Valós számsorozatok

1

MATEMATIKAI ANALÍZIS

a 2013-2014-es tanévi záróvizsgára

Matematika szak

1. fejezet

Valós számsorozatok

A valós számsorozat fogalmát a következ®képpen értelmezzük.

1. Értelmezés. Legyen X tetsz®leges nem üres halmaz. Az f :N→X leképzést sorozatnak nevezzük. Az a_n = f(n) ∈ X elem a sorozat általános tagja. A sorozat jelölése: (a_n). Ha X = R, akkor valós számsorozatról, ha X az (Ai)i∈I :={Ai |i∈I} halmazcsalád, akkor halmazsorozatról beszélünk. Jelölése: (A_n).

2. Értelmezés. Az (an) sorozat határértéke a ∈ R, ha a bárme- ly V környezete esetén létezik n_V ∈ N úgy, hogy a_n ∈ V, bármely n > n_V esetén. Azt mondjuk, hogy az (a_n) sorozat konvergens, ha van határértéke. Ellenkez® esetben a sorozatot divergensnek nevezzük.

Konvergens sorozat határértékének jelölése: lim

n→∞a_n.

A környezet értelmezése és az abszolút érték segítségével a határérték fogalmát másképpen is megfogalmazhatjuk.

1. Tulajdonság. lim

n→∞a_n = a akkor és csak akkor, ha minden ε > 0 valós számhoz létezik olyan n_ε természetes szám, hogy minden n > n_ε esetén |a_n−a|< ε.

2

1.0. Valós számsorozatok 3 3. Értelmezés. Az (a_n) sorozat határértéke +∞(−∞), ha bármely c∈ R számhoz létezik n_c ∈ N úgy, hogy minden n > n_c esetén a_n > c (an< c). Jelölése: lim

n→∞an = +∞

n→∞lim an =−∞

. 1. Példa. lim

n→∞

1 + ⁽⁻¹⁾_nⁿ

= 1, mert

1 + (−1)ⁿ

n −1

= 1

n < ε, han > n_ε, ahol n_ε = [1/ε] ([x]az x egész részét jelöli).

2. Példa. lim

n→∞

sinn

n = 0, mert

^sin_nⁿ−0

≤ _n¹ < ε, han >[1/ε].

3. Példa. lim

n→∞

1

qⁿ = 0, ha|q|>1.

El®ször igazoljuk azt, hogy az {|q|^k : k ∈ N} halmaz felülr®l nem korlátos. Ellenkez® esetben létezik asup{|q|^k :k∈N}=s∈R. A fels® határ értelmezése alapján létezik m∈N úgy, hogy _|q|^s <|q|^m ≤s.

Ekkor s <|q|^m+1, ami ellentmond az s értelmezésének. Ezért bármely ε > 0 számhoz létezik nε ∈ N úgy, hogy

1 qⁿ −0

= _|q|¹n < _|q|¹_nε < ε, ha n > n_ε.

4. Értelmezés. Az (a_n)sorozat korlátos, ha létezik M >0 úgy, hogy

|a_n| ≤ M, bármely n ∈ N esetén. Az (a_n) sorozat felülr®l (alulról) korlátos, ha létezik M ∈ R úgy, hogy a_n ≤ M (M ≤ a_n), bármely n∈N esetén.

5. Értelmezés. Az (a_n) sorozat növekv® (szigorúan növekv®), ha a_n≤a_n+1, bármelyn ∈Nesetén (haa_n< a_n+1,bármelyn∈Nesetén).

Az (a_n) sorozat csökken® (szigorúan csökken®), ha a_n+1 ≤ a_n, bármely n∈N esetén (ha a_n+1 < a_n, bármely n∈N esetén).

2. Tulajdonság. a) Konvergens sorozatnak csak egy határértéke van.

b) Minden konvergens sorozat korlátos.

c) Bármely növekv® és felülr®l korlátos sorozat konvergens;

bármely csökken® és alulról korlátos sorozat konvergens.

Bizonyítás. a) Feltételezzük, hogy lim

n→∞a_n = a és lim

n→∞a_n = a⁰, ahol a 6= a⁰. A 1. Tulajdonság alapján bármely ε > 0 esetén léteznek az n⁰_ε, n⁰⁰_ε ∈ N úgy, hogy minden n > max{n⁰_ε, n⁰⁰_ε} természetes számra

|a_n−a|< ^ε₂ és |a_n−a⁰|< ₂^ε. Így |a−a⁰| ≤ |a_n−a|+|a_n−a⁰|< ε,ha n >max{n⁰_ε, n⁰⁰_ε}.Mivel ε >0tetsz®leges, ezért 0< ε <|a−a⁰| esetén ellentmondáshoz jutunk.

b) Legyen lim

n→∞a_n = a. A 1. Tulajdonságot alkalmazzuk ε = 1 esetén. Így létezik n₁ ∈ N, amelyre |a_n − a| < 1, bármely n > n₁ esetén. Innen |an| ≤ |an−a|+|a| < 1 +|a|, ha n > n1. Legyen M ≥ max{|a₁|, . . . ,|a_n1|,1 +|a|}. Ekkor |a_n| ≤ M minden n-re, tehát (a_n) korlátos.

c) Legyen (a_n) növekv® és felülr®l korlátos. Ekkor az {a_n | n ∈ N}halmaz felülr®l korlátos, tehát léteziksup{a_n|n ∈N}=:a∈R. Így bármely ε >0 esetén létezik n_ε ∈N úgy, hogy a−ε < a_nε. Mivel (a_n) növekv®, ezértnε< neseténanε ≤an. Ígya−ε < anε ≤an ≤a < a+ε, vagyis |a_n− a| < ε, ha n > n_ε. Innen, a 1. Tulajdonság miatt (a_n) konvergens és lim

n→∞a_n=a.

6. Értelmezés. Ha(a_n)és(b_n)adott számsorozatok, akkor az(a_n+b_n) sorozatot a két sorozat összegének, az (a_n·b_n) sorozatot a két sorozat szorzatának, és az

an

bn

sorozatot a két sorozat hányadosának nevezzük (feltételezve, hogy b_n6= 0, bármelyn ∈N esetén).

3. Tulajdonság. Adottak az(a_n)és (b_n)sorozatok úgy, hogy lim

n→∞a_n= a és lim

n→∞b_n =b. Ekkor a) lim

n→∞(a_n+b_n) =a+b;

b) lim

n→∞(a_n·b_n) = a·b;

c) lim

n→∞

an

bn = ^a_b, ha b_n6= 0 (n∈N) és b6= 0.

