• Nu S-Au Găsit Rezultate

M M AT A TR RI IC C E E Ş ŞI I D D E E TE T E RM R MI IN NA AN NŢ Ţ I I

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "M M AT A TR RI IC C E E Ş ŞI I D D E E TE T E RM R MI IN NA AN NŢ Ţ I I"

Copied!
22
0
0

Text complet

(1)

A A N N E E X X Ă Ă

M M AT A TR RI IC C E E Ş ŞI I D D E E TE T E RM R MI IN NA AN NŢ Ţ I I

Fie K un corp şi m, n ∈ ℕ* = ℕ \ {0}.

Tabloul dreptunghiular

A =

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

mn 2

m 1 m

n 2 22

21

n 1 12

11

a ...

a a

...

...

...

...

a ...

a a

a ...

a a

, unde aij ∈ K, i = 1,m, j = 1,n,

se numeşte matrice de tip (m, n) cu elemente din corpul K.

Mulţimea matricelor cu m linii şi n coloane cu elemente din K se notează cu

mn(K) = {A = [aij] | aij ∈ K, i = 1,m, j = 1,n}

În cazul particular m = n matricele se numesc pătratice şi mulţimea lor se notează ℳn(K).

Elementele mulţimii ℳm1(K) se numesc matrice (vector) coloană, iar elementele mulţimii 1n(K) se numesc matrice (vector) linie. Mulţimea ℳ11(K) se identifică cu K.

O matrice A ∈ ℳmn(K) se numeşte diagonală dacă aij = 0, i≠ j, i = 1,m, j = 1,n şi există i ∈ {1, 2, ... , min(m, n)} astfel încât aii ≠ 0. O matrice diagonală A ∈ ℳn(K) are forma

A =

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

nn 22

11

a ...

0 0

...

...

...

...

0 ...

a 0

0 ...

0 a

şi se notează A = diag (a11, a22, ... , ann).

Două matrice A = [a ], B = [b ] ∈ ℳ (K) sunt egale dacă

(2)

Operaţia internă de adunare "+": ℳmn(K)×ℳmn(K)→ℳmn(K) definită prin C = A + B, unde cij = aij + bij, i = 1,m, j = 1,n, determină pe ℳmn(K) o structură de grup comutativ. Elementul neutru este matricea nulă Omn, care are toate elementele 0;

elementul simetric al matricei A = [aij] ∈ ℳmn(K) este - A = [-aij] ∈ ℳmn(K).

Operaţia de înmulţire ".": ℳmn(K) × ℳnp(K) → ℳmp(K), definită prin D = AB, unde D = [dij], dij = ∑

= n

1

k aikbkj, i = 1,m, j = 1,p, are următoarele proprietăţi:

A(BC) = (AB)C, ∀A ∈ ℳmn(K), B ∈ ℳnp(K), C ∈ ℳpq(K);

A(B + C) = AB + AC, ∀A ∈ ℳmn(K), B, C ∈ ℳnp(K);

(A + B)C = AC + BC, ∀A, B ∈ ℳmn(K), ∀C ∈ ℳnp(K).

Operaţia de înmulţire a matricelor este operaţie internă pe mulţimea ℳn(K).

Tripletul (ℳn(K), +, .) are o structură de inel necomutativ cu unitate. Elementul unitate din ℳmn(K) este matricea unitate

In = [δij], unde δij =

⎩⎨

= j i pentru ,

0

j i pentru ,

1 , adică

In =

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

1 ...

0 0

...

...

...

...

0 ...

1 0

0 ...

0 1

Operaţia externă de înmulţire ".": K×ℳmn(K)→ℳmn(K) definită prin C = αA, unde C = [cij], cij = αaij, i = m1, , j = n1, , are următoarele proprietăţi:

α(βA) = (αβ)A,

α(A + B) = αA + αB,

(3)

(α + β)A = αA + βA, 1.A = A,

pentru ∀A, B ∈ ℳmn(K), ∀α, β ∈ K, unde 1 este elementul unitate din K.

Operaţia "(.)t ": ℳmn(K) → ℳnm(K) definită prin

At = [aji], pentru A = [aij], i = 1,m, j = 1,n, se numeşte operaţia de transpunere şi are următoarele proprietăţi:

(At)t = A;

(A + B)t = At + Bt;

(αA)t = αAt; (AB)t = BtAt (dacă produsul are sens), pentru ∀A, B ∈ ℳmn(K), ∀α ∈ K.

