• Nu S-Au Găsit Rezultate

Grupul ortogonal

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Grupul ortogonal"

Copied!
35
0
0

Text complet

(1)

Grupul ortogonal

Mircea Crasmareanu

Facultatea de Matematic˘a Universitatea ”Al. I. Cuza”

Ia¸si, 700506 Romˆania [email protected]

http://www.math.uaic.ro/∼mcrasm Curs de Perfect¸ionare 2007

9 Figuri

Abstract

However varied may be the imagination of man, nature is still thousand times richer.

H. Poincar´e

(2)

Paginile care urmeaz˘a sunt rodul unor ˆıntreb˘ari. De¸si ˆıntreb˘arile au un caracter general, ˆın sensul c˘a ¸si le poate pune orice profesor de matematic˘a (sau om de ¸stiint¸a, sau ¸si mai general, orice om) r˘aspunsurile sunt particulare, pentru c˘a ˆın matematic˘a (sau, cum spuneam ˆın ¸stiint¸˘a) nu exist˘a dictatur˘a!

Astfe, rˆandurile urm˘atoare sunt o invitat¸ie la c˘autare, la gustare din bucuriile acestei lumi, atˆat cˆat au fost ele g˘asite de autor. ˆIn mod sigur, sunt mult, mult mai multe!

S¸i iat˘a deci un h˘at¸i¸s al ˆıntreb˘arilor, puse de autor sie¸si de-a lungul tim- pului:

1) La pagina xi din [3]

Edit¸ia englez˘a a c˘art¸ii citate ()

apare citat˘a o legend˘a a anilor ’20 ai secolului trecut precum c˘a exist˘a doar doisprezece oameni ˆın lume care ˆıl pot ˆınt¸elege cu adev˘arat pe Einstein.

Cel ce scrie aici pred˘a geometria euclidian˘a, un subiect cu adev˘arat ˆınt¸eles de mult mai mult¸i. Dar oare sunt printre ace¸sti preafericit¸i sau am doar o viziune exterioar˘a, ˆın¸sel˘atoare asupra acestei teorii? Revenind la cartea citat˘a, abia acum reu¸sesc, avˆand ¸si un model de comparat, s˘a apreciez la justa valoare, c˘art¸ile Floric˘ai T. Cˆampan de istorie a lui i¸si a altor numere celebre.

(3)

Concursul Florica T. Campan (? - 19?)

2) Pe coperta a IV-a a c˘art¸ii [5] este urm˘atoarea povestioar˘a: ”Cinci orbi au pip˘ait un elefant ¸si li s-a cerut s˘a-l descrie. Cel ce i-a atins un picior a spus c˘a-i un stˆalp, cel ce i-a atins burta a spus c˘a-i un tavan, cel ce i-a pip˘ait o latura a spus c˘a-i un zid, cel ce i-a atins urechea a spus c˘a-i un evantai, iar cel ce i-a atins trompa a spus c˘a-i un ¸sarpe uria¸s.” Asemeni autorului respectivei c˘art¸i, m˘a ˆıntreb ¸si eu: care dintre orbi sunt, relativ la elefantul numit geometrie euclidian˘a?

(4)

Note de curs

Fix˘am num˘arul natural nenuln ¸si Rmult¸imea numerelor reale. Consider˘am produsul cartezian a n factori Ri.e. Rn =R×. . .×Rcu elemente de forma x= (x1, . . . , xn), xi R,1≤i≤n.

Definit¸ia 1Operat¸ii pe Rn:

· adunarea + : Rn× Rn Rn, x+y = (x1 +y1, . . . , xn+yn) dac˘a x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn).

·ˆınmult¸irea cu scalari: ·R:R×RnRn, λx= (λx1, . . . , λxn) pentruλ∈R.

Elementele x, y Rn pentru care exist˘a scalarul λ a.ˆı. y = λx se numesc coliniare. Dac˘a λ > 0 spunem c˘a x, y sunt la fel orientat¸i iar dac˘a λ < 0 spunem c˘a x, y sunt contrar orientat¸i.

Propozit¸ia 2(Rn,+,·R) este spat¸iu vectorial (sau liniar)real.

Demonstrat¸ie Se verific˘a imediat axiomele:

SV1) (Rn,+) este grup abelian cu elementul neutru 0 = (0, . . . ,0) numit vectorul nul.

SV2) distributivit˘at¸i generalizate:

SV2.1) λ(x+y) = λx+λy SV2.2) (λ+µ)x=λx+µx SV2.3) λ(µx) = (λµ)x SV2.4) 1·x=x. ¤

Observat¸ia 3 Din acest motiv, elementele lui Rn le vom numi vectori (reali) n-dimensionali iar Rnˆıl numim spat¸iul aritmetic n-dimensional.

Definit¸ia 4 1) Un set de k(≤ n) vectori {e1, . . . , ek} din Rn ˆıl numim liniar independent dac˘a relat¸iaλ1e1+. . .+λkek = 0 implic˘aλ1 =. . .=λk= 0.

2) Un set liniar independent de exact n vectori ˆıl numim baz˘a ˆın Rn.

Observat¸ia 5 Pentru simplificarea scrierii relat¸iilor de tipul precedent vom utiliza regula Einstein: aparit¸ia unui indice sus ¸si jos semnific˘a sumarea expresiei repective dup˘a toate valorile acelui indice. Astfel, relat¸ia din definit¸ie se poate scrie concentrat: λiei = 0.

(5)

Albert Einstein (1879 - 1955)

Fix˘am baza B = {ei}1≤i≤n ¸si vectorul x. Sistemul {x, e1, . . . , en} avˆand n+1> nvectori nu este liniar independent ¸si deci exist˘a scalariiα, α1, . . . , αn nu tot¸i nuli a.ˆı.:

αx+αiei = 0.

ˆIn ultima relat¸ie nu putem avea α = 0. ˆIn adev˘ar, presupunˆand α = 0 ar rezulta αiei = 0, ceea ce, cu definit¸ia liniarei independent¸e, ar da c˘a tot¸i αi sunt nuli; ˆın concluzie s-ar contrazice cuvintele sublinite anterior. Din neanularea lui α rezult˘a: x=ααiei ¸si deci am obt¸inut:

Propozit¸ia 6Orice x∈Rn se descompune ˆın raport cu o baz˘a dat˘a B:

x=xiei. (1)

Mai mult, scrierea (1) este unic˘a relativ la B!

