ALGEBR¼ A LINIAR¼ A, GEOMETRIE ANALITIC¼ A ¸ SI GEOMETRIE

(1)

ALGEBR¼ A LINIAR¼ A, GEOMETRIE ANALITIC¼ A ¸ SI GEOMETRIE

DIFEREN¸ TIAL¼ A

Ion Vladimirescu Florian Munteanu

Universitatea din Craiova, ROMÂNIA

(2)

(3)

Cuprins

I ALGEBR ¼ A LINIAR ¼ A 1

1 Spa¸tii vectoriale 3

1.1 No¸tiunea de spa¸tiu vectorial . . . 3

1.2 Liniar dependen¸t¼a. Sistem de generatori . . . 5

1.3 Baz¼a ¸si dimensiune . . . 7

1.4 Coordonatele unui vector relativ la o baz¼a . . . 10

1.5 Subspa¸tii vectoriale . . . 14

1.6 Probleme propuse spre rezolvare . . . 20

2 Aplica¸tii liniare 23 2.1 No¸tiunea de aplica¸tie liniar¼a . . . 23

2.2 Aplica¸tii liniare injective, surjective ¸si bijective . . . 25

2.3 Nucleu ¸si imagine pentru o aplica¸tie liniar¼a . . . 26

2.4 Spa¸tii vectoriale izomorfe . . . 28

2.5 Matricea unei aplica¸tii liniare . . . 29

2.6 Subspa¸tii invariante fa¸t¼a de un endomor…sm . . . 34

2.7 Valori proprii ¸si vectori proprii pentru un endomor…sm . . . 35

2.8 Endomor…sme diagonalizabile . . . 39

3 Forme biliniare. Forme p¼atratice 51 3.1 No¸tiunea de form¼a biliniar¼a . . . 51

3.2 No¸tiunea de form¼a p¼atratic¼a . . . 53

3.3 Metoda lui Gauss . . . 55

3.4 Metoda lui Jacobi . . . 59

3.5 Forme p¼atratice de…nite pe spa¸tii vectoriale reale . . . 61

4 Spa¸tii euclidiene 67 4.1 No¸tiunea de spa¸tiu vectorial euclidian . . . 67

4.2 Inegalitatea lui Cauchy . . . 69

4.3 Baze ortonormate. Procedeul Gram-Schmidt . . . 70

4.4 Complementul ortogonal . . . 73 1

(4)

4.5 Operatori simetrici: de…ni¸tie, propriet¼a¸ti . . . 74

4.6 Metoda transform¼arilor ortogonale . . . 80

II GEOMETRIE ANALITIC ¼ A 85

5 Vectori liberi 87 5.1 No¸tiunea de vector liber . . . 87

5.2 Spa¸tiul vectorial real3-dimensional V³ . . . 89

5.3 Produse de vectori înV³ . . . 93

5.4 Repere carteziene ortonormate înE₃ . . . 99

6 Dreapta ¸si planul în spa¸tiu 107 6.1 Dreapta în spa¸tiu . . . 107

6.1.1 Reprezent¼ari analitice ale dreptei . . . 107

6.1.2 Distan¸ta de la un punct la o dreapt¼a. Unghiul a dou¼a drepte109 6.1.3 Pozi¸tia relativ¼a a dou¼a drepte . . . 109

6.2 Planul în spa¸tiu . . . 110

6.2.1 Reprezent¼ari analitice ale planului . . . 110

6.2.2 Distan¸ta de la un punct la un plan. Unghiul a dou¼a plane 112 6.2.3 Pozi¸tia relativ¼a a dou¼a plane . . . 113

6.2.4 Fascicule de plane . . . 114

6.2.5 Perpendiculara comun¼a a dou¼a drepte necoplanare . . . . 116

7 Conice ¸si cuadrice 121 7.1 Cuadrice (conice): de…ni¸tie, ecua¸tii . . . 121

7.2 Intersec¸tia unei cuadrice (conice) cu o dreapt¼a . . . 122

7.3 Centru pentru o cuadric¼a (conic¼a) . . . 124

7.4 Planul tangent la o cuadric¼a . . . 126

7.5 Reducerea ecua¸tiei unei cuadrice (conice) . . . 127

7.6 Studiul cuadricelor pe ecua¸tia canonic¼a. Sfera . . . 134

7.7 Suprafe¸te riglate. Suprafe¸te de rota¸tie . . . 143

III GEOMETRIE DIFEREN ¸ TIAL ¼ A 149

8 Curbe în plan ¸si în spa¸tiu 151 8.1 Drumuri parametrizate . . . 151

8.2 De…ni¸tia curbei. Moduri de reprezentare . . . 155

8.2.1 Curbe în plan . . . 157

8.2.2 Curbe în spa¸tiu (curbe strâmbe) . . . 158

(5)

CUPRINS 3

8.3 Tangenta ¸si normala. Planul normal . . . 160

8.3.1 Cazul curbelor plane . . . 160

8.3.2 Cazul curbelor în spa¸tiu . . . 162

8.4 Curbur¼a. Torsiune. Triedrul lui Frenét . . . 164

9 Suprafe¸te 179 9.1 Pânze parametrizate. Suprafe¸te . . . 179

9.2 Curbe pe o suprafa¸t¼a. Curbe coordonate . . . 182

9.3 Plan tangent. Normal¼a . . . 184

9.4 Prima form¼a fundamental¼a a unei suprafe¸te . . . 187

9.5 A doua form¼a fundamental¼a a unei suprafe¸te . . . 191

(6)

(7)

Prefa¸ t¼ a

Acest curs este destinat în primul rând studen¸tilor din anul I, de la Facultatea de Automatic¼a, Calculatoare ¸si Electronic¼a a Universit¼a¸tii din Craiova care au prev¼azut în planul de înv¼a¸t¼amânt disciplina fundamental¼a obligatorie "Algebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a ¸si geometrie diferen¸tial¼a", în semestrul I, anul I. De asemenea cursul este foarte util studen¸tilor în primul an al facult¼a¸tilor cu pro…l tehnic, economic, matematic¼a-informatic¼a, …zic¼a, chimie, agronomie, horticul- tur¼a, dar ¸si tuturor celor care doresc s¼a înve¸te ¸si s¼a aprofundeze cuno¸stin¸te teoretice ¸si practice de algebr¼a liniar¼a, geometrie analitic¼a ¸si geometrie diferen¸tial¼a a curbelor ¸si suprafe¸telor.

Cursul are o structur¼a ¸si un con¸tinut foarte apropiate de cartea Profesorului Ion Vladimirescu, Matematici speciale, Reprogra…a Universit¼a¸tii din Craiova, 1987, …ind în mare m¼asur¼a o reeditare a acesteia. Dar materialul de fa¸t¼a este

¸

si rodul colabor¼arii deosebite dintre cei doi autori din ultimii 9 ani, colaborare pentru care al doilea autor, Florian Munteanu, aduce sincere mul¸tumiri Profe- sorului Ion Vladimirescu.

Cartea are trei p¼ar¸ti: Algebr¼a liniar¼a, Geometrie analitic¼a ¸si Geometrie diferen¸tial¼a. Prima parte se compune din capitolele: 1. Spa¸tii vectoriale; 2. Aplica¸tii liniare; 3. Forme biliniare. Forme p¼atratice; 4. Spa¸tii euclidiene. Partea a doua este alc¼atuit¼a din capitolele: 5. Vectori liberi; 6. Dreapta ¸si planul în spa¸tiu; 7.

Conice ¸si cuadrice. A treia parte este format¼a din capitolele: 8. Curbe în plan

¸

si în spa¸tiu; 9. Suprafe¸te.

No¸tiunile teoretice sunt prezentate foarte clar ¸si sper¼am pe în¸telesul tuturor studen¸tilor, …ind înso¸tite de foarte multe exemple ¸si exerci¸tii rezolvate complet.

