Ecuaţii Diferenţiale

Ecuaţii Diferenţiale

Elemente teoretice şi aplicaţii

Editura Universitaria, 2010

CUPRINS

Prefaţă... 7

1. Consideraţii generale ... 1.1 Introducere ... 9

1.2 Noţiuni fundamentale ... 10

1.3 Exerciţii propuse ... 15

2. Ecuaţii diferenţiale de ordinul I 2.1 Ecuaţii cu variabile separabile ... 17

2.2 Ecuaţii liniare ... 19

2.3 Ecuaţii cu diferenţială totală ... 21

2.4 Ecuaţii reductibile la ecuaţii fundamentale ... 23

2.5 Exerciţii propuse ... 31

3. Aplicaţii ale ecuaţiilor diferenţiale de ordinul I 3.1. Suprafaţa de echilibru a unui lichid în rotaţie (integrare directă) .... 33

3.2. Evolutia unei populaţii (ecuaţie cu variabile separabile) ... 34

3.3 Variaţia presiunii atmosferice în raport cu altitudinea (ecuaţie cu variabile separabile) ... 37

3.4 Căderea liberă (ecuaţie cu variabile separabile) ... 38

3.5. Descărcarea unui condensator într-o resistenţă (ecuaţie liniară) ... 39

3.6. Incãrcarea unui condensator printr-o rezistenţã în prezenţa unei surse de curent continuu (ecuaţie liniară) ... 41

3.7. Transformarea energiei electrice in căldură (ecuaţie liniară) ... 42

3.8. Formula fundamentală a curentului alternativ (ecuaţie liniară) ... 44

3.9. Oglinda parabolică (ecuaţie omogenă) ... 45

3.10. Exerciţii propuse ... 47

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior 4.1 Ecuaţii liniare ... 51

4.1.1 Ecuaţii liniare cu coeficienţi constanţi ... 52

4.1.2 Ecuaţii liniare cu coeficienţi variabili ... 57

4.2 Ecuaţii incomplete ... 59

4.3 Exerciţii propuse ... 61 5. Sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul I

5.1 Consideraţii generale ... 63

5.2 Sisteme liniare omogene cu coeficienţi constanţi ... 64

5.3. Sisteme liniare neomogene cu coeficienţi constanţi ... 69

5.4 Exerciţii propuse ... 71

6. Elemente de calcul operaţional şi aplicaţii în teoria ecuaţiilor diferenţiale 6.1 Transformata Laplace ... 73

6.2 Transformata Laplace inversă ... 78

6.3 Calcul operaţional ... 81

6.3.1 Rezolvarea ecuaţiilor liniare cu coeficienţi constanţi ... 82

6.3.2 Rezolvarea sistemelor de ecuaţiil liniare cu coeficienţi constanţi ... 84

6.4 Exerciţii propuse ... 85

7 Aplicaţii ale ecuaţiilor diferenţiale de ordin superior 7.1 Oscilaţii armonice 87 7.2 Mişcarea unui pendul (ecuaţie liniarǎ) 91 7.3 Calculul perioadei unui circuit oscilant (ecuaţie liniarǎ) 92 7.4 Oscilaţii ale unei coloane de lichid (ecuaţie liniarǎ) 94 7.5 Propagarea cǎldurii într-o barǎ (ecuaţie liniarǎ) 95 7.6 Ecuaţii de mişcare (ecuaţii liniare) 96 7.7 Determinarea coeficientului de frecare (ec neliniară) 98 7.8 Determinarea ecuaţiei unei curbe (ecuaţie neliniară) 100 BIBLIOGRAFIE ………. 103

PREFAŢǍ

Materialul de faţă se doreşte a fi o introducere în studiul ecuaţiilor diferenţiale şi al aplicaţiilor lor. Lucrarea se adresează în primul rând studenţilor facultăţilor tehnice, precum si tuturor celor ce doresc să folosească noţiuni fundamentale privind teoria ecuaţiilor diferentiale în aplicaţii practice.

Scopul lucrării este prezentarea clară şi precisă a noţiunilor şi rezultatelor de bază privind rezolvarea analitică a unor tipuri importante de ecuaţii diferentiale ordinare, descrierea şi exemplificarea principalelor metode de rezolvare a problemelor, precum şi folosirea acestora pentru modelarea matematică a unor probleme practice.

Lucrarea are un pronunţat caracter metodic. Materialul prezentat este organizat in 7 capitole care acoperă cunoştinţele aferente temei „Ecuaţii diferenţiale ordinare”, temă predată şi seminarizată la disciplina fundamentală Matematici Speciale, prevăzută la unele facultăţi tehnice în noul plan de învăţământ, în semestrul II, anul I. Din această perspectivă lucrarea este un eficient suport pentru pregătirea seminariilor, temelor de casă şi examenelor.

Consideraţii generale asupra ecuaţiilor diferenţiale ordinare sunt prezentate în Capitolul 1. Principalele tipuri de ecuaţii diferenţiale de ordinul I sunt analizate în Capitolul 2, iar rezolvarea ecuaţiilor de ordin superior reprezintă subiectul Capitolului 4.

Legătura dintre acestea şi sistemele de ecuaţii de ordinul I este analizată în Capitolul 5, unde sunt prezentate şi metodele de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare de ordinul I cu coeficienţi constanţi.Capitolul 6 arată în ce măsură calculul operaţional poate fi folosit pentru rezolvarea (analitică) mai simplă a unor categorii speciale de ecuaţii diferenţiale, cum sunt ecuaţiile şi sistemele de ecuaţii liniare cu coeficienţi constanţi, ce stau la baza studiului sistemelor dinamice.

O atenţie deosebită este acordată interpretării noţiunilor introduse şi prezentării unor situaţii în care ele sunt folosite.

Capitolul 3 şi Capitolul 7 sunt dedicate exclusiv prezentării unor aplicaţii importante ale ecuaţiilor diferenţiale ordinare, care reprezintă un element extrem de important în înţelegerea unor fenomene foarte variate (ce apar în fizică, mecanică, inginerie electrică, ecologie, etc.). Descrierea suprafeţei de echilibru a unui lichid în rotaţie, variaţia presiunii atmosferice în raport cu altitudinea, studiul ecuaţiilor de mişcare a corpurilor, a unor fenomene legate de circuitele electrice (descărcarea unui condensator într-o rezistenţă, încărcarea unui condensator printr-o rezistenţă în prezenţa unei surse de curent continuu, calculul perioadei unui circuit oscilant), descrierea propagării căldurii într-o bară, sunt doar cteva dintre aplicaţiile analizate. Aceste aplicaţii au fost alese din perspectiva pregătirii studenţilor cărora materialul li se adresează cu precădere.