Demonstrat¸ie Trebuie ar˘atat˘a doar ultima parte. Din x = xiei = xiei rezult˘a (xi−xi)ei = 0 ¸si din nou liniara independent¸˘a d˘a concluzia. ¤

Definit¸ia 7 Scalarii {xi}1≤i≤n dat¸i de descopunerea (1) se numesc com- ponentele lui xˆın raport cu baza B

Exemplul 8 Se arat˘a imediat c˘a Bc={ei}1≤i≤n cu

ei = (0, . . . ,1, . . . ,0) avˆand 1doar pe loculi este o baz˘a ˆınRn. Bc o numim baza canonic˘a a lui Rn ¸si un vector x∈ Rn are drept componente ˆın raport cu Bc exact componentele sale ca vector n-dimensional.

ˆIn afar˘a de structura algebric˘a de R-spat¸iu vectorial, Rn posed˘a o struc- tur˘a topologic˘a indus˘a de o metric˘a ce provine dintr-un produs scalar.

(6)

Definit¸ia 9

1) Aplicat¸ia <, >:Rn×RnR:

< x, y >=x1y1+. . .+xnyn (2) se nume¸ste produsul scalar euclidian pe Rn. Avem:

< x, x >= ( Xn

i=1

(xi)2)12. (3)

Perechea (Rn, <, >) o numimspat¸iul vectorial euclidiann-dimensional canonic.

Doi vectorix, y Rnˆıi numimortogonali (sauperpendiculari), ¸si not˘amx⊥y, dac˘a:

< x, y >= 0. (4)

Exemplu remarcabil ˆın 2D: Dac˘a x= (a, b)R2 atunci x= (−b, a) este perpendicular pex. Aceast˘a alegere (deoarece ¸si−x este perpendicular pex) este ˆın acord cu sensul trigonometric (care este antiorar!): i = (−1,0).

2) Aplicat¸iak,k:Rn R+,kxk=

< x, x >o numimnorma euclidian˘a pe Rn. Obt¸inem:

kxk=p

(x1)2+. . .+ (xn)2. (5) Vectorul x∈Rn pentru carekxk= 1 se nume¸ste versor.

3) Baza B ={ei}1≤i≤n o numim ortonormat˘a dac˘a este format˘a din versori ortogonali doi cˆate doi i.e.:

< ei, ej >=δij (6) unde δ este simbolul lui Kronecker adic˘a 1 dac˘a i=j ¸si 0 dac˘a i6=j.

Leopold Kronecker (7.12.1823 - 29.12.1891)

(7)

Observat¸ia 10

1) Avem not¸iunile generale de produs scalar ¸si norm˘a:

i) Numimprodus scalar pe spat¸iul vectorial realV o aplicat¸ie<, >:V ×V R cu propriet˘at¸ile:

PS1) pozitiva definire: < x, x >≥0, ∀x∈V; < x, x >= 0⇔x= 0V, PS2) simetria: < x, y >=< y, x >,

PS3) biliniaritatea: < λx+µy, z >=λ < x, z >+µ < y, z >.

Perechea (V, <, >) o numim spat¸iu vectorial euclidian.

(ii) Numim norm˘a pe spat¸iul vectorial V o aplicat¸ie k · k : V R cu propriet˘at¸ile:

N1) (pozitiva definire) kxk ≥ 0, ∀x V; kxk = 0 x = 0V=vectorul nul din V,

N2) (pozitiva omogenitate) kλxk=|λ|kxk,

N3) (inegalitatea triunghiului) kx+yk ≤ kxk+kyk.

Perechea (V,k · k) o numim spat¸iu vectorial normat.

(iii) O inegalitate ce leag˘a not¸iunile de produs scalar ¸si norm˘a este:

|< u, v >| ≤ kukkvk (7) numit˘aforma geometric˘a a inegalit˘at¸ii CBS (Cauchy-Buniakovski-Schwartz).

Cauchy (1789 - 1857)

Pe un spat¸iu vectorial euclidian putem introduce unghiul orientat dintre doi vectori nenuli: dac˘a x, y (V \ {0V}, <, >) atunci definim θ =θ(x, y)∈ [0, π) prin:

cosθ = < x, y >

kxkkyk . (8)

(8)

Rezult˘a inegalitatea|cosθ| ≤1 ¸si caracterizarea cunoscut˘a a ortogonalit˘at¸ii:

x⊥y⇔θ(x, y) = π 2

6

- x y

Fig. 1 Vectori ortogonali 2) Orice produs scalar genereaz˘a o norm˘a¸:

(V, <, >)(V,k · k) dup˘a formula:

kxk=

< x, x > (9)

3) Apelˆand la (4) obt¸inem forma algebric˘a a inegalit˘at¸ii CBS:

| Xn

i=1

uivi|2 Ã n

X

i=1

¡ui¢2! Ã n X

i=1

¡vi¢2!

. (10)

Avem egalitate dac˘a ¸si numai dac˘a |cosθ(u, v)|= 1, echivalent vectorii u, v sunt coliniari, echivalent avem proport¸ionalitatea vu11 =. . .= vunn(= λ).

4)Identitatea paralelogramului este specific˘a normelor generate de un produs scalar: ∀u, v (V, <, >) avem:

ku+vk2+ku−vk2 = 2¡

kuk2+kvk2¢

. (11)

Semnificat¸ia geometric˘a (ce d˘a ¸si denumirea): suma p˘atratelor diagonalelor unui paralelogram este egal˘a cu suma p˘atratelor laturilor.

Demonstrat¸ie Se adun˘a relat¸iile:

½ ku+vk2 =kuk2 +kvk2+ 2 < u, v >

ku−vk2 =kuk2 +kvk22< u, v > . ¤

S˘a mai observ˘am c˘a prima din relat¸iile precedente este exact teorema Pitagora generalizat˘a sau teorema cosinusului:

ku+vk2 =kuk2+kvk2+ 2kukkvkcosθ(u, v) (12)

(9)

sau ˆınc˘a, alegˆand u=−→BA, v=−→AC:

BC2 =AB2+AC2+ 2AB ·AC·cos

³ π−Ab

´

deoarece ]

³−→BA,−→AC

´

=π−A. Literal, avem:b

a2 =b2+c22bccosA.b (13) Evident, pentru triunghiul dreptunghic ˆın A, i.e. Ab = π2, avem teorema Pitagora ce spune c˘a p˘atratul ipotenuzei (latura ce se opune unghiului drept A) este egal cu suma p˘atratelor catetelor.b

@@

@@

c

b a=

b2+c2

a a a

A C

B Fig. 2 Teorema Pitagora

Pitagora (c.580 ˆı.Hr. - c.500 ˆı.Hr.)