4. Tulajdonság. a) Adottak az (a_n) és (b_n) konvergens sorozatok:

n→∞lim a_n = a és lim

n→∞b_n = b. Ha létezik n₀ ∈ N úgy, hogy a_n ≤ b_n, bármely n > n₀ esetén, akkor a ≤b.

1.0. Valós számsorozatok 5 b) Ha(a_n)és(b_n)konvergens sorozatok: lim

n→∞a_n=a, lim

n→∞b_n =b úgy, hogya < b, akkor létezik n₀ ∈N, amelyrea_n < b_n, bármely n > n₀ esetén.

c) Az (a_n), (b_n) és (c_n) sorozatok esetén létezik n₀ ∈ N úgy, hogy a_n ≤ b_n ≤ c_n, bármely n > n₀ természetes számra. Ha (a_n) és (c_n) konvergens sorozatok, és lim

n→∞a_n= lim

n→∞c_n, akkor a (b_n) sorozat is konvergens és lim

n→∞a_n= lim

n→∞b_n = lim

n→∞c_n.

Megjegyezzük, ha a 4. Tulajdonság, a) pontjában az a_n < b_n (n > n0) feltétel teljesül, akkor is a≤b a következtetés.

4. Példa. A valós számok halmaza bijektíven leképezhet® azon p- adikus törtek halmazára, amelyeknek a 0 nem periódusa.

Egy olyan (s_n) sorozatot, amelynek általános tagja s_n =c₀+c1

p +. . .+ cn

pⁿ

alakú, ahol c₀ ∈ Z, c_n ∈ {0,1, . . . , p−1}, p > 1 természetes szám, p-adikus törtnek nevezzük, és a (c₀, c₁c₂. . . c_n. . .)_p szimbólummal jelöljük.

Azonnal látható, hogy (s_n) növekv® és felülr®l korlátos:

s_n+1 =s_n+ cn+1

pⁿ⁺¹ ≥s_n és

s_n< c₀+ 1 + 1

p+. . .+ 1

pⁿ⁻¹ =c₀+ 1−_p¹n

1− ¹_p < c₀+ p p−1, bármely n ∈ N esetén. Így a 2. Tulajdonság, c) pontja szerint (s_n) konvergens. Jelölje α = lim

n→∞s_n. Ezért a 2. Tulajdonság, a) pontja alapján minden (c₀, c₁c₂. . . c_n. . .)_p p-adikus törthöz hozzárendelhet®

az egyértelm¶en meghatározott α szám.

Fordítva, legyen α∈R tetsz®leges, és jelölje

]α[ :=







[α]−1, ha α ∈Z [α], ha α 6∈Z.

Legyen c₀ = ]α[ és c_n = ]pⁿ(α−c₀)−pⁿ⁻¹c₁−pⁿ⁻²c₂ −. . .−pcn−1[, n∈N. Nyilván c_n ∈Z,0≤c_n≤p−1és

c₀+c₁

p +. . .+ c_n

pⁿ < α≤c₀+c₁

p +. . .+ c_n pⁿ + 1

pⁿ, n ∈N. Ekkor

α= lim

n→∞

c₀+ c₁

p +. . .+ c_n pⁿ

,

így az α-hoz hozzárendelhetjük a (c₀, c₁c₂. . . c_n. . .)_p p-adikus törtet.

Végül igazoljuk, hogy a (c₀, c₁c₂. . . c_n. . .)_p p-adikus törtnek 0 nem periódusa, vagyis nem létezik olyan k ∈ N, amelyre 0 = c_k+1 = ck+2 =. . .

Valóban, ez utóbbi egyenl®ségekb®l azt kapjuk, hogy s_k = s_k+1 =. . ., ahonnan

s_k+m =s_k < α≤s_k+m+ 1

p^k+m =s_k+ 1 p^k+m. Tehát 0< α−s_k ≤ _p¹k · _p¹m, mindenm∈N esetén. Innen

0< α−s_k≤ 1 p^k · lim

m→∞

1 p^m = 0, ellentmondás.

Ugyanakkor a valós számoknak olyanp-adikus törtek alakjában való meg-adása, melyeknek a 0 nem periódusa, egyértelm¶.

Valóban, ha (c₀, c₁c₂. . . c_n. . .)_p = (c⁰₀, c⁰₁c⁰₂. . . c⁰_n. . .)_p és a legkisebb k indexre c_k > c⁰_k, akkor s_k < α ≤ s⁰_k + _p¹k ≤ s_k, ellent-

1.0. Valós számsorozatok 7 mondás. Hasonlóan jutunk ellentmondásra akkor is, ha c_k < c⁰_k.

5. Példa. lim

n→∞

n

qⁿ = 0, haq >1.

Legyenx_n= _qⁿn, n ∈N. Ekkor ^xn+1_xn = ⁿ⁺¹_nq ; mivel lim

n→∞

n+1

nq = ¹_q <

1,ezért létezik n₀ ∈N úgy, hogy ^xn+1_xn <1, bármely n > n₀ esetén. Így (x_n)_n>n0 szigorúan csökken® sorozat. Másrészt x_n>0, bármely n-re. A 2. Tulajdonság, c) pontja szerint (xn)n>n0 konvergens sorozat. Legyen x= lim

n→∞x_n. Azx_n+1 = ⁿ⁺¹_nq x_nösszefüggés alapjánx= ¹_qxvagyisx= 0. Hasonló ötlettel igazolható, hogy

n→∞lim qⁿ n! = 0 is teljesül, aholq ∈R.

6. Példa. lim

n→∞

√n

n = 1.

Legyen ε > 0. A 5. Példa szerint lim

n→∞

n

(1+ε)ⁿ = 0. Így létezik n_ε ∈ N úgy, hogy 1 ≤ n < (1 + ε)ⁿ, bármely n > n_ε esetén. Innen 1≤ √ⁿ

n <1 +ε vagy |√ⁿ

n−1|< ε, ha n > n_ε. Tehát lim

n→∞

√n

n= 1.

7. Példa. Az (e_n)sorozat konvergens, ahol e_n = 1 + ¹_nn

, n≥1.

Azt igazoljuk, hogy en < en+1 (n ∈ N) és en < 3 (n ∈ N). Ekkor a 2. Tulajdonság, c) pontja alapján létezik lim

n→∞e_n. Vezessük be aze:= lim

n→∞e_n jelölést (Euler szerint).

A számtani és mértani középarányosok közötti egyenl®tlenség alkalmazásából az a₁ = . . . = a_n = 1 + _n¹ és a_n+1 = 1 számok esetén kapjuk, hogy

n 1 + _n¹ + 1

n+ 1 > ⁿ⁺¹ s

1 + 1 n

n

vagy 1 + _n+1¹ n+1

> 1 + _n¹n

. Így az (e_n) sorozat szigorúan növekv®.

