Erika Nagy
Metode numerice de aproximare a zerourilor unor operatori
¸ si de rezolvare a inegalit˘ at ¸ilor variat ¸ionale cu aplicat ¸ii
Rezumatul tezei de doctorat
Conduc˘ator de doctorat:
Prof. Dr. G´ abor Kassay
Cluj-Napoca 2013
Cuprins
1 Introducere 3
2 Not¸iuni din teoria operatorilor monotoni 6
2.1 Operatori . . . 6
2.2 Funct¸ii . . . 7
3 Technica primal-dual˘a de divizibilitate 9 3.1 Formularea problemei cu incluziuni monotone . . . 9
3.2 Algoritmul primal-dual de divizare . . . 11
3.3 Aplicat¸ii la probleme de minimizare convexe . . . 13
4 Experimente numerice 23 4.1 Procesarea imaginilor . . . 23
4.1.1 Claritatea imaginilor . . . 23
4.1.2 Cadru experimental . . . 26
4.2 Probleme de localizare . . . 30
4.2.1 Prezentarea problemei . . . 32
4.2.2 Experient¸˘a computat¸ional˘a. . . 33
4.3 Consens ˆın media ret¸elelor colorate . . . 36
4.3.1 Algoritmul propus . . . 36
4.3.2 Evaluarea performant¸ei . . . 38
4.4 Clasificare cu ajutorul ma¸sinilor de vector-suport . . . 41
4.4.1 Hiperplanul de separare . . . 41
4.4.2 Experimente cu recunoa¸sterea cifrelor . . . 43 5 Aplicat¸ia interdisciplinar˘a a algoritmului 46
2
5.1 Optimizare ˆın biologie . . . 46 5.2 Technici de recunoa¸sterea modelelor . . . 48
Bibliografie 50
Capitolul 1 Introducere
Existent¸a metodelor de optimizare ˆıncepe cu matematicienii Newton, Lagrange
¸si Cauchy. Dezvoltarea metodelor de calcul diferent¸ial pentru optimizare a fost posibil˘a datorit˘a contribut¸iilor lui Newton ¸si Leibniz. Bazele calculului de variat¸ii, cu privire la minimizarea funct¸iilor, au fost puse de Bernoulli, Euler, Lagrange ¸si Weierstrass.
Metoda de optimizare pentru probleme limitate, care implic˘a ad˘augarea de mul- tiplicatori necunoscute, a devenit cunoscut˘a sub numele autorului ei, Lagrange. Cauchy a f˘acut primul pas ˆın rezolvarea problemelor de optimizare f˘ar˘a restrict¸ii. ˆIn mijlocul secolului al XX-lea, calculatoarele digitale de mare vitez˘a au f˘acut posibile punerea ˆın aplicare a procedurilor de optimizare complexe ¸si au stimulat cercet˘ari suplimentare privind metodele noi. Au urmat avansuri spectaculoase, producˆand o literatur˘a masiv˘a pentru tehnici de optimizare. De asemenea, acest progres a dus la aparit¸ia unor noi domenii bine definite ˆın teoria optimiz˘arii [67].
ˆIn ultimii ani, au ap˘arut mai mult¸i algoritmi de divizare [43] pentru rezolvarea problemelor de incluziuni monotone, implicˆand sume paralele ¸si compozit¸ii cu operatori liniari continuu, care ˆın cele din urm˘a sunt reduse pentru a g˘asi zerourile sumei unui operator maximal monoton ¸si unul cocoerciv sau monoton ¸si Lipschitz. Aceste prob- leme au fost rezolvate prin angajarea unor algoritmi forward-backward sau forward- backward-forward ˆıntr-un produs de spat¸ii adecvate ¸si a dat na¸stere la metodele primal- duale de divizare ( [9,16,20,23,61] ¸si referint¸ele aferente).
Recent, se poate remarca un interes al cercet˘atorilor ˆın rezolvarea sistemelor
de probleme de incluziuni monotone [1,5,6,22]. Acest lucru este motivat de faptul c˘a problemele de optimizare convexe care rezult˘a, de exemplu, ˆın domenii cum ar fi procesarea imaginilor [13], probleme de localizare [18,31], consens ˆın media ret¸elelor colorate [46,47] ¸si clasificare cu ma¸sini cu vectori de suport [27,28] urmeaz˘a s˘a fie rezolvate ˆın raport cu mai multe variabile, adesea legate ˆın diferite moduri, cum ar fii prin ecuat¸ii liniare.
Prezenta cercetare este motivat˘a de investigat¸iile efectuate ˆın [1]. Autorii propun un algoritm pentru rezolvarea problemelor de incluziuni monotone cuplate, ˆın care vari- abilele sunt legate de operatori care satisfac ˆımpreun˘a o proprietate de cocoercivitate.
Scopul nostru este de a dep˘a¸si necesitatea de a avea diferent¸iabilitate pentru unele funct¸ii care apar ˆın problemele de optimizare convexe din [1]. ˆIn acest scop, avem ˆın vedere un sistem de incluziuni monotone mai general, pentru care operatorul de cu- plare satisface o proprietate de continuitate Lipschitz, ˆımpreun˘a cu sistemul dual de incluziuni monotone ˆın sensul de dualitate Attouch-Th´era (cf. [2]). Rezolvarea simul- tan˘a a sistemului primal ¸si dual de incluziuni monotone se reduce la problema de a g˘asi zerourile sumei unui operator maximal monoton ¸si un operator monoton ¸si Lipschitz continuu ˆıntr-un produs de spat¸ii adecvat. Problema din urm˘a este rezolvat˘a de un algoritm forward-backward-forward, fapt care ne permite s˘a stabilim pentru schema iterativ˘a atˆat rezultate slabe cˆat ¸si puternice de convergent¸˘a.
Teza este organizat˘a ˆın cinci capitole ¸si o bibliografie. ˆIn primul capitol afirm˘am problema init¸ial˘a care a stimulat aceast˘a cercetare. H. Attouch, L.M. Briceno-Arias ¸si P.L. Combettes propun ˆın [1] o metod˘a de divizare paralel˘a pentru rezolvarea sistemelor de incluziuni monotone cuplate ˆın spat¸ii Hilbert, stabilirea convergent¸ei se ˆıntˆampl˘a cu presupunerea c˘a exist˘a solut¸ii. Metoda poate gestiona un num˘ar arbitrar de variabile
¸si scheme de cuplare neliniare.