În plus, pentru o mai bun¼a consolidare a no¸tiunilor, la sfâr¸situl …ec¼arui capitol este l¼asat spre rezolvare câte un set de probleme. Pentru cititorul care vrea s¼a parcurg¼a ¸si s¼a în¸teleag¼a con¸tinutul c¼ar¸tii sunt necesare no¸tiuni elementare de matematic¼a din clasele I-XII, cunoscute la nivel cel pu¸tin satisf¼ac¼ator, dar mai ales no¸tiunile de algebr¼a din clasa a XI-a (matrici, determinan¸ti, sisteme de ecua¸tii liniare). De asemenea, mai ales pentru ultima parte a cursului, este nevoie de cunoa¸sterea unor no¸tiuni fundamentale ale analizei matematice (derivate par¸tiale, teorema func¸tiilor implicite) ¸si a unor no¸tiuni elementare de topologie (mul¸time deschis¼a, vecin¼atate a unui punct).

Autorii

i

(8)

(9)

Partea I

ALGEBR ¼ A LINIAR ¼ A

1

(10)

(11)

Capitolul 1

Spa¸ tii vectoriale

1.1 No¸ tiunea de spa¸ tiu vectorial

Fie V o mul¸time nevid¼a, ale c¼arei elemente le vom nota cu a, b, c, . . . ¸si K un corp comutativ (zis ¸si câmp) cu elementele notate , , , . . . (exceptând zeroul ¸si unitatea corpului pe care le vom nota cu0, respectiv1). De asemenea, presupunem c¼a pe mul¸timea V este de…nit¼a rela¸tia de egalitate a elementelor sale.

De…ni¸tia 1.1.1 Spunem c¼a pe mul¸timea V avem o structur¼a despa¸tiu vectorial (liniar) peste corpulK dac¼a V este dotat¼a cu dou¼a legi de compozi¸tie:

I) O lege de compozi¸tie intern¼a+ :V V !V, numit¼aadunare, în raport cu care V are structur¼a de grup.

II) O lege de compozi¸tie extern¼a _s : K V !V, numit¼a înmul¸tire cu scalari, care satisface urm¼atoarele axiome:

i) a+b = a+ b, ii) ( + )a= a+ a, iii)( )a= ( a), iv) 1a,

oricare ar …a,b2V ¸si , 2K.

Elementele unui spa¸tiu vectorial se numescvectori, iar elementele corpului se numesc scalari. Elementul neutru al grupului (V;+) se nume¸ste vectorul nul (notat0) al spa¸tiului vectorialV.

Un spa¸tiu vectorial peste corpul numerelor realeR(respectiv complexe C) se nume¸stespa¸tiu vectorial real(respectivcomplex).

Exemplul 1.1.1 Mul¸timea Kⁿ = f(x¹; x²; : : : ; xⁿ)jxⁱ 2 K; i = 1; : : : ; ng, n 1, are structur¼a de spa¸tiu vectorial peste corpul comutativ K, în raport cu opera¸tiile de adunare, de…nit¼a prin

x+y= (x¹+y¹; x²+y²; : : : ; xⁿ+yⁿ);

3

(12)

oricare ar …x= (x¹; x²; : : : ; xⁿ),y = (y¹; y²; : : : ; yⁿ)2Kⁿ

¸

si înmul¸tire cu scalari din K, de…nit¼a prin x= ( x¹; x²; : : : ; xⁿ);

oricare ar … 2K si¸ x= (x¹; x²; : : : ; xⁿ)2Kⁿ.

Spa¸tiul vectorial (Kⁿ;+; s) de…nit aici se nume¸ste spa¸tiul aritmetic. În acest spa¸tiu vectorul nul este n-uplul 0 = (0;0; : : : ;0), iar opusul vectorului x= (x¹; x²; : : : ; xⁿ)este vectorul x= ( x¹; x²; : : : ; xⁿ).

În particular, K este spa¸tiu vectorial pesteK, fa¸t¼a de opera¸tiile de corp.

Exemplul 1.1.2 Fie I o mul¸time nevid¼a ¸si K un corp comutativ. Mul¸timea KÎ =ffjf :I!K funçtieg are structur¼a de spa¸tiu vectorial pesteK, în raport cu opera¸tiile de adunare a funçtiilor ¸si înmul¸tirea funçtiilor cu scalari din K de…nite astfel:

- oricare ar …f,g2K^I de…nim func¸tiaf+gprin(f+g)(x)^def= f(x)+g(x), pentru orice x2I;

-oricare ar … 2 K, f 2 K^I de…nim func¸tia f prin ( f)(x) =^def f(x), pentru orice x2I.

În particular, dac¼a I = f1; : : : ; mg ¸si J = f1; : : : ; ng, atunci mul¸timea K^I ^J, adic¼a mul¸timea matricilor cu elemente dinK, avândmlinii ¸sincoloane (mul¸time notat¼a prin Mm;n(K)) are structur¼a de spa¸tiu vectorial fa¸t¼a de oper- a¸tiile obi¸snuite de adunare a matricelor ¸si înmul¸tirea matricilor cu scalari din K.

Exemplul 1.1.3 Mul¸timea numerelor complexe are structur¼a de spa¸tiu vectorial peste corpul numerelor reale în raport cu opera¸tiile de adunare a numerelor complexe ¸si înmul¸tire a numerelor complexe cu numere reale.

Exemplul 1.1.4 Mul¸timea polinoamelor de o nedeterminat¼a, cu coe…cien¸ti din K, K[X], are o structur¼a de spa¸tiu vectorial peste K, în raport cu adunarea polinoamelor ¸si înmul¸tirea polinoamelor cu scalari din K. La fel ¸si mul¸timea polinoamelor de o nedeterminat¼a, cu coe…cien¸ti dinKde grad cel multn,K_n[X], este spa¸tiu vectorial pesteK.

Exemplul 1.1.5 Dac¼a V este spa¸tiu vectorial peste K, atunci V este spa¸tiu vectorial peste orice subcorpK⁰ al luiK (K⁰ Kse nume¸stesubcorpal luiK daca K⁰ împreun¼a cu opera¸tiile de corp de pe K este tot corp). În particular, C este spa¸tiu vectorial pesteR¸si pesteQ. R este spa¸tiu vectorial pesteQ.

Propozi¸tia 1.1.1 FieV un spa¸tiu vectorial pesteK. Atunci, avem:

a) x+y=y+x, oricare ar …x,y 2 V;

b) Dac¼a 2 K si¸ x 2 V, atunci x = 0 dac¼a ¸si numai dac¼a = 0 sau x= 0;

c) Dac¼a 2K si¸ x2V, atunci ( )x= ( x) = ( x).

Demonstra¸tie. a) Egalit¼a¸tile(1 + 1)(x+y) = (1 + 1)x+ (1 + 1)y=x+x+y+y

¸

si(1 + 1)(x+y) = 1(x+y) + 1(x+y) =x+y+x+y, adev¼arate pentru orice x,y2V implic¼a x+x+y+y=x+y+x+y, adic¼ax+y=y+x.

(13)

1.2. LINIAR DEPENDEN ¸T ¼A. SISTEM DE GENERATORI 5 b) Dac¼a = 0 avem x= 0x= (0 + 0)x= 0x+ 0x, pentru orice x2V. Atunci 0x = 0, pentru orice x 2 V. Dac¼a x = 0, atunci avem x = 0 =

(0 + 0) = 0 + 0, oricare ar … 2K. Deci, 0 = 0.

Reciproc, ar¼at¼am c¼a dac¼a x= 0atunci = 0saux= 0. Într-adev¼ar, dac¼a avem 6= 0, atunci ¹( x) = ¹0 = 0(¸tinând cont de cele de mai sus) ¸si

1( x) = ( ¹ )x) = 1x = x, de unde rezult¼a c¼a x = 0. Iar dac¼a = 0, atunci e clar c¼a x= 0.

c) Mai întâi, din faptul c¼a x+ ( 1)x = (1 + ( 1))x= 0x= 0, rezult¼a c¼a x= ( 1)x.

Acum, pentru orice 2Ksi¸ x2V avem( )x= (( 1) )x= ( ( 1))x= (( 1)x) = ( x)¸si( )x= (( 1) )x= ( 1)( x) = ( x).

