Aplicat¸ii ale numerelor complexe ˆın geometrie, utilizˆ and Geogebra

Aplicat¸ii ale numerelor complexe ˆın geometrie, utilizˆ and Geogebra

”Mathematics consists in proving the most obvious thing in the least obvious way.” George Polya

Autor: Diana-Florina Halit¸˘a [email protected]

Institut¸ia: Universitatea ”Babe¸s-Bolyai” Cluj-Napoca Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a Specializarea Matematic˘a Didactic˘a Coordonator

¸stiint¸ific:

Conf. dr. V˘alcan Dumitru

13 iunie 2014

. . . . .. . .. .. . .. . . . . . .

Cuprinsul prezent˘ arii

1 Introducere

2 Afixul unui punct care ˆımparte un segment ˆıntr-un raport dat

3 Condit¸ii de coliniaritate, perpendicularitate ¸si conciclicitate

4 Triunghiuri asemenea

5 Euat¸ia dreptei ¸si a cercului

6 Produsul real ¸si produsul complex a dou˘a numere complexe

7 Transform˘ari geometrice

8 Aplicat¸ii

9 Evaluare

10 Bibliografie

Introducere

SCOP: Extinderea ariei de cunoa¸stere a elevilor ˆın leg˘atur˘a cu numerele complexe, ¸si formarea priceperilor ¸si

deprinderilor ˆın rezolvarea unor probleme de geometrie cu ajutorul numerelor complexe.

PAS¸I:

1 Reamintirea cuno¸stiint¸elor legate de numerele complexe.

2 Prezentarea propriet˘at¸ilor principale ale numerelor complexe

3 Definirea cu ajutorul numerelor complexe a cˆatorva termeni din geometrie.

4 Prezentarea unor aplicat¸ii, exercit¸ii ¸si probleme propuse pentru teme individuale ¸si pe grupe

5 Evaluarea cuno¸stiint¸elor acumulate de student¸i.

. . . . .. . .. .. . .. . . . . . .

Afixul unui punct care ˆımparte un segment ˆıntr-un raport dat

TEOREM˘A

1 A(a),B(b),M(z), M ∈[AB] a.ˆı. AM

MB =k >0.

Atunci z = 1

k+ 1·a+ k k+ 1·b.

2 A(a),B(b),M(z), B ∈[AM] a.ˆı. AM

MB =k <0.

Atunci z = 1

k+ 1·a+ k k+ 1·b.

3 A(a),B(b),M(z), A∈[MB]a.ˆı. AM

MB =k <0.

Atunci z = 1

k+ 1·a+ k k+ 1·b.

Condit¸ii de coliniaritate, perpendicularitate

¸si conciclicitate

TEOREM˘A

1 M1(z1),M2(z2),M3(z3) sunt coliniare ⇔ z3−z1

z₂−z₁ ∈R^∗.

2 M₁M₂⊥M₃M₄ ⇔ z₁−z₂

z₃−z₄ ∈i·R^∗.

3 Biraportul a patru numere complexe:

(z1,z2,z3,z4) = z₁−z₃ z2−z3

: z₁−z₄ z2−z4

4 M₁(z₁),M₂(z₂),M₃(z₃),M₄(z₄) sunt coliniare sau conciclice⇔(z1,z2,z3,z4)∈R^∗.

. . . . .. . .. .. . .. . . . . . .

Triunghiuri asemenea

TEOREM˘A Fie A1(a1),A2(a2),A3(a3),B1(b1),B2(b2),B3(b3).Se dau triunghiurile A1A2A3 ¸si B1B2B3 la fel orientate.

U.a.s.e:

1 A1A2A3 ∼B1B2B3 2 a₂−a₁

a3−a1

= b₂−b₁ b3−b1 3

1 1 1

a1 a2 a3

b₁ b₂ b₃ = 0.

Triunghiuri asemenea

TEOREM˘A Fie M₁(z₁),M₂(z₂),M₃(z₃). U.a.s.e:

1 triunghiul M1M2M3 este echilateral

2 z1·ε+z2·ε²+z3= 0;

3

1 1 1

z1 z2 z3

z2 z3 z1

=

1 1 1

z2 z3 z1

z3 z1 z2

=

1 1 1

z3 z1 z2

z1 z2 z3

= 0

4 z₁²+z₂²+z₃²=z1·z2+z2·z3+z3·z1.

