Grupul ortogonal
Mircea Crasmareanu
Facultatea de Matematic˘a Universitatea ”Al. I. Cuza”
Ia¸si, 700506 Romˆania [email protected]
http://www.math.uaic.ro/∼mcrasm Curs de Perfect¸ionare 2007
9 Figuri
Abstract
However varied may be the imagination of man, nature is still thousand times richer.
H. Poincar´e
Paginile care urmeaz˘a sunt rodul unor ˆıntreb˘ari. De¸si ˆıntreb˘arile au un caracter general, ˆın sensul c˘a ¸si le poate pune orice profesor de matematic˘a (sau om de ¸stiint¸a, sau ¸si mai general, orice om) r˘aspunsurile sunt particulare, pentru c˘a ˆın matematic˘a (sau, cum spuneam ˆın ¸stiint¸˘a) nu exist˘a dictatur˘a!
Astfe, rˆandurile urm˘atoare sunt o invitat¸ie la c˘autare, la gustare din bucuriile acestei lumi, atˆat cˆat au fost ele g˘asite de autor. ˆIn mod sigur, sunt mult, mult mai multe!
S¸i iat˘a deci un h˘at¸i¸s al ˆıntreb˘arilor, puse de autor sie¸si de-a lungul tim- pului:
1) La pagina xi din [3]
Edit¸ia englez˘a a c˘art¸ii citate ()
apare citat˘a o legend˘a a anilor ’20 ai secolului trecut precum c˘a exist˘a doar doisprezece oameni ˆın lume care ˆıl pot ˆınt¸elege cu adev˘arat pe Einstein.
Cel ce scrie aici pred˘a geometria euclidian˘a, un subiect cu adev˘arat ˆınt¸eles de mult mai mult¸i. Dar oare sunt printre ace¸sti preafericit¸i sau am doar o viziune exterioar˘a, ˆın¸sel˘atoare asupra acestei teorii? Revenind la cartea citat˘a, abia acum reu¸sesc, avˆand ¸si un model de comparat, s˘a apreciez la justa valoare, c˘art¸ile Floric˘ai T. Cˆampan de istorie a lui i¸si a altor numere celebre.
Concursul Florica T. Campan (? - 19?)
2) Pe coperta a IV-a a c˘art¸ii [5] este urm˘atoarea povestioar˘a: ”Cinci orbi au pip˘ait un elefant ¸si li s-a cerut s˘a-l descrie. Cel ce i-a atins un picior a spus c˘a-i un stˆalp, cel ce i-a atins burta a spus c˘a-i un tavan, cel ce i-a pip˘ait o latura a spus c˘a-i un zid, cel ce i-a atins urechea a spus c˘a-i un evantai, iar cel ce i-a atins trompa a spus c˘a-i un ¸sarpe uria¸s.” Asemeni autorului respectivei c˘art¸i, m˘a ˆıntreb ¸si eu: care dintre orbi sunt, relativ la elefantul numit geometrie euclidian˘a?
Note de curs
Fix˘am num˘arul natural nenuln ¸si Rmult¸imea numerelor reale. Consider˘am produsul cartezian a n factori Ri.e. Rn =R×. . .×Rcu elemente de forma x= (x1, . . . , xn), xi ∈R,1≤i≤n.
Definit¸ia 1Operat¸ii pe Rn:
· adunarea + : Rn× Rn → Rn, x+y = (x1 +y1, . . . , xn+yn) dac˘a x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn).
·ˆınmult¸irea cu scalari: ·R:R×Rn→Rn, λx= (λx1, . . . , λxn) pentruλ∈R.
Elementele x, y ∈ Rn pentru care exist˘a scalarul λ a.ˆı. y = λx se numesc coliniare. Dac˘a λ > 0 spunem c˘a x, y sunt la fel orientat¸i iar dac˘a λ < 0 spunem c˘a x, y sunt contrar orientat¸i.
Propozit¸ia 2(Rn,+,·R) este spat¸iu vectorial (sau liniar)real.
Demonstrat¸ie Se verific˘a imediat axiomele:
SV1) (Rn,+) este grup abelian cu elementul neutru 0 = (0, . . . ,0) numit vectorul nul.
SV2) distributivit˘at¸i generalizate:
SV2.1) λ(x+y) = λx+λy SV2.2) (λ+µ)x=λx+µx SV2.3) λ(µx) = (λµ)x SV2.4) 1·x=x. ¤
Observat¸ia 3 Din acest motiv, elementele lui Rn le vom numi vectori (reali) n-dimensionali iar Rnˆıl numim spat¸iul aritmetic n-dimensional.
Definit¸ia 4 1) Un set de k(≤ n) vectori {e1, . . . , ek} din Rn ˆıl numim liniar independent dac˘a relat¸iaλ1e1+. . .+λkek = 0 implic˘aλ1 =. . .=λk= 0.
2) Un set liniar independent de exact n vectori ˆıl numim baz˘a ˆın Rn.
Observat¸ia 5 Pentru simplificarea scrierii relat¸iilor de tipul precedent vom utiliza regula Einstein: aparit¸ia unui indice sus ¸si jos semnific˘a sumarea expresiei repective dup˘a toate valorile acelui indice. Astfel, relat¸ia din definit¸ie se poate scrie concentrat: λiei = 0.
Albert Einstein (1879 - 1955)
Fix˘am baza B = {ei}1≤i≤n ¸si vectorul x. Sistemul {x, e1, . . . , en} avˆand n+1> nvectori nu este liniar independent ¸si deci exist˘a scalariiα, α1, . . . , αn nu tot¸i nuli a.ˆı.:
αx+αiei = 0.
ˆIn ultima relat¸ie nu putem avea α = 0. ˆIn adev˘ar, presupunˆand α = 0 ar rezulta αiei = 0, ceea ce, cu definit¸ia liniarei independent¸e, ar da c˘a tot¸i αi sunt nuli; ˆın concluzie s-ar contrazice cuvintele sublinite anterior. Din neanularea lui α rezult˘a: x=−ααiei ¸si deci am obt¸inut:
Propozit¸ia 6Orice x∈Rn se descompune ˆın raport cu o baz˘a dat˘a B:
x=xiei. (1)
Mai mult, scrierea (1) este unic˘a relativ la B!
