View of Identifizierung des Zustandsparameters für viskoelastische Materialien (I)

tìfiVUXt D,AÞiAl,YSÐ l{Ltû/[li1Ì{QlJll tìî Illì'I{fiiORIIì Ðil í,',,{PP{ìOXI}l1r.TfÐEl .tr'oIttc 21, No l, tr91):, P¡r' ^tr5 -ilfl

IDENTITIZIERUNiG DI'S ZUSTANDSPARAMEI'ETìS ^trUR VISKOELASTISCHE I|'IATERIALIEN ^(I)

iI. 3l-'GGìSCII, l). I\{AZII-U uncl ÈI' W.EBtjIì (Iiall:;ru i',e)

SLartilìg lrom lhc r;clrci,itl sh'oss-strain l'elatioit lot'n Ujlcar viscoclastic ltralcrilrl, rvlliclt is itr ag""ernãut rvith the "Lu.irìciplo of irler'ì.ia", a ncw iclcnlilicatiolt ptocedttrc is proposcd. I¡steac[

oirnnrrr'ng- onc lonq-ranp¡e l.cÌaxalion cxpclitncnt, {ollolvirtg a sin¡1le snit¿rblv spcciiiirrì tlcfor- matioÌÌ hiúir;r.y, n;¿-Jcl,i¡.I chaitrctcl'iz¿rlion is rlono rrsing lltc <h'r¿r oI ll shol'l t'cllxaliotl expcri- rncnls foìlorring ;r rìiflc|crri: clclol'nralio¡r hisiorios. 'I'o intcÌpÌcL lhesc tllLl ^{¿r cli¡ocl.} lìon-iteral.ivc al¡,,orith¡r l:ns bccn clcvelopcd. Oorlpnlcd ^\1riLlì otìlùt' ¡lslÏrocls, fot cxitrnllc, ^cLlr'.'c ii t Ling by

uiing (iatrss'rncliìo[], l"[ìis cli;'ecL nrc[hoct is nutùoÌicrlly sl-ablc aild allow:j lì silnp]c clit'cct cv¿r-

ì.atìôtr o{ lhe cri.o¡ ¿Lle to t|c rrcattct'ins- oi crpet'irncntal clala, Thc tnothocl has llccn applicd to llìe del-eÌDìinaLio¡l oÏ tltc rcla.':atio¡r ^l ittlcs o-t {ìll rtnsaLlrlâtecl po1.','cstcl trtlterial.

Vû{Ètrå,¡OnT" Dìe all¡¡elìeine Si,rate¡4ie

fiir tlie

1'¿l,t'a-mel,erìcioirt,ifika-

tion

_¡¡ründ-et

sielt

^¿-r,tf cliò

Yclscbliftcn

^{1o1' ilûsihivistiiiohon llìnstcll'ung

in

^c'tei' Wissenschaft. Erns1,

I{ach, clor \rorhåmpÎer

^tìiele¡: Oìnsl,ellung, 'behauptci,

:

i ...

^clie \À/issenschafl,

habe \rûn_pliÌrziÌriell

bcebach-bbaren ^Da1,en íuszugehen

uird

cliese

nach

Rcgeln

rru(l

Gosctzü1 miteiÌlâlì{it;1' zu ver'lilläpfen.')

il¡iir

c1iö viskoela,stischen

l\{aterialicn sild

^tlÌ,,-' J¡tci;¿r,cltbbarcil jJara- rrlel,or ciie Verz,elrtrrìgen

uncl

d.ie Spannung'en.

In

^cler r.orliegenden

Ai'l¡eit

^-çvircl von folgenclen fl,e¡;cìir ¿md Gesefzen

Gebr

^:

labhä,ngighoiten.

Ðas isl, ein

Grulac{¡,'rìnzip, welches clap

jeil':

Abir:i,ngigkoiterr sich

urit Lliifc rler

momen-

clcr

:r.ergau!îenen

$/erbe der

ver'ìimi'pfbcn Farameter au-sclriichen

l¿i9t.

Xii-ii'-vishoelastische

lfat,ei'u'¡Iicn lillrlttrt

solcho Ätrhd,ng'igkeitett

e(¿)

: ,(í*) _",t*

:(¿) =-

-(,:

-)

2.Ðie ^{Annahme cler}

Lineari.Li¡t

uncl Stetigkeii

cler' .ìl'uriklic'r-l:,Ì1ú

ø odcr ^g.

ll.

Das

lìiesz-Fréchel,-Theoretn er'l:;r,ubt

tlie

anaiy+,ische

llär'',tl'iìulg

16

ÌI.

Iltrggisch, P. Mazilu und FI. Weber

i.,.ritctt l'lli-llcl'

und

llloiben Íìuoh darìu.

Ì:iull, r'ern

die Verzer:'ung- f,st'escliìyirÌdigkeiten

odel die

Spannung,^en

Null

sind.

-,hufglunrl dieser ll,ogeln uncl Gesetze ha,nn rnan cirr Yer.fahren

e¡t-

'lvir,irclti, Ì'el(,he$

die Identifizierung

^a,ì

Llie

Grunclsl.cine c,irres solcheil lcle

lúi

rvrlrden von

Diilrring, Ilach

ur-rcl

}lertz

chen'[Jbr:rpriil'rins ciclr L¡'undamente tle

sourtrc.r'r¡,,.,. ¡¡u¡zc-.pte

cler l(ausalitilt,

TrügheJt,, Gleichzeitiglçeit und

!Vocbscln'illrurr¡¡s-Übertragung; h¿iben

I)üìrrin.g, I{ach untL l"tef¡z

clie -lÌ,ichtiinie,rr

lliil cillc

post-iletvtoitistrire

ilfechanjli

^ges(ì1 2t.

I)ie

(1t--tlarLìiengiì,rrge,

diel inr

i'olgenden

riargerlellt sincl,

$'urden

von

tiitrserr -[ticLrtlinien ^gepr'äg;t.