5 z₂−z₁

z₃−z₂ = z₃−z₂ z₁−z₃.

6 1

z−z1

+ 1

z−z2

+ 1

z −z3

= 0, unde z = z1+z2+z3

3 .

7 (z1+ε·z2+ε²·z3)·(z1+ε²·z2+ε·z3) = 0,

. . . . .. . .. .. . .. . . . . . .

Ecuat¸ia dreptei ¸si a cercului

TEOREM˘A

1 Ecuat¸ia general˘a a unei drepte ˆın plan este:

¯

a·z¯+a·z+b= 0,a∈C^∗,b ∈R,z =x+i·y.

Pentru a̸= ¯a panta dreptei este egal˘a cu a+ ¯a a−a¯·i .

2 Condit¸ii de ∥,⊥,×pentru dreptele:

d₁ : ¯a₁·z¯₁+a₁·z₁+b₁= 0 ¸si

d₂ : ¯a₂·z¯₂+a₂·z₂+b₂= 0 , a₁ ̸= 0,a₂ ̸= 0.

d1∥d2⇔ a¯1

a₁ = a¯2

a₂ d1⊥d2⇔ a¯1

a₁+a¯2

a₂ = 0 d₁,d₂ sunt concurente⇔ a¯₁

a1

̸

= a¯₂ a2

Ecuat¸ia dreptei ¸si a cercului

TEOREM˘A

3 Ecuat¸ia unei drepte ˆın plan determinat˘a de dou˘a puncte avˆand afixele z1 ¸si z2 este:

z₁ z¯₁ 1 z2 z¯2 1 z z¯ 1 = 0.

4 Condit¸ia de coliniaritate a trei puncte avˆand afixele z1,z2,z3 se justific˘a repede ca fiind echivalent˘a cu:

z1 z¯1 1 z₂ z¯₂ 1 z₃ z¯₃ 1 = 0.

5 Ecuat¸ia unei drepte care trece prin punctul de afix z0

paralel˘a cu dreapta: d : ¯a·z¯+a·z+b= 0 este z−z0=−a¯

a ·(¯z−z¯0).

. . . . .. . .. .. . .. . . . . . .

Ecuat¸ia dreptei ¸si a cercului

TEOREM˘A

6 Ecuat¸ia dreptei date prin punctul de afix z0 care este perpendicular˘a pe dreapta d : ¯a·z¯+a·z+b= 0 este d :z−z0 = a¯

a·(¯z−z¯0).

7 Afixul piciorului perpendicularei din punctul de afix z₀ pe dreapta d : ¯α·z¯+α·z +β = 0este

z = α·z0−α¯·z¯0−β

2·α .

8 Distant¸a de la un punct de afix z₀ la o dreapt˘a d : ¯α·z¯+α·z+β = 0, α̸= 0 este:

D =|α·z0+ ¯α·z¯0+β 2·√

α·α¯ |

Ecuat¸ia dreptei ¸si a cercului

TEOREM˘A

9 Aria triunghiului determinat de trei puncte de afixe z1,z2,z3 este:

A=|∆|,∆ = i 4 ·

z₁ z¯₁ 1 z2 z¯2 1 z₃ z¯₃ 1 .

10 Ecuat¸ia unui cerc ˆın plan este:

z·z¯+α·z+ ¯α·z¯+β = 0, α∈C,β ∈R,z =x+y·i.

. . . . .. . .. .. . .. . . . . . .

Produsul real a dou˘ a numere complexe

DEFINIT¸ IE

Se nume¸ste produs real al numerelor complexe a,b, num˘arul: a⊙b= 1

2 ·(¯a·b+a·b).¯ TEOREM˘A

1 Dac˘a A(a),B(b) sunt puncte distincte ¸si diferite de O(0) atunci a⊙b= 0⇔OA⊥OB.

2 Num˘arul a⊙b este egal cu valoarea absolut˘a a puterii originii O(0) fat¸˘a de cercul de diametru AB, unde A(a),B(b) ¸si a,b numere complexe distincte nenule.

