G ´ ABOR KASSAY – IN MEMORIAM
Petra Ren´ ata Rig´ o and Ferenc Szenkovits February 23, 2022
1 Life and scientific activity of G´ abor Kassay (1956–2021)
G´abor Kassay was born on December 24, 1956 in Odor- heiu Secuiesc (Sz´ekelyudvarhely). He studied elementary and high school in his hometown and mathematics at Babe¸s-Bolyai University in Cluj-Napoca (1976–1980). In 1994 he obtained his scientific degree in mathematics at the same university, with a thesis summarizing his re- searches on minimax problems, under the supervision of Professor J´ozsef Kolumb´an.
He started his teaching career in secondary schools in Cluj-Napoca (1980–1987) and continued at Babe¸s- Bolyai University as teaching assistant (1987–1990), as- sistant professor (1990–1995), associate professor (1995–
2002, 2004-2005), professor (2005–2021). In the period 2002–2004 he was a visiting professor at Eastern Mediter- ranean University in Famagusta, Northern Cyprus.
His university lectures covered the following topics: mathematical analysis, optimization theory, functional analysis, operations research, convex analysis, game theory.
The list of publications of G´abor Kassai totals 87 scientific articles pub- lished in prestigious international journals such as: Mathematical Methods of Operations Research, SIAM Journal on Optimization, Journal of Optimization Theory and Applications, Nonlinear Analysis, Journal of Global Optimization;
four books, five book chapters and a conference proccedings volume edited by him. His recognition is also indicated by the fact that he worked together with more than thirty-five coauthors from lot off different countries. His works total over 2000 citations, including several articles with over 100 independent cita- tions. The complete list of his publications can be found at [28].
He was leader of successful group research programs, co-organizer of scien- tific conferences, leader of scientific seminars on analysis and optimization. He presented his results at several international conferences around the world.
In this article we try to present this special scientific personality through the testimonies of some of his collaborators.
2 Memories from coauthors
G´abor Kassay was a great master of scientific collaboration. He successfully established and maintained contacts with specialists involved in his fields of in- terest, publishing joint results with over thirty-five co-authors. The confessions presented below give us a real picture about his ability to establish scientific relationships, about his work style, as well as about the special man and friend who Gabi Kassay was for many.
J´ ozsef Kolumb´ an, Babe¸ s-Bolyai University, Cluj-Napoca, Romania:
I noticed G´abor Kassay from the first year of his studies as one of the most diligent and passionate about mathematics. In particular, his work capacity, intuitive mindset and task-solving skills were extraordinary. Already at that time excelled in finding examples and counterexamples. Although G´abor Kassay graduated from the university with excellent results and could be very useful and necessary in our faculty, he could not be appointed to the university in the circumstances of that time.
His interest in mathematical research kept him in Cluj even after graduating.
He chose a high school in this university center, in order to be able to continue actively participating in the activities within the Tiberiu Popoviciu Scientific Seminar. This seminar was very helpful in Gabi’s scientific activity throughout his career, he even published some of his first papers in the volumes of this seminar [1, 2]. It was at this time that we wrote our first collaborations [3].
G´abor Kassay’s 1994 doctoral (PhD) dissertation was titled ”New results in minimax theory applied to variational inequalities and optimization tasks”.
Throughout his career, the theory of equilibrium, which includes these types of tasks, has been the focus of his attention. It includes, among other topics, op- timization, minimax problems, Nash-equilibrium, complementarity, fixed point tasks, variational inequalities, and many other problems in applied mathemat- ics. G´abor Kassay has been publishing articles on this topic since the early 1990s [4, 5, 6], when the synthesizing name ”equilibre theory” had not yet been born. Since then, this theory has evolved enormously. His practitioners have appeared all over the world, who publish hundreds of papers on this topic every year. Gabi has exploited this professional environment very cleverly. He had a working relationship with the best of the profession, from whom he learned a lot, and returned home and shared his experiences with his colleagues. His curiosity, polite action, reliability and dear manners helped him greatly in this regard.
By leaving, Gabi left a great void in my soul. He gave me one of the most beautiful gifts of my life by being a close colleague and friend for over 4O years.
Two years before his death, he presented me with a copy of the monograph on the latest results of the theory of equilibrium, including some of his own, written with Vicent,iu R˘adulescu [23], with the following dedication: ”To my mentor, J´ozsef Kolumb´an, without whom this book (among many others) would not have been written. With friendly love, Gabi, Cluj, 2O19 March 7.” In the Ac- knowledgements section of the book, the following sentence is included: ”G´abor Kassay is indebted to Joseph Kolumb´an, his former teacher and supervisor:
their joint pepers and interesting discussions on equilibrium problems opened the author’s interest toward this topic.” These words are also evidence of Gabi’s spiritual richness.
Zsolt P´ ales, University of Debrecen, Hungary:
”After the political changes in Hungary, in 1989, my first visit to Cluj-Napoca became possible in 1992 with a small group of mathematicians from Debrecen.
In Cluj, we received a very warm welcome and immediately made friendship with many Hungarian and Romanian mathematicians. Being one of our hosts, G´abor Kassay spent a lot of time with us and we both realized that we had many fields of common interest. In particular, the theory of convexity, nonsmooth analysis and variational inequalities were in the focus of research for both of us. After this visit to Cluj, starting from the year 1995, I became a regular participant of the conferences organized by the Babe¸s-Bolyai University, I visited Cluj almost every year and G´abor also visited Debrecen several times to deliver seminar and conference lectures. I still have a vivid memory of our participation at the first Joint Conference of Mathematics and Computer Science in Illyefalva in 1995, where also J´ozsef Kolumb´an joined our discussions and the snooker games in the local pub of the village. Due to this active cooperation, we published our first paper with G´abor in 1999 [10], and then two further papers jointly also with J´ozsef Kolumb´an [11, 13]. These works still receive many citations, they are the most important papers for all of us.
Our friendship extended also to the friendship of our families. In the late
’90s we had several joint vacations together. Our families were matching each other perfectly. Our daughters, R´eka and Zs´ofi, our sons, Sank´o and Csabi are exactly of the same age and were enjoying each other’s company. Once we were in the mountains and found lots of blueberry in the field. Suddenly, our sons were running out of the bush crying that they were attacked by a bear. From a distance, we only could see that their faces were covered by blood. We were terrified, but once they got closer, it turned out that they painted their faces with smashed blueberry only. It was a lucky end, however we all know that meeting a bear in the Hargita mountains is not absolutely impossible.
The events that we shared keeps G´abor’s memory in us. We still cannot understand and accept how and why all this happened to him. Nothing can compensate his loss. ”
Rita Pini, University of Milano-Bicocca, and Monica Bianchi, Catholic University of the Sacred Heart, Milan:
”G´abor has been not only a great coworker, but especially a very dear friend during the last eighteen years.
We met him the first time in 2003, at the 18th International Symposium on Mathematical Programming in Copenhagen. After attending our lecture, he came to us and gave us a card with his e-mail address, since he was interested in the topic and, why not?, to begin a collaboration.
We wrote the first paper about the existence of equilibria via Ekeland’s principle working at distance, via e-mail essentially [14].
But since then almost every year we succedeed in getting together for one week or more, in Milan, in general, and also by attending the same conferences.
We also visited a few times Cluj, where he was always a thoughtful host, pleased to show us what he liked most in the nearby. We remember especially the trip to the Gorge, and we attach some pictures of that day. We skipped only the year of the birth of his children.
Our studies about well-posedness, stability of equilibria and generalized equations, regularization of variational inequalities and equilibrium problem, that have been finalized in twelve publications, usually took the start when we could discuss face-to-face, and went on by exchanging several e-mails. Only during the pandemia we got used to meet via web, and our last work was done completely in this way [26].
Many years passed by, but we keep vivid memories of several moments with him.
We will never forget his rigor, his eye for details, his intellectual honesty, but also his consideration for others, his good manners and his extreme courtesy.
We will miss him a lot.”
Figure 1: G´abor Kassay with Rita Pini and Monica Bianchi
Hans Frenk, Sabanci University, Istanbul, Turkey:
”My scientific collaboration with G´abor Kassay lasted from 1998 until 2008.