Corolarul 1.1.1 i) Dac¼a 2 Kn f0g ¸si x, y 2 V, atunci x = y dac¼a ¸si numai dac¼a x=y.

ii) Dac¼a , 2K, 6= atunci x= xdac¼a ¸si numai dac¼ax= 0.

În continuare, cu excep¸tia situa¸tiilor în care se precizeaz¼a altceva, prin corpul comutativ K vom în¸telege c¼a este vorba despre corpul numerelor realeR sau corpul numerelor complexeC.

1.2 Liniar dependen¸ t¼ a. Sistem de generatori

FieV un spa¸tiu vectorial pesteK¸siS=fa_iji2Ig V, undeIeste o mul¸time oarecare de indici.

De…ni¸tia 1.2.1 Spunem c¼a vectorul xeste o combina¸tie liniar¼a de vectori din S dac¼a exist¼a scalarii ⁱ 2 K, i 2 I, astfel încât x = X

i2I

ia_i , unde mul¸timeafi2Ij ⁱ6= 0g este …nit¼a.

În particular, vectorul x este o combina¸tie liniar¼a de vectorii a₁, a₂, . . . , a_n2V dac¼a exist¼a scalarii ¹, ²,: : :, ⁿ2Kastfel încâtx=

Xn i=1

ia_i :

De exemplu, vectorul nul este o combina¸tie liniar¼a de orice vectori din S, oricare ar …S V.

De…ni¸tia 1.2.2 Mul¸timea L(S) a tuturor combina¸tiilor liniare de vectori din S se nume¸steacoperirea liniar¼a (sau anvelopa liniar¼a) a lui S.

În particular, dac¼aS =fa₁; a₂; : : : ; a_ng, atunci

L(S) =L(a1; a2; : : : ; an) = ( _n

X

i=1

iai 1; ²; : : : ; ⁿ2K )

:

(14)

Exemplul 1.2.1 În spa¸tiul aritmeticR², se consider¼a vectorii a₁ = (1; 1) ¸si a₂= (2;1). Atunci acoperirea liniar¼a a sistemuluifa₁; a₂g este

L(a₁; a₂) =f ¹a₁+ ²a₂j ¹; ²2Rg=f( ¹+ 2 ²; ¹+ ²)j ¹; ²2Rg: Vectorul x= (2;2)2R² se scrie ca o combina¸tie liniar¼a de vectorii a₁; a₂ astfel:

x= 2 3a₁+4

3a₂:

Propozi¸tia 1.2.1 Dac¼a b1; b2; : : : ; bm2L(a1; a2; : : : ; an), atunci L(b1; b2; : : : ; bm) L(a1; a2; : : : ; an).

Demonstra¸tie. Se ¸tine cont de faptul c¼a pentru orice j = 1; : : : ; m avem bj =

Xn i=1

ijai, unde ⁱ_j2K,1 j m,1 i n.

Propozi¸tia 1.2.2 Dac¼a a2L(a1; a2; : : : ; an), atunci L(a1; a2; : : : ; an) =L(a; a1; a2; : : : ; an).

În particular, L(a1; a2; : : : ; an) =L(0; a1; a2; : : : ; an).

De…ni¸tia 1.2.3 Sistemul …nit de vectori fa₁; a₂; : : : ; a_ng se nume¸ste liniar dependent dac¼a exist¼a scalarii ¹; ²; : : : ; ⁿ 2 K, nu to¸ti nuli, astfel încât

1a1+ ²a2+ + ⁿan = 0. Se mai spune c¼a vectorii a1; a2; : : : ; an sunt liniar dependen¸ti.

Dac¼a vectorii a1; a2; : : : ; an nu sunt liniar dependen¸ti, atunci spunem c¼a ei sunt liniar independen¸ti (sau spunem c¼a sistemul fa1; a2; : : : ; ang V este liniar independent). Altfel spus, vectorii a1; a2; : : : ; an sunt liniar independen¸ti dac¼a egalitatea ¹a1+ ²a2+ + ⁿan = 0are loc numai pentru ¹= ²=

= ⁿ= 0.

Exemplul 1.2.2 1. Vectorii e1 = (1;0;0), e2 = (0;1;0), e3 = (0;0;1) din spa¸tiul aritmetic R³ sunt liniar independen¸ti. Într-adev¼ar, din ¹e1+ ²e2+

3e3= 0 rezult¼a( ¹; ²; ³) = (0;0;0), adic¼a ¹= ²= ³= 0.

2. Vectoriia1= (1; 1;2),a2= (2;1;1),a3= (1;2; 1)din spa¸tiul aritmetic R³ sunt liniar dependen¸ti deoarece a1 a2+a3= 0, adic¼a exist¼a o combina¸tie liniar¼a nul¼a de ace¸sti vectori, în care nu to¸ti scalarii sunt nuli.

De…ni¸tia 1.2.4 Sistemul arbitrar S =faiji2Ig de vectori din V se nume¸ste liniar dependent dac¼a exist¼a I1 I, …nit¼a, astfel ca subsistemul …nit S¹ = fa_iji2I₁g s¼a …e liniar dependent. În caz contrar, sistemulS se nume¸ste liniar independent.

Exemplul 1.2.3 Fie R[X] spa¸tiul vectorial real al polinoamelor de o nedeterminat¼a cu coe…cien¸ti reali. SistemulS =fXⁱji2Ng este liniar independent.

(15)

1.3. BAZ ¼A ¸SI DIMENSIUNE 7 Propozi¸tia 1.2.3 i) Sistemul fag V este liniar independent dac¼a ¸si numai dac¼aa6= 0.

ii) Un sistem de vectori ai unui spa¸tiu vectorial care con¸tine vectorul nul este liniar dependent.

iii) Orice sistem de vectori care con¸tine un sistem de vectori liniari dependen¸ti este liniar dependent.

iv) Orice sistem de vectori care este con¸tinut într-un sistem liniar independent este liniar independent.

Propozi¸tia 1.2.4 Vectorii a₁; a₂; : : : ; a_n 2 V sunt liniar dependen¸ti dac¼a ¸si numai dac¼a cel pu¸tin unul dintre ei se scrie ca o combina¸tie liniar¼a a celorlal¸ti.

Demonstra¸tie. Presupunem c¼a vectorii a1; a2; : : : ; an sunt liniar dependen¸ti.

Atunci, exist¼a scalarii ¹, ..., ⁿ2K, nu to¸ti nuli, astfel ca ¹a1+ ²a2+ +

na_n= 0. Dac¼a, de pild¼a, ⁱ6= 0, atuncia_i= Pn j=1; j6=i

( ^j( ⁱ) ¹)a_j. Reciproc, dac¼a a_i =

Pn j=1; j6=i

ja_j, atunci ¹a₁+ + ⁱ ¹a_i ₁+ ( 1)a_i+

i+1a_i+1+ + ⁿa_n = 0, adic¼aa₁; a₂; : : : ; a_n sunt liniar dependen¸ti (deoarece exist¼a o combina¸tie liniar¼a nul¼a de a₁; a₂; : : : ; a_n în care nu to¸ti scalarii sunt nuli).

De…ni¸tia 1.2.5 Spunem c¼a sistemul S de vectori din V este un sistem de generatori pentru V dac¼a orice vector x2V se scrie ca o combina¸tie liniar¼a de vectori din S (cu alte cuvinte, dac¼a V =L(S)).

În cazul particular S = fa₁; a₂; : : : ; a_ng spunem c¼a vectorii a₁; a₂; : : : ; a_n genereaz¼aspa¸tiul vectorialV, adic¼a V =L(a₁; a₂; : : : ; a_n).

Observa¸tia 1.2.1 i) Orice spa¸tiu vectorial V posed¼a cel pu¸tin un sistem de generatori, de exemplu chiar V.

ii) Dac¼aV =L(S)si¸ S S⁰ atunci V =L(S⁰).

