Transform ˘ari geometrice ˆın plan

(1)

Curbe s¸i suprafet¸e ˆın grafic˘a s¸i designul geometric

Note de curs

Paul A. Blaga

(2)

2

(3)

Cuprins

1 Transform˘ari geometrice ˆın plan 5

1.1 Generalit˘at¸i . . . 5

1.2 Reprezentarea geometriei bidimensionale. Coordonate omogene ˆın plan . . . 5

1.3 Translat¸ii . . . 7

1.4 Scalarea ˆın raport cu originea . . . 8

1.5 Reflexiile ˆın raport cu axele de coordonate . . . 10

1.6 Rotat¸ia ˆın jurul originii . . . 11

1.7 Forfecarea fat¸˘a de origine . . . 13

1.8 Scalarea fat¸˘a de un punct oarecare . . . 14

1.9 Rotat¸ia fat¸˘a un punct oarecare . . . 14

1.10 Reflexia fat¸˘a de o dreapt˘a oarecare . . . 15

1.11 Forfecarea relativ la un punct oarecare . . . 17

1.12 Probleme . . . 17

2 Transform˘ari geometrice ˆın spat¸iu 19 2.1 Convent¸ii . . . 19

2.2 Scalarea . . . 19

2.3 Translat¸ia . . . 20

2.4 Reflexiile fat¸˘a de planele de coordonate . . . 20

2.5 Rotat¸iile fat¸˘a de axele de coordonate . . . 21

2.6 Rotat¸ii fat¸˘a de axe oarecare . . . 23

2.7 Scalarea fat¸˘a de un punct oarecare . . . 25

2.8 Reflexia fat¸˘a de un plan oarecare . . . 25

2.9 Probleme . . . 29

3 Curbe B´ezier s¸i B-spline 31 3.1 Curbe polinomiale ˆın forma lui B´ezier . . . 31

3.2 Algoritmul lui de Casteljau . . . 32 3

(4)

4 Cuprins

3.3 Calculul derivatelor unei curbe B´ezier . . . 38

3.4 Precizia liniar˘a s¸i ridicarea gradului . . . 41

3.5 Subdivizarea s¸i mics¸orarea variat¸iei . . . 43

3.6 Forma polar˘a a funct¸iilor polinomiale . . . 44

3.7 Curbe B-spline . . . 51

4 Suprafet¸e B´ezier s¸i B-spline 57 4.1 Suprafet¸e produs tensorial . . . 57

4.1.1 Introducere . . . 57

4.1.2 Suprefet¸e B´ezier produs tensorial . . . 57

4.2 Derivarea suprafet¸elor B´ezier produs tensorial . . . 59

4.3 Suprafet¸e B-spline produs tensorial . . . 60

4.3.1 Derivarea unei suprafet¸e B-spline produs tensorial . . . 61

4.4 Suprefet¸e B´ezier triunghiulare . . . 62

5 Curbe s¸i suprafet¸e rat¸ionale 65 5.1 Geometrie proiectiv˘a. Coordonate omogene . . . 65

5.2 Curbe B´ezier s¸i B-spline rat¸ionale . . . 67

5.3 Suprafet¸e B´ezier s¸iB-spline produs tensorial rat¸ionale . . . 69

(5)

CAPITOLUL 1

Transform ˘ari geometrice ˆın plan

1.1 Generalit˘at¸i

În multe dintre c˘art¸ile de grafic˘a pe calculator, transform˘arile geometrice ˆın plan se studiaz˘a ˆımpreun˘a cu cele ˆın spat¸iu sau chiar sunt tratate ca un caz particular al celor tridimensionale. Exist˘a, dup˘a p˘arerea autorului, motive suficiente ca acestor transform˘ari s˘a li se atribuie un spat¸iu corespunz˘ator. În primul rând, pentru student¸ii cu put¸ine cunos¸tint¸e de geometrie, este mult mai us¸or de ˆınt¸eles s¸i de vizualizat, ˆıntr-o prim˘a etap˘a, modul ˆın care act¸ioneaz˘a transform˘arile ˆın plan, urmând ca apoi s˘a se abordeze transform˘arile spat¸iale. Pe de alt˘a parte, chiar ˆın grafica tridimensional˘a transform˘arile plane joac˘a un rol important, ˆıntrucât instrumentele pe care se vizualizeaz˘a grafica sunt, ˆın esent¸˘a, bidimensionale.

1.2 Reprezentarea geometriei bidimensionale. Coordonate omogene ˆın plan

Dup˘a cum am v˘azut mai devreme, ˆın acest curs, forma s¸i dimensiunile obiectelor plane sunt caracteri- zate prin descrieri numerice bidimensionale, legate de un sistem de coordonate, de obicei sistemul de coordonate cartezienexOy. Elementul de baz˘a al oric˘arui model bidimensional este punctul. Dup˘a ce o figur˘a geometric˘a este reprezentat˘a prin intermediul punctelor sale, putem aplica acestora un set de transform˘ari geometrice care, ca efect, vor modifica pozit¸ia s¸i forma figurii. În figura??, de exemplu, este reprezentat un triunghi ABC prin intermediul coordonatelor vârfurilor sale. Convent¸ia pe care o vom adopta, de acum ˆıncolo, ˆın toate aplicat¸iile pe care le vom face, este c˘a fiecare punct este reprezentat ca vectorul coloan˘a al coordonatelor sale. Dac˘a avem un poligon cunvârfuri, acesta va fi reprezentat ca o matrice cuncoloane s¸i dou˘a linii. Astfel, un triunghi va fi reprezentate printr-o matrice

[P]_Triunghi =

x1 x2 x3

y1 y2 y3

.

5

(6)

6 Capitolul 1. Transform˘ari geometrice ˆın plan

1 2 3 4 y 5

1 2 3 4

x O

A(1,1) B(1.5,4)

C(4,3)

Notat¸ia matricial˘a este foarte util˘a pentru definirea s¸i manipularea geometriei ˆın grafica pe calculator.

Ar fi foarte util, din acest motiv, ca toate transform˘arile geometrice s˘a poat˘a fi reprezentate sub aceast˘a form˘a, cu alte cuvinte, aplicarea unei transform˘ari geometrice asupra unei figuri s˘a se reduc˘a la ˆınmult¸irea matricei asociate transform˘arii cu matrica asociat˘a figurii. Din p˘acate, acest lucru nu este posibil, atˆata vreme cˆat punctele sunt descrise prin intermediul coordonatelo lor obis¸nuite, adic˘a cele carteziene. Moti- vul este c˘a, des¸i majoritatea transform˘arilor geometrice elementare sunt descrise prin ˆınmult¸iri de matrici, translat¸ia, de exemplu, este descris˘a prin adunarea vectorial˘a. Din fericire, aceast˘a problem˘a poate fi re- zolvat˘a relativ us¸or, pret¸ul pl˘atit fiind utilizarea unui alt sistem de coordonate, care utilizeaz˘a as¸a-numitele coordonate omogene.