During that period I visited Gabor almost every year in Kolozsv´ar and later for one time in Cyprus while G´abor visited me several times in Rotterdam at the Erasmus University. Our collaboration started due to our mutual acquaintance Tibor Ill´es from E¨otv¨os University in Budapest. We shared a common interest in generalisations of convexity and related minmax theorems [9]. Gabor had a lot of experience in this field due to his work on generalisations of so-called K-convex functions and I was interested in extending the classical theory of minmax theorems and convexity. Also around that time I completed my work with my former Ph.D students J.Gromicho and A.I de Barros on the ellipsiod method and fractional programming involving quasiconvex functions. Since immediately we liked each other personally and felt together that our knowledge was complementary we started our collaboration. This collaboration would last for almost 10 years starting with our first paper appearing in Journal of Optimization Theory and Applications in 1999 [9] and ending with the last paper in the same journal in 2007 [17]. In total we wrote 7 joint published papers (also sometimes with other coauthors) and two book chapters of which the last one appeared in 2008 [16, 18]. During that time we also visited several conferences on generalisations of convexity presenting our work. After the publication of the last chapter in 2008 our scientific cooperation ended since we both felt that our work was finished and we continued separately with other research topics. G´abor with his work on variational inequalities and me on applications of stochastic processes and optimization in Operations Research. This was also partly caused by my transition to Sabanci University in Istanbul. Although we irregularly stayed in contact and even planned a kind of reunion to visit each other in either Istanbul or Kolozsv´ar this never happened due to our busy schedules. I regret now we never did this. I will remember G´abor not only as a dedicated and talented researcher but also on a personal basis as somebody who was very enthusiastic and curious about everything in life and his love for mountain climbing. A nice friendly and curious person and a scientific friend.”
Qamrul Hasan Ansari, Aligarh Muslim University, India:
”G´abor Kassay visited Aligarh Muslim University, India in November 2017 and several times at King Fahd University of Petroleum and Minerals, Saudi Arabia. We have several papers with our colleagues in KFUPM jointly with G´abor e.g. [24, 25]. He was also a consultant in a project at KFUPM with prof. Suliman Al-Homidan as PI [27].”
Radu Ioan Bot, University of Vienna, Austria:
”G´abor Kassay was a good friend and a great companion from the very early days of my academic career [15]. I have great memories with him from his visits
Figure 2: G´abor Kassay as Guest of Honour at the Opening Ceremony of the International Conference on Analysis and its Applications, 2017
in Chemnitz, and also from the various optimization conferences we jointly attended.”
Figure 3: G´abor Kassay with Radu Ioan Bot
Cornel Pintea, Babe¸ s-Bolyai University, Cluj-Napoca, Ro- mania:
”I first met Gabi Kassay in 1985 as a freshman student at Faculty of Mathe- matics, Babe¸s-Bolyai University, as he taught me and my group of colleagues a tutorial of Mathematical Analysis. Gabi Kassay was a teacher and researcher of high order. I certainly appreciated, during my first academic year, the rigorous and meticulous way in which he prepared and delivered his topics such as the Cantor sets, the Cantor intersection theorem, the structure of the open subsets of the real line, a Whitney type decomposition theorem, integrals and so on. At that time I also noticed his ability to enter the world of the students he taught as he considered himself and used to be considered by most of his students as part of their own world. His teaching activity has obvioulsy reached higher and higher levels, due to its own dynamic along the last decades, and its outcome
consists in several realized and well establised former students. Such an accom- modation with the students he taught was only possible through extraordinary communication skills. Therefore, I am also sure that he was widely appreciated by his students along the almost four decades of his teaching activity and most of them still remember his lectures.
The research component of his professional activity is also very reach and highly appreciated within the Mathematical Analysis community, with emphasis on Optimization, Variational Analysis and Equilibrium Problems, as his pub- lished scientific papers have great impact in this community. Indeed, Gabi has extensively published in national and especially in international journals with good standards and was the author of several books and book chapters among which we just mention here the monographsThe Equilibrium Problem and Re- lated Topics[12] andEquilibrium Problems and Applications[23]. The outcome of his research activity was significantly influenced, in my opinion, by his com- munication skills as he used to have direct contacts with his collaborators on a regular basis. In this respect he traveled a lot and used these opportunities, not only for mathematical production, but also to understand the local culture and the history of the communities he visited. I had several opportunities to observe this face of his cultural interests when we both traveled for common scientific events such as those in Isfahan (Iran) for a conference on Nonlinear Analysis and Optimization in 2009, in Pisa (Italy) for a workshop on Varia- tional Analysis, Equilibria and Optimization organized, in May 2017, in the honor of his 60th birthday or in Granada (Spain) for a conference on Minimax Inequalities and Equilibrium Problems in May 2019. In fact Gabi was one of the greatest fruitful travelers, in professional purposes, in our department. Indeed the outcome of his research activity does not only reduces to his publications but is also visible through the PhD students he supervised who are currently occupying important positions both in Romania and abroad. Gabi has had an extensive coordination activity. Indeed, he coordinated 3 exploratory and re- search projects (IDEAS) obtained by competition at the national level, all with significant scientific output e.g. [19, 20, 21, 22]. Gabi was also the coordinator of the Analysis and Optimization Research Group within our Faculty of Math- ematics and Computer Science, a group with important scientific production.
Last, but not least, Gabi had an extensive editorial activity, being a member of the editorial board of 6 international journals.”
Szil´ ard Csaba L´ aszl´ o, Technical University of Cluj-Napoca, Romania:
”Professor G´abor Kassay was my PhD supervisor, mentor and, last but not least, my good friend. He was full of zest and enthusiasm for living, he was driven by curiosity about new things. In his mathematical proofs he was characterized by strict logic and consistency, but at the same time he was able to pass on even the newly acquired knowledge to his students or colleagues.
During my doctoral studies, I had the opportunity to observe his attitude towards science and mathematics. I always listened to his scientific lectures
Figure 4: G´abor Kassay and Cornel Pintea in Iran
and refined explanations with great interest. He taught that not all mathemat- ical results are worth publishing and that we should distinguish between really valuable and negligible mathematical results. He also showed me the impor- tance of examples and counterexamples in a mathematical study. He shared the open questions and obstacles that arose during his research with his colleagues and friends. He was happy when someone could give a counterexample or an explanation. In such cases, he gladly involved the given person in his current research, he made no difference whether he was a student or a professor.
Personally, I can thank G´abor a lot. He introduced me into the world of research and taught me how to write a scientific article [21, 22]. Later, he was also my mentor in a postdoctoral project. He kept track of my scientific work, and I often held presentations at the research seminar he led. The loss of G´abor left a huge space behind, but his memory continues to live for us, those who knew him and respected his consciousness, helpfulness and optimism.”
3 Concluding remarks
G´abor Kassay was driven by a desire to learn and discover new things. He also reached several places on each continent of the world and he shared many stories and experiences with his friends and colleagues. The presented memories show that G´abor Kassay was an excellent researcher, instructor, a good colleague and a great friend, whose loss leaves a hole in our hearts.
We would like to express our thanks to all who contributed to the realization
Figure 5: ”Each time we embrace a memory we meet again with those we love”
- unknown author
of this article through memories and useful recommendations.
References
[1] Kassay, G., A fixed point theorem for generalized contractive mappings, Babe¸s-Bolyai University Cluj, Seminar on Mathematical Analysis,7(1985), 93–100.
[2] Kassay, G., On solvability of nonlinear Hammerstein equations, Babe¸s- Bolyai University Cluj, Seminar on Mathematical Analysis, 7(1985), 93–100.
[3] Kassay, G., Kolumb´an, I., Implicit functions and variational inequalities for monotone mappings, Babe¸s-Bolyai University Cluj, Seminar on Math- ematical Analysis7(1989), 79–92.
[4] Kassay, G.,On Br´ezis-Nirenberg-Stampacchia’s minimax principle, Babe¸s- Bolyai University Cluj, Seminar on Mathematical Analysis 7(1991), 101–106.
[5] Kassay, G.,A simple proof for K¨onig’s minimax theorem, Acta Mathemat- ica Hungarica63(1994), No. 4, 371–374.
[6] Ill´es, T., Kassay, G.,Farkas type theorems for generalized convexities, Pure Mathematics and Applications 5(1994), No. 2, 225–239.
[7] Jo´o, I. , Kassay, G.,Convexity, minimax theorems and their applications, Annales Univ. Sci. Budapest.38(1995), 71–93.
[8] Ill´es, T., Kassay, G., Perfect duality for K-convexlike programming prob- lems, Studia Univ. Babe¸s-Bolyai, Mathematica,41(1996), 69–78.
[9] Frenk, J. B. G., Kassay, G., On classes of generalized convex functions, Gordan-Farkas type theorems and Lagrangian duality, Journal of Optimiza- tion Theory and Applications102(1999), No. 2, 315–343.
[10] Kassay, G., P´ales, Zs.,A localized version of Ky Fan’s minimax inequality, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 35 (1999), No. 4, 505–515.