Deoarece lucrul cu indici poate deveni la un moment dat deosebit de dificil vom utiliza ˆın cele ce urmeaz˘a calculul matriceal. Astfel, cu schema x→B XB =

 x1

...

xn

 relat¸ia (1) se scrie:

x= (e1, . . . , en)·

 x1

...

xn

=B·XB. (14)

(10)

Produsul scalar se poate scrie:

< x, y >= (x1, . . . , xn)·

 y1

...

yn

=tx·y. (15)

De asemeni, condit¸ia de ortonormare pentru baze devine:

tB·B =

 e1

...

en

·¡

e1 . . . en ¢

=

< e1, e1 > . . . < e1, en >

. . . . . . . . .

< e1, en > . . . < en, en>

=In. (16) Exemplul 11 Baza canonic˘a Bc este ortonormat˘a.

Studiem ˆın continuare problema schimb˘arilor de baze ˆın Rn. Fie deci B = {e1, . . . , en} respectiv B0 = {e01, . . . , e0n} baze (oarecare ˆıntr-o prim˘a faz˘a!) ˆın Vn. Descompunem vectorul e0i ˆın baza B cu relat¸ia e0i = sjiej ¸si obt¸inem astfel ansamblul (s1i, . . . , sni) asociat vectorului e0i. Fie S matricea ce are drept coloane ansamblurile precedente:

S =





s11 s1i s1n ... ... ... ... ...

sn1 sni snn e01 e0i e0n





este o matrice p˘atratic˘a de ordin n i.e. S Mn(R). Ret¸inem convent¸ia de notare a elementelor unei matrici: indicele superior reprezint˘a linia iar indicele inferior reprezint˘a coloana! MatriceaS o numim matricea de trecere de la B la B0 ¸si not˘am B0 = S(B). Spre exemplu, ˆın unele c˘art¸i aceea¸si matrice se notez˘a cu C init¸iala cuvˆantului englez change=schimbare.

O alt˘a scriere a relat¸iei dintre B ¸si B0, formal˘a dar deosebit de util˘a ˆın cele ce urmeaz˘a, este:

B0 =B·S (17)

ˆın care gˆandim bazele ca matrici linie de vectori ¸si scalarii din S, de¸si apar ˆın dreapta vectorilor, ˆıi regˆandim ˆın stˆanga.

Propozit¸ia 12(i)Dac˘a B0 =S(B)¸siB00=S0(B0) atunci B00 =SS0(B).

(ii) MatriceaS este inversabil˘a ¸si avem B =S−1(B0).

(11)

Demonstrat¸ie (i) Relat¸ia B00 = B0 ·S0 = (B ·S)·S0 = B ·(SS0) d˘a concluzia.

(ii) Fie B00 = B. Aplicˆand (i) rezult˘a c˘a matricea de trecere de la B la B este SS0 dar evident c˘a aceasta este matricea unitateIn. Prin urmare S este inversabil˘a ¸si S0 matricea de trecere de la B0 laB este exact S−1. ¤

Combinarea relat¸iilor (13) ¸si (14) conduce la:

tB0·B0 =t(tBB)·S (18)

ceea ce implic˘a urm˘atorul rezultat fundamental:

Propozit¸ia 13(i) Dac˘a B ¸si B0 sunt ortonormate atunci S satisface:

tS·S =In. (19)

(ii) Reciproc, dac˘a B este ortonormat˘a ¸si S satisface identitatea precedent˘a atunci B0 este ortonormat˘a.

Demonstrat¸ie (i) ˆInlocuimtB·B =tB0·B0 =Inˆın (10).

(ii) ˆIn condit¸iile ipotezei avem tB0 ·B0 =In ceea ce d˘a concluzia. ¤ Suntem astfel condu¸si la introducerea:

Definit¸ia 14O matrice S ∈Mn(R) o numim n-ortogonal˘a dac˘a:

tS·S =In. Not˘am cu O(n) mult¸imea matricilor n-ortogonale.

Cum inversul unui element ˆıntr-un monoid, dac˘a exist˘a, este unic, con- siderˆand monoidul (Mn(R)\ {On},·) avem c˘a o matrice n-ortogonal˘a este caracterizat˘a ¸si de relat¸ia tS = In. Prin urmare avem urm˘atorul criteriu complet de recunoa¸stere a matricilor n-ortogonale:

Propozit¸ia 15 Pentru S Mn(R) urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echiva- lente:

(i) S∈O(n), (ii) tS·S=In,

(iii) coloanele lui S constituie o baz˘a ortonormat˘a ˆın Rn, (iv) tS =In,

(v) liniile lui S constituie o baz˘a ortonormat˘a ˆın Rn.

Datorit˘a punctului (ii) din Propozit¸ia 12 introducem mult¸imea:

GL(n, K) ={A ∈Mn(R); A inversabil˘a}. (20)

(12)

Propozit¸ia 16 GL(n,R) este grup relativ la ˆınmult¸irea matricilor, ne- abelian pentru n 2.

Demonstrat¸ie i) Dac˘a A, B GL(n,R) atunci AB GL(n,R) cu (AB)−1 =B−1A−1. Deci ˆınmult¸irea este lege intern˘a pe GL(n,R).

ii) ˆInmult¸irea matricilor este asociativ˘a.

iii) Element neutru este matricea identitate In ¸si evident In GL(n,R) cu In−1 =In.

iv) Dac˘a S GL(n,R) atunci exist˘a S−1 ¸si evident S−1 GL(n,R) cu (S−1)−1 =S. ¤

Definit¸ia 17GL(n,R) se nume¸ste n-grupul liniar general real.

Observat¸ia 18(i) Rezultatul anterior are loc mai general pentruGL(n, K) cu K un corp oarecare. Avem astfel ¸si n-grupul liniar general complex GL(n,C).

(ii) Spre exemplu, GL(1, K) =K.

Un rezultat central al acestui curs este urm˘atorul:

Propozit¸ia 19O(n) este subgrup ˆın GL(n,R).

