n≥2, atunci:

a1

a2 +a2

a3+· · ·+an−1

an +an

a1 ≥n.

R: Se foloset¸e inegalitatea mediilor.

1.54 Dac˘a a1, a2, . . . , anR+, atunci:

(1 +a1)(1 +a2)· · ·(1 +an)2n. R: Se ˆınmult¸esc membru cu membru inegalit˘at¸ile: 1 +ai2

ai,i= 1, n.

1.55 Dac˘a a, b, c∈R+, atunci: (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.

R: Se ˆınmult¸esc membru cu membru inegalit˘at¸ile: a+b≥2 abetc.

1.56 Dac˘a a1, a2, . . . , an>0,b1, b2, . . . , bn>0, atunci:

pn

(a1+b1)(a2+b2)· · ·(an+bn) n

a1a2· · ·ann

pb1b2· · ·bn. R: Se folose¸ste inegalitatea mediilor pentru numerele: aai

i+bi, i = 1, n¸si respectiv:

bi

ai+bi,i= 1, n¸si se adun˘a inegalit˘at¸ile obt¸inute.

1.57 Dac˘a a, b, c∈R+, atunci:

aa·bb·cc (abc)a+b+c3 .

R: F˘ar˘a a restrˆange generalitatea, putem presupune a ≥b ≥c. Din aa−b ≥ba−b, bb−c ≥cb−c, aa−c ≥ca−c prin ˆınmult¸ire membru cu membru se obt¸ine inegalitatea din enunt¸.

(16)

Capitolul 2

S ¸iruri ¸si serii

2.1 S ¸iruri de numere reale

2.1 Folosind teorema de caracterizare cuεa limitei unui ¸sir, s˘a se arate c˘a:

1) lim

n→∞

3·4n+ (−4)n

5n = 0. 2) lim

n→∞

n2+ 2

n+ 1 = +∞.

R: 1) Fieε >0 arbitrar. Este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a exist˘a un rangN =N(ε) a.ˆı.

3·4n+ (−4)n

5n 0

< ε, ∀n > N.

Dar

3·4n+(−4)5n n

4·45nn < εpentrun > lnlnε44

5. A¸sadar, putem lua N(ε) =

( 0,h ε >4,

lnε4 ln45

i

, ε≤4.

2) Fie ε > 0 arbitrar. Este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a exist˘a un rang N = N(ε) a.ˆı.

n2+2

n+1 > ε,∀n > N. ˆIns˘a nn+12+2 =n−1 + n+13 > n−1> ε, pentru n >1 +ε. Putem lua N(ε) = [1 +ε].

2.2 Folosind teorema de caracterizare cuεa limitei unui ¸sir, s˘a se arate c˘a:

1) lim

n→∞

n 2n1 = 1

2. 2) lim

n→∞

4n+ 1 5n1 =4

5. 3) lim

n→∞

n2

2(n2+ 1) = 1 2.

2.3 Folosind criteriul lui Cauchy, s˘a se arate c˘a ¸sirurile (xn)n∈N sunt convergente, unde:

1)xn = Xn

k=1

1

k2. 2)xn = Xn

k=1

sin(kx)

2k , x∈R.

3)xn = Xn

k=1

αk

ak. k|<1, kN, a >1.

16

(17)

CAPITOLUL 2. S¸IRURI S¸I SERII 17 R: 1) Ar˘at˘am c˘a∀ε >0,∃N(ε) a.ˆı. |xn+p−xn|< ε,∀n > N(ε) ¸sip∈N. Deoarece

1

(n+k)2 < 1

(n+k) (n+k−1) = 1

n+k−1 1 n+k, avem:

|xn+p−xn|= 1

(n+ 1)2+· · ·+ 1

(n+p)2 < 1 n− 1

n+p < 1 n < ε pentrun > 1ε. Putem luaN(ε) =1

ε

.

