Vectori s¸i coordonate
Paul A. Blaga
Universitatea “Babes¸-Bolyai”
16 martie 2020
Segmente orientate
Un segment de dreapt ˘a pentru care s-a precizat care dintre capetele sale este originea s¸i care extremitatea, se numes¸te segment orientatsauvector legat.
Un segment orientat cu originea ˆın punctulAs¸i extremitatea ˆın punctulB se noteaz ˘a, de regul ˘a, cuAB.
Din punct de vedere grafic, un segment de dreapt ˘a orientatAB se reprezint ˘a sub forma unei s ˘aget¸i:
A
B
Un segment orientat este definit, ˆın mod unic, de capetele sale s¸i de ordinea acestor capete.
A=B, avem de-a face cu unsegment orientat nuls¸i se scrie AA=~0.
Segmente orientate
Dac ˘a s-a ales o unitate de lungime, atunci putem defini lungimea segmentului orientatABca fiind lungimea segmentului neorientat ABs¸i scriem:
AB
=|AB| sau AB
=AB.
Lungimea unui segment orientat se mai numes¸te s¸imodululs ˘au saunormasa.
Spunem c ˘a dou ˘a segmente orientateABs¸iCDsuntegaledac ˘a A=Cs¸iB=D, cu alte cuvinte, dac ˘a ele au aceeas¸i origine s¸i
Vectori liberi
Dou ˘a segmente orientatenenule ABs¸iCDauaceeas¸i direct¸ie dac ˘a drepteleABs¸iCDsunt paralele.
Un segment legat nul se consider ˘a, prin convent¸ie, c ˘a are aceeas¸i direct¸ie cu orice alt segment orientat.
Presupunem acum c ˘a cele dou ˘a segmente orientate (nenule) au aceeas¸i direct¸ie, dar dreptele lor suport nu coincid. Vom spune c ˘a ele auacelas¸i sensdac ˘a segmentele (neorientate)ACs¸iBDnu se intersecteaz ˘a.
A
B
Vectori liberi
Dac ˘a aceste doua segmente se intersecteaz ˘a, vom spune c ˘a segmentele orientateABs¸iCD au sensuri opuse:
A
B
Dac ˘a segmentele orientate nenuleABs¸iCDau aceeas¸i dreapt ˘a suport:AB=CD(ca drepte), atunci vom spune c ˘a ele au acelas¸i sens dac ˘a exist ˘a un al treilea segment orientat,EF, av ˆand
aceeas¸i direct¸ie (dar nu s¸i aceeas¸i dreapt ˘a suport) cuABs¸iCD, s¸i care are acelas¸i sens cu ambele segmente. ˆIn caz contrar, vom spune c ˘a segmenteleABs¸iCDau sensuri opuse.
Vectori liberi
Se consider ˘a, prin convent¸ie, c ˘a vectorul nul are acelas¸i sens cu orice alt vector.
Observat¸ie
De fiecare dat ˘a c ˆand spunem c ˘a dou ˘a segmente orientate au acelas¸i sens, subˆınt¸elegem, chiar dac ˘a nu o spunem ˆın mod explicit, c ˘a segmentele au aceeas¸i direct¸ie. Relat¸ia “acelas¸i sens” nu este definit ˘a pentru perechi de segmente orientate care nu au aceeas¸i direct¸ie. Mai spunem, uneori, despre dou ˘a segmente orientate care au aceeas¸i direct¸ie s¸i acelas¸i sens, c ˘a auaceeas¸i orientare.
Vectori liberi
Definit¸ie
Spunem c ˘a dou ˘a segmente orientateAB s¸iCDsuntechipolentes¸i scriemAB∼CD, dac ˘a fie ambele sunt nule, fie ambele sunt nenule s¸i ele au aceeas¸i direct¸ie, acelas¸i sens s¸i acelas¸i modul.
Este us¸or de constatat c ˘a relat¸ia de echipolent¸˘a este o relat¸ie de echivalent¸˘a (adic ˘a este reflexiv ˘a, simetric ˘a s¸i tranzitiv ˘a).