Továbbá,

e_n =

1 + 1 n

n

= 1 +

n

X

k=1

n(n−1). . .(n−k+ 1)

k! · 1

n^k =

= 1 +

n

X

k=1

1 k! ·

1− 1

n

. . .

1− k−1 n

<

< 1 +

n

X

k=1

1

k! ≤1 +

n

X

k=1

1

2^k−1 = 2 + 1

2+. . .+ 1

2ⁿ⁻¹ <3.

Így az(en) sorozat felülr®l korlátos.

7. Értelmezés. Az(a_n)sorozatot fundamentálisnak vagy Cauchy- sorozatnak nevezzük, ha bármely ε > 0 számhoz létezik n_ε ∈ N úgy, hogy minden m > nε és n > nε esetén |am−an|< ε.

5. Tétel. (Cauchy). Az (a_n) valós számsorozat akkor és csak akkor konvergens, ha (an) fundamentális.

Bizonyítás. Szükségesség. Feltételezzük, hogy lim

n→∞a_n = a. A 1. Tulaj- donság szerint bármelyε >0számhoz létezikn_ε ∈Núgy, hogy minden m > nε ésn > nε esetén |am−a|< ^ε₂ és|an−a|< ^ε₂.Innen

|a_m−a_n| ≤ |a_m−a|+|a_n−a|< ε 2+ ε

2 =ε, vagyis (an) fundamentális sorozat.

Elégségesség. Legyen(a_n)fundamentális sorozat, ésε >0adott.

A 7. Értelmezés alapján létezik k_ε ∈ N úgy, hogy |a_m −a_k| < ^ε₃, ha m≥k_ε ésk ≥k_ε. Rögzítsük az m=k_ε értéket; a k ≥k_ε esetén

akε − ε

3 < ak < akε + ε

3. (1.0.1)

Így az (a_k) sorozat korlátos. Az n ∈ N esetén jelölje: x_n := inf{a_k | k ≥ n} és y_n := sup{a_k | k ≥ n}. Mivel (a_n) korlátos sorozat, ezért

1.0. Valós számsorozatok 9 x_n, y_n ∈ R, bármely n-re. Továbbá, az x_n és y_n értelmezése alapján x_n≤x_n+1 ≤y_n+1 ≤y_n, n ∈N. Egy ismert tulajdonság alapján létezik a∈R, amelyrexn ≤a≤yn, bármelyn-re. Másrészt xn= inf{ak |k ≥ n} ≤a_k ≤sup{a_k|k ≥n}=y_n, hak ≥n. Innen

|a_k−a| ≤y_n−x_n, k≥n. (1.0.2) Viszont (1.0.1) alapján

a_kε− ε

3 ≤inf{a_k |k≥n}=x_n ≤y_n = sup{a_k|k ≥n} ≤a_kε + ε 3, ha n > k_ε. Így y_n−x_n ≤ ^2ε₃ < ε, ha n > k_ε. Ekkor az (1.0.2) alapján

|a_k−a|< ε,hak > k_ε.Következésképpen(a_k)konvergens sorozat.

8. Példa. A 4. Példában bevezetett (s_n) sorozatról igazoljuk, hogy fundamentális.

Valóban, s_n = (c₀, c₁. . . c_n)_p = c₀ + ^c_p¹ +. . .+ _p^cnn. Ha m > n, akkor

|s_m−s_n| =

cn+1

pⁿ⁺¹ +. . .+ cm

p^m

≤(p−1)· 1

pⁿ⁺¹ +. . .+ 1 p^m

=

= (p−1)· 1

p

n+1

−

1 p

m+1

1− ¹_p < 1 pⁿ.

Ha adott az ε > 0, akkor létezik n_ε ∈ N úgy, hogy _p^1nε < ε. Így |s_m − sn|< _p¹n < _p¹_nε < ε, ahol n > nε. Tehát (sn) fundamentális. A 5. Tétel alapján (s_n) konvergens R-ben.

9. Példa. Az (a_n) sorozat nem konvergens, ha a_n = 1 + ¹₂ +. . .+ _n¹, n∈N. Így lim

n→∞a_n = +∞.

Mivel

|a2n−an|= 1

n+ 1 +. . .+ 1

n+n > n· 1 2n = 1

2,

bármelyn∈Nesetén, ezért a5. Tétel alapján az(a_n)sorozat divergens.

8. Értelmezés. Adott az (a_n) sorozat és az n₁ < n₂ < . . . < n_k < . . . természetes számok szigorúan növekv® sorozata. Ekkor az(a_nk) soroza- tot az (a_n) sorozat részsorozatának nevezzük.

10. Példa. Az 1,3,5, . . . páratlan természetes számok sorozata az 1,2,3, . . . természetes számok sorozatának részsorozata, viszont a 3,1,5,7,9, . . . sorozat már nem részsorozata a természetes számok sorozatának.

6. Tétel. (Cesaro; Bolzano-Weierstrass). Minden korlátos valós szám- sorozatnak van konvergens részsorozata.

Bizonyítás. LegyenE :={a_n |n∈N},ahol(a_n)korlátos sorozat. HaE véges halmaz, akkor létezik a∈E ésn₁ < n₂ < . . . < n_k< . . . , n_k ∈N úgy, hogy a_n1 = a_n2 = . . . = a. Így az (a_nk) részsorozat konvergens.

Ha E végtelen, akkor E⁰ 6= ∅. Legyen a ∈ E⁰. Ekkor létezik n1 ∈ N úgy, hogy |a_n1 −a| < 1. Ha n_k ∈ N úgy, hogy |a_nk −a| < _k¹, akkor a torlódási pont értelmezése alapján létezik n_k+1 ∈ N, n_k < n_k+1 úgy, hogy |a_nk+1 −a| < _k+1¹ . Mivel lim

k→∞

1

k = 0, ezért az (a_nk) részsorozat konvergens és lim

k→∞a_nk =a.

7. Tulajdonság. Minden valós számsorozatnak van vagy konvergens részsorozata vagy olyan részsorozata, amely (+∞)-be vagy (−∞)-be tart.

Bizonyítás. Ha(a_n)korlátos sorozat, akkor a 6. Tétel szerint van kon- vergens részsorozata. Ha (a_n) felülr®l (alulról) nem korlátos, akkor bármely k ∈N esetén létezik n_k ∈ N úgy, hogy a_nk > k (a_nk <−k) és n_k < n_k+1. Így az(a_nk)részsorozat (+∞)-be ((−∞)-be) tart.

