View of Identifizierung des Zustandsparameters für viskoelastiche Materialien (II)

IÛìyIJll rÌ'ltNrtt-ysE j\ut4tilÙQUrj lì'r'

IIE

'_uIlioIulì IDì L'IcptÌtoytn[^T't(¡1

I'ante ÍÌ3, No

I,

^19.94, _lÌp. Z$-lnõ

TÐENTIF'IZIERUNG ÐES ZUSTANÐSPARA},ÍE'TERS FÜR VISKOELASTISCHE },IATERIALIEN (II)

(I{arlsluhc)

Star'úirrg fr,orir 1,he genera,I stres 't,ic rn¿rtelial, r.vhic

icleniificatiotì

pro l'ela,xation expet'it

histoly,

matet'j?"1

leni,

cleformation histoi,ies.

'Io

^inter,_

1 . 5. T-I l EII\IOD1'N{t.:tlSCIlE _},rODllLLÐ

_ J"l

folgenden rvircl

ein

thelrnoclynalnisches

}lodell ent$'ielielt rrìt

dem Øiel einer. ein<leutigen

Definition

^"der. _Größen :

-

cìissipierte

Enelgie pro .leiteiuheit V;

- ^freie

^{Energio -H;}

-

r,eversiblo lìormänderìlngen _{€, ;}

- irreversible

Forrnä,nderungen _{9¡ i}

-

reverÊible

Arbeit

_L,;

-

dissipierte

Arbeit, Zr.

weiche mit, clen thermotlynarni*chen Hauptgesetzen verträ,.ulicir sein rnuß.

1.5.1' I'lronrtoÙ¡uitrnlscltos lt'Io¡lcll Iåir trtoll¡-rurnn-liclfe.rra-lt{ateli:ùi.'

Um

tlas theln.toclynarrische r\fodell

zu

entri'ickeln, ]:eg.inn.t

rua¡ ¡til, der Definition der

mecha,nischen

Arbeit

(1.44) _It

i,'

^dt.

-æ

26 I{. Iluggiseh, P. NIazilu, IL \Ycbcl

,

I tì cn 1 i I i z ì c l u rr -c ^{ci c} s Z n.s t an d.s¡t ¿r l. au I c t ct.s 27

IJenul,zt rnarÌ das

konstitutive

Gesetz ^(1.36) und die Beziehung (1'34)' clann

erhält

rnan

fls sci

oo :

cirr

Spannunfisr.1'

Âus

^(1.4.S) foigb

[0

kl

^,

^{) *

f,Ì('(s(0)

:

_s(Ar)

: 0,

o'0(ú)

: tl fär

t

f f0, Atl)

us.

(1.45)

,: _5,

^{Il{ È}

^d¿+ [

^q

J

(D' ts I dt,

(1.49) rnax

_{| :(f}

)l ^<

^{/c rnax} i âo(r)1,

u'obei

r:,.1:1;

_lln+

I ^R(,)

^¿rl

ist. lllll

ì:czeichnet dic l{r¡r'rn einer. lirrc:ìr,cn .l\'ansforrnation '7':11,8-116.

'l3enutzL

rnarr (1.49)

untl

(1.31), clann er'häit rnan

mit

_{n-(r) als} z\bkrir- zung f

til

clen frrtcgtaliccrn auT

tlcl

I'cchtc'n Soite von (1.81)

-æ oder- clie âcluivalente Gleichuttg

(1.46 ₎

L

i(r)

temos+ I

^{G,¿ ts d¿}

-æ

s'oì¡ei clas

elstc Integral

ein

Irrtegral irn

Spzrrrnrlngsrallrû lrczeichnct.

tr'ätrrt

rnan clie neueu Palarnetcr'

(?t,?2, ...r1)r)'': ^{p mit}

(1.+7) t:: ^G'tH

^G

¡ ^{+ G''ts}

^s_

ein, schrcibt

sich (1.45)

init IIilfc

^von

lrirx IfuI <Ðat¡lg(l)ll ^/iAúrua,x _ISo(¿)l:

/€Ltì,f/l /€{0.1 / ' /cto,l/l -

( 1.50) rvoJ¡ci

-

^./{

Lt

rrras _lio(¿)1,

/ e l0,a/l

i, : _I J- _fG,

tH

G!

^clr

I I

^{J g qg?lBs dt,}

t :'å¡'1J' lltr(r)ll

^rc

J¡czcichnel,.

Del spannu'g'spfatl so(t); t ^e [0,

^{aú] s'erclc}

nun in

cinern anderen

Kreisplozctl nrit

höheler' {ìcschu'indigtreit zur,tichgelcgt gcrnäß

als

r,:( sndt

J -j

_9?'(¿)

: _oo(i'l), I ç

t

t)r

Lt

À

, À)1

X)as zcigt, daß tlic

p,

clie zu den

ilurclen

Spailnungen o,

konjttgierten

De- fornlationen sìncl.

Nun soll

l¡clviesen $.cltlcrrr

daß

_¡l-¡ eine synrrnetrisohe

Matrix

ist.

Zuclst

seicn einige Elgebnisse bezäglich der Yoltelra'sclten lntegralglei- chu¡gss.r'stemc -lvieclelholt.

llntel

der \rolaussetzung, ^rl¿rfJ

ttic l'Iatr'ìx

_6@

¡icht

singuld,r

ist

(cì.h. clei; _l

(GA)l +

⁰⁾

^läßt

^{sich clas} konst,itutive Gcsetz (1.36)

rnit

^(1.31)

in

cler åcluir.alenten

Iìolrn

schreiben.

l¡iil

tliescn ncuclr l{r'ois¡rt'ozeß

gilt rriit

(1.50) (r..51) _II I?ì, X

'. [0. ^'

.l tt(¿)

| < rt{ _{.irlu.t igr(l)l}

==

í{ Lt rnax

_ló0(r)l

I n

^/€

10,^r[

r€[0,^rl

È(¿)

:ujs(¿) -ts _"

^Ä(r-r)

^6ti(r)

^clr

lJeleclinet;

nian

^(.1.46)

für

rlcn Z¡-klus o(ü) uncl l¡cr,iicirsichtigt(1.5t),

rllrrrr

el'llii,lt, rrr:ìlr

/,

- ^[e

^r]t

^trs

^{-l- o}

^li¿1.

: J"- f ¡./

GernäÍJ r:lern zu'cil,cn Haupbsatz dar Trrer,rncldvnanrilc

gilt : l, )

^0.

\\ iill'tt

rìtttlì -^1 l;cliebig

^,

i<lein, so

crhàlt

r.n¿ur

unnrittclbal dic

Syrnrrictlie-

/\

ì:ozicJrung'crr

[H

:

_t}i''.

Oiforrbar umlS

fJ

aLrßet,clcur

ltositil. dcfiltit

^scirr.

Als

nacllstcs ri'elr1e

rlie ltro

ZciLeinhcit, tlissipict,bc

lìnelgie

^tf,'clefi-

nielt.

Es ^isl, behannt

(vgl. _[2]),

cLafJ dicses S¡'stem

von

ltrtegralg'lcichungcn für. liinleichcrrcl

glatte

_S(¿) eiuc

eintlcutigc

Lösung' _9(¿)

bositzt,

uncl ^c1aß cliese Lösung

in del Folm

(1.48) _è(¿)

:

Hg(¿)

f

^iR(¿

_{- t)} s(t) dt

-æ

c'larstellbar

ist.

IR(ú) bezeiclincl, eincn

in Í

stctigen

l(cln.

28 II. tsuggisclr , I,. )i4:rzìlrr, _Ì l. \\chcr 4 5 Idcutif izi cnr ug dcs ZUi; tan dsl)ûr.allìctcì.ír 29

l)ieclissí¡tt,ertcllnergie^I7ro ZetÍ.c.ítrheitist eine

Funktiotì v(g).