Reprezentarea punctelor ˆın coordonate omogene furnizeaz˘a o abordare unitar˘a a transform˘arilor geometrice. Pentru a ˆınt¸elege coordonatele omogene, s˘a ne ˆınchpuim un punctP1(x1, y1), undex1 s¸iy1

sunt coordonatele carteziene bidimensionale ale punctului. PunctulP1 poate fi privit ca fiind un punct dinR³, din planulz = 1, cu alte cuvinte, avemP₁ =P₁(x₁, y₁,1). Punctele de pe dreapta care unes¸te P₁ cu originea sistemului de coordonate, pot fi descrise prin intermediul unui parametru real h, astfel ˆıncˆat:

P(x, y, z) =P(hx1, hy1, h).

Orice punct din plan poate fi reprezentat prin unul dintre punctele de-a lungul acestei drepte din spat¸iul tridimensional, cu except¸ia originii, care corespunde luih = 0. Coordonatele ordinare corespund punctului unde dreapta intersecteaz˘a planulz= 1. Diferite puncte din plan sunt reprezentate prin drepte prin origine diferite.

ˆIn coordonate omogene, prin urmare, un punct este reprezentat sub formaP(hx, hy, h). S˘a consider˘am, de exemplu, punctul P(2,4), ˆın coordonate carteziene bidimensionale obis¸nuite. Urm˘atoarele reprezent˘ari omogene identific˘a, toate, acelas¸i punct:P(4,8,2),P(6,12,3),P(2,4,1). Date fiind coordonatele omogene ale unui punct,P(m, n, h), coordonatele carteziene obis¸nuite pot fi determinate din

(7)

1.3. Translat¸ii 7 reprezentarea omogen˘aP(m/h, n/h,1). Se obt¸ine

x= m h, y= n

h.

Atunci cnd se utilizeaz˘a coordonate omogene, punctele din spat¸iul bidimensional sunt reprezentate prin matrici de tip[3×n], undeneste num˘arul de puncte care definesc figura geometric˘a ˆın cauz˘a. ˆIn cazul unui triunghi, se obt¸ine:

[P]_Triunghi =





x₁ x₂ x₃ y1 y2 y3

1 1 1



.

1.3 Translat¸ii

1 2 3 y 4

1 2 3 4

x O

Figura 1.1: Un patrulater s¸i translatatul s˘au de vectorv(1,1), variat¸ia vectorilor de pozit¸ie

Se numes¸tetranslat¸iede vectorv(h, k)o aplicat¸ie care asociaz˘a unui punctA(x, y)un punctA⁰(x⁰, y⁰) astfel ˆıncˆat:

rA⁰ =rA+v (1.3.1)

sau, pe componente

x⁰=x+h, y⁰=y+k. (1.3.2)

Prin convent¸ie, relat¸ia (1.3.1) se va scrie, de acum ˆıncolo, sub forma:

A⁰ =A+v. (1.3.3)

O translat¸ie de vectorv(h, k)se noteaz˘a cuT(h, k)s¸i e considerat˘a ca fiind o aplicat¸ieT(h, k) :R² → R², dat˘a prin

T(h, k)(x, y) = (x+h, y+k). (1.3.4)

(8)

ˆIn limbajul matricial, translat¸ia de vectorv(h, k)asociaz˘a unui punctA(x, y)un punctA⁰(x⁰, y⁰)astfel ˆıncˆat

x⁰ y⁰

= x

y

+ h

k

(1.3.5) Dac˘a utiliz˘am coordonate omogene, atunci translat¸ia se poate reprezenta sub form˘a matricial˘a:



 x⁰ y⁰ 1



=





1 0 h 0 1 k 0 0 1







 x y 1



, (1.3.6)

dup˘a cum se poate verifica us¸or, efectuˆand ˆınmult¸irile matriciale. ˆIcele ce urmeaz˘a, vom utiliza pentru matricea omogen˘a asociat˘a unei translat¸ii aceeas¸i nitat¸ie ca s¸i pentru translat¸ia ˆıns˘as¸i, adic˘a vom pune:

T(h, k) =





1 0 h 0 1 k 0 0 1



. (1.3.7)

ˆIn figura 1.3 se poate observa cum act¸ioneaz˘a translat¸ia de vectorv(1,1)asupra unui patrulater de vˆarfuriA(.5,3), B(1,1), C(2, .5), D(3,2.5). Am indicat, de asemenea, pe figur˘a, modul cum se trans-

form˘a vectorii de pozit¸ie ai vˆarfurilor patrulaterului. Imaginile vˆarfurilor sunt puncteleA⁰(1.5,4), B⁰(2,2)C⁰(3,1.5), D⁰(4,3.5).

Se pot demonstra cu us¸urint¸˘a urm˘atoarele propriet˘at¸i ale translat¸iei:

(i) Orice translat¸ieT(h, k)este o biject¸ie, iar inversa ei este o translat¸ie,T(−h,−k).

(ii) Mult¸imea tuturor translat¸iilor din plan formeaz˘a un grup ˆın raport cu compunerea aplicat¸iilor, elementul neutru fiind aplicat¸ia identic˘a, egal˘a, de fapt, cuT(0,0).

(iii) Translat¸iile suntizometrii(p˘astreaz˘a distant¸ele dintre puncte).

(iv) Grupul translat¸iilor este comutativ (adic˘a dac˘a aplic˘am unui punct dou˘a translat¸ii succesive, nu conteaz˘a ordinea ˆın care le aplic˘am)¹.

1.4 Scalarea ˆın raport cu originea

Scalarea ˆın raport cu originea este, ca s¸i translat¸ia, o transformare foarte simpl˘a. Ea se defines¸te ca fiind o aplicat¸ieS(s_x, s_y) :R² →R², astfel ˆıncˆat pentru orice(x, y)∈R², s˘a avem

S(sx, sy)(x, y) = (sx·x, sy·y). (1.4.1) Aici s_x, s_y sunt numere reale nenulecare se numescfactori de scar˘a. Dac˘a un factor de scar˘aseste astfel ˆıncˆat|s|>1, atuncisse numes¸tem˘arire, ˆın timp ca dac˘a|s|<1,sse numes¸temics¸orare. Dac˘a sx = sy, vom spune c˘a scalarea esteuniform˘a. O scalare uniform˘a de factor de scal˘a pozitiv se mai numes¸te, uneori,magnificare.

1Atent¸ie! Aceast˘a remarc˘a nu este specific˘a tuturor transform˘arilor geometrice. ˆIn general, dac˘a aplic˘am unui punct o secvent¸˘a de transform˘ari geometrice, ordinea ˆın care le aplic˘am este, de regul˘a, esent¸ial˘a.

(9)

1.4. Scalarea ˆın raport cu originea 9 S¸i ˆın cazul scal˘arii, aplicat¸ia se poate reprezenta matricial. De aceasta dat˘a, avem de-a face cu o aplicat¸ie liniar˘a, c˘areia ˆıi putem asocia o matrice, pe care o vom nota cu acelas¸i simbol ca s¸i aplicat¸ia, anumeS(s_x, s_y). Coloanele matricii aplicat¸iei vor fi imaginile vectorilor bazei luiR², adic˘a ale vectorilor (1,0),(0,1). Prin urmare, vom avea

S(sx, sy) =

s_x 0 0 sy

.