9. Értelmezés. Tekintsük az (a_k) sorozatot. Ha (a_k) alulról korlátos sorozat, akkor értelmezzük azi_n= inf{a_k |k ≥n}számokat. Miveli_n ≤

1.0. Valós számsorozatok 11 i_n+1, bármely n∈Nesetén, ezért vagy lim

n→∞i_nvéges vagy lim

n→∞i_n = +∞.

A lim

n→∞i_n határértéket az (a_k) sorozat alsó határértékének nevez- zük. Jelölése: lim

k→∞

ak. Ha az (ak) sorozat alulról nem korlátos, akkor értelmezés szerint lim

k→∞

ak =−∞.

Hasonlóan értelmezzük a fels® határértéket: lim

k→∞a_k :=

n→∞lim s_n,ahol s_n= sup{a_k |k ≥n},ha (a_k)felülr®l korlátos. Ha az (a_k) sorozat felülr®l nem korlátos, akkor értelmezés szerint lim

k→∞a_k = +∞.

Azonnal látható, hogy lim

k→∞

a_k ≤ lim

k→∞a_k. 11. Példa. Haa_k = (−1)^k,k ∈N, akkor

lim

k→∞

a_k = lim

n→∞inf{(−1)^k |k ≥n}= lim

n→∞(−1) =−1 és

k→∞lim a_k= lim

n→∞sup{(−1)^k |k≥n}= lim

n→∞1 = 1.

12. Példa. Haa_k =k^(−1)k, k ∈N, akkor lim

k→∞

a_k = lim

n→∞inf{k^(−1)k |k ≥n}= lim

n→∞0 = 0 és

k→∞lim a_k = lim

n→∞sup{k^(−1)k |k ≥n}= lim

n→∞(+∞) = +∞.

13. Példa. Haa_k = ⁽⁻¹⁾_k ^k, k ∈N,akkor

lim

k→∞

a_k = lim

n→∞inf

(−1)^k

k |k ≥n

= lim

n→∞







−¹_n, ha n páratlan

−_n+1¹ , ha n páros = 0 és

k→∞lim a_k = lim

n→∞sup

(−1)^k

k |k ≥n

= lim

n→∞







1

n, han páros

1

n+1, han páratlan = 0.

14. Példa. Haa_k = (−1)^kk, k∈N, akkor lim

k→∞

a_k = lim

n→∞inf{(−1)^kk |k≥n}= lim

n→∞(−∞) = −∞ és

k→∞lim a_k = lim

n→∞sup{(−1)^kk |k ≥n}= lim

n→∞(+∞) = +∞.

Az alsó és fels® határérték jobb megértéséhez vezessük be a következ® fogalmat:

10. Értelmezés. Egy valós szám (vagy +∞ vagy −∞) egy sorozat parciális határértéke, ha a sorozatnak van az adott számhoz konver- gens részsorozata.

8. Tulajdonság. Egy korlátos sorozat alsó határértéke illetve fels®

határértéke a sorozat legkisebb illetve legnagyobb parciális határértéke.

Bizonyítás. Legyen (a_k) korlátos sorozat és i = lim

k→∞

a_k. Az (i_n), i_n = inf{a_k | k ≥ n} sorozatról tudjuk, hogy i_n ≤ i_n+1 és i = lim

n→∞i_n. Az alsó határ értelmezése alapján minden n-re létezik k_n ∈ N úgy, hogy in≤akn < in+¹_n éskn < kn+1. Mivel lim

n→∞in= lim

n→∞ in+_n¹

=i, ezért a 4. Tulajdonság, c) pontja szerint lim

n→∞a_kn = i. Ezzel igazoltuk, hogy i parciális határérték.

Most igazoljuk, hogyia legkisebb parciális határérték. Valóban, a lim

n→∞i_n = i miatt bármely ε > 0 esetén létezik n ∈ N úgy, hogy i−ε < i_n = inf{a_k | k ≥ n} ≤ a_k, ha k ≥ n. Az i−ε < a_k, k ≥ n, egyenl®tlenség azt jelenti, hogy az (ak) sorozatnak minden parciális határértéke≥i−ε. Viszontεtetsz®leges, ezért az(a_k)sorozat parciális határértékei≥i. Következésképp i a legkisebb parciális határérték.

Hasonlóan járunk el a fels® határérték esetében is.

Tekintettel a10. Értelmezésre és a8. Tulajdonságra kijelenthet®

a következ® tulajdonság:

1.0. Valós számsorozatok 13 9. Tulajdonság. Bármely sorozat esetén az alsó határérték a legkisebb parciális határérték, míg a fels® határérték a legnagyobb parciális határérték.

10. Következmény. Egy sorozat akkor és csak akkor konvergens vagy tart (+∞)-be vagy (−∞)-be, ha a sorozat alsó határértéke egyenl® a fels® határértékével.

Bizonyítás. Ha lim

k→∞

a_k = lim

k→∞a_k=a∈R, akkor

i_n = inf{a_k|k ≥n} ≤a_n ≤sup{a_k |k ≥n}=s_n alapján lim

n→∞an=a. Ha lim

k→∞

ak = lim

k→∞ak =−∞, akkor a_n≤sup{a_k|k ≥n}=s_n → −∞, tehát lim

n→∞a_n=−∞. Ha lim

k→∞

a_k = lim

k→∞a_k= +∞,akkor an ≥inf{ak |k ≥n}=in→+∞, tehát lim

n→∞a_n= +∞.

11. Következmény. Konvergens sorozat minden részsorozata konver- gens, és határértéke egyenl® az eredeti sorozat határértékével.

Bizonyítás.

Valóban, a sorozat bármely részsorozatának alsó határértéke és fels®

határértéke az adott sorozat alsó határértéke és fels® határértéke között található. Mivel a sorozat konvergens, ezért alsó határértéke egyenl® a fels® határértékével. Következésképp a részsorozat alsó határértéke is egyenl® a fels® határértékével, ami a 30. Következmény alapján azt je- lenti, hogy a részsorozat konvergens. Mi több, a részsorozat határértéke egyenl® az adott sorozat határértékével.

2. fejezet

Valós számsorok, végtelen szorzatok

2.1. A számsorokról általában

A számsor fogalma az ókori görög matematikusok munkáiban is megtalálható az innitezimális módszerek kidolgozásával kapcso- latosan. Az ókori Görögországban korán felgyeltek az olyan sajátos problémákra, melyek meg-oldásához határátmenet, végtelen folyamat, folytonosság stb. vizsgálatára volt szükség. Már az összemérhetetlen mennyiségek felfedezése felvetette a hasonló problémák racionális mag- yarázatának feladatát.

