• Nu S-Au Găsit Rezultate

View of Ein Problem von A. Papoulis Bezüglich der bandbegrenzten Interpolation

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "View of Ein Problem von A. Papoulis Bezüglich der bandbegrenzten Interpolation"

Copied!
8
0
0

Text complet

(1)

Ioannis K. ArgYros, Emil lon Páváloiu 202

ll.F.A.Pota,Onaniterativealgorithmoforderl'83g"'forsolvingnonlinearequations'

Numer. Funct. Anal' Optimiz' 1' I (1984-1985)' 75-106'

12. T. Yamamoto and X. Chen, Cohvergence donains of certoin iteralive .methods for solving

nonlinear equations,Numet' Funct' Anal' Optimiz' 10' J and 2 (1989)'3748

REVUE D'ANALYSE NUMÉRIQUE BT DE THÉORTE Dtr L'APPROXIMATION Tome XXV[, No 2, 199g, pp. 203_217

Received August 10, 1996 Ioannis K ArgYros

Cameron UniversitY DePartmenl of Mathenatics Lawton, OK73505, U S' A Emil Catinaç and lon Pàvðloiu Institul de Colcul "1:iberiu Popoviciu"

St' RePublicii Nr 37 C P. 68, 3400 Clui-NaPoca, Romania

EI\I PROBLEM VON A. PAPOULIS BEZÜGLICH DER BANDBEGRENZTEN INTERPOLATION

H. BOCIIE

1. ALI,GEMEINE BEMERKUNGEN UND ERGEBNISSE

In

der vorliegenden Arbeit wollen

wir

uns

mit

der folgenden zentraren Fragestellung befassen, die mit dem Abtast-Theorem verknüpft ist:

Gegeben

sei

eine beliebige,

auf der

gesamten reellen 'Achse

definierle

Funktion/und

eine beliebige reelle zahr a > 0. Besitz nun die formal gebildete Abtast-Reihe

a

T

,¡rLçt

_ kn)

f

(ka) a

t-kn

der Funktion

/

irgendeinen Sinn, das heißt: Existiert sie als ein bestimmtes mathematisches Obj ekt?

A.

Papoulis

[1]

beantwortet diese allgemeine Fragestellùng positiv. Er behauptet, daß urch diese Abtast-Reihe eine verallgemeinertã Funktion definiert ist

und

nennt diese

die

bandbegrenzte rnterpolierende

der

Funktion

f mit

der -

Bandgrenze

1.

a

wir

werden nun

in

den Abschnitten2 und 3 zeigen, daß diese Behauptung nicht zutrifft und damit auch ihr Berveis nicht konekt isi.

Dabei werden

wir

uns nicht einmal dieser (viel zu allgemeinen) Aufgabe z.r-È'enden, sondern uns auf fol gende Aufgabenstellung b es chärilien :

wir

betrachten

im

weiteren die Menge co(R) der auf der reellen Achse stetigen und

im

unendlichen verschwindenden Funktionen.

Ist

es möglich, der Abtast-Reihe der Funktion/flir jede Funktion

/

e

co(R)

und für jedes feste a > 0

einen mathematischen Sinn zu unterlegen? (Einen anderen sinn kann ein rein mathematisches Objekt wie die Abtast-Reihe nicht haben,)

AMS Subject Classificarion: 42415

(2)

Ein Problem von A. Papoulis 20s

für

l

:2,

3 erfüllen. Dieses Ergebnis zeigt, daß selbst fi.ir sehr glatte Funktionen

I ec'(R.) *d.f,

sowie alle Ableitungen verschwinden

im

unendlichen) und sogar glatte Fmktionen

Å

rrrlt endlicher Energie

die

Abtast-Reihen

in

allen Pnnkten der Menge R \

az

unbeschränkt divergieien können,

. Die

bisher aufgeführten Ergebnisse geben nur Aufschluß über das punkt_

weise Verhalten der Folge der Partialsummen der AbtastReihe. Im Absclìnitt 3

werden

wir

daran gehen, das Konvergenzverhalten

im

Sinne

der

l)istribu- tionentheorie zu untersuchen.

Die Abtast-Reihe einer Funktion

l.co(R)

existiert

im

sinne der Distri_

butionentheorie genau dann, wenn

für

jedes feste $

(d.h.

fiir jede

Test- funktion) die Folge der Zal:I.en

: ^ ,v sinnG-ro)

!-; rlr'Gò-i-k" o(/)d/

konvergiert.

wir

werden nun aber eine

Fmktion

.fqe

co(R)

und eine Test- fi¡nktion V

konstruieren, so daß

| ø ^ ,v sirr!(r-ko\

j

t'il':oi

[i rl.rtou*) -

v(r)drl=*

gilt.

Damit existiert die Abtast-Reihe der Funktion

I

nicht

im

Sinne dei: Di5tri-

butionentheorie. Wir werden sogar Funkti onen

f5,/u

e Co(R) derart honstruiere¡,

daß wiederum

,lEf('){r¡=o vnelrJ

2.

føeC'(R),

-fø(t)=O für

¡l0und

I

VtfOV d/

<.o

vp e p, oo)

3

i

l

0

gilt und eine Testfi.urktion ry e

Ø

mit

lim sup

ii ri,,r,,*,

sm-

.TE a

(t

-

ks)

yt(t) dt =CO

t-kn

für I = 5, 6 angegeben werden kann.

204 H. Boche

Wir werden diese Frage negativ beantworten. Es ist klar, daß eine negative

Antwort auf

diese Frage auch eine negative

Antwort auf die

allgemeinere Fragestellung beinhaltet.

Als

erstes untersuchen

wir im

Abschnitt

2

das punktrveise Verhalten der obigen Abtast-Reihe, Dazu wählen

wir

ein a >

0

fest und untersuchen

fiir

alle

Furltionen

/

e Cn(R) das Verhalten ihrer Abtast-Reihen in allen Pu¡rkten R.\ aZ, Die Abtast-Reihe der Funktion

/e Co(R)

kann

in

einem beliebigen aber festen Punkt

to

lo e (R \

aZ) ntrl

genau dann existieren' wenn die Folge von Zal'ien

,¡¡Lçto -ka)

2

a

to-fu

im Sinne der Theorie der reellen Zablen konvergiert'

wir

sind nun aber

in

der Lage, konstruktiv eine Funktion

I

e cn(R)

anzugeben, frir die

Í{t)

=

0

für I 5 0 ist und die

lim sup kn

=co v/eR\az

t-ka

i ri,t,*,

srn ,1Í

-

a

(t-

ka)

iL

L k=l

¡,

) erfüllt.

Damit

ist

die Abtast-Reihe der Funktion

I in

allen Punkten der Menge R \

aZ

unbeschränkt divergent, Die Abtast-Reihe der Funktion

f

existiert also

nicht im Sinne der punktweisen Konvergenz.

Durch

einige zusätzliche uberlegungen

sind wir

sogar

in der

Lage, Funktionen

fr, .fr.Co(R)

derart zu konstruieren, daß '

I. fzeC*(R), lr!)=0 flir ¡l0und

!y2Á')tt)=o

v¡ee['J

2. .fs

eC- (R)'

.f

,(t)

= 0 für I

I

0 und

I Vtft>f

dr <

"o

VP e [1' æ)

0

gilt, worin C*(R) die

Menge der beliebig

oft

differerzierbaren Funktionen bezeichnet, und die

I

ì

co V/€R\dZ

lim sup N+ø

-

aIf

(3)

4

206 FL Boche

Alsoselbstfi'irFunktionenmitsolcheinschränkendenEigenschaftenexistiert die Abtast-Reihe nicht im Sinne der Distributionentheorie'

EsentstehtnundieFrage,woderFehlerindenBeweisenvonA'Papoulis liegt. Die Ursache der

Fehleiin

den Beweisen ist die Nichtbeachtung des Sach- verhaltes, daß die formale Faltung zr,veier Distributionen keinen mathematischen Sinnhabenmuß,dasheißtgenauer,dieFaltungrweierDistributionenistnicht immr:rerklärt.Dastrifftinsbesonderedannzu,wenndiemiteinandetztlfaltenden Distributionen keinen kompakten Träger haben [4]'

Gerade unsere

roÅt

uLtionen

sind

sehr einfache Beispiele

für

diesen

sachverhalt, denn die formal gebildete Abtast-Reihe einer Funktion

/

e co(R')

ergibt sich aus der fotmalen Faltung der Distributionen

Ë fþn)õ(t-kã)

k =-ø und

Dazu betrachten wir die Funktion

/ ,2

,'-li)

(

s\'

t r/

I'lt)=e'"'

-t2

u<ltl< qa r,

so7)=1 flir

lrl

<9 wd s"(t)=0 für;<lrl.

Sie ist beliebig oft differenzierbar und dient im weiteren als Basisfunktion

für

alle Konstruktionen, Da

in

diesem Abschnitt a >

0

stets eine feste Zahl, ist, werden wir den lndex a bei der Funktion g. und beim Operator Sf, unterdrücken.

Als erstes betrachten wir nun die Funktion

Í(t):þ,#^s(t-ka) vre

R

Da nur höchstens ein Glied der Reihe von Null verschieden ist,

ist

die Reihe absolut konvergent. Weiterhin ist

f@(t)=i, !^t)-.. s(ù(t-ko) v/€R vne

[,J

fr,

ln(2 +

ka)"

undlÐ

= 0

für I10.

Man sieht sofort ein, daß r¡ncl diese formal gebiideten Abtast-Reihen,haben

im

allgemeinen keinen sinn in

rier I)i stributionentheorie'

2. AUSSAGEN ÜNNN PUNTTWEISE DIVERGENZ DER ABTAST-REIHEN

WirwollenunsnunmitpunktweisenDivergenzaussagenfi.irFunktionenaus

dern Raum Co

(R)

beschäftigen'

E,sseiindiesemAbschnitta>0beliebig'aberfest,undmitdieserna

dehnieren wir eine Menge

aV'.={x

e R.l3k

eZ:x=lø\'

Es sei weite rllln J' e Co

(R)

und N

)

1 eine beliebige natürliche Zabl" Wit wollen mrn das Verhalten der Partialsummen der Abtast-Reihe

Iîm

¡{ù

(¡) =

o

Vn e hl

gilt. Mit der konstruierten Funktion erhalten wir den folgenden Satz:

Snrz L Es seif die oben konstruierte Funktion, dann gilt

a

Z lrn'¡ "¡r!ç

_ ka)

It k=l

t-kn :¡

>

0 Vt eR.\a7.

lim sup

lnlnN

,¡Lç -

kn)

a

Damit gilt natürlich erst recht

(,sil) (ù,+

,t rtr*, t-ka V¡teR

lim sup a

Z ¡rm¡ sln- .n

a

(t

kn

=

co Vt eR,\aZ.

t-kQ

der Funktion/untersuchen.

îE k =l

(4)

7 Ein Problem von A. Papoulis 209 Für die untersuchung des Falles ¡ < -2 führen wir die folgende Hilfsfrmktion

4lx):= - x+ltl x+2 ,

.

x>0

ein. Man überprüft leicht die folgenden Eigenschaften der Funktion r, 2

4(o)=14 lim

r, (x) = |

.( und

l¡l -',

riQ)= *>0

(x +

l/l)' Vx>0.

Damit ist die Funktion

r,

monoton steigend. Es gilt also

121

x

+ltl þl

x

+2

V.r > 0.

Mit dieser Abschätzung erhalten wir

l(s/u,f )

(r)l>1

It

a sln t

srn- .71 I

a J

a

(2+

x)ln(x +2)

dx

2 .11

sln-

a (ln ln(2 + Na)

-

ln ln(2 + a))

Itln

Wir haben also auch für diesen Fall die Aussage des Satzes bewiesen.

Es sei nun t > 0, Es existiert dann eine natÍirliche Za|úÀ/e, so daß

Noa<r<(No+l)a

gilt. Für 1/ > 1/o + 2 haben wir

stn-

a

(s".f) Ø-+

Ð,

-1)o (t

-

ka)

ln(2+kn) t-kã

=sl æl -*1, o ll llo=fr $

I

*rln(2+kn) t-ka

6

H. Boche 208

r*.rT"î$lz

gibt weiterhin eine gewi sse.untere w achstum s schranke an.

Beweis.Ps sei I e-R'

\aV'

beieb\g' Dann gilt fÌlr alle N > 1 -1)u

', Tl

srn-

a (r

-

ka )

(sr"f

)

(,)=l aå

È, ln(Z+

kn)

t-ka

ã11

=

- TLA

Sln--

fI

,{=l

Wir betrachten nun als erstes den

Fall (/

R'

\aZ)

n(ú <

0)' Mit

dieser Einsch- ränkung erhalten wir

r(s,/) r,lr=\f ,r]r\\ å

I

t

1n(2+

ka) t-kn

a1l

11

- T(, sln-

af k=l

ln(2+ ka) \tl+kn

I

n

sin-

îc /

a

Wir wollen nun den Bereich -Z < t

<0

untersuçhen Es gilt

1 t I Vx2o,

ltf

+x

2+ x

und damit erhalten wir

I

q

'fi

l(s"/) (t)ìt;\

SU:I_,îC

a

rt

=-lsln-l nl

a

ln(2+ Nn )

)du=- l1 ulf

(ln 1n(2

+

Na)

-ln

ln(2 + a))'

J

sin-/

a

ìn (2+c )

womit die Aussage des Satzes

fir

diesen Bereich bewiesen ist'

(5)

H. Boche von A,Papoulis 211 210

a .18

sm-

Í

I

ln(2

l1\

+

ka) ka-t

'Ít a k--Ns+2

s(t)

dt

>--lsm ll.

7rl

î,l,r,ri,

1 2lt

d.x

)n (x

-

/) ln(x +:2) ')a

ls(t)lü Z

tk.

Nun ist aber

t) dr<

J

1 t 1' ro

I

x-t x+2

a --a k =l

2

flir Noa</<(No+1)a

und

x>(No +2)a'

alsogilt

Da die rechte seite von N unabhåingig ist, ist die Aussage bewiesen. Da nun die

Funktionf

außerdem stetig und beschränkt ist, haben wir

!rr,(t)P

dt

<æ vp2t.

0

Die erzielten Ergebnisse fassen wir in dem folgenden satz zusarnmen.

9ATZ 2. Die Funktion

f1

ist betiebig oft dffirenzierbar, versclwindet Jilr t <0,gehört zu dem Raum Lp (R), p

21,

und

effiilt

aufJerdem

l,r"r,(,) -: T

| " t=l

(-1 .¡11r-ka)

a

ln(Z+ka) t-kn

1 1l

srn-

.TE

a

j

(il¡+2)a

I

n

Slnn a

(ln tn(2

+

Na)

-ln

ln(2 + a))'

Ðamit ist der Satz bewiesen'

fl l;¿

wir

wollen nun durch eine geeignete variation der F'unktion

/

eine neue

Funktion konstruieren, die noch

*"it.i*

günstige Eigenschaften besitzt' Es sei

Uu\*.^

eine beliebige monoton fallende Folge reeller Zalúen

mit /' <lund

t

,u

.co.

Mit dieser Folge definieren wir eine Funktion k=l

lim sup

ln ln tr/

>0 Vt eR\a2.

f (r):= | (-l

k

Remerkung. Existieren für die Funktion/zwei Konstanten

c

> 0 und y > 0, so daß

lf(t)l<-S /eR

I + lrlv

gilt, so konvergierl fi.ir diese Funktion die unendliche Abtast-Reihe.

Eine weitere Möglichkeit der Vermeidung der in diesem'Abschnitt geschil- derten schwierigkeiten besteht

im

[rbergang zu neuen Abtast-Kemen,

Ist

zum Beispiel qr eine beschränkre und stetige Funktion

mit Ë lv(¡-&)l<c,

so

k=-q existiert die Abtast-Reihe für jede stetige und beschränkte Funktionl

Eine r,reitergehende Diskussion dicscr problcmc ist in [2] urd [3] zu findsn.

Vl€R,

ln(Z+ kn) k=l

Es gilt

(Sr,f)(l)=(S/ú/r)(r) V/e R VNe

['l'

Die Funktion

/

ist beliebig

oft

differenzierbar.

wir

wollen nun zeigen, daß sie auch absolut integrierbar ist. Dazu sei N > 2 beliebig,

"rnd es gilt

.;)

J

0 d

:f l,[*,)T.,=

3. DIYERGENZ IM SINNE DER DISTRIBUTIONENTHEORIE

Wir führen ntur einige Grundbegriffe ein. Eine ausfi.ihrliche Darstellung ist in

[4] n

finden. }r'ril

Ø

sei der lineare Raum aller beliebig oft differenzierbaren

/V

l/, (r)ldr

=

|

I

k=l ln(2 + kc)

(6)

11 H. Boche

$(t) dr

V¡ e R

I

llr

"(kn)|,

213

für ein

festes þ

beschfänkt sein.

um also

eine Divergenzaussage im sinne der Dishibutionentheorie zu erhalten, reicht es aus, den forgenden satz zu beweisen.

serz

3. zu.iedem

a>

0 existiert jeweils eine Funktio,

f eco(R)

und eire

Testfunktion þ

, so da/J

ttf_.:olG*,^,tvl=oo

gilt.

Beweis. Es sei

/

Co

(R)

und þ

beliebig, dann gilt

G

r,,.¡Þ

=

o k=-N f rG"): T_u* I '^i" t-ka ,- *'o(r)

=

=o f ÍGa)þ"(kÃ).

,t=- rV

Dabei ist die Funktion

þ,(,),=*

T o

f

T

T,

n a

SIN

=+ ï

þ(x) e''t dx

t)

x-t

wolrl definiert, da aus þ

sofort $ e

zrlR¡

folgt.

wir

wollen nun daran gehen, eine Funktion

y eØ

geeignet zu wählen. Mit dieser ist dann dur.ch

a

r,o,*-f

t,= G ¡t.o,rv =

o .2 l(ka)

\y

^(ka)

k=_N

eine Folge

von

linearen

und

stetigen Funktionaren

auf dem Raum

co (R) definiert. Für deren Norm ermittelt man

ll(Þ",,,.u ll= o denn

N

ll@",.,* llso I

lv

"fta)l

H. Boche l0

212

wobei

Funktionen

mit

kompaktem Träger bezeichnet'

In Ø fiftren wir die

übliche Topologie

ein,

das heißt, eine Folge

von

Funktionen

ist in Ø

genau dann

konvergent, wenn die Träger aller Funktionen der Folge in einem festen beschrän- kten lntervall liegen und dann

in

diesem Intervall

die

Folge

mit

samt allen Ableitungen gleichmäßig konvergiert. Der lineare Raum der

aú Ø

stetigen und linearen Funktionale sei mit

Ø

bezeichnet. Die Elemente des Raumes

Ø

heißen

Distributionen bzw, verallgemeinerte Funktionen.

Eine Folge von Distributionen

{Ç},.^

heißt nun genau dann konvergent gegen eine Distribution

I,

wenn

iE

4'0 =

r0

gilt. Fi.ihfi man wie üblich den Begriff der Cauchy-Folge von Distributionen ein, so

ku* un

zeigen, daß

der

Ravm

Ø mit

dem eingeführten Konvergenzbegriff vollständig ist,

Es sei wieder

a>0

beliebig, aber fest. Für jede Funktion

f eco(R.)

und

alleN>0gilt

ï

It

a

I

sln kn .11 .

s]n-lt -

ta)

dt=a Z lf (ko)l'

,

Tr,

tA a

J; t-ka. n t-la

oi k=l 0: k+l

t )

a a

d/=

berlicksichtigt wurde. Es sei

nw

þ

beliebig, dann ist durch

ninLçt

-

ka)

a ö(r) d/

t-kn

eine Dishibution Gr,o,

f .Ø'

definiert. Wenn nun der Grenzwert der Partial- sunmen der Abtast-Reihe der Funktion

/ im

Sinne der Distributionentheorie existieren soll, so muß eine Distribution Go,,

eØ'

existieren, so daß

ji--

G",',rÖ =

Go,tþ

eØ gilt.

Für ein festes þ

muß also die Folge

{G",",¡0}

". ^

eine Cauchy-Folge bilden. Damit muß aber erst recht die Zahlenfolge

: ar:=lGr,o.tþl

r

Gr,,,¡ù.= Ï_ i rtrtr*,

(7)

Ftir die Fourier-Transformierte erhalten wir

ri

V(f ) =

_:- |

rirl.r; e"'

*r

¿Tt

'

@

1

l ô(#)

e'''d,c

2n

1 n

ca _J

ôt"l itxnl

-l

cct

)

dx

2n exp

n (tn\

---0t ca

\ca./

-l

VI

€R,

also

ist \t

€'Ø. Es gilt nun weiterhin für alle ft > 0

n

kni"

ka\ka

' -_ 2nJ' _; l\y

Í

\U" ( (x) nixka t ax

T

-(- ;) n)

e

ik¡

) *i û't"l

"íxka 6''

2ni

a

TCt

-(9 "o,n-fiT û'("r ,'*' ü,

I

was man durch partielle lntegration unmittelbar nachprüft. Die Funktion

rir

ist beliebig oft differenzierbar, und die Ableitungen beliebiger Ordnung sind absolut integrierbar. Damit gilt aufgrund des Lemmas von Riemann-Lebesgue

hm

l,tl+ æ

Í

a

! v't*¡ '

a

ukø dx 0

woraus

lim

lV,

Ga)llkel= cl

lkl+@ 7t

Problem von A' PaPoulis 12

214 Ein

ist trivial. F-ür den umgekehrten Fall betrachten wir eine beliebige stetige Funktion F, welche

flir

k

= -

N",-N + 1, ...,

1{

die Beziehung F(ka) = sign V

"(ka)

erfüllt'

fiinì¡l>1/+lgleichNullundfiirallef.WertedurchEinsbeschrânktist.

Mit clieser Fturktion gilt

@r,o,rF

=

o f lv"(ko)l<llo,v,",*

ll llFll..ror =llo/v,",'., ll' Unscre Aufgabe besteht nun darin, die Funktion ì{ so auszuwählen' daß

limsuPllÕ",",*ll=*

gilt. Mit

dieser Funktion r'¡r

bildet

dann

die

Menge

D* aller

Funktionen

f

.Co(R.) , für die

lim sup l@

", o,, I =

-

gilt, eine Residualmenge [5.] im Raum

Co(R)'

Es

sei/¡

eine beliebige Funktion

a¡.ls cler Menge D* , dann gilt

lim sup lÚ r

,",*l,l :

lim sup lG",",n

Vl='o'

lV-+ø N-rø

womit unser Satz bewiesen ist. Da die Menge D* eine Residualmenge ist, existiert stets eine solche

Funktionl.

Uns verbleibt also nur noch die Aufgabe, die Funktion

y

zu finden'

,Dazu sei þ

eØ,$#0,

so gewählt, daß

O(/)=-0(-l) Vl eR' gilt'

Daraus

folgt

fr(x) =

-ô(-")

Vx

eR.

Da die Funktion $ einen kompakten Träger hat, ist

$

eine ganze Funktion. Injedem endlichen Intervall der reellen Achse existieren folglich nur

endlich

viele Nullstellen der Funktion ô

. Et

sei also c >

0

eine

beliebige zatú,

mit

lô(")l

t

0.

wir

betrachten nun die Funktion

û(")'= ô(*, J vr

€R '

Es gilt

",,=lr(;)l=rôr"rr'o

(8)

15 H. Boche 217 und

]*lG r.

".t, V

i='o

Beweis. Es gilt

mit l/

> max(Æo +1,2a-t ,10¡

lG*,o.,vl =oË@=

îlt

",lln(z+ ka)

=lGr,n.t,vl =oË r-r $$! t

./ln

(2+ka)

a

I lv" (ka)l=

,ltnçz

+

Na)k=l

>2c,

"

/m n ,:++ +tn2a -

+ o(l)

> zc,,[n

w

1+(lnl0)-rln2a

I + o(1),

womit die Aussage des Satzes bereits bewiesen ist. D

LITERATURVERZEICHNIS

L A. Papoulis, The Fourier Integral and lts Applications,McGraw-Hill Book Cornpany, l.Iew York"

1962.

