Constructibilitate cu rigla s¸i compasul

(1)

Construct¸ii geometrice

Paul A. Blaga

(2)

(3)

Cuprins

III Constructibilitate cu rigla s¸i compasul 5

1 Fundamentele teoriei constructibilit˘at¸ii 7

1.1 Puncte constructibile s¸i numere constructibile . . . 7

1.2 Modalit˘at¸i elementare de construire a unor obiecte constructibile . . . . 9

1.3 Corpul numerelor constructibile . . . 13

1.4 Caracterizarea numerelor constructibile . . . 15

1.4.1 Extinderi de corpuri . . . 15

1.5 Teorema (sau rezultatul) lui Wantzel . . . 17

1.6 Aplicat¸ii ale rezultatului lui Wantzel . . . 22

1.6.1 Cuadratura cercului . . . 22

1.6.2 Dublarea cubului . . . 23

1.6.3 Trisect¸iunea unghiului . . . 23

1.7 Caracterizarea corpurilorCs¸iC.i / . . . 25

1.8 Reciproca rezultatului lui Wantzel . . . 26

2 Poligoane regulate 29 2.1 Poligoane regulate constructibile . . . 29

2.2 Teorema lui Gauss . . . 30

2.3 Construct¸ii de poligoane regulate . . . 33

2.3.1 Triunghiul echilateral, p˘atratul, pentagonul regulat . . . 33

2.3.2 Poligonul cu 15 laturi . . . 36

A Transcendent¸a num˘arului 37

3

(4)

(5)

Partea III

Constructibilitate cu rigla s¸i compasul

5

(6)

(7)

CAPITOLUL 1

Fundamentele teoriei constructibilit ˘at¸ii

1.1 Puncte constructibile s¸i numere constructibile

Am l˘amurit, sper˘am, care este semnificat¸ia construct¸iilor cu rigla s¸i compasul ˆın planul euclidian. Abordarea de pˆan˘a acum, pur geometric˘a, nu ne permite, din p˘acate, s˘a preciz˘am care figuri geometrice se pot construi folosind, ˆın exclusivitate, aceste dou˘a in- strumente clasice. Pentru a obt¸ine r˘aspunsul la aceast˘a ˆıntrebare, trebuie s˘a reformul˘am o problem˘a de construct¸ii ˆıntr-un alt limbaj. Cel mai potrivit s-a dovedit a fi cel algebric.

Vom ˆıncepe, prin urmare, acest capitol tocmai cu formularea problemei de construct¸ii (mai precis, formularea not¸iunii deconstructibilitate) ˆıntr-un limbaj algebric. Primul pas este s˘a d˘am o definit¸ie (deocamdat˘a geometric˘a) riguroas˘a a not¸iunii depunct constructibil.

Definit¸ia 1.1. Fie …planul euclidian s¸i B …o submult¸ime finit˘a a planului, care cont¸ine cel put¸in dou˘a elemente. Elementele luiBse numescpuncte de baz˘a. Atunci:

(a) Un punctM 2 …se numes¸teconstructibilcu rigla s¸i compasul dac˘a exist˘a un s¸ir finit de muncte care se termin˘a cuM: M1; M2; : : : ; Mn D M astfel ˆıncˆat pentru fiecarei,1i neste un punct de intersect¸ie

fie a dou˘a drepte,

fie a unei drepte s¸i a unui cerc, fie a dou˘a cercuri,

aceste drepte s¸i cercuri obt¸inˆandu-se, pentru fiecare i, cu ajutorul mult¸imii Ei D B[ fM1; : : : ; Mi 1gˆın modul urm˘ator:

7

(8)

orice dreapt˘a trece prin dou˘a puncte distincte dinEi,

fiecare cerc are centrul ˆıntr-un punct dinEi, iar raza sa este egal˘a cu distant¸a dintre dou˘a puncte dinEi.

(b) O dreapt˘a care trece prin dou˘a puncte constructibile se numes¸teconstructibil˘a.

(c) Un cerc ce are centrul ˆıntr-un punct constructibil s¸i are raza egal˘a cu distant¸a dintre dou˘a puncte constructibile se numes¸teconstructibil.

Observat¸ia 1. Toate punctele de baz˘adin B sunt constructibile cu rigla s¸i compasul.

Fie, de exemplu, P 2 Bun punct de baz˘a. Întrucât am admis c˘a exist˘a cel put¸in dou˘a puncte de baz˘a, rezult˘a c˘a exist˘a un punctP⁰ 2 B,P⁰ ¤P. AtunciP se poate obt¸ine ca intersect¸ie a drepteiPP⁰cu cercul de centruP⁰s¸i de raz˘aPP⁰, ceea ce ˆınseamn˘a c˘a P este constructibil. CumP este un punct de baz˘a ales la ˆıntâmplare, rezult˘a c˘aorice punct de baz˘a este constructibil.

Observat¸ia2. De acum ˆıncolo, dac˘a nu se ment¸ioneaz˘a explicit altfel, pentru noiconstruct¸ie geometric˘ava ˆınsemnaconstruct¸ie geometric˘a realizat˘a cu rigla s¸i compasuls¸i nu vom mai ment¸iona explicit instrumentele utilizate.

.C⁰/ y .C /

K

J

O I

I⁰

J⁰

x

Figura 1.1

În cele ce urmeaz˘a, scopul nostru este s˘a introducem not¸iunea denum˘ar constructibil, al˘aturi de cea depunct constructibil. În acest scop, vom introduce un reper cartezian ˆın plan, plecând de la dou˘a puncte de baz˘a.

(9)

1.2. Modalit˘at¸i elementare de construire a unor obiecte constructibile 9 Mai precis, pe moment presupunem c˘a exist˘a doar dou˘a puncte de baz˘a, fie eleO s¸i I, adic˘aBD fO; Ig. Vom evident¸ia nis¸te puncte constructibile, plecˆand de la cele dou˘a puncte de baz˘a.

PuncteleO s¸iI determin˘a dreaptaOI (vezi figura 1.1). Consider˘am cercul (constructibil), cu centrul ˆın punctulOs¸i de raz˘aOI. Cercul intersecteaz˘a dreaptaOI ˆın punctulIs¸i ˆıntr-un al doilea punct,I⁰, simetricul luiIfat¸˘a de punctulO. Prin urmare, punctulI⁰este constructibil. Vom construi acum mediatoarea segmentuluiII⁰. Pentru aceasta, consider˘am, mai ˆıntˆai, cerculC de centruI s¸i de raz˘aII⁰, precum s¸i cerculC⁰, de centruI⁰s¸i de aceeas¸i raz˘a,II⁰. Not˘am cuKunul dintre punctele de intersect¸ie dintre cele dou˘a cercuri. Evident, punctulK este constructibil, ˆıntrucˆat este intersect¸ia a dou˘a cercuri constructibile. Este us¸or de demonstrat c˘a dreapta OK este perpendicular˘a pe dreaptaOI, deci ea este mediatoarea segmentuluiII⁰. DreaptaOKintersecteaz˘a cercul

ˆın dou˘a puncte, pe care le vom nota cuJ s¸iJ⁰, ele fiind, de asemenea, constructibile.

Am pus, astfel, ˆın evident¸˘a o serie de puncte constructibile:O; I; I⁰; K; J; J⁰. Vom folosi unele dintre ele pentru a construi un reper ortonormat. Astfel, alegem ca unitate de lungime distant¸aOI. Atunci, ˆın mod evident, avem s¸iOJ D1. Reperul nostru va fi .O; !

OI ; !

OJ /. Pentru a simplifica notat¸iile, vom nota acest reper cu.O; I; J /.

Avem acum tot ce ne trebuie pentru a da urm˘atoarea definit¸ie:

Definit¸ia 1.2. Un num˘ar real se numes¸teconstructibildac˘a el este una dintre coordonatele unui punct constructibil fat¸˘a de reperul ortonormat.O; I; J).

Observat¸ia3. ˆIn mod normal, exprimarea corect˘a este c˘a num˘arul real esteconstructibil relativ la punctele de baz˘aOs¸iI⁰. Vom utiliza exprimarea prescurtat˘a, de acum ˆıncolo.

Exemplul 1.1.1. Numerele reale0; 1; 1sunt constructibile, deoarece ele sunt abscisele punctelorO; I; I⁰.

1.2 Modalit˘at¸i elementare de construire a unor obiecte con- structibile

Propozit¸ia 1.1. Dac˘ad este o dreapt˘a constructibil˘a, iarAeste un punct constructibil, atunci perpendiculara ped care trece prinAeste, de asemenea, o dreapt˘a constructibil˘a.

Demonstrat¸ie. Din moment ce dreaptad este constructibil˘a, ea cont¸ine cel put¸in dou˘a puncte constructibile, fie eleBs¸iC. Consider˘am cercul (evident constructibil) de centru As¸i de raz˘aAB. Acest cerc intersecteaz˘a dreaptad ˆınBs¸i ˆıntr-un alt punct, fie elD.

Construim acum dou˘a cercuri cu centrele ˆınBs¸iDs¸i de raz˘aBD. Aceste dou˘a cercuri se intersecteaz˘a ˆın dou˘a puncte, fie eleEs¸iF. Atunci dreaptaAEeste dreapta c˘autat˘a.