A problémák e csoportját rövidesen a geometria oldaláról közelítették meg. Azonban itt is hasonló nehézségekkel ütköztek (távolságok, térfogatok nagyságának meghatározása). Az ókori tudó- sok egyes csoportjai úgy kerestek kiutat ezekb®l a nehézségek- b®l, hogy az atomista lozófusok nézeteit a matematikára is alkalmazták. Elgondolásaik Démokritosz (i.e. kb. 460-370) ter- mészetlozóai iskolájában jutottak kifejezésre, amely szerint min- den test végtelen kicsiny atomokból tev®dik össze. A testek atom-

14

2.1. A számsorokról általában 15 jainak alakjában, elhelyezkedésében és összekapcsolódásuk módjában különböznek egymástól. Ez az atomisztikus szemlélet a matem- atikában is elterjedt annak ellenére, hogy több kifogás is megfo- galmazódott ezen szemlélettel szemben. Ezek az ún. Zénón apor- iái; ezekhez a logikai paradoxonokhoz akkor jutott, amikor a folytonos mennyiségeket végtelen kis részecskék végtelen halmazából próbálta megkapni. Az aporiák közül a legismertebbek:

a) felezés (dichotomia), vagyis a mozgás megvalósíthatatlansága;

mivel az utat végtelen sok részre lehet osztani (felezések vég nélküli is- métlésével), ezért az útszakaszok végtelen egymásutánját kell leküzdeni (matematikailag kifejezve, ez a P^∞

k=1 1

2^k = 1 tény tagadásához vezet);

b) Akhilleusz nem tudja utolérni a tekn®sbékát; mivel egymás után el kell érnie azokat a helyeket, ahol a tekn®sbéka pillanatnyilag tartózkodik, vagyis az útszakaszok végtelen sorozatát kell kimerítenie (matematikailag ez ellentmond annak az akkor már imert ténynek, hogy

∞

P

k=0 1

n^k = _n−1ⁿ

;

c) a nyíl repülése lehetetlen, ha az id®t diszkrét pillanatok, a teret pedig diszkrét pontok összességének tekintjük.

Zénón aporiái meggy®z®en igazolták, hogy ha feladatok pon- tos bizonyítását és logikailag kimerít® megoldását keressük, nem sz- abad a végtelent a naiv atomista felfogásra támaszkodva használni.

Hasonló célok eléréséhez ki kell dolgozni és a kutatásba be kell vonni olyan módszereket, amelyek a végtelen kicsiny elemek különféle fajtái- val együtt a határátmenetükre vonatkozó következtetéseket is tartal- mazzák. Az egyik legkorábbi ilyen módszer a kimerítés módszere volt.

Felfedez®jének általában Eudokszoszt tartják. Alkalmazására példákat találhatunk Euklidész Elemek cím¶ m¶vében, továbbá Arkhimédész egész sor m¶vében. Arkhimédész f®ként levél alakjában írta m¶veit. Tíz, aránylag nagy és néhány kisebb matematikai jelleg¶ m¶ve maradt fenn.

Matematikai m¶veinek alapvet® tulajdonsága a szigorú matematikai

módszerek alkalmazása a mechanika és zika területér®l vett kisérleti- elméleti anyag kidolgozásában. Ez a tulajdonság avatja Arkhimédész munkáit az alkalmazott matematikai ismeretek, a számolási technika, az új matematikai - különösen az innitezimális - módszerek fejl®désének alighanem legfényesebb példaképévé a kés® antik korban.

A kimerítés módszerét síkidomok területének, testek térfo- gatának, görbe vonalak hosszúságának kiszámítására, görbékhez hú- zott érint®k meghatározására stb. használták. A módszer matematikai lényege a következ® m¶veletek egymásutáni végrehajtásából áll:

a) Ha például a B alakzatot kell négyszögesíteni, akkor els®

lépésként beírják ebbe az alakzatba a A₁, A₂, . . . , A_n, . . . alakzatok sorozatát, amelyek területei monoton növekednek, és a terület a sorozat minden egyes tagjára meghatározható (2.1. ábra).

b) Az A_k (k = 1,2,3, . . .) alakzatokat oly módon választják ki, hogy a pozitívB \Ak különbség tetsz®legesen kicsivé tehet® legyen.

c) Abból a tényb®l, hogy létezik körülírt alakzat, továbbá en- nek a körülírt alakzatnak a felépítéséb®l arra következtetnek, hogy a

"kimerít®" beírt alakzatok sorozata felülr®l korlátos.

d) Burkolt formában, rendszerint más elméleti és gyakorlati megfontolások segítségével, megkeresik a beírt alakzatok sorozatának A határértékét.

e) Bebizonyítják, minden feladatra külön-külön, hogy A=B. A bizonyítás rendszerint indirekt.

A kimerítés módszerével ily módon igazolják a határérték egyértelm¶ségét. Más eljárásokkal kombinálva e módszer alkalmas a határérték megkeresésére is. Azonban a határérték létezésének kérdésére e módszer nem tud választ adni.

A kimerítés módszerének logikai szigorúságát évszázadokon át nem tudták felülmúlni. Lényegében csak a XIX. század hozta meg ezt.

Ekkor kezdtek megoldódni azok a problémák, amelyek a kimerítés an-

2.1. A számsorokról általában 17

A1

A2 B

1.1. ábra

tik módszerének logikai lényegéb®l közvetlenül következtek. Azonban a kimerítés mód-szerének formája még igen tökéletlen volt. A módszert csak a konkrét feladatokkal kapcsolatban fejtették ki, tehát még nem érte el a fejlett alapfogalmak rendszerével és egységes algoritmusokkal rendelkez® absztrakt módszer rangját. A határérték egyértelm¶ségét minden feladatban újra bebizonyították. E negatívumok fennállása nem valami különös véletlen. Az a helyzet, hogy minden erre vonatkozó kísérlet, hogy a feladatok elég széles osztályára ezt a bizonyítást egysz- er s mindenkorra bevezessék, elkerülhetetlenül maga után vonta an- nak szükségességét, hogy egy sor innitezimális természet¶ fogalmat megmagyarázzanak. Racionális magyarázatot kellett volna adni az olyan fogalmakra, mint végtelen kicsiny fogalma, minden határon túli megközelítés stb. Az ezekkel kapcsolatos nehézségeket az ókori matem- atika nem tudta legy®zni.