Aceasta ˆınseamn˘a c˘a imaginea prin scalare a unui punctA(x, y)va fi un punctA⁰(x⁰, y⁰)astfel ˆıncˆat s˘a

avem

x⁰ y⁰

=S(sx, sy)· x

y

≡

sx 0 0 sy

· x

y

(1.4.2) S¸i aici, ca s¸i ˆın cazul translat¸iei, vom prefera s˘a utiliz˘am coordonate omogene, ceea ce ˆınseamn˘a c˘a matricea scal˘arii se va scrie (utiliz˘am aceeas¸i notat¸ie!):

S(sx, sy) =





sx 0 0

0 sy 0

0 0 1



. (1.4.3)

Exemplul 1.1. Pentru exemplificare, vom considera, din nou, patrulaterul studiat ˆın cazul translat¸iei, ABCD, cuA(0.5,3), B(1,1), C(2,0.5), D(3,2.5)s¸i ˆıi vom aplica, de data aceasta, o scalare de factori s_x= 2, s_y = 1.5. Conform relat¸iei (1.4.2), imaginile vˆarfurilor patrulaterului vor fi date de

A⁰ B⁰ C⁰ D⁰

=





2 0 0

0 1.5 0

0 0 1









0.5 1 2 3 3 1 0.5 2.5

1 1 1 1



=





1 2 4 6

4.5 1.5 0.75 3.75

1 1 1 1



.

Figura original˘a s¸i rezultatul scal˘arii, ˆımpreun˘a cu modul ˆın care scalarea act¸ioneaz˘a asupra vectorilor de pozit¸ie, poti fi v˘azute ˆın figura 1.1.

1 2 3 4 y 5

1 2 3 4 5

x O

Figura 1.2: O scalare de factori(2,1.5)

(10)

Observat¸ie. Urm˘atoarele observat¸ii sunt foarte us¸or de demonstrat s¸i sunt l˘asate ˆın grija cititorului:

(i) Orice scalare S(s_x, s_y) este inversabil˘a, iar inversa ei este S(1/s_x,1/s_y) (prin urmare este tot o scalare).

(ii) Mult¸imea tuturor scal˘arilor formeaz˘a, ˆın raport cu compunerea aplicat¸iilor, un grup (comutativ), ˆın care elementul neutru este aplicat¸ia identic˘a (adic˘aS(1,1)).

(iii) Scalareanueste, de obicei, o izometrie (distant¸a dintre puncte se modific˘a) ceea ce are ca efect, ˆın particular, modificarea formei s¸i a dimensiunilor unei figuri geometrice prin aplicarea unei scal˘ari.

1.5 Reflexiile ˆın raport cu axele de coordonate

Reflexiile fat¸˘a de axele de coordonate sunt dou˘a aplicat¸ii,R_x,R_y :R² →R², care asociaz˘a, fiecare dintre ele, unui punctA(x, y), simetricul punctului fat¸˘a de axa de coordonate corespunz˘atoare.

S˘a ˆıncepem cuRx. Aceast˘a aplicat¸ie asociaz˘a, dup˘a cum spuneam, fiec˘arui punctA(x, y)simetricul s˘au relativ la axaOx. Este us¸or de v˘azut c˘a simetricul luiAva fi punctulA⁰(x,−y), as¸adarR_x(x, y) = (x,−y). Rezult˘a, de asemenea, imediat, c˘aRy(x, y) = (x,−y). Ca s¸i ˆın cazul scal˘arii, este us¸or de

1 2 3 y 4

−3 −2 −1 1 2 3

x O

Figura 1.3: Un patrulaterABCDs¸i reflexia sa fat¸˘a de axaOy,A⁰B⁰C⁰D⁰

constatat c˘aR_x s¸iR_y sunt aplicat¸ii liniare. Matricile lor fat¸˘a de baza canonic˘a a luiR² sunt foarte us¸or de determinat. Avem

R_x(1,0) = (1,0), R_x(0,1) = (0,−1), prin urmare, matricea luiRx(notat˘a cu acelas¸i simbol), va fi

Rx=

1 0 0 −1

(1.5.1)

(11)

1.6. Rotat¸ia ˆın jurul originii 11 sau, ˆın coordonate omogene:

R_x =





1 0 0

0 −1 0

0 0 1



, (1.5.2)

ceea ce ˆınseamn˘a c˘a forma matriceal˘a a luiRxse va scrie:

x⁰ y⁰

=

1 0 0 −1

x y

(1.5.3) sau, ˆın coordonate omogene,



 x⁰ y⁰ 1



=





1 0 0

0 −1 0

0 0 1







 x y 1



. (1.5.4)

Exact la fel, matricea luiR_yva fi

Ry =

−1 0 0 1

, (1.5.5)

sau, ˆın coordonate omogene:

Ry =





−1 0 0 0 1 0 0 0 1



, (1.5.6)

iar forma matriceal˘a a acestei transform˘ari se va scrie:

x⁰ y⁰

=

−1 0 0 1

x y



 x⁰ y⁰ 1



=





−1 0 0 0 1 0 0 0 1







 x y 1



. (1.5.8)

ˆIn figura 1.5 se observ˘a cum act¸ioneaz˘a reflexia Ry asupra unui patrulater. Este clar, din figur˘a, c˘a act¸iunea este, de fapt, asupra vectorilor de pozit¸ie ale punctelor patrulaterului.

1.6 Rotat¸ia ˆın jurul originii

Rotat¸ia ˆın plan ˆın jurul originii, cu un unghi θ, este o transformare geometric˘aRot_θ : R² → R² care asociaz˘a unui punctP din plan un punctP⁰astfel ˆıncˆat unghiulP OP\⁰ s˘a fie egal cu|θ|. Dac˘a unghiulθ este pozitiv, rotat¸ia se face ˆın sens trigonometric (ˆın sens opus mersului acelor de ceasornic), ˆın timp ce dac˘aθeste negativ, rotat¸ia se face ˆın sensul mersului acelor de ceasornic.

Problema pe care ne-o punem acum este ca, dac˘a se d˘a punctulP, prin coordonatele sale carteziene (x, y), s˘a determin˘am coordonatele carteziene(x⁰, y⁰)ale imaginii sale prin rotat¸ie, punctulP⁰.