3 Fie A(a),B(b),C(c),D(d) puncte distincte. U.a.s.e.:

AB⊥CD

(b−a)⊙(d−c) = 0 b−a

d−c ∈i·R^∗

Produsul complex a dou˘ a numere complexe

DEFINIT¸ IE

Se nume¸ste produs complex al numerelor complexe,nenule ¸si distincte a,b, num˘arul:

a⊗b= 1

2·(¯a·b−a·b).¯ TEOREM˘A

1 Dac˘a A(a),B(b) sunt puncte distincte ¸si diferite de O(0) atunci a⊗b= 0⇔O,A,B coliniare.

2 a⊗b= {

2·i·A∆OAB , OAB e direct orientat

−2·i·A_∆OAB , OAB e invers orientat

3 A_∆ABC =±₂¹_·i ·(a⊗b+b⊗c+c⊗a)

4 Fie A(a),B(b),C(c) puncte distincte. U.a.s.e.:

A,B,C coliniare (b−a)⊗(c−a) = 0

. . . . .. . .. .. . .. . . . . . .

Transform˘ ari geometrice

DEFINIT¸ IE

1 Translat¸ia

Fie b∈C. z se translateaz˘a cu vectorul b ˆın z’=z+b.

2 Rotat¸ia

Rotat¸ia de centru O ¸si unghiφare exprimarea:

z^′=α·z,|α|= 1¸siα= cosφ+i·sinφ.

3 Simetria

a) Simetria de centru A are ecuat¸ia: z^′ = 2·z_A−z.

b) Simetria axial˘a ˆın care axa de simetrie este axa OX are ecuat¸ia: z^′= ¯z.

4 Omotetia

Fie z0∈C¸si a∈R^∗. Prin omotetia de centru z0 ¸si raport a, z se transform˘a ˆın z^′ =z₀+a·(z−z₀).

Omotetia de centru O ¸si raport a se exprim˘a prin:

z^′=a·z.

Exercit¸iul 1

APLICAT¸ IE Fie C₁,C₂,C₃,C₄ patru cercuri ˆın plan ¸si M₁,M₂ punctele de intersect¸ie ale lui C₁ cu C₂, N₁,N₂ punctele de intersect¸ie ale lui C2 cu C3, P1,P2 punctele de intersect¸ie ale lui C₃ cu C₄ ¸si Q₁,Q₂ punctele de intersect¸ie ale lui C₄ cu C₁. S˘a se demonstreze c˘a M1,N1,P1,Q1 sunt conciclice ⇔M2,N2,P2,Q2 sunt conciclice.

. . . . .. . .. .. . .. . . . . . .

Exercit¸iul 1

PAS¸I:

M₁,M₂,Q₁,Q₂∈C₁ ⇒(q₁,m₂,m₁,q₂)∈R^∗ M₁,M₂,N₁,N₂ ∈C₂ ⇒(m₁,n₂,n₁,m₂)∈R^∗ N1,N2,P1,P2 ∈C3⇒(n1,p2,p1,n2)∈R^∗ P1,P2,Q1,Q2 ∈C4⇒(p1,q2,q1,p2)∈R^∗

M1,N1,P1,Q1 conciclice⇔R1= (m1,p1,n1,q1)∈R^∗ M₂,N₂,P₂,Q₂ conciclice⇔R₂= (m₂,p₂,n₂,q₂)∈R^∗ Din calcule, R₁ ∈R^∗ ⇔R₂ ∈R^∗.

Exercit¸iul 2

APLICAT¸ IE Fie A(zA),B(zB),C(zC),D(zD) patru puncte pe un cerc. Ar˘atat¸i c˘a picioarele perpendicularelor din A, B pe dreapta CD ¸si picioarele perpendicularelor din C,D pe dreapta AB sunt conciclice.

. . . . .. . .. .. . .. . . . . . .