(10)

A

B C

D

E

.d /

Figura 1.2

Observat¸ia4. De remarcat c˘a demonstrat¸ia dat˘a funct¸ioneaz˘a doar dac˘aA ¤ B. Dar dac˘a A D B, atunci, cu sigurant¸˘a,A ¤ C, deci putem reface demonstrat¸ia, folosind punctulC ˆın locul punctuluiB.

Propozit¸ia 1.2. Dac˘ad este o dreapt˘a constructibil˘a, iarAeste un punct constructibil, care nu apart¸ine drepteid, atunci paralelad⁰lad care trece prinAeste, de asemenea, o dreapt˘a constructibil˘a.

A

.d /

.d⁰/

Figura 1.3

(11)

1.2. Modalit˘at¸i elementare de construire a unor obiecte constructibile 11 Demonstrat¸ie. Conform propozit¸iei 1.1, putem construi perpendiculara d⁰⁰ care trece prin A. Atunci dreapta d⁰ este perpendiculara care trece prin A pe dreapta d⁰⁰, prin urmare, conform aceleias¸i propozit¸ii 1.1, este constructibil˘a (vezi figura 1.3).

Propozit¸ia 1.3. Dac˘aAs¸iB sunt dou˘a puncte constructibile, atunci mijlocul segmen- tuluiABs¸i mediatoarea sa sunt, de asemenea, constructibile.

A M B

Figura 1.4

Demonstrat¸ie. Cercurile de centreAs¸iBs¸i de raze egale cuABsunt ambele constructibile. Cele dou˘a cercuri se intersecteaz˘a ˆın dou˘a puncte, care determin˘a mediatoarea segmentului. Punctul de intersect¸ie dintre dreaptaABs¸i mediatoare determin˘a mijlocul M segmentului, care este, prin urmare, constructibil (vezifigura 1.4).

Propozit¸ia 1.4. Dac˘ad s¸id⁰sunt dou˘a drepte constructibile concurente, atunci bisectoarele unghiurilor formate de cele dou˘a drepte sunt, de asemenea, constructibile.

Demonstrat¸ie. Fie A punctul de intersect¸ie al dreptelor d s¸i d⁰. Consider˘am cercul .C/ de centru A s¸i raz˘a OI, care taie dreapta d ˆın puncteleB s¸i C s¸i dreapta d⁰ ˆın punctele B⁰s¸iC⁰(vezi figura 1.5). Consider˘am, mai departe, cercurile: .C₁/de centru B, .C2/, de centru B⁰, respectiv .C3/, de centru C, toate avˆand raza OI. Cercurile C₁ s¸iC₂ se intersecteaz˘a ˆınD, iar cercurileC₂ s¸iC₃ se intersecteaz˘a ˆınE. E us¸or de verificat c˘a drepteleAD s¸iAE sunt bisectoarele unghiului, deci aceste bisectoare sunt constructibile.

Propozit¸ia 1.5. Un num˘ar real t este constructibil dac˘a s¸i numai dac˘a punctul de pe axaOx de abscis˘at este constructibil. Analog,t este constructibil dac˘a s¸i numai dac˘a punctul de pe axaOyde ordonat˘at este constructibil.

(12)

A B B⁰ C

C⁰

E D

.d / .d⁰/ .C/

.C1/ .C2/

.C3/

Figura 1.5

Demonstrat¸ie. Vom face demonstrat¸ia doar pentru afirmat¸ia referitoare la axaOx, cea- lalt˘a se demonstreaz˘a ˆın mod absolut analog (vezi figura 1.6).

.H)/Dac˘a punctul de pe axaOxde abscis˘ateste constructibil, atunciteste constructibil, din ˆıns˘as¸i definit¸ia unui num˘ar constructibil.

O y

x M

M2

M1 M₂⁰

Figura 1.6

.(H/Dac˘at este un num˘ar constructibil, atunci el este una dintre coordonatele unui punct constructibilM. Atunci proiect¸iileM1s¸iM2 ale luiM pe axaOx, respectiv pe axaOy, sunt constructibile, conform propozit¸iei 1.1. Avem dou˘a cazuri:

Dac˘a t este abscisa lui M, atunci el este s¸i abscisa lui M1, iar rezultatul este stabilit.

Dac˘at este ordonata lui M, atunci el este s¸i ordonata luiM2, prin urmare este s¸i abscisa punctuluiM₂⁰, obt¸inut intersectˆand cercul (constructibil) de centruO s¸i raz˘aOM2cu axaOx.

(13)

1.3. Corpul numerelor constructibile 13

Propozit¸ia 1.6. Dac˘a Aeste un punct constructibil, iart este un num˘ar constructibil, atunci cercul de centruAs¸i de raz˘ajtjeste constructibil.

Demonstrat¸ie. PunctulM de abscis˘atde pe axaOxeste constructibil, conform propozit¸iei 1.5.

Cercul de centruAs¸i de raz˘ajtjeste, atunci, cercul de centruAs¸i de raz˘aOM, deci este constructibil.

1.3 Corpul numerelor constructibile

Teorema 1.1. Mult¸imeaC a numerelor reale constructibile este un subcorp al luiR, stabil fat¸˘a de r˘ad˘acina p˘atrat˘a¹.

Demonstrat¸ie. S¸tim deja c˘a numerele reale0s¸i1sunt constructibile, deoarece sunt abscisele punctelor de baz˘aO s¸iI. Mai departe,

1) Dac˘au2C, vom demonstra c˘a s¸i u2C. ˆIntr-adev˘ar, fieApunctul de pe axaOxde abscis˘au. Consider˘am cercul cu centrul ˆınO s¸i de raz˘ajuj(presupunem fires¸te, c˘a u¤0, altfel nu avem ce demonstra). Acest cerc intersecteaz˘a din nou axaOxˆıntr-un punctB, a c˘arui abscis˘a este u. Cum punctulBeste, ˆın mod evident, constructibil, rezult˘a c˘a s¸i abscisa lui, ueste ˆınC.

2) Fieu; v 2 C s¸i fieAs¸iB punctele de pe axa Ox pentru careOA D us¸iAB Dv.

PunctulAeste constructibil, conform propozit¸iei 1.5, iar punctulBeste constructibil conform propozit¸iei 1.6, dac˘a utiliz˘am cercul de centruAs¸i de raz˘ajvj. Prin urmare, avemOB DuCv, ceea ce ˆınseamn˘a c˘auCvDC.

O I A

x B

C y

Figura 1.7

1Asta ˆınseamn˘a c˘a dac˘a un num˘ar real pozitiv este constructibil, atunci s¸i r˘ad˘acina sa p˘atrat˘a este constructibil˘a.

(14)

3) Fieu; v 2 C. Dac˘auv D0, atunci nu avem ce demonstra, deci presupunem c˘a atât u, cât s¸iv sunt nenule. FieApeOx astfel ˆıncât OA D us¸iB peOy astfel ˆıncât OB Dv. Paralela laIBcare trece prinAtaie axaOyˆıntr-un punctC. Din teorema lui Thales rezult˘a c˘a

OC

OB D OA OI;

de unde rezult˘a c˘aOC Duv, adic˘auv2C(vezi figura 1.7).

4) Fieu2 C,u ¤0. Fie, mai departe,Ape axaOx astfel ˆıncˆatOA Du. Paralela la AJ dus˘a prinI taie axaOyˆıntr-un punctB. Din Teorema lui Thales, avem c˘a

OB OJ D OI

OA;

de unde rezult˘a c˘aOB D1=u, deci1=u2C(vezi figura 1.8).

O I A x

B J y

Figura 1.8

5) Dac˘a u 2 C, u 0. Dac˘a u D 0, atunci p

u este tot0, deci este constructibil.

Presupunem, ˆın cele ce urmeaz˘a, c˘au > 0. FieApunctul de pe axaOx astfel ˆıncˆat IADus¸iM – mijlocul segmentuluiOA. Perpendiculara ˆınI peOxtaie cercul cu centrul ˆınM s¸i de raz˘aOM ˆıntr-un punctB de ordonat˘a pozitiv˘a. TriunghiulOBA este dreptunghic ˆınB, deci avemIA² DOI IA. Astfel,IB Dp

u, iarp ueste ordonata punctului constructibilB, adic˘ap

u2C(vezi figura 1.9).

Observat¸ii. 1) Ment¸ion˘am, mai ˆıntâi, c˘a Q este cel mai mic subcorp al lui R. Într- adev˘ar, fie K un subcorp oarecare al luiR. Atunci, ˆınainte de toate, 1 2 K. Din stabilitatea luiK fat¸˘a de adunare, rezult˘a imediat c˘aN K, ˆın timp ce stabilitatea fat¸˘a de trecerea la opus implic˘aZ K. În sfârs¸it, din stabilitatea fat¸˘a de produs s¸i trecerea la invers rezult˘a c˘aQK. Rezult˘a de aici c˘aQCR.

(15)

1.4. Caracterizarea numerelor constructibile 15

O I M A

x B

y

Figura 1.9

As¸adar, din moment ce corpulCeste stabil fat¸˘a de r˘ad˘acina p˘atrat˘a s¸i cont¸ine numerele rat¸ionale, se pot da multe exemple de numere constructibile, ca de exemplu:

2 3;p

2; p⁴

3; 2C3p 2Cp p 5

3 :

Mai mult, folosind construct¸iile din teorema 1.1, putem construi efectiv punctele de pe axaOxcare au ca abscise aceste numere.