[11] Kassay, G., Kolumb´an, J., P´ales, Zs.,On Nash stationary points, Publica- tiones Mathematicae Debrecen 54(1999), No. 3-4, 267–279.
[12] Kassay, G.,The Equilibrium Problem and Related Topics, Risoprint, Cluj, Romania, 2000, 113 pg. ISBN 973-656-023-6.
[13] Kassay, G., Kolumb´an, J., P´ales, Zs., Factorization of Minty and Stam- pacchia variational inequality systems, European Journal of Operational Research143(2002), No. 2, 377–389.
[14] Bianchi, M., Kassay, G., Pini, R., Existence of equilibria via Ekeland’s principle, Journal of Mathematical Analysis and Applications 305(2005), No. 2, 502–512.
[15] Bot¸, R. I., Kassay, G., Wanka G., Strong duality for generalized convex optimization problems, Journal of Optimization Theory and Applications 127(2005), No. 1, 45–70.
[16] Frenk, J. B. G., Kassay, G.,Introduction to convex and quasiconvex anal- ysis, in: Handbook of Generalized Convexity and Monotonicity, Series:
Nonconvex Optimization and its Applications, Vol. 76, Eds. N. Hadjisav- vas, S. Koml´osi, S. Schaible, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 2005, pp. 3–87. ISBN 0-387-23255-9
[17] Frenk, J. B. G., Kassay, G.,Lagrangian duality and cone convexlike func- tions, Journal of Optimization Theory and Applications134(2007), No. 2, 207–222.
[18] Frenk, J. B. G., Kassay, G., On noncooperative games, minimax theo- rems and equilibrium problems, in: Pareto Optimality, Game Theory and Equilibria, Series: Springer Optimization and Its Applications, Athanasios Migdalas (Crete), Panos Pardalos (Florida), Leonidas Pitsoulis (London) and Altannar Chinchuluun (Florida) (Eds.), Vol. 17, 2008. XXII, pp. 53–94, ISBN: 978-0-387-77246-2.
[19] Kassay, G., Pintea, C., Szenkovits, F., On convexity of preimages of monotone operators, Taiwanese Journal of Mathematics13(2009), No. 2B, 675–686.
[20] Kassay, G., Pintea, C.,On preimages of a class of generalized monotone op- erators, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications,73(2010), No. 11, 3537–3545.
[21] Kassay, G., Pintea, C., L´aszl´o, Sz., Monotone operators and closed count- able sets, Optimization60(2011), No. 8-9, 1059–1069.
[22] Kassay, G., Pintea, C., L´aszl´o, Sz., Monotone operators and first category sets, Positivity16(2012), No. 3, 565–577.
[23] Kassay, G., R˘adulescu, V.D.,Equilibrium Problems and Applications, Se- ries: Mathematics in Science and Engineering, Academic Press – an imprint of Elsevier, London-San Diego-Cambridge MA-Oxford, 2019.
[24] Al-Homidan, S., Ansari, Q.H., Kassay, G.,On sensitivity of vector equilibria by means of the diagonal subdifferential operator, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 20(2019), No. 3, 527-537.
[25] Al-Homidan, S., Ansari, Q.H., Kassay, G.,Vectorial form of Ekeland varia- tional principle with applications to vector equilibrium problems. Optimiza- tion,69(2020), No. 3, 415–436.
[26] Bianchi, M., Kassay, G., Pini, R.,Regularization of Br´ezis pseudomonotone variational inequalities. Set-Valued Variational Analysis 29(2021), No. 1, 175–190.
[27] Al-Homidan, S., Ansari, Q.H., Kassay, G., Bregman type regularization of variational inequalities with Mosco approximation of the constraint set.
Positivity26(2022), No. 3.
[28] K´asa, Z., Rig´o, R. P., Szenkovits, F., G´abor Kassai (1956–2021) – In Memoriam and List of Publication, Preprint, 2022.
KASSAY GÁBOR TUDOMÁNYOS TEVÉKENYSÉGÉRL
KOLUMBÁN JÓZSEF February 23, 2022
Kassay Gábor tudományos tevékenysége a nemlineáris analízis következ® fejezeteivel kapcsolatos: egyensúly-feladatok, numerikus mód- szerek monoton halmazérték¶ függvényekkel adott inkluziók közelít®
megoldására, normálstruktúrával rendelkez® Banach-terek és konvexitási struktúrák. Célom Kassay Gábor eredményeinek vázlatos ismertetése, inkább a tárgyalt kérdések kapcsolatait tartva szem el®tt, mint a dolgo- zatok elemzését. Dolgozatainak idézésekor az ebben a kötetben szerepl®, Kása Zoltán által készített publikációs jegyzéket használom az ottani csil- lagos számozás szerint.
1 A Tiberiu Popoviciu-szeminárium
A múlt század 70-es éveit®l kezdve Romániában a gazdasági élet egyre súlyos- abbá vált. Ennek következtében évr®l-évre kevesebb pénz jutott az oktatásra is.
Az egyetemen, például, minden fejlesztést leállítottak, bér- és létszámstopot ren- deltek el, a szakkönytárakban a nyugati folyóíratok megrendelését a minimum alá csökkentették, stb. A tudomány emberét különösen az utóbbi rendelkezések érintették fájdalmasan. A kit¶n® szovjet matematikai iskola termékeihez olc- són hozzá lehetett jutni ugyan, de a világ más tájain megjelen® tekintélyes szakfolyóiratokat nem lehetett beszerezni. Ezért karunk matematikusai külföldi matematikai könyvtárakhoz folyamodtak segítségért. Legjobb dolgozataikat kö- zlés végett nem küldték el külföldi lapkiadókhoz, hanem bel®lük köteteket sz- erkesztettek, és azokat elküldték a külföldi könytáraknak, azzal a kötelezettség- vállalással, hogy a dolgozatokat máshol nem publikálják. Mi csak annyit kértünk, hogy ®k helyettünk zessenek el® az általunk megjelölt folyóiratokra.
Az ötlet bevált, és így több éven át hozzájuthattunk sok számunkra fontos külföldi folyóirathoz.
Ilyen körülmények között, amikor Kassay Gábor befejezte egyetemi tanul- mányait, bár szükség lett volna rá, egyel®re nem lehetett kinevezni az egyetemre.
viszont nem akart lemondani álmairól, hogy ne csak oktassa, hanem kutassa is
a matematikát. Tanulmányi eredményei alapján sok jó középiskolai állás közül választhatott volna más városban, e helyett választott egy szerényebb kolozsvári iskolát, ami lehet®vé tette az analízis tanszéken m¶köd® Tiberiu Popoviciu- szeminárium látogatását. Ezen a szemináriumon heti rendszerességgel találkoz- nak olyan kolozsvári matematikusok, akik függvényapproximáció és alkalmazott matematikai kutatások iránt érdekl®dnek. A résztvev®k beszámolókat tartanak saját eredményeikr®l vagy más szerz®k fontos közleményeir®l. Gabi számára ezeken az összejöveteleken elhangzott el®adások jelentették a posztgraduális képzést.
Így vagy úgy, a Popoviciu-szemináriumon való résztvétel indukálta els® más- fél tucatnyi dolgozatát, amelyek nagy része a fent említett csereakció keretében összeállított kötetekben szerepel, de köztük van az els® belföldi [∗2] és az els®
külföldi folyóiratban megjelent [∗6] dolgozata is. A [∗2] dolgozatra alább még visszatérünk. A [∗6] dolgozatban Gabi választ adott egy külföldi szerz® ered- ményeinek bemutatása után kialakult eszmecserén megfogalmazott kérdésre.
Az említett kötetekben közölt dolgozatok közül itt csak a [∗17] dolgozatra térek ki, mert a benne tárgyalt kérdés kulcsszerepet játszik az egyensúlyelmélet- ben. Knaster, Kuratowski és Mazurkiewicz 1929-ben, a róluk elnevezett KKM- lemma felhasználásával új bizonyítást adtak Brouwer xponttételére. Ez a lemma a következ®t állítja. Legyeneku1, . . . , un valamely véges dimenziós valós normáltEtér rögzített elemei, és a zártCi⊆E(i= 1, . . . , m) részhalmazok ren- delkezzenek azzal a tulajdonsággal, hogy mindenk≤npozitív természetes szám és minden {i1, . . . , ik} ⊆ {1, . . . , m} esetén az {xi1, . . . , xik} konvex burkolója benne van aCi1∪ · · · ∪Cik halmazban. EkkorC1∩ · · · ∩Cm̸=∅.