Definit¸ie
Se numes¸tevector libero clas ˘a de echivalent¸˘a de segmente orientate, ˆın raport cu relat¸ia de echipolent¸˘a. Vectorul liber determinat de
segmentul orientatABse noteaz ˘a cu−→
AB. Astfel,
Vectori liberi
Un vector liber este o famile de vectori legat¸i echipolent¸i, c ˆate unul ˆın fiecare punct al spat¸iului:
A
B
Doi vectori liberi se numescegalidac ˘a ei sunt egali ca s¸i clas ˘a de echivalent¸˘a, adic ˘a sunt alc ˘atuit¸i din aceleas¸i segmente orientate.
Altfel spus,
−→AB=−→
CD ⇐⇒ AB∼CD.
Vectori liberi
De regul ˘a, dac ˘a nu vrem s ˘a scoatem ˆın evident¸˘a un reprezentant al unui vector liber, vom utiliza pentru notarea acestor obiecte litere mici, de regul ˘a din prima parte a alfabetului,a,b, . . .. Vectorul nul se noteaz ˘a cu0. Pentru reprezentarea unui vector liber se utilizeaz ˘a unul dintre segmentele orientate care ˆıl formeaz ˘a.
Dac ˘a se d ˘a un vector liberas¸i un punctA, exist ˘a un singur punct Bdin spat¸iu astfel ˆınc ˆat s ˘a avem
−→AB =a.
Prin construirea punctuluiBpentru care e verificat ˘a relat¸ia de mai sus, spunem c ˘a amatas¸atvectorul liberapunctuluiA.
Vectori liberi
S ˘a presupunem c ˘a se dau doi vectorias¸ib. ˆIi atas¸ ˘am unui punct O(construim puncteleAs¸iBastfel ˆınc ˆat s ˘a avem−→
OA=as¸i
−→OB=b). Atunciunghiul dintre vectoriias¸ibeste, prin definit¸ie, unghiul dintre segmentele orientateOAs¸iOB. ˆIn mod evident, acest unghi nu depinde de alegerea punctuluiO.
Spunem c ˘a un segment orientatABeste paralel cu o dreapt ˘a∆ (cu un planΠ) dac ˘a dreapta sa suport este paralel ˘a cu dreapta∆ (cu planulΠ). Segmentul nul se consider ˘a, prin convent¸ie, c ˘a este paralel cu orice dreapt ˘a sau plan.
Spunem c ˘a vectorii liberia1,a2, . . . ,ak suntcoliniari (coplanari) dac ˘a segmentele care ˆıi alc ˘atuiesc sunt paralele cu o aceeas¸i dreapt ˘a (respectiv cu acelas¸i plan).
Vectori liberi
Dac ˘a ˆın spat¸iu se fixeaz ˘a un planΠs¸i se consider ˘a numai acele puncte care apart¸in acestui plan, atunci prin vector (liber) vom ˆınt¸elege o clas ˘a de echivalent¸˘a de segmente orientate situate ˆın acel plan. Analog se definesc s¸i vectorii de pe dreapt ˘a.
Adunarea vectorilor
Consider ˘am doi vectorias¸ib. Alegem un punctOoarecare din spat¸iu s¸i construim un punctAastfel ˆınc ˆat−→
OA=as¸i un punctBastfel ˆınc ˆat
−→AB=b.
Definit¸ie Vectorul−→
OBse numes¸tesuma vectoriloras¸ibs¸i se noteaz ˘a cua+b.
A
B
Adunarea vectorilor
Sumaa+bnu depinde de alegerea punctuluiO. Modalitatea de construct¸ie a sumei a doi vectori descris ˘a mai sus se numes¸teregula triunghiului(sau aˆınchiderii).
Dac ˘a vectoriias¸ibnu sunt coliniari, atunci avem s¸i o alt ˘a metod ˘a de a determina suma a doi vectori, care, fires¸te, d ˘a acelas¸i rezultat ca s¸i regula triunghiului.
as¸ib– doi vectori necoliniari.