Exemplul 1.2.4 Vectorii a₁ = (1; 1),a₂ = (2;1) genereaz¼a spa¸tiul vectorial aritmetic R², deoarece oricare ar …x= (x¹; x²)2R² avem x= ¹a₁+ ²a₂, unde ¹= ^x¹ ₃^2x² si¸ ¹=^x¹^+x₃ ².

Uneori vom folosiconven¸tia lui Einstein (sau regula indicilor mu¸ti). Astfel, în loc de

Xn i=1

ia_ivom scrie ⁱa_i,1 i nsau în loc deX

i2I

ia_ivom scrie ⁱa_i, i 2 I. Atunci când se subîn¸telege mul¸timea valorilor pe care le ia indicele de sumareivom scrie simplu ⁱa_i.

1.3 Baz¼ a ¸ si dimensiune

Propozi¸tia 1.3.1 Fie a₁,a₂, ..., a_n vectori ai spa¸tiului vectorial V ¸sib₁,b₂, ...,b_m2L(a₁; a₂; : : : ; a_n)vectori liniar independen¸ti. Atunci,m n.

(16)

Demonstra¸tie. Presupunem prin absurd c¼a m > n. Deoareceb₁,b₂, ...,b_m2 L(a1; a2; : : : ; an), rezult¼a c¼a oricare ar …i = 1; : : : ; m, avem bi =

Pn j=1

j iaj. Consider¼am sistemul de n ecua¸tii liniare ¸si omogene, cu necunoscutele x¹, ...,

x^m, 8

>>

<

>>

:

11x¹+ ¹₂x²+ + ¹_mx^m= 0

21x¹+ ²₂x²+ + ²_mx^m= 0 :::::::::::::::::::::::::::::::::

n1x¹+ ⁿ₂x²+ + ⁿ_mx^m= 0

Din presupunerea c¼a m > n rezult¼a c¼a acest sistem are ¸si solu¸tii nebanale (deoarece rangul matricii sistemului este mai mic strict decât num¼arul de ne- cunoscute). Dac¼a( ¹; : : : ; ^m)este o astfel de solu¸tie nebanal¼a, atunci

Pm i=1

ibi= Pm

i=1 i Pn

j=1 j iaj

!

= Pn j=1

Pm i=1

j i

i aj = Pn j=1

0aj = 0. Contradic¸tie cu liniar independen¸ta vectorilor b₁; b₂; : : : ; b_m. Deci, presupunerea facut¼a este fals¼a ¸si astfel avemm n.

Corolarul 1.3.1 Dac¼aa₁; a₂; : : : ; a_n 2V, iarb₁,b₂, ...,b_m2L(a₁; a₂; : : : ; a_n) cum > n, atunci b₁; b₂; : : : ; b_m sunt liniar dependen¸ti.

De…ni¸tia 1.3.1 SistemulB de vectori din spa¸tiul vectorial V se nume¸ste baz¼a pentru V dac¼a este liniar independent ¸si sistem de generatori pentruV. Exemplul 1.3.1 1. Vectorii e1 = (1;0;0), e2 = (0;1;0), e3 = (0;0;1) din spa¸tiul aritmeticR³ constituie o baz¼a pentru acest spa¸tiu vectorial. De asemenea, sistemul B =fe1 = (1;0; : : : ;0); e2 = (0;1; : : : ;0); : : : ; en = (0;0; : : : ;1)g este o baz¼a pentru spa¸tiul aritmeticKⁿ, numit¼abaza canonic¼a (sau natural¼a sau standard) a luiKⁿ.

2. SistemulB=f1; X; X²gconstituie o baz¼a pentru spa¸tiul vectorial al polinoamelor de o nedeterminat¼a, cu coe…cien¸ti reali, de grad cel mult2,R2[X], iar B=f1; X; X²; : : : ; Xⁿ; : : :g este o baz¼a pentru spa¸tiul vectorial al polinoamelor de o nedeterminat¼a, cu coe…cien¸ti reali,R[X].

3. Vectorii Eij 2Mm;n(K),1 i m,1 j n, unde E_ij(k; l) = 0; dac¼a(i; j)6= (k; l)

1; dac¼a(i; j) = (k; l) ;

oricare ar … k = 1; : : : ; m, l = 1; : : : ; n, constituie o baz¼a pentru spa¸tiul vectorialMm;n(K)al matricilor cu elemente dinK, avândmlinii ¸sincoloane.

Teorema 1.3.1 (de existen¸t¼a a bazei) Orice spa¸tiu vectorial nenul (care nu se reduce doar la vectorul nul) posed¼a cel pu¸tin o baz¼a. Mai exact, din orice sistem de generatori al lui V se poate extrage cel pu¸tin o baz¼a.

(17)

1.3. BAZ ¼A ¸SI DIMENSIUNE 9 Demonstra¸tie. Vom demonstra teorema numai în cazul când V admite un sistem …nit de generatori, adic¼a V este un spa¸tiu …nit generat. În acest sens,

…eB=fa1; a2; : : : ; amg un sistem de generatori pentruV. Având în vedere un rezultat din sec¸tiunea precedent¼a putem presupune c¼a to¸ti vectorii lui B sunt nenuli. Pentru demonstra¸tie folosim metoda induc¸tiei matematice, dup¼am 1;

num¼arul de vectori dinB.

Etapa I (veri…carea): Pentrum= 1, este clar c¼aB=fa₁geste o baz¼a pentru V, deoarecea₁6= 0, adic¼a estea₁¸si liniar independent.

Etapa a II-a (demonstra¸tia): Presupunem c¼a în orice spa¸tiu generat dem 1 vectori exist¼a cel pu¸tin o baz¼a ¸si vom demonstra c¼a dac¼a un spa¸tiuV este generat demvectori,a₁; a₂; : : : ; a_m, atunci acesta admite cel pu¸tin o baz¼a.

Avem dou¼a situa¸tii:

a)a1; a2; : : : ; amsunt liniar independen¸ti ¸si atuncia1; a2; : : : ; amformeaz¼a o baz¼a pentruV, sau

b) a1; a2; : : : ; am sunt liniar dependen¸ti ¸si atunci cel pu¸tin unul dintre ei se poate scrie ca o combina¸tie liniar¼a de ceilal¸ti m 1 vectori. Astfel,V este generat de m 1 vectori ¸si conform ipotezei de induc¸tie, rezult¼a c¼a V admite cel pu¸tin o baz¼a.

Teorema 1.3.2 (bazei) Toate bazele unui spa¸tiu vectorial sunt formate din acela¸si num¼ar de vectori.

Demonstra¸tie. Fie B1 = fa₁; a₂; : : : ; a_ng ¸si B2 = fb₁; b₂; : : : ; b_mg dou¼a baze ale unui spa¸tiu vectorial V.

Presupunem c¼am > n. Aplicând corolarul de mai sus rezult¼a c¼ab₁; b₂; : : : ; b_m sunt liniar dependen¸ti. Absurd ¸si prin urmare presupunerea facut¼a este fals¼a.

Deci, m n. Analog, dac¼a presupunem m < n ¸si aplic¼am acela¸si corolar ob¸tinem c¼an m. În concluziem=n.

Acum are sens urm¼atoarea de…ni¸tie:

De…ni¸tia 1.3.2 Spunem c¼a spa¸tiul vectorial V aredimensiunea …nit¼an(¸si scriem dimV = n) dac¼a exist¼a o baz¼a a lui V format¼a din n vectori. În caz contrar, spunem c¼a spa¸tiul vectorial V are dimensiunea in…nit¼a si scriem¸ dimV =1.

Spa¸tiul nulV =f0g are, prin de…ni¸tie,dimensiunea zero.

Când este pericol de confuzie, scriem dimKV = n, pentru V un spa¸tiu vectorial peste K. A se vedea c¼adim_CC= 1, iardim_RC = 2.

Exemplul 1.3.2 1. Spa¸tiul aritmeticR³ are dimensiunea 3, iardimKⁿ=n, pentru orice corp comutativK.

2. dimR_n[X] = n+ 1, iar R[X] este un spa¸tiu vectorial de dimensiune in…nit¼a.