Se numeşte urma (trace) matricei A = [aij] ∈ ℳn(K) suma elementelor de pe diagonala principală şi se notează trA = ∑

= n 1 i a . ii

Pentru ∀A, B ∈ ℳn(K), ∀α, β ∈ K au loc relaţiile:

trA = trAt;

tr(αA + βB) = αtrA + βtrB;

tr(AB) = tr(BA).

Se numeşte determinantul matricei A = [aij] ∈ ℳn(K) elementul det A ∈ K definit prin

det A =

nn 2

n 1 n

n 2 22

21

n 1 12

11

a ...

a a

...

...

...

...

a ...

a a

a ...

a a

=

( )

Sn

s ε(s)a1s1a2s(2)...ans(n), unde suma se calculează după toate cele n! substituţii ale mulţimii {1, 2, ... , n}, iar ε(s) este signatura substituţiei s.

Se numeşte minor de ordinul k al matricei A ∈ ℳn(K) determinantul asociat matricei de ordinul k formată cu elementele

(4)

atunci minorul de ordinul k este

Mk =

k 2 k

kj i 1 k

k 2 2

2j i 1 2

jk i1 2

1 1

1

j i j

i

j i j

i

j i j

i

a ...

a a

...

...

...

...

a ...

a a

a ...

a a

.

Se numeşte minor complementar lui Mk minorul de ordin n - k, care se obţine din A prin suprimarea liniilor şi coloanelor corespunzătoare lui Mk.

Se numeşte complementul algebric al minorului Mk, minorul M'k dat de relaţia

M'k = (- 1)s Mk,

unde s = i1 + i2 + ... + ik + j1 + j2 + ... + jk, adică suma indicilor liniilor şi coloanelor din Mk.

Complementul algebric al elementului aij se notează Aij şi este

Aij = (- 1)i + j Mij, unde Mij este minorul complementar lui aij. Dacă A = [aij] ∈ ℳn(K), atunci

(det A)δij = ∑

= n

1

k aikAjksau (det A)δij = ∑

= n

1

k akiAkj, unde

- pentru i = j prima (a doua) formulă reprezintă dezvoltarea determinantului det A după elementele unei linii (coloane);

- pentru i ≠ j prima (a doua) formulă arată că suma produselor elementelor unei linii (coloane) prin complemenţii algebrici ai altei linii (coloane) este nulă.

Dacă M1, M2, ... , Mp, unde p = Ckn, sunt minorii de ordin k<n care se pot forma cu elementele a k linii (coloane) fixate şi M1', M'2, ... M'p sunt complemenţii lor algebrici, atunci

det A = ∑n MkM'k ,

(5)

adică determinantul unei matrice este egal cu suma produselor

minorilor de pe k linii fixate ale matricei prin complemenţii lor algebrici (tteeoorreemmaa lluuii LLaappllaaccee).

Folosind regula lui Laplace se poate demonstra că det AB = det A. det B, pentru ∀A, B ∈ ℳn(K).

Mulţimea SL(n, K) = {A ∈ ℳn(K) | det A = 1},

unde K este un corp şi 1 ∈ K este elementul unitate din K, formează un grup în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor, numit grupul liniar special.

Numărul r ∈ ℕ se numeşte rangul matricei A ∈ ℳmn(K) (r = rang A) dacă sunt îndeplinite condiţiile:

- există un minor nenul de ordinul r,

- toţi minorii de ordin mai mare decât r sunt egali cu zero (ceea ce este echivalent cu faptul că toţi minorii de ordin r + 1 sunt egali cu 0).

Din definiţie rezultă că

0 ≤ rang A ≤ min{m, n}, pentru ∀A ∈ ℳmn(K) (rang Omn = 0).

Se numesc transformări elementare ale liniilor (coloanelor) unei matrice A ∈ ℳmn(K) următoarele operaţii:

1. Schimbarea a două linii (coloane) între ele.

2. Înmulţirea unei linii (coloane) cu un scalar nenul.

3. Adunarea elementelor unei linii (coloane) la elementele altei linii (coloane) înmulţite cu un scalar.

Două matrice A, B ∈ ℳmn(K) se numesc echivalente dacă au acelaşi rang; se notează cu A ~ B. Relaţia "~" este o relaţie de echivalenţă algebrică.

Rangul unei matrice este invariant la transformări elementare, deci două matrice care se obţin una din alta prin transformări

(6)

Pentru determinarea rangului unei matrice A ∈ ℳmn(K) se aplică transformări elementare asupra liniilor (coloanelor) până se obţine o matrice diagonală. Rangul matricei A va fi egal cu numărul elementelor nenule de pe diagonala principală

Exemplu. Să se determine, folosind transformări elementare, rangul matricei

A =

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

− − − − − −−

− −− − −− −−

1 2 1 1

1

1 0 1 2 7 5

622 512 813 014 321 122 1

.