Demonstrat¸ie i) FieA, B ∈O(n). Din:

t(AB)AB =t BtAAB =t BInB =tBB =In

rezult˘a c˘a AB ∈O(n).

ii) Fie S ∈O(n) oarecare. Din:

t(S−1)S−1 =t(tS)tS =StS =In

(conform punctului (iv) al propozit¸iei 15) rezult˘a c˘a S−1 ∈O(n). ¤ Definit¸ia 20O(n) se nume¸ste n-grupul ortogonal.

Reamintim dou˘a funct¸ii matriceale remarcabile pe mult¸imi de matrici p˘atratice:

A) Funct¸iadeterminant det:Mn(R)R, pe o utiliz˘am la caracterizarea elementelor lui GL(n,R). Astfel, GL(n,R) ={A∈Mn(R);detA6= 0}.

Propriet˘at¸i:

A1) este invariant˘a la transpunere: det(tA) = detA. Reamintim c˘a o matrice A pentru care tA = A (respectiv tA = −A) o numim simetric˘a (respectiv antisimetric˘a).

A2) este multiplicativ˘a: det(AB) =detA·detB.

(13)

Aceast˘a proprietate spune c˘a restrict¸ia det|GL(n,K) K este morfism de grupuri multiplicative. Acest morfism este surjectiv dar nu este izomorfism nefind injectiv.

Cum detIn= 1 rezult˘a:

A3) det comut˘a cu luarea inversei: S GL(n, K) detS−1 = (detS)−1 =

1 detS.

B) Funct¸iaurm˘a T r:Mn(R)R, T rA=Pn

i=1

aii. Propriet˘at¸i:

B1) este invariant˘a la transpunere: T r(tA) = T rA.

B2) este operator liniar T r(λA+µB) =λT rA+µT rB adic˘a T r∈(Mn(R))=dualul spat¸iului vectorial real Mn(R).

B3!) este invariant˘a la permut˘ari circulare: T r(ABC) = T r(BCA).

B4) ˆınlocuind C =Inˆın B3) avem: T r(AB) = T r(BA).

B5) tot din B3) rezult˘a c˘a dac˘a S∈GL(n, K) atunci T r(SAS−1) =T rA.

Teorema 21Funct¸ia <, >:Mm,n(R)×Mm,n(R)R:

< A, B >= 1

nT r(tB ·A) (21)

este un produs scalar pe Mm,n(R) Demonstrat¸ieT r(tA·A) = n1 P

i=1,mj=1,n|aij|2 0;T r(tA·A) = 0 ⇐⇒

A=Om,n = matricea nul˘a.

n < B, A >=T r(tA·B) = T r(t(tA·B)) = T r(tB·A) = n < A, B > . Liniaritatea ˆın primul argument rezult˘a imediat din liniaritatea urmei. ¤

Definit¸ia 22 Produsul scalar (21) se nume¸ste produsul scalar Hilbert- Schmidt. Norma indus˘a o vom numinorma Hilbert-Schmidt.

David Hilbert (23.01.1862 - 14.02.1943)

(14)

Propozit¸ia 23 Produsul scalar Hilbert-Schmidt generalizeaz˘a produsul scalar euclidian (cˆandn = 1). Din acest motiv folosim aceea¸si notat¸ie.

Demonstrat¸ieDac˘an = 1 avemx, y ∈Mm(R) ¸si< x, y >=T r(ty·x) =t y·xdeoarece ty·xeste un scalar fiindc˘aty∈M1,n(R) ¸six∈Mn,1(R) implic˘a

ty·x M1,1(R) = R. Deci produsul scalar Hilbert-Schmidt generalizeaz˘a produsul scalar euclidian. ¤

Un rezultat extrem de util este datorat inegalit˘at¸ii Cauchy-Buniakowski- Schwarz care devine:

Propozit¸ia 24Norma Hilbert-Schmidt este submultiplicativ˘a i.e.:

kABk ≤ kAkkBk. (22)

Suntem uneori interesat¸i ˆın schimbarea locului unei matrici ˆın cadrul pro- dusului scalar:

Propozit¸ia 25Dac˘a A, B, C ∈Mn(R)atunci:

< A·B, C >=< B,tA·C >, (23)

< B·A, C >=< B, C·tA > . (24) Demonstrat¸ie

n < B,tA·C >=T r(t¡t AC¢

B) = T r¡t CAB¢

=n < A·B, C >, n < B, C·tA >=T r(t¡t

CA¢

B) = T r¡t ACB¢

=T r¡t CBA¢

=n < B·A, C > . Corolarul 26 Dac˘a S ∈O(n)¸si A∈Mn(R) atunci:

kSAS−1k=kAk. (25)

Demonstrat¸ie

< SAS−1, SAS−1 >=< AS−1,tSSAS−1 >=< AS−1, AS−1 >=

=< A, AS−1t¡ S−1¢

>=< A, AS−1S >=< A, A > .

Definit¸ia 27 Matricile A, B Mn(K) se numesc asemenea (ˆın englez˘a

”similar”) dac˘a exist˘a S∈GL(n, K) a.ˆı.:

B =SAS−1. (26)

(15)

Propozit¸ia 28Dou˘a matrici asemenea au acela¸si determinant ¸si aceea¸si urm˘a. Dac˘a S ∈O(n) atunci au ¸si aceea¸si norm˘a.

FieS ∈O(n). Trecˆand la determinant ˆın relat¸ia caracteristic˘atS·S =In

¸si folosind proprietatea A1 obt¸inem (detS)2 = 1 ceea ce conduce la:

Propozit¸ia 29Dac˘a S ∈O(n) atunci detS ∈ {−1,+1}.

Definit¸ia 31 Consider˘am O(n) = {S ∈O(n);detS = −1}¸si SO(n) = {S ∈O(n);detS = +1}.

Propozit¸ia 32O(n) nu este parte stabil˘a la ˆınmult¸irea matricilor deci nu este subgrup ˆın O(n).

Demonstrat¸ie Fie S1, S2 ∈O(n). Atunci det(S1S2) = (−1)(−1) = +1 deci S1S2 ∈SO(n). ¤

Propozit¸ia 33SO(n) este subgrup ˆın O(n).