1.4 Caracterizarea numerelor constructibile

1.4.1 Extinderi de corpuri

Ceea ce vom prezenta ˆın acest paragraf este doar o trecere ˆın revist˘a a not¸iunilor s¸i rezul- tatelor de teoria extinderilor de corpuri care vor fi necesare ˆın analiza ce urmeaz˘a a constructibilit˘at¸ii cu rigla s¸i compasul. Cititorul interesat poate g˘asi detalii s¸i demonstrat¸ii detaliate ˆın orice carte de teoria corpurilor. Reamintim c˘a toate corpurile considerate de noi se presupune a fi comutative.

Definit¸ia 1.3. FieK s¸iLdou˘a corpuri astfel ˆıncˆatK s˘a fie un subcorp al luiL. Vom spune atunci despre corpulKc˘a esteo extinderea corpuluiKs¸i vom nota acest fapt cu K L.

Evident, orice corp este o extindere a lui ˆınsus¸i.

Dac˘aa 2 L, vom nota cuK.a/cel mai mic subcorp al luiLcare cont¸ine peK s¸i pe a. Este us¸or de constatat c˘a acest corp exist˘a s¸i poate fi construit fie ca intersect¸ia tuturor subcorpurilor lui L care cont¸in as¸i K fie (ceea ce este acelas¸i lucru) ca fiind subcorpul lui Lgenerate dea s¸i deK (mai precis, de as¸i deelementelelui K). Mai general, dac˘aa1; a2; : : : ; an2L, vom nota cuK.a1; : : : ; an/cel mai mic subcorp al lui Lcare cont¸ine elementele luiKs¸i, ˆın plus, elementelea1; : : : ; ans¸i vom spune c˘a acest

(16)

corp a fost obt¸inut din corpulKprinadjunct¸ionareaelementelora1; : : : ; an. Iat˘a cˆateva exemple:

Q.1/DQ ²₃ DQ;

Q.p 2/D˚

˛Cˇp

2j˛; ˇ2Q ; Q.p

2;p 3/D˚

˛Cˇp

2Cp

3Cıp

6j˛; ˇ; ; ı2Q ; Q.i /D˚

˛Cˇij˛; ˇ2Q ; R.i /D˚

˛Cˇij˛; ˇ2R DC.

ˆIn cazul ˆın careK Leste o extindere de corpuri, atunci corpul mai mare,Lˆın cazul nostru, poate fi privit ca fiind un spat¸iu vectorial peste corpul mai mic (K, ˆın cazul nostru). Aici adunarea ˆın spat¸iul vectorial L este adunarea ˆın L (ca s¸i corp, de data aceasta), ˆın timp ce ˆınmult¸irea cu scalari este restrict¸ia laK La ˆınmult¸irii interne ˆın corpulL. Dimensiunea luiL, privit ca s¸i corp pesteK, joac˘a un rol foarte important ˆın teoria extinderilor de corpuri, de aceea merit˘a o pozit¸ie s¸i o notat¸ie special˘a.

Definit¸ia 1.4. FieK Lo extindere de corpuri. Dimensiunea luiL, ca spat¸iu vectorial pesteK, se numes¸tegradul extinderiis¸i se noteaz˘a cuŒLWK.

Exemple. 1. Este clar c˘a orice extindere trivial˘a are gradul 1. ˆIntr-adev˘ar, dac˘a ˆıl privim pe Lca s¸i corp pesteL, ˆın spiritul definit¸ie precedente, atunci mult¸imea f1g este, ˆın mod evident, o baz˘a a acestui spat¸iu vectorial, deci ŒL W L D 1.

Astfel, de exemplu, dac˘a punemK D Qs¸iL DQ.2/.DQ/, atunciŒLW K

ŒQ.2/WQD1.

2. ˚ 1;p

2 formeaz˘a o baz˘a a luiQ.p

2/pesteQ, deci Q.p

2/WQ D2.

3. ˚ 1;p

3 formeaz˘a o baz˘a a luiQ.p 2;p

3/pesteQ.p 2/, deci Q.p

2;p

3/WQ.p 2/

D2:

Observat¸ia 5. Se poate demonstra us¸or c˘a dac˘a K; L; M sunt trei corpuri astfel ˆıncˆat K LM, atunci ˆıntre grade exist˘a relat¸ia

ŒM WKDŒM WLŒLWK:

Astfel, de exemplu, h

Q.p 2;p

3/WQi Dh

Q.p 2;p

3/WQ.p 2/i

h Q.p

2/WQi

D22D4:

(17)

1.5. Teorema (sau rezultatul) lui Wantzel 17 Definit¸ia 1.5. FieK Lo extindere de corpuri. Dac˘a a 2 L, atuncia se numes¸te algebricpesteKdac˘a exist˘a un polinom nenulP 2KŒX astfel ˆıncˆat s˘a avemP .a/D0.

Un element care nu este algebric pesteK se numes¸tetranscendentpesteK. Este clar c˘a toate elementele corpuluiKsunt algebrice pesteK.

Elemente algebrice pesteQ(adic˘anumere algebrice) se pot construi cu us¸urint¸˘a. Ele sunt r˘ad˘acini ale polinoamelor cu coeficient¸i ˆıntregi. De exemplu,p

2este o r˘ad˘acin˘a a polinomuluiX² 2, ˆın timp cei este o r˘ad˘acin˘a a polinomuluiX²C1.

Construirea unor numere transcendente (elemente transcendente pesteQ) este mai dificil˘a. De fapt primele exemple au fost date abia la sfˆars¸itul secolului al XIX-lea.

Astfel, ˆın anul 1873 matematicianul francez Ch. Hermite a demonstrat c˘a num˘arul e (baza logaritmilor naturali) este transcendent, iar ˆın 1882, F. Lindemann a demonstrat c˘a num˘arul este transcendent.

Observat¸ia6. FieK Lo extindere de corpuri s¸ia2Lun element algebric pesteK.

Atunci exist˘a un polinom unicP 2KŒX astfel ˆıncˆat:

P .a/D0;

P este ireductibil ˆınKŒX ;

P este unitar (coeficientul termenului de grad maxim este egal cu 1).

Acest polinom se numes¸tepolinomul minimal al luiapesteK.

Dac˘aaeste un element algebric pesteK, iarneste gradul polinomului s˘au minimal, atunci vom spune c˘aaestealgebric de gradnpesteK. Atunci avem

K.a/W K Dn, iar o baz˘a aK-spat¸iului vectorialK.a/este format˘a din

n

1; a; a²; : : : ; a^{n 1}o : De exemplu,p

2este algebric de gradul 2 pesteQ, polinomul s˘au minimal pesteQeste X² 2, iar o baz˘a a luiQ p

2 este˚

1;p 2 .

Dac˘aK Leste o extindere de corpuri, mult¸imea elementelor algebrice pesteK ale lui Lformeaz˘a, dup˘a cum se poate constata cu us¸urint¸˘a, un subcorp al lui Lcare cont¸ine K. Vom nota cu A corpul numerelor reale algebrice pesteQ. Se s¸tie despre acest corp c˘a este num˘arabil.

1.5 Teorema (sau rezultatul) lui Wantzel

ˆIn anul 1837, matematicianul francez P.L. Wantzel a dat o caracterizare a numerelor reale constructibile. Mai precis, el a indicat o condit¸ie necesar˘a, dar, dup˘a cum vom vedea, nu s¸i suficient˘a pentru ca un num˘ar real s˘a fie constructibil cu rigla s¸i compasul.

(18)

Pentru a putea expune rezultatul lui Wantzel, plec˘am, din nou, de la punctele de baz˘a O s¸iI, pe baza c˘arora vom construi reperul ortonormat.O; I; J /. Dac˘aM este un punct din planul euclidian raportat la acest reper, punct care are coordonatelexs¸iy, atunci acest punct va fi notat cuM.x; y/.

ˆIncepem prin a demonstra urm˘atoarea lem˘a:

Lema 1.1. 1. Dac˘aDeste o dreapt˘a din planul euclidian…care trece prin punctele distincteA.a1; a2/s¸iB.b1; b2/, atunciDare o ecuat¸ie de forma

˛xCˇyC D0;

unde˛; ˇ; 2Q.a1; a2; b1; b2/.

2. FieA.a1; a2/,B.b1; b2/s¸iC.c1; c2/trei puncte necoliniare din planul euclidian

…. Atunci cercul de centruAs¸i de raz˘aBC are o ecuat¸ie de forma x²Cy² 2˛x 2ˇyC D0;

cu˛; ˇ; 2Q.a1; a2; b1; b2; c1; c2/.

Demonstrat¸ie. 1) Dac˘aa1Db1, atunci ecuat¸ia drepteiDeste x a1D0;

care, ˆın mod evident, este de forma cerut˘a. Dac˘aa1 ¤b1, atunci ecuat¸ia dreptei se poate scrie sub forma

y a2 D b2 a2

b1 a1

.x a1/;

ecuat¸ie care este, de asemenea, de forma cerut˘a.

2) Cercul de centruAs¸i de raz˘aBC are ecuat¸ia

.x a1/²C.y a2/² D.c1 b1/²C.c2 b2/²; care se poate rescrie sub forma

x²Cy² 2˛x 2ˇyC D0;

cu˛; ˇ; 2Q.a1; a2; b1; b2; c1; c2/.