Demonstrat¸ie Trebuie ar˘atat˘a doar ultima parte. Din x = xiei = xiei rezult˘a (xi−xi)ei = 0 ¸si din nou liniara independent¸˘a d˘a concluzia. ¤
Definit¸ia 7 Scalarii {xi}1≤i≤n dat¸i de descopunerea (1) se numesc com- ponentele lui xˆın raport cu baza B
Exemplul 8 Se arat˘a imediat c˘a Bc={ei}1≤i≤n cu
ei = (0, . . . ,1, . . . ,0) avˆand 1doar pe loculi este o baz˘a ˆınRn. Bc o numim baza canonic˘a a lui Rn ¸si un vector x∈ Rn are drept componente ˆın raport cu Bc exact componentele sale ca vector n-dimensional.
ˆIn afar˘a de structura algebric˘a de R-spat¸iu vectorial, Rn posed˘a o struc- tur˘a topologic˘a indus˘a de o metric˘a ce provine dintr-un produs scalar.
Definit¸ia 9
1) Aplicat¸ia <, >:Rn×Rn→R:
< x, y >=x1y1+. . .+xnyn (2) se nume¸ste produsul scalar euclidian pe Rn. Avem:
< x, x >= ( Xn
i=1
(xi)2)12. (3)
Perechea (Rn, <, >) o numimspat¸iul vectorial euclidiann-dimensional canonic.
Doi vectorix, y ∈Rnˆıi numimortogonali (sauperpendiculari), ¸si not˘amx⊥y, dac˘a:
< x, y >= 0. (4)
Exemplu remarcabil ˆın 2D: Dac˘a x= (a, b)∈R2 atunci x⊥= (−b, a) este perpendicular pex. Aceast˘a alegere (deoarece ¸si−x⊥ este perpendicular pex) este ˆın acord cu sensul trigonometric (care este antiorar!): i⊥ = (−1,0).
2) Aplicat¸iak,k:Rn →R+,kxk=√
< x, x >o numimnorma euclidian˘a pe Rn. Obt¸inem:
kxk=p
(x1)2+. . .+ (xn)2. (5) Vectorul x∈Rn pentru carekxk= 1 se nume¸ste versor.
3) Baza B ={ei}1≤i≤n o numim ortonormat˘a dac˘a este format˘a din versori ortogonali doi cˆate doi i.e.:
< ei, ej >=δij (6) unde δ este simbolul lui Kronecker adic˘a 1 dac˘a i=j ¸si 0 dac˘a i6=j.
Leopold Kronecker (7.12.1823 - 29.12.1891)
Observat¸ia 10
1) Avem not¸iunile generale de produs scalar ¸si norm˘a:
i) Numimprodus scalar pe spat¸iul vectorial realV o aplicat¸ie<, >:V ×V → R cu propriet˘at¸ile:
PS1) pozitiva definire: < x, x >≥0, ∀x∈V; < x, x >= 0⇔x= 0V, PS2) simetria: < x, y >=< y, x >,
PS3) biliniaritatea: < λx+µy, z >=λ < x, z >+µ < y, z >.
Perechea (V, <, >) o numim spat¸iu vectorial euclidian.
(ii) Numim norm˘a pe spat¸iul vectorial V o aplicat¸ie k · k : V → R cu propriet˘at¸ile:
N1) (pozitiva definire) kxk ≥ 0, ∀x ∈ V; kxk = 0 ⇔ x = 0V=vectorul nul din V,
N2) (pozitiva omogenitate) kλxk=|λ|kxk,
N3) (inegalitatea triunghiului) kx+yk ≤ kxk+kyk.
Perechea (V,k · k) o numim spat¸iu vectorial normat.
(iii) O inegalitate ce leag˘a not¸iunile de produs scalar ¸si norm˘a este:
|< u, v >| ≤ kukkvk (7) numit˘aforma geometric˘a a inegalit˘at¸ii CBS (Cauchy-Buniakovski-Schwartz).
Cauchy (1789 - 1857)
Pe un spat¸iu vectorial euclidian putem introduce unghiul orientat dintre doi vectori nenuli: dac˘a x, y ∈(V \ {0V}, <, >) atunci definim θ =θ(x, y)∈ [0, π) prin:
cosθ = < x, y >
kxkkyk . (8)
Rezult˘a inegalitatea|cosθ| ≤1 ¸si caracterizarea cunoscut˘a a ortogonalit˘at¸ii:
x⊥y⇔θ(x, y) = π 2
6
- x y
Fig. 1 Vectori ortogonali 2) Orice produs scalar genereaz˘a o norm˘a¸:
(V, <, >)→(V,k · k) dup˘a formula:
kxk=√
< x, x > (9)
3) Apelˆand la (4) obt¸inem forma algebric˘a a inegalit˘at¸ii CBS:
| Xn
i=1
uivi|2 ≤ Ã n
X
i=1
¡ui¢2! Ã n X
i=1
¡vi¢2!
. (10)
Avem egalitate dac˘a ¸si numai dac˘a |cosθ(u, v)|= 1, echivalent vectorii u, v sunt coliniari, echivalent avem proport¸ionalitatea vu11 =. . .= vunn(= λ).
4)Identitatea paralelogramului este specific˘a normelor generate de un produs scalar: ∀u, v ∈(V, <, >) avem:
ku+vk2+ku−vk2 = 2¡
kuk2+kvk2¢
. (11)
Semnificat¸ia geometric˘a (ce d˘a ¸si denumirea): suma p˘atratelor diagonalelor unui paralelogram este egal˘a cu suma p˘atratelor laturilor.