1961-ben Ky Fan a KKM-lemmát a következ®képpen általánosította végte- len dimenziós terekre. Legyen E valós Hausdor topológikus vektortér és X nemüres részhalmaza E-nek. Azt mondjuk, hogy a F :X →2E halmazérték¶
függvény végesen zárt, ha F(x)∩L az euklidészi topológia szerint zárt, min- den x ∈ X és E minden véges dimenziós L altere esetén. A F függvény KKM-tulajdonságú, ha X minden {x1, . . . , xn} véges részhalmazának konvex burkolója részhalmaza azF(x1)∪ · · · ∪F(xn)halmaznak. Ky Fan [10] szerint, haFértékei zárt halmazok, és létezik olyanx∈X, hogyF(x)kompakt, akkor a KKM-tulajdonságból következik, hogy az F(x)halmazok keresztmetszete nem üres. Következésképpen, ebben az esetben, a KKM-tulajdonságból következik a végesmetszet-tulajdonság, vagyis azF(x1), . . . , F(xn)halmazoknak van közös pontja, mindenx1, . . . , xn ∈X esetén. Nem nehéz igazolni, hogy ennek az ál- lításnak a fordítottja nem igaz, haE =R(lásd [∗90], Example 3.1). Felmerül tehát a kérdés: hogyan lehetne jellemezni a végesmetszet-tulajdonságot? A [∗17] dolgozat a KKM-tulajdonság megfelel® általánosításával választ ad erre a kérdésre.
Legyen X tetsz®leges nemüres halmaz és E valós Hausdor topológikus vektortér. Értelmezés szerint, az F : X → 2E függvény általánosított KKM- tulajdonságú, haX minden nemüres {x1, . . . , xn} véges részhalmazához hozzá lehet rendelni az E olyan nemüres {y1, . . . , yn} részhalmazát, amelyre minden {yi1, . . . , yik} részhalmaz konvex burkolója részhalmaza a F(xi1), . . . , F(xik) halmazok egyesítésének. A [∗17] dolgozat szerint ez a tulajdonság egyenérték¶
a végesmetszet-tulajdonsággal, ha F értékei végesen zártak. Érdekes, hogy ez az állítás szerepel az egy évvel kés®bb megjelent [7] dolgozatban is, viszont [∗17] említése nélkül. Kés®bb, egyensúly-feladatok tárgyalásánál több szerz®
használta az általánosított KKM-tulajdonság fogalmát és a vele kapcsolatos végesmetszet-tételt, hivatkozva a [∗17] dolgozatra is (lásd például [36]).
2 A minimax tételekt®l az egyensúlyfeladatokig
Kassay Gábor 1994-ben megvédett doktori (PhD) disszertációjának címe:
Új eredmények a minimax elméletben, alkalmazva variációs egyenl®tlenségekre és optimalizálási feladatokra. Pályafutása során az ilyen típusú feladatokat magába foglaló egyensúlyelmélet volt gyelmének középpontjában. Az egyensúlyelmélet ma a nemlineáris analízis egyik legjelent®sebb ága, gyakorlati és elméleti szem- pontból egyaránt. Magába foglalja, többek között, az optimalizálás, a minimax, a Nash-egyensúly, a komplementaritás, a xpont és a variációs egyenl®tlen- ségekre vonatkozó feladatokat. Mivel az egyensúlyfeladat fogalma és elmélete a játékelméletb®l sarjadzott ki, célszer¶ néhány szóban erre kitérni.
Az els® játékelméleti cikket a modern halmazelmélet egyik megalapozója, Zermelo írta 1913-ban a sakkjáték matematikájáról. Emile Borel, 1921 és 1927 között, három rövid jegyzetben foglalkozott el®ször a kétszemélyes, nulla összeg¶
játékok matematikai modellezésével, ahol az egyik játékos nyeresége a másik vesztesége: f1(s1, s2) =−f2(s1, s2), minden (s1, s2)stratégiapárra, ahol f1 és f2 a játékosok stratégiafüggvényei. Ez a feltétel teljesül a sakkban és a tár- sasjátékok többségében (például a kártyajátékokban). A legegyszer¶bb játék a fej vagy írás: mindkét játékos egyidej¶leg letesz az asztalra egy 100 Ft-os ér- mét. Ha a letett érmék fels® oldala ugyanolyan, akkor az 1. játékos elnyeri a 2.
játékos érméjét; ha különböz®k, akkor a 2. játékos nyeri el az 1. játékos érméjét.
Fent említett jegyzeteiben Borel megfogalmazta az ilyen típusú játékok egyen- súlyi megoldásának fogalmát. Ez a következ®t jelenti: az 1. játékos bármilyen s1 stratégiát választ, a min
s2∈S2f1(s1, s2)mennyiségnél többet nem kaphat, ha a 2. játékos vele szemben a legjobban játszik. Az 1. játékos ezt a mennyiséget akarja maximalizálni, azaz max
s1∈S1
smin2∈S2
f1(s1, s2)értéket akarja elérni, aholS1és S2 a játékosok stratégiahalmazai. Hasonlóan gondolkodik a 2. játékos is: az 1. játékos max
s1∈S1
f1(s1, s2)maximális nyereményét akarja a minimumon tartani, azaz min
s2∈S2 max
s1∈S1f1(s1, s2)értéket akar elérni. Ha teljesül a
smax1∈S1
smin2∈S2
f(s1, s2) = min
s2∈S2
smax1∈S1
f(s1, s2)
egyenl®ség, ahol f =f1, akkor azt mondjuk, hogy a minimax játékfeladatnak van megoldása.
A fej vagy írás játékban azonban nincs minimax megoldás, legalábbis az eredeti stratégiatérben. Ezen segít az ún. randomizálás, vagyis a kevert stratégiák alkalmazása. Például, az 1. játékos p valószín¶séggel választ fejet
és1−pvalószín¶séggel írást, ellenben a 2. játékos, az 1. játékos választásától függetlenül,q valószínséggel választ fejet és1−qvalószínséggel írást. (Tudjuk, hogy a kevert stratégia hasznosságát már a XVIII. század elején ismerték.) Borel az el®bbi egyszer¶ meggyelést általánosítva, megfogalmazta a kevert stratégiájú minimax tételt (ahol a stratégiafüggvény bilineáris és a stratégia- halmazok szimplexek), de bizonyítást rá nem adott. Ezt a feladatot a berlini m¶egyetemen alkalmazott, 25 éves Neumann János (akkori nevén Johann von Neumann) oldotta meg abban az általánosabb esetben, amikor az f straté- giafüggvény s1 szerinti fels® és s2 szerinti alsó nivóhalmazai konvex halmazok (mai szóhasználattal, s1 szerint kvázikonkáv éss2 szerint kvázikonvex). Rend- kívül leleményes bizonyítása, amelyet német nyelven közölt a [31] dolgozatban, a teljes indukció módszerén alapul. Ugyanakkor közölt err®l egy rövid, fran- cia nyelv¶ [32] cikket is, de ebben csak a Borel-féle modellr®l van szó, ahol a stratégiafüggvény bilineáris, és bizonyítás nélkül kijelenti a minimax tételt. A [31] dolgozat csak 1959 után vált közismerté, amikor megjelent az angol nyelv¶
fordítása [35]. A matematikusok többsége számára ezután vált nyilvánvalóvá, hogy a kvázikonkáv és a kvázikonvex függvényeket els®ként Neumann János használta, anélkül, hogy nevet adott volna ezeknek a fogalmaknak.
Kés®bb, a náci Németországból menekül® Neumann János a princetoni In- stitute for Advanced Studiesban kapott állást. A harmincas évek második felében többször látogatott Bécsbe, ahol Oskar Morgenstern közgazdasági sz- impóziumokat szervezett. Ezeken tevékenyen részt vett, többek között, a mod- ern matematikai statisztika egyik megalapítója, a kolozsvári származású Wald Ábrahám is. Az egyik ilyen szimpóziumon Neumann János bemutatta a közgaz- daságtan els® növekedési modelljét [34], amely a Brouwer-féle xponttételre ala- pult (1941-ben S. Kakutani, Neumann bizonyítását elemezve, fedezte fel a nevét visel® xponttételt). Ebb®l az együttm¶ködésb®l született a nagy hatású [33]
könyv is. Ez a könyv hozzájárult ahhoz, hogy a második világháborút követ®
években az operációkutatás hatalmas fejl®désnek indult, nemcsak a közgaszdás- zok, hanem a matematikusok körében is. Új numerikus módszerek jelentek meg (szimplex módszer, bels® pontok módszere, stb.), és az elméleti kutatások is jelent®sen megszaporodtak.