Soluţie. A L5 L1

1 L 6 4 L3 2L1 L2 2L1 L

+~

+

1 C 2 6 C5 C1 C4 C1 C3 3C1 C2 2C1 C

~ 1

1 2 4

3

0 12 19 8 1 7

0 9 14 6 1 5

0 3 5 2 0 2

0 2 3 1 1 2

1 ++++

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

− − − − −

− − − − −

(transformări elementare asupra coloanei 1 conduc direct la

a1j =0, j =1,6, fără schimbarea celorlalte elemente aij, i=2 , j= 6,5 2 ) ,

~ ~

1 1

1 4

1 0

7 1 4

19 4

0

5 1

3 14

3 0

2 0 1 5 1

0

0 0 0 0

0 1

~ 1 1

2 4

3 0

7 1 8

19 12

0

5 1

6 14

9 0

2 0 2 5 3

0

0 0 0 0

0 1

2 : 4 C2:3 C

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

− − −

+ + +

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

~ 1

1 0 1 0

0 0 1 0 1 1

0 0 1 0 1 1

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1

~ L5 L3

3 L 4 2 L

L 5 L4 4L2 L3 3L2 L

. Deci rang A = 3.

(7)

Probleme propuse. Să se determine rangul matricelor:

1. A =

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

4 3

3 1

1 1 6

2

2 2

5 5

2 5

8 4

3 4

9 3

; R. rang A = 3.

2. A =

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

1 1 2

1

2 1

1 1

3 3 2

1

1 1 1

3

; R. rang A = 4.

3. A =

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

⎡−

2 2 1 2

2 1 0 1

1 3 1 1

0 1 2 2

; R. rang A = 4.

4. A =

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

6 4 8

9 6 12

2 2

3

6 3 8

3 2 4

; R. rang A = 3.

5. A =

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

5 1 1 1

1 4 1 1

1 1 3 1

1 1 1 2

; R. rang A = 4.

(8)

6. A =

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

2 7 5 1 3 7

1 9 3

1 3 6

1 1 2 1

2 3

0 3 0

1 4 2

0 2 1 2

3 1

; R. rang A = 3.

Se numeşte inversa unei matrice A ∈ ℳn(K) matricea notată A- 1, care satisface relaţiile AA- 1 = A- 1A = In.

O matrice A = [aij] ∈ ℳn(K) este inversabilă dacă şi numai dacă ea este nesingulară, adică det A ≠ 0. În acest caz inversa se calculează cu formula

A- 1 =

A det

1 A*,

unde A* este matricea adjunctă, A* = [Aji], j, i = 1,n (Aji este complementul algebric al lui aji).

Mulţimea GL(n, K) = {A ∈ ℳn(K) | det A ≠ 0}

formează un grup în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor, numit grupul liniar.

Au loc proprietăţile:

(A- 1)- 1= A,

(αA)- 1 = α- 1 A- 1, (AB)- 1= B- 1A- 1,

(A t)- 1= (A- 1)t, pentru ∀A, B ∈ GL(n, K).

Se poate determina inversa unei matrice A ∈ GL(n , K) folosind transformări elementare. Se bordează A cu matricea unitate In, obţinându-se matricea [A | In], care prin transformări elementare numai asupra liniilor se aduce la forma [ In |A-1], adică [A| In] ~ ... ~ [ In |A-1].

(9)

La pasul 1, pentru uşurinţa calculelor, se urmăreşte ca a11 = 1 (prin schimbări de linii, combinaţii liniare de linii, împărţirea prin a11). În continuare, prin transformări elementare asupra liniei 1, se obţin elementele aj1 = 0, j = 2,n.

La pasul 2 se obţine a22 = 1 şi prin transformări elementare asupra liniei 2 se obţin elementele aj2 = 0, j = 3,n.

La pasul i se obţine aii = 1 şi prin transformări elementare asupra liniei i se obţin elementele aji = 0, j =1, 2, ..., i - 1, i + 1,..., n.

Exemplu. Să se afle, folosind transformări elementare, inversa matricei

A =

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

2 0 1 1

3 1

2 2

0 3 1 2

2 0 1 2

.

