Ioannis K. ArgYros, Emil lon Páváloiu 202
ll.F.A.Pota,Onaniterativealgorithmoforderl'83g"'forsolvingnonlinearequations'
Numer. Funct. Anal' Optimiz' 1' I (1984-1985)' 75-106'
12. T. Yamamoto and X. Chen, Cohvergence donains of certoin iteralive .methods for solving
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REVUE D'ANALYSE NUMÉRIQUE BT DE THÉORTE Dtr L'APPROXIMATION Tome XXV[, No 2, 199g, pp. 203_217
Received August 10, 1996 Ioannis K ArgYros
Cameron UniversitY DePartmenl of Mathenatics Lawton, OK73505, U S' A Emil Catinaç and lon Pàvðloiu Institul de Colcul "1:iberiu Popoviciu"
St' RePublicii Nr 37 C P. 68, 3400 Clui-NaPoca, Romania
EI\I PROBLEM VON A. PAPOULIS BEZÜGLICH DER BANDBEGRENZTEN INTERPOLATION
H. BOCIIE
1. ALI,GEMEINE BEMERKUNGEN UND ERGEBNISSE
In
der vorliegenden Arbeit wollenwir
unsmit
der folgenden zentraren Fragestellung befassen, die mit dem Abtast-Theorem verknüpft ist:Gegeben
sei
eine beliebige,auf der
gesamten reellen 'Achsedefinierle
Funktion/und
eine beliebige reelle zahr a > 0. Besitz nun die formal gebildete Abtast-Reihea
T
,¡rLçt
_ kn)f
(ka) a1Í
t-kn
der Funktion
/
irgendeinen Sinn, das heißt: Existiert sie als ein bestimmtes mathematisches Obj ekt?A.
Papoulis[1]
beantwortet diese allgemeine Fragestellùng positiv. Er behauptet, daß urch diese Abtast-Reihe eine verallgemeinertã Funktion definiert istund
nennt diesedie
bandbegrenzte rnterpolierendeder
Funktionf mit
der -Bandgrenze
1.
a
wir
werden nunin
den Abschnitten2 und 3 zeigen, daß diese Behauptung nicht zutrifft und damit auch ihr Berveis nicht konekt isi.Dabei werden
wir
uns nicht einmal dieser (viel zu allgemeinen) Aufgabe z.r-È'enden, sondern uns auf fol gende Aufgabenstellung b es chärilien :wir
betrachtenim
weiteren die Menge co(R) der auf der reellen Achse stetigen undim
unendlichen verschwindenden Funktionen.Ist
es möglich, der Abtast-Reihe der Funktion/flir jede Funktion/
eco(R)
und für jedes feste a > 0einen mathematischen Sinn zu unterlegen? (Einen anderen sinn kann ein rein mathematisches Objekt wie die Abtast-Reihe nicht haben,)
AMS Subject Classificarion: 42415
Ein Problem von A. Papoulis 20s
für
l:2,
3 erfüllen. Dieses Ergebnis zeigt, daß selbst fi.ir sehr glatte FunktionenI ec'(R.) *d.f,
sowie alle Ableitungen verschwindenim
unendlichen) und sogar glatte FmktionenÅ
rrrlt endlicher Energiedie
Abtast-Reihenin
allen Pnnkten der Menge R \az
unbeschränkt divergieien können,. Die
bisher aufgeführten Ergebnisse geben nur Aufschluß über das punkt_weise Verhalten der Folge der Partialsummen der AbtastReihe. Im Absclìnitt 3
werden
wir
daran gehen, das Konvergenzverhaltenim
Sinneder
l)istribu- tionentheorie zu untersuchen.Die Abtast-Reihe einer Funktion
l.co(R)
existiertim
sinne der Distri_butionentheorie genau dann, wenn
für
jedes feste $eØ
(d.h.fiir jede
Test- funktion) die Folge der Zal:I.en: ^ ,v sinnG-ro)
!-; rlr'Gò-i-k" o(/)d/
konvergiert.
wir
werden nun aber eineFmktion
.fqeco(R)
und eine Test- fi¡nktion VeØ
konstruieren, so daß| ø ^ ,v sirr!(r-ko\
jt'il':oi
[i rl.rtou*) -
v(r)drl=*
gilt.