A matematikus, ha egy új tételt meg akar érteni, nem elégszik meg a bi- zonyítás megértésével. Ilyenkor rendszerint három utat követ. El®ször a té- tel értelmét sajátos esetekben vizsgálja, ezután más bizonyításokat keres, majd próbálja a tételt általánosítani, abból az elvb®l kiindulva, hogy minden javítható (és ha kell, javítandó), amit ember teremtett. A minimax tétel általánosítá- sainak hosszú és érdekes története van, amir®l, például [43]-ben olvashatunk.
A minimax tételek elméleti fontossága abból is látszik, hogy a konvex analízis nagy része ilyen tételeken alapul (lásd [42]).
Amint említettem, a [31] dolgozatban szerepl® minimax tételben a stratégiafüggvény szimplexek szorzatán értelmezett kvázikonvex-kvázikonkáv, folytonos függvény. Az általánosítások ezeken a feltételeken lazítanak. Az egyik fontos általánosítás a [8] dolgozatban szerepel, amelyben a stratégiafüggvény lokálisan konvex terek konvex részhalmazainak szorzatán értelmezett folytonos kvázikonkáv-kvázikonkáv függvény. Egy évvel kés®bb, Ky Fan a [9] dolgozatban
a kvázikonkáv-kvázikonvex tulajdonságot egy általánosabb konvexitási feltétellel helyettesítette. Ezt H. König [19] tovább általánosította a König-konvex füg- gvény fogalomának felhasználásával. Ezeket a fogalmakat a következ®képpen értelmezzük: Legyen A tetsz®leges, nemüres halmaz. Azf :A →R függvény Ky Fan-konvex, ha minden a1, a2∈Aésλ∈[0,1]esetén létezik olyana3∈A, hogy f(a3)≤(1−λ)f(a1) +λf(a2). Ha ez a feltétel csak λ= 1/2 esetén kell teljesüljön, akkor f König-konvex. Az el®bbi fogalomból nyilván következik az utóbbi, de fordítva nem igaz. Viszont, haAszekvenciálisan kompakt topológikus tér ésf alulról félig folytonos, akkor a két fogalom megegyezik (lásd [∗23]). Ky Fan [10] bizonyított el®ször minimax tételeket több stratégia-függvény esetén.
Ugyanakkor, az egyensúlyelméletben megjelentek olyan tételek is, ame- lyekben a konvex halmaz szerepét a topológiából ismert összefügg® hal- maz fogalma veszi át. Wu [52] rámutatott, hogy olyan minimax tétel is bi- zonyítható, amelyben a szakaszok szerepét bizonyos Jordan-görbék játsszák.
Néhány évvel kés®bb Joó István [16] a nívóhalmazok módszerével ilyen típusú, egyszer¶ és elegáns bizonyítást adott Neumann János tételére. Ennek hatására Stachó László [26] és Komornik Vilmos [25] olyan minimax tételeket bizonyí- tott, amelyekben a stratégiafüggvény ún. intervallum tereken értelmezett. Ezek topológikus terek, amelyeken az algebrai m¶veleteket az összefüggés tulaj- donsága helyettesíti (lásd [21], [22], [27], [48], [49]). Kassay Gábor [∗48] dol- gozatában minimax feladatok esetén a [∗26]-ban tárgyalt egyensúlyelvet kiter- jeszti intervallumterekre. Ezt felhasználva és Joó István [15]-ban közölt minimax tételét általánosítva, rámutat arra, hogy a konvex analízisben ismert dualítási tételek topológiai természet¶ek. Ugyancsak a [∗26] dolgozat eredményeit ál- talánositják mértéktereken értelmezett minimax feladatok esetén az [∗50] dol- gozatban.
A Neumann János tételének el®bbi általánosításai mellett fontosnak tartom megemlíteni a következ® eredményeket:
H. Weyl bilineáris stratégiafüggvény esetén a minimax-tételt a Farkas Gyula alternatíva tételével ekvivalens, végesen generált kúpokra vonatkozó saját tételével bizonyította [51];
C. Berge a nemlineáris alternatívatételt véges számú, zárt konvex halmaz metszetére vonatkozó saját tételével bizonyította [1];
M. Sion nemlineáris minimax tétel bizonyításában el®ször alkalmazta a KKM lemmát olyan kétváltozós stratégiafüggvények esetén, amelyekre az els®
változó szerinti fels®, illetve a második változó szerinti alsó nívóhalmazok zárt konvex halmazok [39];
J. Kindler a minimax tételek és a halmazérték¶ függvényekre vonatkozó metszettételek közötti kapcsolatra mutatott rá ([19]- [23]);
S. Simons bizonyította, hogy végtelen dimenziós terek esetén a minimax- tételek és a gyenge kompaktság között szoros kapcsolat van [40]-[45].
3 Egyensúlyfeladatok megoldásainak létezése és közelít® kiszámítása
Ky Fan [11] lokálisan konvex tereken értelmezett stratégiafüggvényekre bizonyított minimax egyenl®tlenségek megoldhatóságára vonatkozó tételeket.
Ezek ekvivalensek Tikhonov xponttételével, és alkalmazhatók a Nash-féle egyensúly-feladatokra is, ezért az ilyen típusú minimax feladatokat ma egyen- súlyfeladatoknak nevezzük. Az utóbbi dolgozatban bizonyított tétel volt az egyensúlyfeladatokra vonatkozó els® általános érvény¶ létezési tétel. Az egyen- súlyfeladat elnevezés el®ször W. Oettli és munkatársai által közölt [2, 29,30]
dolgozatokban fordul el®.
A minimax egyenl®tlenség tétele [11] szerint a következ®: Legyen X Haus- dor topológikus vektortér,KlegyenX-nek nemüres kompakt, konvex részhal- maza, és af :K×K→Rfüggvény teljesítse a következ® feltételeket:
(a)f(x, x)≥0,
(b) minden rögzítettx∈K eseténf(x, .)kvázikonvex,
(c) minden rögzítetty∈Keseténf(., y)felülr®l félig folytonos.
Ekkor létezik olyanx∗∈K, amelyre f(x∗, y)≥0, bármelyy∈K esetén.
Mivel dierenciál operátorokkal értelmezett variációs egyenl®tlenségek esetén a (c) feltétel nem teljesül, H. Brézis, L. Nirenberg és G. Stampacchia [5] az el®bbi tételt úgy általánosítta, hogy az legyen alkalmazható azokra is.
Az egyensúlyelmélet ma a nemlineáris analízis egyik legjelent®sebb ága, gyakorlati és elméleti szempontból egyaránt. Magába foglalja, többek között, az optimalizálási, a minimax, a Nash-egyensúly, a komplementarítási, a xpont feladatokat, a variációs egyenl®tlenségeket. Ezeknek a feladatoknak egységes matematikai modellje a következ®képpen fogalmaható meg. LegyenAésB két nemüres halmaz ésf :A×B →Radott függvény. Azx¯∈Aelemet egyensúly- pontnak nevezzük, ha
(EF) f(¯x, y)≥0, ∀y∈B.
Az (EF) Minty típusú duálisa a következ®: létezik-ey¯∈B, amelyre (DF) f(x,y)¯ ≤0, ∀x∈A?
Amint Komlósi Sándor [24] igazolta, el®fordulhat, hogy ugyanolyan feltételek mellett (EF)-nek van megoldása, de (DF)-nek nincs. Ha viszontA=B és azf monoton, azaz
f(x, y) +f(y, x)≤0, ∀x, y∈A,
továbbá f minden szakaszon felülr®l félig folytonos a második változóra nézve, akkor a két probléma egyenérték¶.
Az egyensúlyelmélet tárgya az egyensúlypontok létezésének és tulajdonsá- gainak vizsgálata, valamint azok (közelít®) kiszámítása. Az elméleti kérdések tisztázása mellett, a gadasági, a mechanikai, az elektrodinamikai és a mérnöki
tudományok területén talált fontos alkalmazások szintén serkentik az egyensú- lypontok tanulmányozását. Nem csoda tehát, hogy az utóbbi években az egyen- súlyelmélet iránti érdekl®dés megsokszorozódott. A matematika különböz® fe- jezeteiben megjelen® egyensúly-feladatok közül példaként megemlítek néhányat.
1) Minimalizálás
LegyenX nemüres halmaz ésh:X →R∪ {+∞} adott függvény. A kérdés az, hogy milyen feltételek mellett igaz a következ® állítás:
∃¯x∈X, h(¯x)≤h(y),∀y∈X.
HaK:={x∈X : h(x)<+∞} ésf :K×K→R,f(x, y) :=h(y)−h(x) minden x, y ∈ K esetén, x¯ akkor és csak akkor megoldása a mimimalizálási feladatnak, hax¯ megoldása az (EF) egyensúly-feladatnak.