Materialul este conceput într-o manieră accesibilă şi sistematică, în aşa fel încât să poată însoţi primii paşi în descoperirea fascinantei lumi a ecuaţiilor diferenţiale. Demosntraţiile teoremelor sunt reduse la strictul necesar unei prezentări riguroase, fără încarce discursul matematic.

Sperăm ca folosirea acestui material să fie doar începutul studiului în domeniul inepuizabil al ecuaţiilor diferenţiale şi să trezească interesul pentru matematicile aplicate, îmbinare de rigurozitate, ingeniozitate şi pragmatism.

Mulţumim tuturor celor care, prin sugestii şi completări, au contribuit la realizarea acestei lucrări, în special referenţilor pentru observaţiile şi aprecierile făcute cu ocazia analizei manuscrisului.

CAPITOLUL 1 Consideraţii generale 1.1 Introducere

Studiul ecuatiilor diferenţiale formeazã obiectul unui capitol foarte important al matematicii, atât datoritã rezultatelor teoretice deosebit de interesante cât şi pentru cã ele au nenumãrate aplicaţii în cele mai diverse domenii.

Ceea ce deosebeşte o ecuaţie diferenţialã de o ecuaţie algebricã este faptul cã necunoscuta nu este un numãr ci o funcţie care satisface o anumiã egalitate şi care trebuie determinatǎ.

Multe fenomene sunt descrise cu ajutorul ecuaţiilor diferenţiale obţinute prin metoda cunoscutã sub numele de “metoda diferenţialelor”. Aceasta constã în înlocuirea unor relaţii ce apar între creşterile infinit de mici ale unor cantitãţi care variazã în timp prin relaţii între diferenţialele (derivatele) lor.

Spre exemplu viteza instantanee v t

( )

0 de deplasare a unui mobil care la momentul t a parcurs distanţa ^{s t}

( )

^este

( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0 0

0

lim '

t t

s t s t

v t s t

t t

→

= − =

− . La rândul sãu acceleraţia corpului la momentul t₀ este

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0 0 0

0

lim ' ''

t t

v t v t

a t v t s t

t t

→

= − = =

− . In relaţiile

ce descriu mişcarea viteza se va considera ^{v t}

( )

^{=s t'}

( )

^şi

( ) ( )

t v t s

( )

t

a = ' = '' .

Exemplu : Mişcarea unui corp sub acţiunea greutãţii sale şi întâmpinând o rezistenţã a aerului proporţionalã cu viteza sa (acest caz corespunde vitezelor mici) poate fi descrisã cu ajutorul unei ecuaţii diferenţiale.

Se noteazã ^{v t}

( )

viteza instantanee a corpului la momentul de timp t>0. Rezistenţa aerului va fi ^{R t}

( )

^{=kv t}

( )

. Legea fundamentalã a mecanicii (F maur= r

) conduce la relaţia ^{mg kv t−}

( )

^{=mv t'}

( )

care reprezintã o ecuaţie diferenţialã cu necunoscuta ^{v v t=}

( )

. Pentru a determina viteza instantanee a corpului trebuie rezolvatã aceastã ecuaţie.

Probleme fundamentale în teoria ecuaţiilor (în general) sunt determinarea soluţiilor lor sau aproximarea acestor soluţii dacã determinarea analiticã nu este posibilã.

Teoria ecuaţiilor diferenţiale are mai multe ramuri:

- teoria cantitativã se ocupã de rezolvarea analiticã a ecuaţiilor. Sunt precizate tipurile de ecuaţii ale cǎror soluţii se pot obţine analitic şi tehnicile de rezolvare a lor.

- teoria calitativã încearcã sã deducã proprietãţile soluţiilor, chiar dacã expresia lor analiticã nu poate fi cunoscutã

- aplicarea metodelelor numerice pentru aproximarea soluţiilor Scopul acestui capitol este prezentarea celor mai importante elemente ale teoriei cantitative a ecuaţiilor diferenţiale.

1.2 Noţiuni fundamentale

Definiţia 1. Se numeşte ecuaţie diferenţialã cu variabila independentǎ x, şi funcţia necunoscutã ^{y=y x}

( )

o egalitate de forma

( ) ( )

^{( )}

( )

(

^{, , ' ,..., n}

)

⁰

F x y x y x y x = (1) unde F D: ⊂Rⁿ⁺¹→R este o functie datã, continuã pe domeniul sãu de definiţie, iar y y', '', y^{( )n} sunt derivatele lui y.

Dacǎ ecuaţia (1) este scrisã sub forma

( ) ^f

(

^{x y}

( ) ( )

^{x y x y( )}

( )

^x

)

y ⁿ = , , ' ,..., ⁿ⁻¹ (1’) se spune cã are formã explicitã.

Ecuaţia diferenţialã are ordinul “n” dacã derivata de ordin maxim care apare in ecuaţie este y^{( )n} .

Exemple:

1) x² + y²

( )

x =0 nu este ecuaţie diferenţialã, pentru cã derivatele funcţiei necunoscute “y” nu apar in ecuatie, dar x² +(y''

( )

x)² =0 este o ecuaţie diferenţialã de ordinul 2 cu funcţia necunoscutã “y” şi variabila independentã “x”.

2)mv'

( )

t +kv

( )

t −mg=0 este o ecuaţie diferenţialã de ordinul I cu necunoscuta “v” şi variabila independentã “t”. Ea descrie mişcarea unui corp sub acţiunea greutãţii sale şi întâmpinând o rezistenţã a aerului proporţionalã cu viteza sa (funcţia necunoscutã, v, este viteza corpului).

3)

( ) ( )

R C

t t q

q' =− ⋅ este o ecuaţie diferenţialã de ordinul I cu necunoscuta “q” şi variabila independentã “t”. Ea descrie procesul de descãrcare al unui condensator de capacitate C într-o rezistenta R (funcţia necunoscutã “q” reprezintã sarcina electricã).

4) 0x⋅lnx− y'+3y"−7xy+5x²y' ''= reprezintã o ecuaţie diferenţialã de ordinul 3 cu necunoscuta “y” şi variabila independentã ‘x”.