Damit existiert die Abtast-Reihe der FunktionI
nichtim
Sinne dei: Di5tri-butionentheorie. Wir werden sogar Funkti onen
f5,/u
e Co(R) derart honstruiere¡,daß wiederum
,lEf('){r¡=o vnelrJ
2.
føeC'(R),
-fø(t)=O für¡l0und
I
VtfOV d/<.o
vp e p, oo)3
i
l
0
gilt und eine Testfi.urktion ry e
Ø
mitlim sup
ii ri,,r,,*,
sm-
.TE a(t
-
ks)yt(t) dt =CO
t-kn
für I = 5, 6 angegeben werden kann.
204 H. Boche
Wir werden diese Frage negativ beantworten. Es ist klar, daß eine negative
Antwort auf
diese Frage auch eine negativeAntwort auf die
allgemeinere Fragestellung beinhaltet.Als
erstes untersuchenwir im
Abschnitt2
das punktrveise Verhalten der obigen Abtast-Reihe, Dazu wählenwir
ein a >0
fest und untersuchenfiir
alleFurltionen
/
e Cn(R) das Verhalten ihrer Abtast-Reihen in allen Pu¡rkten R.\ aZ, Die Abtast-Reihe der Funktion/e Co(R)
kannin
einem beliebigen aber festen Punktto
lo e (R \aZ) ntrl
genau dann existieren' wenn die Folge von Zal'ien,¡¡Lçto -ka)
2
a
to-fu
im Sinne der Theorie der reellen Zablen konvergiert'
wir
sind nun aberin
der Lage, konstruktiv eine FunktionI
e cn(R)anzugeben, frir die
Í{t)
=0
für I 5 0 ist und dielim sup kn
=co v/eR\az
t-ka
i ri,t,*,
srn ,1Í
-
a(t-
ka)iL
L k=l¡,
) erfüllt.Damit
ist
die Abtast-Reihe der FunktionI in
allen Punkten der Menge R \aZ
unbeschränkt divergent, Die Abtast-Reihe der Funktionf
existiert alsonicht im Sinne der punktweisen Konvergenz.
Durch
einige zusätzliche uberlegungensind wir
sogarin der
Lage, Funktionenfr, .fr.Co(R)
derart zu konstruieren, daß 'I. fzeC*(R), lr!)=0 flir ¡l0und
!y2Á')tt)=o
v¡ee['J2. .fs
eC- (R)'
.f,(t)
= 0 für II
0 undI Vtft>f
dr <"o
VP e [1' æ)0
gilt, worin C*(R) die
Menge der beliebigoft
differerzierbaren Funktionen bezeichnet, und dieI
ì
co V/€R\dZ
lim sup N+ø
-
aIf4
206 FL Boche
Alsoselbstfi'irFunktionenmitsolcheinschränkendenEigenschaftenexistiert die Abtast-Reihe nicht im Sinne der Distributionentheorie'
EsentstehtnundieFrage,woderFehlerindenBeweisenvonA'Papoulis liegt. Die Ursache der
Fehleiin
den Beweisen ist die Nichtbeachtung des Sach- verhaltes, daß die formale Faltung zr,veier Distributionen keinen mathematischen Sinnhabenmuß,dasheißtgenauer,dieFaltungrweierDistributionenistnicht immr:rerklärt.Dastrifftinsbesonderedannzu,wenndiemiteinandetztlfaltenden Distributionen keinen kompakten Träger haben [4]'Gerade unsere
roÅt
uLtionensind
sehr einfache Beispielefür
diesensachverhalt, denn die formal gebildete Abtast-Reihe einer Funktion
/
e co(R')ergibt sich aus der fotmalen Faltung der Distributionen
Ë fþn)õ(t-kã)
k =-ø und
Dazu betrachten wir die Funktion
/ ,2
,'-li)
(
s\'
t r/
I'lt)=e'"'
-t2u<ltl< qa r,
so7)=1 flir
lrl<9 wd s"(t)=0 für;<lrl.