(12)

1 2 3 y 4

−2 −1 1 2 3

x O

Figura 1.4: Rotat¸ia unui patrulater cu60^◦ˆın jurul originii S˘a presupunem c˘a unghiul pe care ˆıl formeaz˘a vectorul−−→

OP cu direct¸ia pozitiv˘a a axeiOxeste egal cuα. Fier =p

x²+y² – lungimea acestui vector. Este clar c˘a unghiul dintre−−→

OP⁰s¸i direct¸ia pozitiv˘a a axeiOxeste egal cuα+θ. Cum este clar c˘ak−−→

OP⁰k=k−−→OPk=r, avem x⁰ =rcos(α+θ) =r(cosαcosθ−sinαsinθ) y⁰ =rsin(α+θ) =r(sinαcosθ+ cosαsinθ) sau, ˆınc˘a,

x⁰ = (rcosα)

| {z }

=x

cosθ−(rsinα)

| {z }

=y

sinθ y⁰ = (rcosα)

| {z }

=x

sinθ+ (rsinα)

| {z }

=y

cosθ adic˘a, ˆın cele din urm˘a,

(x⁰ =xcosθ−ysinθ

y⁰=xsinθ+ycosθ . (1.6.1)

ˆIn format matricial, transformarea de mai sus se poate scrie sub forma x⁰

y⁰

=

cosθ −sinθ sinθ cosθ

x y

(1.6.2) Dac˘a not˘am matricea transform˘ariiRot(θ) cu acelas¸i simbol, adic˘a

Rot(θ) =

cosθ −sinθ sinθ cosθ

, (1.6.3)

(13)

1.7. Forfecarea fat¸˘a de origine 13 atunci rotat¸ia ˆın plan de unghiθˆın jurul originii se poate scrie sub forma

x⁰ y⁰

= Rot(θ)· x

y

(1.6.4) Matricea omogen˘a a rotat¸ie se obt¸ine us¸or, prin bordare, s¸i rezult˘a (folosim aceeas¸i notat¸ie)

Rot(θ) =





cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ 0

0 0 1



, (1.6.5)

1.7 Forfecarea fat¸˘a de origine

Consider˘am o direct¸ie ˆın plan, dat˘a de un versorv(vx, vy). Consider˘am, de asemenea, pentru fiecared num˘ar real pozitiv, dreptele`_d, de vector directorv, situate la distant¸adfat¸˘a de origine (dac˘adnu este zero, sunt dou˘a astfel de drepte). Oforfecarerelativ la origine, de factorrˆın direct¸iaveste transformarea care asociaz˘a unui punctP de pe`_dpunctul din plan de vector de pozit¸ier_P⁰ =rP +r·d·v.

FieP(x0, y0)un punct din plan. Dreapta care trece prinP s¸i are direct¸ia dat˘a devare ecuat¸ia (`d) : vyx−vxy+vxy0−vyx0= 0.

Distant¸adde la dreapt˘a la origine este egal˘a cu modulul termenului liber, pentru c˘a vectorul director al dreptei are lungimea 1, prin urmare, transformarea se va scrie

r_P⁰ =r_P +rdv= (x₀±r(v_xy₀−v_yx₀), x₀±r(v_xy₀−v_yx₀)) (1.7.1) sau, matricial,

x⁰ y⁰

=

1∓r·v_xv_y ±r·v²_x

∓r·v²_y 1±r·vxvy

· x

y

(1.7.2) ˆIn ecuat¸ia (1.7.1) se alege semnul ˆın funct¸ie de dreapta`_dpe care se afl˘a punctul (am v˘azut mai sus c˘a sunt, ˆın general, dou˘a astfel de drepte, de o parte s¸i de alta a drepte`0). Dac˘a trecem de la o dreapt˘a la alta, sensul mis¸c˘arii de-a lungul dreptei se inverseaz˘a. Pentru fixarea ideilor, alegem semnul+. Atunci matricea (cartezian˘a) a transform˘arii se va scrie

Sh(v, r) =

1−r·v_xv_y r·v_x²

−r·v²_y 1 +r·vxvy

Sh(v, r) =





1−r·vxvy r·v²_x 0

−r·v_y² 1 +r·v_xv_y 0

0 0 1



 (1.7.4)

(14)

1.8 Scalarea fat¸˘a de un punct oarecare

Fie P(x0, y0) un punct oarecare din plan. Pentru a efectua o scalare fat¸˘a de P, mut˘am punctul P ˆın origine, facem scalarea, apoi ˆıl mut˘am ˆınapoi. Prin urmare, matricea omogen˘a a scal˘arii se va scrie:

S_P(s_x, s_y) =T(x₀, y₀)·S(s_x, s_y)·T(−x₀,−y₀) =

=





1 0 x₀ 0 1 y0

0 0 1



·





s_x 0 0 0 sy 0

0 0 1



·





1 0 −x₀ 0 1 −y0

0 0 1



=

=





s_x 0 (1−s_x)x₀ 0 sy (1−sy)y0

0 0 1



.

1 2 3 y 4

−2 −1 1 2 3 4

x O

Figura 1.5: Scalarea unui patrulater, de factori de scal˘a(2,1.5), relativ la punctulM(2,2)

1.9 Rotat¸ia fat¸˘a un punct oarecare

FieP(x₀, y₀)un punct oarecare din plan. Pentru a efectua o rotat¸ie ˆın jurul luiP, mut˘am punctulPˆın origine, facem rotat¸ia, apoi ˆıl mut˘am ˆınapoi. Prin urmare, matricea omogen˘a a rotat¸iei se va scrie:

Rot_P(θ) =T(x₀, y₀)·Rot(θ)·T(−x₀,−y₀) =

=





1 0 x0

0 1 y₀ 0 0 1



·





0 0 1



·





1 0 −x0

0 1 −y₀

0 0 1



=

=





cosθ −sinθ x0(1−cosθ) +y0sinθ sinθ cosθ −x₀sinθ+y₀(1−cosθ)

0 0 1



.

(15)

1.10. Reflexia fat¸˘a de o dreapt˘a oarecare 15

1 2 3 y 4

1 2 3 4

x O

Figura 1.6: Rotat¸ia unui patrulater, de unghi60^◦, relativ la punctulM(2,2)

1.10 Reflexia fat¸˘a de o dreapt˘a oarecare

Ideea, de data aceasta, este transform˘am dreapta de reflexie ˆıntr-una dintre axele de coordonate, s˘a facem reflexia fat¸˘a de axa pe care am ales-o, apoi s˘a aducem ˆınapoi dreapta ˆın pozit¸ia init¸ial˘a. Fie, prin urmare, o dreapt˘a∆, dat˘a prin ecuat¸ia general˘a,

(∆) : ax+by+c= 0.

Dac˘a axa de reflexie este vertical˘a (adic˘ab= 0), atunci facem o translat¸ie de vector(c/a,0), urmatˆa de reflexia fat¸˘a deOys¸i de translat¸ia invers˘a, adic˘a avem:

R_∆=T(−c/a,0)·R_y ·T(c/a,0) =

=





1 0 −c/a

0 1 0

0 0 1



·





−1 0 0 0 1 0 0 0 1



·





1 0 c/a 0 1 0 0 0 1



=





−1 0 −2c/a

0 1 0

0 0 1



.

Presupunem, acum, c˘ab6= 0. Execut˘am urm˘atoarele operat¸ii:

1) Facem o translat¸ie de vector(0, c/b), care transform! axa de reflexie ˆıntr-o dreapt˘a∆⁰, paralel˘a cu ea, care trece prin origine.

2) Panta dreptei∆(deci s¸i a lui∆⁰) este

tgθ=−a b.