Siervi¡el so

:

beßtimmt,

o(+co)

claß

fiir aile Sfra'nungszvkle, a¡;i;l;i_ä, ""1, o(_co):

Unr clic Eirrrleut,ig.kciL rkr¡,Zer{cgrrrig zu siclìern, soi

er:0

angenorn_

liì:'"BlJìiì,,ùïìÎ ^dic 'ct'ersiblcn bzî. ¡"*'"ì.':sîìà;'iä,io,,.nnscu-cr*r.cr-,

(1'56)

È'

:

_{{tt s}

\l.Dr

/

_gi

.:

_[B s

]:estimmt.

I)io

i:e'e¡sil:ie

u*tl

i'rc.r-ersibls

A.l¡eit

sei

tl.rch

(7.s2)

r

i ^Y(q)dr

J

[¿-'u,:u

J

erfällt ist

(1.53)

gilt.

lìs

ist einfach zu Lrcrverisen. cl¡r,ß (1.52) gen¿lu dann el,füllt ist, ^.r,r,errrr

Y'(g) : _{f G"ts}

_€

':-!-

¿.:I .J

t

.

^{Ðie ./'r'eic Ììnerg.ie _è/}

^{soll fär}

^jeclen pr,ozef.l kornpleruent¿i,r,

zur

clissi_

pierten Ene'gie

sein,

d.h.

sie

r¡'irri d'r,ch ,li" Gi,,i;i;';;!.-*

99' ^d¿

df

I

l ^{2ftl idt}

(1.54)

p

_f,

Ivrrl

_{I '-} ^{¿, 99¿ I}

! stssdÍ

clefiniert. -æ

Eeräcksichtigt

nra*

die

synr.retrie

r¡on E{, cla'n folgt, a*s (1.54)

(1.55) ¡--]_sFle.

_,.j

S'olgencle

Ðefinition _t

:

T)ie

reaersiblen,

_sitrcl

_Ánteile

(Ìer eesB.mten Ve-rzerrun_

geir, clie

nur

freie

lìn

t,err ; d.h. es

gilt

cle

finiort.

. .¡

s,

b,ildctt

ein

mllsttittdiges ^g,ys-

1 õ 2 l)rls thtr'¡llr¡t;lÏrtllrlìsrrirÛ llÍr¡rl,0ll Iiir. l.{clr.i¡¡-lroigl-1.lafeli:rìieu

\,\¡ir. l<ehrc'zur.ticl<

z'tler lrormci.(I.4I),'r1

_{(1.48). Ðssei}

_d.rch

_å,

der _{Teil rlcr innelen}

1...r.zei.rungrsg.i,ì'.rì*ìi"r,eïä,'glJi.Jlr"rr,

.i""

^cturdh

fliC Hezit,ltLt trg ^{\ r¡ rr} rr¡(trtsr\(:(L _g('¡llìlJ

(1.58)

_þ"(t)

: ⁽ o-a,,-n

_@

o(r) ttr

J

i I l

\ e:, 'tl .- i ^tÞl:

_iæ

\)ie

ir're'aersi,bleu,

.rl

erzet'runyem

sind Ante.ile

der, gesarnten ve.z,er_

rungen'

_r'lie nur: clirssipielte

ììnergie

protruzier,en

;

^{cl.h. ãs}

^gilt

^:

I rît

^ge,

rlt: _I r-,.tdú dt.- [ ots*

J J-_ J-

-ø-ææ

clü.

- .lla

rlie,_ÌSedinguilg' *s,... _-., ^__.-

e erfüilt

isr,, u'er.den rric¡ reler,sibien

uncì i.l'eversiblen

ve'zellunserri

_dur,õh

clic

Gleicliungerr -æ

tlcfinielt l'ird.

er:lHg l-:t

s;:

^[B

f - ^si

^(r..5e)

illit;

(1.53)

r'ctluziert sich dic

spa''ungs-yerzerrungs-J3ezichlrng _zu

Jrcschlie ben

::GIMcl (DINs-i-0É,.

Ïrier'

I¡ezeiehnet é

r

einen boriobigen, zu o or.thogonalen _'Jìensor ; cl.¡

cs

gilt

nie

rncchanische

Ârbcit u,ild

rlanu chu'crr clio fr.ornrer

(1.60)

.:l ^øGIMerlif !sorusctüf $eo:"

^er

oea cìú:0.

rvieclclgcg;e ben -æ

-æ

30 TT. llrrgg!sclr, i). l\ÌazilLt, ll; ^\\cber

Atrs

(1.õ8) oÌgib1, sjch

durcll

Ðiffeleuti¿-¡tjolr

(1.61) _i" -- E,9 - ^A

^9..

ìVlult,ipliziert

iììârì

^(1.C1)

nrit S,

^cl¿¡rur

^erhält

^n¿tn

(1.62) Gï,:G0g-GAi",

\\,orarÌs

folgt,

ctaß

(1.63) _s : (0

_{@)-1G ë; -Ì-} (G

€)-r

G ,A.

:,'

setzt nzìn

^(1.63)

in

<las leiLzTr',Integlal (1.60)

ein,

c.latrtr

clhált

^lrralr

ftil

clie lnecha'rtisr:he ¡frJ¡eit die

Iìorlnel

o@-Vocltf

Idt'n I i [i z-icnrn g dcs Zns tarr clspâ]'âìrìc I crs 31

lls sei

gQ),

t

^€

(-oc,

oo)

ein

Spamrungsz.vklus

o(-co) : o(*co) : : 0.

GetnäJJ dern zu'eiten

Satz

der'

lhcluroclvnarrik

soll

(1.66)

ri

, ,"

\ ^{ecN i}

^rlú

⁺ \ Ë,o'(oc)-"G

2"ctt

I

-æ

JJ

æ

+ [i.¿,o?'(Gc)-'gó,rtt ²

^o

¿

gelten.

Betrachtet rnan rviedel Spaluneszvklcn cler tr'olm I

0- - \

_t

^{sG,l.I c}

^{rlt t,}

-æ

oo(7,ü)

t

e

0

te

0, A¿

--

^À

-æ orlr¡

:

^¿)r

(1.64 ₎

Ða in

^jcclt-'m S

metrie utrtl

_Positive

(1 .6õ)

+

^{ë. Gn (G}

^G)-"

^{GÈ, al¿}

-f

+

^ã,

A''

G'' (G @)-"

S!,

^elf

0

-æ unel berilc,ksichtig-t, daß

tlit

^httesrale

in

(1.66)

die

Gr'ößenoldmrng

tr

(1/À),

0 ^(1/À'z) bzrv. 0 (1/À') haì:en, clann

foigt

trus (1.66) clic Lrngleicbung

+æ

(1.67) [sOfirlqtli20.

!_

Aus

(J.67)

folgt,

claß (D [N ^eirrr¡

positirr rlefinite ]{atljx

^e;

(1.68)

^(D

_{tN >}

0

seiu

soll.

Ðie

Symmetliebeziehrurg (1.65)

utrtt

<lie 'I'atsacirc, claß es

sich

bei (1.68)

um

ejtie

positiv dcfinite l{atlir ^hantlclt,

sincl r.ìic einzigen Folgen, die rnan :¡us cìeln zn'eitcn Satz

del

Thclrnorl¡'rranrik ableiten

hann.

I)iese Bcziehungen leichen al:er nicbl, aus, urrì ein thermoclvna,lnisches

lfoclell

zu

entrvickeln. Ein

solches thcrmocl-rrla,n.lisclrc

ìIoclell rvild

a,bel möglich, r,venn rìiìttn folgende Syrnmctlie

und

stleng lrositit'e

J)elinilftcii,

annimrnt :

(1.69)

^(D

C -

^(G

^{C)" uncl} S )

^0.