Demonstrat¸ie Se adun˘a relat¸iile:
½ ku+vk2 =kuk2 +kvk2+ 2 < u, v >
ku−vk2 =kuk2 +kvk2−2< u, v > . ¤
S˘a mai observ˘am c˘a prima din relat¸iile precedente este exact teorema Pitagora generalizat˘a sau teorema cosinusului:
ku+vk2 =kuk2+kvk2+ 2kukkvkcosθ(u, v) (12)
sau ˆınc˘a, alegˆand u=−→BA, v=−→AC:
BC2 =AB2+AC2+ 2AB ·AC·cos
³ π−Ab
´
deoarece ]
³−→BA,−→AC
´
=π−A. Literal, avem:b
a2 =b2+c2−2bccosA.b (13) Evident, pentru triunghiul dreptunghic ˆın A, i.e. Ab = π2, avem teorema Pitagora ce spune c˘a p˘atratul ipotenuzei (latura ce se opune unghiului drept A) este egal cu suma p˘atratelor catetelor.b
@@
@@
c
b a=√
b2+c2
a a a
A C
B Fig. 2 Teorema Pitagora
Pitagora (c.580 ˆı.Hr. - c.500 ˆı.Hr.)
Deoarece lucrul cu indici poate deveni la un moment dat deosebit de dificil vom utiliza ˆın cele ce urmeaz˘a calculul matriceal. Astfel, cu schema x→B XB =
x1
...
xn
relat¸ia (1) se scrie:
x= (e1, . . . , en)·
x1
...
xn
=B·XB. (14)
Produsul scalar se poate scrie:
< x, y >= (x1, . . . , xn)·
y1
...
yn
=tx·y. (15)
De asemeni, condit¸ia de ortonormare pentru baze devine:
tB·B =
e1
...
en
·¡
e1 . . . en ¢
=
< e1, e1 > . . . < e1, en >
. . . . . . . . .
< e1, en > . . . < en, en>
=In. (16) Exemplul 11 Baza canonic˘a Bc este ortonormat˘a.
Studiem ˆın continuare problema schimb˘arilor de baze ˆın Rn. Fie deci B = {e1, . . . , en} respectiv B0 = {e01, . . . , e0n} baze (oarecare ˆıntr-o prim˘a faz˘a!) ˆın Vn. Descompunem vectorul e0i ˆın baza B cu relat¸ia e0i = sjiej ¸si obt¸inem astfel ansamblul (s1i, . . . , sni) asociat vectorului e0i. Fie S matricea ce are drept coloane ansamblurile precedente:
S =
s11 s1i s1n ... ... ... ... ...
sn1 sni snn e01 e0i e0n
este o matrice p˘atratic˘a de ordin n i.e. S ∈ Mn(R). Ret¸inem convent¸ia de notare a elementelor unei matrici: indicele superior reprezint˘a linia iar indicele inferior reprezint˘a coloana! MatriceaS o numim matricea de trecere de la B la B0 ¸si not˘am B0 = S(B). Spre exemplu, ˆın unele c˘art¸i aceea¸si matrice se notez˘a cu C init¸iala cuvˆantului englez change=schimbare.
O alt˘a scriere a relat¸iei dintre B ¸si B0, formal˘a dar deosebit de util˘a ˆın cele ce urmeaz˘a, este:
B0 =B·S (17)
ˆın care gˆandim bazele ca matrici linie de vectori ¸si scalarii din S, de¸si apar ˆın dreapta vectorilor, ˆıi regˆandim ˆın stˆanga.
Propozit¸ia 12(i)Dac˘a B0 =S(B)¸siB00=S0(B0) atunci B00 =SS0(B).
(ii) MatriceaS este inversabil˘a ¸si avem B =S−1(B0).
Demonstrat¸ie (i) Relat¸ia B00 = B0 ·S0 = (B ·S)·S0 = B ·(SS0) d˘a concluzia.
(ii) Fie B00 = B. Aplicˆand (i) rezult˘a c˘a matricea de trecere de la B la B este SS0 dar evident c˘a aceasta este matricea unitateIn. Prin urmare S este inversabil˘a ¸si S0 matricea de trecere de la B0 laB este exact S−1. ¤
Combinarea relat¸iilor (13) ¸si (14) conduce la:
tB0·B0 =tS·(tBB)·S (18)
ceea ce implic˘a urm˘atorul rezultat fundamental:
Propozit¸ia 13(i) Dac˘a B ¸si B0 sunt ortonormate atunci S satisface:
tS·S =In. (19)
(ii) Reciproc, dac˘a B este ortonormat˘a ¸si S satisface identitatea precedent˘a atunci B0 este ortonormat˘a.
Demonstrat¸ie (i) ˆInlocuimtB·B =tB0·B0 =Inˆın (10).
(ii) ˆIn condit¸iile ipotezei avem tB0 ·B0 =In ceea ce d˘a concluzia. ¤ Suntem astfel condu¸si la introducerea:
Definit¸ia 14O matrice S ∈Mn(R) o numim n-ortogonal˘a dac˘a:
tS·S =In. Not˘am cu O(n) mult¸imea matricilor n-ortogonale.
Cum inversul unui element ˆıntr-un monoid, dac˘a exist˘a, este unic, con- siderˆand monoidul (Mn(R)\ {On},·) avem c˘a o matrice n-ortogonal˘a este caracterizat˘a ¸si de relat¸ia S·tS = In. Prin urmare avem urm˘atorul criteriu complet de recunoa¸stere a matricilor n-ortogonale:
Propozit¸ia 15 Pentru S ∈ Mn(R) urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echiva- lente:
(i) S∈O(n), (ii) tS·S=In,
(iii) coloanele lui S constituie o baz˘a ortonormat˘a ˆın Rn, (iv) S·tS =In,
(v) liniile lui S constituie o baz˘a ortonormat˘a ˆın Rn.
Datorit˘a punctului (ii) din Propozit¸ia 12 introducem mult¸imea:
GL(n, K) ={A ∈Mn(R); A inversabil˘a}. (20)
Propozit¸ia 16 GL(n,R) este grup relativ la ˆınmult¸irea matricilor, ne- abelian pentru n ≥2.
Demonstrat¸ie i) Dac˘a A, B ∈ GL(n,R) atunci AB ∈ GL(n,R) cu (AB)−1 =B−1A−1. Deci ˆınmult¸irea este lege intern˘a pe GL(n,R).
ii) ˆInmult¸irea matricilor este asociativ˘a.
iii) Element neutru este matricea identitate In ¸si evident In ∈ GL(n,R) cu In−1 =In.
iv) Dac˘a S ∈ GL(n,R) atunci exist˘a S−1 ¸si evident S−1 ∈ GL(n,R) cu (S−1)−1 =S. ¤
Definit¸ia 17GL(n,R) se nume¸ste n-grupul liniar general real.