Alegem un punctO s¸i atas¸ ˘am cei doi vectori de punctulO, cu alte cuvinte, determin ˘am puncteleAs¸iB astfel ˆınc ˆat−→
OA=as¸i
−→OB=b.
Cum vectoriias¸ibnu sunt coliniari, de aici rezult ˘a c ˘a nici punctele
Adunarea vectorilor
ˆIn acest plan, construim paralelogramulOACB.
A B
C D
Cum se constat ˘a cu us¸urint¸˘a c ˘a−→
BC =as¸i−→
AC =b, rezult ˘a, pe baza regulii triunghiului, ment¸ionat ˘a mai sus, c ˘a au loc egalit ˘at¸ile:
−−→
OC=a+b=b+a. (1)
Avem dou ˘a egalit ˘at¸i, pentru c ˘a avem dou ˘a situat¸ii ˆın care putem aplica regula triunghiului, s¸i de fiecare dat ˘a vectorul care ˆınchide triunghiul este−−→
OC.
Adunarea vectorilor
(Regula paralelogramului): pentru a g ˘asi suma a doi vectori necoliniari, se atas¸eaz ˘a aces¸ti doi vectori unui punctOs¸i se construies¸te pe segmentele orientate obt¸inute, ca laturi, un
paralelogram. Diagonala paralelogramului care pleac ˘a din punctul Ova fi atunci segmentul orientat care determin ˘a suma celor doi vectori.
Regula paralelogramului permite (vezi formula (1)) demonstrarea foarte simpl ˘a acomutativit ˘at¸iiadun ˘arii vectorilor liberi, pentru cazul vectorilornecoliniari. Pentru cazul vectorilor coliniari, comutativitatea se poate verifica foarte us¸or cu ajutorul regulii ˆınchiderii, at ˆat pentru vectorii orientat¸i ˆın acelas¸i sens, c ˆat s¸i pentru cei av ˆand sensuri opuse. As¸adar, operat¸ia de adunare a
Adunarea vectorilor
Consider ˘am acum trei vectoria,b,c. Atas¸ ˘am vectorulaunui punctO, construind, astfel, punctulAastfel ˆınc ˆat−→
OA=a. Construim, mai departe, punctulBastfel ˆınc ˆat−→
AB=b. Conform definit¸iei sumei,
−→OB=a+b. Adun ˘am acum la acest vector vectorulc. Pentru aceasta construim punctulC astfel ˆınc ˆat−→
BC=c. Avem, atunci
−−→
OC= (a+b) +c. (2)
A B
C D
Adunarea vectorilor
Pe de alt ˘a parte,−→
AC=b+c, prin urmare
−−→
OC=a+ (b+c). (3)
Combin ˆand (2) cu (3) obt¸inem
(a+b) +c=a+ (b+c), adic ˘a adunarea vectorilor esteasociativ ˘a.
Adunarea vectorilor liberi admiteelement neutru, vectorul nul,0, deoarece este evident c ˘a pentru orice vectoraavem:
a+0=0+a.
Fiecare vector admite un opus relativ la operat¸ia de adunare.
Adunarea vectorilor
a+ (−a) =0.
Acestea fiind spuse, putem afirma c ˘amult¸imea tuturor vectorilor liberi din spat¸iu formeaz ˘a un grup abelian ˆın raport cu operat¸ia de adunare a vectorilor.
As¸a cum se ˆınt ˆampl ˘a ˆın orice grup abelian (aditiv), odat ˘a cu adunarea vectorilor putem defini s¸i sc ˘aderea lor, pun ˆand, prin definit¸ie:
a−b:=a+ (−b).
Dac ˘a atas¸am vectorulaunui punctOs¸i alegemAs¸iBastfel ˆınc ˆat
−→OA=as¸i−→
OB=b, atunci, dup ˘a cum se constat ˘a cu us¸urint¸˘a, a−b=−→
BAsau −→
OA−−→
OB=−→
BA.
Adunarea vectorilor
A B
C D
ˆInmult¸irea cu scalari
Not ˘am cuV mult¸imea tuturor vectorilor liberi din spat¸iu.