Ðann könrtcn ujr die

clissipierte

Iìrrelgie pro Zeiteilher't uncl die

fleie Dnergie a'lulch clio folgenclen

Definitionen

einfähren :

Dl : I)ic

clissipierte

lìncrgie ¡rlo Zeiteinheit ist eine

tr'unktion

V(g, g,),

so claß

für

¿rlle Spanrrnngsztklen 7ft),

t

€

(-co,

co)

mit

_S(t)

=

⁰

an ßerhalb eines Zeitinter va,lls

lt' ^trl

-æ

Tf,s sei oÙ:

[0,

^¿l -

^{¿n (s(0)}

:

o"(^¿)

:

0, g0(l)

:

Û

fül

¿É

[0'Àtl) ein

Spannun!'szylrlns.

;tus

^(1.õ.3)

^folgt

'Ëlfüì,

i ¿9(')l

< t":ì¡ì'

I eo(t)l ^Àt' rvoJrei

lf _t : _{rnax llc-} ^ri

^(D

_ll

ilezeit:ìrtrct'

Atrs

(t.tiL) {olsl

olrctrf'rtlls

tna,r

lë,(t)i < ^J{,,

^t-tt¿.ur

l"n(¿)l +

^{0(^¿)'}

1€t0,-\/l ^{/e Lo} l/l

Tls sei, rvic iln 1,ot'lÌet'iii^cÌl ,,\bsr:ÌIritt,-tlc.r

\\ieg i]ì

^clelt. spalìü.Ììllgsl¿ìu.ln oo(f),

té ló,'l¿|mit eiiior'ilöhulcn

Gcsclrrincliglrcit, zur:tichgolegt, ^gernäß rlerrr

l(r'cris¡t'ozcß

r.r,

_{_År}

l,

^À

^>

^0.

sn(l):oo(À1), t€L(

À I Im Grenzfall

^7,

- ^co

^{folg^t,}

^ans

^(1'60)

r,: ! sGr"ls

^rlú

^l- o(-î)

-l æ

-æ ^clú

I

IJiì.,nÌlungsz,vklus

1,)0

sein ^soll

, ergil;t

^sich c.lie SJ'r:r-

Ðefinitheit von

_@ [f't ^: G F4

:

(G

tM)' >

^(l'

(1.?0)

gilt.

Y

o ^¿) t ⁽ⁱ

"( ^clt

L

-ø

f(r \'t'(s,

^È,)

a¿: I sClNs.rt¿* \ e"A.Gí'(GG)-r'e,tlf f JJJ

(L.72) -æ -6

-æ

+æf

+- I

^ë,G''(G

6)-r 6g,

^11f.

_¿

Infolgo

clel Symrnetliobsziehung,

tlie in

(1.69) 116¡¿¡1.rgos€tzt wttrtle, ist, clas letrzie

Integlal

(7.12) gleich

(1.73) I

_z ^e,(.o)

^{G'(G@)-'' GÉ,(-).}

{-rnter

Belücksichtignng

clel r-oratrsgesetzten

stleng

positir.en l-}afi- niblreit r.on.A

folgt

aus

(1.61)mit

o(d)

:

0

für ,,

,r, clatì

g,(f

oc)

: 0 giit.

I)ann folgt

aus (1.72), claß

(1.7,i)

^.P(g,

_i,) :

_{c G tN}

_s i-

É,

A'G'(G ^C)-',

È,

gilt.

I)ie

Defiuitior:L

D2 fährt

clanrr zu folgeucletn

Ausdmclt fiil

die fleie

Ilnclgie

(1.75) ^tr(ç,

_þ")

: ) _2! ^nG

^D4e

^{l- l^}

^e

^G'(G

^{@)-''G È,.}

Ðis Ausdläche

^(1.74)

uncl

^(1.75)

fär'clie rlissipiolte und

ctic. freie trìnelgie hönnen clrLrch stetige

li'oltsetzung

auch

auf

^den ll'alL ¿lusgcdshnt

$'erdenr daß

A ^nur positiv definit ist.

Diesell-¡en Austh'ticko

{[ir

Y/ unrl -F

ellialt

rnân, \\¡enrì

in I)1 statt dor

S¡ranrrungszvklen clic

Zyliloir in

g,(l) 'I¡etrachtet rverden. Solch oirie

Definition rlel

clissipierten Jlnelgie 'l.ellangt

sine Ert'eitorung

cler

Axiomo del

lclassischen Thorrnoth'rLamih

in

oinon Raum,

in

clom auch clie innelen Pnla,rnetel berrichsichtigt,

l.eltlcn.

1. 6 J )IE ONSAGEIìSC I-I I]N SY}IùII]T RIIiIIIJZIEI IUNTì ]:]N

In

clon r-olherigen

Äbschnitton

s,urdon bosi,irnrnte Syrnmctriobozio- hungen

clr.ähnt,

So auch

in Abschnitt

^1.5.1,

n'o aufgluncl

cles zu.siton Xlzluptsat,zes dor Therrnocl¡'namik

für die

ßollzmann-\rolterra-lVlatoti¿llien die Syrnmotrio lFl

:

Flo l:er.iosen rvulcle.

li'tir

don

Fall

del viskoelastischen

{ rlc nl ìTiziclu n ;¡ ^{dcs Zrrs I arr} rlsltal.¿rnrctcls

Il'Tatelialion vorn

Keh,irr-r¡oigt

_¡fp¡runcl

dos zu.uiton

Flauptsatzcs cler,

:

_G

_[M''

beu,iesen. Oltno

.IJe*,

^{(D fM}

:

e

Sym- u.erdett

n

cler

l{onstitutivna,trizen

_cliskutie- rvird r'_on der. allgemeinen Onsagrr- en

in

clel

irler.elsil¡lon

Therrnoth-

I)

jc

_rler.

Onsagor t

^e

sches

S¡'

.t,t

(i : L,2, _IlIi

tropicplodulition)' I'ird

als (1.7G)

g'esclÌ'icben.

\\,'ir

sotz,cn ì;ol'âìls,

tlalì cìn r¡luß r, \.on alien

r{r,àftcn

,Y,,

. . .,

f,,

abliàngt. .Damit

l.ilrl

li: f i(-\r, ^.,Xn)

^undc

0:

1-¡(0r

...,0), i:1,2, ...,.

tt.

Beì kleirterl Abrveiclurtgen r'orn thelrrroclynarnischen Gieic¡gowiclrt

also_ gcnäg'e,ncl

klciuen \l'erto'r'on _-Lr,

ist, es ber.echtigt,

die nïiisso r

riaclr

den

Ift'äften

X¿

za

ertbtyicl<t'1t-L ru'rcl diose jDntwicläüngcn nach den

lincalen

Gliccloln abzubrcclten. _{Da das} konstantc

Glicrl

rtcr'-nnt,rvicilüng

r-crschl,indet, clgibl,

siclr

(l-.77) _{1¡ :-}

_7j¡r.Yr.

Dic

Onsagersche

l{onjelttur isf

lrrur

tlic,

dafS

für.allc

illcrr-e¡-sil¡lon ^prozesse

clic

Syr nntetlicìrezieìrungctr

(1.78) _.t3,r:

_1ir,

gcÌ[orr.

l¡o*.ic.qenr ci¿-¡ß dicsc

I(o^jctr

er,sìtrilit¿i,t

ist.

Oiãið

S¡'lnt¡e

llrr-,r,nrorìr,natnischéli

l4oclell

,

.rj",..i._j^_,^_.._,_._. tlìssì¡tiet'enclctr .Lrotenl;iale

,, , uld

dic

^l,iìt

^ih|crl

^{l-liffe ivlrl}

(z.lì.

clas Onsagcr,sche

plinzip

_r.orn

ruöglich. tìlcichfalls Tjillt nntcr

tties

o

^13iltLung i.orr vollständigeu ruathern

- lleztlglich tlel

Ortsagelscbcn

llhcolie untl

ihlcr, Anri,c;rdLrng sc¡g.a1-

iion dio I\ileinruge* clcl

1\'isserscrrr¿lttro. z*'ìschcrL

ciner

bcgeisterten Bervunclelung und ciner. toi.a,lcn l\'lißbilligtrrr¡¡ :

,,f)nsagcr Ìecrillrocial

'.r:rations n,hic,h ai.c pìlìa.s

oI

these

thooly.