2) A xpont feladat
LegyenX valós Hilbert tér a⟨·,·⟩skalár szorzattal, ésKlegyen aXkompakt részhalmaza. AT :X →2Xhalmazérték¶ függvényre vonatkozó xpont feladat a következ® állításra vonatkozik:
(FPF) ∃x¯∈K, x¯∈T(¯x).
Értelmezve az f :K×K→R, f(x, y) := maxu∈T(x)⟨x−u, y−x⟩; x, y ∈K függvényt,x¯ akkor és csak akkor megoldása az (FPF) xpont feladatnak, hax¯ megoldása az (EF) egyensúly-feladatnak.
3) A komplementarítási feladat
AzX valós vektortér valamelyKrészhalmaza kúp , hatx∈Kvalahányszor t≥0 ésx∈K. LegyenX topológikus vektortér, K⊆X egy zárt konvex kúp, és legyen K∗ :={x∈X∗: ⟨x, y⟩ ≥0 , hay∈K} annak duális kúpja, aholX∗ aX duális tere és⟨·,·⟩a dualítási függvény. AdottT :K→X∗operátor esetén a komplementárítási feladat a következ®:
(KF) ∃ x¯∈K, T(¯x)∈K∗, ⟨T(¯x),x⟩¯ = 0.
Értelmezve azf :K×K→R,f(x, y) :=⟨T(x), y−x⟩, hax,y∈Kfüggvényt, az x¯ akkor és csak akkor megoldása a (KF) komplementási feladatnak, ha x¯ megoldása az (EF) egyensúly-feladatnak.
4) Variációs egyenl®tlenségek
Az el®bbi jelöléseket használva, a variációszámítási feladat a következ®:
∃¯x∈K,⟨T(¯x), y−x⟩ ≥¯ 0, ∀y∈K
Könnyen belátható, hogy ez a feladat a komplementaritási feladat általánosítása.
5) A nyeregpont (minimax) feladat
Legyen X, Y két nemüres halmaz és h : X ×Y → R adott függvény. A (¯x,y)¯ ∈X×Y elempár nyeregpontjah-nak azX×Y halmazon, ha
h(x,y)¯ ≤h(¯x,y)¯ ≤h(¯x, y), ∀(x, y)∈X×Y.
LegyenA=B=X×Y ésf :A×B→R,
f(a, b) :=h(x, v)−h(u, y), a= (x, y), b= (u, v).
6) Nash-féle egyensúlyfeladat nemkooperatív játékok esetén
A nemüres Xi, i = 1,2, ..., n, halmazokkal értelmezzük az X := X1 × X2 ×...×Xn halmazt és a hi : X → R, i = 1,2, ..., n, függvényeket. Az (¯x1,x¯2, ...,x¯n)∈X vektort ah1, h2, ..., hnfüggvények által meghatározott Nash- egyensúlypontnak nevezzük, ha mindeni= 1,2, ..., nesetén fennáll a
hi(¯x1, ...,x¯i−1,x¯i,x¯i+1, ...,x¯n)≥hi(¯x1, ...,x¯i−1, xi,x¯i+1, ...,x¯n), ∀xi∈Xi
egyenl®tlenség.
Az f :X ×X → Rfüggvény értékét az x = (x1, ..., xn) ésy = (y1, ..., yn) által meghatározott pontban az
f(x, y) :=
n
X
i=1
[hi(x1, ...xi−1, xi, xi+1, ..., xn)−hi(x1, ...xi−1, yi, xi+1, ..., xn)]
egyenl®séggel értelmezzük. Könnyen belátható, hogy x¯ = (¯x1, ...,x¯n)akkor és csak akkor egyensúlypontjaf-nek, ha a h1, ..., hn függvények által meghatáro- zott Nash-egyensúlypont.
A konvex függvény fogalmának Ky Fan és König-féle általánosításai bizonyos algebrai relációk segítségével történnek. Kassay Gábor m¶vei közül néhány ilyen típusú feltételeket tartalmaz. Például, a [∗26] dolgozatban az el®bbieknél ál- talánosabb algebrai feltétel szerepel. Ennek a dolgozatnak tulajdonképpeni tár- gya az egyensúlyfeladattal kapcsolatos supinf-feladat. Ez a feladat a következ®:
adottf :A×B→Rfüggvény esetén milyen feltételek mellett teljesül a sup
x∈A
y∈Binf f(x, y)≥0 (1)
egyenl®tlenség? Ha ez az egyenl®tlenség teljesül, akkor azt mondjuk, hogy f teljesíti az supinf-feltételt. Minimax feladatok esetén a supinf-feltétel a
sup
x∈A
y∈Binf f(x, y) = inf
y∈Bsup
x∈A
f(x, y) következ® egyenl®séget jelenti.
A fenti kérdésre adott válasz a konkáv függvény fogalmának következ® ál- talánosításán alapul: Azf :A×B→Rfüggvény konkáv-szer¶ azAhalmazon, ha létezik a [0,1] intervallumnak olyanT s¶r¶ részhalmaza, amelyre
sup
x∈A
1≤j≤mmin f(x, yj)≥ min
1≤j≤m n
X
i=1
sif(xi, yj), (2)
minden s1, . . . , sn ∈ T, Pn
i=1si = 1, x1, . . . , xn ∈A, y1, . . . , ym ∈ B esetén.
Az f függvény konvex-szer¶ a B halmazon, ha −f konkáv-szer¶ a második változóra nézve. (Az eredeti értelmezésbenT = [0,1].)
Hasonló fogalmak bizonyos sajátos esetekben szerepeltek korábban is a [3], [46] illetve [47] dolgozatokban.
A Hahn-Banach tétel véges dimenziós változatával igazolható, hogy haB= {y1, . . . , ym}és azf konkáv-szer¶, akkor (1) egyenérték¶ azzal, hogy
sup
x∈A m
X
j=1
tjf(x, yj)≥0, ∀t1, . . . , tm∈T,
m
X
j=1
tj= 1. (3)
A következ® tételben szerepelnek az alábbi tulajdonságok. Az f teljesíti a gyenge zártsági feltételt, ha a supx∈Ainfy∈Ff(x, y) ≥ 0, minden F ⊆ B véges részhalmaz esetén, maga után vonja az (1) egyenl®tlenséget. Az f tel- jesíti az er®s zártsági feltételt, ha minden F ⊆ B véges részhalmaz esetén a supx∈Ainfy∈Ff(x, y) ≥ 0 maga után vonja azt, hogy létezik x ∈ A, amelyre f(x, y)≥0mindeny∈B esetén.
A [∗26] dolgozat f®tétele szerint ha f az A halmazon konkáv-szer¶ és tel- jesül a gyenge zártsági feltétel, akkor (1) egyenérték¶ azzal, hogy (3) igaz min- den {y1, . . . , ym} ⊂B esetén. Továbbá, ha az er®s zártsági feltétel is teljesül, akkor az egyensúly feladat megoldhatósága az jelenti, hogy (3) teljesül minden {y1, . . . , ym} ⊂B esetén.
Könnyen belátható, hogy ha B ⊂ A konvex halmaz, f konvex a B-n, és f(y, y) ≥0 mindeny ∈B esetén, akkor (3) teljesül minden {y1, . . . , ym} ⊂ B esetén.
Továbbá, abban az esetben amikor azAkompakt topologikus tér ésf felülr®l félig folytonos az A-n, akkor teljesül az er®s zártsági feltétel. A fenti tétel második része úgy tekinthet® mint a Weierstrass tétel általánosítása. Valójában az említett tétel egy skalarizációs elvet fejezi ki.
A [∗26] dolgozat, többek között, a következ® okok miatt is gyelemre méltó:
1) A benne értelmezett konvexítási fogalom általánosabb, mint a König- konvexitás, és a topológiai feltételek is kevésbé megszorítóak, mint például a [9], [26] és más algebrai egyensúly feltételeket tartalmazó dolgozatokban. Fontos, hogy [∗26]-ban a stratégiafüggvény értelmezési tartománya nem rendelkezik sem topológiai sem algebrai struktúrával.
2) A [∗26]-ban vizsgált supinf-egyenl®tlenség az egyensúlypont létezésének olyan szükséges feltételét fejezi ki, amely elégséges is, ha a minimum létezésére vonatkozó Weierstrass-tétel alkalmazható, például, ha A kompakt ésf az els®
változóra nézve felülr®l féligfolytonos. (A természet mindig egyensúlyra törek- szik, de nem mindig éri azt el.)
3) A [∗26] tételeib®l könnyen levezethet®k az operációkutatás alaptételei (Gordan-tétel, Farkas-tétel, Neumann János minimax tétele, Fritz John tétele, KarushKuhnTucker-tétel, stb.) (lásd [∗40]).