Ilcr

erste 4.bschnitt _der vorlie¡4elrclen Ar'oeiit rvidmet, sich cler

[Ìeoris der ineltialen liolstitutìr'systerne. ìiie

ü,llgemeìnc 'llheot'ie

rvird auf BoIt- zltann-\¡olterla -- ^lncl

^auf X{clvin-Yoi¡1t-ltdaterialien

mit

oCer ohne innere

Ir'¿¡l'r,ìtr

stet

angerverrclcl..

'I'herr¡iolnet-,h¿nische

Mr¡cìellvolsteÌiungen unter Áusuutzung

_der

Ortsagct'schen Eyirtinci,riall-¡eziehungen n"urclen

in

diese,m Abschnitl, l¡er'ü- tii"qichl;igt.

[)er zri'eite AÌrschnitt

beschrtftigl,

sich nil, del llntersuchung

cler

()bjektivibät untl

<1cn ìsotropieeigenschatten

clcl

abgeleiteten I(ons1,i- t,ii1,ivg'oselze.

lrn dlif terr

,A.bsohnitt

wircl

clas .Problern cler Photoviskcetasiiz,il,¿i,t bel I'¿;,1'lrtc[,.

litr

lc1,z1;en ^1¡. l¡s<;lurit,t;

wird ein

lionlc'etes Y'erfalu'eir

für dje

Para- rnof <rli clclrtifih¿r,ticn präsentier-l,.

lJer

rtlsl,c: -Abschnitt wulcle

rinter

<ler

l,eitung von

Ilrns'u Ilecker aiir;clrrnr¡eri

rintì

s¡,'r¡Nel

vûn P.

Maz,ilu

in

selbsl,¿lndiger,

Árbeit

rveiterge-

fiilni.

,ì)ic -'\l¡sr'irnitter

2,3

uncl

4

enistanden

in

Zusarnmenaullteit

alicl

drei

,4, u1,or'¡rr- r.

lJa¡r €lcEÍ.ìrrlte

llolsr:[ilngsvolhir'oen

r,','urde

von dcr

l)eutschen

llor-

sr',hln¡¡rr¡q'erneinslll:;.f1,

fila,nziell unterstLitzt, im

-lìahmen

der

Forscìrungs-

projelitc Ile ll1T122-1 und Bu

48515-21

die von Ï{errn llirnst

Becker'

unii

irlq'r'r'ri.

lí.

ììu¡¡gisch

beantragt

x'urden.

Ì

.

ÃX¡rú,cri¡ll[l¡ç:+rríe ¿l¿rf $as!s r]ers'Ëìråig]reits¡rrinziXls;

i "l

. I

I,igcnrcín,e lll¿eori,e

Jìs rit¡j ,\:r

ft)j i :7¡ 2, ...,

rn,

I

e

(-oo,

^oo) eine li{enge cler

Ïr'unþ tic¡rrcrr,dieinl

foÌgrrnilen

lfutiffe,genannl, und Yt(t), i:I,2r..., n, te

e (- -rxr,

cc i:ine

u'ei1;¡.:te

l\fenge t-olt lt'unlitionen, die als

711ässe hezei- cl,

trr:l t

^ct'tlqrlt.

illrrre kous1,i1,u1,ive Glerlchurig

ist

ciurch

fie

-tSezielrung

Ììolgencle Ât.bcitsliypotheselr,geterÌ angenorrtìììen:

I. I)ie

i¡uukt,iorrale

In, i-:. l, 2,...,

,ri,-'sincl

in l,

linear.

2. Den

besohränkterL

urrd

stücl<rvoise ,qtel,ig ¿¡bleitJ¡aren IfuaÍtges- chichl,cn,1

t ^(l), i -7,2, .,.,

^rrr, e'ntsplechen besciu,änkte

untl

stiichxËise

stetigc : _xr

(t -l- 0) l,'lufJgcschichtcn Y((t),

-,t¿(ú-0) ^untt i -I;2, lk,Nt): !,tt ^....¡

^1t,

⁺

^{so 0)}

^d¿fl - ^k,1t-o¡,

Spriinge tIr-l(¿)

i,:r, -

^2,

...!nL

_clie, I.lupspriìng.e

l.y,l

^(¿)

: ,JIt[){À(Ð + NtlLX¡](r),i =::^,2, ...,

\ j:7, ^2, ...,

^1¡¿ volrìlsacherr, _rvobei

jl,I,,i N,, btìtimìnte

-l(onsl,anten

sincl .

3. Die

llunl<tiona,le

rt, i

_---

1, 2, ...¡ lt

sirrcì ecgenìiber, einer

zeit-

vqrrschiebung

invaliitrrt, r[. h. cs

_E1ilt,

f -l-

^1 \l

,-\,, ^{(' f}

^{A¿) ll}

-crr

^)lr,s,t

.., -i

,,,

,

'll

' -""

^)1,.

.> Itlentìfizierui'rg cles Zustanclsparametcrs ₁₇

]1t t

t -l- Lt

!1- ^('-l

^{^¿)'}

=-

/l¡

L

X'('),

Mit dieser ¡lrlnahrne kann nran

'beweisen,

claß die kons|itutivc

Gleichung

(t.J) in dcr llolln

t

.

_{Yn(r) =- l,Iu,Y j(Ð}

I, ^Ntjíj(t) + [ ^r,,,(r-r) ,ïi(c)t.tt

(1.2)

J

-æ

I t,

I I 'Y t,

t

,

^'Y,,

*- co

, ^'i

^=-.

^{1r 2r ..} .,

^rt, (1.U

mit.

stel,igcrn

unc[

ltesch¡:¿inJrtctr

l(er.nen ht:10, ^co) -,

^f¿,,í

: I, ...,

n,,

i : I, ^{2, .. ., rn}

darstellbar. ist.

An

dieser Stelìe seielt

zwt¡i i)etinitionerr

eingeliiihrt,

rlie

cturch rlen

ersten'lleil des

Galilei'sc,lten'Iìr'üg,ireitsprinzi¡rs

nlotivieit sind.