ˆIn al doilea capitol sunt prezentate cˆateva notat¸ii necesare ¸si rezultate pre- liminare, ˆın scopul de a facilita citirea manuscrisului. Sunt introduse not¸iuni cum ar fi operatori nonexpansivi, sum˘a paralel˘a, cocoercivitate, conjugare, dualitate Fenchel, subdiferent¸iabilitate ¸si operatori maximal monotoni ˆımpreun˘a cu ni¸ste algoritmi de di- vizare esent¸iale, cum ar fi algoritmul Douglas-Rachford, algoritmul forward-backward
¸si algoritmul lui Tseng. Ace¸sti algoritmi au fost studiate ˆın detaliu ˆın [4].
Capitolul trei este dedicat algoritmului primal-dual de divizare pentru rezolvarea problemei luate ˆın considerare ˆın aceast˘a tez˘a ¸si investigheaz˘a convergent¸a algoritmu- lui. Operatorii care apar ˆın fiecare dintre incluziuni din sistem sunt procesate ˆın fiecare iterat¸ie separat, ¸si anume, operatorii univoci sunt evaluate ˆın mod explicit, echiva- lent cu un pas forward, ˆın timp ce operatorii multivoci sunt evaluate prin intermediul rezolvent¸ilor lor, ceea ce este echivalent cu un pas backward. Un avantaj este c˘a pa¸sii din schema iterativ˘a pot fi executate simultan, acest lucru f˘acˆand metoda aplicabil˘a la o varietate de probleme de minimizare convexe. Rezolvarea problemelor de optimizare convexe cu mai multe variabile este, de asemenea, prezentat˘a ˆın acest capitol.
ˆIn capitolul patru, performant¸ele numerice ¸si eficacitatea algoritmului de di- vizare propuse sunt evident¸iate prin mai multe experimente numerice, cum ar fi proce- sarea imaginilor, adic˘a cur˘atarea unei imagini neclare; probleme de localizare, unde obiectivul este de a minimiza calea de energie dintre facilit˘at¸ile existente ¸si mai multe facilit˘at¸i noi, care trebuie situate ˆıntre cele existente; consens ˆın media ret¸elelor col- orate, care const˘a ˆın calcularea mediei pornind de la valoarea fiec˘arui nod ˆıntr-un mod recursiv ¸si distribuit; clasificarea imaginilor prin intermediului vectorilor suport, unde obiectivul este de a construi o funct¸ie de decizie, cu ajutorul datelor de formare, care atribuie corect o dat˘a nou˘a, cu o rat˘a de clasificare eronat˘a sc˘azut˘a.
Ultima parte a tezei de doctorat prezint˘a o colaborare cu o echip˘a de cerc- etare ˆın biologie, care studiaz˘a prezent¸a picoalgelor ˆın lacurile s˘arate din Transilvania.
Scopul este de a adapta algoritmul ˆın procesarea imaginilor ¸si recunoa¸sterea formelor ˆın imagini microscopice ¸si electroforetograme. Procesul de dezvoltare a inclus imag- ini microscopice epifluorescente de picoalge, scopul fiind acela de a num˘ara ¸si distinge picoalge de zgomotul de baz˘a din imagini.
Cuvinte cheie
optimizare convex˘a, sistem de incluziuni, algoritm forward-backward-forward, continu- itate Lipschitz, operator maximal monoton, clasificarea imaginilor
Not ¸iuni din teoria operatorilor monotoni
Not¸iunea matematic˘a a unui spat¸iu Hilbert a fost numit˘a dup˘a matematicianul german David Hilbert. La ˆınceput, spat¸iile Hilbert au fost studiate ca spat¸ii de funct¸ii infinit-dimensionale de David Hilbert, Frigyes Riesz ¸si Erhard Schmidt, ˆın primul dece- niu al secolului 20. De-a lungul acestei lucr˘ariR+denot˘a setul de numere reale pozitive, R++ setul de numere reale strict pozitive ¸si R = R∪ {±∞} linia real˘a extins˘a. Con- sider˘am spat¸ii Hilbert dotate cu produsul scalar h·|·i ¸si norma asociat˘a k·k = p
h·|·i.
Pentru a evita confuzia, atunci cˆand este necesar, se vor folosi indicii adecvate la pro- dusul scalar ¸si la norm˘a. Simbolurile * i → denot˘a convergent¸a slab˘a ¸si puternic˘a, respectiv.
2.1 Operatori
FieHun spat¸iu Hilbert real ¸si fie 2Hsetul de putere al luiH, i.e., familia tuturor subseturilor lui H. Notat¸ia M : H → 2H ˆınseamn˘a c˘a M este un operator multivoc.
Not˘am cu zerM = {x ∈ H : 0∈ M x} setul zerourilor lui M ¸si cu graM ={(x, u) ∈ H × H:u∈M x} graful luiM. Domeniul lui M este
domM ={x∈ H:M x6=∅}.
Inversa lui M, denotat˘a cu M−1 :H →2H, este definit˘a dup˘a cum urmeaz˘a
graM−1 ={(u, x)∈ H × H: (x, u)∈graM}.
Prin urmare, pentru fiecare (x, u)∈ H × H, u∈M x⇔x∈M−1u.
Suma ¸si suma paralel˘a a doi operatori multivoci M, N : H →2H este definit˘a ca
M+N :H →2H,(M +N)(x) = M(x) +N(x), ∀x∈ H (2.1.1)
¸si
MN :H →2H, MN = M−1+N−1−1
. (2.1.2)
FieGun spat¸iu Hilbert real ¸si consider˘am operatorulunivoc L:H → G. Norma operatorului liniar continuuL este kLk= sup{kLxk:x∈ H,kxk ≤1}, ¸si L∗ :G → H, definit˘a astfel ˆıncˆat hLx|yi=hx|L∗yi pentru fiecare (x, y)∈ H × G, denot˘a operatorul adjunct al lui L.
2.2 Funct ¸ii
Not˘am cu Γ(H) setul de funct¸ii convexe, corespunz˘atoare ¸si inferior semicon- tinuu f :H →R.
Funct¸ia indicator δC :H →Ra unui setC⊆ Heste definit˘a dup˘a cum urmeaz˘a
δC(x) =
0, for x∈C;
+∞, altfel.
(2.2.1)
Observ˘am c˘a funct¸ia indicatorδC este inferior semicontinuu dac˘a ¸si numai dac˘aC este ˆınchis.
Definit¸ie 2.2.1. Fie f ¸si g dou˘a funct¸ii corespunz˘atoare din H la R. Convolut¸ia infi-
mal˘a a funct¸iilor f ¸si g este definit˘a ca
fg :H →R, fg(x) = inf
y∈H{f(y) +g(x−y)}.