Sie ist beliebig oft differenzierbar und dient im weiteren als Basisfunktion
für
alle Konstruktionen, Dain
diesem Abschnitt a >0
stets eine feste Zahl, ist, werden wir den lndex a bei der Funktion g. und beim Operator Sf, unterdrücken.Als erstes betrachten wir nun die Funktion
Í(t):þ,#^s(t-ka) vre
RDa nur höchstens ein Glied der Reihe von Null verschieden ist,
ist
die Reihe absolut konvergent. Weiterhin istf@(t)=i, !^t)-.. s(ù(t-ko) v/€R vne
[,Jfr,
ln(2 +ka)"
undlÐ
= 0für I10.
Man sieht sofort ein, daß r¡ncl diese formal gebiideten Abtast-Reihen,habenim
allgemeinen keinen sinn inrier I)i stributionentheorie'
2. AUSSAGEN ÜNNN PUNTTWEISE DIVERGENZ DER ABTAST-REIHEN
WirwollenunsnunmitpunktweisenDivergenzaussagenfi.irFunktionenaus
dern Raum Co
(R)
beschäftigen'E,sseiindiesemAbschnitta>0beliebig'aberfest,undmitdieserna
dehnieren wir eine Menge
aV'.={x
e R.l3keZ:x=lø\'
Es sei weite rllln J' e Co
(R)
und N)
1 eine beliebige natürliche Zabl" Wit wollen mrn das Verhalten der Partialsummen der Abtast-ReiheIîm
¡{ù
(¡) =o
Vn e hlgilt. Mit der konstruierten Funktion erhalten wir den folgenden Satz:
Snrz L Es seif die oben konstruierte Funktion, dann gilt
a
Z lrn'¡ "¡r!ç
_ ka)
It k=l
t-kn :¡
>
0 Vt eR.\a7.
lim sup
lnlnN
,¡Lç -
kn)a
Damit gilt natürlich erst recht
(,sil) (ù,+
,t rtr*, t-ka V¡teR
lim sup aZ ¡rm¡ sln- .n
a(t
kn=
co Vt eR,\aZ.
t-kQ
der Funktion/untersuchen.
îE k =l
7 Ein Problem von A. Papoulis 209 Für die untersuchung des Falles ¡ < -2 führen wir die folgende Hilfsfrmktion
4lx):= - x+ltl x+2 ,
.x>0
ein. Man überprüft leicht die folgenden Eigenschaften der Funktion r, 2
4(o)=14 lim
r, (x) = |.( +ø und
l¡l -',
riQ)= *>0
(x +
l/l)' Vx>0.
Damit ist die Funktion
r,
monoton steigend. Es gilt also121
x
+ltl þl
x+2
V.r > 0.Mit dieser Abschätzung erhalten wir
l(s/u,f )
(r)l>1
It
1Í
a sln t
srn- .71 I
a J
a
(2+
x)ln(x +2)
dx2 .11
sln-
a (ln ln(2 + Na)-
ln ln(2 + a))Itln
Wir haben also auch für diesen Fall die Aussage des Satzes bewiesen.
Es sei nun t > 0, Es existiert dann eine natÍirliche Za|úÀ/e, so daß
Noa<r<(No+l)a
gilt. Für 1/ > 1/o + 2 haben wir
stn-
a(s".f) Ø-+
Ð,
-1)o (t
-
ka)ln(2+kn) t-kã
=sl æl -*1, o ll llo=fr $
I
*rln(2+kn) t-ka
6
H. Boche 208
r*.rT"î$lz
gibt weiterhin eine gewi sse.untere w achstum s schranke an.
Beweis.Ps sei I e-R'
\aV'
beieb\g' Dann gilt fÌlr alle N > 1 -1)u', Tl
srn-
a (r-
ka )(sr"f
)(,)=l aå
È, ln(Z+
kn)t-ka
ã11
=
- TLA
Sln--fI
,{=l
Wir betrachten nun als erstes den
Fall (/
€ R'\aZ)
n(ú <0)' Mit
dieser Einsch- ränkung erhalten wirr(s,/) r,lr=\f ,r]r\\ å
I
t
1n(2+
ka) t-kn
a1l
11
- T(, sln-
af k=lln(2+ ka) \tl+kn
I
n
sin-
îc /a
Wir wollen nun den Bereich -Z < t
<0
untersuçhen Es gilt1 t I Vx2o,
ltf
+x
2+ xund damit erhalten wir
I
q'fi
l(s"/) (t)ìt;\
SU:I_,îCa
1ì
rt=-lsln-l nl
aln(2+ Nn )
)du=- l1 ulf
(ln 1n(2
+
Na)-ln
ln(2 + a))'J
sin-/
a
ìn (2+c )
womit die Aussage des Satzes
fir
diesen Bereich bewiesen ist'H. Boche von A,Papoulis 211 210
a .18
sm-
ÍI
ln(2l1\
+ka) ka-t
'Ít a k--Ns+2
s(t)
dt>--lsm ll.