Facem, prin urmare, o rotat¸ie de unghi−θˆın jurul originii, rotat¸ie dup˘a care dreapta∆⁰se transform˘a ˆın axaOx.

(16)

1 2 3 4 y 5

−1 1 2 3

x O

Figura 1.7: Reflexia unui patrulater fat¸˘a de dreaptay=x+ 1

3) Aplic˘am reflexia relativ la axaOx.

4) Aplic˘am rotat¸ia de unghiθ.

5) Aplic˘am translat¸ia de vector(0,−c/b).

ˆInainte de a scrie matricea, remarc˘am c˘a, din moment cetgθ=−a/b, se obt¸ine imediat c˘a

sinθ= a

√a²+b², cosθ=− b

√a²+b².

(17)

1.11. Forfecarea relativ la un punct oarecare 17 Prin urmare, transformarea c˘autat˘a este

R_∆=T 0,−c

b

·Rot(θ)·R_x·Rot(−θ)·T(0,−c b) =

=





1 0 0 0 1 −^c_b 0 0 1



·





0 0 1



·





1 0 0

0 −1 0

0 0 1



·

·





cosθ sinθ 0

−sinθ cosθ 0

0 0 1



·





1 0 0 0 1 ^c_b 0 0 1



=

=





cos²θ−sin²θ 2 sinθcosθ 2^c_bsinθcosθ 2 sinθcosθ sin²θ−cos²θ ^c_b(sin²θ−cos²θ−1)

0 0 1



=

=







b²−a²

a²+b² −_a²^2ab_+b² −_a²^2ac_+b²

−_a²^2ab_+b² −^b_a²²^−a_+b²² −_a²^2bc_+b²

0 0 1







1.11 Forfecarea relativ la un punct oarecare

Ca ˆın cazul tuturor transform˘arilor plane relativ la un punct, s¸i aici transformarea se obt¸ine cu ajutorul unor translat¸ii.

FieP(x₀, y₀)un punct oarecare din plan. Forfecarea rela tiv laP se obt¸ine ˆın trei pas¸i: se aduceP ˆın origine, se face transformarea relativ la origine s¸i se aduceP ˆınapoi. Prin urmare, vom avea:

ShP(v, r) =T(x0, y0)·Sh(v, r)·T(−x0,−y0) =

=





1 0 x₀ 0 1 y₀ 0 0 1



·





1−rv_xv_y rv_y² 0

−rv_x² 1 +rvxvy 0

0 0 1



·





1 0 −x₀ 0 1 −y₀

0 0 1



=

=





1−rv_xv_y rv_y² rv_x(v_y·x−v_x·y)

−rv_x² 1 +rvxvy rvyx(vy·x−vx·y)

0 0 1



.

1.12 Probleme

ˆIn lista de probleme de mai jos, triunghiulABCare vˆarfurileA(1,1),B(4,1),C(2,3). Reprezentat¸i, de fiecare dat˘a, pe aceeas¸i figur˘a, triunghiul init¸ial s¸i imaginea sa.

Problema 1.1. Determinat¸i imaginea triunghiuluiABCprintr-o rotat¸ie de unghi30^◦ˆın jurul punctului Q(2,2), urmat˘a de o translat¸ie de vector(1,2). Aplicat¸i apoi transform˘arile ˆın ordine invers˘a.

Problema 1.2. Determinat¸i imaginea triunghiuluiABC printr-o scalare uniform˘a de factor de scal˘a 2 relativ la punctulQ(2,2).

(18)

Problema 1.3. Determinat¸i imaginea triunghiuluiABC printr-o scalare neuniform˘a, de factori de scal˘a (2,1), relativ la punctulQ(2,2).

Problema 1.4. Determinat¸i imaginea triunghiuluiABC printr-o forfecare de factor1, relativ la punctul Q(2,2), ˆın direct¸ia vectoruluiv(2,1).

Problema 1.5. Determinat¸i imaginea triunghiuluiABC prin reflexia relativ la dreapta2x+ 3y−5 = 0.

Problema 1.6. Determinat¸i imaginea triunghiuluiABCprin reflexia relativ la dreaptaAB.

Problema 1.7. Determinat¸i imaginea triunghiuluiABCprin reflexia relativ la dreaptaBC, urmat˘a de o forfecare, factor√

3/3, relativ la punctulA, ˆın direct¸ia vectoruluiv(1,1).

Problema 1.8. Determinat¸i imaginea triunghiuluiABC prin rotat¸ia cu90^◦ˆın jurul punctuluiC, urmat˘a de reflexia relativ la dreaptaAB.

Problema 1.9. Determinat¸i imaginea triunghiuluiABCprin scalarea neuniform˘a de factori(1,2)relativ la punctulB, urmat˘a de o rotat¸ie de30^◦ˆın jurul punctuluiQ(1,1).

(19)

CAPITOLUL 2

Transform ˘ari geometrice ˆın spat¸iu

2.1 Convent¸ii

ˆIn cele ce urmeaz˘a, punctele s¸i vectorii, reprezentate prin coordonatele (respectiv componentele) lor relativ la un sistem de coordonate vor fi considerat¸i matrici 1-dimensionale, ale c˘aror elementele sunt coordonatele (componentele) punctelor, respectiv vectorilor. Transform˘arile vor fi reprezentate, de la bun ˆınceput, ˆın coordonate omogene.

2.2 Scalarea

Transformarea prin scalare se obt¸ine, analog cu ceea ce se ˆıntˆampl˘a ˆın plan, plasˆand factorii de scalare pe diagonala principal˘a a matricii de transformare. Astfel, transformarea se va scrie:





 x⁰ y⁰ z⁰ 1







=







sx 0 0 0

0 s_y 0 0 0 0 s_z 0

0 0 0 1





·





 x y z 1







sau, dac˘a utiliz˘am coordonate omogene oarecare pentru puncte,





 X⁰ Y⁰ Z⁰ W⁰







=







S_x 0 0 0

0 Sy 0 0 0 0 Sz 0

0 0 0 S_W





·





 X Y Z W





 .

Toate numerelesx, sy, sz(s¸i variantele lor omogene) trebuie s˘a fie strict pozitive.

19

(20)

20 Capitolul 2. Transform˘ari geometrice ˆın spat¸iu

2.3 Translat¸ia

Analog cu cazul plan, ˆın spat¸iu translat¸ia de vector(h, k, l)asociaz˘a unui punct de coordonate(x, y, z) punctul de coordonate

(x⁰, y⁰, z⁰) = (x, y, z) + (h, k, l).

ˆIn coordonate omogene, aceast˘a transformare se poate scrie matricial ca





 x⁰ y⁰ z⁰ 1







=







1 0 0 h 0 1 0 k 0 0 1 l 0 0 0 1





·





 x y z 1







sau, ˆın coordonate omogene oarecare,





 X⁰ Y⁰ Z⁰ W⁰







=







1 0 0 H 0 1 0 K 0 0 1 L

0 0 0 M





·





 X Y Z W





 ,

cuM 6= 0.

2.4 Reflexiile fat¸˘a de planele de coordonate

Reflexiile fat¸˘a de planele de coordonate, ˆın spat¸iu, sunt analoage cu reflexiile fat¸˘a de axele de coordonate ˆın plan.