Observat¸ia 18(i) Rezultatul anterior are loc mai general pentruGL(n, K) cu K un corp oarecare. Avem astfel ¸si n-grupul liniar general complex GL(n,C).
(ii) Spre exemplu, GL(1, K) =K∗.
Un rezultat central al acestui curs este urm˘atorul:
Propozit¸ia 19O(n) este subgrup ˆın GL(n,R).
Demonstrat¸ie i) FieA, B ∈O(n). Din:
t(AB)AB =t BtAAB =t BInB =tBB =In
rezult˘a c˘a AB ∈O(n).
ii) Fie S ∈O(n) oarecare. Din:
t(S−1)S−1 =t(tS)tS =StS =In
(conform punctului (iv) al propozit¸iei 15) rezult˘a c˘a S−1 ∈O(n). ¤ Definit¸ia 20O(n) se nume¸ste n-grupul ortogonal.
Reamintim dou˘a funct¸ii matriceale remarcabile pe mult¸imi de matrici p˘atratice:
A) Funct¸iadeterminant det:Mn(R)→R, pe o utiliz˘am la caracterizarea elementelor lui GL(n,R). Astfel, GL(n,R) ={A∈Mn(R);detA6= 0}.
Propriet˘at¸i:
A1) este invariant˘a la transpunere: det(tA) = detA. Reamintim c˘a o matrice A pentru care tA = A (respectiv tA = −A) o numim simetric˘a (respectiv antisimetric˘a).
A2) este multiplicativ˘a: det(AB) =detA·detB.
Aceast˘a proprietate spune c˘a restrict¸ia det|GL(n,K) → K∗ este morfism de grupuri multiplicative. Acest morfism este surjectiv dar nu este izomorfism nefind injectiv.
Cum detIn= 1 rezult˘a:
A3) det comut˘a cu luarea inversei: S ∈ GL(n, K) ⇒ detS−1 = (detS)−1 =
1 detS.
B) Funct¸iaurm˘a T r:Mn(R)→R, T rA=Pn
i=1
aii. Propriet˘at¸i:
B1) este invariant˘a la transpunere: T r(tA) = T rA.
B2) este operator liniar T r(λA+µB) =λT rA+µT rB adic˘a T r∈(Mn(R))∗=dualul spat¸iului vectorial real Mn(R).
B3!) este invariant˘a la permut˘ari circulare: T r(ABC) = T r(BCA).
B4) ˆınlocuind C =Inˆın B3) avem: T r(AB) = T r(BA).
B5) tot din B3) rezult˘a c˘a dac˘a S∈GL(n, K) atunci T r(SAS−1) =T rA.
Teorema 21Funct¸ia <, >:Mm,n(R)×Mm,n(R)→R:
< A, B >= 1
nT r(tB ·A) (21)
este un produs scalar pe Mm,n(R) Demonstrat¸ieT r(tA·A) = n1 P
i=1,mj=1,n|aij|2 ≥0;T r(tA·A) = 0 ⇐⇒
A=Om,n = matricea nul˘a.
n < B, A >=T r(tA·B) = T r(t(tA·B)) = T r(tB·A) = n < A, B > . Liniaritatea ˆın primul argument rezult˘a imediat din liniaritatea urmei. ¤
Definit¸ia 22 Produsul scalar (21) se nume¸ste produsul scalar Hilbert- Schmidt. Norma indus˘a o vom numinorma Hilbert-Schmidt.
David Hilbert (23.01.1862 - 14.02.1943)
Propozit¸ia 23 Produsul scalar Hilbert-Schmidt generalizeaz˘a produsul scalar euclidian (cˆandn = 1). Din acest motiv folosim aceea¸si notat¸ie.
Demonstrat¸ieDac˘an = 1 avemx, y ∈Mm(R) ¸si< x, y >=T r(ty·x) =t y·xdeoarece ty·xeste un scalar fiindc˘aty∈M1,n(R) ¸six∈Mn,1(R) implic˘a
ty·x ∈ M1,1(R) = R. Deci produsul scalar Hilbert-Schmidt generalizeaz˘a produsul scalar euclidian. ¤
Un rezultat extrem de util este datorat inegalit˘at¸ii Cauchy-Buniakowski- Schwarz care devine:
Propozit¸ia 24Norma Hilbert-Schmidt este submultiplicativ˘a i.e.:
kABk ≤ kAkkBk. (22)
Suntem uneori interesat¸i ˆın schimbarea locului unei matrici ˆın cadrul pro- dusului scalar:
Propozit¸ia 25Dac˘a A, B, C ∈Mn(R)atunci:
< A·B, C >=< B,tA·C >, (23)
< B·A, C >=< B, C·tA > . (24) Demonstrat¸ie
n < B,tA·C >=T r(t¡t AC¢
B) = T r¡t CAB¢
=n < A·B, C >, n < B, C·tA >=T r(t¡t
CA¢
B) = T r¡t ACB¢
=T r¡t CBA¢
=n < B·A, C > . Corolarul 26 Dac˘a S ∈O(n)¸si A∈Mn(R) atunci:
kSAS−1k=kAk. (25)
Demonstrat¸ie
< SAS−1, SAS−1 >=< AS−1,tSSAS−1 >=< AS−1, AS−1 >=
=< A, AS−1t¡ S−1¢
>=< A, AS−1S >=< A, A > .
Definit¸ia 27 Matricile A, B ∈ Mn(K) se numesc asemenea (ˆın englez˘a
”similar”) dac˘a exist˘a S∈GL(n, K) a.ˆı.:
B =SAS−1. (26)
Propozit¸ia 28Dou˘a matrici asemenea au acela¸si determinant ¸si aceea¸si urm˘a. Dac˘a S ∈O(n) atunci au ¸si aceea¸si norm˘a.
FieS ∈O(n). Trecˆand la determinant ˆın relat¸ia caracteristic˘atS·S =In
¸si folosind proprietatea A1 obt¸inem (detS)2 = 1 ceea ce conduce la:
Propozit¸ia 29Dac˘a S ∈O(n) atunci detS ∈ {−1,+1}.
Definit¸ia 31 Consider˘am O−(n) = {S ∈O(n);detS = −1}¸si SO(n) = {S ∈O(n);detS = +1}.