Teorema 1.2. Fiet 2 R. t este un num˘ar constructibil dac˘a s¸i numai dac˘a exist˘a un ˆıntregp 1s¸i un s¸ir de subcorpuri ale luiR,L1; L2; : : : ; Lp astfel ˆıncˆat:

L1 DQ;

pentru1j p 1,Lj LjC1s¸i

LjC1WLj D2;

(19)

1.5. Teorema (sau rezultatul) lui Wantzel 19 t 2Lp.

Demonstrat¸ie. Dac˘ateste constructibil, atunciteste abscisa unui punctM al axeiOx.

FieM1; M2; : : : ; MnDM s¸irul de puncte succesive construite pentru obt¸inerea luiM. Se poate presupune c˘aM1s¸iM2sunt punctele de baz˘aOs¸iI.

Pentrui D 1; 2; : : : ; nvom nota cuxi s¸iyi coordonatele punctuluiMi ˆın reperul .O; I; J /. Avem, ˆın particular:x1Dy1D0,x2D1; y2D0,xnDt; ynD0. Punem:

K1 DQ.x1; y1/;

K2 DQ.x1; y1; x2; y2/;

Ki DQ.x1; y1; : : : ; xi; yi/;

KnDQ.x1; y1; : : : ; xn; yn/:

Avem:

K1K2 Ki KiC1 Kn; t Dxn2Kn:

Vom demonstra c˘a pentrui D1; 2; : : : ; n 1, avemKiC1DKi sauŒKiC1WKiD2.

Rezultatul este evident pentru i D 1, deoareceK1 D K2 D Q. S˘a presupunem, deci, c˘ai 2. Avem de examinat trei cazuri, dup˘a cum punctulMiC1 este intersect¸ia dintre dou˘a drepte, dintre o dreapt˘a s¸i un cerc sau dintre dou˘a cercuri definite prin punctele precedente, M1; M2; : : : ; Mi. Dar, potrivit lemei 1.1, aceste drepte s¸i cercuri au coeficient¸i ˆınKi DQ.x1; y1; : : : ; xi; yi/. Prin urmare,

1) Dac˘aMiC1este la intersect¸ia a dou˘a drepte, atunci coordonatele sale,xiC1s¸iyiC1

sunt solut¸ii ale unui sistem de forma

(˛xCˇyC D0;

˛⁰xCˇ⁰yC⁰D0;

cu˛; ˇ; ; ˛⁰; ˇ⁰; ⁰2Ki. Rezolvˆand acest sistem de gradul ˆıntˆai se constat˘a c˘axiC1

s¸iyiC1sunt, de asemenea, ˆınKi, de unde rezult˘a c˘a avem KiC1 DKi.xiC1; yiC1/Ki:

2) Dac˘aM_i_C₁se afl˘a la intersect¸ia dintre o dreapt˘a s¸i un cerc, atunci atunci coordonatele sale,xiC1s¸iyiC1sunt solut¸ii ale unui sistem de forma

(˛xCˇyC D0;

x²Cy² 2˛⁰x 2ˇ⁰yC⁰D0;

cu˛; ˇ; ; ˛⁰; ˇ⁰; ⁰2Ki. Avem mai multe situat¸ii posibile:

(20)

Dac˘aˇ¤0, atunci avem

y D 1

ˇ.˛xC /:

ˆInlocuim ˆın cea de-a doua ecuat¸ie pentru a obt¸ine ecuat¸ia pentru abscise. Aceast˘a ecuat¸ie este de gradul al doilea cu coeficient¸i ˆınKi, iarxiC1este o r˘ad˘acin˘a a acestei ecuat¸ii.

– Dac˘axiC12Ki, atunci yD 1

ˇ.˛xiC1C /2Ki; iarKiC1 DKi.

– Dac˘axiC1…Ki, atuncixiC1este algebric de gradul 2 pesteKi s¸i avem:

KiC1 DKi.xiC1; yiC1/DKi.xiC1/ s¸i

KiC1WKi

D2.

Dac˘aˇD0, atunci˛ ¤0s¸i se poate proceda la fel ca mai sus, form˘and ecuat¸ia de gradul al doilea pentru ordonate.

3) Dac˘a MiC1 este la intersect¸ia dintre dou˘a cercuri, atunci coordonatele sale,xiC1 s¸i yiC1, sunt solut¸ii ale unui sistem de forma

(x²Cy² 2˛x 2ˇyC D0;

x²Cy² 2˛⁰x 2ˇ⁰yC⁰D0;

cu˛; ˇ; ; ˛⁰; ˇ⁰; ⁰2Ki. Acest sistem este echivalent cu sistemul (x²Cy² 2˛x 2ˇyC D0;

2.˛ ˛⁰/xC2.ˇ ˇ⁰/yC. ⁰/D0;

deci problema se reduce la cazul precedent.

Am construit, astfel, un s¸ir de subcorpuri ale luiR:

K1K2 Kn

astfel ˆıncˆatK1 D Q, t 2 Kn s¸i pentru1 i n 1, s˘a avem fieKiC1 D Ki, fie KiC1 W Ki

D2. Putem face ˆın as¸a fel ˆıncˆat acest s¸ir s˘a fie strict cresc˘ator, eliminˆand corpurile superflue. Se obt¸ine atunci un s¸ir

L1L2 Lp

(21)

1.5. Teorema (sau rezultatul) lui Wantzel 21 astfel ˆıncˆatL1DQ,t 2Lp s¸i pentru1i p 1, s˘a avem

LiC1WLi D2.

Invers, s˘a presupunem acum c˘a

L1L2 Lp

este un s¸ir de subcorpuri ale luiRcare ˆındeplines¸te condit¸iile din enunt¸ul teoremei. Vom demonstra, prin recurent¸˘a dup˘aj, cu1j p, c˘aLj C. Va rezulta atunci c˘ateste un num˘ar constructibil.

L1 C, deoareceL1DQs¸i se s¸tie c˘aQC.

Presupunem c˘aLj Cs¸i vom demonstra c˘aLjC1 C. Fiea 2 LjC1. S˘a demonstr˘am c˘aa2 C. Familia˚

1; a; a² este liniar dependent˘a pesteLj, deoarece LjC1 WLj

D2. Prin urmare, exist˘a˛; ˇ; 2Lj, nu toate nule, astfel ˆıncˆat

˛a²CˇaC D0:

Sunt posibile dou˘a situat¸ii:

– dac˘a˛ D0, atunciaD _ˇ 2Lj C;

– dac˘a˛ ¤0, atunci

aD ˇCp

ˇ² 4˛

2˛

s¸ia2C, deoarece corpulC, dup˘a cum am v˘azut, este stabil fat¸˘a de r˘ad˘acina p˘atrat˘a.

Teorema de mai sus are o consecint¸˘a remarcabil˘a, care este tocmai rezultatul demonstrat de c˘atre Wantzel.

Consecint¸a 1 (Rezultatul lui Wantzel). Orice num˘ar real constructibil este algebric pesteQ, iar gradul s˘au este o putere a lui 2.

Demonstrat¸ie. Dac˘at 2Reste constructibil, atunci din teorema 1.2 rezult˘a c˘a exist˘a un ˆıntregp 1s¸i un s¸ir de subcorpuri ale luiR,L1; L2; : : : ; Lp astfel ˆıncˆat:

L1 DQ;

pentru1j p 1,Lj LjC1s¸i

LjC1WLj D2;

t 2Lp.

(22)

Pe de alt˘a parte, utilizˆand o proprietate a extinderilor de corpuri pe care am mai ment¸io- nat-o mai sus, avem:

Lp WQ D

Lp WLp 1

Lp 1 WLp 2

L2WQ

D2^{p 1}: Pe de alt˘a parte, avemQQ.t /Lp, de unde rezult˘a c˘a

2^{p 1}D

Lp WQ D

Lp WQ.t /

Q.t /WQ : As¸adar,

Q.t / W Q

este un divizor al lui2^{p 1}, adic˘a este tot o putere a lui 2, pe care o vom nota cu 2^q. Consider˘am familia˚

1; t; t²; : : : ; t²^q . Aceast˘a familie are2^qC1 elemente, deci este liniar dependent˘a ˆın Q-spat¸iul vectorialQ.t /. Prin urmare, exist˘a numerele rat¸ionale˛0; ˛1; : : : ˛2^q, nu toate nule, astfel ˆıncˆat

˛0C˛1tC C˛2^qt²^q D0:

Ptin urmare,t este algebric pesteQ, iar gradul luitpesteQeste

Q.t /WQ D2^q. Exemple. Rezultatul lui Wantzel este deosebit de util pentru a demonstra c˘a un num˘ar realnueste constructibil. Iat˘a dou˘a exemple utile ˆın cele ce urmeaz˘a:

1) Unul dintre numerele ce joac˘a un rol esent¸ial ˆın matematic˘a este. Noi vom demonstra ˆın Anexa A c˘anu este algebric pesteQ, deci el nu are cum s˘a fie constructibil.

2) S˘a consider˘am polinomulX³ 2, care este ireductibil pesteQ(ˆın caz contrar, polinomul ar trebui s˘a aib˘a un factor de gradul ˆıntˆai pe pesteQ, ceea ce ˆınseamn˘a c˘a el ar trebui s˘a aib˘a o r˘ad˘acin˘a rat¸ional˘a, ceea ce, ˆın mod evident, nu este cazul). Prin urmare, polinomul X³ 2este polinomul minimal peste Qal num˘arului real p³

2.