. .t,

,,.

^.

.it is rrirricui to ¡'-.sert"

orsagcrrsu,

"..:r,:f'jl'Ll,î,j11,,.r.

C.

^if

ruescloll

_14l 3

-

^{c. 1080}

s 32

(1.71)

II. Iìug-¡3-isch, P. NIazìltt, I'I. \1''cl¡cr

!'(ç,

g,)

- ^r, -

^{6 è,) clf ,}

I

Ð2

: Die froio Iìnergie

ist

oine l¡'nnhtion Z¡(g, Èr), die ^für. joden,I'ro- zeJì dio komplementiite _Idnergie

zur

clissipierten

Ënõigio

sein

soil; d.h.

^es

gilt

immor.

Y

⁽

-Ê Aus

cler

Dofinition Ð1 folgt

fæ +æ -l'æ

s: _f,r,x

it

34 FI. I3uggisch, ìr. ì{az.ilrr, lI. \\¡cb¿r 10

Außel

cliesen kontt'aclihtoÌischen

ìIcinunscn

liörmen

rvir hiel

die-

jenigen

cxperirnentellen

UnteÌsuchungon clrvähnel, die

cturchgefäh't 'rvlut'deì1,

um

c-[ie Onsagelschen Reziplozit¿i,tsbcziehungcn

zu

bestätigen oder sie

zu

u'icLellcgcn. Fär' Wd,rrnelcitung

und Diffusion

wurden ^solche experinrentellen Untorsuclrungcn

lon Solet [õ],

^Cru.ie

[6] ^und Yoigt

[71 bz'rv.

von Dunlop & Gostig iSl

rlulchgefähr'1,.

lìine

hornpetento Analyso diesgr lJntersuclrungen x'urde

von i\Iillet- [9]

unterrrolntnen.

Ðs

ist

bekannt, clafJ rlas

Konzept

clel r\Iiklolovct'sibilit¿it

vol

^Onsa-

ger

im

Iìahmen clel statistischen

Physik

ausgearbetct

I'urde.

Eine phäno- menologischo lleschleiì:Lrng

delÌ[i]rrorcversibilität,

die an derKontinuums-

¡nechanik angepàfJt

ist, rvird in _[10] botlachtr;t.

I)iese phänorlenologi- sche Theorie bezieht sich

auf

eine

Flull-Kraft-llezjehun!ì \¡on

cler Form

(1.7e) !: "l+'ì(4),

woboi ø eine konstante

n X

^rL

- ^liatlix

^{uncl p einon Operator cler Forrn}

al läìr i.

^{nt jhl} ol e\ et

sible

^plozeiìse _getìatr

J;',1:i":iliLTî,1î1.å*ìä'ì

j.å:liJ,",ä,Èåjl,ì:i

J(f) : ò-ìt(-l)

sind.

um tlie

trr'olgen solch

er Mickrolelcrsjbjliiät festzustelle',

_*u13

ma' ø'erst

tlie

Ì'orm

crer spont

ane' Flurrtratjorcn (ry,--àÍJ";'estim'rer.

Es sei cin G''llcJprozcß (l', y)

<lutc,lr r-lic

lioñitrrti'c

Gleiclrr'rs

(t.zo)

Ìresch'iebcn.

Dicser,P¡,ozóì'frii<r ,o, r.ruriìiaïi;;;"

_{1ò-^\., o"L.) lrc_}

gleitct. lìs

.g-elten

òrv:,I_8,òI:I_^ï,

'rvobei ,Y _nncr

y

_reerle

\ver,te rraben. Ða

nacrr ¿\nnahrire

trie

spontane'

Fhrrrt'ãtionenf ð-r, à{) tiü" i.¿i¡ïtz.ng _tter

inner,áir JJ'erg.ie _{ì,e*r}_}

sachen, rotgr

flir

áire

rõiren

pt.ã""uuã"ãi"

üogroi.lrì,;ö;..

^')

11

ocler riclniva,Ìent

(1 .83)

ldcnlifiz-icnrng tlcs Z,rrs IenrÌs¡er r.n c Icr cs _.JÐ

(1.80) ^fr

x :mð+

^(þ s-.r(t--.)

GA (r)

ctr

L(-!,v:):

i ^{oY d, <} !

^r.r:

- ^{ù{) (f} - ^òr¡

^cu

:

t,(E,v-):

IX ^{!¿, >} [,o * ^{ò.f) (I} *

^ò.r_)c]¿:

æ

mit [fl,

^{q], -A uncÌe @ ebenfalls} konstantcu r¿

X

r¿-l{atlizen bezeichnen.

.lls

rvirtl

angenorunen, ^ll afJ clie lìntt'opieprocluktion (1.81)

tiber einen

geschlossenen

Pt'ozeß integt'ierl,

clie

Becleutung der

^rne-

chanischen

Leistung

hat.

lVlit cliescr Annah.rne aus ^c-lcln zureiten Satz clel Therrnocl,¡'nami]r er-

folgt - ^{n'ic übljch} - die Symmetrie a":

^u.?.

fm

folgenclen tverden 'tvir einè r.l'eito¡e Sylnuret¡ie,

nämlich

p

: p*

begrtinden.

Flier

bezejclLnet p*

clic Âdìungierto tles

Opcratols

^p.

Gcmâ,Jl rler

itt _[10]

enl,u,ìckeltclr

'l'heolic

^ka,nn

eine reale

Plozeß-

frihrung

cines Matet'iaìs

irl

clel tr'olrrl

(1.82) ^I(¿) :

_-r(ú)

₊

àjt 1'(ú)

:Z(¿) +

^òY

clargesteilel, r'orclen.

llabei

beschrciben ^,E(1,),

Y(t) ^den

Gru.ndprozeß ^ge- mäß (1.79) uncl ^(8,11, òY) clic

lrluktuationen.

I)ie'Fluktual,ionen liönnen von

foìgenclen Enelgie-Übertragungs-

arten

bogleitet sqin:

1.

einer Frcisetzung

del

^inneren

Ììnergie

tles }{al,erials,

2.

eine .lìnergiegervinn aus clel

llngebung.

Ðic nlikrol'eversiì¡ilität'belücksichtigt nut

clie Flul<tuationen erster

Art. Inr

folgentlcn rvelden diese lìlul<ttLationen sgonla+ae þ'lulttuøti.onen genannt.

Weiterhin

rvircl clie folgencìe

Ðefinition

cler

Mikt'orcversibilität

ein- gefährt.

:L('!-ôig,I-òI)

U^"" :r1lårT,rrl^in-r

^ctiose

Ungteichung nrft Hilfe

ctcs Gr.uncrplozesscs,

s:x.\,i',.:"tY

t,

l-1

æ- -æ

:. LIZ *

^ð:_Y,I

+ ^aIl

æ

(à¿I _{+,.8 s{} + ^{àr aï)} ar <

^o.

æ

katrn ruan in

einern stjrrlmen.

In

tliesent

o

so

l<lcjn

gctr,àhlt _r

1t1,t

sind _uncl

_außrlh

f-tr,

^cr,)

c

(oo, co)

zu l{ull

.,ver,clen.