5)

(

^{x y+ +1}

)

^dx+

(

^{x y− 2+3}

)

^dy=0 reprezintã o ecuaţie diferenţialã de ordinul I pentru cã apar notatiile « dx » şi « dy » asociate formal cu derivatele de ordinul I. Necunoscuta problemei trebuie precizatã : dacã folosim notaţia y'=dv/dx atunci ecuaţia se scrie sub forma

(

³

)

^{' 0}

) 1

(x+y+ + x−y² + y = şi necunoscuta ecuaţiei este y, dar dacã vom considera cã x'=dx/dy ecuaţia se scrie sub forma

(

³

)

⁰

' ) 1

(x+y+ x+ x−y² + = şi necunoscuta ecuaţiei este « x ».

Definiţia 2 Se numeşte soluţie a ecuaţiei diferenţiale (1) pe intervalul I ⊂R orice funcţie :φ I→R, derivabilã de n ori pe I,

care verificã ecuaţia, adicã pentru orice x I∈ are loc egalitatea

( ) ( )

^{( )}

( )

(

^{, , ' ,..., n}

)

⁰

F xφ x φ x φ x = . Existã trei tipuri de solutii:

• Soluţia generalã a ecuaţiei (1) este soluţia care depinde de x şi de n constante arbitrare C₁,C₂,...,C_n(exact atâtea cât este ordinul ecuaţiei), adicã este de forma y=φ

(

x C C, ,1 2,...,C_n

)

. Aceasta este forma explicitã a soluţiei pentru cã se precizeazã modul în care funcţia necunoscutã ydepinde de variabila independentã x

Uneori soluţia generalã este prezentatã în formã implicitã (integrala generalã a ecuaţiei), adicǎ Ω

(

x y C, , ,...,1 C_n

)

=0.

Soluţia generalã se poate obţine şi sub formã parametricã :

(

, ,...,1 _n

)

,

(

, ,...,1 _n

)

x= f t C C y g t C= C

• Orice soluţie care se obţine din soluţia generalã pentru anumite valori particulare ale constantelor se numeşte soluţie particularã.

• Soluţiile ecuaţiei care nu se pot obţine prin acest procedeu din soluţia generalã se numesc soluţii singulare.

In probleme practice, alãturi de ecuaţia diferenţialã trebuie considerate şi condiţii iniţiale

( )

0 0, '

( )

0 1,..., ^{(n 1)}

( )

0 _n 1

y x =y y x = y y ⁻ x =y ₋ (2) Ecuaţia (1) împreunǎ cu condiţiile iniţiale (2) formeazǎ o problemã Cauchy.

Soluţia unei probleme Cauchy (1)+(2) se obţine impunând condiţiile iniţiale (2) soluţiei generale a ecuaţiei (1).

Exemple

1. y' 3= x² este o ecuaţie diferenţialã de ordinul I. cu necunoscuta y.

Soluţia sa generalã este ^{y R: →R y x,}

( )

^{=x3+C deoarece}

verifica ecuaţia. Ea depinde de o singurã constantã. ^{y x}

( )

^=x3+1,

( )

^{3 2}

y x =x − sunt soluţii particulare ale ecuaţiei pentru cã au fost obţinute din soluţia generalã pentru C=1, respectiv C= − 2. Existã o infinitate de soluţii particulare ale ecuaţiei.

2. y'= 1−y² este o ecuaţie diferenţialã de ordinul I. cu necunoscuta y si variabila independentã x.

Funcţia ^{: , ,}

( )

^sin

( )

2 2

y C⎡⎢⎣ −π C+π⎤⎥⎦→R y x = x C− reprezintã soluţia generalã a ecuaţiei.

Funcţia ^{: , ,}

( )

^sin

y ⎡⎢⎣−π π2 2⎤⎥⎦→R y x = x este soluţie particularã (obţinutã din soluţia generalã pentru C=0).

Funcţia ^{: 0,}

[ ]

^,

( )

^{sin cos}

y π →R y x = ^⎛⎜⎝x−π2^⎞⎟⎠= − x este soluţie particularã (obţinutã din soluţia generalã pentru

C₌π2 ).

Alte soluţii particulare se pot obţine în acelaşi mod, pentru fiecare domeniul de definiţie fiind altul.

Ecuaţia admite soluţiile singulare y R1: →R y x, 1

( )

=1 şi

2: , 2

( )

1

y R→R y x = − .

3. y^{( )5} −2y^{( )4} +y^{( )3} −2y^{( )2} =0 este o ecuaţie diferenţialã de ordinul 5.

Soluţia sa generalã este

( )

1 2 3 ² 4 5

: , ^x cos sin

y R→R y x =C +C x C e+ +C x C+ x.

( )

^,

( )

^{3 sin}

y x =x y x = − x sunt exemple de soluţii particulare.

4. Problema Cauchy

( ) ( ) ( ) ( )

4 ''' 5 '' 4 ' 4 0

0 5, ' 0 2, '' 0 3, ''' 0 24 yIV y y y

y y y y

⎧ − + − + =

⎪⎨

= = = =

⎪⎩

are soluţia ^{y x}

( )

^=2xe2x+5cosx. Aceastã soluţie se obţine din soluţia

generalã a ecuaţiei diferenţiale, anume

( )

1 ^2x 2 ^2x 3cos 4sin

y x =C e +C xe +C x C+ x determinând constantele din

sistemul

( ) ( )

( ) ( )

1 3

1 2 4

1 2 3

1 2 4

0 5

' 0 2 2

'' 0 4 4 3

''' 0 8 12 24

y C C

y C C C

y C C C

y C C C

⎧ = + =

⎪ = + + =

⎪⎨

= + − =

⎪⎪ = + − =

⎩

Soluţia sistemului este C₁=0,C₂ =2,C₃ =5,C₄=0 deci soluţia problemei Cauchy este ^y

( )

^{x =2xe2x+5cosx}

5. Soluţia generalǎ a ecuaţiei ^y⋅lny+

(

^x−lny

)

^⋅y'=0, satisface relaţia C

y y

x⋅ = +

⋅ ln ln²

2 .

Aceasta este forma implicitǎ a soluţiei.

In adevǎr, prin derivarea relaţiei anterioare obţinem 1 '

ln 2 2 '

ln

2 y

y y y y

y+ x⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅ , de unde rezultǎ

(

ln

)

' 0

ln + − ⋅ =

⋅ y x y y

y

adicǎ faptul cǎ funcţia y satisface ecuaţia diferenţialǎ şi deci este soluţia sa generalǎ (deoarece depinde de o constantǎ). Determinarea formei sale explicite este mai dificilǎ.