Aceasta ˆınseamn˘a c˘ap³

2este algebric de gradul 3 pesteQ. Din rezultatul lui Wantzel rezult˘a, atunci, c˘a p³

2nu este un num˘ar constructibil.

Observat¸ia7. Am notat cuAcorpul numerelor reale algebrice pesteQ. Atunci avem QCAR:

Mai mult, folosind numerelep 2;p³

2s¸i, constat˘am c˘a toate incluziunile sunt stricte.

ˆIn fine, ˆıntrucˆat corpul numerelor algebrice este num˘arabil, acelas¸i lucru este valabil s¸i pentru corpul numerelor constructibile.

1.6 Aplicat¸ii ale rezultatului lui Wantzel

1.6.1 Cuadratura cercului

Reamintim c˘a aceast˘a problem˘a const˘a ˆın construirea, cu rigla s¸i compasul, a unui p˘atrat de aceeas¸i arie cu cea a unui cerc dat. A da un cerc este echivalent cu a indica centrul

(23)

1.6. Aplicat¸ii ale rezultatului lui Wantzel 23 s˘au, fie el O s¸i un punct al cercului, fie el I. Prin urmare, construct¸ia cerut˘a este o construct¸ie cu rigla s¸i compasul plecˆand de la punctele de baz˘aO s¸iI. Dac˘a raport˘am planul la reperul.O; I; J /introdus mai devreme, atunci segmentulOI este de lungime 1, iar aria cercului dat este egal˘a cu.

ˆIn cazul ˆın care cuadratura cercului ar fi posibil˘a, am putea construi cu rigla s¸i compasul un segment de lungimep

(latura p˘atratului c˘autat). Or, noi s¸tim c˘a num˘arulp este transcendent (dac˘a ar fi algebric, atunci s¸i p˘atratul s˘au, adic˘a , ar fi algebric, ori noi demonstr˘am ˆın anexa A c˘a este transcendent).

Prin urmare, problema cuadraturii cercului este imposibil de rezolvat cu rigla s¸i compasul.

1.6.2 Dublarea cubului

Reamintim c˘a aceast˘a problem˘a const˘a ˆın construirea cu rigla s¸i compasul a laturii unui cub al c˘arui volum s˘a fie egal cu volumul unui cub dat.

Faptul c˘a un cub este dat este echivalent, din punctul nostru de vedere, c˘a este dat˘a una dintre laturile sale, fie ea OI. Ca s¸i ˆın cazul cuadraturii cercului, raport˘am planul la reperul ortonormat.O; I; J /. Asta ˆınseamn˘a c˘a latura cubului dat este de lungime 1.

De aici rezult˘a c˘a volumul cubului dat este egal cu 1, ˆın timp ce volumul cubului c˘autat trebuie s˘a fie egal cu 2. Dac˘a dublarea cubului ar fi posibil˘a, am putea construi cu rigla s¸i compasul latura cubului cerut, adic˘a am putea construi cu rigla s¸i compasul num˘arul real

p3

2. Dar, rezultatul lui Wantzel implic˘a, dup˘a cum am remarcat deja la sfˆars¸itul sect¸iunii precedente, rezult˘a c˘a p³

2 nu este un num˘ar constructibil, deci dublarea cubului nu se poate efectua cu rigla s¸i compasul.

1.6.3 Trisect¸iunea unghiului

Aceast˘a problem˘a const˘a ˆın construirea, cu rigla s¸i compasul, a semidreptelor care ˆımpart un unghioarecareˆın trei unghiuri egale. Evident, este suficient s˘a construim una dintre semidrepte, deoarece construirea celei de-a doua se reduce, atunci, la construirea bisectoarei unui unghi.

ˆInainte de a ademonstra c˘a problema este imposibil˘a, o traducem ˆıntr-un limbaj mai comod, folosind not¸iunea deunghi trisectabil.

Unghiurile la care se refer˘a problema sunt unghiuri neorientate, care se pot identifica cu m˘asura lor ˆın radiani s¸i putem presupune c˘a sunt cuprinse ˆın intervalul Œ0; . Mai precis, ^ABC

1

^D ˆınseamn˘a c˘a este singurul num˘ar real din intervalulŒ0; pentru care

cos D

BA! ! BC

BA!

BC! :

Punctele de baz˘aO s¸iI fiind date, putem ˆıntotdeauna s˘a consider˘am c˘a unghiurile sunt toate reprezentate prin semidrepte cu originea ˆın O, iar una dintre ele este semi-

(24)

dreaptaOI. Not˘am cu cercul cu centrul ˆınO s¸i care trece prinI s¸i cu1semicercul ˆınchis al acestui cerc care este situat deasupra drepteiOI.

Dac˘a 2 Œ0; , vom spune c˘a unghiul este constructibil dac˘a punctul M al semicercului 1 pentru care ]IOM D este constructibil. Aceasta condit¸ie este, ˆın mod evident, echivalent˘a cu condit¸ia ca num˘arul cos s˘a fie constructibil, deoarece coseste abscisa luiM relativ la reperul ortonormat.O; I; J /. De exemplu, unghiurile

2;₃;₆ sunt constructibile, deoarece cosinusurile acestor unghiuri, egale, respectiv, cu 0;¹₂;

p3

2 sunt numere reale constructibile. Dimpotriv˘a, unghiul al c˘arui cosinues este egal cu ³

p2

2 nu este constructibil, din moment ce cosinusul ˆınsus¸i nu este constructibil.

Find dat un unghi D ]IOM, undeM este un punct de pe semicercul1, vom spune c˘a estetrisectabildac˘a punctulN de pe semicercul₁pentru care

]ION D 3

este un punct constructibil plecˆand de la punctele de baz˘aO; I; M.

Problema trisect¸iunii unghiului se refer˘a, prin urmare, la construct¸ii care pleac˘a de la trei puncte de baz˘a, nu doar de la dou˘a, ca ˆın czul cuadraturii cercului sau al dubl˘arii cubului. Pe de alt˘a parte, dac˘a unghiul ]IOM D este constructibil, atunci punctul M este constructibil plecând de la punctele de baz˘aO s¸iI, prin urmare construct¸iile ce se obt¸in plecând de la punctele O; I; M sunt exact acelea care se obt¸in plecând de la punctele O; I. Astfel, a spune c˘a unghiul este trisectabil este totuna cu a spune c˘a unghiul ₃ este constructibil sau, ceea ce este acelas¸i lucru, c˘a num˘arul real cos₃ este constructibil. Astfel, unghiurile s¸i ₃ sunt constructibile, deoarece cos₃ D ¹₂ s¸i cos₆ D

p3

2 sunt numere reale constructibile.

Ceea ce dorim s˘a demonstr˘am este imposibilitatea trisect¸iunii pentru un unghi oarecare. Va fi, deci, suficient s˘a demonstr˘am, de exemplu, c˘a unghiul ₃ nu este trisectabil.

Cum unghiul ₃ este constructibil, aceasta revine la a demonstra c˘a cos₉ nu este un num˘ar real constructibil.

Avem

cos3 D4cos³ 3cos; prin urmare, cos₉ este o r˘ad˘acin˘a a polinomului

P .X /D4X³ 3X 1 2:

Vom demonstra c˘a acest polinom este ireductibil ˆın QŒX . Dac˘a s-ar descompune ˆın QŒX , unul dintre factori ar fi de gradul ˆıntˆai, iar polinomul ar avea o r˘ad˘acin˘a rat¸ional˘a, dar ne putem convinge cu us¸urint¸˘a c˘aP nu are r˘ad˘acini rat¸ionale.

Astfel,P .X /este ireductibil ˆınQŒX , prin urmare, polinomul minimal al lui cos₉

este 1

4P .X /

(25)

1.7. Caracterizarea corpurilorCs¸iC.i / 25 s¸i este de gradul 3. Prin urmare, cos₉ nu este constructibil, conform rezultatului lui Wantzel, ceea ce ˆınseamn˘a c˘a unghiul ₃ nu este trisectabil, ceea ce confirm˘a as¸tept˘arile noastre, adic˘a faptul c˘a nu orice unghi este trisectabil.

1.7 Caracterizarea corpurilor C s¸i C .i /

Teorema 1.3. C este cel mai mic subcorp al lui Rcare este stabil fat¸˘a de r˘ad˘acina p˘atrat˘a.

Demonstrat¸ie. Am v˘azut, deja, c˘a C este un subcorp al lui Rstabil fat¸˘a de r˘ad˘acina p˘atrat˘a. FieK un alt subcorp al luiRstabil fat¸˘a de r˘ad˘acina p˘atrat˘a. Scopul nostru este s˘a demonstr˘am c˘aCK.

Fiet 2C. Atunci exist˘a un s¸ir de subcorpuri ale luiR, L1 L2 Lp; astfel ˆıncˆatL1DQ,t 2Lp s¸i, pentru1j p 1,

LjC1 WLj D2.

Pentru a demonstra c˘at 2 K, este suficient s˘a demonstr˘am, prin recurent¸˘a dup˘a j, c˘a, pentru 1 j p, Lj K. Demonstrat¸ia este perfect analog˘a cu sfˆars¸itul demonstrat¸iei teoremei 1.2, ˆın care se ˆınlocuies¸teC cuK.

Observat¸ia8. Rezultatul precedent are o interpretare intuitiv˘a foarte simpl˘a. El spune, pur s¸i simplu c˘a toate numerele constructibile se pot obt¸ine plecˆand de la numerele rat¸ionaleQ, folosind operat¸iileC; ;;W;p. ˆIn fapt, nici m˘acare nu trebuie s˘a utiliz˘am toate numerele rat¸ionale, numerele0s¸i1sunt suficiente.

Ne amintim c˘a am spus c˘a un punct este constructibil dac˘a ambele sale coordonate relativ la reperulfO; I; Jgsunt numere constructibile. Dac˘a identific˘am planul cu corpul numerelor complexe, atunci este clar c˘a mult¸imea punctelor constructibile coincide cu subcorpul luiC,C.i /, undei este, desigur, unitatea imaginar˘a.

Corpul C.i / admite o caracterizare analog˘a caracteriz˘arii corpului C. Mai precis, avem teorema care urmeaz˘a.

Teorema 1.4. C.i /este cel mai mic subcorp al luiCstabil relativ la r˘ad˘acina p˘atrat˘a.

Demonstrat¸ie. Un subcorpKal luiCse numes¸testabil relativ la r˘ad˘acina p˘atrat˘adac˘a pentru orice˛ 2 K r˘ad˘acinile polinomuluiX² ˛ sunt ˆınK. Aceast˘a afirmat¸ie este, ˆın mod evident, echivalent˘a cu afirmat¸ia c˘a orice polinom de gradul doi din KŒX se descompune, ˆınKŒX , ˆın factori de gradul ˆıntˆai.

S˘a demonstr˘am, acum, c˘aC.i /este stabil relativ la r˘ad˘acina p˘atrat˘a. CumC.i /este cel mai mic subcorp al luiCcare cont¸ineCs¸ii, este us¸or de constatat c˘a

C.i /D˚

aCi bja; b2C :

(26)

Fie˛ 2C.i /. Atunci˛ DaCi b, cua; b2C. Trebuie s˘a verific˘am c˘a, dac˘a

˛D.uCiv/²; atunciu; v2C. Dar˛ D.uCiv/²dac˘a s¸i numai dac˘a

(aDu² v²; b D2uv:

u²s¸i v²sunt r˘ad˘acinile polinomului

X² aX b² 4 ; adic˘a sunt egale cu

a˙p

a²Cb²

2 :

Prin urmare,

uD ˙ s

aCp

a²Cb²

2 ;

de unde

v D ˙ sp

a²Cb² a

2 :

Semnele se aleg t¸inˆand cont de faptul c˘ab D2uv. Oricum am alege semnele,u; v 2C, deoarecea; b2C, iarCeste stabil relativ la r˘ad˘acina p˘atrat˘a.

S˘a demonstr˘am, acum, c˘aC.i / este cel mai mic subcorp al luiC stabil relativ la r˘ad˘acina p˘atrat˘a.

FieK un subcorp al luiC stabil relativ la r˘ad˘acina p˘atrat˘a. AtunciK\Rva fi un subcorp al luiR, stabil relativ la r˘ad˘acina p˘atrat˘a. Deducem, din teorema 1.3, c˘a

CK\RK:

ˆIn plus, cum 1 2 K, iar K e stabil relativ la r˘ad˘acina p˘atrat˘a, rezult˘a c˘ai 2 K, deci C.i /2K.

1.8 Reciproca rezultatului lui Wantzel

Dup˘a cum am v˘azut, rezultatul lui Wantzel ne d˘a doar o condit¸ie necesar˘a pentru ca un num˘ar s˘a fie constructibil. Este natural s˘a ne ˆıntreb˘am dac˘a reciproca sa este adev˘arat˘a.

Cu alte cuvinte, dac˘ateste un num˘ar real, algebraic pesteQ, iar gradul s˘au este o putere

(27)

1.8. Reciproca rezultatului lui Wantzel 27 a lui 2, este acest num˘ar constructibil? Vom da mai jos un contraexemplu, care va dovedi c˘a r˘aspunsul la aceast˘a ˆıntrebare este negativ.

Consider˘am polinomulP 2QŒX ,

P .X /DX⁴ X 1:

Vom demonstra, mai ˆıntˆai, c˘a polinomul este ireductibil ˆınQŒX . Asta va ˆınsemna c˘a orice r˘ad˘acin˘a a luiP este un num˘ar algebric pesteQ, de gradul4D2². Pe de alt˘a parte, vom ar˘ata c˘a acest polinom are o r˘ad˘acin˘a real˘a, care nu este constructibil˘a. PolinomulP se poate descompune, ˆınRŒX , ˆıntr-un produs de dou˘a polinoame de gradul doi, adic˘a:

X⁴ X 1D.X²CaXCb/.X²Ca⁰X Cb⁰/; a; b; a⁰; b⁰2R: (1.1) Identificˆand coeficient¸ii, obt¸inem:

8 ˆˆ ˆˆ

<

ˆˆ ˆˆ :

aCa⁰D0;

bCb⁰Caa⁰D0;

ab⁰Ca⁰bD 1;

bb⁰D 1;

sau 8 ˆˆ ˆˆ

<

ˆˆ ˆˆ :

aD a;

bCb⁰Da²; a.b⁰ b/D 1;

bb⁰D 1:

Din a doua s¸i a patra ecuat¸ie din cel de-al doilea sistem, deducem c˘a b s¸i b⁰ sunt r˘ad˘acinile ecuat¸iei

T² a²T 1D0:

Cumas¸ia⁰sunt opuse, putem presupyne, de exemplu, c˘aa > 0, ceea ce ˆınseamn˘a c˘a b⁰< b, de unde rezult˘a c˘a avem

8 ˆˆ ˆ<

ˆˆ ˆ:

b D a²Cp a⁴C4

2 ;

b⁰D a² p a⁴C4

2 ;

prin urmare

(b b⁰D p a⁴C4;

ap

a⁴C4D1:

PolinomulX²CaX Cb are discriminantul

1Da² 4bDa² 2

a²Cp

a⁴C4

D a² 2p

a⁴C4 < 0;

ceea ce ˆınseamn˘a c˘a acest polinom are dou˘a r˘ad˘acini complexe conjugate. Polinomul X²Ca⁰XCb⁰are discriminantul

2Da⁰² 4b⁰Da² 2

a² p

a⁴C4 D2p

a⁴C4 a²> 0;

(28)

adic˘a acest polinom are dou˘a r˘ad˘acini reale distincte, fie ele˛ s¸iˇ.

Plecˆand de la egalitateaap

a⁴C4D1, deducem c˘aa².a⁴C/D1, ceea ce ˆınseamn˘a c˘aa²este r˘ad˘acin˘a a ecuat¸iei

T³C4T 1D0:

Este us¸or de verificat c˘a aceast˘a ecuat¸ie nu are r˘ad˘acini rat¸ionale, deci polinomulT³C 4T 1este ireductibil ˆınQŒX . Dar asta ˆınseamn˘a c˘aa²este algebric pesteQ, iar gradul s˘au este egal cu 3. Rezultatul lui Wantzel ne asigur˘a, atunci, c˘aa²nu este constructibil, prin urmare nicianu este un num˘ar constructibil.

Din prima formul˘a a lui Vi`ete, avem

˛CˇD a⁰Da:

Cumanu este constructibil, ˆınseamn˘a c˘a cel put¸in una dintre r˘ad˘acinile luiP este neconstructibil˘a.

Ne-a mai r˘amas de demonstrat doar c˘a P este ireductibil ˆın QŒX . Cum a este neconstructibil, el nu este rat¸ional, deci descompunerea (1.1) nu este o descompunere ˆın QŒX . Cum, ˆın plus, polinomul X² CaX Cb nu are r˘ad˘acini reale, nici o alt˘a descompunere a luiP nu se poate face ˆınQŒX . As¸adar,P este ireductibil ˆınQŒX .

(29)

CAPITOLUL 2

Poligoane regulate

2.1 Poligoane regulate constructibile

ˆIn acest capitol, vom lucra cuunghiuri orientate, cu alte cuvinte, vom face distinct¸ie, de exemplu, ˆıntre un unghi^ABC

1

s¸i unghiul

1

CBA, m˘asura celui de-al doilea fiind conside- rat˘a egal˘a cu opusa m˘asurii celei dintˆai.

Dac˘a 2 R, vom nota cubunghiul orientat a c˘arui m˘asur˘a ˆın radiani este egal˘a cu . Celelalte m˘asuri ale unghiului suntC2k, undek 2Z.b posed˘a o unic˘a m˘asur˘a ˆın radiani˛2. ; , care se numes¸tedeterminare principal˘aa unghiului dat.

Unghiulbse numes¸teconstructibildac˘a punctulM de pe cercul (cu centrul ˆınO s¸i care trece prinI) pentru care

.

4

OI ;! OM /! Db

este un punct constructibil. A spune c˘ab este constructibil este echivalent cu a spune c˘a num˘arul cos este constructibil. ˆIntr-adev˘ar, dac˘a avem OH D cos, atunci perpendiculara pe dreaptaOI care trece prinH intersecteaz˘a cerculˆın dou˘a puncte,M s¸iM⁰. Alegem punctul care corespunde luib, t¸inˆand cont de determinarea principal˘a a unghiului.

