• Nu S-Au Găsit Rezultate

¸ si de rezolvare a inegalit˘ at ¸ilor variat ¸ionale cu aplicat ¸ii

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "¸ si de rezolvare a inegalit˘ at ¸ilor variat ¸ionale cu aplicat ¸ii"

Copied!
56
0
0

Text complet

(1)

Erika Nagy

Metode numerice de aproximare a zerourilor unor operatori

¸ si de rezolvare a inegalit˘ at ¸ilor variat ¸ionale cu aplicat ¸ii

Rezumatul tezei de doctorat

Conduc˘ator de doctorat:

Prof. Dr. G´ abor Kassay

Cluj-Napoca 2013

(2)

Cuprins

1 Introducere 3

2 Not¸iuni din teoria operatorilor monotoni 6

2.1 Operatori . . . 6

2.2 Funct¸ii . . . 7

3 Technica primal-dual˘a de divizibilitate 9 3.1 Formularea problemei cu incluziuni monotone . . . 9

3.2 Algoritmul primal-dual de divizare . . . 11

3.3 Aplicat¸ii la probleme de minimizare convexe . . . 13

4 Experimente numerice 23 4.1 Procesarea imaginilor . . . 23

4.1.1 Claritatea imaginilor . . . 23

4.1.2 Cadru experimental . . . 26

4.2 Probleme de localizare . . . 30

4.2.1 Prezentarea problemei . . . 32

4.2.2 Experient¸˘a computat¸ional˘a. . . 33

4.3 Consens ˆın media ret¸elelor colorate . . . 36

4.3.1 Algoritmul propus . . . 36

4.3.2 Evaluarea performant¸ei . . . 38

4.4 Clasificare cu ajutorul ma¸sinilor de vector-suport . . . 41

4.4.1 Hiperplanul de separare . . . 41

4.4.2 Experimente cu recunoa¸sterea cifrelor . . . 43 5 Aplicat¸ia interdisciplinar˘a a algoritmului 46

2

(3)

5.1 Optimizare ˆın biologie . . . 46 5.2 Technici de recunoa¸sterea modelelor . . . 48

Bibliografie 50

(4)

Capitolul 1 Introducere

Existent¸a metodelor de optimizare ˆıncepe cu matematicienii Newton, Lagrange

¸si Cauchy. Dezvoltarea metodelor de calcul diferent¸ial pentru optimizare a fost posibil˘a datorit˘a contribut¸iilor lui Newton ¸si Leibniz. Bazele calculului de variat¸ii, cu privire la minimizarea funct¸iilor, au fost puse de Bernoulli, Euler, Lagrange ¸si Weierstrass.

Metoda de optimizare pentru probleme limitate, care implic˘a ad˘augarea de mul- tiplicatori necunoscute, a devenit cunoscut˘a sub numele autorului ei, Lagrange. Cauchy a f˘acut primul pas ˆın rezolvarea problemelor de optimizare f˘ar˘a restrict¸ii. ˆIn mijlocul secolului al XX-lea, calculatoarele digitale de mare vitez˘a au f˘acut posibile punerea ˆın aplicare a procedurilor de optimizare complexe ¸si au stimulat cercet˘ari suplimentare privind metodele noi. Au urmat avansuri spectaculoase, producˆand o literatur˘a masiv˘a pentru tehnici de optimizare. De asemenea, acest progres a dus la aparit¸ia unor noi domenii bine definite ˆın teoria optimiz˘arii [67].

ˆIn ultimii ani, au ap˘arut mai mult¸i algoritmi de divizare [43] pentru rezolvarea problemelor de incluziuni monotone, implicˆand sume paralele ¸si compozit¸ii cu operatori liniari continuu, care ˆın cele din urm˘a sunt reduse pentru a g˘asi zerourile sumei unui operator maximal monoton ¸si unul cocoerciv sau monoton ¸si Lipschitz. Aceste prob- leme au fost rezolvate prin angajarea unor algoritmi forward-backward sau forward- backward-forward ˆıntr-un produs de spat¸ii adecvate ¸si a dat na¸stere la metodele primal- duale de divizare ( [9,16,20,23,61] ¸si referint¸ele aferente).

Recent, se poate remarca un interes al cercet˘atorilor ˆın rezolvarea sistemelor

(5)

de probleme de incluziuni monotone [1,5,6,22]. Acest lucru este motivat de faptul c˘a problemele de optimizare convexe care rezult˘a, de exemplu, ˆın domenii cum ar fi procesarea imaginilor [13], probleme de localizare [18,31], consens ˆın media ret¸elelor colorate [46,47] ¸si clasificare cu ma¸sini cu vectori de suport [27,28] urmeaz˘a s˘a fie rezolvate ˆın raport cu mai multe variabile, adesea legate ˆın diferite moduri, cum ar fii prin ecuat¸ii liniare.

Prezenta cercetare este motivat˘a de investigat¸iile efectuate ˆın [1]. Autorii propun un algoritm pentru rezolvarea problemelor de incluziuni monotone cuplate, ˆın care vari- abilele sunt legate de operatori care satisfac ˆımpreun˘a o proprietate de cocoercivitate.

Scopul nostru este de a dep˘a¸si necesitatea de a avea diferent¸iabilitate pentru unele funct¸ii care apar ˆın problemele de optimizare convexe din [1]. ˆIn acest scop, avem ˆın vedere un sistem de incluziuni monotone mai general, pentru care operatorul de cu- plare satisface o proprietate de continuitate Lipschitz, ˆımpreun˘a cu sistemul dual de incluziuni monotone ˆın sensul de dualitate Attouch-Th´era (cf. [2]). Rezolvarea simul- tan˘a a sistemului primal ¸si dual de incluziuni monotone se reduce la problema de a g˘asi zerourile sumei unui operator maximal monoton ¸si un operator monoton ¸si Lipschitz continuu ˆıntr-un produs de spat¸ii adecvat. Problema din urm˘a este rezolvat˘a de un algoritm forward-backward-forward, fapt care ne permite s˘a stabilim pentru schema iterativ˘a atˆat rezultate slabe cˆat ¸si puternice de convergent¸˘a.

Teza este organizat˘a ˆın cinci capitole ¸si o bibliografie. ˆIn primul capitol afirm˘am problema init¸ial˘a care a stimulat aceast˘a cercetare. H. Attouch, L.M. Briceno-Arias ¸si P.L. Combettes propun ˆın [1] o metod˘a de divizare paralel˘a pentru rezolvarea sistemelor de incluziuni monotone cuplate ˆın spat¸ii Hilbert, stabilirea convergent¸ei se ˆıntˆampl˘a cu presupunerea c˘a exist˘a solut¸ii. Metoda poate gestiona un num˘ar arbitrar de variabile

¸si scheme de cuplare neliniare.