3. dim_CCⁿ=n,dim_RCⁿ= 2n.

4. dimM_m;n(K) =mn, iar dim_CM_m;n(C) =mn,dim_RM_m;n(C) = 2mn.

(18)

De acum înainte când vom spune c¼a un spa¸tiu vectorial are dimensiunea n în¸telegem c¼aneste …nit.

Observa¸tia 1.3.1 Conform propozi¸tiei 1.3.1 avem ca dac¼a dimV =n, atunci orice sistem dinV format cu n+ 1sau mai mul¸ti vectori este liniar dependent.

1.4 Coordonatele unui vector relativ la o baz¼ a

Teorema 1.4.1 Fie V un spa¸tiu vectorial ¸siB=fa₁; a₂; : : : ; a_ng V. Atunci Beste baz¼a a luiV dac¼a ¸si numai dac¼a orice vector x2V se poate scrie în mod unic ca o combina¸tie liniar¼a de vectorii luiB,a₁; a₂; : : : ; a_n.

Demonstra¸tie. FieB=fa₁; a₂; : : : ; a_ngo baz¼a a luiV. Atunci, pentru orice vectorx2V, exist¼a scalariix¹, ...,xⁿ2K astfel încâtx=x¹a1+ +xⁿan. Dac¼a ar mai exista ¸si al¸ti scalariy¹, ...,yⁿ2Kastfel încâtx=y¹a₁+ +yⁿa_n, atunci avemx¹a1+ +xⁿan=y¹a1+ +yⁿan sau

Pn i=1

(xⁱ yⁱ)ai= 0. Din liniar independen¸ta sistemuluiBrezult¼axⁱ=yⁱ, pentru oricei= 1; : : : ; n, adic¼a scrierea luixca o combina¸tie liniar¼a de vectorii bazeiB este unic¼a.

Reciproc, dac¼a orice vectorx din V se scrie în mod unic ca o combina¸tie liniar¼a de vectorii sistemului B = fa1; a2; : : : ; ang, atunci este evident c¼a B este un sistem de generatori pentru V. R¼amâne de aratat c¼a B este ¸si sistem liniar independent. Pentru aceasta, dac¼a consider¼am combina¸tia liniar¼a nul¼a

1a₁+ ²a₂+ + ⁿa_n= 0¸si dac¼a ¸tinem cont de ipotez¼a ¸si de faptul c¼a avem

¸si 0a₁+ 0a₂+ + 0a_n = 0, rezult¼a ¹ = ² = = ⁿ = 0. Deci, B este o baz¼a a luiV.

A¸sadar, dac¼a B = fa1; a2; : : : ; ang este o baz¼a a lui V atunci orice vector x2V se poate scrie în mod unic ca o combina¸tie liniar¼a de vectorii luiB, adic¼a exist¼a ¸si sunt unici scalariix¹; x²; : : : ; xⁿ2K astfel ca

x=x¹a₁+x²a₂+ +xⁿa_n:

De…ni¸tia 1.4.1 Scalariix¹; x²; : : : ; xⁿunic determina¸ti de vectorulxse numesc coordonatelevectorului xîn raport cu bazaB.

Pentru simplitatea scrierii, în loc de x = x¹a₁+x²a₂+ +xⁿa_n vom scrie x_B = (x¹; x²; : : : ; xⁿ)sau ex_B = (x¹; x²; : : : ; xⁿ)^t sau, mai ales în rela¸tiile

matricealexe_B= 0 BB B@

x¹ x² ... xⁿ

1 CC CA.

Când nu este pericol de confuzie vom scrie x = (x¹; x²; : : : ; xⁿ) sau xe = (x¹; x²; : : : ; xⁿ)^t.

(19)

1.4. COORDONATELE UNUI VECTOR RELATIV LA O BAZ ¼A 11 Exemplul 1.4.1 1. În spa¸tiul vectorial aritmetic R³, relativ la baza canonic¼a B=fe₁= (1;0;0); e₂= (0;1;0); e₃= (0;0;1)g, orice vector x= (x¹; x²; x³)are drept coordonate chiar componentele salex¹,x²,x³, deoarecex=x¹e1+x²e2+ x³e3. Atunci, vectorul y = (1; 2;7) , de exemplu, are coordonatele 1, 2, 7 relativ la baza canonic¼aB. Scriemxe_B=

0

@ 1 2 7

1 A.

2. Dac¼aP = 1 3X+ 2X²2R2[X], atunci 1, 3,2 sunt coordonatele lui P relativ la baza B=f1; X; X²g a lui R2[X].

3. Coordonatele polinomului P = X X² 2 R[X], relativ la baza B = f1; X; X²; : : : ; Xⁿ; : : :g, sunt 0,1, 1,0, ..., 0 ... .

Teorema 1.4.2 Fie V un spa¸tiu vectorial de dimensiunen. Atunci, orice sistem de m < n vectori din V, liniar independen¸ti, se poate completa pân¼a la o baz¼a a lui V.

Demonstra¸tie. FieB=fa1; a2; : : : ; ango baz¼a a luiV ¸sib1; b2; : : : ; bm vectori liniar independen¸ti în V. Este clar c¼a sistemul format cu vectoriib₁,b₂, ...,b_m, a1,a2, ...,an este un sistem de generatori pentru V, care este liniar dependent (m+n > n= dimV). Atunci, cel pu¸tin unul dintre ei se scrie ca o combina¸tie liniar¼a de restul vectorilor din sistem. Cum b1; b2; : : : ; bm sunt liniar independen¸ti, avem c¼a un astfel de vector nu se poate alege dintre b1; b2; : : : ; bm. Fie ai primul vectordintreb1, b2, ...,bm, a1, a2, ..., an, care se scrie ca o combina¸tie liniar¼a de ceilal¸ti. Atunci, avem c¼a V =L(b1; b2; : : : ; bm; a1; a2; : : : ; an)

=L(b1; b2; : : : ; bm; a1; : : : ; ai 1; ai+1; : : : ; an)¸si sunt posibile dou¼a situa¸tii:

1)b1; b2; : : : ; bm; a1; : : : ; ai 1; ai+1; : : : ; an sunt liniar independen¸ti ¸si atunci ei formeaz¼a baza cautat¼a, sau

2)b₁; b₂; : : : ; b_m; a₁; : : : ; a_i ₁; a_i+1; : : : ; a_n sunt liniar dependen¸ti ¸si atunci se reia procedeul de mai sus eliminând pe rând câte unul dintre vectoriiai+1; : : : ; an

pân¼a când se ob¸tine un sistem de generatori ai lui V care con¸tine vectorii b1; b2; : : : ; bm¸si este ¸si sistem liniar independent (este limpede c¼a trebuie elim- ina¸tim vectori dintrea1; a2; : : : ; an). Aceasta este baza cautat¼a, ob¸tinut¼a prin completarea sistemului liniar independentb1; b2; : : : ; bm.

Propozi¸tia 1.4.1 FieV un spa¸tiu vectorial pesteK, de dimensiune …nit¼ansi¸ S =fa₁; a₂; : : : ; a_ng V. Atunci urm¼atoarele a…rma¸tii sunt echivalente:

a)S este o baz¼a a lui V;

b)S este un sistem de generatori pentruV; c)S este un sistem liniar independent.

Teorema 1.4.3 Condi¸tia necesar¼a ¸si su…cient¼a camvectori ai unui spa¸tiu vec- torialV de dimensiunen(m n) s¼a …e liniar independen¸ti este ca rangul matricei formate (pe coloane) cu coordonatele acestor vectori într-o baz¼a oarecare a spa¸tiului s¼a …e egal cum.

(20)

Demonstra¸tie. Fie B = fa₁; a₂; : : : ; a_ng o baz¼a a lui V, iar b₁; b₂; : : : ; b_m vectori ai lui V (m n) astfel încâtbj =

Pn i=1

ijai oricare ar …j = 1; : : : ; m.