6. Soluţia generalǎ a ecuaţiei (

^4x+3y+3y2

)

⁺

(

^2xy+x

)

^y'=0

satisface relaţia

3 .

2 3

4 x y x y C

x + + =

Derivând relaţia anterioarǎ obţinem 0

' 3

' 2 3

4x³+ x²y²+ x³yy+ x²y+x²y =

adicǎ ^x2⋅

[ (

^4x+3y+3y2

)

⁺

⁽

^2xy+x

⁾

^y'

]

⁼⁰ceea ce aratǎ cǎ funcţia y

satisface ecuaţia (variabila independentǎ x trebuie sǎ şi ia valori nenule deci primul factor al produsului poate fi considerat nenul).

O problemã importantã in teoria ecuaţiilor diferenţiale este

determinarea soluţiei generale a unei ecuaţii diferenţiale date. Acest lucru este posibil numai pentru un numãr restrâns de ecuaţii. Unele din aceste cazuri sunt prezentate în paragrafele ce urmeazã.

1.3 Exerciţii propuse

1. Sǎ se precizeze dacǎ funcţia y=y

( )

x este soluţie a ecuaţiei diferenţiale (sau a problemei Cauchy) în urmǎtoarele cazuri.

Pentru fiecare soluţie sǎ se precizeze domeniul sǎu de definiţie.

a). y²+xy−x²y'=0 y

( )

x =−x/

(

C+lnx

)

b). y'+2xy=2xe^{−x2 y}

( ) (

^{x = x+C}

)

^e−x2

c). y'−y=xy^{2 y}

( )

^{x =1/}

(

^{1−x+C⋅e−x}

)

d). _⎩^⎨⎧yy

( )

^{''0−3=y2'+,2yy'}

( )

⁼⁰⁰⁼³ y

( )

x =e^x+e^2x

e). y''−5y'6y=8⋅e^{x y}

( )

^{x =C}₁^⋅e2x+C₂^⋅e3x+4x

f).

( ) ( )

( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

= + +

− +

14 1 ' , 12 1

0 8 ' 1 2 4 '' 1

2 ²

y y

y y x y

x ^y

( ) (

^{x = 2x+1}

) (

^{⋅ 2x+2}

)

2. Sǎ se arate cǎ soluţia generalǎ a ecuaţiei

(

^x−y2+3

)

^y'+x+y+1=0, scrisǎ sub formǎ implicitǎ este y C

y x y

x +x+ ⋅ + ⋅ − = 3 3

2

3 2

.

3. Sǎ se arate cǎ soluţia problemei Cauchy x+y⋅y'=0, y

( )

0 =1 satisface relaţia x²+y²=1. Sǎ se precizeze forma parametricǎ a soluţiei.

4. Soluţia generalǎ a ecuaţiei y'= 1−y² este R

C C

y":[ −π/2, +π/2]→ , y

( )

x =sin

(

x−C

)

. Sǎ se scrie soluţia problemei Cauchy y'= 1−y² ,

(

^3π/4

)

^{=1/ 2}

y

Rezolvare: Din ^sin

(

^3π/4−C

)

^{=1/ 2rezultǎ C=π/2} deci soluţia este ^{y:[0,π]→R, y}

( )

^{x =sin}

(

^x−π/2

)

^=−cosx

CAPITOLUL 2

Ecuaţii diferenţiale de ordinul I Ecuaţiile diferenţiale de ordinul I au forma

(

^{, , '}

)

⁰

F x y y = .

Cel mai adesea ele sunt scrise în formã explicitã y'= f

( )

x,y . Soluţia lor generalã depinde de o singurã constantã.

Nu orice ecuaţie diferenţialã de ordinul I poate fi rezolvatã analitic.

Din punctul de vedere al rezolvãrii analitice existã douã categorii importante de ecuaţii :

- ecuaţii fundamentale (ecuaţiile cu variabile separabile, ecuaţiile liniare, ecuaţii cu diferentiale totale)

- ecuaţii reductibile la ecuaţii fundamentale (ecuaţii omogene si reductibile la ecuaţii omogene, ecuaţii care admit factor integrant, ecuaţii de tip Bernoulli, de tip Riccati, de tip Lagrange, de tip Clairaut etc)

Este foarte importantã cunoaşterea algoritmului de rezolvare a ecuaţiilor fundamentale precum şi a metodelor de reducere a celorlalte ecuaţii la ecuaţii fundamentale.

2.1 Ecuaţii cu variabile separabile Forma generalã a ecuaţiei este

( ) ( )

'

y = f x g y⋅ (3)

unde f, sunt funcţii reale date, continue pe domeniul lor de definiţie. g Soluţiile ecuaţiei ^{g y}

( )

⁼⁰ sunt soluţii, de obicei singulare, ale ecuaţiei.

Dacã ^{g y}

( )

^≠0 rezolvarea constã in separarea variabilelor urmatã de integrare.

Metoda de rezolvare:

- se rezolvã ecuaţia ^{g y}

( )

⁼⁰ cu soluţiile y y₁, ,...,₂ y_k

- se scriu soluţiile singulare ale ecuaţiei

( )

1,

( )

2, ...,

( )

_k

y x =y y x =y y x = y .

Domeniul lor de definiţie este domeniul de definiţie al funcţiei f.

- se scrie ecuaţia sub forma

( )

f

( )

x y

g y' =

(ceea ce este posibil pentru

( )

y ≠0

g ) şi se obţine integrala generalã a ecuaţiei :

( ) ( )

dy f x dx C

g y = +

∫ ∫

, adicã forma implicitã a soluţiei.

- din integrala generalã se calculeazã (dacã este posibil) y şi se obţine forma explicitã a soluţiei.

Observaţie : Soluţia particularã a ecuaţiei (3) care îndeplineşte condiţia iniţialã y x

( )

0 =y0 este datã de

( ) ( )

0 0

y x

y x

ds f t dt g s =

∫ ∫

^{. Ea se}

poate obţine din soluţia explicitã impunând condiţia iniţialǎ.

O formã particularã a ecuaţiei cu variabile separabile este ^{y'= f x}

( )

^.