2.2. Valós számsorok

1. Értelmezés. Tekintsük az (a_n) valós számsorozatot, és értelmez- zük az (s_n) sorozatot úgy, hogy s_n = a₁+. . .+a_n (n ∈ N). Ekkor az ((a_n),(s_n)) sorozatpárt valós számsornak nevezzük. Jelölése: X

n≥1

a_n

vagy

∞

X

n=1

a_n. Az (s_n) sorozat a részletösszeg sorozat, s_n az n-ed rend¶ részletösszeg, míg a_n a sor általános tagja.

2. Értelmezés. A P

n≥a

a_n sor konvergens, ha az (s_n) sorozat konver- gens; ebben az esetben a sor összege a lim

n→∞s_n határérték. Ellenkez®

esetben a P

n≥1

a_n sor divergens.

1. Példa. A P

n≥1 1

n harmonikus sor divergens.

Valóban, az 1. Fejezet, 9. Példája szerint az (s_n), s_n = 1 + ¹₂ + . . .+ ¹_n sorozat divergens. Így a harmonikus sor is divergens.

2.2. Valós számsorok 19 2. Példa. A P

n≥1 1

n(n+1) sor konvergens.

Mivel

s_n = 1

1·2+ 1

2·3+. . .+ 1 n(n+ 1) =

= 1− 1 2+ 1

2− 1

3 +. . .+ 1

n − 1

n+ 1 = 1− 1 n+ 1, ezért lim

n→∞s_n = 1. Így a sor konvergens és összege 1.

3. Példa. A P

n≥1

qⁿ⁻¹, q∈ R, mértani sor akkor és csak akkor konver- gens, ha|q|<1.

Azonnal látható, hogy s_n =







1−qⁿ

1−q , ha q6= 1 n, ha q= 1.

Ha |q| < 1, akkor lim

n→∞s_n= _1−q¹ ; ha q= 1, akkor lim

n→∞s_n= +∞; haq =−1, akkor (s_n) divergens; ha q > 1, akkor lim

n→∞s_n = +∞; ha q < −1, akkor (s_n) divergens. Így valóban a mértani sor akkor és csak akkor konvergens, ha|q|<1.

1. Tulajdonság. A P

n≥1

a_nsor konvergenciájának szükséges feltétele az, hogy lim

n→∞a_n= 0.

Bizonyítás. Ha P

n≥1

ankonvergens, akkor lim

n→∞sn=s.Ekkor lim

n→∞sn−1 = s. Így

n→∞lim a_n= lim

n→∞(s_n−sn−1) = s−s= 0.

Megjegyezzük, hogy a tulajdonság nem elégséges: a P

n≥1 1 n sor divergens, de lim

n→∞

1

n = 0(lásd az 1. Példát). Ellenben, ha a sor általános tagja nem tart nullához, akkor a sor divergens.

2. Tétel. (Cauchy általános konvergencia kritériuma). Annak szük- séges és elégséges feltétele, hogy a P

n≥1

a_n sor konvergens legyen az, hogy

bármely ε > 0 esetén létezzen n_ε ∈ N úgy, hogy minden m > n > n_ε esetén

|an+1+. . .+am|< ε.

Bizonyítás. A bizonyítás azonnali, ha az(s_n)sorozatra alkalmazzuk az 1. Fejezet,5 Tételét.

3. Következmény. a) Ha a sor véges számú tagjának a sorrendjét megváltoztatjuk, akkor a sor természete és összege nem változik meg.

b) Ha egy sor tagjaihoz hozzáadunk vagy elveszünk véges számú tagot, a sor természete nem változik meg.

Alább értelmezzük a váltakozó el®jel¶ sor fogalmát, és megadjuk a Leibniz-féle elégséges konvergencia kritériumot.

3. Értelmezés. A P

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹a_n = a₁ −a₂ +. . .+ (−1)ⁿ⁻¹a_n+. . . sort, ahol a_n > 0, bármely n ∈ N esetén, váltakozó el®jel¶ sornak nevezzük.

4. Tétel. (Leibniz-féle kritérium). Ha az (an) sorozat csökken® és

n→∞lim a_n = 0, akkor a P

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹a_n sor konvergens.

Bizonyítás. Mivel s_n = a₁+. . .+a_n, ezért s_2n+2 = (a₁−a₂) +. . .+ (a2n−1 −a_2n) + (a_2n+1 −a_2n+2) = s_2n+ (a_2n+1−a_2n+2). Viszont (a_n) csökken®, így a_2n+1 −a_2n+2 ≥ 0. Innen s_2n ≤ s_2n+2. Másrészt s_2n = a1−(a2−a3)−. . .−(a2n−2−a2n−1)−a2n. Mivel(an)csökken® sorozat és a_2n ≥0,ezérts_2n≤a₁.Így igazoltuk azt, hogy az(s_2n)sorozat növekv®

és felülr®l korlátos, tehát (s_2n) konvergens. Mivel s_2n+1 = s_2n+a_2n+1 és lim

n→∞a_2n+1 = 0, ezért lim

n→∞s_2n+1 = lim

n→∞s_2n. Így az (s_n) konvergens sorozat, ami azt jelenti, hogy a P

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹a_n sor konvergens.

4. Példa. A P

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹· _n¹ sor konvergens (Leibniz-sor).

2.2. Valós számsorok 21 5. Tétel. (Dirichlet-Abel-féle kritérium). Ha a P

n≥1

a_n sor általános tag- ja a_n=α_nx_n alakú, és teljesülnek a következ® feltételpárok:

a) (α_n) csökken® sorozat és lim

n→∞α_n = 0;

b) a P

n≥1

x_n sor részletösszeg sorozata korlátos, vagy

c) (α_n) monoton és korlátos sorozat;

d) a P

n≥1

x_n sor konvergens, akkor a P

n≥1

an sor konvergens.

Bizonyítás. Feltételezzük, hogy az a) - b) feltételpár teljesül. Legyen s_n=x₁+. . .+x_n, n ∈N.A b) feltétel alapján létezikM >0úgy, hogy

|s_n| ≤M,bármelyn-re. Az a) feltétel szerint lim

n→∞α_n= 0,ezért bármely ε >0esetén létezikn_ε ∈Núgy, hogy|α_n|< _2M^ε ,bármelyn > n_εesetén.

Továbbá, gyelembe véve, hogyαn−αn+1 ≥0tetsz®leges n-re, írható:

|a_n+1+. . .+a_n+p|=

=|α_n+1x_n+1+. . .+α_n+px_n+p|=

=|α_n+1(s_n+1−s_n) +. . .+α_n+p(s_n+p−s_n+p−1)|=

=| −α_n+1s_n+ (α_n+1−α_n+2)s_n+1+. . .+ + (αn+p−1−αn+p)sn+p−1+αn+psn+p| ≤

≤α_n+1|s_n|+ (α_n+1−α_n+2)|s_n+1|+. . .+ + (αn+p−1−α_n+p)|sn+p−1|+ α_n+p|s_n+p| ≤

≤M(αn+1+αn+1−αn+2+. . .+αn+p−1− αn+p+αn+p) =

= 2M α_n+1 < ε,

bármely n > n_ε esetén. Így minden ε > 0 esetén létezik n_ε ∈ N úgy, hogy|a_n+1+. . .+a_n+p|< ε, bármelyn > n_ε és p∈N esetén, ami a 2.