Definit¸ie
Fieaun vector s¸iλ∈Run num ˘ar real. Produsul vectoruluiacu scalarulλeste, prin definit¸ie, un vector, notatλacaracterizat ˆın modul urm ˘ator:
(i) modulul luiλaeste dat de
kλak:=|λ| · kak,
unde produsul din membrul drept este produsul de numere reale;
(ii) direct¸ia luiλacoincide cu direct¸ia luia;
(iii) sensul luiλacoincide cu sensul luiadac ˘aλ >0 sau cu sensul
opus sensului luiadac ˘aλ <0.
ˆInmult¸irea cu scalari
Propriet ˘at¸i
1 1a=a.
2 (−1)a=−a.
3 λ(µa) = (λµ)a, pentru orice scalariλ, µ∈Rs¸i orice vectora.
4 λ(a+b) =λa+λb, pentru oriceλ∈Rs¸i pentru orice doi vectori liberia,b.
Presupunem acum, ˆın continuare, c ˘aλ >0, dar vectoriias¸ib sunt, de data aceasta, coliniari. Alegem un punctOarbitrar s¸i construim puncteleAs¸iBastfel ˆınc ˆat−→
OA=as¸i−→
AB=b.
5 (λ+µ)a=λa+µa, pentru orice scalariλs¸iµs¸i pentru orice vectora.
Propriet ˘at¸ile 1)–5), ˆımpreun ˘a cu faptul c ˘a mult¸imeaV este un grup
ˆInmult¸irea cu scalari
Observat¸ie
Propriet ˘at¸ile 4) s¸i 5) pot fi extinse, prin induct¸ie, la orice num ˘ar finit de sumanzi, cu alte cuvinte, se poate demonstra cu us¸urint¸˘a c ˘a:
λ(a1+a2+· · ·+ak) =λa1+λa2+· · ·+λak, (λ1+λ2+· · ·+λk)a=λ1a+λ2a+· · ·+λka,
pentru oricek natural, cel put¸in egal cu 2, orice numere reale, λ, λ1, λ2, . . . , λk s¸i orice vectoria,a1,a2, . . . ,ak.
Proiect¸iile vectorilor
Axe
Alegem o dreapt ˘a oarecare ˆın spat¸iu. Vom numi unul dintre cele dou ˘a sensuri de pe aceast ˘a dreapt ˘apozitivs¸i ˆıl vom nota pe desen cu o s ˘ageat ˘a. Sensul opus va fi numitnegativ. O dreapt ˘a pe care s-a ales un sens pozitiv se numes¸teax ˘asaudreapt ˘a orientat ˘a.
Alegem acum o ax ˘a∆s¸i pe ea alegem un segment nenul ca unitate de lungime. Vom numilungime cu semna unui segment orientatAB de pe ax ˘a s¸i-l vom nota cu simbolul(AB)num ˘arul dat de
(AB) =
(kABk dac ˘aABare acelas¸i sens cu∆
−kABk dac ˘aABs¸i∆au sensuri opuse (4) D C
Proiect¸iile vectorilor
Proiect¸ia pe o ax ˘a ˆın spat¸iu
Teorema (Chasles)
Pentru orice trei puncte A,B,C situate pe o ax ˘a pe care s-a ales o unitate de lungime, are loc urm ˘atoarea relat¸ie:
(AB) + (BC) = (AC). (5) Fie∆o ax ˘a ˆın spat¸iu s¸iΠun plan care nu este paralel cu∆. Printr-un punct oarecareAdin spat¸iu ducem un planΠ1, paralel cu planulΠ.
Acest plan intersecteaz ˘a axa∆ˆıntr-un punctA0. PunctulA0 se numes¸teproiect¸ia punctului A pe axa∆, paralel ˘a cu planulΠ. Dac ˘a planulΠeste perpendicular pe axa∆, atunci proiect¸ia se numes¸te ortogonal ˘a. ˆIn acest caz,A0 este piciorul perpendicularei cobor ˆate din punctulApe axa∆.