Soluţia generalã a acestei ecuaţii este ^{y x}

( )

⁼

∫

^{f x dx}

( )

Exemple : Sã se rezolve 1. y'=x²+sinx

Soluţia generalã este ^{y x}

( )

⁼

_∫ (

^{x2+sinx dx}

)

^{= x}₃^{3 −cosx C+}

2. ' ₂ 1 y x

= x

+

Soluţia generalã este

( )

2

(

²

)

1ln 1

1 2

y x x dx x C

= x = + +

∫

+ 3. ' y

y = −x

In acest caz ^{f x}

( )

¹

= −x şi ^{g y}

( )

^=y, deci ecuaţia ^{g y}

( )

⁼⁰are soluţia 0

y= şi funcţia y_s:R−{0}→R, y_s

( )

x =0este soluţie singularã a ecuaţiei.

Dacã 0y≠ ecuaţia devine y' 1

y = −x şi integrala ei generalã este 1

dy dx

y = −x

∫ ∫

^.

Rezultã 1 ₁ 1 1

ln | | lny C ^notatieln lnC lnC

x x x

= + = + = , unde C>0este o

constantǎ arbitrarǎ. Rezultǎ

x

y=±C, C>0. In acest caz soluţia generalǎ se scrie sub forma ^{y R: {0} R y x,}

( )

^C

− → = x , 0C≠ .

Inlocuind C=0 în soluţia generalǎ se obţine soluţia singularǎ y_s. Aceasta nu este însǎ o soluţie particularǎ deoarece valoarea C=0 nu este acceptabilǎ în cadrul soluţiei generale.

2.2 Ecuaţii liniare

Forma generalã a ecuaţiei liniare este

( ) ( )

'

y =P x y Q x⋅ + (4)

unde , :P Q I→R sunt funcţii date, continue pe domeniul de definiţie.

Aceastã ecuaţie se rezolvã prin metoda variaţiei constantei.

Metoda de rezolvare (metoda variaţiei constantei)

- se rezolvã ecuaţia omogenã ^{y'=P x y}

( )

^⋅ care este o ecuaţie cu variabile separabile şi se obţine soluţia nenulã

( ) ^{C f}

( )

^x

e C

y ^notatie

dx x P

x

a = ⋅

⋅

= ∫

- se considerã constanta Cca fiind funcţie de x, adicã se scrie

( ) ( ) ( )

y x =C x ⋅f x

- se calculeazã ^{y x'}

( )

^{=C x f x'}

( ) ( )

^{+C x f x}

( ) ( )

^' şi se introduce in ecuaţia (4) ; termenii care conţin pe ^{C x}

( )

se reduc şi se obţine o ecuaţie mai simplã de forma ^{C x'}

( )

^{=g x}

( )

^.

- se rezolvã ecuaţia ^{C x'}

( )

^{=g x}

( )

şi se obţine soluţia

( ) ( )

C x =

∫

g x dx K+

- se introduce expresia lui ^{C x}

( )

^{în y x}

( )

^{=C x f x}

( ) ( )

şi se obţine forma explicitã a soluţiei ecuaţiei (4).

Observaţie : Forma explicitã a soluţiei ecuaţiei (4) , pentru x₀ fixat, este

( ) ( )

^{0 ( ) 0 ( )}

0

x

x

s P t dt

x P t dt

x x

y x K Q s e ds e

⎡ ⎛ ⎞ ⎤

⎢ ⎜ ⎟ ⎥

= + ⋅

⎜ ⎟

⎢ ⎝ ⎠ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫

∫

^.

Aceastã expresie se obţine folosind algoritmul anterior dar e dificil de memorat şi de aceea se recomandã folosirea algoritmului pentru rezolvarea fiecãrei ecuaţii.

Exemplu : Sã se rezolve problema Cauchy

( )

' 2 sin

/ 2

y y ctgx x x

y π a

= ⋅ + ⋅

⎧⎪⎨ =

⎪⎩

Funcţia ctgx nu este definitã in punctele nπ, n N∈ . Din cauza condiţiei iniţiale se va cãuta soluţia generalã a ecuaţiei pe intervalul

( )

^{0.π .}

Ecuaţia omogenã 'y = ⋅y ctgx are integrala generalã cos sin

dy x

y = xdx

∫ ∫

^.

Rezultã ln | | ln | sin |y = x + =C1 ln

(

C| sin |x

)

care dã soluţia

( )

^sin

y x =C x

Se aplicã variaţia constantei, adicã se considerã ^{y x}

( )

^{=C x}

( )

^sinx.

Introducând ^{y x'}

( )

^{=C x'}

( )

^{sinx C x+}

( )

^cosx în ecuaţia neomogenã obţinem

( ) ( ) ( )

^cos

' sin cos sin 2 sin

sin

C x x C x x C x x x x x

+ = x + . Termenii conţinând

factorul ^{C x}

( )

se reduc şi se obţine ecuaţia ^{C x'}

( )

^=2x cu soluţia

( )

²

C x =x +K.

Introducând aceastã expresie în forma lui ^{y x}

( )

obţinem soluţia generalã a ecuaţiei, anume ^{y: 0,}

( )

^{π →R y x,}

( )

⁼

(

^{x2 +K}

)

^{sinx unde K R∈ este}

o constantã arbitrarã.

Din condiţia ^y

(

^{π/ 2}

)

^{=a rezultã 2 sin}

4 K 2 a

π π

⎛ + ⎞ ⎛ ⎞=

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎝ ⎠ , adicã

2

K a π4

= − . Deci soluţia problemei Cauchy este

( ) ( )

^{2 2}

: 0, , sin

y π →R y x =^⎛⎜x + −a π4 ^⎞⎟ x

⎝ ⎠ .

2.3 Ecuaţii cu diferenţialǎ totalǎ Forma generalã a ecuaţiei este

( )

^,

( )

^{, 0}

P x y dx Q x y dy+ = (5)

unde ,P Qsunt funcţii date, de clasã C² pe domeniul D⊂R² şi satisfac relaţia

( ) ( )

x y

x y Q y x

P , ,

∂

=∂

∂

∂ pentru orice

( )

x,y ∈D . Rezolvarea ecuaţiei se bazeazã pe faptul cã existã funcţii de forma

( ) ( ) ( )

0 0

, , 0 ,

x y

x y

U x y =

∫

P t y dt+

∫

Q x t dt

astfel încât ^dU_{( )x y,} =P x y dx Q x y dy

( )

^, +

( )

^, . Spunem în acest caz cã ecuaţia are diferenţialã totalã. Ea se scrie sub forma dU_{( )x,y} =0, deci soluţia ecuaţiei (5) va fi datã în forma implicitã de relaţia ^{U x y}

( )

^{, =C.}

Metodã de rezolvare

- se identificã în ecuaţie ^{P x y}

( )

^{, şi Q x y}

( )

^, şi se verificã egalitatea

( ) ( )

x y x y Q y x

P , ,

∂

=∂

∂

∂

- se determinã funcţia U

- se scrie soluţia ecuaţiei sub formã implicitã U

( )

x,y =C. Dacã este posibil, din aceastã egalitate se aflã y în funcţie de x şi se obţine forma explicitã a soluţiei.