Soluţie. [A| I4] =

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

2 0 1 1

3 1

2 2

0 3 1 2

2 0 1 2

4 L 1 L ~

1 L 2 4 L3 2L1 L2 2L1 L

~ 0 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 0

2 0 1 2

3 1 2 2

0 3 1 2

2 0 1 1

~

++

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

LL14 LL22

~ 2 0 0 1

2 1 0 0

2 0 1 0

1 0 0 0

2 0 1 0

1 1 0 0

4 3 1 0

2 0 1 1

+

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

3 L 3 4 L2 3L3 L1 L3 L

2 ~ 1 0 0

2 0 1 0

1 0 1 0

1 1 0 0

4 3 1 0

2 3 0 1

~ +

+

⎥⎥

⎥⎤

⎢⎢

⎢⎡ − − − −

(10)

4 L 3 L2 L4 L1 L4 L

~ 6

3 1 1

2 1 0 0

4 3 1 0

5 3 1 0

1 0 0 0

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

~

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

4 34 4

4 2 1 A 1

6 3 1 1

4 2 1 1

10 6 2 1

1 0

0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

.

Probleme propuse. Să se afle inversele matricelor:

1. A =

⎥⎥

⎢⎢

=

⎥⎥

⎢⎢

2 2

1

3 3

1

3 4

1 A

. R

; 1 2 1

0 1 1

3 2 0

1 ;

2. A =

⎥⎥

⎢⎢

=

⎥⎥

⎢⎢

3 1

5

2 2

3

1 2

1 A

. R

; 4 9

7

1 2

1

2 5

4

1 ;

3. A =

⎥⎥

⎢⎢

=

⎥⎥

⎢⎢

0 1 1

1 1 2

3 2 2 A

. R

; 6 4

1

4 3

1

5 3

1

1 ;

4. A =

⎥⎥

⎢⎢

=

⎥⎥

⎢⎢

5 3

1

4 3

5

3 2

1 A

. R

; 7 5

18

11 8

29

1 1

3

1 ;

5. A =

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1 1

1

1 1 1 1

; 6. A =

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

−1 1 1

0

0 0 1 1

1 3 1 2

1 0 1 1

;

(11)

7. A =

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

0 1 3 1

4 1 2 1

1 0

3 2

2 1 2 1

.

O matrice A∈ℳmn(K) se poate împărţi în blocuri(submatrice) ducând paralele la liniile şi coloanele ei. Descompunerea în blocuri sugerează ideea de a considera matricea A ca o nouă matrice, numită matrice de blocuri.

De exemplu matricea

A =

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

43 42

41

33 32

31

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

poate fi considerată ca o matrice de blocuri, A =

⎢ ⎤

22 21

12 11

A A

A

A ,

unde A11 =

⎢ ⎤

22 21

12 11

a a

a

a , A12 =

⎢ ⎤

23 13

a a ,

A21 =

⎢ ⎤

42 41

32 31

a a

a

a , A22 =

⎢ ⎤

44 33

a a .

Descompunerea unei matrice în blocuri nu este unică, ea se poate face în moduri diferite.

Două matrice A, B ∈ ℳmn(K) se numesc conforme dacă sunt descompuse în blocuri de acelaşi tip.

Dacă A =

⎥⎥

⎥⎤

⎢⎢

⎢⎡

q 2 22

21

q 1 12

11

...

...

...

...

A ...

A A

A ...

A A

, B =

⎥⎥

⎥⎤

⎢⎢

⎢⎡

q 2 22

21

q 1 12

11

...

...

...

...

B ...

B B

B ...

B B

(12)

sunt două matrice conforme, atunci, prin definiţie, A + B =

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

+ +

+

+ +

+

+ +

+

pq pq

2 p 2 p 1

p 1 p

q 2 q

2 22

22 21

21

q 1 q 1 12

12 11

11

B A

...

B A

B A

...

...

...

...

B A

...

B A

B A

B A

...

B A

B A

,

αA =

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

pq 2

p 1

p

q 2 22

21

q 1 12

11

A α ...

A α A

α

...

...

...

...

A α ...

A α A

α

A α ...

A α A

α

.

Dacă A = [Aij], i = 1,p, j = 1,q, B = [Bij], i = 1,q, j =1,r, atunci C = AB = [Cij], Cij =

= q

1

k AikBkj, i = 1,p, j =1,r (în ipoteza că există produsele AikBkj, k = 1,q).

Se observă că operaţiile cu matrice de blocuri se efectuează ca şi cum în locul blocurilor ar fi numere.

Un caz particular de matrice împărţită în blocuri este acela al matricelor cvasidiagonale, adică

A =

⎥⎥

⎢⎢

p 1

A 0 0

0 ...

0

0 0 A

,

unde A1, A2, ... , Ap sunt matrice pătratice, în general de ordine diferite, iar în afara lor toate elementele sunt zero.