Proiect¸iile vectorilor
Proiect¸ia unui vector legatABeste vectorul legatA0B0, care unes¸te proiect¸iile capetelor se numes¸teproiect¸ia segmentului orientat AB pe axa∆, paralel ˘a cu planulΠ. Lungimea cu semn a proiect¸iei se noteaz ˘a cupr∆AB(kΠ).
Proiect¸ia unui vector liberaeste proiect¸ia uni reprezentant al s ˘au.
Proiect¸ia se noteaz ˘a cupr∆a(kΠ)s¸i este un vector liber pe ax ˘a.
A B D C
Proiect¸ia pe o ax ˘a ˆıntr-un plan
Presupunem acum c ˘a at ˆat axa∆, c ˆat s¸i figura care se proiecteaz ˘a sunt situate ˆıntr-un acelas¸i planΠ.
Fie∆1o dreapt ˘a din planulΠ, care nu este paralel ˘a cu axa∆.
Ducem, printr-un punctAal planului, o dreapt ˘a paralel ˘a cu dreapta∆1, care intersecteaz ˘a axa ˆıntr-un punctA0, care se numes¸teproiect¸ia punctului A pe axa∆, paralel ˘a cu dreapta∆1. Celelalte not¸iuni din paragraful precedent se definesc ˆın mod analog s¸i se bucur ˘a de aceleas¸i propriet ˘at¸i.
Proiect¸ia pe un plan
FieΠun plan s¸i∆o dreapt ˘a care nu este paralel ˘a cu planul.
Ducem printr-un punctAal spat¸iului o dreapt ˘a∆1, paralel ˘a cu dreapta∆.
Dreapt ˘a∆1intersecteaz ˘a planul ˆıntr-un punctA0, care se numes¸te proiect¸ia punctului A pe planulΠ, paralel ˘a cu dreapta∆.
Dac ˘a dreapta∆este perpendicular ˘a pe planulΠ, proiect¸ia se numes¸teortogonal ˘a.
Proiect¸ia sumei vectorilor
Presupunem c ˘a pe axa∆se proiecteaz ˘a doi vectorias¸ib.
Proiect¸ia se face paralel cu un planΠsau paralel cu o dreapt ˘a∆1, dac ˘a at ˆat vectorii, c ˆat s¸i axa se afl ˘a ˆıntr-un acelas¸i plan.
Alegem un punctO s¸i construim puncteleAs¸iBastfel ˆınc ˆat
−→OA=as¸i−→
AB=bs¸i, prin urmare,−→
OB=a+b.
Dac ˘aO0,A0,B0 sunt proiect¸iile punctelorO,A,Bpe axa∆, atunci vectorii−−→
O0A0,−−→
A0B0 s¸i−−→
O0B0sunt, respectiv, proiect¸iile vectorilora,b s¸ia+b.
De aici rezult ˘a c ˘aproiect¸ia sumei vectorilor este egal ˘a cu suma proiect¸iilor termenilor. Este clar c ˘a aceast ˘a proprietate se poate
Proiect¸ia sumei vectorilor
Dac ˘a pe ax ˘a s-a ales s¸i o unitate de lungime, atunci, ˆın virtutea egalit ˘at¸ii (5), avem s¸i
(O0B0) = (O0A0) + (A0B0) sau, utiliz ˆand notat¸ia introdus ˘a mai devreme,
pr∆(a+b) = pr∆a+ pr∆b, (6) adic ˘a lungimea cu semn a proiect¸iei sumei vectorilor pe o ax ˘a este egal ˘a cu suma magnitudinilor proiect¸iilor termenilor.
Dependent¸a liniar ˘a a vectorilor
Definit¸ie Vectorii
a1,a2, . . . ,ak (7)
se numescliniar dependent¸idac ˘a exist ˘a numerele reale
λ1, . . . , λk, (8)
nu toate nule, astfel ˆınc ˆat
λ1a1+λ2a2+· · ·+λkak =0. (9) ˆIn caz contrar, vectorii se numesc
Dependent¸a liniar ˘a a vectorilor
Este clar c ˘a vectorii sunt liniar independent¸i dac ˘a s¸i numai dac ˘a din egalitatea (9) rezult ˘a c ˘a
λ1=λ2=· · ·=λk =0.