Jlenutzt nran

(tr.E0)

in

(1,g8),:clann

erhält

n¿rn

I

(r.s'+) _{_;}

t'

_[ I -' ¡:tr"4', p{l¡¡ _{+ U} òI- òJ .5!¡rrr <

^o

ðû I{. Bug-gisch, Ir. N{az iln, I l. Wol¡cr ⁷² t3 Ieìcntifiz.icr.ung ¿lcs 7-nstandspalanrc tets

tr)as ø s)rmmeLrisch ist,, rocluziert _sich cliese Ungleic:hung auf Jetzl, sucheli Ì\'iÌ' ¡:lie Bez,ichung z_lvischerì

ò{

und

ôI fär

allgemeile spon_

tane Fl,hl,uationen. ohne

ljesehrá¡hung

ãe' arr$meinheit, kann

eliese

Bezichurrg

jn _rlel

_Form

(1.88) : ò{:"sz+p(rJ)

angcsetzt n'etden,

rlglrei

^p einen unbel¿¿rnnten

linealen

Opelator]¡ezeieh-

let. S;.'rnnetlio votì ^setzt

rnan (1.rÌ8) o( :

in

(x.s5)

ein,

ctann

fotgt

_untãri

nãlti"ì.siclrtisì;i ã;;

æ

(1.85)

t,J(sI -

^o.Ðð)

^{+ à4 p(E) j_ àð ðIl dr <}

^q.

æ

Es

scien

(8X^r

Dy^) schne

lle spontane

I¡lulitu¿ltionorr,

clie

rnathe- rnatisch durch folgende Grenzs.orts

lim

à,5(Àf),

tim

À+æ À+æ 8I(À¿)

æ

l:escluiebsn noLrlon, lvc¡bei

8,9(t), 8{(f)

gogebono

ri'unktionon sind.l{au

hann l¡o'u'oison (aus (1.79) und (1.80)), daß für' diesc Ar.b r¡onFlulctuationon

r{ic

f3czielnrrrg

^:

(r..86) 8tÀ:

øð4À

gilt

:

lls

soien

(8ä'', 3I^)

sehr"schneltre

spott:rne

.l.'luiituationen, so daß

(1.87)

^BTÀ

+

^o. 84^

gilt.

Solche llluhl,uationon könncn

allo

rnöglichorl GlLndlrrozossc boglei- l,on.

Ilr

eincln Sondorlal I lça¡rn os oilrorr GrundplozolS geì:orr, so tlaß ^gitù.

X" :'4(BE^ - "

^{à¿^)}

rnit einsl positiven Zahl

^'4 und

. - ï J- ^{8.ti Ðïirìr}

(1.8e)

(òJ

_{p(-f )}

+ ^{,K p(¡J)} + ¡{ _l¡t¡:Yll d, <

⁰

-æ

oeler

in

ri,cluivalenter Form

æ

5

i.3(p'*

+

^p)

(¡I) +

^à-g

^{p ò¿l}

^clú

5

^0,

'ri

)

rvolrei,p'." _{clie rf}

ajåg.;""te

clos Operarols p bezeichnet.

rlufgrurcì

dieser fTng'rcìchtrng ka,n'

*ra'

cric Bezierr.ng

(1.e0) p:_p*

berve hrun

delrselben Scllerna n¡ie clie Be.reisfti_

heorern ltor.r,eisen :

'evsr.

vorn 'Ivpus

(1.?g)

führt

mjkro_

iiin

gena,u dliùnn aus, wonlt

(1.91)

_[Fl

: _[Irl',

(E

@:

^(G

@)" und ft: A"

gilt.

Ilt:weís. Ðs seion ( ,Ì-J,

òy)

sponl,ano I¡luhtuationen ( r.02)

Ðs sei (ò-Ë*t _ò-Y's) tìer Prozeß, rvelcher

dulch rlic

Zeituruhclu,uns

(1.93)

_ð-J*(¿)

: ,ìå(-¿)

entsteht.

Gcnráß cre,r,

rronsrjt.tivc,'

_{Gesertz (1.?g)}

gilt

(1.94) òI,*: øà.y**

g(ò:Ë*).

lJeriicksichtigt lian (1.98),

cÌ_ann

folgt

aus (1.94)

(1.eõ) _òg*:

-o.ò_I+ ^p(òÃ*).

-aclclje't nian (1.92)uncl (1.95),

clan'forgt

craraus

de'gesa'ite

T.lu1J

-B

I

IDI^-øÐtrlzrlr

t{iorboi irozcichno e eine ^{hle irr.o} Øahi ural,¡ìuì,ngilg von ^}.. Es isl, offon- h,ar, d.al,l

fLir

diosen GlLLndplozefJ

¡rnd für

clie

I¡iukl,uatiotron (òX, àI)

fLrlgonclo Ungloiohung gilb : æ

',Ï

_^1à1'^

- ^o

^{Bð^)}

^"j-

^{Sð^ o*{À | tid}

>

^e

l)ioso Uuo,Loî,-,o,r,a sbehi,

abol rnit

Gleichuri¡¡ (1.8ir)

irn

\,Vidclspluch, die

fiír s:lrr srìrolils

i?.'c zosse gornzi,tJ (1.80) r,r'io 1'olsi lauten

soll:

5

t.{^(sIr - ^{a ¡ð^) +}

^{ÀÄ^}

^{ÐI^lclrl- o(f} ₎ ^<

^o

_{àz+ 3u*:}

^@

æ

-æ

l- ^p*(åA) +

^p(

^àZ*)l

^crr

TI. Ilug.gisch, P. Maziltr, II. \\rcl¡c¡ t4 _Ifi

lrlcnIilizìeturrg.. <]rs Zt¡slan ds¡tallrntetci s 39

I\{ultipliziert

rnan (1.92)

und 8x ruìil

(1.95)

miL äX*

und

addiolt

^clie

z\yci rcsultioronclen Gtößon, clar-nr

folgt dio

gosarntc Á.rl:oit

ææ r

I t¡l J'- ^{ai-n - sl*òir'; rtl} - ^\ t-s{ l¡*(¡Äl +

^à4*{',

^(8{,r,)l

^dú.

-

-i,Iu

die

Prozesso ,,riLro.lor.îsiUet, clann

soll fär ^jede

x{raftgi:schi-

c:hte Ll.

geltcn :

r:51

^@

xØ(-t)

(D o-a{r-r)

c

^,!(1)(_

r)

^cl¿ cl-, -*

-

"

1:

t

l[ 5",,, ^(t) Gc-ar'-n@){(1)

^(ú)

clr

clf,

-

i

-æ ø

II

(1. e6)

[-p*(¡ð) + ^{p(òð*)] c[ü:0r}

^,!t

'It

^t)

^çr

u_tÀt,u_tt G,rXet

(t)

clr rlf

-æ ^-æ -æ

(1. e7 ₎

I t-- ^àð

i3"(Bã)

+

^{Ò'4 p}

^(35*)l

^rtf

:

^0.

^{lfa. ka.'}

delr,ohon gesch'icbone'

A's cli

clos

oporators

_{*nrni_}

ttelbaÌ

aus ctem \rergleich dãr erston

nit rrern lu,.r"toónt

z

eri¡ittein, weil uran

sofor.t

l:omorht,

claß

-æ

[)ic

zrveitc l3edingung

kanu

rnan auch

urit ilto

rlos

utspriinglichon

Opelzltols p rvio

folgt

schr.eibcn :

,1(r) IN ,\(^r)

-

^/[(1)

^[Nt

^-!rrr

gilt

æ

sclueibt man (1.96) fii. seh'

scrr.erle geschlossene zykren

i' ^g{,

die s¡,mmetrisch

ilr

tler

Zeit sinrl ò4(_¿) J ¡¡f¿ ãn"ï^"r.neft

uranunter

Ye.q'endu'g tler

iibli

che.

l¡er.falu,oi' clie' S¡.,r,ñàü,ie

(1.100)

_IN

:

_[N",.