Demonstrat¸ie Un calcul imediat arat˘a c˘a SO(n) este parte stabil˘a la ˆınmult¸irea matricilor. Fie S SO(n) oarecare. Cum S−1 = St din propri-

etatea A1 rezult˘a c˘a detS−1 =detS = +1 i.e. S−1 ∈SO(n). ¤ Definit¸ia 34SO(n) se nume¸ste n-grupul ortogonal special.

Exemplul 35 O(1) ={−1,+1}, O(1) ={−1}, SO(1) ={+1}.

Definit¸ia 36 Fie spat¸iul vectorial normat (V,kk), elementul x0 V ¸si num˘arul real r > 0. Mult¸imea S(x0, r) = {x V;kx−x0k = r} o numim sfera centrat˘a ˆın x0 de raz˘a r.

Exemplul 37 Sfera unitate este Sn = {x V;kxk = 1}. Astfel, cercul unitate S1 este binecunoscutul cerc trigonometric S1 = {z C;|z| = 1} al numerelor complexe de modul 1.

6 - ÁÀ ¿

x y

S1 ai

Fig. 3 Cercul unitate

(16)

Propozit¸ia 38O(n) este sfera din Mn(R)centrat˘a ˆın origine=matricea nul˘a, de raz˘a r= 1 relativ la distant¸a indus˘a de norma Hilbert-Schmidt.

Demonstrat¸ie Fie S O(n) oarecare. Avem: d(On, S) = kSk =

√< S, S >= q

1

nT r(St·S) = q

1

nT rIn = 1. ¤

ˆIncheiem acest curs cu o consecint¸˘a important˘a a Propozit¸iei 25:

TEOREM ˘A: Relat¸ia fundamental˘a a geometriei euclidiene Fie A, B ∈Mn(R)¸si S∈O(n). Atunci:

< SA, SB >=< A, B >, < AS, BS >=< A, B > . (27) ˆIn particular, dac˘a x, y Rn atunci:

< Sx, Sy >=< x, y > . (28) Relat¸ia (27) spune c˘a O(n) invariaz˘a produsul scalar euclidian pe Rn.

Cum ortogonalitatea ¸si norma euclidian˘a sunt generat˘a de produsul scalar euclidian avem ¸si:

COROLARO(n) invariaz˘a i) ortogonalitatea i.e. x⊥y⇔Sx⊥Sy, ii) norma euclidian˘a pe Rn i.e.:

kSxk=kxk. (29)

Mai general, datorit˘a relat¸iei (8) avem c˘a O(n)invariaz˘a orice unghi.

(17)

1 SEMINAR: Grupul ortogonal

S1.1FieGL+(n,R) respectivGL(n,R) mult¸imea matricilor cu determinant strict pozitiv repectiv strict negativ. S˘a se arate c˘a GL(n,R) nu este parte stabil˘a la ˆınmult¸ire ¸si c˘a GL+(n,R) este subgrup ˆın GL(n,R).

RezolvareAcelea¸si argumente ca la Propozit¸iile 32 ¸si 33.

S1.2 S˘a se arate c˘a mult¸imea SL(n,R) a matricilor de determinant +1 este subgrup ˆın GL+(n,R). Acest grup se nume¸ste n-grupul liniar special real.

RezolvareVerific˘area condit¸iilor de subgrup este imediat˘a.

Exemplu: SL(1,R) = SO(1) = +1. Pentru n 2 avem SO(n) SL(n,R) dup˘a cum o arat˘a exercit¸iul S4.

S1.3 Utilizˆand rezultatul precedent ¸si Propozit¸ia 19 s˘a se reobt¸in˘a c˘a SO(n) este subgrup ˆın O(n).

RezolvareAvem: SO(n) = O(n)∩SL(n,R).

S1.4S˘a se arate c˘a matricea:

S =

µ 3 4 2 3

este ˆın SL(2,R) dar nu este ˆın SO(2).

RezolvareAvem detS = 1 ¸si:

tSS =

µ 3 2 4 3

¶ µ 3 4 2 3

=

µ 13 18 18 25

6=I2.

S1.5S˘a se determine O(2). Interpretare geometric˘a pentru SO(2).

Rezolvare Reamintim c˘a pentru A O(n) coloanele sale sunt versori ortogonali doi cˆate doi. Un versor ˆın R2 este de forma ¯u= (cosϕ, sinϕ) iar un versor ortogonal pe acesta este ¯u =±(−sinϕ, cosϕ).

Cazul I

Rϕ =

µ cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ

, ϕ∈[0,2π) (30)

descrie SO(2). Interpretarea geometric˘a cerut˘a este urm˘atoarea: transfor- marea liniar˘a a lui R2 de matrice Rϕ esterotat¸ia de unghi ϕˆın sens trigono- metric (i.e. antiorar) din origine!

(18)

Cazul II

Sϕ =

µ cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ

, ϕ∈[0,2π) (31)

descrie O(2).

S1.6 (Interpretare geometric˘a pentru O(2)) Fie dϕ/2 dreapta din plan ce trece prin origine ¸si face unghiul orientat ϕ/2 cu axa Ox. S˘a se arate c˘a simetria axial˘a ˆın raport cu dϕ/2 este transformarea liniar˘a peR2 de matrice Sϕ. Exemple.

RezolvareEcuat¸ia luidϕ/2 :y=tgϕ2·xse scriedϕ/2 :−sinϕ2·x+cosϕ2·y= 0 deci aceast˘a dreapt˘a are versorul normalei ¯N = (−sinϕ2, cosϕ2). Avem formula:

rM00 =rM 2Fπ(rM)

kNk2 N (32)

ce d˘a simetricul M00 al punctului M fat¸˘a de hiperplanul π de normal˘a N, deci de ecuat¸ie π : Fπ(r) :=< r, N >= 0. Prin urmare, simetria axial˘a fat¸˘a de dreapta d=dϕ/2 are ecuat¸ia:

Sd(x, y) = (x, y)2(sinϕ

2 ·x+cosϕ

2 ·y)(−sinϕ 2, cosϕ

2) =

=

³

x(1−2 sin2 ϕ

2) + 2ysinϕ 2 cosϕ

2,2xsinϕ 2 cosϕ

2 +y(1−2 cos2 ϕ 2)

´

=

= (xcosϕ+ysinϕ, xsinϕ−ycosϕ) = Sϕ· µ x

y

. Exemple:

I) ϕ= 0 ⇒dϕ/2 =axa Ox. Avem deci simetria fat¸˘a de Ox:

S0 =

µ 1 0 0 −1

, SOx(x, y) =

µ 1 0 0 −1

¶ µ x y

= µ x

−y

. (33) ˆIn englez˘a S0 se nume¸ste reflection across x-axis.