4) Ezek a tételek alkalmazhatók végtelen programozási és vektoregyensúly feladatokra is (lásd [12],[13],[28],[∗90]).
5) A használt matematikai apparátus egyszer¶, mindössze a HahnBanach- tétel véges dimenziós változatára van szükség.
6) HaB⊆Aésf mint kétváltozós függvény monoton, akkor [∗26] tételeib®l rögtön következik az egyensúlyelméletben ismert dualitási tétel.
7) A lineáris és/vagy topológiai struktúrával nem rendelkez® absztrakt kon- vexitási tereken értelmezett egyensúlyfeladatok tárgyalásának ez az egyik leg- egyszer¶bb modellje (lásd [14]-[23], [∗20], [∗22]-[∗25], [∗29], [∗31], [∗32], [∗41], [∗42], [∗48], [∗55], [∗58], [∗61], [∗62], [∗66], [∗70]).
8) A [∗26] dolgozat alapötlete nagyon egyszer¶. Ha a minimax feladatot diszkretizáljuk, akkor egy Borel-típusú mátrixjátékhoz jutunk. Ennek random- izált alakja szimplexek szorzatán értelmezett bilineáris stratégiafüggvénnyel van megadva, ezért Neumann János tétele szerint létezik legalább egy megoldása.
Ha a diszkretizálást tetsz®legesen változtatjuk, akkor az így megszerkesztett megoldások halmazának segítségével a stratégiafüggvényre vonatkozóan meg- fogalmazható egy egyszer¶ feltétel (a supinf-konkavitás), amely egy zártsági feltétellel együtt garantálja a supinf-feladat megoldhatóságát.
9) A [∗26] dolgozat pedagógiai szempontból is érdekes, mert a használt matematikai apparátus viszonylag egyszer¶ és az eredmények hatósugara nagy.
Ezek könnyen kiterjeszthet®k, például, vektor- vagy halmazérték¶ függvényekkel értelmezett egyensúlyfeladatokra is (lásd [∗90] és [∗91]).
Az egyensúly-elmélet fontos része az egyensúlypontok közelít® kiszámítására vonatkozik. A gyakorlatban egy ilyen feladat általában nem egyszer¶. En- nek okai közül csak hármat említek: Lehet, hogy a felhasznált módszerek jobb analítikai feltételeket követelnek, mint amivel az egyensúly-feladat adatai rendelkeznek. Még összetettebb a feladat, ha az adatai csak közelít®leg ismertek. Az is el®fordul, hogy a feladat rosszul fogalmazott (ill-posed).
Ilyenkor a ment®öv az lehet, ha a feldatot regularizáljuk, vagyis olyan feladat-sorozattal helyettesítjük, amelynél az említett nehézségek elt¶nnek, és a megfelel® megoldások konvergálnak az eredeti feladat megoldásához, ha az létezik. Több ilyen regularizációs módszert ismerünk. Ezek közül legismer- tebbek a Tikhonov-féle, a Bregman-féle és a projekciós módszerek. Ezeknél a regularizáló függvények
fk(x, y) =f(x, y) + 1 kθ(x, y)
alakúak, ahol θ megfelel® tulajdonságokkal rendelkez® függvény (lásd például [∗90], 11.5 Tétel). Kassay Gábor közelít® módszerekkel kapcsolatos eredményei közül fontosak valós- vagy halmazérték¶ függvényekre vonatkozó alábbi ered- ményei.
A [∗71] dolgozatban a Bregman-féle iteratív regularizációs módszerrel létezési és egyértelm¶ségi tételeket bizonyítanak egyensúlyfeladatokra, reexív Banach-terek zárt konvex részhalmazain értelmezett függvények esetén. Bi- zonyítják, hogy a megszerkesztett iteratív sorozat tagjaiból képzett halmaz min- den gyenge torlódási pontja megoldása az adott egyensúly-feladatnak.
A [∗84] dolgozatban valós Hilbert-tereken értelmezett Brézis- pszeudomono- ton kétváltozós függvényekkel megfogalmazott egyensúly feladatok megoldására
egy új Popov-típusú iteratív módszer gyenge és er®s konvergenciáját tanulmány- ozzák.
4 Halmazérték¶ függvényekkel értelmezett egyensúly-feladatok
Az 1980-ban megvédett Rockafellar algoritmusa cím¶ államvizsga- dolgozatában Kassay Gábor a következ® feladatot tárgyalta.
Legyen H valós Hilbert tér. R. T. Rockafellar algoritmusa olyan eljárás, amellyel közelít®leg meghatározhatjuk valamely maximálisan monotonT :H → 2H halmazérték¶ operátor zérushelyeit, vagyis azokat ax¯∈H pontokat, ame- lyekre0∈T(¯x).
Az algoritmus egy olyan {xk} ⊂ H sorozat megszerkesztéséb®l áll, ahol valamely x0∈H pontból kiindulva azxk+1 pontot úgy értelmezzük mint aTk
operátor egyetlen zérushelye, ahol
Tk(x) =T(x) +γk(x−xk)
itt{γk}egy pozitív tagú korlátos valós számsorozat, amelynek tagjait regular- izációs együtthatóknak nevezzük.
Rockafellar [37] bizonyította, hogy ha T maximálisan monoton és léteznek zérushelyei, akkor az {xk} sorozat gyengén konvergál aT valamelyik zérushe- lyéhez. Ha nincsenek zérushelyek, akkor a megszerkesztett sorozat nem korlátos.
1985-ben jelent meg Kassay Gábor els® tudományos dolgozata [∗2], amely- ben Rockafellar módszerét kiterjesztette reexív Banach-terekre. Ebben a kérdéskörben kés®bb még néhány érdekes dolgozatot publikált társszerz®kkel.
A [∗46] dolgozatban reexív Banach-tereken értelmezett, maximálisan mono- ton halmazérték¶ függvények Browder-típusú regularizálásával szerkesztett közelít® módszer stabilítását vizsgálták, ha az eredeti adatok szintén csak közelít®leg ismertek. Eredményeik magukba foglalják Rockafellar módsz- erének általánosítását arra az esetre, amikor az eredeti függvény Mosco- approximációval adott.
Az [∗53] dolgozatban a [∗2] eredményeit általánosítják reexív Banach- téren értelmezett nem maximálisan monoton halmazérték¶ függvényekre. Rock- afellar módszeréhez hasonló eljárással, a Bregman [4] távolságfüggvény fel- használásával olyan iteratív sorozatot szerkesztenek, amely gyengén kon- vergál egy megoldáshoz. Eredményeiket alkalmazzák rosszul fogalmazott (ill- posed) variációs egyenl®tlenségekre, továbbá olyan monoton (de nem max- imálisan monoton) halmazérték¶ függvényekre, amelyek grakonjai szekven- ciálisan gyengén zártak, és olyan konvex optimalizálási feladatokra, amelyben az adatok csak közelít®en vannak meghatározva.
A [∗64] dolgozatban az [∗53]-ben alkalmazott módszerrel er®sen monoton, pszeudomonoton, illetve hemifolytonos többérték¶ függvényekkel értelmezett variációs egyenl®tlenség-rendszerek közelít® megoldására er®sen konvergáló sorozatot szerkesztettek.
A [∗86] dolgozatban reexív Banach-tereken többérték¶ Brézis pszeu- domonoton operátorral értelmezett variációs egyenl®tlenség megoldhatóságára adnak feltételeket, általánosítva Tikhonov [50] és Browder [6] regularizációs módszerekkel kapott eredményeit.
Lgyen A ésB két nemüres halmaz, Z topológikus valós vektortér, C ⊆Z egy konvex kúp, amelynek intC-vel jelölt belseje nem üres, és f : A×B →Z adott függvény. Ebben az esetben az egyensúly-feladat kétféleképpen is megfo- galmazható: Igazoljuk, hogy
(EVEF)∃¯a∈A úgy, hogyf(¯a, b)̸∈C\0,∀b∈B, vagy (GVEF)∃¯a∈Aúgy, hogyf(¯a, b)̸∈intC\0,∀b∈B.
Az els® esetben er®s egyensúly-feladatról, a másodikban gyenge egyensúly- feladatról beszélünk. Ezek a feladatok általánosításai a gyakorlatban gyakran el®forduló vektorfüggvények optimizálási és a vektor variációs egyenl®tlenségek megoldására vonatkozó feladatoknak.
Ehhez a témakörhöz tartoznak Kassay Gábor következ® dolgozatai: [∗49], [∗56], [∗62], [∗64], [∗71], [∗75], [∗80], [∗84].
A halmazérték¶ operátorokkal értelmezett variációs egyenl®tlenségek sajátos esetei az el®bbi feladatnak.