Definit¸ie 2.2.2. Fief :H →R. Funct¸ia conjugat˘a (sau conjugata Fenchel) a funct¸iei f este f∗ : H → R, f∗(u) = sup{hu, xi −f(x) :x∈ H} pentru u ∈ H ¸si biconjugata lui f este f∗∗= (f∗)∗.
Observ˘am c˘a, dac˘a f ∈Γ(H), atunci ¸si f∗ ∈Γ(H).
Teorema urm˘atoare legat˘a de dualitatea lui Fenchel a fost obt¸inut˘a de R. T.
Rockafellar [53].
Theorem 2.2.1. Fie H un spat¸iu Hilbert. Fie f, g : H → R∪+∞ funct¸ii convexe corespunz˘atoare.
(i) Dac˘a domf ∩domg cont¸ine un punct ˆın care f sau g este continuu, atunci
(f +g)∗ =f∗g∗
cu o convolut¸ie infimal˘a exact˘a.
(ii) Presupunem c˘a f saug apart¸in luiΓ(H). Dac˘adomf∗∩domg∗ cont¸ine un punct ˆın care f∗ sau g∗ este continuu, atunci
fg = (f∗+g∗)∗
cu o convolut¸ie infimal˘a exact˘a.
Capitolul 3
Technica primal-dual˘ a de divizibilitate
Not¸iunea matematic˘a a unui spat¸iu Hilbert a fost numit˘a dup˘a matematicianul german David Hilbert. La ˆınceput, spat¸iile Hilbert au fost studiate ca spat¸ii de funct¸ii infinit-dimensionale de David Hilbert, Frigyes Riesz ¸si Erhard Schmidt, ˆın primul dece- niu al secolului 20. De-a lungul acestei lucr˘ariR+denot˘a setul de numere reale pozitive, R++ setul de numere reale strict pozitive ¸si R = R∪ {±∞} linia real˘a extins˘a. Con- sider˘am spat¸ii Hilbert dotate cu produsul scalar h·|·i ¸si norma asociat˘a k·k = p
h·|·i.
Pentru a evita confuzia, atunci cˆand este necesar, se vor folosi indicii adecvate la pro- dusul scalar ¸si la norm˘a. Simbolurile * i → denot˘a convergent¸a slab˘a ¸si puternic˘a, respectiv.
Urm˘atoarele rezultate prezentate ˆın tez˘a se bazeaz˘a pe articolul [10], care a rezultat din colaborarea mea cu profesorul Radu Ioan Bot¸ ¸si Ern˝o Robert Csetnek.
3.1 Formularea problemei cu incluziuni monotone
Problema ˆın cauz˘a este un sistem mai general de incluziuni monotone, decˆat cel prezentat ˆın [1], pentru care operatorul satisface o proprietate de Lipschitz continuitate, ˆımpreun˘a cu sistemul s˘au dublu de incluziuni monotone ˆın sensul dualit˘at¸ii Attouch
-Th´era [2].
Problema 3.1.1. Fiem≥1un num˘ar pozitiv,(Hi)1≤i≤m spat¸ii Hilbert reale ¸si, pentru i= 1, ..., m fie Bi :H1×. . .× Hm → Hi operatori µi-Lipschitz continuu cu µi ∈R++, care satisfac ˆımpreun˘a o proprietate de monotonitate
∀(x1, . . . , xm)∈ H1×. . .× Hm, ∀(y1, . . . , ym)∈ H1×. . .× Hm
m
X
i=1
hxi−yi|Bi(x1, . . . , xm)−Bi(y1, . . . , ym)iH
i ≥0. (3.1.1)
FieGi spat¸ii Hilbert reale, pentru fiecarei= 1, . . . , m¸si fieAi :Gi →2Gi operatori max- imal monotoni, Ci : Gi → 2Gi operatori monotoni, astfel ˆıncˆat Ci−1 s˘a fie νi-Lipschitz continuu cuνi ∈R+ ¸si Li :Hi → Gi operatori liniari continuu. Problema propus˘a este aceea de a rezolva sistemul de incluziuni monotone (a se vedea 2.1.2 pentru definit¸ia sumei paralele pentru doi operatori)
c˘aut˘am x1 ∈ H1, . . . , xm ∈ Hm astfel ˆıncˆat
0∈L∗1(A1C1)(L1x1) +B1(x1, . . . , xm) ...
0∈L∗m(AmCm)(Lmxm) +Bm(x1, . . . , xm) (3.1.2) ˆımpreun˘a cu sistemul dual
c˘aut˘am v1 ∈ G1, . . . , vm ∈ Gm astfel ˆıncˆat
∃x1 ∈ H1, . . . ,∃xm ∈ Hm
0 =L∗1v1+B1(x1, . . . , xm) ...
0 =L∗mvm+Bm(x1, . . . , xm) v1 ∈(A1C1)(L1x1)
...
vm ∈(AmCm)(Lmxm) .
(3.1.3) Spunem c˘a (x1, . . . , xm, v1, . . . , vm)∈ H1×. . .× Hm× G1. . .× Gm este o solut¸ie primal-dual˘a la Problema 3.1.1, dac˘a
0 = L∗ivi+Bi(x1, . . . , xm) ¸si vi ∈(AiCi)(Lixi), i= 1, . . . , m. (3.1.4)
Dac˘a (x1, . . . , xm, v1, . . . , vm)∈ H1×. . .× Hm× G1. . .× Gm este o solut¸ie primal-dual˘a la Problema 3.1.1, atunci (x1, . . . , xm) este o solut¸ie la (3.1.2) ¸si (v1, . . . , vm) este o solut¸ie la (3.1.3). Observ˘am deasemenea c˘a
(x1, . . . , xm) rezolv˘a (3.1.2)⇔0∈L∗i(AiCi)(Lixi) +Bi(x1, . . . , xm), i= 1, . . . , m⇔
∃v1 ∈ G1, . . . , vm∈ Gm astfel ˆıncˆat
0 =L∗ivi+Bi(x1, . . . , xm), i= 1, . . . , m vi ∈(AiCi)(Lixi), i= 1, . . . , m.
.
Astfel, dac˘a (x1, . . . , xm) este o solut¸ie la (3.1.2), atunci exist˘a (v1, . . . , vm)∈ G1×. . .Gm astfel ˆıncˆat (x1, . . . , xm, v1, . . . , vm) s˘a fie o solut¸ie primal-dual˘a la Problema 3.1.1 ¸si, dac˘a (v1, . . . , vm) ∈ G1×. . .Gm este o solut¸ie la (3.1.3), atunci exist˘a (x1, . . . , xm) ∈ H1×. . .× Hm astfel ˆıncˆat (x1, . . . , xm, v1, . . . , vm) este o solut¸ie primal-dual˘a la Prob- lema 3.1.1.
3.2 Algoritmul primal-dual de divizare
Scopul acestei sect¸iuni este acela de a asigura un algoritm pentru rezolvarea Problemei 3.1.1¸si pentru a furniza rezultate de convergent¸˘a slabe ¸si puternice pentru secvent¸ele generate de acesta. Schema iterativ˘a propus˘a are proprietatea c˘a fiecare operator univoc este procesat ˆın mod explicit, ˆın timp ce fiecare operator multivoc este evaluat prin intermediul rezolventului s˘au. Secvent¸e absolut sumabile fac algoritmul s˘a fie tolerant la erori.
Algoritmul 3.2.1.
Fie (a1,i,n)n≥0, (b1,i,n)n≥0, (c1,i,n)n≥0 secvent¸e absolut sumabile ˆın Hi, pentru fiecare i = 1, . . . , m ¸si (a2,i,n)n≥0, (b2,i,n)n≥0, (c2,i,n)n≥0 secvent¸e absolut sumabile ˆın Gi. De asemenea, set˘am
β =max
v u u t
m
X
i=1
µ2i, ν1, . . . , νm
+ max
i=1,...,mkLik, (3.2.1)
fie ε∈]0,1/(β+ 1)[¸si (γn)n≥0 o secvent¸˘a din[ε,(1−ε)/β]. Pentru fiecare i= 1, . . . , m, punctele init¸iale xi,0 ∈ Hi ¸si vi,0 ∈ Gi vor fii alese arbitrar ¸si set˘am
∀n≥0
For i= 1, . . . , m
yi,n =xi,n−γn(L∗ivi,n+Bi(x1,n, . . . , xm,n) +a1,i,n) wi,n =vi,n−γn(Ci−1vi,n−Lixi,n+a2,i,n)
pi,n =yi,n+b1,i,n ri,n=Jγ
nA−1i wi,n+b2,i,n
qi,n =pi,n−γn(L∗iri,n+Bi(p1,n, . . . , pm,n) +c1,i,n) si,n=ri,n−γn(Ci−1ri,n−Lipi,n+c2,i,n)
xi,n+1 =xi,n−yi,n+qi,n vi,n+1 =vi,n−wi,n+si,n.
Convergent¸a algoritmului 3.2.1 se stabile¸ste prin demonstrarea faptului c˘a schema ei iterativ˘a poate fi redus˘a la versiunea algoritmului tolerant de erori forward- backward-forward al lui Tseng (cf. [59] pentru cazul f˘ar˘a erori), recent prev˘azut ˆın [16].
Cadrul nostru algoritmic va depinde de urm˘atorul algoritm de divizare, foarte intere- sant ˆın aplicat¸iile lui.
Theorem 3.2.1. [16]Fie Hun spat¸iu Hilbert real, fie M :H →2H maximal monoton
¸si fie L : H → H monoton. Presupunem c˘a zer(M +L) 6=∅ ¸si c˘a L este β-Lipschitz continuu, pentruβ ∈]0,+∞[. Fie (an)n∈N, (bn)n∈N ¸si fie (cn)n∈N o secvent¸˘a ˆın H astfel ˆıncˆat
X
n∈N
kank<+∞, X
n∈N
kbnk<+∞ ¸si X
n∈N
kcnk<+∞,
fie x0 ∈ H, fie ε∈]0,1/(β+ 1)[, fie (γn)n∈N o secvent¸˘a din [ε,(1−ε)/β], ¸si fie
∀n∈N
yn =xn−γn(Lxn+an) pn=JγnMyn+bn
qn=pn−γn(Lpn) +cn) xn+1 =xn−yn+qn.
Atunci urm˘atoarele condit¸ii sunt ˆındeplinite pentru x∈zer(M +L):
(i) P
n∈Nkxn−pnk2 <+∞ ¸si P
n∈Nkyn−qnk2 <+∞.
(ii) xn * x¸si pn * x.
(iii) Presupunem c˘a una dintre condit¸iile urm˘atoare este ˆındeplinit˘a:
(a) M +L este demiregular ˆın x.
(b) M sau L este uniform monoton ˆın x.
(c) int zer(M +L)6=∅.
Atunci xn→x ¸si pn→x.
Urm˘atoarea teorem˘a stabile¸ste convergent¸a Algoritmului 3.2.1:
Theorem 3.2.2. [10] Presupunem c˘a Problema 3.1.1 are o solut¸ie primal-dual˘a. ˆIn cazul secvent¸elor generate de Algoritmul 3.2.1, urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate:
(i) ∀i∈ {1, . . . , m} P
n≥0
kxi,n−pi,nk2H
i <+∞ ¸si P
n≥0
kvi,n−ri,nk2G
i <+∞.
(ii) Exist˘a o solut¸ie primal-dual˘a (x1, . . . , xm, v1, . . . , vm) la Problema 3.1.1 astfel ˆıncˆat:
(a) ∀i∈ {1, . . . , m} xi,n * xi, pi,n* xi, vi,n * vi ¸siri,n* vi pentrun→+∞.
(b) Dac˘a Ci−1, i= 1, ..., m,este uniform monoton ¸si exist˘a o funct¸ie cresc˘atoare φB :R+ →R+∪ {+∞} care dispare numai la valoarea 0 ¸si satisface
∀(x1, . . . , xm)∈ H1×. . .× Hm, ∀(y1, . . . , ym)∈ H1×. . .× Hm m
X
i=1
hxi−yi|Bi(x1, . . . , xm)−Bi(y1, . . . , ym)iH
i ≥ φB
k(x1, . . . , xm)−(y1, . . . , ym)k
, (3.2.2)
atunci ∀i ∈ {1, . . . , m} xi,n → xi, pi,n → xi, vi,n → vi ¸si ri,n → vi pentru
n→+∞.
3.3 Aplicat ¸ii la probleme de minimizare convexe
ˆIn aceast˘a sect¸iune ne vom ˆındrepta atent¸ia spre rezolvarea problemelor de minimizare convexe cu variabile multiple, prin intermediul algoritmului primal-dual prezentat ¸si investigat ˆın aceast˘a tez˘a.
Problema 3.3.1. Fie m ≥ 1 ¸si p ≥ 1 numere pozitive, (Hi)1≤i≤m, fie (H0i)1≤i≤m ¸si (Gj)1≤j≤p spat¸ii Hilbert reale, fi, hi ∈ Γ(H0i) astfel ˆıncˆat hi sunt νi−1-puternic convexe
cu νi ∈ R++, i = 1, ..., m, ¸si gj ∈ Γ(Gj) pentru i = 1, ..., m, j = 1, ..., p. De asemenea, fie Ki : Hi → Hi0 ¸si Lji : Hi → Gj, i = 1, ..., m, j = 1, ..., p operatori liniari continuu.
Consider˘am urm˘atoarea problem˘a de optimizare convex˘a
inf
(x1,...,xm)∈H1×...×Hm
( m X
i=1
(fihi)(Kixi) +
p
X
j=1
gj
m
X
i=1
Ljixi
!)
. (3.3.1)
ˆIn cele ce urmeaz˘a, vom ar˘ata c˘a sub o condit¸ie de calificare corespunz˘atoare, rezolvarea problemei de optimizare convex˘a (3.3.1) poate fi redus˘a la rezolvarea unui sistem de incluziuni monotone de tip (3.1.2).
Definim urm˘atoarea funct¸ie convex˘a adecvat˘a ¸ai inferior semicontinu˘a
f :H01×. . .× H0m →R, (y1, . . . , ym)7→
m
X
i=1
(fihi)(yi),
¸si operatorul liniar continuu
K :H1×. . .× Hm → H01×. . .× H0m, (x1, . . . , xm)7→(K1x1, . . . , Kmxm),
ˆımpreun˘a cu adjuncta
K∗ :H01×. . .× H0m → H1×. . .× Hm, (y1, . . . , ym)7→(K1∗y1, . . . , Km∗ym).
De asemenea, consider˘am operatorii liniari continuu
Lj :H1×. . .× Hm → Gj, (x1, . . . , xm)7→
m
X
i=1
Ljixi, j = 1, ..., p,
ˆımpreun˘a cu adjunctele
L∗j :Gj → H1×. . .× Hm, y 7→(L∗j1y, . . . , L∗jmy), j = 1, ..., p,
respectiv. Avem
(x1, . . . , xm) este o solut¸ie optim˘a la (3.3.1)
⇔(0, . . . ,0)∈∂ f ◦K+
p
X
j=1
gj◦Lj
!
(x1, . . . xm). (3.3.2)
ˆIn scopul de a ˆımp˘art¸ii subdiferent¸ialele ment¸ionate mai sus, ˆıntr-o sum˘a de subdiferent¸iale, trebuie ˆındeplinite ni¸ste condit¸ii de calificare. ˆIn acest context, con- sider˘am urm˘atoarele condit¸ii de calificare de tip interioritate:
(QC1)
exist˘ax0i ∈ Hi astfel ˆıncˆat
Kix0i ∈(domfi+ domhi) ¸si fihi este continuu ˆın Kix0i, i= 1, ..., m,
¸si Pm
i=1Ljix0i ∈domgj ¸si gj este continuu ˆın Pm
i=1Ljix0i, j = 1, ..., p
¸si
(QC2)
(0, . . . ,0)∈ sqri Qm
i=1(domfi + domhi)×Qp
j=1domgj
−{(K1x1, . . . , Kmxm,Pm
i=1L1ixi, . . . ,Pm
i=1Lpixi) : (x1, . . . , xm)∈ H1×. . .× Hm}
.
Se observ˘a c˘a (QC1)→(QC2), aceste implicat¸ii fiind stricte, ¸si facem referint¸˘a la [4,7,8,29,58,68,69] pentru alte condit¸ii de calificare ˆın optimizare convex˘a.
Remarc˘a 3.3.1. Dup˘a cum am subliniat deja, pentru i = 1, ..., m, fihi ∈ Γ( h0i), prin urmare, este continu˘a pe int(domfi+ domhi), presupunˆand c˘a acest set nu este vid ( [29,69]). Pentru alte rezultate referitoare la continuitatea convolut¸iei infimale a funct¸iilor convexe invit˘am cititorul s˘a consulte [57].
Remarc˘a 3.3.2. ˆIn spat¸ii finit-dimensionale, condit¸ia de calificare (QC2)este echiva- lent˘a cu
(QC2)
exist˘a x0i ∈ Hi astfel ˆıncˆat Kix0i ∈ri domfi+ ri domhi, i= 1, ..., m,
¸si Pm
i=1Ljix0i ∈ri domgj, j = 1, ..., p.
Presupunˆand c˘a una dintre condit¸iile de calificare ment¸ionate mai sus este
ˆındeplinit˘a, avem
(x1, . . . , xm) este o solut¸ie optimal˘a la (3.3.1)
⇔(0, . . . ,0)∈ K∗∂f K(x1, . . . xm) +
p
X
j=1
L∗j∂gj Lj(x1, . . . xm)
⇔(0, . . . ,0)∈
K1∗∂(f1h1)(K1x1), . . . , Km∗∂(fmhm)(Kmxm) +
p
X
j=1
L∗j∂gj Lj(x1, . . . xm)
. (3.3.3)
Convergent¸a puternic˘a a funct¸iilor hi implic˘a domh∗i = H0i, astfel ∂(fihi) =
∂fi∂hi, i= 1, ..., m. Prin urmare, (3.3.3) este echivalent˘a cu
(0, . . . ,0)∈
K1∗(∂f1∂h1)(K1x1), . . . , Km∗(∂fm∂hm)(Kmxm) +
p
X
j=1
L∗jvj,
unde
vj ∈∂gj Lj(x1, . . . xm)
⇔ vj ∈∂gj
m
X
i=1
Ljixi
⇔
m
X
i=1
Ljixi ∈∂gj∗(vj), j = 1, ..., p.
Atunci (x1, . . . , xm) este o solut¸ie optimal˘a la (3.3.1) dac˘a ¸si numai dac˘a (x1, . . . , xm, v1, . . . , vp) este o solut¸ie la
0∈K1∗(∂f1∂h1)(K1x1) +Pp
j=1L∗j1vj ...
0∈Km∗(∂fm∂hm)(Kmxm) +Pp
j=1L∗jmvj 0∈∂g1∗(v1)−Pm
i=1L1ixi ...
0∈∂gp∗(vp)−Pm
i=1Lpixi.
(3.3.4)
Se observ˘a c˘a (3.3.4) este un sistem de incluziuni cuplate de tip (3.1.2), prin
Ai =∂fi, Ci =∂hi, Li =Ki, i= 1, ..., m,
Am+j =∂gj∗, Cm+j(x) =
Gj, x= 0
∅, altfel ,
Lm+j = IdGj, j = 1, ..., p,
¸si, pentru (x1, ..., xm, v1, ..., vp)∈ H1×. . .Hm× G1×. . .× Gp, operatorii de cuplare sunt
Bi(x1, . . . , xm, v1, . . . , vp) =
p
X
j=1
L∗jivj, i= 1, . . . , m,
¸si
Bm+j(x1, . . . , xm, v1, . . . , vp) = −
m
X
i=1
Ljixi, j = 1, . . . , p.
Definim
B(x1, . . . , xm, v1, . . . , vp) = (B1, . . . , Bm+p)(x1, . . . , xm, v1, . . . , vp) (3.3.5)
=
p
X
j=1
L∗j1vj, . . . ,
p
X
j=1
L∗jmvj,−
m
X
i=1
L1ixi, . . . ,−
m
X
i=1
Lpixi
! .
(3.3.6) Rezult˘a c˘a Ci−1 = (∂hi)−1 = ∂h∗i = {∇h∗i} este νi-Lipschitz continuu pentru i= 1, ..., m. Pe de alt˘a parte,Cm+j−1 este operatorul zero pentruj = 1, ..., p, prin urmare 0-Lipschitz continuu.
De asemenea, operatorii Bi, i = 1, ..., m+p sunt liniari ¸si Lipschitz continuu, avˆand constantele Lipschitz
µi = v u u t
p
X
j=1
kLjik2, i= 1, ..., m, ¸si µm+j = v u u t
m
X
i=1
kLjik2, j = 1, ..., p,
respectiv. Pentru fiecare (x1, . . . , xm, v1, . . . , vp),(y1, . . . , ym, w1, . . . , wp) ∈ H1×. . .×
Hm× G1×. . .× Gp rezult˘a
m
X
i=1
hxi−yi|Bi(x1, . . . , xm, v1, . . . , vp)−Bi(y1, . . . , ym, w1, . . . , wp)iH
i
+
p
X
j=1
hvj −wj|Bm+j(x1, . . . , xm, v1, . . . , vp)−Bm+j(y1, . . . , ym, w1, . . . , wp)iG
j
=
m
X
i=1
*
xi−yi|
p
X
j=1
L∗jivj−
p
X
j=1
L∗jiwj
+
Hi
−
p
X
j=1
*
vj−wj|
m
X
i=1
Ljixi−
m
X
i=1
Ljiyi
+
Gj
= 0,
prin urmare (3.1.1) este ˆındeplinit˘a. Astfel am demonstrat ¸si faptul c˘a operatorul liniar continuu B este oblic (i.e. B∗ =−B).
Remarc˘a 3.3.3. Datorit˘a faptului c˘a operatorul B este oblic, nu este cocoerciv, prin urmare, metoda prezentat˘a ˆın [1] nu poate fi aplicat˘a ˆın acest context. Pe de alt˘a parte, ˆın scopul de a determina o solut¸ie optim˘a a problemei de optimizare (3.3.1)(¸si o solut¸ie optim˘a a dualei de tip Fenchel), se pot utiliza algoritmi primal-duali de divizare prox- imali care au fost introduse recent in [23,61]. Aceste abord˘ari au particularitatea de a face fat¸˘a ˆın mod eficient sumelor de compoziii cu funct¸ii corespunz˘atoare, convexe ¸si inferior semicontinuu ¸si cu operatori liniari continuu, evaluˆand separat fiecare funct¸ie printr-un pas backward ¸si fiecare operator liniar continuu (¸si adjuncta acestuia) prin intermediul unui pas forward. Cu toate acestea, sistemul iterativ pe care ˆıl propunem ˆın aceast˘a sect¸iune pentru rezolvarea (3.3.1), are avantajul de a exploata structura prob- lemei separabile.
S˘a amintim, de asemenea, c˘a problema dual˘a de incluziuni la (3.3.4) este (a se vedea (3.1.3))
c˘aut˘am w1 ∈ H01, . . . , wm ∈ H0m, wm+1 ∈ G1, . . . , wm+p ∈ Gp astfel ˆıncˆat
∃x1 ∈ H1, . . . ,∃xm ∈ Hm,∃v1 ∈ G1, . . . ,∃vp ∈ Gp
0 = K1∗w1+Pp
j=1L∗j1vj ...
0 = Km∗wm+Pp
j=1L∗jmvj 0 = wm+1−Pm
i=1L1ixi ...
0 = wm+p−Pm i=1Lpixi w1 ∈(∂f1∂h1)(K1x1) ...
wm ∈(∂fm∂hm)(Kmxm) wm+1 ∈∂g1∗(v1)
...
wm+p ∈∂gp∗(vp).
(3.3.7) Atunci (x1, ...xm, v1, ..., vp, w1, ..., wm, wm+1, ..., wm+p) este o solut¸ie primal-dual˘a la (3.3.4) - (3.3.7), dac˘a
wi ∈(∂fi∂hi)(Kixi), wm+j ∈∂g∗j(vj), 0 = Ki∗wi+
p
X
j=1
L∗jivj ¸si 0 =wm+j −
m
X
i=1
Ljixi, i= 1, ..., m, j = 1, ..., p.
Cu condit¸ia c˘a (x1, ...xm, v1, ..., vp, w1, ..., wm, wm+1, ..., wm+p) este o solut¸ie primal-dual˘a la (3.3.4) - (3.3.7), rezult˘a c˘a (x1, ...xm) este o solut¸ie optimal˘a la (3.3.1)
¸si (w1, ..., wm, v1, ..., vp) este o solut¸ie optimal˘a la problema dual˘a de tip Fenchel
sup
(w1,...,wm,wm+1,...,wm+p)∈H01×...×H0m×G1×...×Gp
Ki∗wi+Pp
j=1L∗jiwm+j=0,i=1,...,m
(
−
m
X
i=1
(fi∗(wi) +h∗i(wi))−
p
X
j=1
gj∗(wm+j) )
.
(3.3.8) Algoritmul 3.2.1 d˘a na¸stere urm˘atoarei scheme iterative pentru rezolvarea (3.3.4) - (3.3.7).
Algoritmul 3.3.1.
Pentru fiecare i = 1, . . . , m ¸si fiecare j = 1, . . . , p fie (a1,i,n)n≥0, (b1,i,n)n≥0, (c1,i,n)n≥0, secvent¸e absolut sumabile ˆınHi, (a2,i,n)n≥0, (b2,i,n)n≥0, (c2,i,n)n≥0 secvent¸e absolut sum- abile ˆın H0i ¸si (a1,m+j,n)n≥0, (a2,m+j,n)n≥0, (b1,m+j,n)n≥0, (b2,m+j,n)n≥0, (c1,m+j,n)n≥0 ¸si (c2,m+j,n)n≥0 secvent¸e absolut sumabile ˆın Gj. De asemenea, fie
β =max
v u u t
m+p
X
i=1
µ2i, ν1, . . . , νm
+ max {kK1k, . . . ,kKmk,1}, (3.3.9)
unde
µi = v u u t
p
X
j=1
kLjik2, i = 1, . . . , m, ¸si µm+j = v u u t
m
X
i=1
kLjik2, j = 1, . . . , p, (3.3.10)
fie ε ∈]0,1/(β + 1)[ ¸si fie (γn)n≥0 o secvent¸˘a din [ε,(1 − ε)/β]. Fie punctele init¸iale (x1,1,0, . . . , x1,m,0) ∈ H1 × . . .× Hm, (x2,1,0, . . . , x2,m,0) ∈ H01 × . . .× H0m ¸si
(v1,1,0, . . . , v1,p,0), (v2,1,0, . . . , v2,p,0)∈ G1×. . .× Gp alese arbitrar ¸si set˘am
∀n ≥0
For i= 1, . . . , m
y1,i,n=x1,i,n−γn
Ki∗x2,i,n+Pp
j=1L∗jiv1,j,n+a1,i,n y2,i,n=x2,i,n−γn(∇h∗ix2,i,n−Kix1,i,n+a2,i,n) p1,i,n =y1,i,n+b1,i,n
p2,i,n = Proxγnf∗
i y2,i,n+b2,i,n For j = 1, . . . , p
w1,j,n=v1,j,n−γn(v2,j,n−Pm
i=1Ljix1,i,n+a1,m+j,n) w2,j,n=v2,j,n−γn(−v1,j,n+a2,m+j,n)
r1,j,n =w1,j,n+b1,m+j,n
r2,j,n = Proxγngjw2,j,n+b2,m+j,n For i= 1, . . . , m
q1,i,n =p1,i,n−γn
Ki∗p2,i,n+Pp
j=1L∗jir1,j,n+c1,i,n q2,i,n =p2,i,n−γn(∇h∗ip2,i,n−Kip1,i,n+c2,i,n) x1,i,n+1 =x1,i,n−y1,i,n+q1,i,n
x2,i,n+1 =x2,i,n−y2,i,n+q2,i,n For j = 1, . . . , p
s1,j,n =r1,j,n−γn(r2,j,n−Pm
i=1Ljip1,i,n+c1,m+j,n) s2,j,n =r2,j,n−γn(−r1,j,n+c2,m+j,n)
v1,j,n+1 =v1,j,n−w1,j,n+s1,j,n v2,j,n+1 =v2,j,n−w2,j,n+s2,j,n.
Urm˘atorul rezultat de convergent¸˘a pentru algoritmul 3.3.1 este o consecint¸˘a a Teoremei 3.2.2.
Theorem 3.3.1. [10] Presupunem c˘a problema de optimizare (3.3.1) are o solut¸ie optimal˘a ¸si c˘a una dintre condit¸iile de calificare (QCi), i = 1,2, este ˆındeplnit˘a.
Urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate pentru secvent¸ele generate de Algoritmul 3.3.1:
(i) ∀i∈ {1, . . . , m} P
n≥0
kx1,i,n−p1,i,nk2H
i <+∞, P
n≥0
kx2,i,n−p2,i,nk2H
i <+∞¸si
∀j ∈ {1, . . . , p} P
n≥0
kv1,j,n−r1,j,nk2G
j <+∞, P
n≥0
kv2,j,n−r2,j,nk2G
j <+∞.
(ii) Exist˘a o solut¸ie optimal˘a (x1, . . . , xm) la (3.3.1) ¸si o solut¸ie optimal˘a
(w1, . . . , wm, wm+1, . . . , wm+p)la (3.3.8), astfel ˆıncˆat∀i∈ {1, . . . , m} x1,i,n * xi, p1,i,n * xi, x2,i,n * wi ¸si p2,i,n * wi ¸si ∀j ∈ {1, . . . , p} v1,j,n * wm+j ¸si r1,j,n* wm+j pentru n→+∞.
Remarc˘a 3.3.4. Recent, a fost propus un alt sistem iterativ pentru rezolvarea sis- temelor de incluziuni monotone ˆın [22], care, de asemenea, este capabil s˘a rezolve probleme de optimizare de tip (3.3.1), ˆın cazul ˆın care funct¸iile gj, j = 1, ..., p, nu sunt neap˘arat diferent¸iabile. Metoda este diferit˘a de abordarea noastr˘a, care presupune c˘a variabilele sunt cuplate de c˘atre operatorul univoc B, ˆın [22] cuplarea se face de c˘atre unele compozit¸ii ale sumelor paralele de operatori maximal monotoni cu cele liniare continue.
Capitolul 4
Experimente numerice
Rezultatele teoretice obt¸inute sunt foarte aplicabile ˆın diferite domenii ale matematicii. ˆIn aceast˘a sect¸iune vom prezenta cele patru experimente numerice, care pun accentul pe performant¸a algoritmului primal-dual ¸si pe unele dintre variantele sale pentru sisteme de incluziuni monotone cuplate, cum ar fi prelucrarea imaginilor, prob- leme de localizare, consensul mediei ˆın cazul ret¸elelor colorate ¸si clasificarea imaginilor prin intermediul vectorilor suport.
4.1 Procesarea imaginilor
Primul experiment numeric rezolv˘a problema de procesare a imaginilor prin algoritmul de divizare primal-dual dezvoltat ˆın aceast˘a tez˘a. Scopul este de a estima imaginea original˘a necunoscut˘a din imaginea neclar˘a, cu ajutorul algoritmului.
4.1.1 Claritatea imaginilor
Fie H ¸si (H0i)1≤i≤m spat¸ii Hilbert reale, unde m ≥ 1. Pentru fiecare i ∈ {1, . . . , m}, fie fi ∈ Γ(Hi0) ¸si fie Ki : H → H0i operatori liniari continuu. Consider˘am problema init¸ial˘a de optimizare convex˘a
x∈Hinf nXm
i=1
fi(Kix)o
. (4.1.1)
ˆIn cazul variabilelor multiple, (4.1.1) poate fi formulat˘a ca:
x1,...,xinfm+1
nXm
i=1
fi(Kixi) +
m
X
i=1
δ{0}(xi−xm+1)o
. (4.1.2)
Acesta este un caz special al Problemei 3.3.1 cu (m, p) := (m + 1, m), fm+1 = 0, Km+1 = 0 ¸si ∀i∈ {1, . . . , m+ 1}, hi =δ{0} ¸si ∀j ∈ {1, . . . , m}, Gj =H, gj =δ{0} ¸si
Lji :Hi → Hj 7→
Id, if i=j;
−Id, if i=m+ 1;
0, altfel.
(4.1.3)
Fie (x1,1,0, . . . , x1,m+1,0), (x2,1,0, . . . , x2,m+1,0) ∈ H1 × . . . × Hm+1 ¸si (v1,1,0, . . . , v1,m,0), (v2,1,0, . . . , v2,m,0)∈ H1×. . .×Hm. ˆIn cazul acesta, din (3.3.9) obt¸inem
β = 2√
m+ max n
kK1k, . . . ,kKm+1k,1 o
. (4.1.4)
Algoritmul 4.1.1.
Prin urmare, schema iterativ˘a din Algoritmul 3.3.1 se schimb˘a ˆın
∀n ≥0
For i= 1, . . . , m
y1,i,n =x1,i,n−γn Ki∗x2,i,n+v1,i,n
w1,i,n =v1,i,n−γn v2,i,n−x1,i,n+x1,m+1,n y2,i,n =x2,i,n+γnKix1,i,n
w2,i,n =v2,i,n+γnv1,i,n y1,m+1,n =x1,m+1,n+γnPm
i=1v1,i,n
For i= 1, . . . , m
x1,i,n+1 =x1,i,n−γn Ki∗proxγnf∗
iy2,i,n+w1,i,n v1,i,n+1 =v1,i,n+γn y1,i,n−y1,m+1,n
x2,i,n+1 =x2,i,n−y2,i,n+proxγnf∗
iy2,i,n+γnKiy1,i,n v2,i,n+1 =v2,i,n−w2,i,n+γnw1,i,n
x1,m+1,n+1 =x1,m+1,n+γnPm
i=1w1,i,n
Atunci (x1,1,n, . . . , x1,m+1,n)→(x, . . . , x).
Consider˘am matricea A ∈ Rn×n, care reprezint˘a operatorul neclar ¸si vectorul b ∈ Rn, care descrie imaginea neclar˘a. Scopul este de a estima x∗ ∈ Rn, care este de faptimaginea original˘a necunoscut{a ¸si care ˆındepline¸ste
Ax=b.
Problema care trebuie rezolvat˘a este echivalent˘a cu
x∈Sinf
f1(x) +f2(Ax) , (4.1.5)
pentru f1 :Rn → R, f1(x) = λkxk1 +δS(x) ¸si f2 : Rn → R, f2(y) = ky−bk2. Prin urmaref este corespunz˘ator, convex ¸si inferior semicontinuu cu domeniu m˘arginit ¸sig este o funct¸ie 2-puternic convex˘a cu domeniul complet, diferent¸iabil ¸si cu un gradient Lipschitz continuu, care are constanta Lipschitz egal˘a cu 2.λ >0 reprezint˘a parametrul de regularizare ¸si S ⊆ Rn este un cub n-dimensional reprezentˆand gama de pixeli.
Deoarece fiecare pixel din tonurile de gri furnizeaz˘a o valoare care este ˆıntre 0 ¸si 255, o alegere natural˘a pentru setul convex S ar fi cubul n-dimensional [0,255]n ⊆ Rn. ˆIn scopul de a reduce constanta Lipschitz care apare ˆın abordarea dezvoltat˘a, am scalat imaginile folosite pentru a exemplificarea aplicat¸iei astfel ˆıncˆat fiecare pixel se afl˘a ˆın intervalul
0,101 .
4.1.2 Cadru experimental
Vom lucra ˆın mod concret cu imaginile de teste Cameraman, Lena ¸si Barbara cu dimensiunile 256×256.
Imaginea de testCameraman face parte din setul de instrumente de prelucrare a imaginii din Matlab ¸si dimensiunea imaginii vectorizate ¸si scalate este egal˘a cu n = 2256 = 65536. Prin utilizarea funct¸iilor Matlabimfilter¸si fspecial, aceast˘a imagine este f˘acut˘a neclar˘a dup˘a cum urmeaz˘a:
1 H=f s p e c i a l ( ’ g a u s s i a n ’ , 9 , 4 ) ; % zgomot g a u s s i a n de marime 9
2 % d e v i a t i e s t a n d a r d 4
3 B=i m f i l t e r (X, H, ’ conv ’ , ’ symmetric ’ ) ; % B=i m a g i n e a n e c l a r a
4 % X=i m a g i n e a o r i g i n a l a
ˆIn rˆandul 1, funct¸iafspecialreturneaz˘a un filtru de rotat¸ie simetric˘a de tip Gauss de m˘arime 9×9 cu deviat¸ia standard 4. Parametrii lui H sunt pozitive ¸si suma lor este 1. ˆIn rˆandul 3, funct¸ia imfilter folose¸ste filtrul H pentru imaginea X ∈ R256×256 ¸si furnizeaz˘a o imagine neclar˘a B ∈R256×256. Opt¸iunea de limit˘a ”simetric” corespunde condit¸iilor reflexive de limit˘a. Pentru mai multe aplicat¸ii interesante ˆın domeniul imag- inilor neclare, clarificate cu tehnici diferite, facem referint¸˘a la [11–15,19].
Datorit˘a filtrului de rotat¸ie simetric˘aH, operatorul liniarA∈Rn×n, calculat cu ajutorul funct¸iei Matlab imfilter, este la rˆandul s˘au simetric. Dup˘a ad˘augarea unui zgomot alb de tip Gauss, de medie zero, cu deviat¸ia standard egal˘a cu 10−4, obt¸inem imaginea neclar˘ab ∈Rn.
ˆIn cazul acesta particular m:= 2, K1 = Id,K2 =A ¸si β este egal cu
β = 2√
2 + max n
kAk,1o
. (4.1.6)
Folosind descompunerea spectral˘a real˘a a lui A, rezult˘a c˘a kAk2 = 1. Prin urmare β= 2√
2 + 1.