În acest caz are loc relaţia det A = det A1 det A2 ... det Ap.

Cu matricele de acest tip operaţiile se efectuează mai uşor. Dacă

A =

⎥⎥

⎢⎢

p 1

A 0 0

0 ...

0

0 0 A

, B =

⎥⎥

⎢⎢

p 1

B 0 0

0 ...

0

0 0 B

, atunci

(13)

αA + βB =

⎥⎥

⎢⎢

+ +

p p

1 1

B β A α 0 0

0 ...

0

0 0

B β A α

,AB=

⎥⎥

⎢⎢

p p 1

1

B A 0 0

0 ...

0

0 0

B A

, unde Ai, Bi, i = p1, , sunt blocuri de acelaşi tip.

Se poate calcula inversa unei matrice nesingulare folosind împărţirea în blocuri.

Fie matricea S = ⎥

⎢ ⎤

D C

B

A ∈ GL(n, K) şi inversa sa de forma

S- 1 = ⎥

⎢ ⎤

N M

L

Q ∈ GL(n, K),

unde A, Q ∈ ℳp(K), B, L ∈ ℳp, n - p(K), C, M ∈ ℳn - p, p (K), D, N ∈ ℳn - p(K).

Din relaţia

⎥⎦

⎢ ⎤

p p

, p n

p n , p p

I O

O

I =

⎢ ⎤

D C

B

A ⎥

⎢ ⎤

N M

L

Q =

⎢ ⎤

+ +

+ +

DN CL

DM CQ

BN AL

BM AQ

rezultă sistemul matriceal

⎪⎪

⎪⎪

= +

= +

= +

= +

p n

p , p n

p n , p p

I DN CL

O DM CQ

O BN AL

I BM AQ

) 4 (

) 3 (

) 2 (

) 1 (

Din relaţia (1), dacă ∃A- 1, atunci A- 1(AQ + BM) = A- 1Ip, de unde Q = A- 1 - A- 1(BM).

Din relaţia (2), dacă ∃A- 1, atunci A- 1(AL + BN) = A- 1Op, n - p, de unde L = - A- 1(BN).

Înlocuind L în relaţia (4) rezultă N = (D - CA- 1B)- 1. Înlocuind Q în relaţia (3) rezultă M = - NCA- 1.

În concluzie, ordinea calculelor pentru aflarea lui S- 1 este:

(14)

Calculele se fac mai uşor după următoarea schemă:

C D

X = A- 1B A- 1 B

Z- 1 Y = CA- 1 Z = D - CA- 1B

S- 1 = ⎥

⎢ ⎤

− +

1 1

1 1

1

Z Y

Z

XZ Y

XZ A

Observaţie. Metoda este utilă în cazul în care A- 1 este uşor de calculat.

Exemplu. Folosind metoda împărţirii în blocuri, să se calculeze inversele matricelor:

a) S =

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

0 1 1 3

1 0

2 2

1 2 2 0

1 1 1 1

; b) S =

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

0 4 1 2

1 1 0 1

3 2 3 2

1 1 2 1

.

Soluţie: a) Deoarece det S ≠ 0 rezultă că ∃S- 1. Considerăm A = ⎥⎦

⎢ ⎤

⎡ 2 0

1

1 , B = ⎥⎦

⎢ ⎤

⎡ 1 2

1

1 , C = ⎥⎦

⎢ ⎤

⎡−

1 3

2

2 , D = ⎥⎦

⎢ ⎤

− 0 1

1

0 .

A - 1 = 2

1 ⎥⎦

⎢ ⎤

⎡ −

1 0

1

2 , CA- 1 = ⎥⎦

⎢ ⎤

1 3

2

2 ,

CA- 1B = ⎥⎦

⎢ ⎤

⎡ 2 1

0

2 , D - CA- 1B = ⎥⎦

⎢ ⎤

2 2

1

2 ,

N = (D - CA- 1B)- 1 = 2

1 ⎥⎦

⎢ ⎤

2 2

1

2 ,

M = - NCA- 1 = 2

1 ⎥⎦

⎢ ⎤

6 10

5

7 ,

(15)

A- 1B = 2

1 ⎥

⎢ ⎤

⎡ 1 2

1

0 , A- 1BM = 2

1 ⎥

⎢ ⎤

− 2 2

3

5 ,

Q = A- 1 - A- 1BM = 2

1 ⎥

⎢ ⎤

1 2

2

3 ,

L = - A- 1BN = 2

1 ⎥

⎢ ⎤

⎡−

0 1

1 1 .