Este us¸or de constatat c˘a o simetrie fat¸˘a de planulxOy, aplicat˘a unui punct de coordonate(x, y, z), are ca efect schimbarea semnului celei de-a treia coordonate:





 x⁰ =x, y⁰=y, z⁰ =−z sau, matricial, ˆın coordonate omogene canonice,





 x⁰ y⁰ z⁰ 1







=







1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 1





·





 x y z 1





 .

Matricea

R_xy =







1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 1







(21)

2.5. Rotat¸iile fat¸˘a de axele de coordonate 21 este matricea reflexiei fat¸˘a de planulxOy. ˆIn mod analog, pentru reflexiile fat¸˘a de celelalte dou˘a plane de coordonate sunt:

R_yz=







−1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1





 ,

pentru reflexia fat¸˘a de planulyOz, respectiv

R_xz=







1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1





 ,

pentru reflexia fat¸˘a de planulxOz.

2.5 Rotat¸iile fat¸˘a de axele de coordonate

ˆIn spat¸iu, rotat¸iile se produc ˆın jurul unor axe, as¸a cum rotat¸iile plane se produc ˆın jurul unor puncte. Se poate demonstra c˘a o rotat¸ie ˆın jurul unei axe oarecare care trece prin origine se poate scrie ca un produs de rotat¸ii ˆın jurul axelor de coordonate, de aceea ne ocup˘am, mai ˆıntˆai de aceste rotat¸ii particulare.

Este us¸or de constatat c˘a dac˘a facem o rotat¸ie de unghiθxˆın jurul axeiOx, atunci efectul asupra unui punct de coordonate(x, y, z)este c˘a coordonataxnu se modific˘a, ˆın timp ce celelalte dou˘a coordonate se modific˘a as¸a cum s-ar ˆıntˆampla dac˘a am roti punctul (y, z) cu unghiulθx, ˆın planulyOz, ˆın jurul originii. Prin urmare, formulele de transformare sunt





 x⁰ =x,

y⁰ =ycosθ_x−zsinθ_x, z⁰ =ysinθ_x+zcosθ_x. ˆIn coordonate omogene, matricial, transformarea se va scrie, atunci,





 x⁰ y⁰ z⁰ 1







=







1 0 0 0

0 cosθx −sinθx 0 0 sinθx cosθx 0

0 0 0 1





·





 x y z 1





 .

Deci matricea unei rotat¸ii de unghiθxˆın jurul axeiOxeste

Rot_x(θ_x) =







1 0 0 0

0 cosθ_x −sinθ_x 0 0 sinθx cosθx 0

0 0 0 1





 .

Rotat¸ia cu un unghiθ_y relativ la axaOyeste put¸in diferit˘a fat¸˘a de rotat¸ia ˆın jurul axeiOx. Motivul este lesne de ˆınt¸eles. Judecˆand ca s¸i ˆın cazul rotat¸iei ˆın jurul axeiOx, este clar c˘ayr˘amˆane constant, ˆın

(22)

timp cexs¸izse transform˘a ca s¸i cum punctului(z, x)din planulzOxi s-ar aplica o rotat¸ie de unghiθ_y ˆın jurul originii ˆın planulzOy. Prin urmare, vom avea (ordinea coordonatelor este, ˆın mod intent¸ionat, schimbat˘a):





 y⁰ =y,

z⁰=zcosθy−xsinθy, x⁰=zsinθ_y+xcosθ_y. Dac˘a “restaur˘am” ordinea coordonatelor, vom obt¸ine:







x⁰ =xcosθ_y+zsinθ_y, y⁰ =y,

z⁰=−xsinθy+zcosθy.

ˆIn fine, dac˘a transcriem relat¸ile de mai sus ˆın form˘a matricial˘a, ˆın coordonate omogene, se obt¸ine:





 x⁰ y⁰ z⁰ 1







=







cosθ_y 0 sinθ_y 0

0 1 0 0

−sinθ_y 0 cosθ_y 0

0 0 0 1





·





 x y z 1





 .

As¸adar, matricea unei rotat¸ii de unghiθyˆın jurul axeiOyeste dat˘a de

Rot_y(θ_y) =







cosθy 0 sinθy 0

0 1 0 0

−sinθy 0 cosθy 0

0 0 0 1





 .

ˆIn fine, dac˘a aplic˘am o rotat¸ie de unghiθ_zˆın jurul axeiOzunui punct de coordonate(x, y, z), atunci a) coordonatazr˘amˆane neschimbat˘a;

b) coordonatelexs¸iyse schimb˘a ca s¸i cum punctul de coordonate(x, y)ar face o rotat¸ie de unghiθzˆın jurul originii planuluixOy, ˆın acest plan,

adic˘a







x⁰ =xcosθ_z−ysinθ_z, y⁰ =xsinθ_z+ycosθ_z, z⁰=z.

Matricial, ˆın coordonate omogene, avem legea de transformare





 x⁰ y⁰ z⁰ 1







=







cosθz −sinθz 0 0 sinθ_z cosθ_z 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1





·





 x y z 1





 .

Prin urmare, matricea unei rotat¸ii fat¸˘a de axaOz, de unghiθ_zeste

Rot_z(θ_z) =







cosθz −sinθz 0 0 sinθ_z cosθ_z 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1





 .

(23)

2.6. Rotat¸ii fat¸˘a de axe oarecare 23

2.6 Rotat¸ii fat¸˘a de axe oarecare

Atunci cˆand trebuie s˘a facem o rotat¸ie de unghiθfat¸˘a de o dreapt˘a oarecare, ceea ce avem de f˘acut este s˘a transform˘am dreapta astfel ˆıncˆat ea s˘a ajung˘a s˘a coincid˘a cu una dintre axele de coordonate, s˘a efectu˘am rotat¸ia cerut˘a ˆın jurul acelei axe, apoi s˘a aducem ˆınapoi dreapta ˆın pozit¸ia sa init¸ial˘a.

S˘a presupunem, prin urmare, c˘a axa de rotat¸ie este dat˘a de un punctP(x0, y0, z0)s¸i un versor director w(w_x, w_y, w_z).

Atunci rotat¸ia se produce ˆın modul urm˘ator.

1) Facem, mai ˆıntˆai o translat¸ieT(−x₀,−y₀,−z₀). Aceast˘a translat¸ie duce dreaptaA₁A₂ˆıntr-o dreapt˘a paralel˘a cu ea s¸i care trece prin origine. Dac˘a, cumva, versorul w este paralel cu axa Ox (adic˘a w_y =w_z = 0), atunci matricea de rotat¸ie este, pur s¸i simplu,

T(x0, y0, z0) Rotx(θ)T(−x0,−y0,−z06).

Analog stau lucrurile dac˘aweste paralel cu una dintre celelalte dou˘a axe de coordonate.