(Diesel

lleil

des 'l'rägheilsprinzrips besa¡4t, ,,Ohrte

JìinliÌr'kung

r.on I(r¿iliben l¡leibt,

per l{ölper in

.lìrihe".)

nle{inition

I

. I)ie lìtup-lilaft-Iìeziehu nq'

^(.1

.l-) l¡ildet genau

rlann

ein inertiales

Ii on,st,itu'tiasystem,

\enn

^zì,us

X¡

^(t)

-- ^0, i _{-=f ,}

^Þ,,

...),)tL fiù,ú ) ^0,

^und

),,i

H-

⁰⁾

,:0, _i,.-=1,2, ...,

^n,,

irurrncl foìgt,

^<l:r,p

],,tft):0 fiìr.

¿¡lle

f ) ⁰

^g,ili,,

^' - ^7, ...¡

^1ù.

llefinitioru 2. Ilic¡ r¡luß-Kraft-Beziehung (1.1) biklel,

_.gcnau clzlrur t',in r e'|,a, n'i et. et¿il e s lí. o n s l,itzt L,ia s ll s!,eïÌr, wenn aus

-Y, ^{(-l- 0)}

=-. ¡¡,

i

=-.

1, 2, ...,

fl,

Ylt):

A,

i _=..I, 2,..., rr, alle f 2

⁰

jmrnr¡r folgt,

da[3

-[{l)

==.0, tl

- ^L,2, ..., tn fút

a,lle

I ) ^û

^gili,.

-)'' ¿( I

) .''

lr'¿

\ ^.-oo

cle[i¡rì<,r'1

,

^ri,oberi 1!', e-'irr ]lunid;joira,l der Kra,f Lgeschichte

ist

2 - ^{c, 34tt)}

Íil H, Buggisch, P. Mazilu und

II

Weber

Folgenclc Âussage lü,ßt sich

tiileìet

bewerseli ^:

Bilc{et dje

Bcziehung

(1. 2)

abbrltlLrng zrvischen

den

Kraftgeschichtr:n

X¿, i :7 j clen

ììlußgeschiclrterr

Xr, i: I, 2, ...t h¡ tlann ist ein

tern ee,na,u'ilu¡tl¿ ,iner-

!,x&, tuenn, as c'in, t'rLariercnrles t\ust

Zuur.lle'nejs

l¡enrerhen

wiL, ttaß (1.2)

rrLrl

damr

eirre uLnkehrltar eìndeutige Abbilclung cr'g;ibt, werm /.1 .= ₀

ist.

I¡:L

XI :

0, tlanu lecluzicrl, sich (1.

2)

auf

Y,(tl)

.-

À'¡r,Yj(r) -l-

L¿¡(t--r)

-(1(r) clr

Iìs

s,ei

à

cliese Bt¿ziehung

bik'le ein iner.tiales,

airer hein

relaxielerr

til.s)¡sl,em, Dann existiei.t eine

I(laÏl,gcichichle xÌ(t), i - ^J, 2

daß

x? (+

0)

: t, xl(t) + ⁰ fiir ,;0

^und

Y3(ú)

:ûfùr'

Rel,rr-r,cìrtct

u'irrl nul eine

zrveite Ï{rafl,geschichte :

lclentifizierung des Zustand spar.amet e'rs ₁₉

l'olgenderr kurrr¡rir,ìiten

lìolru

scltrciben :

r,(f) - ^a,Iu¡

^+-

^{,ð(¿)

^t-

^{L,Q- t)} {(r)ctr

^(1.3)

otktr

Y(¿)

:

rf

,ï(t) + ^l,{(¿)

^_j,

L(¿ t){(t) ^rlr.

(1.4) Zucrsl, bett'eisc¡lr

rt'iÌ

ein Jr€ltrrüâ bc¡ztiglich dor, I(et,ne L¡7 <Jet, Veltl,o- nÊll

cler

,t - _{r: ^lo,

^oo)

- ^r¿,,fL: _âo,r,,.-. ^n)}

. ^lìs

^seierr

^!/r)

^{: 10, oo)}

-

,trJ"' ilie vcki;t¡rlunhtionen

mit

velsohobcnent AlgrrnLent.

.!!i,e r) : _{!1(t_} r),

i,

:. J, 2,

^{. .}

.,

rt,.

Ils

gilt

nur¡ tlas folgende l:€ùutìâ:

Lernnra.

l)i.

[t,u,,ltli.ctn.en L(nt\, ^',

-. ],2, ...,

tt, geh.ören

liir

^alta

^{t ),}

^$

gen,a,u ¡lûn¡a

zlt S,

wentt.

IL(¿)

: e-A'c

(1.5)

gill,

u_oltei

g

u,tt,d

G

^r¿X

n -

^bzw. tt,xm_Maflizen sinll.

lJeueis.

t)itr

Iìigenscrl_aft, d^.Ír I!Í¿)

ro s ^guiörlo, raus

sie

die

ïor,m (1.5) haberr, Toìgt unnrittell¡ari aus clel

frientitît i --' ---'

tl(r-.) _--

"-Â1r-r¡ ^@

: ¿-&

eÂ" (D.

Nurr soll

1'oì¡¡endes

lirchgerviescn ^rver,den

:

t.a^lls

!Í,) ^{zu ñ}

gehör,en, dann ba]¡en sie clio _f

iir i -- J, 2,

rforrn

..., n

(r.5)'l gili,. r\ehmen .n;"

,o, oan-ip'ç sìñ

a¡re

t Þ 0

untl

Ilann

l'olgt :'

y;

1,,,11¡1,,1-,¡

j _=.1 (1.6)

À

5

I

-æ

i

-æ

ri'(¿) : ,l!(l),iverLnl <

⁰

0 _,rvcnn ¿>0

Da tljc

lft'afi.-TllufJ-I3ez,ieirung

ein ineltìales 1(clstitutivsystcur

biltlel,, rnulJ .(ik(t) wiedel

Y!(l)

entsprechen. Daclurch haben rvir zx'ei

Kraft-

geschichten

,Y!(f)

uncl Xik(l),

i:7, ^2, ...,

rzz geiund.en, denen

eìn

und dieselbe

l'Iußgeschichte Yi(t), i:7,2, ..., rt

zugeor',rlnet

i¡lt. l)as

stehb aber irn Wiclerspluch zur Annahme cler Iìincicutigkeil,. Danri{,

ist

bcr,viesen,

tlaß ein ineltiaies

System

immer

rela-rierencl

ist. Der Jleveis,

tlafJ ein lelaxierencles Systenr inrmer

inertial ist, isi mit

del gleichen .Berveisbechnilr rnöglich.