Propozit¸ia 32O−(n) nu este parte stabil˘a la ˆınmult¸irea matricilor deci nu este subgrup ˆın O(n).
Demonstrat¸ie Fie S1, S2 ∈O−(n). Atunci det(S1S2) = (−1)(−1) = +1 deci S1S2 ∈SO(n). ¤
Propozit¸ia 33SO(n) este subgrup ˆın O(n).
Demonstrat¸ie Un calcul imediat arat˘a c˘a SO(n) este parte stabil˘a la ˆınmult¸irea matricilor. Fie S ∈ SO(n) oarecare. Cum S−1 = St din propri-
etatea A1 rezult˘a c˘a detS−1 =detS = +1 i.e. S−1 ∈SO(n). ¤ Definit¸ia 34SO(n) se nume¸ste n-grupul ortogonal special.
Exemplul 35 O(1) ={−1,+1}, O−(1) ={−1}, SO(1) ={+1}.
Definit¸ia 36 Fie spat¸iul vectorial normat (V,kk), elementul x0 ∈ V ¸si num˘arul real r > 0. Mult¸imea S(x0, r) = {x ∈ V;kx−x0k = r} o numim sfera centrat˘a ˆın x0 de raz˘a r.
Exemplul 37 Sfera unitate este Sn = {x ∈ V;kxk = 1}. Astfel, cercul unitate S1 este binecunoscutul cerc trigonometric S1 = {z ∈ C;|z| = 1} al numerelor complexe de modul 1.
6 - ÁÀ ¿
x y
S1 ai
Fig. 3 Cercul unitate
Propozit¸ia 38O(n) este sfera din Mn(R)centrat˘a ˆın origine=matricea nul˘a, de raz˘a r= 1 relativ la distant¸a indus˘a de norma Hilbert-Schmidt.
Demonstrat¸ie Fie S ∈ O(n) oarecare. Avem: d(On, S) = kSk =
√< S, S >= q
1
nT r(St·S) = q
1
nT rIn = 1. ¤
ˆIncheiem acest curs cu o consecint¸˘a important˘a a Propozit¸iei 25:
TEOREM ˘A: Relat¸ia fundamental˘a a geometriei euclidiene Fie A, B ∈Mn(R)¸si S∈O(n). Atunci:
< SA, SB >=< A, B >, < AS, BS >=< A, B > . (27) ˆIn particular, dac˘a x, y ∈Rn atunci:
< Sx, Sy >=< x, y > . (28) Relat¸ia (27) spune c˘a O(n) invariaz˘a produsul scalar euclidian pe Rn.
Cum ortogonalitatea ¸si norma euclidian˘a sunt generat˘a de produsul scalar euclidian avem ¸si:
COROLARO(n) invariaz˘a i) ortogonalitatea i.e. x⊥y⇔Sx⊥Sy, ii) norma euclidian˘a pe Rn i.e.:
kSxk=kxk. (29)
Mai general, datorit˘a relat¸iei (8) avem c˘a O(n)invariaz˘a orice unghi.
1 SEMINAR: Grupul ortogonal
S1.1FieGL+(n,R) respectivGL−(n,R) mult¸imea matricilor cu determinant strict pozitiv repectiv strict negativ. S˘a se arate c˘a GL−(n,R) nu este parte stabil˘a la ˆınmult¸ire ¸si c˘a GL+(n,R) este subgrup ˆın GL(n,R).
RezolvareAcelea¸si argumente ca la Propozit¸iile 32 ¸si 33.
S1.2 S˘a se arate c˘a mult¸imea SL(n,R) a matricilor de determinant +1 este subgrup ˆın GL+(n,R). Acest grup se nume¸ste n-grupul liniar special real.
RezolvareVerific˘area condit¸iilor de subgrup este imediat˘a.
Exemplu: SL(1,R) = SO(1) = +1. Pentru n ≥ 2 avem SO(n) ⊂ SL(n,R) dup˘a cum o arat˘a exercit¸iul S4.
S1.3 Utilizˆand rezultatul precedent ¸si Propozit¸ia 19 s˘a se reobt¸in˘a c˘a SO(n) este subgrup ˆın O(n).
RezolvareAvem: SO(n) = O(n)∩SL(n,R).
S1.4S˘a se arate c˘a matricea:
S =
µ 3 4 2 3
¶
este ˆın SL(2,R) dar nu este ˆın SO(2).
RezolvareAvem detS = 1 ¸si:
tSS =
µ 3 2 4 3
¶ µ 3 4 2 3
¶
=
µ 13 18 18 25
¶ 6=I2.
S1.5S˘a se determine O(2). Interpretare geometric˘a pentru SO(2).
Rezolvare Reamintim c˘a pentru A ∈ O(n) coloanele sale sunt versori ortogonali doi cˆate doi. Un versor ˆın R2 este de forma ¯u= (cosϕ, sinϕ) iar un versor ortogonal pe acesta este ¯u⊥ =±(−sinϕ, cosϕ).
Cazul I
Rϕ =
µ cosϕ −sinϕ sinϕ cosϕ
¶
, ϕ∈[0,2π) (30)
descrie SO(2). Interpretarea geometric˘a cerut˘a este urm˘atoarea: transfor- marea liniar˘a a lui R2 de matrice Rϕ esterotat¸ia de unghi ϕˆın sens trigono- metric (i.e. antiorar) din origine!
Cazul II
Sϕ =
µ cosϕ sinϕ sinϕ −cosϕ
¶
, ϕ∈[0,2π) (31)
descrie O−(2).
S1.6 (Interpretare geometric˘a pentru O−(2)) Fie dϕ/2 dreapta din plan ce trece prin origine ¸si face unghiul orientat ϕ/2 cu axa Ox. S˘a se arate c˘a simetria axial˘a ˆın raport cu dϕ/2 este transformarea liniar˘a peR2 de matrice Sϕ. Exemple.