6

-

x y

¡¡(x, y)a

@ a

@

(x,−y)

(19)

Fig. 4 Simetria fat¸˘a de Ox

II)ϕ=π⇒dϕ/2 =axa Oy. Avem deci simetria fat¸˘a de Oy:

Sπ =

µ −1 0

0 1

, SOy(x, y) =

µ −1 0

0 1

¶ µ x y

= µ −x

y

. (34)

6

-

x y

¡¡(x, y)a a

@@

(−x, y)

Fig. 5 Simetria fat¸˘a de Oy

III)ϕ= π2 ⇒dϕ/2 =prima bisectoareB1. Avem decisimetria fat¸˘a de B1: Sπ2 =

µ 0 1 1 0

, SB1(x, y) =

µ 0 1 1 0

¶ µ x y

= µ y

x

. (35)

6

-

x y

¡¡¡¡

B1

¡¡

¡¡

Fig. 6 Prima bisectoare

IV) ϕ= 2 dϕ/2 =a doua bisectoare B2. Avem deci simetria fat¸˘a de B2:

S

2 =

µ 0 −1

−1 0

, SB2(x, y) =

µ 0 −1

−1 0

¶ µ x y

= µ −y

−x

. (36)

(20)

6

-

x y

@@

@@

B2

@@

@@

Fig. 7 A doua bisectoare

S1.7 (Compunerea simetriilor axiale ˆın plan) Fie d1, d2 drepte ˆın plan prin origine ¸siαunghiul orientat de lad1 lad2. S˘a se arate c˘a simetria axial˘a fat¸˘a de d1 compus˘a cu cea fat¸˘a de d2 este rotat¸ia de unghi α.

RezolvareUn calcul imediat, folosind identit˘at¸i trigonometrice, d˘a:

Sϕ2 ·Sϕ1 =Rϕ2−ϕ1 =Rα (37) S1.8S˘a se arate c˘a:

Rϕ1 ·Rϕ2 =Rϕ12 (38)

¸si s˘a se interpreteze.

Rezolvare Folosind identit˘at¸i trigonometrice relativ la cosinusul ¸si si- nusul sumei de unghiuri avem relat¸ia cerut˘a.

Interpretare: avem c˘a grupul SO(2) este abelian, rezultat ce nu este valabil pentru SO(n) cu n 3.

S1.9S˘a se arate c˘a:

SθRϕ =Sθ−ϕ (39)

RθSϕ =Sθ+ϕ. (40)

RezolvareSe folosesc din nou identit˘at¸ile trigonometrice uzuale.

S1.10 Fix˘am S O(n). S˘a se arate c˘a O(n) = {RS;R SO(n)}.

Tratat¸i cazul particular n = 2.

Rezolvare Fix˘am A O(n); trebuie s˘a rezolv˘am ecuat¸ia A = RS ˆın necunoscuta R. Cum S O(n) O(n)=grup, exist˘a S−1 O(n). Avem deci solut¸ia unic˘a R = AS−1 O(n). Din multiplicitatea determinatului rezult˘a detR = (−1)(−1) = +1 adic˘a R∈SO(n).

(21)

Exemplu. Putem lua simetria fat¸˘a de primul hiperplan:

S =Sn=



 1

. ..

1

−1



∈O(n).

Caz particular n = 2. Fix˘am R = Rϕ ¸si S = S2 coincide cu S0 a problemei S6. Avem:

RS =Rϕ·

µ 1 0 0 −1

=Sϕ

reobt¸inˆand astfel expresia matricilor din O(2).

S1.11 Se cere inversaSθ−1 a simetriei Sθ ∈O(2).

RezolvareFolosind (37) avem:

SθSθ =Rθ−θ =R0 =I2 (41)

¸si deci:

Sθ−1 =Sθ. (42)

S1.12 S˘a se arate c˘a singurele rotat¸ii ce comut˘a cu simetria Sϕ ∈O(2) sunt R0 =I2 ¸si Rπ =−I2.

Rezolvare Presupunem SϕRθ = RθSϕ ¸si utiliz˘am (39) ¸si (40); rezult˘a Sϕ−θ = Sθ+ϕ. Reamintim c˘a Sα = Sβ este echivalent cu β α(mod2π) ¸si deci: θ+ϕ=ϕ−θ+ 2kπ, k Z. Rezult˘a θ = dar din θ [0,2π) avem k ∈ {0,1} ceea ce voiam.

S1.13Se nume¸ste centru al grupului Gmult¸imeaZ(G) a elementelor lui Gce comut˘a cu toate elementele luiGi.e. Z(G) = {x∈G;xy =yx,∀y∈G}.

(Spre exemplu, dac˘a G este abelian atunci Z(G) = G.) Folosind problema precedent˘a se cere centrul lui O(2).

RezolvareDeoareceSO(2) este abelian avem c˘aZ(O(2)) este dat de ele- mentele luiO(2) ce comut˘a cu cele dinO(2). Datorit˘a rezultatului anterior avem Z(O(2)) ={+I2,−I2}.

Pentru cazul general avem rezultatul urm˘ator, [6, p. 144]:

Z(SO(2n)) = {+I2n,−I2n} 'Z2 (43)

(22)

Z(SO(2n+ 1)) ={I2n+1} 'grupul trivial (44) unde 'ˆınseamn˘a izomorfism de grupuri iarZ2 ={ˆ0,ˆ1} este grupul aditiv al claselor de resturi modulo 2.

S1.14 S˘a se arate c˘a Z(GL(n,R)) ={λIn;λ R}.

RezolvareFie x∈Z(GL(n,R)) ¸si:

yn1 =





−1 1

. ..

1



∈GL(n,R).

ˆIn matricea produs xy prima coloan˘a este -prima coloan˘a din x iar ˆın ma- tricea produs yx prima linie este -prima linie din x. Din egalitatea xy =yx rezult˘a c˘a pe prima coloan˘a ¸si prima linie din matriceaxnu r˘amˆane decˆatx11. Procedˆand analog cu matricileyn2, . . . , ynn rezult˘a c˘axeste matrice diagonal˘a:

x=



 x11

x22 . ..

xnn



.