Mit

(1.100) rotluzior.t

sich

(1.9g) zu

(1. es )

¡I ^prà4)

^d¿

: àÄ*

f3(

åë*)

^rtú

ø -æ

r)ic.s l¡crlcutct, ila[J (r.97):i,c1trir.alent zu dor r]odingung, clzt,fJ

in cino¡r

^gc-

schlo',sscnon- KroislÌL_ozoß clie rnochanischo

Ärl:oit invaiiaut ist

fuozügli"ch

del Zeitumkehr

_àX*(ú)

: Sð(-¿).

Jetzt

volsucñon

wir dñ' r¡olrn

tles

opetators

(3*

zu elmittoln. wir

beschrd,nlten utLs auf

tlen'Untstraum

clsr syinmotrisciron l(ra,fbgoschichteu

{(,) : _xett.

Ii'ür' diescn spoziollen

Ilall liann

nrzrn clirchL erschon, claß

æ

,,,I i

à'I

($

e-a{t-.; G

^à¿-(r)

clr:

-æ -æ

à,{ ,,f

I

^@

^e-â('-.) s,I(_r) dr

dt

-æ -æ

(1. ee)

p*(.r) : _{IN'{ +} 6r.-4"{r-c) G?.,äl'(r)dr

sagersche S¡'rnrnetr.ie

liiil

allgeurciue

pns

(1.79).

Dot

lJol.eis

s'ird

durch- fJ clie obeu clefìnierte Lliklolevor.sibi-

i rre rnil<r,oshopische fÌegriindung tler g'ilt. -æ

Scion -E(1) unrl_ _{._\i{zl}

zu'ci

bolioì:i'Ìe sj.rrtrnet,risohe Kl'afbgeschichten.

Il{an

borncrlõ, oan c1Ñ

Inteelal

r :

iz,r,ii

m

(g o-A{z-'¡ (D,Ytt) (c) _cLr dt -æ

in

dcn folgcndon äclLrivttlenbcn

llormon tlarstcllbar ist

:

,: CI _I

L

x(4

(t) (s c-A(r-"¡

6ã{rr

⁽

^r)

^dú

dr,

1.7 NtII<IìOSI{OPISCIIE EEGr'.ÜN¡I-^NG _L)J'P. J\III(IìOIìE\¡I]RSI]]ILITÄ.T.

Zunächst ff r.on I\{i _eino

hisf,orische

Bedoutung.

Di

zuorst

rro _{im Iìahmen}

_clor

statist'ischen

P ^,t s'olclen.

o.

auf

clic X(o'ti_

40 Ì I. Rrrggisch, Ìr. ,\lazilrr, I I. \\¡cher 16

nurulìpl"rysik

elfoldert

die rìolrrluLiclung gcNisse¡ posl,ulate.

Dio

einzigen Restt'ihtionen' derrLìn solche Postulate ultter'ìyolteri

sild,

l:esagcn claß ^sio Aussagen

übel

r'las \rer'haltcn l¡ei Zeil,run'l<elu'

r¡achel

sollen, uncl daß ^sie als Ftllge eitre gct'isso S\.nuneilio c'les

hotrstitltir.etr

Gesetzcs irnplizioren.

I)as

setzt citte gervisse

Suìrjehtivität

r-or¿rus, clie ìede 'llheor,ie der'

Ililrro-

Iovor¡-jbilitá,t, als

fras'l'ät'tliq

er'ñchcirìen

Iäßt.

Allc"l¡el.suche

,

die IJikrore-

vcrsibilität urit

rlcu funcl¿lmerrtalcn Grundsätzen

dcl

r\lcchanih nncl

ther-

rllocl)'narnik

zu lelbinrlen, sind bishcl

geschoitor,l,. ììr'fotglos lvaren âuch clio

Velsuclic,

clie

cristielenrlen

funilar:reni;alclr Satzc

nìit

einern neuen

Postulat zu

i'ct'r'ollstd,nclig-cr-1.

I{icl

schla,gcn

l-ir ci¡e altclnal,ivc

^Rich-

tttng

^r''or',

tlie

^¿ruf einet' Lockelung _des

clritten

Satzcs

tlet'

Nex'1,onsc'hen nfech:uliìr basiert. l)iesc

.\nderung

stanìmt ¿us tlen l<r.itiscìron Übellegun- g'en

der

Prinzipion _clel Mcchatrih, _<ìie

:mf Diihlirg _l13l, Ifach _[14]

^u.ncl,

Tl'arLz _11õ

I

zruäcìigehcn.

Tn scjnen lìuch _,,I)io

Pt'ir.tz,ipicn

del l,Iechanili"

bemer,hte Hertz

claf,l rlas Nevtonsche ¡\ ctjo-lìcactio-Plinz,i1; _einc unen cllichc Än sbleitungs- geschl'indiglccit

irultliziert. Obl'ohl cl rlic

Riohtig^lieit clicser' \rorausset-

zuì]g

âtìzì\reifelte, rvulcle unsel'cl

l(elrntuis

uit,ch lcejn lret'such uììtelrlorn- rnett, clas

dl'il,te

Gesctz cler'I'lechanili

jn _{Iìinklang rnit}

_{dem ì?rinzip einer}

entllichcn Ausl¡rcitultgsgesclh\¡ilttlielicil,

zu

bt'ingen.

Iìs

ri'ir.d

statt

clesscn

stillscitr-eigelttl arrq-rrlrcllìrììen, rl¿r,ß

tlulch

clie sci1, if{eylz nou errtrvickelten Gcbiete del'

Ph¡'sik

scitrc

]ilitili hinfällig r.ttt'tlc. Falls ¡ran

ut'ttct' tliesen

nenen

GebietelL

rlel Ph¡,sik die

Diusteiusclic Gla,r'ilatiorrs-'I'hcorie otler clie Qutlntctt-ì{echanil(

relstelrt,

h¿urlr rnan soTolt festistellcn, tlaß sovohl

clas ¡\ctio-Rca,c,tio-Plirzilr als auch r.ìic l-Ieltzsche

Klitik bci

dieserr llheo-

rien

karun beachtct rveltlcn.

latsächlich

aber

ist

clas Äctio-Reàctio-I?rin-

zip,

tùs clt'ittes Gesetz c'lel r\{cchaniìrj r:on clerit

îrägheitsplinzip

nicLrt zu

l,rerlnetr. Dilc

\\rirliung-Gegcnl,ilhnnu-Ì3cz,iehung

lriit etrcllicher Als-

ìtlcitrurgscescltrvincligìreit rnufJ

sich rujt,

clcrn 1'lzlgheitsplinz,ip

in

Ðin- klang bcfinden.

Jì's

vor hut'zcrn

fehltc

al¡e.r' ein get-:igncl,es rn¿thelnatisches Instrurnent, r.ollstánclig,

l'elchcs

a,llgcrnoirrc K¿ursal-IJerziclrungen aus cler'

Sicht

cles'Jìr'äglrt'i tsplinzip.r cÌralalitet'i sielcl

r

iro ^rt

ut:.

l)¿rs

zl'eite

Newtonsohe Gese1,z,

tl.¡r'l)yuanrik ist

ta1,sáchlich lnil, deltr

Trägheitsplinzip in Eiriklarig. I{arr

h¿l1,te

abel nicht

uriteliltlchir, rvie clie

Bcsoltlciunigulrg-l{r'allt-IJezielrung

aus

r'lem

l'r'ri,ghcitsprinzip

abzuleiten

ist und ob

cliese Bez,ielrung d.ìe einz,ige ^is1.,

tlie

mit,

rlerr

Trágheitsprinzip r-ereinbal ist.

l]rn

cine

Artwolt auf

cliese Frage gebcn

zu

hönnen,

lrrauclrt

rnan eine geeig:rete'llheol'ic, rnil, deren

IIilfe

rnan die ilìr'âglteit l¡eschreiben lrann.

l)iese theorie

rvurcle

in _{[16-18] unrl f10l}

enl,rviclcclt. Das glundlegende Drgebnis clìesel Theorie rrrilcl

ilr

eilrenr

lllteolcur

l<onhletisiert, n'clches clie

allgemeine

!'olrn

cler

linealen

rurcl sl,etigen

FLtnlitionale angibt,

clie

lnit

clcrn

h'ágheitsplinzip vcleinbal

sind. -l\[.il,

llilfe

^rlieses ,Iheorerns kamr lnan

arrch

^c-[as

Problelìr yolì _{}J:rLz lösen uncl clic}

\4/ir']iung-Gegenrvirkung-

-Gleichungen fiir endliche

Âus.broitungsgeschrvilr<ligheit

ableiten

^(r'g1.