RezolvareEcuat¸ia luidϕ/2 :y=tgϕ2·xse scriedϕ/2 :−sinϕ2·x+cosϕ2·y= 0 deci aceast˘a dreapt˘a are versorul normalei ¯N = (−sinϕ2, cosϕ2). Avem formula:
rM00 =rM − 2Fπ(rM)
kNk2 N (32)
ce d˘a simetricul M00 al punctului M fat¸˘a de hiperplanul π de normal˘a N, deci de ecuat¸ie π : Fπ(r) :=< r, N >= 0. Prin urmare, simetria axial˘a fat¸˘a de dreapta d=dϕ/2 are ecuat¸ia:
Sd(x, y) = (x, y)−2(sinϕ
2 ·x+cosϕ
2 ·y)(−sinϕ 2, cosϕ
2) =
=
³
x(1−2 sin2 ϕ
2) + 2ysinϕ 2 cosϕ
2,2xsinϕ 2 cosϕ
2 +y(1−2 cos2 ϕ 2)
´
=
= (xcosϕ+ysinϕ, xsinϕ−ycosϕ) = Sϕ· µ x
y
¶ . Exemple:
I) ϕ= 0 ⇒dϕ/2 =axa Ox. Avem deci simetria fat¸˘a de Ox:
S0 =
µ 1 0 0 −1
¶
, SOx(x, y) =
µ 1 0 0 −1
¶ µ x y
¶
= µ x
−y
¶
. (33) ˆIn englez˘a S0 se nume¸ste reflection across x-axis.
6
-
x y
¡¡(x, y)a
@ a
@
(x,−y)
Fig. 4 Simetria fat¸˘a de Ox
II)ϕ=π⇒dϕ/2 =axa Oy. Avem deci simetria fat¸˘a de Oy:
Sπ =
µ −1 0
0 1
¶
, SOy(x, y) =
µ −1 0
0 1
¶ µ x y
¶
= µ −x
y
¶
. (34)
6
-
x y
¡¡(x, y)a a
@@
(−x, y)
Fig. 5 Simetria fat¸˘a de Oy
III)ϕ= π2 ⇒dϕ/2 =prima bisectoareB1. Avem decisimetria fat¸˘a de B1: Sπ2 =
µ 0 1 1 0
¶
, SB1(x, y) =
µ 0 1 1 0
¶ µ x y
¶
= µ y
x
¶
. (35)
6
-
x y
¡¡¡¡
B1
¡¡
¡¡
Fig. 6 Prima bisectoare
IV) ϕ= 3π2 ⇒ dϕ/2 =a doua bisectoare B2. Avem deci simetria fat¸˘a de B2:
S3π
2 =
µ 0 −1
−1 0
¶
, SB2(x, y) =
µ 0 −1
−1 0
¶ µ x y
¶
= µ −y
−x
¶
. (36)
6
-
x y
@@
@@
B2
@@
@@
Fig. 7 A doua bisectoare
S1.7 (Compunerea simetriilor axiale ˆın plan) Fie d1, d2 drepte ˆın plan prin origine ¸siαunghiul orientat de lad1 lad2. S˘a se arate c˘a simetria axial˘a fat¸˘a de d1 compus˘a cu cea fat¸˘a de d2 este rotat¸ia de unghi α.
RezolvareUn calcul imediat, folosind identit˘at¸i trigonometrice, d˘a:
Sϕ2 ·Sϕ1 =Rϕ2−ϕ1 =Rα (37) S1.8S˘a se arate c˘a:
Rϕ1 ·Rϕ2 =Rϕ1+ϕ2 (38)
¸si s˘a se interpreteze.
Rezolvare Folosind identit˘at¸i trigonometrice relativ la cosinusul ¸si si- nusul sumei de unghiuri avem relat¸ia cerut˘a.
Interpretare: avem c˘a grupul SO(2) este abelian, rezultat ce nu este valabil pentru SO(n) cu n ≥3.
S1.9S˘a se arate c˘a:
SθRϕ =Sθ−ϕ (39)
RθSϕ =Sθ+ϕ. (40)
RezolvareSe folosesc din nou identit˘at¸ile trigonometrice uzuale.
S1.10 Fix˘am S ∈ O−(n). S˘a se arate c˘a O−(n) = {RS;R ∈ SO(n)}.
Tratat¸i cazul particular n = 2.
Rezolvare Fix˘am A ∈ O−(n); trebuie s˘a rezolv˘am ecuat¸ia A = RS ˆın necunoscuta R. Cum S ∈ O−(n) ⊂ O(n)=grup, exist˘a S−1 ∈ O(n). Avem deci solut¸ia unic˘a R = AS−1 ∈ O(n). Din multiplicitatea determinatului rezult˘a detR = (−1)(−1) = +1 adic˘a R∈SO(n).
Exemplu. Putem lua simetria fat¸˘a de primul hiperplan:
S =Sn=
1
. ..
1
−1
∈O−(n).
Caz particular n = 2. Fix˘am R = Rϕ ¸si S = S2 coincide cu S0 a problemei S6. Avem:
RS =Rϕ·
µ 1 0 0 −1
¶
=Sϕ
reobt¸inˆand astfel expresia matricilor din O−(2).
S1.11 Se cere inversaSθ−1 a simetriei Sθ ∈O−(2).
RezolvareFolosind (37) avem:
SθSθ =Rθ−θ =R0 =I2 (41)
¸si deci:
Sθ−1 =Sθ. (42)
S1.12 S˘a se arate c˘a singurele rotat¸ii ce comut˘a cu simetria Sϕ ∈O−(2) sunt R0 =I2 ¸si Rπ =−I2.
Rezolvare Presupunem SϕRθ = RθSϕ ¸si utiliz˘am (39) ¸si (40); rezult˘a Sϕ−θ = Sθ+ϕ. Reamintim c˘a Sα = Sβ este echivalent cu β ≡ α(mod2π) ¸si deci: θ+ϕ=ϕ−θ+ 2kπ, k ∈Z. Rezult˘a θ =kπ dar din θ ∈ [0,2π) avem k ∈ {0,1} ceea ce voiam.
S1.13Se nume¸ste centru al grupului Gmult¸imeaZ(G) a elementelor lui Gce comut˘a cu toate elementele luiGi.e. Z(G) = {x∈G;xy =yx,∀y∈G}.
(Spre exemplu, dac˘a G este abelian atunci Z(G) = G.) Folosind problema precedent˘a se cere centrul lui O(2).