Tétel szerint azt jelenti, hogy P

n≥1

an konvergens.

Ha a c) - d) feltételpár teljesül, akkor a d) szerint a P

n≥1

x_n sor részletösszeg sorozata korlátos és lim

n→∞s_n=x, ahol s_n=x₁+. . .+x_n. Feltételezzük, hogy (α_n) csökken® sorozat. Ekkor létezik lim

n→∞α_n =:α.

Így az(α_n−α) sorozat is csökken® és lim

n→∞(α_n−α) = 0. Viszont

n

X

k=1

α_kx_k =

n

X

k=1

(α_k−α)x_k+

n

X

k=1

αx_k =

n

X

k=1

(α_k−α)x_k+αs_n. Mivel a P

n≥1

(α_n−α)x_n sor konvergens az a) - b) feltételpár miatt, ezért a P

n≥1

αnxn= P

n≥1

an sor is konvergens.

Ha (α_n) növekv® sorozat, akkor az eljárás hasonló az el®bbihez, tekintve az (α−α_n) csökken® sorozatot.

Az a) - b) feltételpárt a Dirichlet-féle feltételeknek, míg a c) - d) feltételpárt az Abel-féle feltételeknek nevezzük.

5. Példa. A P

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹· _n¹2 sor konvergens.

Valóban, ha α_n = _n¹2 és x_n = (−1)ⁿ⁻¹, n ∈ N, akkor az (α_n) sorozat csökken® és határértéke 0. Viszont

s_n =x₁+. . .+x_n = 1 +. . .+ (−1)ⁿ⁻¹ =







0, han páros 1, han páratlan. Ezért az(s_n)sorozat korlátos. Így a Dirichlet-kritérium biztosítja, hogy a sor konvergens.

6. Példa. A P

n≥1 1

nsinn sor konvergens.

Legyen α_n = ¹_n és x_n = sinn, n ∈N. Az (α_n) sorozat csökken®

2.2. Valós számsorok 23 és lim

n→∞α_n= 0. Továbbá

sn=x1+. . .+xn= sin 1 +. . .+ sinn= sinⁿ₂sinⁿ⁺¹₂ sin¹₂ ,

ezért |s_n| ≤ (sin¹₂)⁻¹, bármely n-re. Így a Dirichlet-kritérium alapján a sor konvergens.

A továbbiakban az ún. pozitív tagú sorokat tanulmányozzuk.

4. Értelmezés. A P

n≥1

an sor pozitív tagú, ha an >0, bármely n ∈N esetén.

6. Tulajdonság. A pozitív tagú P

n≥1

an sor akkor és csak akkor konver- gens, ha a részletösszeg sorozata felülr®l korlátos.

Bizonyítás. Az állítás azonnal következik a 17. Értelmezésb®l és az s_n+1−s_n=a_n+1 >0, n ∈N, egyenl®tlenségb®l.

7. Tétel. (összehasonlítási kritérium). Adottak a P

n≥1

a_nés P

n≥1

b_npozitív tagú sorok. Ha létezik n₀ ∈ N úgy, hogy a_n ≤ b_n, bármely n > n₀ esetén, akkor a P

n≥1

b_n sor konvergenciájából következik, hogy P

n≥1

a_n is konvergens, míg ha P

n≥1

an divergens, akkor P

n≥1

bn is divergens.

Bizonyítás. Ha a P

n≥1

b_n sor konvergens, akkor az s⁰_n = b₁ +. . .+b_n általános tagú részletösszeg sorozat felülr®l korlátos. Az an ≤ bn, n >

n₀ feltétel alapján az s_n = a₁ +. . .+a_n általános tagú részletösszeg sorozat is felülr®l korlátos. Így a 14. Tulajdonság miatt a P

n≥1

a_n sor is konvergens. Továbbá, ha P

n≥1

a_ndivergens sor, akkor azs_n=a₁+. . .+a_n általános tagú sorozat felülr®l nem korlátos. Tekintettel az a_n ≤ b_n (n > n₀)feltételre következik, hogy az s⁰_n =b₁+. . .+b_n általános tagú sorozat sem korlátos felülr®l. Így a 14. Tulajdonság alapján a P

n≥1

bnsor divergens.

7. Példa. A P

n≥1 1

n^α általánosított harmonikus sor divergens, ha α <1.

Mivel _n¹ ≤ _n¹α, ha n ∈ N és α < 1, és P

n≥1 1

n divergens (lásd az 1. Példát), ezért az általánosított harmonikus sor divergens a 7. Tétel alapján.

8. Tétel. (Cauchy-féle kondenzálási kritérium). Ha a₁ ≥ a₂ ≥ . . . ≥ a_n ≥ . . .≥ 0, akkor a P

n≥1

a_n sor akkor és csak akkor konvergens, ha a P

k≥1

2^ka₂^k sor konvergens.

Bizonyítás. Jelöljes_n :=a₁+. . .+a_n éss⁰_n:= 2a₂+. . .+ 2ⁿa₂ⁿ, n∈N. Mivel az(a_n)sorozat csökken®, ezérta₂ ≤a₂ ≤a₁,2a₄ ≤a₃+a₄ ≤2a₂, 4a₈ ≤ a₅ +a₆ +a₇ +a₈ ≤ 4a₄, . . . , 2ⁿa₂ⁿ⁺¹ ≤ a₂ⁿ₊₁+. . .+a₂ⁿ₊₂ⁿ ≤ 2ⁿa₂ⁿ. Összegezve ¹₂s⁰_n+1 ≤ s₂ⁿ⁺¹ −a₁ ≤ s⁰_n + a₁, n ∈ N. Innen az következik, hogy ha P

n≥1

an konvergens, akkor az (s⁰_n) sorozat korlátos, így a 6. Tulajdonság alapján P

k≥1

2^ka₂^k konvergens; ha P

n≥1

a_n divergens, akkor lim

n→∞s₂ⁿ⁺¹ = +∞,tehát lim

n→∞s⁰_n = +∞,vagyis P

k≥1

2^ka₂^k divergens sor.

8. Példa. A P

n≥1 1

n^α általánosított harmonikus sor konvergens, haα >1.