LegyenX azEvalós Hausdo lokálisan konvex tér nemüres részhalmaza és Y nemüres részhalmaza azE∗ duális térnek. Továbbá, legyenC azY nemüres részhalmaza, és legyenF :C→2Xhalmazérték¶ leképezés, nemüres értékekkel.
A Minty-féle variációs egyenl®tlenség problémája a következ®:
M(F;C) : inf
x∈F(v)⟨x, v−u⟩ ≥0, ∀v∈C.
A Stampacchia-féle variációs egyenl®tlenség problémája a következ®:
S(F;C) : sup
x∈F(u)
⟨x, v−u⟩ ≥0,∀v∈C.
Legyenek X1, . . . Xn, Y1, . . . , Yn valós Hausdor topologikus vektorterek, és
⟨·,·⟩i az Xi×Yi (i = 1,2, . . . , n) halmazokon értelmezett folytonos bilineáris fügvények amelyek függhetneki-t®l).
A Minty- és a Stampacchia-féle variációs egyenl®tlenségek rendszerére vonatkozó problémájának megfogalmazása érdekében tételezzük fel, hogyC1⊂ Y1, . . . , Cn ⊂Yn nemüres halmazok és
Fi:C1× · · ·Cn→2Xi (i= 1,2, . . . , n)
halmazérték¶ függvények nemüres értékekkel. A Minty-féle variációs egyen- l®tlenség problémája az F1, . . . , Fn halmazérték¶ függvények rendszerére a következ®:
M(F1, . . . , Fn;C1, . . . , Cn) :
∃(u1, . . . , un)∈C1× · · · ×Cn: ∀i= 1, . . . , n,
∀v∈Ci ∀x∈Fi(u1, . . . , ui−1, v, ui+1. . . , un), ⟨x, ui−v⟩i≥0.
A Stampacchia-féle variációs egyenl®tlenség problémája ugyanazon feltételek mellett a következ®:
S(F1, . . . , Fn;C1, . . . , Cn) :
∃(u1, . . . , un)∈C1× · · · ×Cn: ∀i= 1, . . . , n,
∀v∈Ci ∃x∈Fi(u1, . . . , ui. . . , un), ⟨x, v−ui⟩i≥0.
Fontos gyakorlati helyzetek motiválják a variációs egyenl®tlenségi rendszerek tanulmányozását. Például az folyadékok áramlása repedezett porózus közegen keresztül és a plaszticitás modelljei variációs problémákhoz vezetnek (lásd [38]).
Az ilyen rendszerek fontosságát a Nash-egyensúlyelmélet is igazolja. [*30]- ban a szerz®k kimutatták, hogy abban az esetben, ha a Fi halmazérték¶ füg- gvények Clarke szubdierenciál típusúak, akkor az M(F1, . . . , Fn;C1, . . . , Cn) problémának van megoldása megfelel® feltételek mellett. Az idézett eredmény- b®l az következik, hogy ha azi-edik potenciál típusú operátor monoton azi-edik változóra nézve, akkor az S(F1, . . . , Fn;C1, . . . , Cn)feladat minden megoldása Nash-féle egyensúlyi pont a potenciálrendszer számára.
A [*28] dolgozatban a szerz®k az optimalizálás elméletében ismert Fermat- elvet a Clarke-derivált felhasználásával kiterjesztették egyensúlyfeladatokra.
Normált tereken értelmezett lokálisan Lipschitz-függvények esetén [*30]-ban értelmezték a Clarke-féle iránymenti derivált er®s és gyenge változatát, valamint az er®s és gyenge stacionárius pont fogalmát. Minden er®s staciunárius pont gyenge stacionárius pont is. Ezeket alkalmazva a Nash-féle egyensúlypon- tokra, konvexitási és kompaktsági feltételek nélkül igazolták, hogy minden egyensúlypont er®s stacionárius pont. Ha a feladat megfogalmazásában szere- pl® Xi halmazok kompakt konvex halmazok, akkor a Nash feladat tág osztá- lyára léteznek gyenge stacionárius pontok. Ilymódon a Nash-egyensúlyontra egy használható szükséges feltételt kapunk. Ez a feltétel egy halmazérték¶
operátorokkal adott S(F1, . . . , Fn;C1, . . . , Cn) típusú variációs egyenl®tlenség- rendszerrel értelmezett. Ha ebben a feladatban azFi potenciál típusú operátor monoton az i-edik változóra nézve, minden i esetén, akkor ennek a feladat- nak minden megoldása Nash-egyensúlypont a potenciálokkal értelmezett füg- gvényrendszerre nézve.
A [∗39] dolgozatban elégséges feltételeket adnak a Minty és a Stampacchia- féle variációs egyenl®tlenség-rendszerek megoldására. Bebizonyították, hogy ha az egyenl®tlenségek külön-külön megoldhatók, és azF1, . . . , .Fnfüggvények alul- ról féligfolytonosak, akkor a rendszernek is van megoldása, vagyis a faktorizációs elv érvényes.
Kassay Gábor tudományos tevékenységét a [∗90] monográával koronázta meg. Ez a könyv az egyensúlyelmélet legújabb eredményeit - köztük a saját- jainak egy részét - foglalja össze egységes vezérfonal szerint.
Kassay Gábor pályafutása alatt tevékenységét rendkivül tudatosan szervezte meg. Például, mindenkivel kereste a kapcsolatot, akik az ®t érdekl® problémák kutatásában fontos eredményeket értek el. Ebben segítették egyéni tulajdon- ságai is: nyított természet¶ volt, mindig kereste a tanulás lehet®ségét a kapc- solataiban, a fellépése kellemes benyomást keltett, hamar megértette mások
mondanivalóit, tisztán tudta kifejezni magát és szeretett másokkal együtt dol- gozni. Ezzel magyarázható, hogy kutatási területén a legjobb szakemberekkel dolgozott együtt és dolgozatainak többsége társszerz®kkel készült. Példák és ellenpéldák szerkesztésében, valamint a dolgozat végleges formájának kidolgo- zásában sikerrel pályázhatott volna a nemzetközi nagymesteri címre. Amikor tanulmányi útjairól hazatért, a tanszéki Popoviciu-szemináriumon (amelynek az utóbbi években ® volt a vezet®je) mindig beszámolt tapasztalatairól.
Barátai és kollegái lelkében nagy ¶rt hagyott maga után.
References
[1] C. Berge, Sur une propriété combinatoire des ensembles convexes. C.R. Acad. Sci.
Paris Vol. 248 pp. 301319 (1959).
[2] E. Blum and W. Oettli, From optimization and variational inequalities to equilibrium problems, Math. Student Vol. 63 123145 (1994).
[3] A. Bogmér A., M. Horváth. I. Joó: Minimax tételek és konvexitás. Matematikai Lapok, Budapest 34 pp. 149170 (1987).
[4] L. M. Bregman, The relaxation method of nding the common points of convex sets and its application to the solution of problems in convex programming, USSR Comput.
Math. Phys. Vol. 7 (3) 200217 (1967).
[5] H. Brézis, L. Nirenberg and G. Stampacchia, A Remark on Ky Fan's Minimax Principle, Bullettino U.M.I. Vol. 4, 6 pp. 293300 (1972).
[6] F. E. Browder, Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. Vol. 56 pp. 10801086 (1966).
[7] S. S. Chang and Y. Zhang: Generalized KKM theorem and variational inequalitie. J.
Math, Anal. Appl. 159 pp. 208223 (1991).
[8] K. Fan, Fixed-point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. Vol. 38 pp. 121126 (1952).
[9] K. Fan, Minimax theorems, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. Vol. 39 pp. 4237 (1953).
[10] K. Fan, Sur une théoreme minimax, C.R. Acad. Sci. Paris Vol. 259 pp. 39253928 (1964).
[11] K. Fan, A minimax inequality and its applications, in O. Shisha (ed.) , Inequalities III, Academic Press, pp. 103113 (1972).
[12] M. R. Galán: An intrinsic notion of convexity for minimax. J. Convex Anal. 21 pp.
11051139 (2014).
[13] M. R. Galán: The Gordan theorem and its implication for minimax theory. J. Non- linear Convex Anal. 17 pp. 23852405 (2016).
[14] I. Joó: Note on my paper : A simple proof of von Neumann`s minimax theorem. Acta Math. Hung. 44, (3-4), pp. 363365 (1984).
[15] I. Joó: On some convexities. Acta Math. Hung. 54, 1-2, pp. 163172 (1989).
[16] I. Joó: A simple proof of von Neumann`s minimax theorems. Acta Sci. Math. 42 pp.
9194 (1980).