Deci S- 1 = 2 1

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

2 2

6 10

1 2 5

7

0 1

1 2

1 1 2

3

.

Folosind schema obţinem

⎥⎦

⎢ ⎤

⎡−

1 3

2

2 ⎥

⎢ ⎤

− 0 1

1 0

X = 2

1 ⎥⎦

⎢ ⎤

⎡ 1 2

1 0

2

1 ⎥⎦

⎢ ⎤

⎡ −

1 0

1

2 ⎥⎦

⎢ ⎤

⎡ 1 2

1 1

Z- 1 = 2

1 ⎥⎦

⎢ ⎤

2 2

1

2 Y = ⎥⎦

⎢ ⎤

1 3

2

2 Z = ⎥⎦

⎢ ⎤

2 2

1 2

S- 1 =

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

⎥⎦

⎢ ⎤

⎥ −

⎢ ⎤

⎥⎦

⎢ ⎤

⎥ ⎡−

⎢ ⎤

2 2

1 2 2 1 6 10

5 7 2 1

0 1

1 1 2 1 1

2 2 3 2 1

.

b) Deoarece det S ≠ 0 rezultă că ∃S- 1. Considerăm A = ⎥⎤

⎢⎡ 3 2

2

1 , B = ⎥⎤

⎢⎡ 3 2

1

1 , C = ⎥⎤

⎢⎡

1 2

0

1 , D = ⎥⎤

⎢⎡ − 0 4

1

1 .

(16)

A - 1 = ⎥

⎢ ⎤

1 2

2

3 , CA- 1 = ⎥

⎢ ⎤

− 3 4

2

3 ,

CA- 1B = ⎥

⎢ ⎤

5 2

3

1 , D - CA- 1B = ⎥

⎢ ⎤

⎡ 5 6

2 2 ,

N = (D - CA- 1B)- 1 = 2

1 ⎥

⎢ ⎤

2 6

2

5 ,

M = - NCA- 1 = 2

1 ⎥

⎢ ⎤

− 6 10

4

7 ,

A- 1B = ⎥

⎢ ⎤

−1 0

3

1 , A- 1BM = 2

1 ⎥

⎢ ⎤

6 10

14

23 ,

Q = A- 1 - A- 1BM = 2

1 ⎥

⎢ ⎤

− 4 6

10

17 ,

L = - A- 1BN = 2

1 ⎥

⎢ ⎤

2 6

4

13 .

Deci S- 1 = 2 1

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

2 6

6 10

2 5 4

7

2 6

4 6

4 13 10

17

.

Probleme propuse. Să se calculeze, folosind metoda împărţirii în blocuri, inversele matricelor de la problemele anterioare.

O matrice A = [aij] ∈ ℳn(K) se numeşte simetrică dacă

A = At, adică aij = aji, ∀i, j = 1,n. Notăm mulţimea matricelor simetrice cu Σn(K).

O matrice A = [aij] ∈ ℳn(K) se numeşte antisimetrică dacă At = -A, adică aij = -aji, ∀i, j = 1,n. Notăm mulţimea matricelor antisimetrice cu Αn(K).

(17)

Din definiţie rezultă că o matrice antisimetrică A ∈ ℳn(K) are toate elementele de pe diagonala principală egale cu zero, adică aii = 0, ∀i = n1, .

Următoarele afirmaţii sunt adevărate:

a) AtA ∈ Σn(K), ∀A ∈ℳn(K).

b) α(A + At) ∈ Σn(K), ∀A ∈ ℳn(K), ∀α ∈ K.

c) α(A - At) ∈ Αn(K), ∀A ∈ ℳn(K), ∀α ∈ K.

d) A = 2

1((A + At) + (A - At)), ∀A ∈ ℳn(K).

e) det A = 0, ∀A ∈ Α2n + 1(K), unde K este corp de caracteristică diferită de 2.

f) Dacă ∀A ∈ Σn(K), (A ∈ Αn(K)), det A ≠ 0, atunci A- 1 ∈ Σn(K), (A- 1 ∈ Αn(K)).

g) Fie A, B ∈ Σn(K) (A, B ∈ Αn(K)). Produsul AB ∈ Σn(K) dacă şi numai dacă AB = BA.

h) Fie A, B ∈ Αn(K). Produsul AB ∈ Αn(K) dacă şi numai dacă AB = - BA.

O matrice A = [aij] ∈ ℳn(K) de forma

A =

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

nn 3

n 2 n 1 n

33 32

31

22 21

11

a ...

a a

a

...

...

...

...

...

0 ...

a a

a

0 ...

0 a

a

0 ...