Exercit¸iul 2

PAS¸I:

consider˘am cercul unitate AB :z+a·b·z¯−a−b= 0¸si CD :z+c·d ·z¯−c −d = 0

afixele picioarelor perpendicularelor din A ¸si B pe CD sunt A^′, respectiv B^′:

⇒a^′ = 1

2·(a+c+d−a¯·c ·d)¸si b^′ = 1

2·(b+c+d −b¯·c ·d)

afixele picioarelor perpendicularelor din C ¸si D pe AB sunt C^′, respectiv D^′:

⇒c^′= 1

2 ·(c +a+b−c¯·a·b) ¸si d^′ = 1

2·(d +a+b−d¯·a·b)

A^′,B^′,C^′,D^′ sunt conciclice⇔(a^′,b^′,c^′,d^′)∈R^∗

Exercit¸iul 3

APLICAT¸ IE Se construiesc ˆın exteriorul triunghiului ABC p˘atratele BCDE,CAFG, ABHI. Fie GCDQ ¸si EBHP paralelograme.

S˘a se demonstreze c˘a triunghiul APQ este isoscel.

. . . . .. . .. .. . .. . . . . . .

Exercit¸iul 3

PAS¸I:

E =R_B,270◦(C)⇔e =b(1 +i)−c ·i H=R_B,90◦(A)⇔h =b(1−i) +a·i D =R_C,90◦(B ⇔d =c(1−i) +b·i G =RC,270^◦(A)⇔g =c(1 +i)−a·i HBEP paralelogram⇔p =b−c·i +a·i CGQD paralelogram ⇔q =c +b·i−a·i AP =|p−a|=|b−c·i +a·i−a|

AQ=|q−a|=|c+b·i−a·i−a|=|i| ·AP =AP

⇒∆ABC isoscel

Exercit¸iul 4

APLICAT¸ IE P˘atratele BCDA ¸si BKMN au vˆarful comun B ¸si sunt la fel orientate. S˘a se demonstreze c˘a mediana BE a triunghiului ABK este perpendicular˘a pe CN.

. . . . .. . .. .. . .. . . . . . .

Exercit¸iul 4

PAS¸I:

B(0), C(c)¸si K(k).

A=R_B,^π

2(C)⇔A(ci).

BCDA p˘atrat D(a+c−b) =D(c+ci).

N=R_B,^π

2(K)⇔N(ki).

BKMN p˘atrat M(n+k−b) =D(k+ki).

E este mijlocul laturii AK⇔E(ci+k 2 ).

BE⊥CN ⇔(e−b)⊙(n−c) = 0

Evaluare

DEFINIT¸ IE Evaluarea este o component˘a integrat˘a a procesului de ˆınv˘at¸˘amˆant, al˘aturi de predare ¸si ˆınv˘at¸are, care vizeaz˘a

m˘asurarea, verificarea nivelului de ˆınsu¸sire a cuno¸stint¸elor de c˘atre elev ¸si notarea acestuia.

METODE DE EVALUARE:

1 evaluare oral˘a: ˆıntreb˘ari teoretice

rezolvarea de probleme la tabl˘a

verificarea muncii individuale, a temelor ¸si a proiectelor

2 evaluare scris˘a:

test de verificare lucrare de control

. . . . .. . .. .. . .. . . . . . .

Test de verificare

Timp de lucru 50 de minute

1 (1.5p) Pe laturile patrulaterului ABCD se construiesc ˆın exterior triunghiurile dreptunghice isoscele AMB, BNC, CPD, DQA. S˘a se arate c˘a MP⊥NQ.

2 (1.5p)Dac˘a ABC∼A’B’C’ ¸si O in plan, iar A₁ vˆarful

∆AA^′A1, B1 este vˆarful∆BB^′B1 ¸si C1 vˆarful∆CC^′C1

cu centrul de greutate O, atunci A₁B₁C₁ ∼ABC .

3 (3p) Fie ∆ABC ¸si ∆A1B1C1 a.ˆı.

A₁ ∈BC,B₁ ∈CA,C₁∈AB ¸si le ˆımpart pe acestea ˆın raportul k. S˘a se arate c˘a∆ABC ¸si∆A1B1C1 au acela¸si centru de greutate.

4 (3p) Enunt¸at¸i ¸si demonstrat¸i proprietatea referitoare la conciclicitatea a patru puncte distincte dou˘a cˆate dou˘a.

Se acord˘a 1 punct din oficiu. Succes!