RezolvareDeoareceSO(2) este abelian avem c˘aZ(O(2)) este dat de ele- mentele luiO(2) ce comut˘a cu cele dinO−(2). Datorit˘a rezultatului anterior avem Z(O(2)) ={+I2,−I2}.
Pentru cazul general avem rezultatul urm˘ator, [6, p. 144]:
Z(SO(2n)) = {+I2n,−I2n} 'Z2 (43)
Z(SO(2n+ 1)) ={I2n+1} 'grupul trivial (44) unde 'ˆınseamn˘a izomorfism de grupuri iarZ2 ={ˆ0,ˆ1} este grupul aditiv al claselor de resturi modulo 2.
S1.14 S˘a se arate c˘a Z(GL(n,R)) ={λIn;λ ∈R∗}.
RezolvareFie x∈Z(GL(n,R)) ¸si:
yn1 =
−1 1
. ..
1
∈GL(n,R).
ˆIn matricea produs xy prima coloan˘a este -prima coloan˘a din x iar ˆın ma- tricea produs yx prima linie este -prima linie din x. Din egalitatea xy =yx rezult˘a c˘a pe prima coloan˘a ¸si prima linie din matriceaxnu r˘amˆane decˆatx11. Procedˆand analog cu matricileyn2, . . . , ynn rezult˘a c˘axeste matrice diagonal˘a:
x=
x11
x22 . ..
xnn
.
Fie acum pentrui, j ∈ {1, . . . , n}indici diferit¸i, matricea znij ce schimb˘a ˆıntre ele liniilei, j din matriceaIn. Avemznij ∈GL(n,R) iar comutareaxznij =znijx implic˘a rezultatul.
S1.15Dat grupulGcu elementul neutrue¸si elementulx∈Gdac˘a exist˘a n ∈N∗ a.ˆı. xn=eatunci cel mai micm∈N∗ pentru carexm =ese nume¸ste ordinul lui xˆın G (sau, cu o denumire mai veche, perioada lui xˆın G). ˆIn caz contrar, spunem c˘a x are ordin infinit.
Se cere ordinul elementelor lui O(2).
RezolvareDat˘a simetriaSθ, datorit˘a relat¸iei (40) avem c˘aSθ are ordinul 2.
Fie acum rotat¸iaRϕ. Datorit˘a relat¸iei (38) avem:
Rnϕ =Rnϕ (45)
¸si deci avem dou˘a cazuri:
I) ϕ=multiplu rat¸ional de 2π.
Dac˘a ϕ= 2kπn atunci Rϕ are ordinul n.
II) ϕ=multiplu irat¸ional de 2π.
Atunci Rϕ are ordin infinit.
S1.16Un subgrupH al grupuluiGse nume¸stedivizor normal dac˘a avem xHx−1 =H pentru oricex∈G.
S˘a se arate c˘a SL(n, K) este divizor normal ˆın GL(n, K). Consecint¸˘a pentru SO(n).
RezolvareFie S ∈GL(n, K) ¸si U ∈SL(n, K). Deoarece GL(n, K) este grup avem c˘aSUS−1 ∈GL(n, K) iar din multiplicativitatea determinantului rezult˘a det(SUS−1) =detU = +1 i.e. U ∈SL(n, K).
Consecint¸˘a: SO(n) =SL(n,R)∩O(n) este divizor normal ˆın O(n).
Observat¸ie Dac˘a G este grup abelian atunci orice subgrup al s˘au este divizor normal. Exemplu: S1este divizor normal ˆınC∗; a se vedea Consecint¸a de la exercit¸iul S20.
S1.17Folosind formulele (37)−(40) s˘a se reobt¸in˘a faptul c˘a SO(2) este divizor normal ˆın O(2).
RezolvareAvem:
1) RθRϕR−1θ =Rθ+ϕ+(−θ) =Rϕ ∈SO(2),
2) SθRϕSθ−1 =SθRϕSθ =Rθ−(θ+ϕ) =R−ϕ ∈SO(2).
S1.18 S˘a se arate c˘a funct¸ia modul kk : C → R+, z = x+iy → |z| = px2+y2 este multiplicativ ˘a:
|z1z2|=|z1||z2|. (46) RezolvareDac˘a z1 =x1+iy1, z2 =x2+iy2 atucni:
z1z2 = (x1x2−y1y2) +i(x1y2+x2y1) (47)
¸si atunci relat¸ia cerut˘a este echivalent˘a cu:
(x1x2−y1y2)2 + (x1y2+x2y1)2 = (x21 +y21)(x22+y22) (48) care este adev˘arat˘a, ambii membrii fiind (x1x2)2+ (x1y2)2+ (x2y1)2+ (y1y2)2.
Observat¸ieModulul este de fapt norma euclidian˘a pe R2 =C.
S1.19 S˘a se arate c˘a (C∗,·) este grup abelian.
Rezolvare 1) Se arat˘a imediat c˘a produsul a dou a numere complexe nenul este un num˘ar complex nenul folosind proprietatea analoag˘a de la numere reale.
2) Se verific˘a prin calcul asociativitatea ˆınmult¸irii numerelor complexe.
3) Element neutru este 1 = 1 +i·0.
4) Privind la relat¸ia (47) se observ˘a imediat invariant¸a indicilor la per- mutarea 1↔2 ceea ce ˆınseamn˘a comutativitatea z1z2 =z2z1.
5) Fie num˘arul complexz =x+iy∈C∗ ¸si conjugatul s˘au ¯z =x−iycare apart¸ine tot lui C∗. Avem:
zz¯=|z|2 (49)
¸si din z nenul avem |z|>0. Avem atunci inversul:
z−1 = 1
kzk2z.¯ (50)
S1.20 S˘a se arate c˘a S1 este subgrup ˆınC∗. Consecint¸˘a asupra comuta- tivit˘at¸ii lui S1.
Rezolvare1) Fie z1, z2 ∈S1. Din (46) avem: |z1z2|=|z1||z2|= 1·1 = 1 i.e. z1z2 ∈S1.
2) Fiez ∈S1. Conform (50) avem:
z−1 = ¯z. (51)
6 - ÁÀ ¿
x y
S1 za
za−1 = ¯z
Fig. 8 Inversul unui element din cercul unitate Dar:
|¯z|=|z| (52)
¸si deci |z−1|=|¯z|=|z|= 1 i.e. z−1 ∈S1.