0 0

a

se numeşte triunghiulară inferior(aij = 0, j > i). Mulţimea lor se notează cu ℑin(K).

(18)

O matrice A = [aij] ∈ ℳn(K) de forma

A =

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

nn n 3 33

n 2 23

22

n 1 13

12 11

a ...

0 0

0

...

...

...

...

...

a ...

a 0 0

a ...

a a

0

a ...

a a

a

se numeşte triunghiulară superior(aij = 0, j < i). Mulţimea lor se notează cu ℑsn(K).

Se observă că determinantul unei matrice triunghiulare este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală.

O matrice triunghiulară are determinantul nenul dacă şi numai dacă toate elementele de pe diagonala principală sunt nenule.

O matrice diagonală, A = diag (a11, a22, ... , ann) este triunghiulară inferior şi superior.

Sunt adevărate relaţiile:

a) A + B ∈ ℑin(K) (A + B ∈ ℑsn(K)), ∀A, B ∈ ℑin(K) (∀A, B ∈ ℑsn(K));

b) AB ∈ ℑin(K) (AB ∈ ℑsn(K)), ∀A, B ∈ ℑin(K) (∀A, B ∈ ℑsn(K));

c) A- 1 ∈ ℑin(K) (A- 1 ∈ ℑsn(K)), ∀A ∈ ℑin(K) (∀A ∈ ℑsn(K)) cu det A ≠ 0.

Modul de calcul al inversei unei matrice A ∈ ℑin(K) (A ∈ ℑsn(K)) cu det A ≠ 0 este mai simplu.

Exemplu. Să se afle inversa matricei

A =

⎥⎥

⎢⎢

1 1 3

0 2 1

0 0 1

.

(19)

Soluţie. Notând inversa matricei prin A- 1 =

⎥⎥

⎢⎢

33 32

31

22 21

11

a a

a

0 a

a

0 0

a

relaţia A- 1A = I3 conduce la sistemele a11 = 1,

⎩⎨

=

=

1 a

2

0 a

a

22 22

21 ,

⎪⎩

⎪⎨

=

=

= +

1 a

0 a

a 2

0 a

3 a

a

33 33 32

33 32

31

În concluzie A- 1 =

⎥⎥

⎢⎢

−5 1 2 0 1 1

0 0 2 2

1 .

Orice matrice A = [aij] ∈ ℳn(K) de forma

A =

⎥⎥

⎥⎥

⎢⎢

⎢⎢

mn 2

m 1 m

n 2 22

21

n 1 12

11

a ...

a a

...

...

...

...

a ...

a a

a ...

a a

,

cu Δ1 = a11 ≠ 0, Δ2 =

22 21

12 11

a a

a

a ≠ 0, ... , Δn = det A ≠ 0,

se poate scrie A = BC, unde B = [bij] ∈ ℑin(K) (B ∈ ℑsn(K)) şi C = [cij] ∈ ℑsn(K) (C ∈ ℑin(K)).

Descompunerea este unică dacă se fixează elementele de pe diagonala principală a uneia dintre matricele triunghiulare (de exemplu se iau egale cu 1).

Din egalitatea A = BC rezultă sistemul

(S) n ij

1

k∑bikckj =a

= , i, j = n1, .

Deoarece b = 0 pentru j > i şi c = 0 pentru j < i, atunci

(20)

(S1) n ij

1

k∑bikckj =a

= , i ≥ j, j = 1, 2, ... , n (S2) n ij

1

k∑bikckj =a

= , i < j, i = 1, 2, ... , n - 1.

Exemplu. Să se scrie matricea A =

⎥⎥

⎢⎢

1 3

1

3 2 1

2 1 1

sub forma unui produs de două matrice triunghiulare.

Soluţie: Relaţia A = T1T2, unde T1∈ ℑin(K), T2 ∈ ℑsn(K), T1 =

⎥⎥

⎢⎢

33 32

31

22 21

11

b b

b

0 b

b

0 0

b

, T2 =

⎥⎥

⎢⎢

1 0

0

c 1 0

c c

1

23 13 12

, se poate scrie

⎥⎥

⎢⎢

1 3

1

3 2 1

2 1 1

=

⎥⎥

⎢⎢

+ +

+

+ +

33 23

32 13

31 32

12 31 31

23 22 13

21 22

12 21 21

13 11 12

11 11

b c

b c

b b

c b b

c b c

b b

c b b

c b c

b b

Se obţin sistemele:

⎪⎩

⎪⎨

=

=

=

1 b

1 b

1 b

31 21

11

,

⎪⎩

⎪⎨

= +

= +

=

3 b

c b

2 b

c b

1 c

b

32 12

31

22 12

21 12 11

,

⎪⎩

⎪⎨

= +

+

= +

=

1 b

c b c

b

3 c

b c

b

2 c

b

33 23

32 13

31

23 22 13

21 13 11

care au soluţiile:

⎪⎩

⎪⎨

=

=

=

1 b

1 b

1 b

31 21

11

,

⎪⎩

⎪⎨

=

=

=

4 b

1 b

1 c

32 22 12

,

⎪⎩

⎪⎨

=

=

=

23 b

5 c

2 c

33 23 13

.