Dac¼a Pm j=1

jb_j = 0, cu ¹, ... , ^m 2 K, atunci Pn i=1

Pm j=1

j i j

!

a_i = 0¸si cum B este un sistem liniar independent rezult¼a c¼a

Pm j=1

i j

j = 0, oricare ar …i = 1; : : : ; n. Ob¸tinem astfel un sistem omogen denecua¸tii liniare cumnecunoscute

1, ... , ^mcare are numai solu¸tia banal¼a( ¹; : : : ; ^m) = (0; : : : ;0)dac¼a ¸si numai dac¼a rangul matricei sale ⁱ_{j i=1;n;}

j=1;meste egal cum.

În continuare, consider¼am dou¼a bazeB=fa1; a2; : : : ; ang¸siB⁰ =fb1; b2; : : : ; bng ale unui spa¸tiu vectorialV pesteK, iar oricare ar …i= 1; n, avembi =

Pn j=1

j iaj

¸si oricare ar …k= 1; n, avema_k = Pn i=1

i

kb_i. Atuncib_i= Pn j=1

Pn k=1

j i

k

jb_k, oricare ar …i = 1; n. Prin urmare,

Pn j=1

j i

k

j = ^k_i = 1; dac¼ai=k

0; dac¼ai6=k sauBA =I_n, unde A = ⁱ_{j i=1;n;}

j=1;n 2 M_n(K) este matricea pe ale c¼arei coloane avem coordonatele vectorilor bazeiB⁰ în raport cu bazaB, iarB= ⁱ_{j i=1;n;}

j=1;n2 M_n(K) este matricea pe ale c¼arei coloane avem coordonatele vectorilor bazeiB în raport cu bazaB⁰. .

De…ni¸tia 1.4.2 Matricea A, format¼a ca mai sus, se nume¸ste matricea de trecerede la baza Bla baza B⁰.

Propozi¸tia 1.4.2 Cu nota¸tiile de mai sus avem B =A ¹. Mai mult, pentru oricex2V avemxe_B=Aex_B0 sau

e

x_B0 =A ¹xe_B: (1)

Demonstra¸tie. Din BA = In este clar c¼a B = A ¹. Dac¼a x = Pn i=1

xⁱai ¸si x =

Pn j=1

y^jb_j atunci, din a_i = Pn j=1

j

ib_j ¸si din unicitatea scrierii lui x, avem c¼a y^j =

Pn i=1

j

ixⁱ, pentru to¸ti i = 1; n, ceea ce înseamn¼a c¼a (y¹; : : : ; yⁿ)^t = B(x¹; : : : ; xⁿ)^tsauex_B⁰ =A ¹xe_B.

Rela¸tia (1) se nume¸ste formula de schimbare a coordonatelor unui vector când se trece de la bazaBla baza B⁰.

Exemplul 1.4.2 În spa¸tiul vectorial aritmetic R³ se consider¼a baza canonic¼a B = fe₁; e₂; e₃g si baza¸ B⁰ = fa₁; a₂; a₃g, unde a₁ = (2; 1;1), a₂ = (3;1; 1), a₃ = (1;1;1). Matricea de trecere de la baza B la baza B⁰ este

(21)

1.4. COORDONATELE UNUI VECTOR RELATIV LA O BAZ ¼A 13

A = 0

@ 2 3 1

1 1 1

1

A, iar matricea de trecere de la baza B⁰ la baza B este

A ¹. Dac¼ax= (1;2;7), atuncixe_B0 =A ¹ex_B =A ¹ 0

@ 1 2 7

1 A.

FieV un spa¸tiu vectorial real n-dimensional ¸si H= fB VjB baz¼a a lui Vg.

De…ni¸tia 1.4.3 Spunem c¼a bazeleB¹,B²2 H sunt la fel orientate(sau au aceea¸si orientare ¸si scriem B¹ B²) dac¼a determinantul matricii de trecere de la baza B¹ la bazaB² este pozitiv.

Propozi¸tia 1.4.3 Rela¸tia binar¼a este o rela¸tie de echivalen¸t¼a peH.

Demonstra¸tie. a) Cum determinatul luiIneste pozitiv avem c¼aB B, oricare ar …B 2 H, adic¼a este re‡exiv¼a.

b) Dac¼a B¹ B² ¸si matricea de trecere de la baza B¹ la baza B² este A, atunciB² B¹ deoarece determinantul matricii de trecereA ¹, de la bazaB² la baza B¹, este tot pozitiv (detA ¹=_det¹_A). Astfel, rela¸tia este simetric¼a.

c) FieB¹,B²,B³ 2 Hastfel c¼aB¹ B²¸siB² B³, iarA este matricea de trecere de la baza B¹ la bazaB²¸siB este matricea de trecere de la baza B² la baza B³. Atunci B¹ B³, deoarece matrice de trecere de la baza B¹ la baza B³ este chiarAB, iardet(AB) = detA detB >0. Rezult¼a c¼a este o rela¸tie tranzitiv¼a.

Deci este o rela¸tie de echivalen¸t¼a peH.

Propozi¸tia 1.4.4 Mul¸timea factorH= are dou¼a elemente.

Demonstra¸tie. Fie B¹, B² 2 H astfel ca B¹ B². Fie B 2 H astfel încât B B¹. Dac¼a A este matricea de trecere de la baza B la baza B¹ ¸si B este matricea de trecere de la baza B¹ la baza B², atunci matricea de trecere de la bazaB la bazaB² esteAB. Cum detA <0 sidetB <0, avem c¼a detAB >0

¸

si astfelB B2.

Cele dou¼a clase de echivalen¸t¼a care formeaz¼a mul¸timea factorH⁼ se numesc orient¼ari ale spa¸tiului vectorial V.

De…ni¸tia 1.4.4 Spunem c¼a spa¸tiul vectorial realV esteorientatdac¼a am …xat o orientare pe V, adic¼a o clas¼a de echivalen¸t¼a de baze la fel orientate pe care le vom numi baze pozitiv orientate. Bazele din cealalt¼a clas¼a de echivalen¸t¼a se vor numi baze negativ orientate (în raport cu orientarea …xat¼a).

(22)

1.5 Subspa¸ tii vectoriale

FieV un spa¸tiu vectorial pesteK¸siV₁ o submul¸time nevid¼a a luiV.

De…ni¸tia 1.5.1 V1 se nume¸stesubspa¸tiu vectorialal lui V dac¼a, împreun¼a cu opera¸tiile spa¸tiului vectorialV, are o structur¼a de spa¸tiu vectorial pesteK.

Propozi¸tia 1.5.1 V1 este subspa¸tiu vectorial al lui V dac¼a ¸si numai dac¼a x+ y2V1, pentru orice , 2K si orice¸ x,y2V1.

Demonstra¸tie. Dac¼a V1 este subspa¸tiu vectorial al lui V, atunci din buna de…nire a opera¸tiilor de spa¸tiu vectorial pe V1 rezult¼a c¼a x+ y 2 V1, 8 ,

2K,x,y2V1.

Reciproc, dac¼a avem c¼a x+ y2V1,8 , 2K,x,y2V1, atunci pentru

= 1¸si = 1 ob¸tinem c¼a x y 2 V1, 8x, y 2 V1, adic¼a (V1;+) este un subgrup al lui (V;+) ¸si prin urmare este grup. Apoi axiomele i)-iv) din II) din de…ni¸tia spa¸tiului vectorial sunt veri…cate în mod evident ¸si pentru vectorii din V₁. În concluzie, V₁ este spa¸tiu vectorial peste K, în raport cu opera¸tiile spa¸tiului vectorialV.

Exerci¸tiul 1.5.1 1. Ar¼ata¸ti c¼a pentru orice sistem de vectori S din V avem c¼aL(S)este subspa¸tiu vectorial al lui V.

2. Dac¼aa₁; a₂; : : : ; a_m2V, atunci ar¼ata¸ti c¼a dimL(a₁; a₂; : : : ; a_m) m.

Pentru orice sistem S V, L(S) se mai nume¸ste subspa¸tiul generat de sistemul de vectori S. În particular, L(a₁; a₂; : : : ; a_m) se nume¸ste subspa¸tiul generat de vectoriia₁; a₂; : : : ; a_m.