Im

folgenden soll

g;reigt

rverrlen, daß

für

clie iner'1,ialen Konstil,ul,iv- systeme die Kerne 7,¡7

in

Glleichung (1.

2)

notweni{igerweisc eine spezielle Ii'orm _haben rnüssen.

Zur Yolbeleitung ilefiniert man

clic

Yelrtoren l, T, Lr, 40, {r, '-1r2r"',n':.

( I

ì

.-ßJ

'-[î: ₎

Ilt : (Lrr,

^{'Loz, .} .

.,

trro,)

Ar: ^(l,IÐ,

^MÍ2,

...,

Mr^)

!, :

^{(M0,, y'[,r, . .}

^.,

^Nrn,)

und

die lVlai,rizen

[L,

[M urrcl ^[N

L,),-r)

=:

Lt(t_f):

}ìezeiclurcl,

llìau tlulcll ,{

cUe }I,¿r,trix

Lt L,

a, U, v

ry

t¡

:

M,,

2

l'

E-- ' ^{[M: , [N:}

L"

Zur

Yereinfachung

der

Schreibweise

wird

vercinbarL, rlaß

rnit 'XY

clas Skalarprod.ulit

X Y

gemeinb isb.

Dann

lÈi,pt sich

Xy _{Q. 2)} in

rler

¡

^{-.= (),¡¡),}

i, j :1, 2, ...,

tr,.

pann hat

Gltrichung

(t.6) tlie

.!.onn:

n-(¿- r) : Â

(¿)

&(-").

^(1.7)

20 H. Buggisch, P. Mazilu uncl H. Wel¡er

Setzt rnan

in

⁽¹

.7) t:0

^ein, clanrr er'h¿i,lt rna,n iL(¿)

:

^ (r) fL(0).

^(1.8)

Gleichungen (1.7)

und

(1.8) olgeben íuìls¿ùtnrniìt1

Â(f-t) _{L(0) =:} r\(l) _L( -"),

^(1,e)

clie

1ür I : 0 sich

rr'ìe

folgl,

teduz.iclt

Á(l-t)

0-(0)

:

z\(0)

g(--r).

(1.10)

D^ lt

^einc

^{llasìs r/or}

^¡.S

ist, folgt

rlaraus

rlct l^(,)l:0.

Unter

Ansnutzung (lcìr' Gleiohung (1.7)

hann

m¿ln clie konst;itubive Gleichung (1.4)

wie folgt

ardsohreiben ^:

@

:

rL(O),

clann ïolgt_aus _Gleichung (1.8)

die

Gleichung (1.5).

Illit ÍIilfe

tlieser Le -

mas kann rrt¿¡n oas"fotgeíae i[.heorenr bcrveisel

1[ ìrr¡ore¡n 1.

I{onstil ¿¿tias usl,e m, d,er tr'ot'm (1.5) :

Die

Bezieltnng

(1.11) bilitet

_{¡trenau d,ann} e,i¡t, i,nertia'Les toenn,

sie einan

et;ponentiellen relauierend,et¡ l{et _tt, ,om

TØ ^:0,4 ¿(r) *

^IN

4(¿l *

i ^e-ar,-,)C

^4(1.)

¿,

^(1.14)

besil,zt.

^-Ó

Beusei,s lralirs

([.14) giÌt,

so

foÌgt

aus clen Bedingungen

ZØ :0 lLir f > 0 unct y(0) :

0

,I(r) :0 fiir ¿>0.

Damit- bildel,

(1.14)

ojn ineltiales

l(onstitutivsysl,em.

fi'ür

tlen lJe'rveis tles zweiten ileiles

ist

es arisreichend, clafJ

fiir

^ú

)

⁰

und r<{J

Llt)

.8, i:1¡ 2, ...,

tu

gilt_,

was.rnil;

_cinern lviclerspruchsbe*eis _gezeigt

wird. Es

sei

fiir

^ro

)

⁰

nncl

i,,

e('I, 2, ..., n)

angeiromrren

!;,(lo)

4 ^19'

Weiterhin

sei cler. Funktionsraum

t) Identifizíerung de.s Z ustandsparameters 2l

Jiezeichnet _lìtàn

g(¿)

:0u14(¿)

_{-f- tNJ(¿)}

-]-

.,\(,)

L( _-

_")

4i"¡ rt".

^(1.11)

-æ

fst dic liraftgescìrichte

Ìrinreichoncl g1a1,1,,

tlann

er'hü,lt rr

an

du,r.ch

Differenzielung nach der

'úei1,

ittl: ^{['t¿(ú) +}

^BNã(¿)

^+.

^(r) L(- ")Z(r) dt +

^(,) ¿"Li),XØ.

(l.12)

Beaohtet man dic

Iledingung

Â(r)

u-(-¿) :

rL(O),

die

aus Gleiohung (1.7)

folgt,

dann

wird

rnan ¿tuf die fdentitåi,t goführt,

:

^-1(,) VØ - ^{tflÚ(t) --}

^tNë(r)1.

Aus

der

letzten

Gleichung

folgt rnit

Gleichung (1.72):

Y(t) :

rL(O) 4(¿)

-f

^Á(¿)

^-'(¿) ^ly.Ø -

^{n4 ¿(ú)}

^--

^û.1

^{Ã(,)1. (r.r3)}

Die fnvarianz

des

konstitutiven

Gesetzes bezäglich oiner beliebigen Zoitverschiebung

wird

genau danrr

erfüIll,,

wenn

À(¿)n-'(¿)--A

mit

einer konstanten

mx¿-Matrix A ^gilt.

Das bedeutet:

^(ú)

:

e-Ar'

!:10,æ)-f¿'l ^t

^e-t

lE¡26, ( *

^o"

æ

(8, Q),: ^t

^e-L

!(t) ^{qØ dt;} !,

Ê

eE

i

{

ir,- ")'!(")crt : Â-1(,)

^(r) i

^L

Çr) xr)d.