Exemplu : Sã se determine soluţia generalã a ecuaţiei

(

^{x y+ +1}

)

^dx+

(

^{x y− 2 +3}

)

^dy=0.

In acest caz ^{P x y}

( )

^{, = + +x y 1 şi Q x y}

( )

^{, = −x y2 +3 şi}

( )

,

( )

, =1

∂

=∂

∂

∂ x y

x y Q y x P

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 2

3 1

, 0

, ,

3 2

0 0

2

0 0

xy y x x

dt t

x dt t dt t x Q dt t P y x U

x y

x y

− + +

=

= +

− + +

= +

=

∫ ∫ ∫ ∫

Soluţia generalã a ecuaţiei este datã sub formã implicitã de relaţia

2 3

2 3 3

x y

x y xy C

+ + + − = .

Aceastã ecuaţie nu poate fi rezolvatã analitic în raport cu necunoscuta y, deci nu se poate preciza forma explicitã a soluţiei.

2.4 Ecuaţii reductibile la ecuaţii fundamentale

Tehnica generalã de rezolvare a acestui tip de ecuaţii este urmǎtoarea : - se reduce ecuaţia la o ecuaţie fundamentalã

- se rezolvã ecuaţia fundamentalã

- se scrie soluţia ecuaţiei iniţiale folosind soluţia celei fundamentale 2.4.1 Ecuatii omogene

Forma generalã a unei ecuaţii omogene este ^{y'= f y x}

(

^/

)

Prin schimbarea de variabilã _{z x}

( )

^{y x}

( )

= x se obţine o ecuaţie cu variabile separabile.

Exemple : Sǎ se determine soluţia generalǎ a ecuaţiei

2 2

'

xy− =y x +y Pentru x≠0 ecuaţia se scrie

2

' y 1 y

y x x

= + + ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠ . Cu schimbarea de

variabilã _{z x}

( )

^{y x}

( )

= x , adicã ^{y x}

( )

^{= ⋅x z x}

( )

, ecuaţia devine

( )

^'

( ) ( )

^{1 2}

( )

z x +xz x =z x + +z x , care este o ecuaţie cu variabile separabile, anume 1 1 ²

' z

z = x + . Integrala generalã a ecuaţiei este

2

1 1

dz dx

z = x

∫

+

∫

^{, adicã ln}

(

^{z+ 1+z2}

)

^{=ln | |x + =C1 ln}

⁽

^{C x| |}

⁾

^.

Rezultã z+ 1+z² =Cx , adicǎ

( )

|

| 2

2 1

2

x C

x x C

z = − . Soluţia generalã a ecuaţiei este

( )

^{2 2 1}

: {0} ,

2 | | y R R y x xC x

C x

− → = −

2.4.2 Ecuaţii reductibile la ecuatii omogene sau cu variabile separabile

Ecuaţiile având forma generalã '

' ' '

ax by c y f

a x b y c

⎛ + + ⎞

= ⎜⎝ + + ⎟⎠ pot fi reduse la ecuaţii omogene sau cu variabile separabile astfel :

- dacã a a/ '≠b b/ ' se rezolvã sistemul de

ecuaţii 0

' ' ' 0

ax by c a x b y c

+ + =

⎧⎨ + + =

⎩ care are soluţia

(

x y0, 0

)

. Prin schimbarea de variabile x u x= + ₀, y v y= + ₀

se obţine o ecuaţie omogenã cu variabila independentã u şi funcţia necunoscutã v.

- dacãa a/ '=b b/ ' se foloseşte substituţia z ax by= + şi ecuaţia se transformã într-o ecuaţie cu variabile separabile.

Exemple: 1.

(

^{2x+3y− −1}

) (

^{x y− −3}

)

^{y' 0=}

Ecuaţia se scrie sub forma 2 3 1

' 3

x y

y x y

+ −

= − − deoarece y=x−3 nu este soluţie a ecuaţiei. Sistemul 2 3 1 0

1 0 x y x y

+ − =

⎧⎨ − − =

⎩ are solutia unicã 2

1 x y

⎧ =

⎨ = −

⎩ .

Se face substituţia 2 1 x u y v

⎧ = +

⎨ = −

⎩ şi se obţine ecuaţia omogenã

(

^2u+3v

) (

^{+ −v u v}

)

^{' 0=} cu funcţia necunoscutã v. Notând v

z=u , adicã v zu= ecuaţia se reduce la ecuaţia cu variabile separabile

1 2 2 2

' 1

z z

z u z

+ +

= ⋅ − . Integrala generalã a acestei ecuaţii este

2

1 1

2 2

z dz du

u

z z

− =

+ +

∫ ∫

. Calculând cele douã integrale obţinem

(

²

) _{( )}

ln 2 2

2 1 ln

2

z z

arctg z u C

+ +

− + = + .

Tinând cont cã 1

2 v y z u x

= = +

− se obţine soluţia generalã sub formã implicitã

( ) ( )( ) ( )

(

^{2 2}

)

¹

ln 1 2 2 1 2 2 4 0

2

y x y x arctgx y

x

+ + − + + − − + − =

− .

Forma explicitã a soluţiei nu se poate determina.

2.

(

^4x+6y+4

) (

^{−3 6x+9y−2}

)

^{y' 0=}

Ecuaţia se scrie sub forma

(

^{4 6 4}

)

' 3 6 9 2

x y

y x y

+ +

= + − .Deoarece

4 6

' 18 ' 27

a b

a = =b = se va folosi substituţia 2x+3y z= . Din 2 3 z x

y −

= rezultã ' 2

' 3

y = z− . Ecuaţia devine ' 2 2 4

3 9 6

z z

z

− = +

− adicã 8

' 3 2

z z

= z

− . Aceasta este o ecuaţie cu variabile separabile care se poate scrie sub forma 3 1

8 4 z' 1 z

⎛ − ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Integrala generalã a acestei ecuaţii conduce la relaţia 3 1

8z−4lnz x C= + . Tinând cont de expresia lui z se obţine soluţia generalã a ecuaţiei iniţiale, soluţie scrisã sub formã implicitã :

( ) ( )

²

3 2x+3y −ln 2x+3y −8x C= .