7rl
î,l,r,ri,
1 2lt
d.x
)n (x
-
/) ln(x +:2) ')als(t)lü Z
tk.Nun ist aber
t) dr<
J
1 t 1' ro
Ix-t x+2
a --a k =l
2
flir Noa</<(No+1)a
undx>(No +2)a'
alsogiltDa die rechte seite von N unabhåingig ist, ist die Aussage bewiesen. Da nun die
Funktionf
außerdem stetig und beschränkt ist, haben wir!rr,(t)P
dt<æ vp2t.
0
Die erzielten Ergebnisse fassen wir in dem folgenden satz zusarnmen.
9ATZ 2. Die Funktion
f1
ist betiebig oft dffirenzierbar, versclwindet Jilr t <0,gehört zu dem Raum Lp (R), p21,
undeffiilt
aufJerdeml,r"r,(,) -: T
| " t=l
(-1 .¡11r-ka)
a
ln(Z+ka) t-kn
1 1l
srn-
.TEa
j
(il¡+2)a
I
nSlnn a
(ln tn(2
+
Na)-ln
ln(2 + a))'Ðamit ist der Satz bewiesen'
fl l;¿
wir
wollen nun durch eine geeignete variation der F'unktion/
eine neueFunktion konstruieren, die noch
*"it.i*
günstige Eigenschaften besitzt' Es seiUu\*.^
eine beliebige monoton fallende Folge reeller Zalúenmit /' <lund
t
,u.co.
Mit dieser Folge definieren wir eine Funktion k=llim sup
ln ln tr/
>0 Vt eR\a2.
f (r):= | (-l
k
Remerkung. Existieren für die Funktion/zwei Konstanten
c
> 0 und y > 0, so daßlf(t)l<-S /eR
I + lrlv
gilt, so konvergierl fi.ir diese Funktion die unendliche Abtast-Reihe.
Eine weitere Möglichkeit der Vermeidung der in diesem'Abschnitt geschil- derten schwierigkeiten besteht
im
[rbergang zu neuen Abtast-Kemen,Ist
zum Beispiel qr eine beschränkre und stetige Funktionmit Ë lv(¡-&)l<c,
sok=-q existiert die Abtast-Reihe für jede stetige und beschränkte Funktionl
Eine r,reitergehende Diskussion dicscr problcmc ist in [2] urd [3] zu findsn.
Vl€R,
ln(Z+ kn) k=l
Es gilt
(Sr,f)(l)=(S/ú/r)(r) V/e R VNe
['l'Die Funktion
/
ist beliebigoft
differenzierbar.wir
wollen nun zeigen, daß sie auch absolut integrierbar ist. Dazu sei N > 2 beliebig,"rnd es gilt
.;)
J
0 d
:f l,[*,)T.,=
3. DIYERGENZ IM SINNE DER DISTRIBUTIONENTHEORIE
Wir führen ntur einige Grundbegriffe ein. Eine ausfi.ihrliche Darstellung ist in
[4] n
finden. }r'rilØ
sei der lineare Raum aller beliebig oft differenzierbaren/V
l/, (r)ldr
=|
Ik=l ln(2 + kc)
11 H. Boche
$(t) dr
V¡ e RI
llr"(kn)|,
213
für ein
festes þeØ
beschfänkt sein.um also
eine Divergenzaussage im sinne der Dishibutionentheorie zu erhalten, reicht es aus, den forgenden satz zu beweisen.serz
3. zu.iedema>
0 existiert jeweils eine Funktio,f eco(R)
und eireTestfunktion þ
eØ
, so da/Jttf_.:olG*,^,tvl=oo
gilt.