Consecint¸˘a Cum C∗ este abelian rezult˘a c˘a ¸si S1 este abelian.
S1.21 Fie J :C∗ →GL(2,R), z =x+iy→J(z):
J(z) = xI2 +yJ2 =
µ x −y
y x
¶
(53)
unde:
J2 =
µ 0 −1
1 0
¶
. (54)
S˘a se arate c˘a J este morfism injectiv de grupuri multiplicative. Interpretare pentru funct¸ia modul.
Rezolvare Observ˘am mai ˆıntˆai faptul c˘a z fiind nenul avem, ˆın adev˘ar, J(z)∈GL(2,R).
1)J(z1) =J(z2) implic˘a, via egalitatea primei coloane, z1 =z2. 2)
J(z1)J(z2) =
µ x1 −y y1 x11
¶ µ x2 −y2
y2 x2
¶
=
=
µ x1x2−y1y2 −(x1y2+x2y1) x1y2+x2y1 x1x2−y1y2
¶
=J(z1z2).
Interpretare:
|z|2 =detJ(z). (55) Obt¸inem astfel o alt˘a demonstrat¸ie pentru multiplicativitatea modulului:
|z1z2|2 =det(J(z1z2)) =det(J(z1)J(z2)) = detJ(z1)detJ(z2) =|z1|2|z2|2. S1.22 S˘a se arate c˘a:
J22 =−I2. (56)
Deci, J2 este o extensie 2-dimensional˘a a unit˘at¸ii complexe i = √
−1. Din acest motiv, J2 se nume¸stestructura complex˘a (sau uneoristructura simplec- tic˘a) a planului.
Rezolvare J22 =
µ 0 −1
1 0
¶ µ 0 −1
1 0
¶
=
µ −1 0
0 −1
¶ .
S1.23 S˘a se arate c˘a J2 ∈SO(2).
Rezolvare
tJ2·J2 =
µ 0 1
−1 0
¶ µ 0 −1
1 0
¶
=
µ 1 0 0 1
¶
¸si detJ2 = +1.
S1.24 S˘a se arate c˘a:
J(S1) =SO(2). (57)
RezolvareFie z ∈C cu scrierea trigonometric˘a: z =|z|(cosϕ+isinϕ).
Dac˘a z ∈S1 atunci: z =cosϕ+isinϕ ¸si deci J(z) =Rϕ ∈SO(2).
6 - ÁÀ ¿
x y
S1 za
a
sinϕ a
cosϕ
¾
?
Fig. 9 Un element din cercul unitate ¸si scrierea sa trigonometric˘a
Consecint¸˘a foarte important˘aCum J era deja morfism injectiv avem izomorfismul de grupuri:
SO(2) 'S1 . (58)
O alt˘a observat¸ie important˘a este aceea c˘a aplicat¸iaJ conserv˘a nu numai structura algebric˘a (de grup) ci ¸si cea metric˘a deoarece atˆat elementele lui S1 cˆat ¸si cele ale lui SO(2) au norma (euclidian˘a=modul, respectiv Hilbert- Schmidt) egal˘a cu 1. Spunem c˘a J este oizometrie.
S1.25 S˘a se expliciteze izomorfismul J ˆın termeni de exponent¸ial˘a. In- terpretare pentru ˆınmult¸irea exponent¸ialelor.
RezolvareFie z ∈C cu scrierea trigonometric˘a: z =|z|(cosϕ+isinϕ).
Reamintim c˘a z admite ¸si scrierea exponent¸ial˘a:
z =|z|eiϕ. (59)
Rezult˘a:
J(eiϕ) =Rϕ. (60)
InterpretareDin ultima relat¸ie reobt¸inem binecunoscuta lege de ˆınmult¸irea exponent¸ialelor:
eiϕ1 ·eiϕ2 =J−1(Rϕ1)J−1(Rϕ2) = J−1(Rϕ1Rϕ2) = J−1(Rϕ1+ϕ2) =ei(ϕ1+ϕ2)
care ˆınseamn˘a relat¸ia lui Moivre:
(cosϕ+isinϕ)(cosθ+isinθ) =cos(ϕ+θ) +isin(ϕ+theta). (61) ˆIn particular:
(cosϕ+isinϕ)n=cos(nϕ) +isin(nϕ). (62) S1.26 Fie A∈Mn(R) ¸si λ∈C.
1) λ se nume¸ste r˘ad˘acin˘a caracteristic˘a a lui A dac˘a este r˘ad˘acin˘a a polino- mului caracteristic:
PA(λ) =det(A−λIn). (63)
2) Dac˘a λ ∈ R atunci λ se nume¸ste valoare proprie dac˘a exist˘a x ∈ Rn{¯0}
a.ˆı.:
Ax=λx. (64)
Acest xse nume¸ste vector propriu corespunz˘ator valorii proprii λ.
S˘a se arate c˘a orice valoare proprie este r˘ad˘acin˘a caracteristic˘a. Consecint¸˘a pentru n impar.
RezolvareRelat¸ia (62) este echivalent˘a cu sistemul:
(A−λIn)x={¯0}
care este liniar ¸si omogen. S¸tim c˘a un astfel de sistem admite solut¸ie nenul˘a dac˘a ¸si numai dac˘a determinantul sistemului este nul.
Consecint¸˘a. Gradul polinomului caracteristic esten. Prin urmare, dac˘a n este impar, o matriceA ∈Mn(R) admite m˘acar o valoare proprie.
S1.27 Fie S ∈ O(n) ce admite valoarea proprie λ. S˘a se arate c˘a λ ∈ S0 = {−1,+1}. Consecint¸˘a pentru S ∈ SO(n) cu n impar. Caz particular n = 3.
RezolvareDeoarece S ∈O(n) avem, pentru vectorul propriu x:
< Sx, Sx >=< x, x >=kxk2
¸si totodat˘a;
< Sx, Sx >=< λx, λx >=kλxk2 =|λ|2kxk2. Egalˆand ultimele dou˘a relat¸ii ¸si folosind kxk 6= 0 avem |λ|= 1.