Nici în acest caz nu se poate preciza forma explicitã a soluţiei.

2.4.3 Ecuaţii ce admit factor integrant

Au forma generala P x y dx Q x y dy

( )

^, +

( )

^, =⁰ cu P Q

y x

∂ ∂

∂ ≠ ∂ dar pentru care existã funcţia μ=μ

( )

x,y ≠0, numitã factor integrant, astfel încât

( )

^P

( )

^Q

y μ x μ

∂ ∂

∂ =∂ .

Dacã factorul integrant ^μ

( )

^{x y,} poate fi determinat, atunci ecuaţia

( ) ( )

x y P x y dx^{, ,}

( ) ( )

x y Q x y^{, , 0}

μ +μ = este o ecuaţie cu diferenţialã

totalã, echivalentã cu cea iniţialã.

Nu toate ecuaţiile au factor integrant, existã doar câteva cazuri importante dintre care menţionǎm:

- dacã

Q x Q y

P ∂ −∂ ∂

∂ / /

depinde doar de x atunci existã factor integrant ce depinde doar de x si ^{μ μ=}

( )

^x satisface ecuaţia

/ /

' P y Q x

μ =μ^{∂ ∂ − ∂}Q ^∂ (4.3.1) - dacã

P y P x

Q ∂ −∂ ∂

∂ / /

depinde doar de y atunci atunci existã factor integrant ce depinde doar de y si ^{μ μ=}

( )

^y satisface ec.

/ /

' Q x P y

μ =μ^{∂ ∂ − ∂ ∂}P (4.3.2)

Pentru rezolvarea ecuaţiilor cu factor integrant se parcurg urmãtoarele etape :

- se determinã factorul integrant rezolvând ecuaţiile diferenţiale (4.3.1) sau (4.3.2)

- se scrie ecuaţia cu diferenţiale totale corespunzãtoare

- se rezolvã ecuaţia cu diferenţiale totale (cu necunoscuta ^y=y

( )

^{x ) şi se}

obţine astfel soluţia ecuaţiei iniţiale.

Exemplu :

(

^{4x+3y+3y dx2}

)

⁺

⁽

^{2xy x dy+}

⁾

^{=0 .}

In acest caz ^{P x y}

( )

^{, =4x+3y+3y2 şi Q x y}

( )

^{, =2xy x+ .}

Rezultã cã P 6 3 y y

∂ = +

∂ şi Q 2 1

x y

∂ = +

∂ . Ecuaţia nu are diferenţialã totalã

deoarece P Q

y x

∂ ∂

∂ ≠ ∂ . Totuşi 2

P Q

y x

Q x

∂ −∂

∂ ∂ = depinde numai de x, deci se poate alege un factor integrant de forma ^{μ μ=}

( )

^x . El va satisface

ecuaţia 2

' x

μ = ⋅μ care este o ecuaţie cu variabile separabile cu soluţia

( )

^{x x2}

μ = . Din înmulţirea cu x² a ecuaţiei iniţiale se obţine ecuaţia cu diferenţialã totalã

(

^{4x3+3x y2 2+3x y dx2}

) (

^{+ 2x y x dy2 + 3}

)

^=0.

- Funcţia

( )

³

(

^{2 3}

)

^{4 2 2 3}

0 0

, 4 2

x y

x y =

∫

t dt+

∫

x t x dt x+ = +x y +x y

U .

Soluţia ecuaţiei, scrisã sub formã implicitã va fi deci

4 2 2 3

x +x y +x y C= . Ea este şi soluţia ecuaţiei iniţiale.

2.4.4 Ecuatii de tip Bernoulli

Forma generalã este y'=P

( )

x ⋅y+Q

( )

x ⋅y^α, unde α∈R, 0α ≠ ,

≠1

α şi P,Q:I →R sunt funcţii date, continue pe I.

Pentru 0a> ecuaţia are soluţia singularǎ y:I →R, y

( )

x =0.

Prin schimbarea de funcţie z=y^1−α se obţine o ecuaţie liniarã. Dacǎ soluţia ecuaţiei liniare este z_g atunci soluţia ecuaţiei iniţiale este

−1

=z_g^α

y .

Exemplu : 4 '

y y x y

= x + .

In acest caz α =1/ 2. Se foloseşte substituţia z=y^{1 1/ 2−} = y^{1/ 2}. Rezultã y z= 2 şi ' 2y = ⋅ ⋅z z'.

Ecuaţia devine 4 ² 2 z z' z xz

⋅ ⋅ =x + , adicã 4

2 ' 0

z z z x

x

⎛ − − ⎞=

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Din soluţia z=0 rezultã soluţia singularã y=0. Ecuaţia liniarã 2

' 2

z z x

= x + are soluţia

( )

^{1ln 2}

z x =⎛⎜2 x K+ ⎞⎟⋅x

⎝ ⎠ care

conduce la

( )

^{1ln 2 4}

y x =⎛⎜2 x K+ ⎞⎟ ⋅x

⎝ ⎠ .

2.4.5. Ecuatii de tip Ricatti

Forma generala este y^'+P

( )

x ⋅y² +Q

( )

x ⋅y+R

( )

x =⁰

Aceste ecuaţii se pot rezolva numai dacã se cunoaşte mãcar o soluţie particularã a lor :

- dacã se cunoaşte o soluţie y x1

( )

, prin transformarea y=y₁+1/zse obţine o ecuaţie liniarã şi neomogenã ;

- dacã se cunosc douã soluţii y₁şi y₂, prin schimbare de variabilǎ

1 2

z y y y y

= −

− se obţine o ecuaţie liniarã şi omogenã ;

- dacã se cunosc trei soluţii y y y₁, ,_{2 3} atunci soluţia se obţine direct din relaţia

3 1

1

2 3 2

: y y

y y C

y y y y

−

− =

− − .

Exemplu : Sã se rezolve ecuaţia

2 2

3 3 3

1 2

' 0

1 1 1

x x

y y y

x x x

+ − − =

− − −

a) ştiind cã admite soluţia y₁= −x² ;

b) ştiind cã admite soluţiile y x1

( )

= −x² şi y x2

( )

= −1/x ;

c) ştiind cã admite trei soluţii y x1

( )

= −x², y x2

( )

= −1/x şi

3

( )

1

y x = +x .

a) Dacã se cunoaşte numai soluţia y₁ se face schimbarea de variabilã 1 2

y x

= −z adicã 1₂

' ' 2

y z x

= −z − .