A 8. Tétel alapján a P

n≥1 1 n^α és X

k≥1

2^k· 1

2^k α

=X

k≥1

(2^1−α)^k

sorok azonos természet¶ek (egyid®ben konvergensek vagy divergensek).

De a 3. Példa szerint a P

k≥1

(2^1−α)^k sor konvergens, ha 2^1−α < 1 vagyis haα >1.

9. Tétel. (hányados vagy d'Alembert-féle kritérium). Tekintsük a P

n≥1

a_n pozitív tagú sort.

2.2. Valós számsorok 25 a) Ha létezik q∈]0,1[és n₀ ∈N úgy, hogy ^an+1_an ≤q, bármely n > n₀

esetén, akkor a P

n≥1

a_n sor konvergens.

b) Ha létezik n₀ ∈ N úgy, hogy ^an+1_an ≥ 1, bármely n ≥ n₀ esetén, akkor a P

n≥1

a_n sor divergens.

Bizonyítás. a) Mivela_n+1 ≤qa_n, n > n₀, ezérta_n≤qan−1 ≤q²an−2 ≤ . . . ≤ qⁿ⁻ⁿ⁰⁻¹a_n0+1, ha n > n₀. Mivel q ∈]0,1[, ezért a P

n>n0+1

qⁿ⁻ⁿ⁰⁻¹ sor konvergens (3. Példa), tehát a 7. Tétel biztosítja, hogy a P

n≥1

a_n sor konvergens.

b) Ha a_n+1 ≥ a_n, n > n₀, akkor a_n ≥ an−1 ≥ . . . ≥ a_n0+1 > 0.

Így a(a_n)sorozat nem tart nullához, tehát az 1. Tulajdonság szerint a P

n≥1

a_n sor divergens.

10. Következmény. Ha P

n≥1

a_n pozitív tagú sor és létezik a lim

n→∞

an+1

an = l határérték, akkor

a) a sor konvergens, ha l < 1;

b) a sor divergens, ha l >1;

c) a kritérium nem alkalmazható, ha l = 1.

Bizonyítás. a) A konvergens sorozat felhasználásával bármely ε > 0 számhoz létezikn_ε∈N úgy, hogy minden n > n_ε esetén l−ε < ^an+1_a

n <

l+ε.Mivell < 1,ezért megválasztható azε >0úgy, hogyl+ε =:q <1. Így q∈]0,1[és ^an+1_an < q,han > n_ε.Ezért a 9. Tétel, a) pontja alapján

P

n≥1

a_n konvergens.

b) Ha l > 1, akkor az ε-t úgy választjuk meg, hogy l −ε ≥ 1.

Ekkor ^an+1_an >1,han > n_ε, ami a 9.Tétel, b) pontja alapján azt jelenti, hogy P

n≥1

a_n divergens.

c) Az 1. Példa, 7. Példa és 8. Példa alapján a P

n≥1 1

n^α divergens, haα≤1 és konvergens, ha α >1.

Mivel

n→∞lim

1 (n+1)^α

1 n^α

= 1,

ezért l= 1 esetben a kritérium valóban nem alkalmazható.

11. Tétel. (gyök vagy Cauchy-féle kritérium). Tekintsük a P

n≥1

an poz- itív tagú sort.

a) Ha létezik q ∈]0,1[és n₀ ∈N úgy, hogy √ⁿ

a_n≤q, bármely n > n₀ esetén, akkor a P

n≥1

a_n sor konvergens.

a) Ha létezik n₀ ∈ N úgy, hogy √ⁿ

a_n ≥ 1, bármely n > n₀ esetén, akkor a P

n≥1

a_n sor divergens.

Bizonyítás. a) Mivel a_n ≤ qⁿ, n > n₀ és P

n≥1

qⁿ konvergens q ∈]0,1[

esetben, ezért a 7. Tétel alapján P

n≥1

a_n konvergens.

b) Mivel a_n ≥ 1, ha n > n₀, ezért az (a_n) sorozat nem tart nullához. Így az 1. Tulajdonság szerint a P

n≥1

a_n sor divergens.

12. Következmény. Ha P

n≥1

a_n pozitív tagú sor és létezik a lim

n→∞

√n

a_n= l határérték, akkor

a) a sor konvergnes, ha l < 1;

b) a sor divergens, ha l >1;

c) a kritérium nem alkalmazható, ha l = 1.

Bizonyítás. Az állítás a) és b) pontjait a 10. Következményhez hason- lóan igazoljuk. A c) esetben a P

n≥1 1

n^α, α∈Rharmonikus sort tekintjük, amely konvergens α > 1 esetén és divergens α ≤ 1 esetén. Viszont

2.2. Valós számsorok 27

n→∞lim

n

q 1

n^α = 1, tehát a kritérium nem alkalmazható az l = 1 eset- ben.

13. Tétel. (Raabe-Duhamel-féle kritérium). Tekintsük a P

n≥1

a_n pozitív tagú sort.

a) Ha létezikq ∈]1,∞[ésn₀ ∈Núgy, hogyn

an

an+1 −1

≥q,bárme- ly n > n₀ esetén, akkor a P

n≥1

a_n sor konvergens b) Ha létezik n₀ ∈ N úgy, hogy n

an

an+1 −1

≤ 1, bármely n > n₀ esetén, akkor a P

n≥1

a_n sor divergens.

Bizonyítás. a) Mivel q ∈]1,∞[, ezért legyen d := q−1 > 0. Az adott egyenl®tlenséget írjuk fel más alakban:

na_n−na_n+1 ≥(1 +d)a_n+1 vagy a_n+1 ≤ 1

d[na_n−(n+ 1)a_n+1].

Innen a_n0+2 ≤ 1

d[(n₀+ 1)a_n0+1−(n₀+ 2)a_n0+2], . . . , a_n≤ 1

d[(n−1)an−1−na_n];

a kapott egyenl®tlenségeket összegezve:

a_n0+2+. . .+a_n≤ 1

d[(n₀+ 1)a_n0+1−na_n]≤ n₀+ 1

d ·a_n0+1 vagy

s_n =a₁+. . .+a_n≤a₁+. . .+a_n0+1+ n₀+ 1

d ·a_n0+1.

Így az(s_n)részletösszeg sorozat felülr®l korlátos. Ekkor a 6. Tulajdon- ság alapján P

n≥1

a_n konvergens.

b) Ebben az esetben na_n −(n+ 1)a_n+1 ≤ 0 vagy na_n ≤ (n+ 1)a_n+1,ahonnan következik, hogy(na_n)_n>n0 növekv® sorozat. Így(n₀+