[1e,

²⁰ ]).

fm

folg'entlen benutzerr

rvir

nur,

eilro

indir,ekte _1ìolgo rlieser _GIei- chnngen. Ðs hanclelt sich

urn

clic folgencle,

eel;cirei,i" nå.-

rius

dritten

Ne'wtonschen Satzes :

Bei

cler liri.rku,ttg øwtíer

I(örp

'äber eín, bestí,,tn'mtes Zeitinter,ucttt _ç¡tei l3ezeichuet rna,n

rnit

_{¿(¿) die}

kung zveier

tr(ör'per,,

cl¿¡llriruß

na

gcllen

_:

(1.101)

_4(¿) ^_t_

_¡(¿) :

0.

u"

orn

F*,nuß

^crer

gerockerle' tr'or'r

res

d.itten

Gesetzes

girrt

es

ein

Äú, x7

(1.102) ¹

^t

Itlcn[iliziolurrg rlcr^

t+at12

i

_t-tl2

Ztì s Iarì (Ìripat.{]lt etet's 47

t_N12

,J(t)dt+ :- [ t,,, ttr-o

^¿J

^{t_^ tl2}

Eilt'iÐs ist

offen'b*t" claß clic

lìrfüIlung

ller_ Gleichurrg (1.101) elie

E'ftil- Iung von

(1.102)

irnprizielt.

_\,\rilcr urn".geLerrrt-

ti.iöli àr,6ri, ;i;;r;;-;,.rt

(X.101)

bis auf

Gliecler.

r,on

cler Orclnu_ug

o (,,,,,,*

|#i)' ⁽ l#) ^o').

Gemäß c'lel ptahtischetr lìr,faj

lrfg

^I

^År

^orre,,

lrUl

^{I ¿,}

I

^tLÍ,

I I ^rt¿ l-"

nicht

cìcl

gclockeltcll

mehÏ r'e}n¿chlássigbar _{Fol,llr des dh,il,f}

ist.

_orr

lrn

_Gesef folgentlen _zr,s

inr

ri'er,clen Zrr¡ialrrn,elharrg ,,,if, n,jr. tlie ¡Lusii,irh*n.g

ìlräîi

tanen llluktuationen

ulrtersuchen.

Ììs sei ÄZ cin Volulnenelernelt

_des untelsuclrterr

lltrtclials. ]ìs

sei .ò'{ _clie,. spontanen

Fluhtuationt-in del l(r'aft.

,re¿e r<o,r,rrone¡te ¿er ò_.\

jst

_ctié Kornponente einer Kr.afl,

lpto niaànerr;i"ìì"itl;"ätä r,on

Â

z 'aéñ außen

r,r'irkt..i

lìt sei п cler

r¿-clirnensionalc

\rektor,, cler ¡rit

^cliesen

Kråfte*

g^cliilclet rvilcl uncr

ò4

clie Gegenri,irkung,

tlie r,o'

auJJolr

arf aZ

ein'lvitkt.

-{us

^(1.102)

foìgt

t l- \tl2 t+^t12

r4o,:+

_{t_,\t}

!

_/2

^wo,,

t/2

12

(1 ,L0õ)

II. Bugg-i.sclr, l'. ]I¿ìzjihì, IL \\:cbcr l8 ¹⁰ _{I dc u tifi zici.r¡}

ng.. dos Zu.sI art rl,s ¡r ar.an r c t cr.s

-æ

43

à.{' _{_à,r--*} seien die den

innelsn s¡anrrungen ò¡!,

òÄ entsprechenclon inne-

rerì

\ro,rz^er'Ìurìgorì. Gemd,fl clen

lionstituîivcn^dosõtzen o.ssl

und_ (1.g0)

bzw.

(1.80)

gilt

clann

(1.103) àI: _" à4 _ p*(à4)

(1.104) åf*: _"

^sÆ

₊

^p (sÆ).

N*. existiore' _die folgencle'

zlvoi l\{öglicrrksiterr :

a) I)urch

clie Roalrtion haben sich rlie Flässe

gf,

_unci

à{*

^gegensei_

tig

anf

; -

ìr)

es

gibt

spontane

Flulituationen

_rlerar't, rlaß clie

l-lüsse sg; ðg*

sich

niclrt

aufhel¡en.

frn ersten tr'all

l¡cschreibcrt clie spontanclr .[¡'luhtla1ionen L]szilla-

tionon

neben clem Grundprozeß.

Im

zrcõiten

Itall

'r'er.¡rsache¡

dic *lroi- tanen

Fluhl,uationeu

innetc

irre'r'orsible \relzerrungen, clie clurch

Ah¡u-

ntulieruDg zr1 Éiroßen Abu'eichungen \¡orì1 Crunapiãzæß

ìiihr"r, ¡önne*.

D_as

errtspricht dann

einer

nestabilisicrung

_cles

(iruntlprãrur*"*. rst

¿as

,ulatelial Gleiclrung

n'ålrrond spontaner

Fluhtuationeñ

inr.ner

stabìi, - -

-'

dnn¡

rnuß tlie

erfällt sei'. ^{à5 + 8r*} : o _'

r\ns

(1.103) uncl (1.104)

folgt

dann

+Pni,iti¿rt?,'åîrå"Jåen ^arúsmncl rlcr

À'lilcrol$'elsibilft¿ft

die

folgenclen [Fl

: _I]l' uud S" ^ts : (6"

ts)r.

,cvcrsibilitä1,

l:ei dcn

ùI¿r,_

soll

rnan zucr.st entsple_

p

clefinieren. Gonau wie tlingungnn

cr.fiille' , inti p tlic

folgentten r3o-

1. o

hd,ngt

linear r-on s

øä;

2' s

u'c1 _7: sincr

d'r'ch ci.e

rJeziehung \-oìn Typus (1.?g) r,crbunrlen, cìic

in

s _und

?

^eìr-r inertiales Konstitutir.sJ,sl,cnt bilden _;

3' g

rinh

2 ^si.cl konjugicrt, _d.h. für

rlie rnccha'isctre

arbeit gilt

:

['-

-æ

ot: 5 sldt.

I'u

àI + à5*: ^(SI l- ^8{*)

^c{l

: -

^{p{,(å4) dú}

f

Es

sci

! : ^Gr1

^nucl

^s

^so l:estirnrnt, _daß

(1.106)

_?],

: _G.

_{@ Df Gg}

_{+ G'}

_{@ F\¡ Gg}

+ G.

G

(1.10i)

g:Gg

gilt. _Es ist .nmittr,'lr:ar

_rinsiqrrtig, ^c1aß (1.106) cin

i'e.tiares

r{onstii,utir._

ffiem ^{i¡r s u.cl}

^¡r

^b'cler. r.o"giéiòìrir;m, ir'.1ï61ä,iiî)e),

crann

folgt

f.,

t¿

¿ :

I_r s

^rrr

:

i ^u*'s

^ti¿

:fur.,

-æ

_-æ

-lÀtr-a¡

OG g(r) dr

æ

-ø

æ

-æ

æ

clie zusanruren

mit

^(1.10q) ¿iuf

-dio

Sy_rnmctrioboziohurrgen (1.96) _fùihrt.

z\hnlich haln lnan

auch (i.OZ¡ lrcgrùnclen

IJerner'lcenslvelt ist,..clalj clie

}iöglichheil,

cler. zeituml<ehnrng

åð(r) :

=

Ðè(.;¿)

einen Sonderfall clarstellt-,

bei

clour das abgesc,hrvächîe

flrìrizip

cler

\\-ilkung und

GegenrvirJrung

gilt.