-6

æ

TI:

le.trachtet,

)t'"lrgi _das ^ì

ntegral im

Lebesque'schen

sinir clefiniert

isb.

i'unrt rnan inr -fl-Iìaum das

Sl<alarprodukt

und

die entsplechende

Norm

oo

IIIII' : t

e-t _¡T¡ø tr¿

0

!

eil, dann ist -E ein rlilbert-Baum (vgl,

t1J).

Da die

Komponenten des

relaxierenden

Kernes stetige und i¡elchränkte tr'unktionen sein

sollen

(vgl.

Arbeitshypotheso _des

äbschn. 1. 1), gilt

Ll',"t

eE.

22 _- --|1-BYeq"S!,

P_-Y'Z'!-ylrd

¡l lYgÞ"''-

.{ufgilrntl

^rles jlloiel<tiorls-ll'herircrls

irt

IiìllleI't'-l'Ìü'unlcn'

läßt

^I:ft')

sich

^'rvie

folgt,

a'bspaìten,

!Íj.)(")

^,--

^{I:,(to-. .)} ,: i¿(-") -f L*ie t), t (

^0,

wol¡ei

I?

^e _"S

^rrntl .!| l ^{[l silrtl'} {(l)

^sei

^dic

Kr'aftgc-schichl,tl

ltle-\4 Liet) ^{für' f <}

⁰

g fiilf )()

rnit

d.er -ADfangsbctlingung

{(

. ""1

:

^{0. .L)iesel} Klaftgeschichte enl'splich{'

äilFü,ßg."*tüchte i,1t¡l '-:1,2, ' '¡ ^n,

^{so t1aß'}

Identifizielung ^des ZustandsPzrrameters ²³

I)uroh l)ifferenzierung

^aßs

(1'1õ)

erhäLt rnan

N4(¿) _llNð(¿) -n

"-A1r-r¡

(Ðð(")c1c

:

0. (1.17)

9

-æ

Jt¿

untl

rnit

ti.er Ánfangsbtidiirguu¡1

I

ì

ùIulbiplizierb

man

(1.15) mil.

A ^untl

^{addiert, es zu (1.1-7)r}

^clarn

^erlpj'lb

rnan clie

Ilifferenl,ialgleichung

ry,I + ^(ArM + ^E¡)X + AINZ: o.

^(1.18)

Unterdel.Anfangsbetlingrrng.(1.16)rrimmb-(1.18)nurdannilio l,riviale

I-ôsung ^{¿ì1ìr \Yenn} þ1

:

0

gilt'

'Dlt's belr c'lst das 'rneorem'

I.2.

Bottø'muntt- V olÍ,ert'u-tt')?'tl I( eLain'- V ot'(fi- Ma'teriali'en ^{olt'ne in'nere}

Pøram,eter

Ein

Boli,znrann-yolterra

Material ist durch

eine Spannungs-Yelzer- rungs-BozielrrLn

in cler lìolm

o(t\ :( *,r- r)è(c)clr

^(1.19)

J

,

_['¿,,(

J

L

1'-,.{to)

:

5

0

I

h\

J

-æ

:5 _',,

^.

!,"(r) þ+(ò dt )

⁰

ü.4

¿(¿) i-

^B,t¿(¿)

-- [ ^,r-au-'t ç,x-(t)rlt :

0 J

,J( ^{)tl ;}

^{I e' l-l}

^{I:,(,- .) ltl} (- :) r['r

=-

o

t),"(r- r) l'(.r)rtt: _I i,.{- ^{r) + LìJ-} ò{(t)tlr

d.efiniert.

Elier

betleuten

9 und !

clie Spannung

n

bøw' die Verzelrungen

in

d.er

vektolielien

ll'orm

æ

I(0)

^{=-= 0.}

o:

o,tt 6zz õ'""

6tz

01a 6zz

ert

"22

o-2clz

o^2cLB

o-

(1.20) sell,en'

o"'-'^I-Iiur.^rrs

io)gt, rl^tJ

(t.tI)

trur

tlaltlt

^oilr i.ert'ia'les -Kclnst'ituUiv-systclrt

'bililet¡

ri'er t'tt L!===

0 gilh'

^{T)as' becleutet}

Ll') .S, i _--1., 2)'..,

^ru

^für

^alle

I )

^0'

-Arrfgrurrd(]eSlje]xlnasfolgtdann(1.õ)'Dadurchwir(1'14)vol]Ibewiesen,.

,f,lrsìorern ,à.

Itin

ltonstitrttiues Inertiuls'¡lstetn bildet nwr iÌ'ann øu'ch' e'in'

¡'elanie¡e'ncles S3¡ste'nt,

uenn' ìI :

^{O sil't'}

ßaweis. l':n u,,ilî*i"i*i*t' t*;"t.!tt' ^{rlap die Bezichun (1'14) mit} yn\:0

für,

I > 0ìì;äÏöj :

^ô

,il,tt¡':0fürf ) 0fährt,senartdann, îoòán

[Jvl ==

0 gilt.

Setzt man

^y-(t)

-- ⁰ in ttic

^Reziehung

^(1'14) ein' dann

^{e'r'hâlt man}

die

Intcgro- l)ificrentiaJ-Glciehttrtg

K(¿) ist cler relaxierende Kern

mit

den Kornponent en K1/t),'i,

i:1,2

_' ^{3' ' ' '} _'

z ^(1.19) genau dann en

^inertiales

Konsi,itul,ivsystern

bilclet'

wenn

K(¿)

: s-e (Ð, ^(l'21)

mit g, -Ñatiirlich und

^(D 6x6-I{atliz,en,

gili.

stellt der

relaxiere relaxierenclen

l(r¡rn c[ar. Bei

^clen

liegen in der dieser

-@

(1.15)

(1..16 _).