Beweis. Es sei
/
€ Co(R)
und þeØ
beliebig, dann giltG
r,,.¡Þ
=o k=-N f rG"): T_u* I '^i" t-ka ,- *'o(r)
a¡ ==o f ÍGa)þ"(kÃ).
,t=- rV
Dabei ist die Funktion
þ,(,),=*
T o
f
TT,
n a
SIN
=+ ï
þ(x) e''t dx
t)
x-t
wolrl definiert, da aus þ
.Ø
sofort $ ezrlR¡
folgt.wir
wollen nun daran gehen, eine Funktiony eØ
geeignet zu wählen. Mit dieser ist dann dur.cha
r,o,*-f
t,= G ¡t.o,rv =o .2 l(ka)
\y^(ka)
k=_N
eine Folge
von
linearenund
stetigen Funktionarenauf dem Raum
co (R) definiert. Für deren Norm ermittelt manll(Þ",,,.u ll= o denn
N
ll@",.,* llso I
lv"fta)l
H. Boche l0
212
wobei
Funktionen
mit
kompaktem Träger bezeichnet'In Ø fiftren wir die
übliche Topologieein,
das heißt, eine Folgevon
Funktionenist in Ø
genau dannkonvergent, wenn die Träger aller Funktionen der Folge in einem festen beschrän- kten lntervall liegen und dann
in
diesem Intervalldie
Folgemit
samt allen Ableitungen gleichmäßig konvergiert. Der lineare Raum deraú Ø
stetigen und linearen Funktionale sei mitØ
bezeichnet. Die Elemente des RaumesØ
heißenDistributionen bzw, verallgemeinerte Funktionen.
Eine Folge von Distributionen
{Ç},.^
heißt nun genau dann konvergent gegen eine DistributionI,
wenniE
4'0 =r0
YþeØ
gilt. Fi.ihfi man wie üblich den Begriff der Cauchy-Folge von Distributionen ein, so
ku* un
zeigen, daßder
RavmØ mit
dem eingeführten Konvergenzbegriff vollständig ist,Es sei wieder
a>0
beliebig, aber fest. Für jede Funktionf eco(R.)
undalleN>0gilt
ï
Ita
I
sln kn .11 .
s]n-lt -
ta)dt=a Z lf (ko)l'
,Tr,
tA a
J; t-ka. n t-la
oi k=l 0: k+l
t )
a a
d/=
berlicksichtigt wurde. Es sei
nw
þeØ
beliebig, dann ist durchninLçt
-
ka)a ö(r) d/
t-kn
eine Dishibution Gr,o,
f .Ø'
definiert. Wenn nun der Grenzwert der Partial- sunmen der Abtast-Reihe der Funktion/ im
Sinne der Distributionentheorie existieren soll, so muß eine Distribution Go,,eØ'
existieren, so daßji--
G",',rÖ =Go,tþ
YþeØ gilt.
Für ein festes þ.Ø
muß also die Folge{G",",¡0}
". ^
eine Cauchy-Folge bilden. Damit muß aber erst recht die Zahlenfolge: ar:=lGr,o.tþl
rGr,,,¡ù.= Ï_ i rtrtr*,
Ftir die Fourier-Transformierte erhalten wir
ri
V(f ) =
_:- |
rirl.r; e"'*r
¿Tt
'
@1
l ô(#)
e'''d,c2n
1 n
ca _J
ôt"l itxnl
-l
cct)
dx2n exp
n (tn\
---0t ca
\ca./-l
VI€R,
also
ist \t
€'Ø. Es gilt nun weiterhin für alle ft > 0n
kni"
ka\ka
' -_ 2nJ' _; l\y
Í\U" ( (x) nixka t ax
T
-(- ;) n)
eik¡
) *i û't"l
"íxka 6''2ni
a
TCt
-(9 "o,n-fiT û'("r ,'*' ü,
I
was man durch partielle lntegration unmittelbar nachprüft. Die Funktion
rir
ist beliebig oft differenzierbar, und die Ableitungen beliebiger Ordnung sind absolut integrierbar. Damit gilt aufgrund des Lemmas von Riemann-Lebesguehm
l,tl+ æ
Í
a
! v't*¡ '
a
ukø dx 0
woraus
lim
lV,Ga)llkel= cl
lkl+@ 7t
Problem von A' PaPoulis 12
214 Ein
ist trivial. F-ür den umgekehrten Fall betrachten wir eine beliebige stetige Funktion F, welche
flir
k= -
N",-N + 1, ...,1{
die Beziehung F(ka) = sign V"(ka)
erfüllt'fiinì¡l>1/+lgleichNullundfiirallef.WertedurchEinsbeschrânktist.