(21)

Deci T1 =

⎥⎥

⎢⎢

23 4

1

0 1 1

0 0 1

, T2 =

⎥⎥

⎢⎢

⎡ −

1 0 0

5 1 0

2 1 1

.

Observaţie. Inversa unei matrice A ∈ ℳn(K), cu det A ≠ 0, scrisă sub forma A = T1T2, T1 ∈ ℑin(K), T2 ∈ ℑsn(K), se poate determina mai uşor din relaţia A- 1 = T2- 1T1- 1.

Două matrice A, B ∈ ℳn(K) se numesc asemenea şi se notează A ≈ B dacă există o matrice S ∈ ℳn(K), cu det S ≠ 0, astfel încât B = S- 1AS.

Relaţia de asemănare are proprietăţile:

a) " ≈ " este o relaţia de echivalenţă algebrică.

b) A ≈ B ⇒ rang A = rang . c) A ≈ B ⇒ Ak ≈ Bk, ∀k ∈ ℕ*.

d) A ≈ B ⇒ P(A) ≈ P(B),

unde P(A) = a0In + a1A + a2A2 + ... + anAn, ai ∈ K, i = n0, .

O matrice A ∈ ℳn(K), K = ℝ sau K = ℂ, se numeşte ortogonală dacă AAt = In.

Relaţia din definiţie este echivalentă cu AtA = In.

Orice matrice ortogonală A ∈ ℳn(K) este nesingulară şi det A = ± 1.

O matrice A ∈ ℳn(K) este ortogonală dacă şi numai dacă A este nesingulară şi A- 1 = At.

Mulţimea GO(n, K) = {A ∈ ℳn(K) | AAt = In} formează un grup faţă de operaţia de înmulţire a matricelor, numit grupul ortogonal.

(22)

Grupul matricelor

SO(n, K) = {A ∈ GO(n, K) | det A = 1}

se numeşte grupul ortogonal special.

SO(n, K) = GO(n, K) ∩ SL(n, K).

Dacă K = ℝ, atunci GO(n, ℝ) = GO(n) se numeşte grupul ortogonal real; SO(n, ℝ) = SO(n).

Elementele unei matrice A = [aij] ∈GO(n, K) satisfac următoarele

2 ) 1 n (

n +

condiţii:

n , 1 j ,i , δ a

a ij

n 1

kik jk = =

= ,

care sunt echivalente cu n a a δij, ,ij 1,n

1

kki kj = =

= .

Deci suma produselor elementelor corespunzătoare a două linii (coloane) distincte este 0, iar suma pătratelor elementelor unei linii (coloane) este 1, adică vectorii linie (vectorii coloană) sunt versori ortogonali doi câte doi.

Referințe

DOCUMENTE SIMILARE

The shear strength of UVC-treated PC increased by 63% than that of untreated PC, which is attributed to the formation of functional groups at the surface making it hydrophilic and

Mots clés : prépotence de la raison, la terreur du pouvoir, raison et chaos, raison et déraison, la raison de l’inconscient, la raison technologique, la

16 Véase Carlos Bousoño, “Iraţíonalitatea în poezia contemporană” (en Teoria expresiei poetice, Bucureşti, Univers, 1975, cap. 17 Esta palabra, que aparece

The chain of narrative segments develops along the external division of six chapters a retrospective story – a left- hand written diary – where Abel writes his memories

Forma de învăţământ: Studii universitare de licenţă - ZI Domeniul de studiu: Limbi şi literaturi - Franceză.. UNIVERSITATEA ALEXANDRU IOAN CUZA din IAŞI Sesiunea

The move towards agent- based environments is supported on the one hand by rapid progress in communication languages (like KQML and Telescript) and standardisation of

 The newly constituted political elite in many situations, as was the case of USSR, would reach the leadership of the communist regime, or, as was the case in Poland,

În schimb, pentru organiza iile teroriste sau statele care sponsorizeaz sau accept terorismul folosindu-l ca modalit i de guvernare sau instrument politic în arena interna ional ,