11 Identifizierung _des Zustandsparameters

24 FI Iluggisch,

P

Mazilu und

t[

^{Wcber 10 25}

(1.26) Jetz t, soll di e ir,llgenr eine lr'olnr

del

SpannuÌì gs-VerzenrÌngri- [] czit'l Lttn g,

flie

eilr

llçlvjn-\;'oigt

Matcrir.rl Lrc,scht.eibt. ltctr,¿rc,htet w(,t,¿lclì.

lls

sei

¡

'(¿)

,- _[ o(t- ^r)

^ó(/)

rlr,

^(1.22)

J-

-t. ihre IÌlelnente mib den

Ycrzerrungsgeschwinrliglieitcn c¡uch

ci' i.r¡rtiales

I{onsl,itu1,i'system

vcrb'nrlen

sìirã rrncl

2, dic

spannungerì

ürr .r

oo

li'ear abhängig. rrunktionen

von

srr szr

^.

, s,

^sind,

.

_

,Anttra'litt.ttg.-I)urch

^cliose

l)efinir,ion sind die ^jnneren

spannungen

nichI einrlcrriig

bcslilnrn[;,

ertorclerlichen

Zahl

?¿ vorì.

ìit

.91, sz,

. .,

s,, ein solches

sysrem,

_f,

-,,i"'1:';",i

tÌ*,itl" ;'ll

^-

sl,ri,r¡¡*uu ,Systelr +'on

inneren

Sllannùng'en

ttiihú. t

^t'

fur

folgenrìen

n'ilcl

clieJlrage c-[e_r

Èestinlitung

eines vollständigen _Systems

innerel

Spa,nnrmp;en unl,er,¡inc,ht,.

cn den Vet'zerrungen unrl clen inng¡sn

itul,ive

lìeziehrurgen gclten,

für

die

1 .

I elftillt

sind.

l)ann

haben cliese

si(r) _-= M,¿U) J-

{,g(r) + r

},¿,(/ -.) :(") ^dr, t: 1, 2, ...,

^,n,

(r.2õ)

]I!!oi ^{!., :}

^{10, co)}

*

-I¡f rcl:r,xicrcnclt¡ [(t-.rue

rlel ilncren

Sparrrnurgerr sincl.

llilrlc¡1, nran

ilen

\¡ektor

¡ :lit _!t, i : r,2, ..., ø

eìls -Ì(tirrìponentän, clann Iäß1; sich (1. 25)

in

clie ìiorrrptkl.c L,'oln

wotrei @(f)

cine

.iìIlriri rÍ'ulrìitj<tlr

nril, tlen

Koruponentelt

Q¡(t),

I _{e f0,} oo)

llezeichnel'.

Nehmcr t';il au, rÌlp

tlet'IÇc:r'n

G hilrlcichcntl

gÌ:rt,f isl.

Dur"ch.lliffer'euziclen urid eine

pa,r'1ielìe

lntcgt'tt'ion tlirtl

^(1.18)

.(¿) =- G(0) ó(l)

ì-

G(0) "(¿)

-

^{G (r.23)}

lVIit

oals

li,r'ull,

,\,

^é ¿]¡; L¡hiP Y trnrl init, t]"1

:

_{G(0), tnì == G(0)}

unrl

_L(1,) ==

:- -

^tD(1,)

^sterllt

^(1.19)

^ein

honstitubir.es Gesel,z

tles l.vpus (1.12)

rlar.

Âls

Konsequerz

tler

Ättna,hrne,

tlap

tlas

I(elvin-\roìgt

l\{ateliaÌgeset,z

mit g als l{r'aft uurl g

als

lÌlup ein honstittrtives

lncrLials¡'s1,ern

biltlet, gilt eine

Spannun¡1s-\'elzctrttrtgs-Ilezichung

der

^.fìorrn

(r .24)

rvobci [1"'1,

fi{,

_^A

untl C 6xtì-t{atlizen

Lrezeichnen.

llenutlnrng.

I)je.ff,oli,zûta]ìn-\¡oltrcì'r'â, [ìpa,nnun¡1s-\retzel'l'rings-I3ezie- hungen, clic deln

fiern

(tr.21) entspleohon, bil'.len g'ieichzoitìg-honstituii-

ve

Iner:1,jal --- so.lvie relaxierslrde Systeute. ^1,r!s 1{¡rÌvin-Voig1, Sparurultgs- Verzerrungs-.l3eziehurrg;en

(L.24) bilden nttl clann auch

lelaxierenrje

Systemcr, \venn [M == 0 gi]t.

7.il

ttoltz+t"tatr,n'-Ii c'ltett'a- H ateri,ei|ien ^ry¿it ittneten' Parc¿,ntetertt,

I)as

.lJxperimerrt zeigt, dap

riicht alle

viskoelastische.n

lloll,z

rnânn-

Yolterra,

.tllateriaiien,

nit,

^II.i11'e relaxierende'r

Kerne vom Typus

^(1.21) beschreibbar, sintl. ^Il¿i,s bedeutet, clap es Boltzmann-Volterra Materialien

gibt,

clie

in

Spzi,nnung uncl

Vtrl'zeLtu t kein

konstitutir¡es

Ínertialsvstenì bilderi

Gemäp

cles

^sollen l(_örper ohne Einwirlrung vou

l(räften in Ruhe.l¡1

^soll

^für

Boll,zrnann-

Yolterra Niaterialieit, für die

(1.21) nich1,

gilt,

clie

llxistenz

bestirnrnter'

innsps¡ Kr'äfte

arn€fcnommen lYorclc',n.

Ðiese inneren

l{ràfte,

tlie

rvir

,,innet'e Spannungcn" nennen $¡eltlent

sind durch

clie foigentlc

Definition

eingeftihrb ^:

.[]oÏinitioi¡. ]ìino Merige von linear

unabhti,ngigcn llara,metern

!(¿)

.-

_tMð(ú)

l-

^{INe (¿)}

l- ü-(¿--.) ^å(r) d;

t

I

Ë(1,) _=-= tÞ4"(t)

I

^tN_o(t)

^-l- \ ^{c-au-' C}

^o(-c)r.l;,

J

s1r 82, . .

,r

^Sø

r) o(t)

ctr

æ

runschreiben.

Gotnä,fi Tlrottrortt

I bilclst (1.20) cirr

iucrti¿,L¡.s tionstituf,ivsystern _. gerÌ¿ìu

tlitrrn,

weluI

lL -- ^e-to 0,

^(r.zT)

gilt,

$'oltr:i

fi, zXr¡ --

^{rrnrl (D ?¿}

X

6-Matrizen riincl .