2) Presupunem acum c˘awy s¸iwz nu se anuleaz˘a simultan. Aplic˘am o rotat¸ie de unghiθxˆın jurul axei Oxastfel ˆıncˆat, dup˘a efectuarea rotat¸iei, axa de rotat¸ie s˘a ajung˘a ˆın planulxOz. Proiect˘am, mai ˆıntˆai, versorulwpe planulyOz. Vectorul obt¸inut va fiw₁(0, w_y, w_z). Unghiul pe care ˆıl facewcu planul xOzeste unghiul pe care ˆıl facew1cu axaOz. Avem, prin urmare,

sinθ_x = w_y q

w²_y+w²_z

, cosθ_x = w_z q

w²_y+w_z² .

3) Fiew2imaginea vectoruluiwprin rotat¸ia de la punctul precedent. Atunci w₂ =w₂

w_x,0, q

w²_y+w²_z ,

prin urmare, dac˘a not˘am cuθ_yunghiul format dew₂cu axaOz, funct¸iile trigonometrice ale unghiului θysunt

cosθ_y = q

w²_y+w_y², sinθ_y =w_x.

Trebuie precizat c˘a, pentru a suprapunew2 pestektrebuie s˘a rotim acest vector ˆın jurul axeiOycu

−θ_y, nu cuθ_y(pentru c˘a reperulxOzeste stˆang).

4) Efectu˘am rotat¸ia de unghiθ, ˆın jurul axeiOz, 5) Rotim cuθ_yˆın jurul axeiOy.

6) Rotim cu−θ_xˆın jurul axeiOx.

7) Aplic˘am translat¸iaT(x0, y0, z0).

Prin urmare, transformarea va fi

Rot∆(θ) =T(x0, y0, z0)·Rotx(−θx)·Roty(θy)·Rotz(θ)·Roty(−θy)·Rotx(θx)·T(−x0,−y0,−z0)

(24)

24 Capitolul 2. Transform˘ari geometrice ˆın spat¸iu sau

Rot_∆(θ) =







1 0 0 x0

0 1 0 y₀ 0 0 0 z0

0 0 0 1





·







1 0 0 0

0 w_z

q

w²_y+w²_z

wy

q

w_y²+w²_z 0 0 − w_y

q

w²_y+w_z²

wz

q

w_y²+w²_z 0

0 0 0 1







·





 q

w_y²+w_z² 0 w_x 0

0 1 0 0

−wx 0 q

w²_y+w_z² 0

0 0 0 1







·







cosθ −sinθ 0 0 sinθ cosθ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1





·

·





 q

w_y²+w_z² 0 −wx 0

0 1 0 0

w_x 0 q

w²_y+w_z² 0

0 0 0 1







·







1 0 0 0

0 w_z

q

w_y²+w²_z − w_y q

w²_y+w²_z 0

0 wy

q

w_y²+w²_z

w_z q

w_y²+w_z² 0

0 0 0 1







·







1 0 0 −x0

0 1 0 −y₀ 0 0 0 −z0

0 0 0 1





 .

Ca un exemplu, s˘a determin˘am matricea unei rotat¸ii de30^◦ˆın jurul dreptei x = y = z. ˆIn acest caz, versorul director al axei de rotat¸ie este

w=

√3 3 ,

√3 3

! .

Axa de rotat¸ie trece prin origine, astfel c˘a nu avem nevoie de cele dou˘a translat¸ii. Funct¸iile trigonometrice ale unghiurilorθx, θy, θsunt, ˆın acest caz,

cosθ_x =

√2

2 , sinθ_x =

√2 2 , cosθ_y =

√6

3 , sinθ_y =

√3 3 , cosθ=

√3

2 , sinθ= 1 2.

(25)

2.7. Scalarea fat¸˘a de un punct oarecare 25 Prin urmare, descompunerea matricei de rotat¸ie va fi

Rot_∆(θ) =







1 0 0 0

0

√2 2

√2 2 0 0 −

√2 2

√2 2 0

0 0 0 1







·







√6

3 0

√3

3 0

0 1 0 0

−

√3

3 0

√6

3 0

0 0 0 1







·







√3 2 −1

2 0 0 1

2

√3

2 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1







·







√6

3 0 −

√3 3 0

0 1 0 0

√3 3 0

√6

3 0

0 0 0 1







·







1 0 0 0

0

√2

2 −

√2

2 0

0

√2 2

√2

2 0

0 0 0 1







2.7 Scalarea fat¸˘a de un punct oarecare

Fiesx, sy, sz trei numere reale nenule s¸iP(x0, yo, z0)un punct fixat. Pentru a face o scalare de factori de scal˘a (s_x, s_y, s_z) relativ la punctul P, aplic˘am o translat¸ie care aduce punctul P ˆın origine, facem scalarea de factorii indicat¸i relativ la origine, apoi aplic˘am translat¸ia care aduce ˆınapoi punctul P ˆın pozit¸ia init¸ial˘a. Avem, cu alte cuvinte,

S_P(s_x, s_y, s_z) =T(x₀, y₀, z₀)·S(s_x, s_y, s_z)·T(−x₀,−y₀,−z₀) =

=







1 0 0 x0

0 1 0 y0

0 0 1 z₀ 0 0 0 1





·







sx 0 0 0

0 sy 0 0 0 0 s_z 0

0 0 0 1





·







1 0 0 −x0

0 1 0 −y0

0 0 1 −z₀

0 0 0 1







=







sx 0 0 (1−sx)x0

0 s_y 0 (1−s_y)y₀ 0 0 sz (1−sz)z0

0 0 0 1







2.8 Reflexia fat¸˘a de un plan oarecare

Ideea, ˆın cazul reflexiei relativ la un plan oarecare, este foarte asem˘an˘atoare cu cea din cazul rotat¸iei ˆın jurul unei axe oarecare. ˆIntr-adev˘ar, s˘a presupunem c˘a planul nostru este dat prin versorul normal n = (n_x.n_y, n_z) s¸i printr-un punct al s˘au, fie el P(x₀, y₀, z₀). Noi s¸tim s˘a facem reflexiile fat¸˘a de planele de coordonate, prin urmare intent¸ia este s˘a transform˘am planul de rotat¸ie ˆıntr-unul dintre aceste plane. ˆIn acest scop, trebuie s˘a ˆındeplinim dou˘a condit¸ii:

(26)

• planul de reflexie trebuie transformat ˆıntr-un plan care trece prin origine;

• versorul normal trebuie transformat ˆıntr-un versor de coordonate.