ˆIn al doilea capitol sunt prezentate cˆateva notat¸ii necesare ¸si rezultate pre- liminare, ˆın scopul de a facilita citirea manuscrisului. Sunt introduse not¸iuni cum ar fi operatori nonexpansivi, sum˘a paralel˘a, cocoercivitate, conjugare, dualitate Fenchel, subdiferent¸iabilitate ¸si operatori maximal monotoni ˆımpreun˘a cu ni¸ste algoritmi de di- vizare esent¸iale, cum ar fi algoritmul Douglas-Rachford, algoritmul forward-backward

¸si algoritmul lui Tseng. Ace¸sti algoritmi au fost studiate ˆın detaliu ˆın [4].

(6)

Capitolul trei este dedicat algoritmului primal-dual de divizare pentru rezolvarea problemei luate ˆın considerare ˆın aceast˘a tez˘a ¸si investigheaz˘a convergent¸a algoritmu- lui. Operatorii care apar ˆın fiecare dintre incluziuni din sistem sunt procesate ˆın fiecare iterat¸ie separat, ¸si anume, operatorii univoci sunt evaluate ˆın mod explicit, echiva- lent cu un pas forward, ˆın timp ce operatorii multivoci sunt evaluate prin intermediul rezolvent¸ilor lor, ceea ce este echivalent cu un pas backward. Un avantaj este c˘a pa¸sii din schema iterativ˘a pot fi executate simultan, acest lucru f˘acˆand metoda aplicabil˘a la o varietate de probleme de minimizare convexe. Rezolvarea problemelor de optimizare convexe cu mai multe variabile este, de asemenea, prezentat˘a ˆın acest capitol.

ˆIn capitolul patru, performant¸ele numerice ¸si eficacitatea algoritmului de di- vizare propuse sunt evident¸iate prin mai multe experimente numerice, cum ar fi proce- sarea imaginilor, adic˘a cur˘atarea unei imagini neclare; probleme de localizare, unde obiectivul este de a minimiza calea de energie dintre facilit˘at¸ile existente ¸si mai multe facilit˘at¸i noi, care trebuie situate ˆıntre cele existente; consens ˆın media ret¸elelor col- orate, care const˘a ˆın calcularea mediei pornind de la valoarea fiec˘arui nod ˆıntr-un mod recursiv ¸si distribuit; clasificarea imaginilor prin intermediului vectorilor suport, unde obiectivul este de a construi o funct¸ie de decizie, cu ajutorul datelor de formare, care atribuie corect o dat˘a nou˘a, cu o rat˘a de clasificare eronat˘a sc˘azut˘a.

Ultima parte a tezei de doctorat prezint˘a o colaborare cu o echip˘a de cerc- etare ˆın biologie, care studiaz˘a prezent¸a picoalgelor ˆın lacurile s˘arate din Transilvania.

Scopul este de a adapta algoritmul ˆın procesarea imaginilor ¸si recunoa¸sterea formelor ˆın imagini microscopice ¸si electroforetograme. Procesul de dezvoltare a inclus imag- ini microscopice epifluorescente de picoalge, scopul fiind acela de a num˘ara ¸si distinge picoalge de zgomotul de baz˘a din imagini.

Cuvinte cheie

optimizare convex˘a, sistem de incluziuni, algoritm forward-backward-forward, continu- itate Lipschitz, operator maximal monoton, clasificarea imaginilor

(7)

Not ¸iuni din teoria operatorilor monotoni

Not¸iunea matematic˘a a unui spat¸iu Hilbert a fost numit˘a dup˘a matematicianul german David Hilbert. La ˆınceput, spat¸iile Hilbert au fost studiate ca spat¸ii de funct¸ii infinit-dimensionale de David Hilbert, Frigyes Riesz ¸si Erhard Schmidt, ˆın primul dece- niu al secolului 20. De-a lungul acestei lucr˘ariR+denot˘a setul de numere reale pozitive, R++ setul de numere reale strict pozitive ¸si R = R∪ {±∞} linia real˘a extins˘a. Con- sider˘am spat¸ii Hilbert dotate cu produsul scalar h·|·i ¸si norma asociat˘a k·k = p

h·|·i.

Pentru a evita confuzia, atunci cˆand este necesar, se vor folosi indicii adecvate la pro- dusul scalar ¸si la norm˘a. Simbolurile * i → denot˘a convergent¸a slab˘a ¸si puternic˘a, respectiv.

2.1 Operatori

FieHun spat¸iu Hilbert real ¸si fie 2Hsetul de putere al luiH, i.e., familia tuturor subseturilor lui H. Notat¸ia M : H → 2H ˆınseamn˘a c˘a M este un operator multivoc.

Not˘am cu zerM = {x ∈ H : 0∈ M x} setul zerourilor lui M ¸si cu graM ={(x, u) ∈ H × H:u∈M x} graful luiM. Domeniul lui M este

domM ={x∈ H:M x6=∅}.

(8)

Inversa lui M, denotat˘a cu M−1 :H →2H, este definit˘a dup˘a cum urmeaz˘a

graM−1 ={(u, x)∈ H × H: (x, u)∈graM}.

Prin urmare, pentru fiecare (x, u)∈ H × H, u∈M x⇔x∈M−1u.

Suma ¸si suma paralel˘a a doi operatori multivoci M, N : H →2H este definit˘a ca

M+N :H →2H,(M +N)(x) = M(x) +N(x), ∀x∈ H (2.1.1)

¸si

MN :H →2H, MN = M−1+N−1−1

. (2.1.2)

FieGun spat¸iu Hilbert real ¸si consider˘am operatorulunivoc L:H → G. Norma operatorului liniar continuuL este kLk= sup{kLxk:x∈ H,kxk ≤1}, ¸si L :G → H, definit˘a astfel ˆıncˆat hLx|yi=hx|Lyi pentru fiecare (x, y)∈ H × G, denot˘a operatorul adjunct al lui L.

2.2 Funct ¸ii

Not˘am cu Γ(H) setul de funct¸ii convexe, corespunz˘atoare ¸si inferior semicon- tinuu f :H →R.

Funct¸ia indicator δC :H →Ra unui setC⊆ Heste definit˘a dup˘a cum urmeaz˘a

δC(x) =

0, for x∈C;

+∞, altfel.

(2.2.1)

Observ˘am c˘a funct¸ia indicatorδC este inferior semicontinuu dac˘a ¸si numai dac˘aC este ˆınchis.

Definit¸ie 2.2.1. Fie f ¸si g dou˘a funct¸ii corespunz˘atoare din H la R. Convolut¸ia infi-

(9)

mal˘a a funct¸iilor f ¸si g este definit˘a ca

fg :H →R, fg(x) = inf

y∈H{f(y) +g(x−y)}.