Test de evaluare

Toate subiectele sunt obligatorii.

Se acord˘a 1p din oficiu.

Timp de lucru : 1h

1 (1p) Aleget¸i varianta corect˘a ¸si motivat¸i r˘aspunsul:

Centrul de greutate al unui triunghi cu vˆarfurile A(a),B(b),C(c) are afixul: a)a+b+c b)a+b+c

2 c) a+b+c

3

2 (2p) Enunt¸at¸i ¸si demonstrat¸i cu ajutorul numerelor complexe teorema lui Pappus.

3 (1p) Scriet¸i o condit¸ie necesar˘a ¸si suficient˘a pentru ca un triunghi ABC s˘a fie echilateral

4 (0.5p) Dreapta lui Simson este dreapta format˘a din ... .

. . . . .. . .. .. . .. . . . . . .

Test de evaluare

5 (2p) Fie O ¸si H centrul cercului circumscris, respectiv ortocentrul triunghiului ABC, iar Q simetricul lui H fat¸˘a de O. FieT₁,T₂,T₃ centrele de greutate ale

triunghiurilor BCQ, CAQ, ABQ. S˘a se demonstreze c˘a:

AT₁=BT₂=CT₃ = 4 3·OA

6 (2p) Fie punctele A(a),B(b),C(c) a.ˆı. a+b+c ̸= 0 ¸si punctele M(a²+a·b+a·c), N(b²+b·c+b·a), P(c²+c·a+c·b).S˘a se g˘aseasc˘a o relat¸ie ˆıntre triunghiurile MNP ¸si ABC.

7 (0.5p) Stabilit¸i dac˘a este adev˘arat sau fals ¸si justificat¸i r˘aspunsul:

Punctele A(a),B(b),C(c)) dou˘a cˆate dou˘a distincte sunt coliniare dac˘a ¸si numai dac˘a z₃−z₁

z2−z1 ∈R^∗

Metoda R.A.I.

metoda se poate folosi la ˆınceputul lect¸iei pentru a verifica cuno¸stiint¸ele elevilor

APLICAT¸ IE

Primul elev ˆıntreab˘a care este afixul mijlocului unui segment [AB] , iar urm˘atorul r˘aspunde: a+b

2 Al doilea elev continu˘a ¸si intreab˘a care este afixul centrului de greutate al unui triunghi ABC. Cel ˆıntrebat r˘aspunde cu: a+b+c

3 .

Al treilea elev poate ˆıntreba care este biraportul a patru numere, iar cel ˆıntrebat va raspunde: z₁−z₃

z₂−z₃ = z₁−z₄ z₂−z₄ .

. . . . .. . .. .. . .. . . . . . .

Metoda 3-2-1

evaluare a procesului de predare-ˆınv˘at¸are dupa cˆateva ore de curs

elevii scriu: 3 concepte din ce au ˆınv˘at¸at, 2 idei despre care ar dori s˘a ˆınvet¸e mai multe ˆın continuare ¸si o capacitate pe care au dobˆandit-o ˆın urma activit˘at¸ii de predare-ˆınv˘at¸are.

APLICAT¸ IE

3: coliniaritatea a trei puncte , perpendicularitatea a dou˘a drepte, conciclicitatea a 4 puncte

2: transform˘ari geometrice, produsul real al numerelor complexe

1: rezolvarea problemelor de geometrice prin metode ale Analizei Complexe

Harta conceptual˘ a

. . . . .. . .. .. . .. . . . . . .

Bibliografie

T. Andreescu, D. Andrica,Complex numbers from A to ... Z. Birkhauser, Boston(2005)

D. Andrica, N. Bi¸sboac˘a, Numere Complexe.

Probleme rezolvate din manualele alternative.

Editura Millenium(2000)

L.S. Hahn, Complex Numbers&Geometry.The Mathematichal Association of America(1984) N.N. Mih˘aileanu, Utilizarea numerelor complexe ˆın geometrie. Editura Tehnic˘a, Bucure¸sti (1968) P.S. Modenov, Problems in Geometry. Mir Publishers - Moscow(1981)

G. S˘al˘agean,Geometria planului complex, Editura ProMedia Plus, Cluj-Napoca(1997)