Dac˘a cumva planul de reflexie este deja paralel cu unul dintre planele de coordonate (s˘a zicemxOy), atuncineste, deja, egal cuk, prin urmare reflexia fat¸˘a de planulΠare o form˘a foarte simpl˘a:

R_Π=T(x₀, y₀, z₀)·R_xy·T(−x₀,−y₀,−z₀) =

=







1 0 0 x0

0 1 0 y0

0 0 1 z₀ 0 0 0 1





·







1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 1





·







1 0 0 −x0

0 1 0 −y0

0 0 1 −z₀

0 0 0 1







=







1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 2z₀

0 0 0 1







Dac˘aΠnu este paralel cu nici unul dintre planele de coordonate, atunci:

1) facem ˆıntˆai translat¸iaT(−x₀,−y₀,−z₀)astfel ˆıncˆat planul s˘a treac˘a prin origine;

2) facem o rotat¸ie de unghiθxˆın jurul axeiOx, astfel ˆıncât planulΠs˘a treac˘a prin axaOy(sau, ceea ce este acelas¸i lucru, astfel ˆıncât, astfel ˆıncât versorul normal s˘a ajung˘a ˆın planulxOz);

3) facem o rotat¸ie de unghi −θ_y ˆın jurul axeiOy astfel ˆıncˆıt planul de reflexie s˘a se suprapun˘a oeste planulxOy(adic˘ans˘a ajung˘a s˘a coincid˘a cuk);

4) facem reflexia fat¸˘a de planulxOy;

5) aplic˘am inversele transform˘arilor 1)–3), luate ˆın ordine invers˘a.

Unghiurileθxs¸iθysuntaceleas¸icu care rotim versorul director al axei ˆın cazul rotat¸iei ˆın jurul unei axe arbitrare, adic˘a avem:

sinθ_x= n_y q

n²_y+n²_z

, cosθ_x = n_z q

n²_y+n²_z ,

respectiv

cosθy = q

n²_y+n²_y, sinθy =nx. As¸adar, matricea reflexiei fat¸˘a de planulΠeste

RΠ=T(x0, y0, z0)·Rotx(−θx)·Roty(θy)·Rxy·Roty(−θy)·Rotx(θx)·T(−x0,−y0,−z0)

(27)

2.8. Reflexia fat¸˘a de un plan oarecare 27 sau

R_Π=







1 0 0 x0

0 1 0 y0

0 0 0 z₀ 0 0 0 1





·







1 0 0 0

0 nz

q

n²_y+n²_z

ny

q

n²_y+n²_z 0 0 − n_y

q

n²_y+n²_z

n_z q

n²_y+n²_z 0

0 0 0 1







·





 q

n²_y+n²_z 0 n_x 0

0 1 0 0

−n_x 0 q

n²_y+n²_z 0

0 0 0 1







·







1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 1





·

·





 q

n²_y+n²_z 0 −n_x 0

0 1 0 0

nx 0 q

n²_y+n²_z 0

0 0 0 1







·







1 0 0 0

0 n_z

q

n²_y +n²_z − n_y q

n²_y+n²_z 0

0 ny

q

n²_y +n²_z

nz

q

n²_y+n²_z 0

0 0 0 1







·







1 0 0 −x0

0 1 0 −y0

0 0 0 −z₀

0 0 0 1





 .

Exemple. a) S˘a determin˘am matricea reflexiei fat¸˘a de planul Π : x+ 2y−3z+ 1 = 0.

Determin˘am, mai ˆıntˆai, un punct din plan. Dac˘a punemy =z= 0, obt¸inem, imediat,x =−1, prin urmare am obt¸inut punctulP(x0, y0, z0)≡P(0,0,−1). Mai departe, determin˘am un vector normal la plan. Fie elN(1,2,−3). Atunci versorul normal la plan corespunz˘ator va fi

n=n 1

√14, 2

√14,− 3

√14

.

Calcul˘am acum funct¸iile trigonometrice ale unghiurilorθxs¸iθy. Dup˘a cum am v˘azut mai sus, avem sinθ_x= n_y

q

n²_y+n²_z

=

√2 14

q4 14+₁₄⁹

= 2

√13,

cosθx= nz

q

n²_y+n²_z

= −^√³₁₄ q4

14+₁₄⁹

=− 3

√13,

(28)

sinθy =nx= 1

√14, cosθy = q

n²_y+n²_z=

√13

√14. Prin urmare, utilizˆand formula de mai sus, matricea transform˘arii va fi

RΠ=







1 0 0 −1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1





·







1 0 0 0

0 − 3

√13

√2 13 0 0 − 2

√13 − 3

√13 0

0 0 0 1







·







√13

√14 0 1

√14 0

0 1 0 0

− 1

√14 0

√13

√14 0

0 0 0 1







·







1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 1





·

·







√13

√14 0 − 1

√14 0

0 1 0 0

√1 14 0

√13

√14 0

0 0 0 1







·







1 0 0 0

0 − 3

√13 − 2

√13 0

0 2

√13 − 3

√13 0

0 0 0 1







·







1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1





 .

b) Vom determina acum matricea reflexiei fat¸˘a de planul Π : x−y+ 1 = 0.

Remarc˘am, imediat, c˘a acest plan este paralel cu axa Oz. Constat˘am cu us¸urint¸˘a c˘a, de exemplu, punctulP(0,1,0)apart¸ine planului, iar ˆın calitate de versor al normalei planului putem lua vectorul

n=n 1

√2,− 1

√2,0

.

Funct¸iile trigonometrice ale unghiurilorθxs¸iθy sunt sinθx = ny

q

n²_y+n²_z

= 1,

(29)

2.9. Probleme 29 cosθ_x= n_z

q

n²_y+n²_z

= 0

sinθ_y =n_x= 1

√2, cosθ_y =q

n²_y+n²_z= 1

√2,

prin urmare primul unghi este de90^◦, iar al doilea este de45^◦. Procedˆand ca la exemplul precedent, obt¸inem

R_Π=







1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1





·







1 0 0 0

0 0 1 0

0 −1 0 0

0 0 0 1





·

·







√1

2 0 1

√2 0

0 1 0 0

− 1

√2 0 1

√2 0

0 0 0 1







·







1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 1





·

·







√1

2 0 − 1

√2 0

0 1 0 0

√1

2 0 1

√2 0

0 0 0 1







·







1 0 0 0

0 0 −1 0

0 1 0 0

0 0 0 1





·

·







1 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 1





 .

2.9 Probleme

ˆIn aceast˘a sect¸iune,ABC este triunghiul de vˆarfuriA(1,2,2),B(2,4,3),C(4,3,2).

Problema 2.1. Determinat¸i imaginea triunghiuluiABCprintr-o rotat¸ie de45^◦ˆın jurul dreptei care trece prin puncteleP(2,2,1)s¸iQ(1,1,1).

Problema 2.2. Determinat¸i imaginea triunghiuluiABCprintr-o rotat¸ie de30^◦ˆın jurul dreptei (∆) : x−1

2 = y−3

0 = z−2 2 .

(30)

Problema 2.3. Determinat¸i imaginea triunghiuluiABCprintr-o rotat¸ie de60^◦ˆın jurul dreptei (∆) :

(x−y+z−1 = 0, 2x+y = 0.

Problema 2.4. Determinat¸i imaginea triunghiului ABC printr-o scalare simpl˘a neuniform˘a, relativ la punctulQ(2,5,3), de factori de scal˘a(2,1,3).

Problema 2.5. Determinat¸i imaginea triunghiuluiABCprin reflexia fat¸˘a de planulx−y+ 2z−1 = 0.

Problema 2.6. Determinat¸i imaginea triunghiuluiABCprin reflexia fat¸˘a de planul care trece prin punc- teleO(0,0,0), P(1,1,1), Q(1,3,2).