Fie acum pentrui, j ∈ {1, . . . , n}indici diferit¸i, matricea znij ce schimb˘a ˆıntre ele liniilei, j din matriceaIn. Avemznij ∈GL(n,R) iar comutareaxznij =znijx implic˘a rezultatul.

S1.15Dat grupulGcu elementul neutrue¸si elementulx∈Gdac˘a exist˘a n N a.ˆı. xn=eatunci cel mai micm∈N pentru carexm =ese nume¸ste ordinul lui xˆın G (sau, cu o denumire mai veche, perioada lui xˆın G). ˆIn caz contrar, spunem c˘a x are ordin infinit.

Se cere ordinul elementelor lui O(2).

RezolvareDat˘a simetriaSθ, datorit˘a relat¸iei (40) avem c˘aSθ are ordinul 2.

Fie acum rotat¸iaRϕ. Datorit˘a relat¸iei (38) avem:

Rnϕ =R (45)

¸si deci avem dou˘a cazuri:

I) ϕ=multiplu rat¸ional de 2π.

(23)

Dac˘a ϕ= 2kπn atunci Rϕ are ordinul n.

II) ϕ=multiplu irat¸ional de 2π.

Atunci Rϕ are ordin infinit.

S1.16Un subgrupH al grupuluiGse nume¸stedivizor normal dac˘a avem xHx−1 =H pentru oricex∈G.

S˘a se arate c˘a SL(n, K) este divizor normal ˆın GL(n, K). Consecint¸˘a pentru SO(n).

RezolvareFie S ∈GL(n, K) ¸si U ∈SL(n, K). Deoarece GL(n, K) este grup avem c˘aSUS−1 ∈GL(n, K) iar din multiplicativitatea determinantului rezult˘a det(SUS−1) =detU = +1 i.e. U ∈SL(n, K).

Consecint¸˘a: SO(n) =SL(n,R)∩O(n) este divizor normal ˆın O(n).

Observat¸ie Dac˘a G este grup abelian atunci orice subgrup al s˘au este divizor normal. Exemplu: S1este divizor normal ˆınC; a se vedea Consecint¸a de la exercit¸iul S20.

S1.17Folosind formulele (37)(40) s˘a se reobt¸in˘a faptul c˘a SO(2) este divizor normal ˆın O(2).

RezolvareAvem:

1) RθRϕR−1θ =Rθ+ϕ+(−θ) =Rϕ ∈SO(2),

2) SθRϕSθ−1 =SθRϕSθ =Rθ−(θ+ϕ) =R−ϕ ∈SO(2).

S1.18 S˘a se arate c˘a funct¸ia modul kk : C R+, z = x+iy → |z| = px2+y2 este multiplicativ ˘a:

|z1z2|=|z1||z2|. (46) RezolvareDac˘a z1 =x1+iy1, z2 =x2+iy2 atucni:

z1z2 = (x1x2−y1y2) +i(x1y2+x2y1) (47)

¸si atunci relat¸ia cerut˘a este echivalent˘a cu:

(x1x2−y1y2)2 + (x1y2+x2y1)2 = (x21 +y21)(x22+y22) (48) care este adev˘arat˘a, ambii membrii fiind (x1x2)2+ (x1y2)2+ (x2y1)2+ (y1y2)2.

Observat¸ieModulul este de fapt norma euclidian˘a pe R2 =C.

S1.19 S˘a se arate c˘a (C,·) este grup abelian.

(24)

Rezolvare 1) Se arat˘a imediat c˘a produsul a dou a numere complexe nenul este un num˘ar complex nenul folosind proprietatea analoag˘a de la numere reale.

2) Se verific˘a prin calcul asociativitatea ˆınmult¸irii numerelor complexe.

3) Element neutru este 1 = 1 +0.

4) Privind la relat¸ia (47) se observ˘a imediat invariant¸a indicilor la per- mutarea 12 ceea ce ˆınseamn˘a comutativitatea z1z2 =z2z1.

5) Fie num˘arul complexz =x+iy∈C ¸si conjugatul s˘au ¯z =x−iycare apart¸ine tot lui C. Avem:

zz¯=|z|2 (49)

¸si din z nenul avem |z|>0. Avem atunci inversul:

z−1 = 1

kzk2z.¯ (50)

S1.20 S˘a se arate c˘a S1 este subgrup ˆınC. Consecint¸˘a asupra comuta- tivit˘at¸ii lui S1.

Rezolvare1) Fie z1, z2 ∈S1. Din (46) avem: |z1z2|=|z1||z2|= 1·1 = 1 i.e. z1z2 ∈S1.

2) Fiez ∈S1. Conform (50) avem:

z−1 = ¯z. (51)

6 - ÁÀ ¿

x y

S1 za

za−1 = ¯z

Fig. 8 Inversul unui element din cercul unitate Dar:

|¯z|=|z| (52)

¸si deci |z−1|=|¯z|=|z|= 1 i.e. z−1 ∈S1.

Consecint¸˘a Cum C este abelian rezult˘a c˘a ¸si S1 este abelian.

S1.21 Fie J :C →GL(2,R), z =x+iy→J(z):

J(z) = xI2 +yJ2 =

µ x −y

y x

(53)

(25)

unde:

J2 =

µ 0 −1

1 0

. (54)

S˘a se arate c˘a J este morfism injectiv de grupuri multiplicative. Interpretare pentru funct¸ia modul.

Rezolvare Observ˘am mai ˆıntˆai faptul c˘a z fiind nenul avem, ˆın adev˘ar, J(z)∈GL(2,R).

1)J(z1) =J(z2) implic˘a, via egalitatea primei coloane, z1 =z2. 2)

J(z1)J(z2) =

µ x1 −y y1 x11

¶ µ x2 −y2

y2 x2

=

=

µ x1x2−y1y2 −(x1y2+x2y1) x1y2+x2y1 x1x2−y1y2

=J(z1z2).

Interpretare:

|z|2 =detJ(z). (55) Obt¸inem astfel o alt˘a demonstrat¸ie pentru multiplicativitatea modulului:

|z1z2|2 =det(J(z1z2)) =det(J(z1)J(z2)) = detJ(z1)detJ(z2) =|z1|2|z2|2. S1.22 S˘a se arate c˘a:

J22 =−I2. (56)

Deci, J2 este o extensie 2-dimensional˘a a unit˘at¸ii complexe i =

−1. Din acest motiv, J2 se nume¸stestructura complex˘a (sau uneoristructura simplec- tic˘a) a planului.