Se obţine ecuaţia

(

³

)

2 ^{2 2 2 2}

1 1 1

1 ' 2 2 0

x z x x x x x

z z

z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⎜⎝− − ⎟ ⎜⎠ ⎝+ − ⎟⎠ − ⎜⎝ − ⎟⎠− = din care, dupã efectuarea calculelor rezultã ecuaţia liniarã

2

3 3

3 1

' 0

1 1

z x z

x x

+ − =

− − cu

soluţia ₃ 1 z k x

x

= +

− . Rezultã

1 kx2

y x k

= − −

+ .

b) Dacã se cunosc douã soluţii se face substituţia

2

1/

z y x

y x

= +

+ adicã

( )

3

1 y z x

x z

= −

− şi

( ) ^{( )} ( ) ^{( )}

( )

2 3

2 2

' 3 1 1 '

' 1

z x x z z x z xz

y x z

− − − − − −

= − .

Introducând aceste expresii în ecuaţia diferenţialã obţinem (dupã calcule) ecuaţia liniarã ' z

z = x care are soluţia z cx= . Rezultã ² 1 y c x

cx

= −

− . Observãm ca soluţia obţinutã coincide cu cea de la a) dacã considerãm

1/

c= − k.

c) dacã se cunosc y y y₁, ,_{2 3}, soluţia generalã se obţine direct din

formula ^{1 3 1}

2 3 2

: y y

y y k

y y y y

−

− =

− − de unde rezultã ²

1 x k y kx

= −

− .

2.4.6. Ecuatii de tip Lagrange

Forma generalã este ^{y x A y= ⋅}

( )

^{' +B y}

( )

^{' , unde A y}

( )

^{' ≠ y'}

Se deriveazã ecuaţia şi se noteazã 'y = p.

Se obţine o ecuaţie liniarã cu funcţia necunoscutã x şi variabila independentã p.

Aceastã ecuaţie are solutia de forma

( )

x x p= iar soluţia generalã a ecuaţiei Lagrange se dã în formã parametricã

( )

( ) ( ) ( )

x x p

y x p A p B p

⎧ =⎪

⎨ = +

⎪⎩

Exemplu : Sã se rezolve ecuaţia ^{y x y= ⋅}

( )

^{' 2−y'.}

Prin derivarea ecuaţiei se obţine ^y'=

( )

^{y' 2+2 ' ''xy y −y''. Se}

noteazã 'y = pşi se ajunge la ecuaţia p p− ² =(2px−1) 'p în care p este funcţie de x. Dacã se considerã x ca funcţie de p (se inverseazã aplicaţia p) şi se ţine cont de faptul cã ' 1/ 'x = p (din formula de derivare a funcţiei inverse) se obţine ecuaţia liniarã

( )

2 1

' 0

1 1

x x

p p p

+ − =

− − pentru ^{p p}

(

^{− ≠1}

)

^0.

Rezultã ^x=

(

^C+lnp

) (

^{/ p−1}

)

şi soluţia ecuaţiei este datã parametric prin ^x=

(

^C+lnp

) (

^{/ p−1 ,}

)

^{y= p C2}

(

^+lnp

) (

^{/ p− −1}

)

^p.

Pentru p=0 şi 1p= se obţin douã soluţii singulare : y K= şi y x L= + .

Înlocuind aceste funcţii în ecuaţia iniţialã se obţine K =0, respectiv 1

L= − . Deci soluţiile particulare vor fi y=0 şi 1y x= − . 2.4.7. Ecuatii de tip Clairaut

Ecuaţiile de tip Clairaut au forma generalã ^{y xy B y= '+}

( )

^{' .}

Notând y'= p ecuaţia devine ^y=xp+B

( )

^p . Prin derivarea sa se obţine ecuaţia ^p'⋅

(

^x+B'

( )

^p

)

^=0.

Dacã ^p'

( )

^{x =0} se obţine soluţia (generalã) ^y

( )

^{x =Cx+B}

( )

^C

Din egalitatea ^x+B'

( )

^{p =0} se obţine soluţia singularã

( )

( ) ( )

' '

x B p

y B p p B p

⎧ = −

⎪⎨

= − +

⎪⎩ scrisã sub formã parametricã.

Exemplu :^{y xy= '−}

( )

^{y' 2}

Soluţia generalã este y Cx C= − ² şi o soluţie particularã este datã parametric de x 2p ₂

y xp p

⎧⎪ =

⎨ = −

⎪⎩ .

Soluţia singularǎ scrisǎ sub formǎ explicitǎ este

2 4 2

2

2 x

x x x

y= ⋅ − = 2.5 Exerciţii propuse

Sã se rezolve urmãtoarele ecuaţii diferenţiale sau probleme Cauchy:

1.y'−y x/ =0 R : y Cx x= + ² 2.y' 2 /− y x x= ³ R : y x= ⁴/ 6+C x/ ² 3.^{xy'+ −y ex =0, y a}

( )

^=b R : ^{y e x= x/ −}

(

^{ab e− a}

)

^/x

4_⎪⎩

( )

⎪⎨

⎧

=

=

−

− −

−

0 0

0 1 1

'

₂

y x x y y

R : ^y=

_{4 (} ¹ ₁

⁺₋^x_x

₎ (

^x

¹

^{−x2 +}

^arcsin

^x

)

5.^{y'cos2x y tgx+ = , y}

( )

^{0 =0} R : y x= / cosx, x∈[0, / 2)π 6.xy'− =y y³ R : y Cx= / 1−C x^{2 2}

7.

(

^{x y y x y−}

)

^{− 2 ' 0=} R : ^{y=1/ ln | |}

(

^{x +C}

)

8.

(

^{1−x y2}

)

^{'+xy ax=} R : y a C x= + ²−1 9.xy' 2− y x= ³/ 2 R : y x= ³/ 2+Kx² 10.y' 2− xy x= ³ R : ^y=

(

^{x2−1 / 2}

)

^+Ce−x2

11.xy'− =y lnx R : y= −lnx−1/(2 )x +Cx 12.

(

^3x2+6xy2

) (

^{dx+ 6x2y+4y3}

)

^dy=0 R : x³+3x y^{2 2}+y³=C

13.

(

^{x y dx+}

)

⁺

(

^{x+2y dy}

)

⁼⁰ R : x²+2xy+2y² =C 14. ^{xy'=y, y}

( )

^{1 =0} R : y=0

15. ^{xy'=y y,}

( )

^{1 =1} R : y x=