Mit clieser Fturktion gilt
@r,o,rF
=o f lv"(ko)l<llo,v,",*
ll llFll..ror =llo/v,",'., ll' Unscre Aufgabe besteht nun darin, die Funktion ì{ so auszuwählen' daßlimsuPllÕ",",*ll=*
gilt. Mit
dieser Funktion r'¡rbildet
danndie
MengeD* aller
Funktionenf
.Co(R.) , für dielim sup l@
", o,, I =
-
gilt, eine Residualmenge [5.] im Raum
Co(R)'
Essei/¡
eine beliebige Funktiona¡.ls cler Menge D* , dann gilt
lim sup lÚ r
,",*l,l :
lim sup lG",",nVl='o'
lV-+ø N-rø
womit unser Satz bewiesen ist. Da die Menge D* eine Residualmenge ist, existiert stets eine solche
Funktionl.
Uns verbleibt also nur noch die Aufgabe, die Funktion
y
zu finden',Dazu sei þ
eØ,$#0,
so gewählt, daßO(/)=-0(-l) Vl eR' gilt'
Darausfolgt
fr(x) =-ô(-")
VxeR.
Da die Funktion $ einen kompakten Träger hat, ist$
eine ganze Funktion. Injedem endlichen Intervall der reellen Achse existieren folglich nurendlich
viele Nullstellen der Funktion ô. Et
sei also c >0
einebeliebige zatú,
mit
lô(")lt
0.wir
betrachten nun die Funktionû(")'= ô(*, J vr
€R 'Es gilt
",,=lr(;)l=rôr"rr'o
15 H. Boche 217 und
]*lG r.
".t, Vi='o
Beweis. Es gilt
mit l/
> max(Æo +1,2a-t ,10¡lG*,o.,vl =oË@=
îlt
",lln(z+ ka)=lGr,n.t,vl =oË r-r $$! t
./ln
(2+ka)
aI lv" (ka)l=
,ltnçz
+
Na)k=l>2c,
"/m n ,:++ +tn2a -
+ o(l)> zc,,[n
w1+(lnl0)-rln2a
I + o(1),womit die Aussage des Satzes bereits bewiesen ist. D
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07740 Jena Germany
216 Ein Problem von A, PaPoulis l4
folgt, Es sei weiterhin
c2
einebeliebige reelle zahl'mit 0 <c, .L.Es
existiertT(,
nun ein k,t= lh (Cz) mit
C^
lv
"@)lr_i vk>ka.
Ist nun
//
> Æo +l,
so ergibt sich daraus für die Norm der Funktionale koNU
lv"$a)l+2ac, I
1ll@",',*ll>a
k=ko+l kn k=-ko
=ZCzlnN
+ O(1), womit die Aussage des Satzes bewiesenist. tl
Wir
werdenim
weiteren zeigen, daß man Funktionenmit
äußerst gutenEigenschaften konstruieïen kann,
so
daß deren Abtast-Reiheim
Sinne der Distributionen-Theorie nicht existiert.Es sei ry die im Satz 3 angegebene Funktion aus
Ø'Durch
f,(ù:= L g(t-kn) VreR
k=l
und
(,),=åffi,(+) v,eR
sind zwei auf der positiven reellen Achse konzentrierte, beliebig
oft
differen- zierbare Funktionen definiert. (Die Folge {/u}*.n
ist wie im Abschnitt 2, seite&
definiert.) Weiterhin gilt
,t*/""(r)=o vnelN
und
ï
0
lfr\)l'
d¿ <"o YP>l
Mit diesen Funktionen erhalten wir den folgenden Satz: