CAPITOLE SPECIALE DE GEOMETRIE Suport de curs, Master I

Prof. Dr. Mihai ANASTASIEI

CAPITOLE SPECIALE DE GEOMETRIE Suport de curs, Master I

Ia¸si–2009

Cuprins

Prefat¸˘a vii

1 Teoria Hodge-de Rham cu aplicat¸ii ˆın electromagnetism 1 1.1 Teorema lui Stokes. Forme exterioare. Diferent¸iala exterioar˘a 1

1.2 Bazele teoriei Hodge-de Rham . . . 9

1.3 Operatorul Hodge∗ . . . 12

1.4 Aplicat¸ie ˆın teoria electromagnetismului . . . 23

1.5 Ecuat¸iile Maxwell exprimate cu forme diferent¸iale . . . 27

2 Ecuat¸ii de structur˘a pentru hipersuprafet¸e. Aplicat¸ii 31 2.1 Hipersuprafet¸e ˆın spat¸iul euclidianEⁿ⁺¹ . . . 31

2.2 Derivata covariant˘a pe o hipersuprafat¸˘a . . . 35

2.3 Ecuat¸ii de structur˘a Maurer-Cartan . . . 41

2.4 Teorema Gauss-Bonnet pentru suprafet¸e . . . 50

Bibliografie 54

v

Prefat¸a

Acest text a fost scris pentru a servi ca baz˘a a cursului opt¸ional ”Capi- tole speciale de geometrie” de la programele de master ”Structuri matem- atice fundamentale” ¸si ”Didactica Matematicii”, prevazut pentru anul I Master semestrul al II-lea.

Am ales capitole care s˘a completeze cursul de ”Variet˘at¸i diferent¸iabile”

din anul III licent¸˘a ¸si care totodat˘a s˘a constituie o introducere la cursul general, obligatoriu, de ”Geometrie diferent¸ial˘a” prev˘azut in semestrul I, anul II Master.

Not¸iunea care transgreseaz˘a cele doua capitole este aceea de form˘a diferent¸ial˘a, util˘a de asemenea in teoria integr˘arii, in teoria ecuat¸iilor cu derivate part¸iale ¸si in formularea unor modele matematice ˆın fizica (electromagnetism, teorii gauge).

In Capitolul I construim pe o cale direct˘a algebra exterioar˘a a formelor diferent¸iale pe o varietate diferent¸iabil˘a ¸si operatorul de diferent¸iere exterioar˘a pe care-l leg˘am de operatorii clasici :gradient, rotor, divergent¸˘a.

Introducem grupurile de coomologie deRham, numerele Betti ¸si car- acteristica Euler-Poincare. Considerand ¸si un produs scalar (metric˘a Riemannian˘a) definim operatorul * Hodge, codiferent¸iala exterioar˘a ¸si Laplacianul pentru forme de grad oarecare. Stabilim propriet˘at¸i, for- mule de calcul ¸si enunt¸˘am teorema de descompunere a lui Hodge.

In sect¸iunea dedicat˘a aplicat¸iilor in electromagnetism, scriem ecuat¸iile Maxwell clasice in context relativist (dimensiune 4) ¸si le exprim˘am apoi

vii

cu ajutorul operatorilor de diferent¸iere ¸si codiferent¸iere.

In Capitolul al II-lea, cu titlul ”Ecuat¸ii de structur˘a pentru hipersuprafet¸e.

Aplicat¸ii” incepem prin a prezenta primele elemente din teoria hiper- suprafet¸elor inRⁿ⁺¹ ( definit¸ie, hiperspat¸iu tangent,normal˘a, forma I-a fundamental˘a) intr-o form˘a paralel˘a cu cea de prezentare a suprafet¸elor la cursul de ”Geometria curbelor ¸si suprafet¸elor ” din anul II, licent¸˘a.

Introducem apoi derivata covariant˘a pe hipersuprafat¸˘a prin proiect¸ia pe hiperspat¸iul tangent a derivatei covariante dinRⁿ⁺¹. Simultan obt¸inem

¸si forma a II-a fundamental˘a. Deducem formulele Gauss ¸si Weingarten precum ¸si condit¸iile de integrabilitate date de ecuat¸iile lui Gauss ¸si Codazzi-Mainardi.

In continuare introducem ecuat¸iile de structur˘a pentruRⁿ⁺¹¸si pen- tru o hipersuprafat¸˘a. Acestea din urm˘a includ curbura hipersuprafet¸ei.

Pentrun = 2 ecuat¸iile de structur˘a conduc la o expresie special˘a pentru curbura Gaussian˘a, expresie util˘a in demonstrat¸ia formulei lui Gauss -Bonnet, expus˘a in finalul capitolului.

Textul acesta va fi completat in cadrul seminariilor cu calcule de- taliate ¸si explicat¸ii care s˘a asigure o int¸elegere optim˘a a cursului.

Ia¸si, ianuarie 2009 Prof. dr. Mihai Anastasiei

1

Teoria Hodge-de Rham cu aplicat¸ii ˆın electromagnetism

1.1. Teorema lui Stokes. Forme exterioare. Diferent¸iala ex- terioar˘a

Fie C o regiune (domeniu) ˆın planul (x, y) i.e. ˆın R² cu frontiera ∂C (o curb˘a).

ˆIn manualele de Analiz˘a matematic˘a se arat˘a c˘a ˆın anumite ipoteze are loc:

Teorema 1.1.1 (formula lui Green).

Z

∂C

P(x, y)dx+Q(x, y)dy = Z Z

C

µ∂Q(x, y)

∂x −∂P(x, y)

∂y

¶ dxdy.

FieA =P(x, y)dx+Q(x, y)dyo 1-form˘a ¸sida= µ∂Q

∂x −^∂P_∂y

¶ dxdy, 2-forma obt¸inut˘a din A prin operat¸ia d de diferent¸iere exterioar˘a).

Cu aceste notat¸ii teorema lui Green se poate rescrie ˆıntr-o form˘a care ˆın alte contexte se nume¸steformula lui Stokes.

Teorema 1.1.2 (Formula lui Stokes).

Z

∂C

= Z Z

C

dA.

1

Aceast˘a formul˘a are loc ˆıntr-un cadru foarte general pe care-l schit¸˘am ˆın continuare sub form˘a de pa¸si de la particular la general.

Pasul 1. ˆInlocuimR² cu Rⁿ cu coordonatele (x¹, . . . , xⁿ). Gˆındim coordonate xⁱ : Rⁿ → R,(x¹, . . . , xⁱ, . . . , xⁿ) → xⁱ, i = 1, . . . , n. ˆIn formula general˘a df = _∂x^∂f1dx¹ +. . .+ _∂x^∂fndxⁿ expresia dxⁱ este exact diferent¸iala funct¸iei coordonat˘a xⁱ. Scriem df = P_n

i=1 ∂f

∂xⁱdxⁱ sau mai scurtdf = _∂x^∂fidxⁱ (convenim ca s˘a se sumeze dup˘a indicii care apar sus

¸si jos ¸si nu vom mai scrie simbolulP

) ¸si avem un exemplu de 1-form˘a pe Rⁿ.

ˆIn general, A = P_n

i=1a_i(x¹, . . . , xⁿ)dxⁱ = a_i(x)dxⁱ este o 1-form˘a pe Rⁿ.

Pe mult¸imea dx¹, dx², . . . , dxⁿ definim o operat¸ie deprodus exterior notat˘a prin ”∧” cu propriet˘at¸ile:

- asociativitatea, distributivitatea fat¸˘a de adunare, omogen˘a ˆın ra- port cu funct¸iile ¸sianticomutativ˘a.

Observat¸ia 1.1.1. Din anticontinuitatea rezult˘a c˘a produsele cu cel put¸in doi factori egali se anuleaz˘a. Avem deci produsele:

dx¹, . . . , dxⁿˆın num˘ar den,

dx¹∧dx², dx¹∧dx³, . . . dxⁿ⁻¹∧dxⁿ pe scurt dxⁱ∧dx^j cu i < j ˆın num˘ar de C_n²,

dxⁱ¹ ∧dxⁱ² ∧. . .∧dx^ip cu i₁ < i₂ < . . . < i_pˆın num˘ar de C_n^p

dx¹¹ ∧dxⁱ¹ ∧. . .∧dxⁱⁿ⁻¹ cui1 < i2 < . . . < in−1ˆın num˘ar de C_nⁿ⁻¹ =n dx¹∧dx²∧. . .∧dx¹− un singur produs.

Consider˘am mult¸imea combinat¸iilor liniare formule formate cu aceste produse cu coeficient¸i funct¸ii pe Rⁿ. Se obt¸ine un modul finit generat peste inelul C^∞(Rⁿ) al funct¸iilor pe Rⁿ.

Este avantajos s˘a consider˘am funct¸iile pe Rⁿca 0-forme ¸si s˘a scriem f ∧dx^k := f dx^k ¸si atunci modulul de mai sus s˘a-l privim ca spat¸iu liniar peste R. Produsul exterior definit init¸ial numai pe diferent¸ialele {dx¹, . . . , dxⁿ} se poate extinde natural pentru oricare dou˘a elemente din spat¸iul liniar al combinat¸iilor formale descris mai sus. Combinat¸iile de factori omogeni de exemplu cu produse de pdiferentiale, se numesc

1.1. Teorema lui Stokes. Forme exterioare. Diferent¸iala exterioar˘a 3

p-forme. Avem:

B =X

i<j

b_ijdxⁱ∧dx^j = 1 2

Xn

i=1

b_ijdxⁱ∧dx^j = 1

2b_ijdxⁱ∧dx^j cu b_ji =−b_ij. Egalitatea a doua rezult˘a din anticomutativitate.

C = X

i1<i2<...<ip

C_i1i2...ipdxⁱ¹ ∧. . .∧dx^ip = 1

p!C_i1i2...ipdxⁱ¹ ∧. . .∧dx^ip cuCi1i2...ip factori totali antisimetrici este o p-form˘a

a(x)dx¹∧dx²∧. . . dxⁿ−on−form˘a.

Mult¸imea p-formelor are structur˘a de spat¸iu liniar ¸si se va nota prin Λ^p(Rⁿ). Dimensiunea sa este C_n^p ¸si o baz˘a este format˘a din produsele dxⁱ¹ ∧. . .∧dx^ip cu i₁ < i₂ < . . . < i_p.

Mult¸imea tuturor formelor Λ(Rⁿ) apare ca sum˘a direct˘a:

Λ(Rⁿ) = Λ⁰(Rⁿ)⊕Λ¹(Rⁿ)⊕. . .⊕Λ^p(Rⁿ)⊕. . .⊕Λⁿ(Rⁿ)

¸si observam anterior c˘a are structur˘a de spat¸iu liniar. Produsul exterior se poate extinde ˆın mod evident la oricare dou˘a elemente (forme) din Λ(Rⁿ) cu p˘astrarea propriet˘at¸ilor de asociativitate, de distributivitate fat¸˘a de sum˘a, omogeneitatea ˆın raport cu numerele reale iar anticomu- tativitatea cap˘at˘a forma general˘a: ω∧θ = (−1)^pqθ∧ω unde ω este o p-form˘a ¸si θ este o q-form˘a. Numerele p¸si q se mai numesc ¸si gradele celor dou˘a forme. A¸sadar avem:

Teorema 1.1.3. (Λ(Rⁿ),+,·R,Λ) este o algebr˘a necomutativ˘a numit˘a algebra (exterioar˘a) a formelor exterioare pe Rⁿ.

Pasul 2. Trecem de la Rⁿ la o varietate diferent¸ial˘a M de dimen- siune n. Definim mai ˆıntˆai forme locale pe M. Pe varietatea M avem un atlas de hart¸i locale. Fie (U, ϕ) un element al acestui atlas. Deci U este deschis ˆın M ¸si ϕ:U → ϕ(U)⊂ Rⁿ este un heomeomorfism prin care peU se introduc coordonate adic˘a pentru orice punct x∈U avem

ϕ(x) = (x¹, . . . , xⁿ) ∈ Rⁿ. Dat˘a o funct¸ie f : U →R, spunem c˘a este diferent¸iabil˘a dac˘a f ◦ϕ⁻¹ : ϕ(U) → R este diferent¸iabil˘a ¸si definim (df)(x) = d(f◦ϕ⁻¹)(ϕ(x)). ˆIn particular, pentru funct¸iile coordonate xⁱ :U →R,x→xⁱ ∈R obt¸inem diferent¸ialele dxⁱ.

Cu aceste diferent¸iale putem proceda ca mai sus ¸si obt¸inem algebra exterioar˘a a formelor peU ⊂M notat˘a prin Λ(U) = Λ⁰(U)⊕Λ¹(U)⊕ . . .⊕Λ^p(U). . .⊕Λⁿ(U).

O p-form˘a se scrie ca ¸si mai sus:

ω = 1

p!ωi1...ipdxⁱ ∧. . .∧dx^ip

cu coeficient¸ii ω_i1...ip total antisimetrici ˆın indicii i₁. . . i_p (schimbarea pozit¸iei a oric˘aror doi indici schimb˘a semnul lui ω_i1...ip.

Construct¸ia se poate efectua pentru fiecare domeniu de hart˘a local˘a.

Ne punem problema ce se ˆıntˆampl˘a pe intersect¸ii de domenii de h˘art¸i locale.

Dac˘a ϕ(x) = (x¹, . . . , xⁿ) ¸siψ(x) = (ex¹, . . . ,exⁿ), leg˘atura ˆıntre cele dou˘a sisteme de coordonate este dat˘a deψ◦ϕ⁻¹ :ϕ(U∩V)→ψ(U∩V) : (1.1.1) xeⁱ =xeⁱ(x¹, . . . , xⁿ), rang

µ∂exⁱ

∂x^j

¶

=n.

Rezult˘a imediat

(1.1.2) dexⁱ = dexⁱ

dx^kdx^k.

Fie o 2-form˘abijdxⁱ∧dx^j peU ¸si o 2-form˘aebijdxⁱ∧dex^j peV. PeU∩V vom avea, folosind (1.1.2):

ebijdexⁱ∧dex^j =ebij

∂exⁱ

∂x^k

∂ex^j

∂x^hdx^k∧dx^h

¸si deci coincident¸a cu bijdx^k∧dx^h are loc dac˘a ¸si numai dac˘a (1.1.3) b_ij =eb_ij∂xeⁱ

∂x^k

∂xe^j

∂x^h.

1.1. Teorema lui Stokes. Forme exterioare. Diferent¸iala exterioar˘a 5

A¸sadar dac˘a are loc (1.1.3) cele dou˘a 2-forme coincid pe U ∩V ¸si ˆımpreun˘a definesc o 2-form˘a peU∪V.Dac˘a ad˘aug˘amW pe care definim bbijdbxⁱ∧dbx^j cu

(3⁰) b_ij =bb_ij∂bxⁱ

∂x^k

∂xb^j

∂x^k,

avem a 2-form˘a definit˘a peU∪W¸si dac˘abbij satisface o condit¸ie similar˘a cu (3) o putem defini peV ∪W ¸si deci avem o 2-form˘a pe U∪V ∪W ¸si putem continua pˆan˘a g˘asim o 2-form˘a pe M pentru c˘a M =S

α∈AαU, {(U_α, ϕ_α)_α∈A} atlas pe M. A¸sadar ˆın general o 2-form˘a pe M este un set de funct¸ii {b_ij,eb_ij,bb_ij, . . . ,} definite pe domenii de h˘art¸i locale, funct¸ii legate pe intersect¸ii de formule de tip (1.1.3). Similar putem defini p-formele cu p = 1,2, . . . , n ¸si definind operat¸iile de adunare, ˆınmult¸irea cu scalari ¸si ˆınmult¸irea exterioar˘a local (prin reducere la U ⊂ M) obt¸inem algebra exterioar˘a a formelor pe M notat˘a Λ(M) = Λ⁰(M)⊕Λ¹(M)⊕. . .⊕Λ^m(M). O p-form˘aω ∈Λ^p(M) va fi cunoscut˘a printr-o reprezentare local˘a a ei ω= _p!¹ωi1i2...ipdxⁱ∧. . .∧dx^ip, iar ˆıntr-o alt˘a hart˘a local˘a vom avea ω= _p!¹ωe_j1...jpdbx^j1 ∧. . .∧dbx^jp cu

ω_i1...ip =ωe_j1...jp∂ex^j1

∂xⁱ

∂xe^j2

∂xⁱ² . . .∂ex^jp

∂x^ip.

Operatorul de diferent¸iere exterioar˘a (diferent¸ala exterioar˘a) Operatorul de diferent¸iere exterioar˘adeste definit pe algebra Λ(M), aplic˘a o form˘a diferent¸ial˘a de grad pˆıntr-o form˘a diferent¸ial˘a de grad q+ 1 ¸si are propriet˘at¸ile:

(i) Dac˘a forma ωse anuleaz˘a pe U ⊂M, atunci ¸si dω se anuleaz˘a pe U (d are caracter local).

(ii) d este R-liniar:

d(ω+θ) = dω+dθ dkω=kdω, k ∈R.

(iii) Dac˘a ω este de grad p,

d(ω∧θ) =dω∧θ+ (−1)^pω∧dθ.

(iv) d◦d= 0 (d² = 0).

Exist˘a d: pentru ω = _p!¹ω_11...ipdxⁱ¹ ∧ . . . ∧ dx^ip definim dω =

1

p!dω_i1...ip∧dxⁱ¹ ∧. . .∧dx^ip. Rezult˘a: dω are grad p+ 1.

(i) dac˘a ω_i1...ip = 0, pe U ⊂M clar c˘a dω= 0 pe U. (ii) este evident˘a.

(iii) se demonstreaz˘a prin induct¸ie dup˘a p.

p= 1 ω=ω_idxⁱ, θ= 1

k!θ_j1...jkdxⁱ¹∧. . .∧dx^jk. Coeficient¸ii formei ω∧θ suntP

σ(i)σ(j1)<...<σ(jk)ω_σ(i)θ_{σ(j1)...σ(jk)} sau ω∧ θ = _1!k!¹ ω_iθ_j1...jkdxⁱ∧. . .∧dx^jk.Avem:

d(ω∧θ) = 1

k!d(ωiθj1...jk)∧dxⁱ∧dx^j1 ∧. . .∧dx^jk =

= 1

k!dωi∧dxⁱ∧dx^j1 ∧. . .∧dx^jkθj1...jk + +1

k!ωidθj1...jk ∧dxⁱ∧dx^j1 ∧. . .∧dx^jk =

= dω∧θ−ω∧dθ=dω∧θ+ (−1)¹ω∧dθ.

Acela¸si calcul cu grad ω=p. Apar pschimb˘ari de ordine adic˘a (−1)^p. (iv) d◦d=d² = 0 se demonstreaz˘a prin induct¸ie.

q= 0, ω=f, df este 1-form˘a df = ∂f

∂xⁱdxⁱ q= 1, d(df) = d

µ∂f

∂xⁱ

¶

∧dxⁱ = ∂²f

∂x^j∂xⁱdx^j∧dxⁱ = µ ∂²f

∂x^j∂xⁱ − ∂²f

∂xⁱ∂x^j

¶

dx^j∧dxⁱ = 0

1.1. Teorema lui Stokes. Forme exterioare. Diferent¸iala exterioar˘a 7

pentru c˘a derivatele de ordin 2 comut˘a.

Pentru p oarecare d(dω) = 0 conform definit¸ei formei dω, pro- priet˘at¸ii (iii) ¸si condit¸ieid² = 0 pentruq= 1 i.e. d(dxⁱ) = 0, ddω_i1...ωp = 0.

Operatorul d cu propriet˘at¸ile de msi sus este unic ˆın sensul c˘a dac˘a d⁰ este un alt operator cu propriet˘at¸ile de mai sus care coincide cu d pe 0-forme, din cele patru propriet˘at¸i rezult˘a c˘a el coincide cu d. ˆIn adev˘ar, se obt¸ine pentru d⁰ω aceea¸si expresie ca pentrudω.

Revenim la R³:

- orice funct¸ie scalar˘a f(x, y, z) este o 0-form˘a;

- df = ^∂f_∂xdx+ ^∂f_∂ydy+^∂f_∂zdz este o 1-form˘a numit˘a ¸si gradientul lui f.

- pentru a 1-form˘a ω =P dx+Qdy+Rdz, α =dω este a 2-form˘a numit˘a ¸si rotor:

dω = (Pxdx+Pydy+Pzdz)∧dx+ (Qxdx+Qydy+Qzdz)∧dy +(R_zdx+R_ydy+R_zdz)∧dz =

= (Q_x−P_y)dx∧dy+ (R_y−Q_z)dy∧dz+ (P_z−R_x)dz∧dx.

Pentru orice 2-form˘a α, α=Adx∧dy+Bdy∧dz+Cdz∧dx, β =dα este a 3-form˘a numit˘a ¸si divergent¸˘a:

β = ∂A

∂zdz∧dx∧dy+ ∂B

∂xdx∧dy∧dz +∂C

∂ydy∧dz∧dx

=

µ∂A

∂z + ∂B

∂x +∂C

∂y

¶

dx∧dy∧dz.

Observat¸ia 1.1.2. Pentru a obt¸ine o form˘a mai simetric˘a a divergent¸ei trebuie luat α = Ady ∧ dz +Bdz ∧ dx + Cdx ∧ dy ¸si atunci β =

³∂A

∂x + ^∂B_∂y +^∂C_∂z

´

dx∧dy∧dz.

Din d² = 0 rezult˘a:

rot(gradf)≡0 div (rotω)≡0.

Alternativ aceste not¸iuni se pot introduce astfel:

Consider˘am operatorul Hamilton ∇ =

³∂

∂x,_∂y^∂,_∂z^∂

´

ca operator

”vectorial”. Si atunci definim:

gradf =∇f =

³∂f

∂x,^∂f_∂y,^∂f_∂z

´

; ca un cˆamp vectorial pe R³. Pentru un vector X = (P, Q, R) peR³ definim:

divX =∇ ·X = ∂P

∂x +∂Q

∂y + ∂R

∂z (produs scalar)

rotX =∇ ×X = (R_y −Q_z, P_z−R_x, Q_x−P_y). (produs vectorial) Se verific˘a prin calcul direct

div (rotX) = 0 rot(gradf)≡0.

Teorema lui Stokes: R

∂Cω = R

Cdω general˘a, pentru n-dimensiuni, cont¸ine pe lˆang˘a teorema lui Green ¸si celelalte teoreme din calculul integral.

ˆIn R²: C o regiune plan ¸si ∂C frontiera ei.

ω o 1-form˘a: teorema lui Stokes se reduce la teorema lui Green.

ˆIn R³: (i) R

∂Sω=R

Sdω cu S suprafat¸˘a.

Vectorial:

Z

∂S=C

P dx+Qdy+Rdz= Z

S

(R_y −Q_z)dydz +(P_z−R_x)dzdx+ (Q_x−P_y)dxdy.

(se nume¸ste formula lui Stokes ˆın [MN]) i) Fie K un corp ˆın R³ ¸si S suprafat¸a frontier˘a.

Z

S

F dS = Z

K

rotF dK

undedSeste element de supafat¸˘a ¸sidK este element de volum (formula lui Gauss-Ostrogradski ˆın [MN]). Echivalent,

1.2. Bazele teoriei Hodge-de Rham 9

Z

S

P dydz+Qdzdx+Rdxdy= Z Z Z

K

µ∂P

∂x +∂Q

∂y + ∂R

∂z

¶

dxdydz.

Dac˘a introducem −→n normal la S ¸si −→

V = (P, Q, R) se poate ar˘ata c˘aRRR

Kdiv−→

V dxdydz=RR

S

−

→V · −→n dS.

Observat¸ia 1.1.3. Formula lui Stokes cont¸ine formulele de leg˘atur˘a ˆıntre integrale curbilinii, de suprafat¸˘a ¸si de volum studiate ˆın cursurile

de calcul integral.

1.2. Bazele teoriei Hodge-de Rham

Fie M o varietate diferent¸ial˘a, Λ(M) algebra ei exterioar˘a ¸si d opera- torul de diferent¸iere exterioar˘a.

Definit¸ia 1.2.1. O form˘a β se nume¸ste ˆınchis˘a dac˘a dβ = 0. Forma β se nume¸ste exact˘a dac˘a exist˘a αˆıncˆat β =dα.

Propozit¸ia 1.2.1. Orice form˘a exact˘a este ˆınchis˘a.

Demonstrat¸ie. β =dα ⇒dβ =d²α= 0 (d² = 0)!

Reciproca este numai local adev˘arat˘a ¸si este cunoscut˘a caLema lui Poincar´e. Dat˘a o p-form˘a ˆınchis˘a α ∈ Λ^p(U) cu U ⊂ M, orice punct m∈U admite o vecin˘atate pe care exist˘a o (p−1)-form˘aβ ∈Λ^p−1(U) astfel c˘a dβ =α|_U.

Exist˘a o versiune global˘a a acestei leme dar cu o ipotez˘a suplimen- tar˘a:

Orice form˘a ˆınchis˘a pe o varietate neted˘a contractibil˘a este exact˘a.

(M este contractibil˘a dac˘a aplicat¸ia id : M → M este omotop˘a cu o aplicat¸ie constant˘a c:M →M, x→x₀ fixat ˆın M).

Lema lui Poincar´e generalizeaz˘a ¸si unific˘a dou˘a rezultate de calcul vectorial:

- Dac˘a rotX = 0,atunci local X = gradf.

- Dac˘a divX = 0, atunci local X = rotY.

ˆInR³avem submult¸imi 1-dim (curbele), cu frontiera din doua puncte sau vid˘a, 2-dim (suprafet¸e) cu frontiera o curb˘a sau vid˘a (ex. sfera) ¸si 3-dim (corpuri) cu frontiera suprafet¸e. Dac˘a pe acestea se introduce ¸si o orientare se vor numi p-domenii sau p-lant¸. Similar ˆıntr-o varietate n-dim. vom avea p-lant¸uri cu p= 1, . . . , n.

Un p-lant¸C ∈C_p(M) se va numiciclu dac˘a frontiera∂C = 0 adic˘a este vid˘a. Un lant¸Cse va numifrontier˘adac˘aC =∂BcuB ∈C_p(M).

Evident c˘a ∂(∂C) = 0 i.e. ∂² = 0. A¸sadar, ∂ este similar cu d ¸si se nume¸ste operator frontier˘a.

Prin dualitate p-formele se mai numesc colant¸uri, iar o form˘a ω ˆınchis˘a se va numi cociclu. O form˘a exact˘a se va numi ¸si cofrontier˘a.

Dualitatea p-forme ¸si p-lant¸uri este mai precis˘a ¸si este dat˘a de o aplicat¸ie

Λ^p(M)×Cp(M) → R (ω, C) →

Z

C

ω:=hC, ωi( produs scalar ) Exemplul 1.2.1.

p= 1, ω=a_idxⁱ hC, ωi= Z

C

dx¹+a₂dx²+. . .+a_ndxⁿ p= 2 ω =aijdxⁱ∧dx^j

C =S−suprafat¸˘a hC, ωi= Z Z

S

a₁₁dx¹∧dx²+. . .+ p= 3 ω=adxdydz

C =Kcorp hC, ωi= Z Z Z

K

adxdydx.

Teorema lui Stokes: R

∂Cω = R

Cdω revine la a scrie h∂C, ωi = hC, dωi (d cu∂ sunt autoadjunct¸i ˆın raport cuh,i).

Avem h∂²C, ωi=h∂C, dωi =hC, d²ωi = 0, ∀ω ¸si deci∂²C = 0 i.e.

operatorul ∂ are proprietatea ∂² = 0.

1.2. Bazele teoriei Hodge-de Rham 11

Pentru R³ avem urm˘atorul complex de colant¸uri

0 ^//Λ⁰(R³) _grad^{d //}Ω¹(R³) _rot^{d //}Ω²(R³) _div^{d //}Ω³(R²) ^//0 Din d² = 0 rezult˘a c˘a Imd⊆kerd.

Dup˘a Lema lui Poincar´e aveam egalitate numai local pe U ⊂ M caz ˆın care ¸sirul respectiv este local exact. Dual avem un complex de lant¸uri

0^oo C₀(R³)^oo _∂ C₁(R³)^oo _∂ C₂(R³)^oo _∂ C₃(R³)^oo 0 ˆIn general pe o varietateM cu n dimensiuni avemcomplexul de colant¸uri:

0→Λ⁰(M)−→^d Λ¹(M)−→^d . . .−→^d Λ^p(M)−→^d Λ^p+1(M)→ · · · →Λⁿ(M)→0.

ˆIn Λ^p(M) avem dou˘a substat¸ii vectoriale: ker := Z^p(M), Imd :=

B^p(M) cu proprietatea c˘aB^p(M)⊂Z^p(M). Spat¸iul factorH_DR^p (M) = Z^p(M)/B^p(M) se nume¸ste grup de coomologie de Rham pentru vari- etateaM. Se nume¸ste grup pentru c˘a se are ˆın vedere structura grupal˘a aditiv˘a dar prin construct¸ie este un R-spat¸iu liniar.

Definit¸ia 1.2.2. Numerele bp = dimH_DR^p se numesc numerele Betti ale variet˘at¸ii M.

Observat¸ia 1.2.1. 1) H_DR⁰ (M) este format din mult¸imea funct¸iilor f ∈M cu df = 0, deci f = const. (M conex˘a) ¸si deci H_DR⁰ (M)'R ¸si b₀(M) = 1.

2) Numerele Betti pot fi diferite de zero numai pentrup= 0,1,2, . . . , n= dimM.

([Gh], p. 258, ex. de calcul pentru S₁).

3) α, β ∈ Λ^p(M) sunt coomologe sau apart¸in la aceea¸si clas˘a de coomologie [α] dac˘a α−β este exact˘a i.e. ∃γˆıncˆatα =β+dγ.

Dual, folosind complexul de lant¸uri:

0←−C⁰(M)←−C¹(M)←−. . .←−C^p(M)←−. . .←−Cⁿ(M)←−0

definimH_p(M) :Z_p(M)/B_p(M) = ker(∂ :C_p(M)→C_p−1(M))/Im(∂ : C_p+1(M)→C_p(M)) care se numesc grupuri de omologie.

dimH_p(M) =b_p(M) (Teorema lui de Rham) Definit¸ia 1.2.3. Se nume¸ste caracteristica Euler-Poincare

χ(M) = Xn

p=0

(−1)^pb_p =b₀−b₁+b₂−b₃. . .

Propozit¸ia 1.2.2. Dac˘a varietatea conex˘aM este contractibil˘a, atunci H_DR^p (M) = 0, ∀p= 1,2, . . . , n¸si deci χ(M) = b0 = 1.

Demonstrat¸ie. Dup˘a Lema lui Poincar´e avem Z^p(M) =B^p(M) ¸si deci H_DR^p (M) = 0, p= 1,2, . . . , n.

1.3. Operatorul Hodge ∗

Definit¸ia 1.3.1. Operatorul Hodge ∗ este o aplicat¸ie ∗ : Λ^p(M) → Λ^n−p(M) cu propriet˘at¸ile

(i) α∧ ∗β =β∧ ∗α =hα, βiµ (ii) ∗ ∗α= (−1)^p(n−p)α

(iii) ∗(c1α+c2β) =c1∗α+c2∗β;

(iv) α∧ ∗α= 0 ⇒α= 0.

ˆIn (i) apar notat¸ii care necesit˘a explicat¸ii suplimentare. De fapt operatorul ∗ se poate defini numai pe variet˘at¸i Riemanniene orientate.

O varietate Riemannian˘a este o varietate pentru care spat¸iul tan- gent TxM, x ∈ M este dotat cu un produs scalar g(x) care depinde diferent¸iabil dex∈M.FieU o hart˘a local˘a centrat˘a ˆınxcu funct¸ii co- ordonate (xⁱ), xⁱ :U →R, x→ (x¹, . . . , xⁱ, . . . , xⁿ)→ xⁱ ∈ R. Atunci

1.3. Operatorul Hodge ∗ 13

(_∂x^∂i|_x) constituie o baz˘a ˆın T_xM ¸si not˘am g_ij(x) = g(x)(_∂x^∂i|_x,_∂x^∂j|_x).

Cu x variabil ˆın U obt¸inem funct¸iile x → g_ij(x) = g(x)(_∂x^∂i,_∂x^∂j) care se numesc componentele metricii Riemanniene g : x → g(x) pe U. Dependent¸a diferent¸iabil˘a de x a funct¸iei g : x → g(x), x ∈ M este echivalent˘a prin definit¸ie cu diferent¸iabilitatea funct¸iilor (componen- telor) g_(ij)(x).

Pentru c˘a g(x) este un produs scalar, aceste componente au pro- priet˘at¸ile

1) g_ij(x) = g_ij(x),∀x∈U,∀U ⊂M(simetria);

2) g_ijξⁱξ^j >0,∀(ξⁱ)∈Rⁿ(ξⁱ)6= 0 (pozitiv˘a definire).

Fie Ue o alt˘a hart˘a local˘a care cont¸ine x adic˘a x ∈ U ∩Ue 6= ∅ ¸si e

g_ij(x) componentele metricii Riemanniene g :x→g(x),x∈M pe Ue. Relat¸iile _∂x^∂i = ^∂_∂x^xeji ∂

∂xe^j, unde ex^j =x^j(x¹, . . . , xⁿ), det(^∂_∂x^exji) 6= 0 sunt schimb˘arile de coordonate, implic˘a

(1.3.1) gij(x) = ∂ex^k

∂xⁱ

∂xe^h

∂x^jegkh(ex(x)).

Relat¸iile (1.1.3) permit recuperarea metricii Riemanniene g : x → g(x) :T_xM ×T_xM →R (produs scalar) din componentele sale locale.

Mai exact, o metric˘a Riemannian˘a se poate defini ca seturi de funct¸ii reale (g_ij) cu propriet˘at¸ile 1) ¸si 2) definite pe domenii de h˘art¸i locale ¸si care pe intersect¸ii de asemenea domenii sunt legate prin 3).

Observ˘am c˘a din 2) rezult˘a det (g_ij)6= 0 (condit¸ie de nedegenerare).

Condit¸ia 2) poate fi sl˘abit˘a cerˆand ca forma p˘atratic˘a g_ijξⁱξ^j s˘a r˘amˆan˘a nedegenret˘a (det (g_ij)6= 0) dar s˘a nu fie pozitiv definit˘a (echiva- lent negativ definit˘a) ci s˘a fie semidefinit˘aadic˘a prin aducere la forma canonic˘a s˘a aib˘a un num˘ar de p˘atrate cu semnul (+) ¸si un num˘ar de p˘atrate cu semnul (-). Pentru n = 4 putem avea situat¸iile esent¸iale (−+ ++) sau (− −++) ambele de interes pentru fizica teoretic˘a.

ˆIn aceast˘a ipotez˘a mai slab˘a spunem c˘a avem o metric˘a semi-Riemannian˘a sau pseudo-Riemannian˘a. ˆIn cazul signaturii (−,+ +. . .+) se vorbe¸ste de metric˘a Lorentz.

Perechea (M, g) cu g metric˘a Riemannian˘a sau semi-Riemannian˘a se nume¸ste varietate Riemannian˘asau semi-Riemannian˘a. ˆIn particu- lar, putem vorbi de varietate Lorentz.

ˆIn general, o variatate se nume¸ste orientabil˘a dac˘a admite un atlas pentru care matricile Jacobiene ale schimb˘arilor de coordonate xeⁱ = e

xⁱ(x^j) au determinant pozitiv adic˘a J = det(_∂x^∂exjⁱ) > 0. Pentru o n- form˘a a(x)dx¹∧. . .∧dxⁿ =ea(ex(x)dex¹ ∧. . .∧dexⁿ), formula general˘a de schimbare a componentelor ne conduce la a(x) = ea(x)J(x). Dac˘a ˆın egalitatea (1.1.3) trecem la egalitatea determinat¸ilor obt¸inem:

det (g_ij(x)) =J²(x)det (eg_ij(ex(x)))

¸si observ˘am c˘a dac˘a M este varietate orientabil˘a putem deduce c˘a q

det(g_ij(x)) =J(x) q

det(eg_ij(ex(x))).

A¸sadar p

det(g_ij(x)) este component˘a de n-form˘a, cu alte cuvinte este bine definit˘a n-forma

µ= q

det(g_ij(x))dx¹∧dx²∧. . .∧dxⁿ)

numit˘a ¸si form˘a volum pe (M, g) orientabil˘a. Avem astfel explicat˘a notat¸iaµdin formula (i) de definire a produsului∗. Uneoriµse noteaz˘a prin dv.

ˆIn continuare consider˘am M varietatea Riemannian˘a orientabil˘a.

Metrica Riemannian˘a g(gij) define¸ste produsul scalar a dou˘a cˆampuri vectoriale X =X^{i ∂}_∂xi ¸si Y = Y^{j ∂}_∂xj prin hX, Yi =g_ijXⁱY^j. Fie (g^jk) inversa matricii g_ij adic˘a g_ijg^jk = δ_i^k = 1, dac˘a i = k ¸si 0 ˆın rest. Se verific˘a imediat c˘a dac˘a α=α_idxⁱ ¸si β =β_jdx^j prin formula hα, βi= g^ijα_iβ_j se obt¸ine un produs scalar ˆın mult¸imea Λ¹(M).

Formula poate fi extins˘a la p-forme:

α= 1

p!α_i1...ipdxⁱ¹∧. . .∧dx^ip, β= 1

p!β_j1...jpdxⁱ¹ ∧. . . dx^jp hα, βi=g^i1j1g^i2j2. . . g^ipjpα_ii...ipβ_j1...jp

1.3. Operatorul Hodge ∗ 15

(sumare dup˘a indicii i₁. . . i_p, j₁. . . j_p). Cu aceasta avem semnificat¸ia complet˘a a condit¸iei (i) din definit¸ia produsului Hodge ∗.

Pentru n-forma volum dv avem ∗dv = f (funct¸ie, 0-form˘a). Dup˘a (ii) avem ¸si ∗f =dv. Condit¸ia (i) scris˘a pentruα=β =dv conduce la dv∧ ∗dv =hdv, dvidvsau f dv=hdv, dvidv ¸si urmeaz˘a f ≡1 deoarece hdv, dvi= 1.Dac˘aM este compact˘a se define¸ste volmul ei prin formula

vol(M) = Z

M

dv= Z

M

∗1.

Not˘am ¸si urm˘atoarea consecint¸˘a a formulei (i):

ω∧ ∗ω =kωk²dv, kωk=p hω, ωi.

ˆIn [GhO], p. 70, Vol. 2 se stabilesc expresii locale pentru ∗ω: (∗ω)_j1...jn−p = 1

pdet(g_ij) X

σ(1)...σ(p)

ε_σωσ(1)...σ(p)g_{j1σ(p+1)...gjn−pσ(n)}

cu sumare dup˘a toate permut˘arile σ ale mult¸imii (1, . . . , p, . . . , n) ¸si ε_σ =±1 dup˘a cum σ este permutare par˘a sau impar˘a.

Aplicat¸ie. Fie M ≡ R cu g_ij = δ_ij. Rezult˘a det(g_ij) = 1. Fie (x, y, z) coordonatele ˆınR³. Rezult˘a c˘a∗dxeste o 2-form˘a care se poate scrie ca o combinat¸ie liniar˘a de tipul adx∧dy+bdy∧dx+cdz∧dx.

Se obt¸ine: ∗dx =dy∧dz, ∗dy = dz∧dx, ∗dz = dx∧dy (A se vedea M. Spivak, Vol. 4).

Produs scalar Hodge

Fie dou˘a p-forme α ¸si β cu suport compact (sau M compact˘a).

Definim aplicat¸ia h,i: Λ^p(M)×Λ^p(M)→R, (α, β)→ hα, βi=

Z

M

α∧ ∗β(=

Z

M

hα, βidv).

Propozit¸ia 1.3.1. Aplicat¸iah,ieste un produs scalar i.e. este biliniar˘a simetric˘a ¸si pozitiv definit˘a.

Demonstrat¸ia rezult˘a imediat din propriet˘at¸ile i)-iii) ale operatoru- lui ∗. De exemplu, hα, αi = R

Mα ∧ ∗α = R

M kαk²dv ≥ 0 ¸si avem egalitate cu zero numai dac˘a kαk= 0⇒α = 0.

Pentru orice p-forma α definim funct¸ionala norm˘a prin kαk=

Z

M

hα, αi ∗1 = Z

M

α∧ ∗α.

Observat¸ia 1.3.1. Se poate ar˘ata c˘a ecuat¸ia Euler-Lagrange pentru aceast˘a funct¸ional˘a revin la ∆α = 0, unde ∆ este Laplacianul Hodge ce va fi definit mai jos.

Operatorul de codiferent¸iere

Pe Λ^p(M) avem produsul scalarh,iprecum ¸si operatorul de diferent¸iere exterioar˘ad : Λ^p(M)→Λ^p+1(M).

Definit¸ia 1.3.2. Se nume¸ste operator de codiferent¸iere exterioar˘a o aplicat¸ie liniar˘aδ: Λ^p(M)→Λ^p−1(M) definit˘a prin: δ = (−1)^n(p+1)+1∗ d∗ sau echivalent d= (−1)^np∗δ∗.

Observat¸ia 1.3.2. 1) Dac˘a n este par (ˆın Relativitate), atunci δ =

− ∗d∗ sau d=− ∗δ∗.

2) Dac˘a f este 0-form˘a, atunci ∗f este on-form˘a ¸sid(∗f) = 0, deci δf = 0.

Propozit¸ia 1.3.2. Operatorul de codiferent¸iere δ are propriet˘at¸ile:

i) d◦δ=δ² = 0 (amintim c˘a ¸si d² = 0);

ii) δ∗= (−1)^p+1∗d, ∗δ= (−1)^p ∗d;

iii) dδ∗=∗δd; ∗dδ=δd∗.

Demonstrat¸ie. Toate rezult˘a prin calcul direct folosind propriet˘at¸ile lui d ¸si ∗.

Laplacianul Hodge este operatorul ∆ : Λ^p(M) → Λ^p(M) definit prin ∆ =dδ+δd= (d+δ)².

1.3. Operatorul Hodge ∗ 17

Propozit¸ia 1.3.3. ∆ are propriet˘at¸ile:

i) δ∆ = ∆δ =δdδ;

ii) d∆ = ∆d=dδd;

iii) ∗∆ = ∆∗.

Definit¸ia 1.3.3. 1) Dac˘a δω = 0, ω se nume¸ste coˆınchis˘a ¸si dac˘a ω =δθ ea se nume¸ste coexact˘a.

2) O p-form˘a ω se nume¸stearmonic˘a dac˘a ∆ω= 0.

Propozit¸ia 1.3.4. ∆α= 0⇔dα = 0 ¸si δα= 0.

Demonstrat¸ie. Implicat¸ia⇐este evident˘a. Invers, ∆α= 0⇒ hα,∆αi= 0.Darhα,∆αi=hα, dδαi+hα, δdαi=hδα, δαi+hdα, dαi¸si egalitatea cu zero implic˘a separat hδα, δαi = 0, hdα, dαi = 0 adic˘a dα = 0 ¸si δα= 0.

ˆIn demonstrat¸ie am folosit

Propozit¸ia 1.3.5. Fie ω ∈Λ^p(M)¸si θ∈Λ^p+1(M). Atunci hdω, θi=hω, δθi

unde h,i este produsul scalar Hodge.

Demonstrat¸ie. d(ω∧ ∗θ) =dω∧ ∗θ+ (−1)^pω∧d∗θ.

Definit¸ia lui δ = (−1)^n(p+1)+1 ∗ d∗, ˆın baza propriet˘at¸ii ii) a lui

∗:∗² = (−1)^p(n−p) ⇔ ∗⁻¹(−1)^p(n−p) =∗ ⇔ ∗⁻¹ = (−1)^p(n−1)∗(p(n−p)

¸sip(n−1) au aceea¸si paritate) se rescrie: δ = (−1)^n(p+1)+1(−1)^p(n−1)∗⁻¹ d∗= (−1)^p∗⁻¹d∗.

Ret¸inem deci forma echivalent˘a: δ = (−1)^p∗⁻¹d∗. Rezult˘ad∗θ= (−1)^p+1∗δθ¸si ˆınlocuind mai sus:

d(ω∧ ∗θ) =dω∧ ∗θ−ω∧ ∗δθ.

Conform definit¸iei:

hdω, θi= Z

M

dω∧∗θ= Z

M

d(ω∧∗θ)+

Z

M

ω∧∗δθ= Z

M

ω∧∗δθ=hω, δθi.

Am folosit teorema lui Stokes R

Md(ω∧ ∗θ) = R

∂Mω∧ ∗θ = 0 pentru c˘aM este prin ipotez˘a cu frontier˘a vid˘a.

Aceast˘a propozit¸ie ne arat˘a c˘a δ este adjunctul lui dˆın raport cu h,i. Cu substitut¸ii convenabile rezult˘a ¸si hδα, βi = hα, dβi. Ar˘at˘am acum c˘a ∆ este autoadjunct ˆın raport cu produsul scalar Hodge h,i.

Propozit¸ia 1.3.6. Are loc egalitatea h∆ω, θi = hω,∆θi pentru orice ω, θ∈Λ^p(M).

Demonstrat¸ie.

h∆ω, θi = hdδω+δdω, θi=hdδω, θi+hδdω, θi

= hδω, δθi+hdω, dθi=hω, δθi+hω, δdθi

= hω,(δ+δd)θi=hω,∆θi.

Observat¸ia 1.3.3. Dac˘a ω =f este 0-form˘a, avem

∆f =dδf +δdf =δdf =δ(∂f

∂xⁱdxⁱ).

ˆIn [GhO, Vol. 2, p. 76] se arat˘a c˘a pentru o p-form˘a ω coeficient¸ii luiδω sunt dat¸i de formula:

(δω)h1...hp−1 =−g^ij(∇iω)jh1...hp−1

unde ∇_i este derivarea covariant˘a ˆın raport cu _∂x^∂i. Pentru o 1-form˘a α=α_jdx^j, avem:

(∇_Xα)(Y) =Xα(Y)−α(∇_XY)

¸si deci (∇_iα)_j =∂_iα_j −Γ^k_ijα_k. Rezult˘a c˘a δα este funct¸ia −g^ij(∂_iα_j − Γ^k_ijαk). ˆIn particular, pentru ω= _∂x^∂fidxⁱ obt¸inem

δdf =−g^ij

µ ∂²f

∂xⁱ∂x^j −Γ^k_ij ∂f

∂x^k

¶ .

1.3. Operatorul Hodge ∗ 19

A¸sadar pentru funct¸ii f :M →R, Laplacianul este

∆f =−g^ij

µ ∂²f

∂xⁱ∂x^j −Γ^k_ij ∂f

∂x^k

¶ .

Aceast˘a expresie constituie generalizarea Laplacianului pentru funct¸ii definite pe varietatea Riemannian˘a orientat˘a (M, g). ˆIn unele manuale se omite semnul (−). Dac˘a (M, g)≡(Rⁿ,h,i), atuncig^ij =δ^ij,π_ij^k ≡0

¸si obt¸inem

∆f =−X

i

∂²f

∂xⁱ² =− µ∂²f

∂x¹² + ∂²f

∂x²² +. . .+ ∂²f

∂xⁿⁿ

¶ .

Pentru n= 3,−∆f = ^∂_∂x^2f2 +^∂_∂y^2f2 + ^∂_∂z^2f2. Observat¸ia 1.3.4. ˆIn R³ dac˘a identific˘am:

funct¸iile scalare cu o-forme cˆampurile vectoriale cu 1-forme

fluxurile i.e. produsele vectoriale de 2 vectori cu 2-forme densit˘at¸ile i.e. produsele mixte cu trei forme

atunci

grad→d pe o-forme div→δ pe 1-forme rot → ∗dpe 1-forme div grad→∆ : pe o-forme

rot◦rot−grad div→∆ pe 1-forme.

ˆIntr-adev˘ar: pentru fgradf = (^∂f_∂x,^∂f_∂y,^∂f_∂z) care se identific˘a cu 1- forma df = ^∂f_∂xdx+ ^∂f_∂ydy+_dz^dfdz.

Pentru ω =P dx+Qdy+Rdz, divω = ^∂P_∂x + ^∂Q_∂y + ^∂R_∂z, iar formula general˘a pentru dω,particularizat˘a la R³ cu h,idat de δ_ij conduce la

−δ^ij∂_iα_j =− µ∂P

∂x +∂Q

∂y +∂R

∂z

¶

=−divω

(apare o diferent¸˘a de semn care poate fi anihilat˘a considerˆand (−δ_ij).

Pentru ω identificat cu (P, Q, R) avem rotω=∇ ×(P, Q, R) =

µ∂Q

∂x − ∂R

∂y,∂R

∂x −∂P

∂z,∂Q

∂x −∂P

∂y

¶

care se identific˘a cu 1-forma µ∂Q

∂x − ∂R

∂y

¶ dx+

µ∂R

∂x − ∂P

∂z

¶ dy+

µ∂Q

∂x −∂P

∂y

¶ dz.

Trebuie ar˘atat c˘a ∗dω este exact aceast˘a 1-form˘a. Pentru o funct¸ie f avem gradf =

³∂f

∂x,^∂f_∂y,^∂f_∂z

´

¸si div gradf = ^∂_∂x^2f2 +^∂_∂y^2f2 + ^∂_∂y^2f2 = ∆f.

Operatorii d¸si δ sunt adjunct¸i sau duali ˆın sensul c˘a dac˘a α este o p-form˘a ¸si β o p+ 1-form˘a avem:

(dα, β) = (α, δβ) ¸si (δα, β) = (α, dβ).

ˆIntr-adev˘ar, relat¸ia R

Md(α∧ ∗β) = 0 este echivalent˘a cu Z

M

dα∧ ∗β+ Z

M

α∧(−1)^pd∗β = 0 . A doua integral˘a din aceast˘a sum˘a se scrie ˆın forma

Z

M

α∧(−1)^p∗(∗d∗β) =− Z

M

α∧ ∗δβ

¸si deci suma devine (dα, β)−(α, δβ) = 0.