2) Ar˘at˘am c˘a∀ε >0,∃N(ε) a.ˆı. |xn+p−xn|< ε,∀n > N(ε) ¸sip∈N. Avem:

|xn+p−xn|=

sin(n+ 1)x

2n+1 +· · ·+sin(n+p)x 2n+p

1

2n+1 +· · ·+ 1 2n+p = 1

2n

1 1 2p

, deci|xn+p−xn|<21n < εpentrun > lnln 21ε. Putem luaN(ε) =

hln1ε ln 2

i . 3) Avem

|xn+p−xn|= αn+1

an+1 +· · ·+αn+p

an+p

n+1|

an+1 +· · ·+n+p| an+p < 1

an+1 +· · ·+ 1 an+p, deci|xn+p−xn|< an(a−1)1 ·

1 1ap

< an(a−1)1 1< εpentru n > lnε(a−1)lna1 . Putem lua N(ε) =

lnε(a−1)1 lna

.

2.4 Folosind criteriul lui Cauchy, s˘a se arate c˘a ¸sirul (xn)n∈N este divergent, unde xn= 1 +1

2 +1

3 +· · ·+1 n.

R: Este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a exist˘a unε0 >0 ¸si unp∈N a.ˆı. |xn+p−xn| ≥ε0. Se constat˘a ˆıns˘a imediat c˘a pentrup=navem:

|x2n−xn|= 1

n+ 1 +· · ·+ 1 2n 1

2 =ε0.

2.5 S˘a se cerceteze natura urm˘atoarelor ¸siruri(xn)n∈N cu termenii generali:

1)xn= 10 1 +11

3 +· · ·+n+ 10

2n+ 1. 2)xn = sinn.

R: 1) S¸irul este divergent. Se observ˘a c˘a:

|x2n−xn|= n+ 11

2n+ 3 +· · ·+2n+ 10

4n+ 1 > 2n+ 10 4n+ 1 > 1

2.

2) Presupunem c˘a exist˘a limxn = x. Atunci avem ¸si limxn+1 =x, limxn−1 = x, ceea ce implic˘a:

n→∞lim [sin(n+ 1)sin(n1)] = 0,

adic˘a lim 2 sin 1 cosn = 0 sau lim cosn = 0. Din sin 2n = 2 sinncosn ar rezulta c˘a lim sin 2n = 0. Dar ¸sirul (sin 2n)n∈N este un sub¸sir al ¸sirului (sinn)n∈N, de unde se deduce c˘a lim sinn= 0. A¸sadar am avea: lim sin2n+ cos2n

= 0. Contradict¸ie. Deci

¸sirul (xn) este divergent.

Referințe

DOCUMENTE SIMILARE

The present study was aimed with the formulation of niosomes of aceclofenac followed by the evaluating parameters such as drug content, entrapment efficiency, particle size,

În plus, pentru o mai bun¼ a consolidare a no¸tiunilor, sunt prezentate în cadrul …ec¼ arui capitol ¸ si câte un set de probleme propuse spre rezolvare.. Structura este elaborat¼

Since the diachronic process is not easy to capture and since it is not a typical case of grammaticalization (the morphological and, partially, syntactic features

• Colangiografia transparietohepatică , deşi creşte riscul de angiocolită sau coleperitoneu, poate preciza sediul stenozei, lungimea şi dilatarea bontului biliar

principală şi duoden. În condiţiile în care defluxul biliar egalează refluxul digestivo-biliar, se menţine un echilibru. Unii autori consideră că refluxul

Cea mai simpl˘a modalitate de a g˘asi o replicare pentru func¸tia de plat˘a având la dispozi¸tie instrumentele prezen- tate în enun¸t este s˘a folosim urm˘atoarea imagine...

Personajele lui Cara giale sunt fără să mai fie în România: sunt, în măsura în care ridicolul lor a năpădit peste tot; nu sunt, în măsura în care tragedia zilnică pune un

In the situation where failures are experienced, the genetic algorithm approach yields information about similar, but different, test cases that reveal faults in the software