Exemplul 1.5.1 1. Spa¸tiul nulf0g si spa¸¸ tiul vectorialV sunt subspa¸tii vectoriale ale luiV, numitesubspa¸tii impropriiale lui V.

2. Mul¸timeaV₁ =f(x¹; x²; x³)2R³jx¹= 0g este un subspa¸tiu vectorial al lui R³.

3. Mul¸timea V₂ = f(x¹; x²; x³) 2 R³jx² = 0; x³ = 0g este un subspa¸tiu vectorial al lui R³.

4. În spa¸tiul vectorial Mn(K) mul¸timea matricilor diagonale este un subspa¸tiu vectorial.

5. Mul¸timea matricilor p¼atratice de ordinncare sunt simetrice ¸si mul¸timea matricilor antisimetrice sunt subspa¸tii vectoriale ale spa¸tiuluiMn(R).

6. Rn[X] = fP 2 R[X]jgradP ng este subspa¸tiu vectorial al spa¸tiului vectorial real R[X].

Propozi¸tia 1.5.2 FieV₁ un subspa¸tiu vectorial al luiV, de dimensiune …nit¼a n. Atunci,dimV₁ dimV.

(23)

1.5. SUBSPA ¸TII VECTORIALE 15 Demonstra¸tie. Fie m = dimV₁. Presupunem prin absurd c¼a m > n. Din de…ni¸tia dimensiunii luiV₁ rezult¼a c¼a exist¼a înV₁o baz¼a format¼a dinmvectori.

Dar V₁ V, ceea ce înseamn¼a c¼a în V exist¼a m vectori liniar independen¸ti, iar m > dimV = n. Contradic¸tie cu de…ni¸tia dimensiunii lui V. Atunci, presupunerea f¼acut¼a este fals¼a ¸si deci,m n.

FieV₁, V₂ subspa¸tii vectoriale ale lui V. De…nim urm¼atoarele submul¸timi ale luiV:

V₁+V₂=fx2Vj9x₁2V₁¸six₂2V₂astfel cax=x₁+x₂g=

=fx₁+x₂jx₁2V₁¸six₂2V₂g,V₁\V₂=fx2Vjx2V₁¸six2V₂g: Propozi¸tia 1.5.3 V1+V2 ¸siV1\V2 sunt subspa¸tii vectoriale ale luiV. Demonstra¸tie. Fiex = x₁+x₂ ¸si y = y₁+y₂ din V₁+V₂, iar , 2 K.

Atunci x+ y= (x1+x2) + (y₁+y₂) = ( x1+ y₁) + ( x2+ y₂)2V1+V2, adic¼aV₁+V₂este subspa¸tiu al luiV.

Cu u¸surin¸t¼a se poate proba c¼a V₁\V₂este subspa¸tiu vectorial al lui V. V1+V2se nume¸stesuma subspa¸tiilorV1¸siV2, iarV1\V2 se nume¸steinter- sec¸tia subspa¸tiilorV1¸siV2.

Exemplul 1.5.2 1. Dac¼a în spa¸tiul vectorial aritmetic R³ consider¼am subspa¸tiile vectoriale V1 = f(x¹; x²; x³) 2 R³jx¹ = 0g ¸si V2 = f(x¹; x²; x³) 2 R³jx²= 0; x³= 0g, atunci suma lor este V1+V2=R³, iar intersec¸tia lor este V1\V2=f0g:

2. FieV1= a 0

0 0 ja2R ¸siV2 = 0 0

0 b jb2R submul¸timi înM2(R). Este clar c¼aV1 ¸siV2 sunt subspa¸tii vectoriale ale spa¸tiului vectorial M2(R)si suma lor este¸ V1+V2= a 0

0 b ja; b2R , iar intersec¸tiaV1\V2

este subspa¸tiul nul al luiM₂(R).

Exerci¸tiul 1.5.2 1. Ar¼ata¸ti c¼a, în general, reuniunea a dou¼a subspa¸tii,V1[V2, nu este un subspa¸tiu vectorial al luiV. Mai mult, ar¼ata¸ti c¼aV1[V2este subspa¸tiu vectorial dac¼a ¸si numai dac¼aV1 V2 sauV2 V1.

2. Ar¼ata¸ti c¼a V1+V2=L(V1[V2), oricare ar … subspa¸tiileV1,V2.

De…ni¸tia 1.5.2 Spunem c¼a sumaV1+V2 estesum¼a direct¼adac¼a orice vector x2V1+V2 se scrie în mod unic sub forma x=x1+x2, cux12V1 ¸six22V2. Vom scrie V1 V2 în loc deV1+V2.

Propozi¸tia 1.5.4 Fie V₁, V₂ dou¼a subspa¸tii vectoriale ale lui V. Atunci, ur- m¼atoarele a…rma¸tii sunt echivalente:

a)V₁\V₂=f0g;

b) suma subspa¸tiilorV₁,V₂ este sum¼a direct¼a.

(24)

Demonstra¸tie. a))b) Fiex2V₁+V₂ astfel încâtx=x₁+x₂¸six=y₁+y₂, cux₁,y₁2V₁¸six₂,y₂2V₂. Atunci,x₁+x₂=y₁+y₂, adic¼ax₁ y₁=y₂ x₂. Cumx1 y₁2V1,y₂ x22V2, rezult¼a c¼ax1 y₁,y₂ x22V1\V2=f0g. Prin urmarex1=y₁¸six2=y₂, adic¼a scrierea este unic¼a ¸si astfelV1+V2=V1 V2. b))a) Fiex2V1\V2. Atuncix=x+ 02V1 V2¸six= 0 +x2V1 V2. Din unicitatea scrierii luix, rezult¼a c¼ax= 0. Prin urmare V1\V2 f0g. Cum incluziuneaf0g V1\V2 este evident¼a, rezult¼a c¼a V1\V2=f0g.

De…ni¸tia 1.5.3 Subspa¸tiile vectoriale V1, V2 se numesc suplimentare (sau complementare) dac¼a V =V1 V2.

În acest caz, V1 se nume¸ste suplimentul lui V2 în V, iar V2 se nume¸ste suplimentul luiV₁ înV.

Exemplul 1.5.3 În spa¸tiul vectorial aritmeticR³subspa¸tiileV1=f(x¹; x²; x³)2 R³jx¹= 0g si¸ V2=f(x¹; x²; x³)2R³jx²= 0; x³= 0gsunt suplimentare.

Teorema 1.5.1 Fie V un spa¸tiu vectorial peste K, de dimensiune …nit¼a n ¸si V1, V2 dou¼a subspa¸tii vectoriale ale luiV. Atunci,V =V1 V2 dac¼a ¸si numai dac¼a sunt îndeplinite condi¸tiile:

i)V1\V2=f0g;

ii) dimV = dimV₁+ dimV₂.

Demonstra¸tie. Dac¼a V1 V2 = V, atunci V1\V2 = f0g, conform propoz- i¸tiei anterioare. R¼amâne de ar¼atat c¼a are loc a doua condi¸tie. Fie B1 = fa₁; : : : ; a_pg o baz¼a a lui V₁ ¸si B2 = fb₁; : : : ; b_qg o baz¼a a lui V₂. Fie B = fa₁; : : : ; a_p; b₁; : : : ; b_qg V. Vom ar¼ata c¼a B este o baz¼a pentru V ¸si astfel dimV =p+q= dimV₁+ dimV₂.

Fie ¹a1+ + ^pap+ ¹b1+ + ^qbq= 0. ¸Tinând cont de unicitatea scrierii vectorului nul din V,0 = 0 + 02V1 V2=V rezult¼a c¼a ¹a1+ + ^pap = 0 ¸si ¹b1 + + ^qbq = 0.Cum B¹ ¸si B² sunt, în particular, sisteme liniar independente, avem c¼a ¹= = ^p= 0¸si ¹= = ^q = 0. Astfel, B este sistem liniar independent.