Rezolvare J22 =

µ 0 −1

1 0

¶ µ 0 −1

1 0

=

µ −1 0

0 −1

.

S1.23 S˘a se arate c˘a J2 ∈SO(2).

Rezolvare

tJ2·J2 =

µ 0 1

−1 0

¶ µ 0 −1

1 0

=

µ 1 0 0 1

¸si detJ2 = +1.

(26)

S1.24 S˘a se arate c˘a:

J(S1) =SO(2). (57)

RezolvareFie z C cu scrierea trigonometric˘a: z =|z|(cosϕ+isinϕ).

Dac˘a z ∈S1 atunci: z =cosϕ+isinϕ ¸si deci J(z) =Rϕ ∈SO(2).

6 - ÁÀ ¿

x y

S1 za

a

sinϕ a

cosϕ

¾

?

Fig. 9 Un element din cercul unitate ¸si scrierea sa trigonometric˘a

Consecint¸˘a foarte important˘aCum J era deja morfism injectiv avem izomorfismul de grupuri:

SO(2) 'S1 . (58)

O alt˘a observat¸ie important˘a este aceea c˘a aplicat¸iaJ conserv˘a nu numai structura algebric˘a (de grup) ci ¸si cea metric˘a deoarece atˆat elementele lui S1 cˆat ¸si cele ale lui SO(2) au norma (euclidian˘a=modul, respectiv Hilbert- Schmidt) egal˘a cu 1. Spunem c˘a J este oizometrie.

S1.25 S˘a se expliciteze izomorfismul J ˆın termeni de exponent¸ial˘a. In- terpretare pentru ˆınmult¸irea exponent¸ialelor.

RezolvareFie z C cu scrierea trigonometric˘a: z =|z|(cosϕ+isinϕ).

Reamintim c˘a z admite ¸si scrierea exponent¸ial˘a:

z =|z|e. (59)

Rezult˘a:

J(e) =Rϕ. (60)

InterpretareDin ultima relat¸ie reobt¸inem binecunoscuta lege de ˆınmult¸irea exponent¸ialelor:

e1 ·e2 =J−1(Rϕ1)J−1(Rϕ2) = J−1(Rϕ1Rϕ2) = J−1(Rϕ12) =ei(ϕ12)

(27)

care ˆınseamn˘a relat¸ia lui Moivre:

(cosϕ+isinϕ)(cosθ+isinθ) =cos(ϕ+θ) +isin(ϕ+theta). (61) ˆIn particular:

(cosϕ+isinϕ)n=cos(nϕ) +isin(nϕ). (62) S1.26 Fie A∈Mn(R) ¸si λ∈C.

1) λ se nume¸ste r˘ad˘acin˘a caracteristic˘a a lui A dac˘a este r˘ad˘acin˘a a polino- mului caracteristic:

PA(λ) =det(A−λIn). (63)

2) Dac˘a λ R atunci λ se nume¸ste valoare proprie dac˘a exist˘a x Rn{¯0}

a.ˆı.:

Ax=λx. (64)

Acest xse nume¸ste vector propriu corespunz˘ator valorii proprii λ.

S˘a se arate c˘a orice valoare proprie este r˘ad˘acin˘a caracteristic˘a. Consecint¸˘a pentru n impar.

RezolvareRelat¸ia (62) este echivalent˘a cu sistemul:

(A−λIn)x={¯0}

care este liniar ¸si omogen. S¸tim c˘a un astfel de sistem admite solut¸ie nenul˘a dac˘a ¸si numai dac˘a determinantul sistemului este nul.

Consecint¸˘a. Gradul polinomului caracteristic esten. Prin urmare, dac˘a n este impar, o matriceA ∈Mn(R) admite m˘acar o valoare proprie.

S1.27 Fie S O(n) ce admite valoarea proprie λ. S˘a se arate c˘a λ S0 = {−1,+1}. Consecint¸˘a pentru S SO(n) cu n impar. Caz particular n = 3.

RezolvareDeoarece S ∈O(n) avem, pentru vectorul propriu x:

< Sx, Sx >=< x, x >=kxk2

¸si totodat˘a;

< Sx, Sx >=< λx, λx >=kλxk2 =|λ|2kxk2. Egalˆand ultimele dou˘a relat¸ii ¸si folosind kxk 6= 0 avem |λ|= 1.

Referințe

DOCUMENTE SIMILARE

De¸si ˆın ambele cazuri de mai sus (S ¸si S ′ ) algoritmul Perceptron g˘ ase¸ste un separator liniar pentru datele de intrare, acest fapt nu este garantat ˆın gazul general,

Ca ¸si ˆın cazul ¸sirurilor de numere reale, se poate ar˘ ata c˘ a limita unui ¸sir ˆıntr-un spat¸iu metric space este unic˘

Pentru a suprprinde acest aspect, cuvintele care apar m˘ acar de 5 ori ˆın datele de antrenament ¸si dac˘ a apar de 5 ori mai des ˆın glume decˆ at ˆın non-glume sunt p˘

Am ar˘ atat c˘ a orice ¸sir Cauchy este m˘ arginit ¸si c˘ a orice ¸sir m˘ arginit de numere reale cont¸ine un sub¸sir convergent... Num˘ arul inf M este cel mai mare minorant

Experimentele au ar˘ atat c˘ a valoarea maxim˘ a a lungimii de und˘ a pentru conurile albastre este ˆın jur de 4400 ˚ A, pentru cele verzi ˆın jur de 5450 ˚ A ¸si pentru

Dac˘ a, în orice moment, parametrii c˘ auta¸ti de utilizator sunt satisf˘ acu¸ti cu toate relat , iile specificate, compozit , ia este complet˘ a, ¸si este returnat˘ a air

De¸si deja am ob¸tinut faptul c˘a A ^ = X este un estimator MVU (deoarece este eficient), utiliz˘am acum Teorema RBLS, care poate fi folosit˘a chiar ¸si atunci când nu exist˘a

7.1 Obiectivul general Insuşirea de către studenţi a unor noţiuni şi metode specifice pentru predarea matematicii si informaticii in gimnaziu si liceu.. Deprinderea unor tehnici