Dac˘an 3, vom spune c˘a un poligon regulat cu n laturi este constructibildac˘a unghiul de m˘asur˘a 2=neste constructibil, adic˘a dac˘a num˘arul real cos2

n este constructibil.

29

(30)

O H I

M⁰ M J

Figura 2.1

2.2 Teorema lui Gauss

Scopul acestei sect¸iuni este s˘a prezent˘am o caracterizare a poligoanelor regulate care sunt constructibile cu rigla s¸i compasul. ˆIncepem cu o lem˘a:

Lema 2.1. Dac˘ams¸insunt numere naturale prime ˆıntre ele, atunci unghiul 2c mn este constructibil dac˘a s¸i numai dac˘a sunt constructibile unghiurile 2c

n s¸i 2c m . Demonstrat¸ie. (H))Dac˘a 2c

mneste constructibil, atunci s¸i 2c n s¸i2c

m sunt constructibile, deoarece

2c

n Dm2c mn; iar

2c

m Dn2c mn

s¸i noi s¸tim cum s˘a construim un multiplu ˆıntreg al unui unghi, purtˆand cu compasul de un anumit num˘ar de ori coarda determinat˘a de acest unghi ˆın cercul de centruOs¸i care trece prinI¹.

((H) Dac˘a unghiurile 2c n s¸i 2c

m sunt constructibile, atunci s¸i unghiul 2c mn este constructibil, c˘aci, conform relat¸iei lui Bezout, exist˘a; 2Z, cu

nCmD1;

1Este de remarcat c˘a ˆın demonstrarea acestei implicat¸ii nu se foloses¸te faptul c˘a numerelems¸insunt prime ˆıntre ele.

(31)

2.2. Teorema lui Gauss 31 de unde

2c

mn D2c

n C2c m:

Prin urmare, este suficient s˘a s¸tim s˘a construim suma a dou˘a unghiuri constructibile. Dar asta este foarte simplu, este suficient s˘a as¸ez˘am cele dou˘a unghiuri cu vˆarful ˆın acelas¸i punct, astfel ˆıncˆat ele s˘a aib˘a o latur˘a comun˘a.

Lema 2.2. Dac˘an3are descompunerea ˆın factori primi nDp₁^˛¹ p_k^˛^k

atunci poligonul regulat cunlaturi este constructibil dac˘a s¸i numai dac˘a sunt constructibile unghiurile

2c

p₁^˛¹; : : : 2c p_k^˛^k:

Demonstrat¸ie. Lema rezult˘a imediat din lema 2.1, prin induct¸ie dup˘ak.

Lema 2.2 ne permite caracterizarea unghiurilor constructibile de forma 2c

p^˛, undep este un num˘ar prim, iar˛este un num˘ar natural nenul.

Teorema 2.1. 1) Unghiurile de forma 2c

2^˛ sunt constructibile.

2) Dac˘a p este un num˘ar prim mai mare sau egal cu 3, atunci 2c

p^˛ este constructibil dac˘a s¸i numai dac˘a˛ D1, iarpeste un num˘ar Fermat, adic˘a este de forma1C2²^ˇ, undeˇeste un num˘ar natural.

Demonstrat¸ie. 1) Este imediat c˘a unghiurile de forma 2c

2^˛ sunt constructibile. Este suficient s˘a s¸tim s˘a construim bisectoarea unui unghi, apoi folosim induct¸ia dup˘a˛.

2) Fiep3un num˘ar prim.

(H)) S˘a presupunem c˘a unghiul 2c

p^˛ este constructibil, cu˛ 2N. Atunci cos2 p^˛ este un num˘ar constructibil s¸i atunci, din rezultatul lui Wantzel, obt¸inem c˘a:

Q

cos2

p^˛

WQ

D2^m; (2.1)

pentru un anumit num˘ar naturalm.

Pentru a simplifica scrierea, vom puneq Dp^˛s¸i fie

! Dcos2

q Cisin2 q :

(32)

! este o r˘ad˘acin˘a de ordinulq a unit˘at¸ii, r˘ad˘acin˘a a polinomuluiX^q 1, deci! este algebric pesteQ. Admitem c˘a polinomul minimal al lui!pesteQeste

P .X /D.X !1/.X !2/ .X !_h/;

unde!1; : : : ; !_hsunt r˘ad˘acinile primitive de ordinulqale unit˘at¸ii, adic˘a aceste r˘ad˘acini sunt de forma

cos2k

q Cisin2k q ;

undekeste un num˘ar ˆıntreg prim cuq,1kq. Vom spune c˘aP .X /estepolinomul ciclotomicde ordinulq.

Pentru a determina gradulhal luiP .X /este suficient s˘a cunoas¸tem num˘arul ˆıntregilor k,1 k q, astfel ˆıncˆatks˘a fie prim cuq Dp^˛. Se obt¸ineh Dp^{˛ 1}.p 1/, prin urmare

Q.!/WQ

Dp^{˛ 1}.p 1/: (2.2)

Pe de alt˘a parte, avem

!C! ¹ D2cos2 p^˛; de unde rezult˘a c˘a

cos2

p^˛ 2Q.!/ s¸i c˘a !² 2!cos2

p^˛ C1D0:

Astfel,!este algebric de gradul 2 pesteQ

cos2 p^˛

, de unde rezult˘a c˘a:

Q.!/WQ

2cos2 p^˛

D2: (2.3)

Plecˆand de la relat¸iile (2.1), (2.2) s¸i (2.3) s¸i s¸tiind c˘a Q.!/WQ

D

Q.!/WQ

2cos2 p^˛

Q

2cos2 p^˛

WQ

; se obt¸ine

p^{˛ 1}.p 1/D2^m^C¹:

Cumpeste un num˘ar prim diferit de 2, rezult˘a c˘a˛ D1s¸i c˘ap D1C2^m^C¹.

Vom demonstra acum c˘amC1este o putere a lui. Plecˆand de la descompunerea lui mC1ˆın factori primi, se obt¸ine c˘a

mC1D2^ˇ;

(33)

2.3. Construct¸ii de poligoane regulate 33 cuˇ2Ns¸i2N– un num˘ar impar. Prin urmare,

pD1C2^m^C¹D1C2²^ˇ D1C 2²^ˇ

:

fiind un num˘ar impar, polinomul1CX este divizibil cu1CX. Rezult˘a c˘ap este divizibil cu1C2²^ˇ. Cumpeste un num˘ar prim, rezult˘a c˘apD1C2²^ˇ.

Teorema 2.2 (Gauss). Poligoanele regulate constructibile cu rigla s¸i compasul sunt cele pentru care num˘arul n de laturi este fie de forma 2^˛, cu ˛ 2, fie de forma 2^˛p1p2 pr, cu ˛ 2 N, unde pi sunt numere prime distincte care sunt, ˆın acelas¸i timp, numere Fermat.

Demonstrat¸ie. Demonstrat¸ia rezult˘a imediat din lema 2.2 s¸i teorema 2.1.

2.3 Construct¸ii de poligoane regulate

2.3.1 Triunghiul echilateral, p˘atratul, pentagonul regulat

Construct¸iatriunghiului echilateraleste foarte simpl˘a, din moment ce s¸tim c˘a avem cos2

3 D 1 2 (vezi figura 2.2).

O I 1 2

Figura 2.2

Construct¸iap˘atratuluieste trivial˘a, folosind puncteleI s¸iJ (vezi figura 2.3).

(34)

O I J

Figura 2.3

Construct¸ia pentagonului regulateste ceva mai complicat˘a, des¸i ea este cunoscut˘a ˆınc˘a din antichitate, fiind prezent˘a ˆınElementelelui Euclid. O vom prezenta ˆın cele ce urmeaz˘a (vezi figura 2.4). ˆIn fapt, este suficient s˘a exprim˘am cos2

5 ˆıntr-o form˘a care s˘a permit˘a construirea, efectiv˘a, a punctului de pe axaOxde abscis˘a cos2

5 . cos2

5 Cisin2 5 este o r˘ad˘acin˘a a polinomului

X⁵ 1D.X 1/.X⁴CX³CX²CX C1/:

Avem, prin urmare,

!⁴C!³C!²C!C1D0: (2.4)

!⁴este conjugatul lui!, iar!³este conjugatul lui!², deci avem

!C!⁴D2cos2

5 s¸i !²C!³Dcos4 5 : Din (2.4) rezult˘a atunci:

2cos2

5 C2cos4

5 C1D0: (2.5)

Consider˘am produsul

cos2

5 cos4 5 ; egal cu

1 2

cos6

5 Ccos2 5

D 1

2

cos4

5 Ccos2 5

:

(35)

2.3. Construct¸ii de poligoane regulate 35

I M1

M₂

M3

M4

I⁰

O J

A C B

Figura 2.4

Dac˘a not˘am cup, respectivs, produsul s¸i suma numerelor cos2

5 s¸i cos4

5 , obt¸inem, t¸inˆand cont de (2.5),

sD 1

2 s¸i p D 1 4: Astfel, cos2

5 s¸i cos4

5 sunt r˘ad˘acinile ecuat¸iei X²C 1

2X 1 4 D0:

Remarcˆand faptul c˘a

cos4

5 < 0 <cos2 5 ; avem

cos2

5 D 1Cp 5

4 D

1 2 C

r5 4

2 :

FieAmijlocul segmentuluiOI⁰. Avem, prin urmare, AJ D

r5 4:

Folosind cercul de centru A s¸i de raz˘a AJ, construim punctul B pe Ox astfel ˆıncˆat AB DAJ. Avem, atunci,

OB D 1 2 C

r5 4:

(36)

Dac˘aC este mijlocul luiOB, atunci avem

OC Dcos2 5 :

Perpendiculara ˆınC peOxpermite obt¸inerea vârfuluiM1. Cu ajutorul compasului, cu o deschidere egal˘a cu coardaIM1, construim celelalte patru vârfuri,M2; M3; M4. Observat¸ia 9. Grat¸ie posibilit˘at¸ii construirii bisectoarei unui unghi, putem dubla, tot timpul, num˘arul de laturi al unui poligon regulat constructibil. Astfel, plecând de la un triunghi echilateral, obt¸inem poligoane regulate cu 6, 12, 24, . . . de laturi, iar plecând de la p˘atrat, se pot construi poligoane regulate cu 8, 16, 32, . . . de laturi. De asemenea, plecând de la un pentagon regulat, se pot construi poligoane regulate cu 10, 20, 40, . . . de laturi.