2.P. Butzer, W. Splettstôßer and R. Stens, 7åe Sanpling Theorem and Linear Prediction fu Signal Analysis, Jahresbericht d. Ðeutschen Mathematiker Vereinigung 90 (1988), 1-70.

3. P. Butzer and R. Stens, Sampling Theory J'or not necessarily band-linited I"unctíons, SJAM Review 34, I (1992).

4. H. Triebel, Höhere Analysrs, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1972.

5. W. Rudin, Functional Anaþl's, McGlaw-Hill Book Company, New York, 1973.

Received January 10, 1996. I'akulttit f)r Mathenatik und Inforrnatik Malhematisch es [ns tit ut Friedrich Schill er Univer.sitcit Jeno

07740 Jena Germany

216 Ein Problem von A, PaPoulis l4

folgt, Es sei weiterhin

c2

einebeliebige reelle zahl'mit 0 <

c, .L.Es

existiert

T(,

nun ein k,t= lh (Cz) mit

C^

lv

"@)lr_i vk>ka.

Ist nun

//

> Æo +

l,

so ergibt sich daraus für die Norm der Funktionale koN

U

lv

"$a)l+2ac, I

1

ll@",',*ll>a

k=ko+l kn k=-ko

=ZCzlnN

+ O(1), womit die Aussage des Satzes bewiesen

ist. tl

Wir

werden

im

weiteren zeigen, daß man Funktionen

mit

äußerst guten

Eigenschaften konstruieïen kann,

so

daß deren Abtast-Reihe

im

Sinne der Distributionen-Theorie nicht existiert.

Es sei ry die im Satz 3 angegebene Funktion aus

Ø'Durch

f,(ù:= L g(t-kn) VreR

k=l

und

(,),=åffi,(+) v,eR

sind zwei auf der positiven reellen Achse konzentrierte, beliebig

oft

differen- zierbare Funktionen definiert. (Die Folge {/u

}*.n

ist wie im Abschnitt 2, seite

&

definiert.) Weiterhin gilt

,t*/""(r)=o vnelN

und

ï

0

lfr\)l'

d¿ <

"o YP>l

Mit diesen Funktionen erhalten wir den folgenden Satz:

S¡rz

4. Für die Funktionen

f,, f,

und

y eØ

gidt

"l$lG,v,

o,¡'Vl=ó

Referințe

DOCUMENTE SIMILARE

valle mit den Eigenschaften (i) und (ii) definiert sind, Weiterhin sei G: R2 -' R eine Funktion, die auf jedem beschränkten eindimensionalen Intervall aus R2, das

Es sei M e'ine offene Menge aon zauiter I(øtcgorie und, F eine Menge nøch unten loølbstet'iger rat'ionøl s-honuexer Fwnhtionen,.. d.i,e nach oben þunlttue,ise

Den infinitesimalen erzeugendel Qpqr.atol voy bezcicúnen-rvir mit Ao ¡rnd seinen Definitionsbereich mit D(A¿).. 72 WALTER KOHNEN I SATURATIONSSATZE FUR N.PARAMETRIGE

Die matrixsche Bezeichnung der Kettenbrüche zeigt, dass die beiden Sätze nichts anderes als die Lösungen vou zwei partikulären Problemeu ,sind, durch die Konstruktion

Da viele nãutiri&#34;totrgen von&#34;It&#34;rätioirsrrotschriften zur Berechnung von Einschließ- ungen ftir iosungen bestimmter Probleme benutzt wefden, wollen wir

In dieser Arbeit wird ein analoges Maximumprinzip bewiesen, wobei die Ableitungen der Ziel-.. funktion und del in den Ungleichungsnebenbeclingungen

Dualitätstheorie für konvexe Optimierungsaufgaben mit Nebenbedin- 'gungen, als auch eine Dualitätstheorie für die verallgemeinerte Fenchelsche Aufgabe erhalten

Dualitätstheorie für konvexe Optimierungsaufgaben mit Nebenbedin- 'gungen, als auch eine Dualitätstheorie für die verallgemeinerte Fenchelsche Aufgabe erhalten kann.. [8,