Definit¸ie 2.2.2. Fief :H →R. Funct¸ia conjugat˘a (sau conjugata Fenchel) a funct¸iei f este f : H → R, f(u) = sup{hu, xi −f(x) :x∈ H} pentru u ∈ H ¸si biconjugata lui f este f∗∗= (f).

Observ˘am c˘a, dac˘a f ∈Γ(H), atunci ¸si f ∈Γ(H).

Teorema urm˘atoare legat˘a de dualitatea lui Fenchel a fost obt¸inut˘a de R. T.

Rockafellar [53].

Theorem 2.2.1. Fie H un spat¸iu Hilbert. Fie f, g : H → R∪+∞ funct¸ii convexe corespunz˘atoare.

(i) Dac˘a domf ∩domg cont¸ine un punct ˆın care f sau g este continuu, atunci

(f +g) =fg

cu o convolut¸ie infimal˘a exact˘a.

(ii) Presupunem c˘a f saug apart¸in luiΓ(H). Dac˘adomf∩domg cont¸ine un punct ˆın care f sau g este continuu, atunci

fg = (f+g)

cu o convolut¸ie infimal˘a exact˘a.

(10)

Capitolul 3

Technica primal-dual˘ a de divizibilitate

Not¸iunea matematic˘a a unui spat¸iu Hilbert a fost numit˘a dup˘a matematicianul german David Hilbert. La ˆınceput, spat¸iile Hilbert au fost studiate ca spat¸ii de funct¸ii infinit-dimensionale de David Hilbert, Frigyes Riesz ¸si Erhard Schmidt, ˆın primul dece- niu al secolului 20. De-a lungul acestei lucr˘ariR+denot˘a setul de numere reale pozitive, R++ setul de numere reale strict pozitive ¸si R = R∪ {±∞} linia real˘a extins˘a. Con- sider˘am spat¸ii Hilbert dotate cu produsul scalar h·|·i ¸si norma asociat˘a k·k = p

h·|·i.

Pentru a evita confuzia, atunci cˆand este necesar, se vor folosi indicii adecvate la pro- dusul scalar ¸si la norm˘a. Simbolurile * i → denot˘a convergent¸a slab˘a ¸si puternic˘a, respectiv.

Urm˘atoarele rezultate prezentate ˆın tez˘a se bazeaz˘a pe articolul [10], care a rezultat din colaborarea mea cu profesorul Radu Ioan Bot¸ ¸si Ern˝o Robert Csetnek.

3.1 Formularea problemei cu incluziuni monotone

Problema ˆın cauz˘a este un sistem mai general de incluziuni monotone, decˆat cel prezentat ˆın [1], pentru care operatorul satisface o proprietate de Lipschitz continuitate, ˆımpreun˘a cu sistemul s˘au dublu de incluziuni monotone ˆın sensul dualit˘at¸ii Attouch

-Th´era [2].

(11)

Problema 3.1.1. Fiem≥1un num˘ar pozitiv,(Hi)1≤i≤m spat¸ii Hilbert reale ¸si, pentru i= 1, ..., m fie Bi :H1×. . .× Hm → Hi operatori µi-Lipschitz continuu cu µi ∈R++, care satisfac ˆımpreun˘a o proprietate de monotonitate

∀(x1, . . . , xm)∈ H1×. . .× Hm, ∀(y1, . . . , ym)∈ H1×. . .× Hm

m

X

i=1

hxi−yi|Bi(x1, . . . , xm)−Bi(y1, . . . , ym)iH

i ≥0. (3.1.1)

FieGi spat¸ii Hilbert reale, pentru fiecarei= 1, . . . , m¸si fieAi :Gi →2Gi operatori max- imal monotoni, Ci : Gi → 2Gi operatori monotoni, astfel ˆıncˆat Ci−1 s˘a fie νi-Lipschitz continuu cuνi ∈R+ ¸si Li :Hi → Gi operatori liniari continuu. Problema propus˘a este aceea de a rezolva sistemul de incluziuni monotone (a se vedea 2.1.2 pentru definit¸ia sumei paralele pentru doi operatori)

c˘aut˘am x1 ∈ H1, . . . , xm ∈ Hm astfel ˆıncˆat









0∈L1(A1C1)(L1x1) +B1(x1, . . . , xm) ...

0∈Lm(AmCm)(Lmxm) +Bm(x1, . . . , xm) (3.1.2) ˆımpreun˘a cu sistemul dual

c˘aut˘am v1 ∈ G1, . . . , vm ∈ Gm astfel ˆıncˆat

∃x1 ∈ H1, . . . ,∃xm ∈ Hm

























0 =L1v1+B1(x1, . . . , xm) ...

0 =Lmvm+Bm(x1, . . . , xm) v1 ∈(A1C1)(L1x1)

...

vm ∈(AmCm)(Lmxm) .

(3.1.3) Spunem c˘a (x1, . . . , xm, v1, . . . , vm)∈ H1×. . .× Hm× G1. . .× Gm este o solut¸ie primal-dual˘a la Problema 3.1.1, dac˘a

0 = Livi+Bi(x1, . . . , xm) ¸si vi ∈(AiCi)(Lixi), i= 1, . . . , m. (3.1.4)

(12)

Dac˘a (x1, . . . , xm, v1, . . . , vm)∈ H1×. . .× Hm× G1. . .× Gm este o solut¸ie primal-dual˘a la Problema 3.1.1, atunci (x1, . . . , xm) este o solut¸ie la (3.1.2) ¸si (v1, . . . , vm) este o solut¸ie la (3.1.3). Observ˘am deasemenea c˘a

(x1, . . . , xm) rezolv˘a (3.1.2)⇔0∈Li(AiCi)(Lixi) +Bi(x1, . . . , xm), i= 1, . . . , m⇔

∃v1 ∈ G1, . . . , vm∈ Gm astfel ˆıncˆat

0 =Livi+Bi(x1, . . . , xm), i= 1, . . . , m vi ∈(AiCi)(Lixi), i= 1, . . . , m.

.

Astfel, dac˘a (x1, . . . , xm) este o solut¸ie la (3.1.2), atunci exist˘a (v1, . . . , vm)∈ G1×. . .Gm astfel ˆıncˆat (x1, . . . , xm, v1, . . . , vm) s˘a fie o solut¸ie primal-dual˘a la Problema 3.1.1 ¸si, dac˘a (v1, . . . , vm) ∈ G1×. . .Gm este o solut¸ie la (3.1.3), atunci exist˘a (x1, . . . , xm) ∈ H1×. . .× Hm astfel ˆıncˆat (x1, . . . , xm, v1, . . . , vm) este o solut¸ie primal-dual˘a la Prob- lema 3.1.1.