Gernü,ß

derllcfinil;ion

cles vollst;intrigcn _systenrs vorr inneren span- nnnpien, soll die Spannung o cinc lincarc ìi.rrnlitjo¡r

l:on

^,ç ¡ìcìltì.

? ': G'!,

^(1.28)

nobci

1g einc

6 x

^n-Nr¿ttix

^ist. Itit

(1. 27) uncì (1, 2tì) wil,cl clie konsbitutivo

Gleichr:ng

(1.26)

6(f)

:.

(DlPlõ(l)

l- GfN,i(l) J-

G ^s._a1r_r¡

6 ^é(r)

^{dc (7.2s)}

bitcleb

ein

vollstândig¡es System

von

^inneren Spannungen, falls

26 H. ^Buggisch, P. MaziÌu und H. Weber 72

Vergleicht

mân

aber (1.29)

mit

(1.19)

folgt,

daß

G t.l _{-- G}

^F.¡

: 0

(1.30)

gilt.

Da,s bedeutet, daß

die Matrizen

[v1 untì.

[N

]reinen

Ejnfluß auf

^clie

Spannungs-Verzerlungs

-

Iìezie'.hung

haìten. Ifan kann dann

durcit

eine geeþnete Ãnderung der lJefinition cler inneren

Spannungen die

Matrizen

_[t"t

und [fl

^irnrncr

^{zu Null}

^rnachcn.

^{]]ann lauten}

rlie A.ustlrücke fiì.r die inneren Spannurrgen untl

fiil

clie Spannungs-ìrer:zertnngs-Berziehung

(1.3r )

Das rìesui1,at der volliegenrlen Irntersuchung kann rvie foJgt _zusarunen

gefaßt

\+'el'den :

Ðin

viskoelastisches

trraterial

vom Boltzman.-'volter.ia_Typ besitzt .genau

rla.n

ein voiìstäncriges _s)'s1,enl innerer

spai,oìo'goii ,u,,o.

der rora_

-xicrende

Kern expo¡cntiòile

Ji'ornr

'13 IdentifizÌerung _{cles Zusta} ncl.spar.a m e ters

K ^(l) :

^(D

e-4, n

n

(1.37)

hat,

\'o-bei

lst,

.1

G: ('irì A ïl \'oìl

^¿-

_tr

^uncl inlrcrcr, S¡rarrnrrngcrr, rta,nn ^{r¿ X} 6-Ila,tr.iztr¡r bezcichnen.isL das

l<onstitutiie Gesctz

^,rn clarstellba,r, :

i :

^{G @}

^e -

^(D

¡\

^,:,

^c (-

_{oo) =-}

1¡,

(1.88)

:

^-,=

^{C Ë -.4,}

^f

^{, .!} (-

cn)

.- t).

(1.89) l)zu'

o(¿)

: c

^p-Â(i-r)

^ffiÈ(t)

^{clt. (r.32)}

Aus

(1.27)

folgt _rlurch lliffclentiatioir

f =.C¿-Aå

^(1.33)

nriú der

-Anfangsberlingunu

g(- -) :

^o.

Gemäß der

Definil;ion

clcs vollstä,lrtlieen Fill¡l.urns

lon

^{inltclcru Spa-}

nntutgelì soll die Spanrung o eiue

Fulikticlu

f-olr ,ç scin. \\'egen del vorâus- gesetzten L.¡inearität

jst

tliese lìczìcrhung

irt

t'lel .Iìolln

a===0¡

^(1.3a)

elarstellba¡', wobei (g _eirrc

6

>< r¿-l\'Íati'i-r

jsi.

Ilrrlt,iplìlia1i<iu

tlel

Gleichung (f .33)

von links mit _G liefert

:

:i==OC3-G,Al.

^(,1.35)

!'ülu't lnan

clier,,4blriirzrtngen

fr+

-. (G€)

^,

untl EB-(cc) ^rG,A.

ein, <lann geht Glelchrne ^(-l, 35) ìn die ^l'-or:rn

? ⁼⁼

trl s -l

^ts

.:

^(1.36)

i"iber'.

Diese l<onstitutive IJ <tzieliuug' r, crrallgt:rnci ner'l; zusânìtì ìcn nril; (1. 33 ₎ clas

lconstitutivc

GeseLr yot't

llaxvell

.

In

speziellerr.["àllen

il -

⁶

^uud

^G

:

: _-I reduziert sich

Gleichung

(1. 36) auf

clic Ma'xn'ell'sche

l(onstitutir'-

lìleichung.

5"

)

l(¿ -a(/

c

^{e rt}

-æ

-æ

7.'I

.I(eí,uit¿-Iro,i¡tt-Ìtatct"itil:i¿n, ,i[ ,tt¡,nertn l.'c¿ttt¡nctt:nt,

1er ilî ïliifî',,,ì.Î,-i;lïl;ìïl,JJ

flezi

keft äiö ìi11î:ö_Til:iverzer'*'s

Gclau s'ie iltr I'all _clcr

Boltzrniurn-Yr¡llcrr,¿r-rllat.t-,r.;n1;"n rlüsse^

clann

in

fiihr,b rrci,tle¡r.

jrn

_tàro*

i¿i¡iiisr.cten

rvir. diese

in'erelr

_et.e lret,ze.rurìgen"

ll.zoicìrtrc'. Wi' fäh.en

.diest¡

in

_clur,ch folgerrrlò'l)t¡finil,io¡r t,ììi ;

Ilt'li¡¡i1iolr" I¡lillc Ù[etlgc \'olr

lirrci¡r'rLnabhzi,ngigr:ir ]l¿r,r.i¡uretepr

{h¡ Qz; . '

.¡

_Ç,

ì trot,tn \.(rt,zelt uneclr, fall.s

r¡¡crn

clnlch oill

itrcr,tialos l(onsúitri_ - triLcrr lirreur, al;ìrir,lrgige

l.ulktiolren

eiterL rj,, _Çr, . .

.,

rl" -sind.

tcr.r'i.r_Sptr,rn den Sparuru

''I

,2, '..,

^tr,

{

llc¡crl

rlcs

rrrngsgcscìrrvinrli¡¡lrc.iton

{, ^rnit

^den

tlr-'l'l''orrrr

9.,(t¡

: _A,òU)

-l-

.{,"(r)

_-l

!t,G- ^{r) o(t)} tlr

⁽ l ,+0) r.etburtdcn.

f

J

28 trI. Buggisch, P. Mazilu und H. Weber 74 Í5 ïdentifizierung des ameter.s to

Biltlet man

gen.

Ve,ktor q mit

_e.tt i,

: I,

^Z,

clann lüß1, sich

(1.

40)

in dic

kompakt,e

licinn t fl,

^¿.r,ls

^I(om

otrsibl¿: processctj, I)h1,s. l{q1_., lI, Scr. .ì7 _(1g57),

l :

;,j,,:;,,

í,

^\,

i

¹ⁱ :,11;:i,åíli;,,ìij,11'l _*1' 13,,

\\'ir;scrrsc.haf []jchc 13uchgt,sclìsó]rafï Oar.nrstaclt,

tu' l;rr{r"íutr'llöuf"

^{la loi} cottslitttlirc tle flollr¡natt^-l'otte*o, c. tì. Âcad. sci. Par.js ser. 1

tt l;ul:

\ä'à'i,+rro';o!lî:ar¡slilttliuc ^trtu' oI tiot!:rtnrt^-vottcrro, lìcr,. nou'rr. ]!{arrr. purcs

'n'

1ì

,,I;ìr;t

^t

t,,

'!'lu'tquulittr

tI

ltt'ar cortrlLtcliorr, ïìcv. rìoLrrrr. ìJath. _{r)rrr.cs Appr. ¿B (1g7s)} l$' I'' i\f n z i I rl' l[¡¡ drrt zttstttttttvttltrt,e :u¡isrl.t, tt tktt, jiittt¡slt tt ¡¡eo¡tlt¡rsiscltrrt ÀIcssrt¡octt

í'i;rl;;';ä:;!:1,;,r'ot¡st,rt¡ ^{rtr.t (tttr} t.:r'¡,,,'i i,ìr',:,,,r",, ,,,,, tirr")i ar¿" ¡ii¡,t't,¿s. t'g._Är.c,ir, 5

: I I e ¡ ¡ ¡t e st. I t t u i n tl _{i ¡¡} l; c i t, ^{u h} ¡1 e I t i I t: I ¡t u s cl c nt 7, r i) ¡J þ¿ ¡¡ s_

7

I.ijt ^dic tbr:rte pltolctuisl¡oclctslist,ìrc Spannttngs_

Lol<tuisltocluslistl¡ts l_etl¡allt¡t tsott pVO_ttteich

t;ìll

" ^,., I )arctnt¿tt ¡. i tte rt! i fitat ^io rt litt. ^{u iscot} I ^ast it:

:Ì68 lìin¿rcgrngerr arn 1. Àpril 1f)g1

.Insl,iIuÍ ftir I.ltrlnttisdtt I-crl.ttlttcnstt,<,ltt¡ik

und,\lct:hattik rIÌr Uniurrsitiit'li.arlsruhc (TII) l)_. ¡,J00 liurLsruhc, ()crnwrt¡¡

Aþ) :

_D4 ó(¿)

* ^û\

^{o(r) 1_}

L(¿-") o(t) dt

^(1.41)

unrschreiben.

-ø

Weltdel;

man wiedû

clas

llheorctn J an,

dann elh¿i,lt rnan die ì3eziehulg q(t)

:

t"ló(¿)

-l-

_{IN o(r¡}

-¡

"-A1t-r; (f,

o(r) clr,

(L.42) -æ

rvobei

A

^eino

n,ln-lnntl fr

^{eine ?¿ X}

6-Ifâtrix

isi.

Ila dio

Yerzerrnrtgsgeschrt'it-tdigheit,en

lion den inleren

\i er,ze.r,-

luneßg'esch'rvindigkeiterr -iiñca,r

abhärìgen G ^(I

folst aus

(7.42)

Ë(ú)

:

GlÌ"l"(¿)

l-

^{{DIN o(r) _1} G

e'-Â(/-î€o(.r) t'l:.

^(1.48)

-æ

,irr es nor,lnalcrrveise 1lür, ctie

Ì(elvin-

r bjlrlet (I.42) in

Spannungcn

ilnd

r eilr inertia,les, aber lrein relnxie¡,en- ,e1,, d¿¡ß

€s

S1:annungsgeschichten iir' /

)

^{0 clie} Spannun.gc¡R

njcht

vers-

0

gilt,.

r.

I'l'itlt.\'ft;

lì \rtì Iì

tD

t(,

ìIN

r s

1' À. Mukhcrjca, li. [)otltr)\'c¡r, ]lrul ^ond l;n¡u'litt¡tctl ;'lirrl¡tsis, lìlcnl¡rr Prcss, New Yorl< and Londorr, 1{t7lì

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.1. C, 'f rucsdeìì, lLttliotrul 't'lvrmotl¡¡nttnics, llc(iurrv-ilill, Nct, lork, 1f)(ì0

5. ^C h. S o l c t, I)e Ia rv¡tttlulíl;ílilt <'alorilír¡ut drtns lcs cr.is/r:rr;t, J I'h¡'s. (Prtr.is) l2 (108:.ì)

247-25s

(i. l). Crrri tl, ,{ propos tlt's éltnttnls de t:ristollogra1)hi{: l)ttltsíqu.. dr iti. Ch.,5orzl, ;\rch. Soc.

Plrls. l-Iist., r,\at. Cìt¡r:úr,c 19 (1,!93) 2.l7 -254

7. \\¡. V oi gl, Iìragert der I{rislall¡:h¡tsi)t I, Nachr. (ìcs. \\riss. Gijilir.rÍcn 3 (1{ì03) tì7-80

¡ì- I).J. l)unIop, 1,..-f. (ìostittt1 s, Inttrtttírt¡1 flou:sinlir¡tiddiliusion, J.Âtrrcr..(]hcrrr.

Soc. 77 (1955) l'r238 _-12,10

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