Fie x 2 V. Atunci exist¼a x₁ 2 V₁ ¸si x₂ 2 V₂ astfel ca x =x₁+x₂. Dar x₁=

Pp i=1

ia_i¸six₂= Pq j=1

jb_j. Rezult¼a c¼ax= Pp i=1

ia_i+ Pq j=1

jb_j, adic¼aB este sistem de generatori pentruV. În concluzie,Beste baz¼a pentruV.

Reciproc, dac¼a presupunem îndeplinite condi¸tiile i) ¸si ii), atunci pentru a ar¼ata c¼aV =V1 V2 este su…cient s¼a ar¼at¼am c¼aV =V1+V2, deoarece condi¸tia i) ne asigur¼a c¼a suma subspa¸tiilorV1¸siV2 este sum¼a direct¼a.

Dac¼a B1 = fa₁; : : : ; a_pg o baz¼a a lui V₁ ¸si B2 = fb₁; : : : ; b_qg o baz¼a a lui V₂, atunci B = fa₁; : : : ; a_p; b₁; : : : ; b_qg este un sistem liniar independent în V, pentru c¼a din

Pp i=1

iai+ Pq j=1

jbj = 0 sau Pp i=1

iai = Pq j=1

jbj, avem c¼a atât

(25)

1.5. SUBSPA ¸TII VECTORIALE 17 Pp

i=1

ia_i cât ¸si Pq j=1

jb_j fac parte din V₁ \V₂ = f0g, adic¼a Pp i=1

ia_i = 0 ¸si Pq

j=1

jb_j = 0ceea ce implic¼a ¹= = ^p= 0¸si ¹= = ^q = 0.

Din faptul c¼a dimV =p+q¸siB este un sistem liniar independent format dinp+qvectori, rezult¼a c¼aBeste o baz¼a pentruV. Prin urmare, pentru orice x2V exist¼a ¹; : : : ; ^p, ¹; : : : ; ^q 2K astfel încâtx= ⁱai+ ^jbj,1 i p, 1 j q, adic¼a pentru oricex2 V exist¼a x1 = ⁱai 2V1 ¸si x2 = ^jbj 2V2

astfel cax=x1+x2. Deci,V =V1+V2.

Fie V₁, V₂ dou¼a subspa¸tii vectoriale ale lui V astfel încât V = V₁ V₂. Fie x 2 V. Atunci, exist¼a ¸si sunt unici vectorii x₁ 2 V₁ ¸si x₂ 2 V₂ astfel ca x=x₁+x₂. Vectorulx₁ din aceast¼a scriere se nume¸ste proiec¸tia lui x pe V₁ de-a lungul lui V₂, iar vectorul x₂ se nume¸ste proiec¸tia lui xpe V₂ de-a lungul lui V₁.

Exemplul 1.5.4 Dac¼a x = (3; 1;2) 2 R³ ¸si consider¼am subspa¸tiile suplimentare V1 = f(x¹; x²; x³) 2 R³jx¹ = 0g ¸si V2 = f(x¹; x²; x³) 2 R³jx² = 0; x³ = 0g, atunci proiec¸tia lui x peV1 de-a lungul luiV2 este x1 = (0; 1;2), iarx2= (3;0;0) este proiec¸tia luixpeV2 de-a lungul luiV1.

Acum prezent¼am (doar ca enun¸t) un rezultat foarte util în aplica¸tii:

Teorema 1.5.2 (Formula lui Grassman) FieV un spa¸tiu vectorial pesteK, de dimensiune …nit¼a ¸siV1,V2 dou¼a subspa¸tii vectoriale ale sale. Atunci

dim(V1+V2) = dimV1+ dimV2 dim(V1\V2):

Exerci¸tiul 1.5.3 Fie V un spa¸tiu vectorial pesteK, de dimensiune …nit¼ansi¸ V1, V2 dou¼a subspa¸tii vectoriale ale sale de dimensiuni p, respectiv q. Ar¼ata¸ti c¼a dac¼ap+q > n, atunci V₁ ¸siV₂ au în comun cel pu¸tin un vector nenul.

Observa¸tia 1.5.1 Mul¸timea H a tuturor solu¸tiilor unui sistem de m ecua¸tii liniareomogenecunnecunoscute, cu coe…cien¸ti dinK, formeaz¼a un subspa¸tiu vectorial al spa¸tiului aritmeticKⁿ. Mai mult,dimH=n rangA, undeAeste matricea sistemului omogen. Demonstrarea acestor a…rma¸tii nu este complicat¼a.

Totu¸si, este mult mai clar ¸si mai util s¼a o ilustr¼am pe exemple concrete.

Exemplul 1.5.5 În spa¸tiul aritmeticR⁴ se d¼a mul¸timea

V1= x= (x¹; x²; x³; x⁴)2R⁴ x¹+x² x³+x⁴= 0;

x¹+x² x³+x⁴= 0:

a) Ar¼ata¸ti c¼aV₁ este un subspa¸tiu vectorial al luiR⁴; b) Determina¸ti o baz¼a pentruV₁ ¸sidimV₁;

c) Ar¼ata¸ti c¼a sistemul

(26)

B⁰=fa₁= (1;0;1;0); a₂= (1;1;0;0); a₃= (0;1;1;0); a₄= (0;0;1;1)g este o baz¼a pentruR⁴si g¼asi¸¸ ti coordonatele vectoruluix= (1;1; 1;1)relativ la noua baz¼a B⁰;

d) G¼asi¸ti un supliment V2 pentru subspa¸tiulV1 în R⁴. Rezolvare:

a) Fie ; 2 R si¸ x = (x¹; x²; x³; x⁴), y = (y¹; y²; y³; y⁴) 2 V1, arbitrar

…xate. Atunci:

( x¹+ y¹) + ( x²+ y²) ( x³+ y³) + ( x⁴+ y⁴) = (x¹+x² x³+ x⁴) + (y¹+y² y³+y⁴) = 0 + 0 = 0¸si analog x+ y= ( x¹+ y¹; x²+ y²; x³+ y³; x⁴+ y⁴)veri…c¼a ¸si a doua ecua¸tie din sistemul omogen. Prin urmare x+ y2V1 si astfel¸ V1 este subspa¸tiu vectorial al lui R⁴.

b) Matricea sistemului este

A= 1 1 1 1

1 1 1 1 si are rangul¸ 2:

Atunci, dimV1= 4 rangA= 2. O baz¼a a lui V1 este format¼a cu dou¼a solu¸tii particulare ale sistemului omogen, care s¼a …e liniar independente.

Notând x³= ¸six⁴= ob¸tinem,

x¹+x² = x¹+x² =

¸

si de aici solu¸tia general¼a x= (0; ; ; ), ; 2Rsaux= (0;1;1;0) + (0; 1;0;1).

Dac¼a not¼am b₁ = (0;1;1;0) ¸si b₂ = (0; 1;0;1), rezult¼a c¼a V₁ = L(b₁; b₂). Deoarece fb1; b2g este sistem liniar independent (vezi rang

0 BB

@ 0 0

1 1

1 0 0 1

1 CC A = 2) rezult¼a c¼aB¹=fb1; b2g este baz¼a pentru V1.

c) Rangul matriceiA1, pe ale c¼arei coloane avem coordonatele vectorilor dinB⁰, în raport cu baza canonic¼aB=feiji= 1;4g a luiR⁴,

A1= 0 BB

@

1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1

1 CC A

este4. Prin urmare B⁰ este sistem liniar independent în spa¸tiul 4-dimensional R⁴¸si astfel este baz¼a pentruR⁴.

Coloana cu coordonatele lui x = (1;1 1;1) relativ la baza B⁰se g¼ase¸ste din rela¸tia x~_B0 = A₁¹x~_B, A₁ …ind matricea de trecere de la baza B la baza B⁰. Inversa matriceiA₁ este

A₁¹= 0 BB

@

1=2 1=2 1=2 1=2 1=2 1=2 1=2 1=2

1=2 1=2 1=2 1=2

0 0 0 1

1 CC A