3.2 Algoritmul primal-dual de divizare

Scopul acestei sect¸iuni este acela de a asigura un algoritm pentru rezolvarea Problemei 3.1.1¸si pentru a furniza rezultate de convergent¸˘a slabe ¸si puternice pentru secvent¸ele generate de acesta. Schema iterativ˘a propus˘a are proprietatea c˘a fiecare operator univoc este procesat ˆın mod explicit, ˆın timp ce fiecare operator multivoc este evaluat prin intermediul rezolventului s˘au. Secvent¸e absolut sumabile fac algoritmul s˘a fie tolerant la erori.

Algoritmul 3.2.1.

Fie (a1,i,n)n≥0, (b1,i,n)n≥0, (c1,i,n)n≥0 secvent¸e absolut sumabile ˆın Hi, pentru fiecare i = 1, . . . , m ¸si (a2,i,n)n≥0, (b2,i,n)n≥0, (c2,i,n)n≥0 secvent¸e absolut sumabile ˆın Gi. De asemenea, set˘am

β =max

 v u u t

m

X

i=1

µ2i, ν1, . . . , νm

+ max

i=1,...,mkLik, (3.2.1)

fie ε∈]0,1/(β+ 1)[¸si (γn)n≥0 o secvent¸˘a din[ε,(1−ε)/β]. Pentru fiecare i= 1, . . . , m, punctele init¸iale xi,0 ∈ Hi ¸si vi,0 ∈ Gi vor fii alese arbitrar ¸si set˘am

(13)

∀n≥0

For i= 1, . . . , m

yi,n =xi,n−γn(Livi,n+Bi(x1,n, . . . , xm,n) +a1,i,n) wi,n =vi,n−γn(Ci−1vi,n−Lixi,n+a2,i,n)

pi,n =yi,n+b1,i,n ri,n=Jγ

nA−1i wi,n+b2,i,n

qi,n =pi,n−γn(Liri,n+Bi(p1,n, . . . , pm,n) +c1,i,n) si,n=ri,n−γn(Ci−1ri,n−Lipi,n+c2,i,n)

xi,n+1 =xi,n−yi,n+qi,n vi,n+1 =vi,n−wi,n+si,n.

Convergent¸a algoritmului 3.2.1 se stabile¸ste prin demonstrarea faptului c˘a schema ei iterativ˘a poate fi redus˘a la versiunea algoritmului tolerant de erori forward- backward-forward al lui Tseng (cf. [59] pentru cazul f˘ar˘a erori), recent prev˘azut ˆın [16].

Cadrul nostru algoritmic va depinde de urm˘atorul algoritm de divizare, foarte intere- sant ˆın aplicat¸iile lui.

Theorem 3.2.1. [16]Fie Hun spat¸iu Hilbert real, fie M :H →2H maximal monoton

¸si fie L : H → H monoton. Presupunem c˘a zer(M +L) 6=∅ ¸si c˘a L este β-Lipschitz continuu, pentruβ ∈]0,+∞[. Fie (an)n∈N, (bn)n∈N ¸si fie (cn)n∈N o secvent¸˘a ˆın H astfel ˆıncˆat

X

n∈N

kank<+∞, X

n∈N

kbnk<+∞ ¸si X

n∈N

kcnk<+∞,

fie x0 ∈ H, fie ε∈]0,1/(β+ 1)[, fie (γn)n∈N o secvent¸˘a din [ε,(1−ε)/β], ¸si fie

∀n∈N

yn =xn−γn(Lxn+an) pn=JγnMyn+bn

qn=pn−γn(Lpn) +cn) xn+1 =xn−yn+qn.

Atunci urm˘atoarele condit¸ii sunt ˆındeplinite pentru x∈zer(M +L):

(i) P

n∈Nkxn−pnk2 <+∞ ¸si P

n∈Nkyn−qnk2 <+∞.

(ii) xn * x¸si pn * x.

(iii) Presupunem c˘a una dintre condit¸iile urm˘atoare este ˆındeplinit˘a:

(14)

(a) M +L este demiregular ˆın x.

(b) M sau L este uniform monoton ˆın x.

(c) int zer(M +L)6=∅.

Atunci xn→x ¸si pn→x.

Urm˘atoarea teorem˘a stabile¸ste convergent¸a Algoritmului 3.2.1:

Theorem 3.2.2. [10] Presupunem c˘a Problema 3.1.1 are o solut¸ie primal-dual˘a. ˆIn cazul secvent¸elor generate de Algoritmul 3.2.1, urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate:

(i) ∀i∈ {1, . . . , m} P

n≥0

kxi,n−pi,nk2H

i <+∞ ¸si P

n≥0

kvi,n−ri,nk2G

i <+∞.

(ii) Exist˘a o solut¸ie primal-dual˘a (x1, . . . , xm, v1, . . . , vm) la Problema 3.1.1 astfel ˆıncˆat:

(a) ∀i∈ {1, . . . , m} xi,n * xi, pi,n* xi, vi,n * vi ¸siri,n* vi pentrun→+∞.

(b) Dac˘a Ci−1, i= 1, ..., m,este uniform monoton ¸si exist˘a o funct¸ie cresc˘atoare φB :R+ →R+∪ {+∞} care dispare numai la valoarea 0 ¸si satisface

∀(x1, . . . , xm)∈ H1×. . .× Hm, ∀(y1, . . . , ym)∈ H1×. . .× Hm m

X

i=1

hxi−yi|Bi(x1, . . . , xm)−Bi(y1, . . . , ym)iH

i ≥ φB

k(x1, . . . , xm)−(y1, . . . , ym)k

, (3.2.2)

atunci ∀i ∈ {1, . . . , m} xi,n → xi, pi,n → xi, vi,n → vi ¸si ri,n → vi pentru

n→+∞.

3.3 Aplicat ¸ii la probleme de minimizare convexe

ˆIn aceast˘a sect¸iune ne vom ˆındrepta atent¸ia spre rezolvarea problemelor de minimizare convexe cu variabile multiple, prin intermediul algoritmului primal-dual prezentat ¸si investigat ˆın aceast˘a tez˘a.

Problema 3.3.1. Fie m ≥ 1 ¸si p ≥ 1 numere pozitive, (Hi)1≤i≤m, fie (H0i)1≤i≤m ¸si (Gj)1≤j≤p spat¸ii Hilbert reale, fi, hi ∈ Γ(H0i) astfel ˆıncˆat hi sunt νi−1-puternic convexe

(15)

cu νi ∈ R++, i = 1, ..., m, ¸si gj ∈ Γ(Gj) pentru i = 1, ..., m, j = 1, ..., p. De asemenea, fie Ki : Hi → Hi0 ¸si Lji : Hi → Gj, i = 1, ..., m, j = 1, ..., p operatori liniari continuu.

Consider˘am urm˘atoarea problem˘a de optimizare convex˘a

inf

(x1,...,xm)∈H1×...×Hm

( m X

i=1

(fihi)(Kixi) +

p

X

j=1

gj

m

X

i=1

Ljixi

!)

. (3.3.1)

ˆIn cele ce urmeaz˘a, vom ar˘ata c˘a sub o condit¸ie de calificare corespunz˘atoare, rezolvarea problemei de optimizare convex˘a (3.3.1) poate fi redus˘a la rezolvarea unui sistem de incluziuni monotone de tip (3.1.2).

Definim urm˘atoarea funct¸ie convex˘a adecvat˘a ¸ai inferior semicontinu˘a

f :H01×. . .× H0m →R, (y1, . . . , ym)7→

m

X

i=1

(fihi)(yi),

¸si operatorul liniar continuu

K :H1×. . .× Hm → H01×. . .× H0m, (x1, . . . , xm)7→(K1x1, . . . , Kmxm),

ˆımpreun˘a cu adjuncta

K :H01×. . .× H0m → H1×. . .× Hm, (y1, . . . , ym)7→(K1y1, . . . , Kmym).

De asemenea, consider˘am operatorii liniari continuu

Lj :H1×. . .× Hm → Gj, (x1, . . . , xm)7→

m

X

i=1

Ljixi, j = 1, ..., p,

ˆımpreun˘a cu adjunctele

Lj :Gj → H1×. . .× Hm, y 7→(Lj1y, . . . , Ljmy), j = 1, ..., p,

(16)

respectiv. Avem

(x1, . . . , xm) este o solut¸ie optim˘a la (3.3.1)

⇔(0, . . . ,0)∈∂ f ◦K+

p

X

j=1

gj◦Lj

!

(x1, . . . xm). (3.3.2)

ˆIn scopul de a ˆımp˘art¸ii subdiferent¸ialele ment¸ionate mai sus, ˆıntr-o sum˘a de subdiferent¸iale, trebuie ˆındeplinite ni¸ste condit¸ii de calificare. ˆIn acest context, con- sider˘am urm˘atoarele condit¸ii de calificare de tip interioritate:

(QC1)

exist˘ax0i ∈ Hi astfel ˆıncˆat

Kix0i ∈(domfi+ domhi) ¸si fihi este continuu ˆın Kix0i, i= 1, ..., m,

¸si Pm

i=1Ljix0i ∈domgj ¸si gj este continuu ˆın Pm

i=1Ljix0i, j = 1, ..., p

¸si

(QC2)

(0, . . . ,0)∈ sqri Qm

i=1(domfi + domhi)×Qp

j=1domgj

−{(K1x1, . . . , Kmxm,Pm

i=1L1ixi, . . . ,Pm

i=1Lpixi) : (x1, . . . , xm)∈ H1×. . .× Hm}

.

Se observ˘a c˘a (QC1)→(QC2), aceste implicat¸ii fiind stricte, ¸si facem referint¸˘a la [4,7,8,29,58,68,69] pentru alte condit¸ii de calificare ˆın optimizare convex˘a.

Remarc˘a 3.3.1. Dup˘a cum am subliniat deja, pentru i = 1, ..., m, fihi ∈ Γ( h0i), prin urmare, este continu˘a pe int(domfi+ domhi), presupunˆand c˘a acest set nu este vid ( [29,69]). Pentru alte rezultate referitoare la continuitatea convolut¸iei infimale a funct¸iilor convexe invit˘am cititorul s˘a consulte [57].

Remarc˘a 3.3.2. ˆIn spat¸ii finit-dimensionale, condit¸ia de calificare (QC2)este echiva- lent˘a cu

(QC2)

exist˘a x0i ∈ Hi astfel ˆıncˆat Kix0i ∈ri domfi+ ri domhi, i= 1, ..., m,

¸si Pm

i=1Ljix0i ∈ri domgj, j = 1, ..., p.

Presupunˆand c˘a una dintre condit¸iile de calificare ment¸ionate mai sus este

(17)

ˆındeplinit˘a, avem

(x1, . . . , xm) este o solut¸ie optimal˘a la (3.3.1)

⇔(0, . . . ,0)∈ K∂f K(x1, . . . xm) +

p

X

j=1

Lj∂gj Lj(x1, . . . xm)

⇔(0, . . . ,0)∈

K1∂(f1h1)(K1x1), . . . , Km∂(fmhm)(Kmxm) +

p

X

j=1

Lj∂gj Lj(x1, . . . xm)

. (3.3.3)

Convergent¸a puternic˘a a funct¸iilor hi implic˘a domhi = H0i, astfel ∂(fihi) =

∂fi∂hi, i= 1, ..., m. Prin urmare, (3.3.3) este echivalent˘a cu

(0, . . . ,0)∈

K1(∂f1∂h1)(K1x1), . . . , Km(∂fm∂hm)(Kmxm) +

p

X

j=1

Ljvj,

unde

vj ∈∂gj Lj(x1, . . . xm)

⇔ vj ∈∂gj

m

X

i=1

Ljixi

m

X

i=1

Ljixi ∈∂gj(vj), j = 1, ..., p.

Atunci (x1, . . . , xm) este o solut¸ie optimal˘a la (3.3.1) dac˘a ¸si numai dac˘a (x1, . . . , xm, v1, . . . , vp) este o solut¸ie la

























0∈K1(∂f1∂h1)(K1x1) +Pp

j=1Lj1vj ...

0∈Km(∂fm∂hm)(Kmxm) +Pp

j=1Ljmvj 0∈∂g1(v1)−Pm

i=1L1ixi ...

0∈∂gp(vp)−Pm

i=1Lpixi.

(3.3.4)

Se observ˘a c˘a (3.3.4) este un sistem de incluziuni cuplate de tip (3.1.2), prin

Ai =∂fi, Ci =∂hi, Li =Ki, i= 1, ..., m,

(18)

Am+j =∂gj, Cm+j(x) =

Gj, x= 0

∅, altfel ,

Lm+j = IdGj, j = 1, ..., p,

¸si, pentru (x1, ..., xm, v1, ..., vp)∈ H1×. . .Hm× G1×. . .× Gp, operatorii de cuplare sunt

Bi(x1, . . . , xm, v1, . . . , vp) =

p

X

j=1

Ljivj, i= 1, . . . , m,

¸si

Bm+j(x1, . . . , xm, v1, . . . , vp) = −

m

X

i=1

Ljixi, j = 1, . . . , p.

Definim

B(x1, . . . , xm, v1, . . . , vp) = (B1, . . . , Bm+p)(x1, . . . , xm, v1, . . . , vp) (3.3.5)

=

p

X

j=1

Lj1vj, . . . ,

p

X

j=1

Ljmvj,−

m

X

i=1

L1ixi, . . . ,−

m

X

i=1

Lpixi

! .

(3.3.6) Rezult˘a c˘a Ci−1 = (∂hi)−1 = ∂hi = {∇hi} este νi-Lipschitz continuu pentru i= 1, ..., m. Pe de alt˘a parte,Cm+j−1 este operatorul zero pentruj = 1, ..., p, prin urmare 0-Lipschitz continuu.

De asemenea, operatorii Bi, i = 1, ..., m+p sunt liniari ¸si Lipschitz continuu, avˆand constantele Lipschitz

µi = v u u t

p

X

j=1

kLjik2, i= 1, ..., m, ¸si µm+j = v u u t

m

X

i=1

kLjik2, j = 1, ..., p,

respectiv. Pentru fiecare (x1, . . . , xm, v1, . . . , vp),(y1, . . . , ym, w1, . . . , wp) ∈ H1×. . .×

(19)

Hm× G1×. . .× Gp rezult˘a

m

X

i=1

hxi−yi|Bi(x1, . . . , xm, v1, . . . , vp)−Bi(y1, . . . , ym, w1, . . . , wp)iH

i

+

p

X

j=1

hvj −wj|Bm+j(x1, . . . , xm, v1, . . . , vp)−Bm+j(y1, . . . , ym, w1, . . . , wp)iG

j

=

m

X

i=1

*

xi−yi|

p

X

j=1

Ljivj

p

X

j=1

Ljiwj

+

Hi

p

X

j=1

*

vj−wj|

m

X

i=1

Ljixi

m

X

i=1

Ljiyi

+

Gj

= 0,

prin urmare (3.1.1) este ˆındeplinit˘a. Astfel am demonstrat ¸si faptul c˘a operatorul liniar continuu B este oblic (i.e. B =−B).

Remarc˘a 3.3.3. Datorit˘a faptului c˘a operatorul B este oblic, nu este cocoerciv, prin urmare, metoda prezentat˘a ˆın [1] nu poate fi aplicat˘a ˆın acest context. Pe de alt˘a parte, ˆın scopul de a determina o solut¸ie optim˘a a problemei de optimizare (3.3.1)(¸si o solut¸ie optim˘a a dualei de tip Fenchel), se pot utiliza algoritmi primal-duali de divizare prox- imali care au fost introduse recent in [23,61]. Aceste abord˘ari au particularitatea de a face fat¸˘a ˆın mod eficient sumelor de compoziii cu funct¸ii corespunz˘atoare, convexe ¸si inferior semicontinuu ¸si cu operatori liniari continuu, evaluˆand separat fiecare funct¸ie printr-un pas backward ¸si fiecare operator liniar continuu (¸si adjuncta acestuia) prin intermediul unui pas forward. Cu toate acestea, sistemul iterativ pe care ˆıl propunem ˆın aceast˘a sect¸iune pentru rezolvarea (3.3.1), are avantajul de a exploata structura prob- lemei separabile.

(20)

S˘a amintim, de asemenea, c˘a problema dual˘a de incluziuni la (3.3.4) este (a se vedea (3.1.3))

c˘aut˘am w1 ∈ H01, . . . , wm ∈ H0m, wm+1 ∈ G1, . . . , wm+p ∈ Gp astfel ˆıncˆat

∃x1 ∈ H1, . . . ,∃xm ∈ Hm,∃v1 ∈ G1, . . . ,∃vp ∈ Gp





























































0 = K1w1+Pp

j=1Lj1vj ...

0 = Kmwm+Pp

j=1Ljmvj 0 = wm+1−Pm

i=1L1ixi ...

0 = wm+p−Pm i=1Lpixi w1 ∈(∂f1∂h1)(K1x1) ...

wm ∈(∂fm∂hm)(Kmxm) wm+1 ∈∂g1(v1)

...

wm+p ∈∂gp(vp).

(3.3.7) Atunci (x1, ...xm, v1, ..., vp, w1, ..., wm, wm+1, ..., wm+p) este o solut¸ie primal-dual˘a la (3.3.4) - (3.3.7), dac˘a

wi ∈(∂fi∂hi)(Kixi), wm+j ∈∂gj(vj), 0 = Kiwi+

p

X

j=1

Ljivj ¸si 0 =wm+j

m

X

i=1

Ljixi, i= 1, ..., m, j = 1, ..., p.

(21)

Cu condit¸ia c˘a (x1, ...xm, v1, ..., vp, w1, ..., wm, wm+1, ..., wm+p) este o solut¸ie primal-dual˘a la (3.3.4) - (3.3.7), rezult˘a c˘a (x1, ...xm) este o solut¸ie optimal˘a la (3.3.1)

¸si (w1, ..., wm, v1, ..., vp) este o solut¸ie optimal˘a la problema dual˘a de tip Fenchel

sup

(w1,...,wm,wm+1,...,wm+p)∈H01×...×H0m×G1×...×Gp

Kiwi+Pp

j=1Ljiwm+j=0,i=1,...,m

(

m

X

i=1

(fi(wi) +hi(wi))−

p

X

j=1

gj(wm+j) )

.

(3.3.8) Algoritmul 3.2.1 d˘a na¸stere urm˘atoarei scheme iterative pentru rezolvarea (3.3.4) - (3.3.7).

Algoritmul 3.3.1.

Pentru fiecare i = 1, . . . , m ¸si fiecare j = 1, . . . , p fie (a1,i,n)n≥0, (b1,i,n)n≥0, (c1,i,n)n≥0, secvent¸e absolut sumabile ˆınHi, (a2,i,n)n≥0, (b2,i,n)n≥0, (c2,i,n)n≥0 secvent¸e absolut sum- abile ˆın H0i ¸si (a1,m+j,n)n≥0, (a2,m+j,n)n≥0, (b1,m+j,n)n≥0, (b2,m+j,n)n≥0, (c1,m+j,n)n≥0 ¸si (c2,m+j,n)n≥0 secvent¸e absolut sumabile ˆın Gj. De asemenea, fie

β =max

 v u u t

m+p

X

i=1

µ2i, ν1, . . . , νm

+ max {kK1k, . . . ,kKmk,1}, (3.3.9)

unde

µi = v u u t

p

X

j=1

kLjik2, i = 1, . . . , m, ¸si µm+j = v u u t

m

X

i=1

kLjik2, j = 1, . . . , p, (3.3.10)

fie ε ∈]0,1/(β + 1)[ ¸si fie (γn)n≥0 o secvent¸˘a din [ε,(1 − ε)/β]. Fie punctele init¸iale (x1,1,0, . . . , x1,m,0) ∈ H1 × . . .× Hm, (x2,1,0, . . . , x2,m,0) ∈ H01 × . . .× H0m ¸si