2.3.2 Poligonul cu 15 laturi

Deoarece 3 s¸i 5 sunt numere prime Fermat, rezult˘a cˆa poligonul regulat cu 15 laturi se poate construi cu rigla s¸i compasul.

Ideea construct¸iei este s˘a plec˘am de la o relat¸ie Bezout ˆıntre numerele 3 s¸i 5 s¸i, apoi, s˘a exprim˘am, folosind aceast˘a relat¸ie, unghiul 2c

15 ˆın funct¸ie de unghiurile2c 3 s¸i 2c

5 . Avem23C. 1/5D1(relat¸ia Bezout pomenit˘a mai sus), de unde

22c 5

2c 3 D 2c

15:

Utilizˆand construct¸iile pentru triunghiul echilateral s¸i pentagonul regulat, se pot construi pe cercul puncteleM s¸iN astfel ˆıncˆıt

.

4

OI ;! OM /! D22c

5 s¸i _.

4

_{OI ;}^! _{ON /}^! _D ²^c

3 : Avem atunci

.

5

ON ;! OM /! D 2c 15

s¸i, folosind compasul cu o deschidere egal˘a cu coarda MN, se construies¸te punctulP astfel ˆıncˆat

.

4

OI ;! OP /! D 2c 15:

(37)

ANEXA A

Transcendent¸a num ˘arului

Teorema A.1(Lindemann, 1882). Num˘arul realeste transcendent pesteQ.

Demonstrat¸ie. Presupunem c˘aar fi algebric s¸i g˘asim o contradict¸ie. Deoarece s¸iieste algebric, iar numerele algebrice complexe formeaz˘a un corp, rezult˘a c˘a s¸i num˘arul i este, de asemenea, algebric. Prin urmare, exist˘a o ecuat¸ie algebric˘a cu coeficient¸i ˆıntregi

P1.x/D0; (A.1)

ale c˘arei r˘ad˘acini sunt i Dr1; r2; : : : ; rn. Cum e^r¹ eⁱ D 1;

(relat¸ia lui Euler), obt¸inem

.e^r¹C1/.e^r²C1/ .e^rⁿC1/D0: (A.2) Vom construi acum o ecuat¸ie algebric˘a cu coeficient¸i ˆıntregi ale c˘arei r˘ad˘acini sunt exponent¸ii din dezvoltarea membrului stˆang al ecuat¸iei (A.2). Consider˘am, mai ˆıntˆai, exponent¸ii

r1Cr2; r1Cr3; : : : ; rn 1Crn: (A.3) Din ecuat¸ia (A.1) rezult˘a c˘a funct¸iile simetrice elementare der1; r2; : : : ; rnsunt numere rat¸ionale (tot ce se utilizeaz˘a sunt formulele lui Vi`ete). Prin urmare, funct¸iile simetrice elementare de cantit˘at¸ile (A.3) sunt, de asemenea, numere rat¸ionale, as¸adar aceste cantit˘at¸i sunt r˘ad˘acinile unei ecuat¸ii algebrice cu coeficient¸i ˆıntregi

P2.x/D0: (A.4)

37

(38)

ˆIn mod similar, sumele de cˆate treiri sunt celeC_n³r˘ad˘acini ale unei ecuat¸ii algebrice cu coeficient¸i ˆıntregi

P3.x/D0: (A.5)

Continuˆand procedeul, obt¸inem

P4.x/D0; P5.x/D0; : : : ; Pn.x/D0; (A.6) ecuat¸ii algebrice cu coeficient¸i ˆıntregi, ale c˘aror r˘ad˘acini sunt sumele de cˆate 4, 5, . . . ,n r˘ad˘aciniri ale ecuat¸iei (A.1). Ecuat¸ia produs

P1.x/P2.x/ Pn.x/D0 (A.7)

are ca r˘ad˘acini exact exponent¸ii dezvolt˘arii membrului stˆang al ecuat¸iei (A.2).

Eliminarea r˘ad˘acinilor nule (dac˘a exist˘a) din ecuat¸ia (A.7) ne conduce la o ecuat¸ie de forma

P .x/Dax^mCam 1x^{m 1}C Ca1xCa0 D0 (A.8) ale c˘arei r˘ad˘acini˛1; ˛2; : : : ; ˛msunt sunt exponent¸ii nenuli din dezvoltarea membrului stˆang al ecuat¸iei (A.2), iar coeficient¸ii sunt numere ˆıntregi. Prin urmare, relat¸ia (A.2) se poate scrie sub forma

e^˛¹Ce^˛²C Ce^˛^mCkD0; (A.9) undekeste un ˆıntreg (strict) pozitiv.

Introducem acum un polinom auxiliar,

f .x/D a^sx^{p 1}ŒP .x/^p

.p 1/Š ; (A.10)

undesDmp 1, iarpeste un num˘ar prim a c˘arui valoare va fi precizat˘a ulterior. Gradul luif este

p 1CpmDpm 1Cp DsCp:

Este de remarcat c˘a polinomulf .x/este un polinom cu coeficient¸i complecs¸i, deci de- riv˘arile pe care le vom face mai jos se refer˘a la funct¸ii cu o variabil˘a complex˘a. Formal, ˆıns˘a, regulile sunt aceleas¸i ca s¸i ˆın cazul funct¸iilor de o variabil˘a real˘a.

Definim, mai departe,

F .x/Df .x/Cf⁰.x/Cf^.2/.x/C Cf^.s^C^p/.x/: (A.11) Deoarece f^.s^C^p^C^1/.x/ D 0, remarc˘am c˘a derivata funct¸ieie xF .x/ este e xf .x/, fapt de care vom avea nevoie ˆın cele ce urmeaz˘a. ˆIntr-adev˘ar, avem

d dx

e ^xF .x/

De ^xh

f⁰.x/Cf^.2/.x/C Cf^.s^C^p/.x/i e ^xh

f .x/Cf⁰.x/Cf^.2/.x/C Cf^.s^C^p/.x/i

De ^xf .x/:

(39)

39 ˆIn cele ce urmeaz˘a,x va fi privit ca fiind un num˘ar complex arbitrar, dar fixat s¸i consider˘am funct¸ia dat˘a de

.u/De ^xuF .xu/;

unde ueste o variabil˘a real˘a. Prin urmare, este o funct¸ie cu valori complexe, de o variabil˘a real˘a. Derivarea s¸i integrarea acestor funct¸ii sunt definite aplicˆand aceste operat¸ii separat p˘art¸ii reale s¸i p˘art¸ii imaginare, ambele fiind funct¸ii reale de o variabil˘a real˘a. Este foarte us¸or de verificat c˘a teorema Leibniz-Newton se extinde la acest gen de funct¸ii, sub forma:

.b/ .a/D Z b

a

⁰.u/du:

Scopul nostru este s˘a aplic˘am aceast˘a teorem˘a intervalului Œ0; 1. ˆIn acest scop, trebuie s˘a calcul˘am⁰.u/. Folosind schimbarea de variabil˘a

zDux;

putem scrie

.u/De ^zF .z/:

Rezult˘a c˘a

⁰.u/D d

dzŒe ^zF .z/ dz

du D e ^zf .z/x D xe ^zf .ux/:

Aplic˘am acum teorema Leibniz-Newton pe intervalulŒ0; 1s¸i obt¸inem .1/ .0/D

Z 1 0

⁰.u/du;

e ^xF .x/ e ⁰F .0/D Z 1

0

xe ^uxf .ux/du;

F .x/ e^xF .0/D Z 1

0

xe^{.1 u/x}f .ux/du

L˘asându-l pexs˘a ia, pe rând, valorile˛1; ˛2; : : : ; ˛ms¸i ˆınsumând rezultatele, obt¸inem

m

X

jD1

F .˛j/CkF .0/D

m

X

jD1

Z 1 0

e^{.1 u/˛}^jf .u˛j/du: (A.12)

Planul nostru de a obt¸ine o contradict¸ie cu ipoteza c˘a este un num˘ar algebric este s˘a alegem num˘arul prim p astfel ˆıncˆat membrul stˆang al ecuat¸iei (A.12) s˘a fie un num˘ar ˆıntreg nenul, iar membrul drept s˘a fie un num˘ar arbitrar de mic (ˆın particular, subunitar).