I)arnit kann

rnan schließen :

ein

e

ui,:,'_'å;of ü,1ä"|;2l,li'.u12',,í|;':;ïI!;::"ï,f],:J!]Å

cler îüql.iclt,

ist.

lls

seien clic

Roltznrann-\roltelra Mateliaiien rnit

innercn _spannun-

g^ett (1.31) als Klá,ffu uncl

nlit

tlen inncren Yerzerrungcn (1.42) atd nltisse.

Schleibt man

^(1.4?)

in

cler

lrorrn

(1.?9)

mit,

ø

: _ó''

IH

6 ^imcl p(gi:

geltcn rDuß.

_ein,

_danri

crhält satzt

m¿lrrnran (J-"10?)

in

den

Ansdluch

crer rnechanischcn

arbcit

t'lernzufolge

s

und

fi lionjugiert

_sind

tincl ø

: _{(D'G l¡t}

_G

l3(g)

:

_{G.@ II{}

_{Gf + G"G}

e-A(¿-") G:G g dç

+

^{p( 8€) tlú}

:

0

Aus (1.102)

erhält

ilrarì : 6 æ

-æ

òT t1l

: åI

^{ _ùt,

-æ

sinrl allc

Betlittgnngen

tlcr Thcoïic

cler. -æ

I'TihrorevcÏsil¡ilität erfüllt.

Die

f.r,tngu.*"l,cu

^sj.rnrùe

tlicrreziehu"g.",'ìri. iil

cties-ei,

iürl îrnpliziert

sincl, G [M

:

^(@ _{tM)'', G}

_N :

(G

IN)',

@ @ := (($

C)t'

^rurrl

ft : Aî.

20 ^:2t Itlclllilizicrrrrrq' clcs Zr¡stu¡ldsl) ¿ìl'âlìlct eì'!*

44 lI. ]JugÍ1isrh, lr. lt,faz-iìrt, lI, \Ìcl¡er 45

Ðie Symtnetrie det l\'Iatrix

:1., clie

lliir

l-loli,zll¿ì,1lrl-Voltorr'a solrie fär' tr(eh.in-Voigl, Matet'ialien

giìt,

eylaubt uns, -.{

in tler lìolln

l4'

Fj. i\laclr, Dic

'rlecrutn.irt:.ítL i_rt¡cr,!.,rtrtuit:r:r ^LLrtrT. î;'..\. fJr.ocrirraus. Lcipzi¡i, 1sg7.

tu'*

,lni;."'

^Die. Prirnipitrt dr:r '1{ct:lm¡t¡¡¡,-'\iliss",rsclrafilictrc uLrcrrg'tlv,tÏsctra{t, l):r|urstarh,

"u t'

,)lï1ij;

^{s.ur ltt loi} rt¡ttsliLulitrc tle IJt¡!lznut¡tn-r'ol _Ltttct, (i. _{t).. Àc¡r¡I.} sci. t)¿ù.is -scr.

I

^(19?3)

A:@tÐQ'

^'17

"

.ä"íìii;ríi,:'u:;:",:ii::!,'""e ttrtu'f ltr¡tt:ntntr¡'1'.11cr'rr, Ììcr.. tìorr.,. lrarrr. PLr.tr.s A1¡¡¡r

";ìl

';tir.'',,, crltLu(irsrt rtl !tt:ar corttrutr¿¿r¡. ricr'. rìorrnr. 11ath. l)uIcs _Ap1rr.

ili

(r97tj)

zu schleiþen, rvobei

Q

eine orthogotlale ?¿ )< +¿

-

^{Ì.I¿rtris ullcl [Ð}

^eine

^dia-

gonzllc

14atrix

bezeic,huen'

Ðie

Iclentitålt

o-Ar:

(,-(DIDQi'¡

-: eg-tD''or

ella¡.bt 1ns, rlie

Spzrnlungs-Verzelruugs-ììeziehungon

itì

^eler fotrgendetr

Folln zu

schteibelì ^:

I

.

B oltzrnatìIì-\roltell'¿r,-l\Iatel'i ^{al i} en

.,-rD(i_')

@g(t) clt;

'10' t)' Ì\lrtzilu, Lil¡t'r dett 7'rts.nn:nu:nltttnrl:rtisthen t[crt_jiirtrJslcrt t¡co¡tltt1-<iscltett A..trtsstÙrrlttt cicr (ito-

iLTl;;1;,,,r,.rtt

^{tL^tt ctctr} t..;,:ptíitn,:¡ttctt urt^ l¡rurii, n,,ri't¡i;r"i,r. "rrA.

_

A.ctrir, õ (1gS?)

2l)' Ir' rÌ{azìltr, ÀttÌo-tìcrctitt tttil ctttll.it:ltcr lYc[lcttr¡ct;r'luLtittttill;eil, ubuclcilel (rtrs dcnr 7'tägheils-

¡tt itt: i¡.t. r\cLa llcchrrriicr 7f) (l U[ìU) L:,:l_i:r¡.

|-iugcgarigcLr:rnt 1, r\plil 1gg1

I nsliIu! _f iir I!etlutrt i:;cIrc ltcr faltrertsIcclutil;

ttntí ]Ieclnnilt dcr f.tti!tct.si!¿il IictrLsrtrhc (7,f! ₎ l)_,¡ õ00 liurlstult, Garntang

g(r):

2. Kelvin-Vcigt-llatelialieir

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^{G e-[D(r-}

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-æ r1üt

m als

cìiagotralen

tfatliz,en

L l'Ì'lrll,'\'i-t-'lL'rì ii I r.ZD _I Cl ^I N I S

2. \V. lrogorzclski, lrltrr7r'cl cr1ualìclts tuld !lLC;.r- op¡;lít:alirtrts, \¡oì. i, ^()xIolrl, Per¡¡rtr';tarl, \\ar-

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B. l). ,J. l)rrnìo¡t, 1,. J. (ìosLirrgs, IttltraL'littrl _ilcuts in liqrticL di!-l'ttsiorr. J ^{Alrcl'. Olrrnl. Soel. 77} (l0i;r) i13N-j2lfì.

ll. Í1. (ì. ìIilltrr', ?'/rclrrrodunrttnits ol irrt:oersiblc /)rocc,Js¿s, lltc tt:petinttttlnl uatil'irtt[iott of Llrc

Ottsartct rtt:ipru:nÌ relaliotts, ^(.lhe lrl. lìcr. ^{{i0 (1ll(ì(i)} 1; ^37.

10. P. ll:rziìrr, l)ie ()ns¡tUer'st,hen llezi¡,ozitiitshe:iehurtç¡ctr itt tlcr 'l'ltettttoclyttatnili det Ilt¡llzttttttttt- Volterru-ÀItttetinllerr, Zr\lllt (i; ^{(l glJ5) 3, 137-1 39.}

11. \V. -\. ìJrì\¡, ^7']tc '|'lu:rntotlt¡truntits ol ,sint¡tIc l.IaleLitt.ls tuillt ))ttrlittr¡ f,1.111()Ut, SpÌ.irlgcl'-Vcrlng, Ifcrliir - llcitlclbct'¡1 - ^Ncu' \or'ì<, 1ft72

12. L. Orrsagct, )ìct:i¡trot:al telutiotis üt incu¿,¡síhle ptot(:tst:s.. Ì)ìr¡'s. lìur'., lL scl'. li7 (1 ;l3l), üfl

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13. Iì. l)iihr.in,J, lirilist:he ccsr.ltiiltte du Ptirtzipicn cier )ícL'htLttilt, l3t'r')ir, 1iÌ711.