(22)

(v1,1,0, . . . , v1,p,0), (v2,1,0, . . . , v2,p,0)∈ G1×. . .× Gp alese arbitrar ¸si set˘am

∀n ≥0

For i= 1, . . . , m

y1,i,n=x1,i,n−γn

Kix2,i,n+Pp

j=1Ljiv1,j,n+a1,i,n y2,i,n=x2,i,n−γn(∇hix2,i,n−Kix1,i,n+a2,i,n) p1,i,n =y1,i,n+b1,i,n

p2,i,n = Proxγnf

i y2,i,n+b2,i,n For j = 1, . . . , p

w1,j,n=v1,j,n−γn(v2,j,n−Pm

i=1Ljix1,i,n+a1,m+j,n) w2,j,n=v2,j,n−γn(−v1,j,n+a2,m+j,n)

r1,j,n =w1,j,n+b1,m+j,n

r2,j,n = Proxγngjw2,j,n+b2,m+j,n For i= 1, . . . , m

q1,i,n =p1,i,n−γn

Kip2,i,n+Pp

j=1Ljir1,j,n+c1,i,n q2,i,n =p2,i,n−γn(∇hip2,i,n−Kip1,i,n+c2,i,n) x1,i,n+1 =x1,i,n−y1,i,n+q1,i,n

x2,i,n+1 =x2,i,n−y2,i,n+q2,i,n For j = 1, . . . , p

s1,j,n =r1,j,n−γn(r2,j,n−Pm

i=1Ljip1,i,n+c1,m+j,n) s2,j,n =r2,j,n−γn(−r1,j,n+c2,m+j,n)

v1,j,n+1 =v1,j,n−w1,j,n+s1,j,n v2,j,n+1 =v2,j,n−w2,j,n+s2,j,n.

Urm˘atorul rezultat de convergent¸˘a pentru algoritmul 3.3.1 este o consecint¸˘a a Teoremei 3.2.2.

Theorem 3.3.1. [10] Presupunem c˘a problema de optimizare (3.3.1) are o solut¸ie optimal˘a ¸si c˘a una dintre condit¸iile de calificare (QCi), i = 1,2, este ˆındeplnit˘a.

Urm˘atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate pentru secvent¸ele generate de Algoritmul 3.3.1:

(i) ∀i∈ {1, . . . , m} P

n≥0

kx1,i,n−p1,i,nk2H

i <+∞, P

n≥0

kx2,i,n−p2,i,nk2H

i <+∞¸si

∀j ∈ {1, . . . , p} P

n≥0

kv1,j,n−r1,j,nk2G

j <+∞, P

n≥0

kv2,j,n−r2,j,nk2G

j <+∞.

(ii) Exist˘a o solut¸ie optimal˘a (x1, . . . , xm) la (3.3.1) ¸si o solut¸ie optimal˘a

(23)

(w1, . . . , wm, wm+1, . . . , wm+p)la (3.3.8), astfel ˆıncˆat∀i∈ {1, . . . , m} x1,i,n * xi, p1,i,n * xi, x2,i,n * wi ¸si p2,i,n * wi ¸si ∀j ∈ {1, . . . , p} v1,j,n * wm+j ¸si r1,j,n* wm+j pentru n→+∞.

Remarc˘a 3.3.4. Recent, a fost propus un alt sistem iterativ pentru rezolvarea sis- temelor de incluziuni monotone ˆın [22], care, de asemenea, este capabil s˘a rezolve probleme de optimizare de tip (3.3.1), ˆın cazul ˆın care funct¸iile gj, j = 1, ..., p, nu sunt neap˘arat diferent¸iabile. Metoda este diferit˘a de abordarea noastr˘a, care presupune c˘a variabilele sunt cuplate de c˘atre operatorul univoc B, ˆın [22] cuplarea se face de c˘atre unele compozit¸ii ale sumelor paralele de operatori maximal monotoni cu cele liniare continue.

(24)

Capitolul 4

Experimente numerice

Rezultatele teoretice obt¸inute sunt foarte aplicabile ˆın diferite domenii ale matematicii. ˆIn aceast˘a sect¸iune vom prezenta cele patru experimente numerice, care pun accentul pe performant¸a algoritmului primal-dual ¸si pe unele dintre variantele sale pentru sisteme de incluziuni monotone cuplate, cum ar fi prelucrarea imaginilor, prob- leme de localizare, consensul mediei ˆın cazul ret¸elelor colorate ¸si clasificarea imaginilor prin intermediul vectorilor suport.

4.1 Procesarea imaginilor

Primul experiment numeric rezolv˘a problema de procesare a imaginilor prin algoritmul de divizare primal-dual dezvoltat ˆın aceast˘a tez˘a. Scopul este de a estima imaginea original˘a necunoscut˘a din imaginea neclar˘a, cu ajutorul algoritmului.

4.1.1 Claritatea imaginilor

Fie H ¸si (H0i)1≤i≤m spat¸ii Hilbert reale, unde m ≥ 1. Pentru fiecare i ∈ {1, . . . , m}, fie fi ∈ Γ(Hi0) ¸si fie Ki : H → H0i operatori liniari continuu. Consider˘am problema init¸ial˘a de optimizare convex˘a

x∈Hinf nXm

i=1

fi(Kix)o

. (4.1.1)

(25)

ˆIn cazul variabilelor multiple, (4.1.1) poate fi formulat˘a ca:

x1,...,xinfm+1

nXm

i=1

fi(Kixi) +

m

X

i=1

δ{0}(xi−xm+1)o

. (4.1.2)

Acesta este un caz special al Problemei 3.3.1 cu (m, p) := (m + 1, m), fm+1 = 0, Km+1 = 0 ¸si ∀i∈ {1, . . . , m+ 1}, hi{0} ¸si ∀j ∈ {1, . . . , m}, Gj =H, gj{0} ¸si

Lji :Hi → Hj 7→









Id, if i=j;

−Id, if i=m+ 1;

0, altfel.

(4.1.3)

Fie (x1,1,0, . . . , x1,m+1,0), (x2,1,0, . . . , x2,m+1,0) ∈ H1 × . . . × Hm+1 ¸si (v1,1,0, . . . , v1,m,0), (v2,1,0, . . . , v2,m,0)∈ H1×. . .×Hm. ˆIn cazul acesta, din (3.3.9) obt¸inem

β = 2√

m+ max n

kK1k, . . . ,kKm+1k,1 o

. (4.1.4)

Algoritmul 4.1.1.

Prin urmare, schema iterativ˘a din Algoritmul 3.3.1 se schimb˘a ˆın

∀n ≥0

For i= 1, . . . , m

y1,i,n =x1,i,n−γn Kix2,i,n+v1,i,n

w1,i,n =v1,i,n−γn v2,i,n−x1,i,n+x1,m+1,n y2,i,n =x2,i,nnKix1,i,n

w2,i,n =v2,i,nnv1,i,n y1,m+1,n =x1,m+1,nnPm

i=1v1,i,n

For i= 1, . . . , m

x1,i,n+1 =x1,i,n−γn Kiproxγnf

iy2,i,n+w1,i,n v1,i,n+1 =v1,i,nn y1,i,n−y1,m+1,n

x2,i,n+1 =x2,i,n−y2,i,n+proxγnf

iy2,i,nnKiy1,i,n v2,i,n+1 =v2,i,n−w2,i,nnw1,i,n

x1,m+1,n+1 =x1,m+1,nnPm

i=1w1,i,n

Atunci (x1,1,n, . . . , x1,m+1,n)→(x, . . . , x).

(26)

Consider˘am matricea A ∈ Rn×n, care reprezint˘a operatorul neclar ¸si vectorul b ∈ Rn, care descrie imaginea neclar˘a. Scopul este de a estima x ∈ Rn, care este de faptimaginea original˘a necunoscut{a ¸si care ˆındepline¸ste

Ax=b.

Problema care trebuie rezolvat˘a este echivalent˘a cu

x∈Sinf

f1(x) +f2(Ax) , (4.1.5)

pentru f1 :Rn → R, f1(x) = λkxk1S(x) ¸si f2 : Rn → R, f2(y) = ky−bk2. Prin urmaref este corespunz˘ator, convex ¸si inferior semicontinuu cu domeniu m˘arginit ¸sig este o funct¸ie 2-puternic convex˘a cu domeniul complet, diferent¸iabil ¸si cu un gradient Lipschitz continuu, care are constanta Lipschitz egal˘a cu 2.λ >0 reprezint˘a parametrul de regularizare ¸si S ⊆ Rn este un cub n-dimensional reprezentˆand gama de pixeli.

Deoarece fiecare pixel din tonurile de gri furnizeaz˘a o valoare care este ˆıntre 0 ¸si 255, o alegere natural˘a pentru setul convex S ar fi cubul n-dimensional [0,255]n ⊆ Rn. ˆIn scopul de a reduce constanta Lipschitz care apare ˆın abordarea dezvoltat˘a, am scalat imaginile folosite pentru a exemplificarea aplicat¸iei astfel ˆıncˆat fiecare pixel se afl˘a ˆın intervalul

0,101 .

(27)

4.1.2 Cadru experimental

Vom lucra ˆın mod concret cu imaginile de teste Cameraman, Lena ¸si Barbara cu dimensiunile 256×256.

Imaginea de testCameraman face parte din setul de instrumente de prelucrare a imaginii din Matlab ¸si dimensiunea imaginii vectorizate ¸si scalate este egal˘a cu n = 2256 = 65536. Prin utilizarea funct¸iilor Matlabimfilter¸si fspecial, aceast˘a imagine este f˘acut˘a neclar˘a dup˘a cum urmeaz˘a:

1 H=f s p e c i a l ( ’ g a u s s i a n ’ , 9 , 4 ) ; % zgomot g a u s s i a n de marime 9

2 % d e v i a t i e s t a n d a r d 4

3 B=i m f i l t e r (X, H, ’ conv ’ , ’ symmetric ’ ) ; % B=i m a g i n e a n e c l a r a

4 % X=i m a g i n e a o r i g i n a l a

ˆIn rˆandul 1, funct¸iafspecialreturneaz˘a un filtru de rotat¸ie simetric˘a de tip Gauss de m˘arime 9×9 cu deviat¸ia standard 4. Parametrii lui H sunt pozitive ¸si suma lor este 1. ˆIn rˆandul 3, funct¸ia imfilter folose¸ste filtrul H pentru imaginea X ∈ R256×256 ¸si furnizeaz˘a o imagine neclar˘a B ∈R256×256. Opt¸iunea de limit˘a ”simetric” corespunde condit¸iilor reflexive de limit˘a. Pentru mai multe aplicat¸ii interesante ˆın domeniul imag- inilor neclare, clarificate cu tehnici diferite, facem referint¸˘a la [11–15,19].

Datorit˘a filtrului de rotat¸ie simetric˘aH, operatorul liniarA∈Rn×n, calculat cu ajutorul funct¸iei Matlab imfilter, este la rˆandul s˘au simetric. Dup˘a ad˘augarea unui zgomot alb de tip Gauss, de medie zero, cu deviat¸ia standard egal˘a cu 10−4, obt¸inem imaginea neclar˘ab ∈Rn.

ˆIn cazul acesta particular m:= 2, K1 = Id,K2 =A ¸si β este egal cu

β = 2√

2 + max n

kAk,1o

. (4.1.6)

Folosind descompunerea spectral˘a real˘a a lui A, rezult˘a c˘a kAk2 = 1. Prin urmare β= 2√

2 + 1.

Referințe

DOCUMENTE SIMILARE

Pentru limba romˆ an˘ a cˆ at ¸si pentru englez˘ a au fost proiectate 29 cˆ ate dou˘ a inventare de etichete morfosintactice aflate ˆın corespondent¸˘ a (vezi ¸si tehnica

De¸si ˆın ambele cazuri de mai sus (S ¸si S ′ ) algoritmul Perceptron g˘ ase¸ste un separator liniar pentru datele de intrare, acest fapt nu este garantat ˆın gazul general,

Capitolul II: am propus spre rezolvarea cu ajutorul numerelor complexe teoreme ¸si probleme de geometrie.... Aplicat¸ii ale numerelor

elevii scriu: 3 concepte din ce au ˆınv˘ at¸at, 2 idei despre care ar dori s˘ a ˆınvet¸e mai multe ˆın continuare ¸si o capacitate pe care au dobˆ andit-o ˆın urma

Pentru a suprprinde acest aspect, cuvintele care apar m˘ acar de 5 ori ˆın datele de antrenament ¸si dac˘ a apar de 5 ori mai des ˆın glume decˆ at ˆın non-glume sunt p˘

Cartea de fat¸˘ a fost elaborat˘ a ˆın cadrul proiectului POSDRU/56/1.2 /S/32768, ”Formarea cadrelor didactice universitare ¸si a student¸ilor ˆın domeniul utiliz˘ arii

Evaluarea nevoilor educat¸ionale obiective ale cadrelor didactice ¸si student¸ilor legate de uti- lizarea matematicii ˆın ˆınv˘ at¸˘ amˆ antul superior, masterate ¸si

Astfel ˆın Capitolul 4 se trateaz˘ a problema interpol˘ arii in- verse ¸si se arat˘ a c˘ a majoritatea metodelor de aproximare a solut¸iilor ecuat¸iilor se pot genera cu