Se mai spune, de asemenea, c ˘a vectorii (7) formeaz ˘aun sistem liniar dependent, respectivun sistem liniar independent.
Dac ˘a un vectorase poate scrie ˆın funct¸ie de vectorii (7) sub forma a=µ1a1+µ2a2+· · ·+µkak,
atunci vom spune c ˘aaesteo combinat¸ie liniar ˘a a acestor vectori.
Dependent¸a liniar ˘a a vectorilor
Teorema
Pentru ca vectorii (7) (cu k >1) s ˘a fie liniar dependent¸i, este necesar s¸i suficient ca cel put¸in unul dintre aces¸ti vectori s ˘a poat ˘a fi scris ca o combinat¸ie liniar ˘a a celorlalt¸i.
Consecint¸a
Dac ˘a vectorii (7) sunt liniar independent¸i, atunci nici unul nu poate fi scris ca o combinat¸ie liniar ˘a a celorlalt¸i. ˆIn particular, nici unul dintre vectori nu poate fi egal cu zero.
Pentru cazul a doi vectori, avem urm ˘atorul rezultat:
Dependent¸a liniar ˘a a vectorilor
Consecint¸a
Doi vectori sunt liniar independent¸i dac ˘a s¸i numai dac ˘a ei nu sunt coliniari.
Vectorii liniar independent¸i vor juca un rol esent¸ial. ˆIn particular, ei ne furnizeaz ˘a descompuneri ale altor vectori. Un prototip de astfel de descompunere este dat de urm ˘atoarea teorem ˘a:
Teorema
S ˘a presupunem c ˘a ˆıntr-un planΠsunt dat¸i doi vectori necoliniarie1s¸i e2. Atunci orice alt vectoradin plan se poate descompune ˆın funct¸ie de vectoriie1s¸ie2, cu alte cuvinte exist ˘a dou ˘a numere reale (unic determinate) x s¸i y astfel ˆınc ˆat
a=xe1+ye2. (10)
Dependent¸a liniar ˘a a vectorilor
Demonstrat¸ie.
AlegemO∈Π. Atunci exist ˘aE1,E2,M∈Πa.ˆı.
−−→OE1=e1, −−→
OE2=e2, −−→
OM =a.
Proiect ˆand punctulM pe dreaptaOE1, paralel cu dreaptaOE2, obt¸inem un punctM1.
Analog, fieM2punctul ce se obt¸ine proiect ˆand punctulMpe dreaptaOE2, paralel cu dreaptaOE1.
ˆIntrucˆat vectorii−−→
OE1s¸i−−→
OM1sunt coliniari, iar−−→
OE16=0, rezult ˘a c ˘a
−−→ −−→
Dependent¸a liniar ˘a a vectorilor
Demonstrat¸ie.
ˆIn mod analog, exist˘a uny real astfel ˆınc ˆat−−→
OM2=y−−→
OE2. Cum
−−→OM =−−→
OM1+−−→
OM2, egalitatea (10) este verificat ˘a.
Mai r ˘am ˆane s ˘a demonstr ˘am unicitatea numerelor realex s¸iy. S ˘a presupunem c ˘a ar exista alte dou ˘a numere reale,x0 s¸iy0 astfel ˆınc ˆat s ˘a avem
a=x0e1+y0e2. (11) Dac ˘a sc ˘adem egalitatea (11) din egalitatea (10), obt¸inem
(x −x0)e1+ (y−y0)e2=0. (12) Cum vectoriie1s¸ie2sunt liniar independent¸i, obt¸inem c ˘a
x−x0=0 s¸iy−y0 =0, adic ˘ax =x0 s¸iy =y0.
Dependent¸a liniar ˘a a vectorilor
Dependent¸a liniar ˘a a vectorilor
S ˘a vedem acum ce se ˆınt ˆampl ˘a ˆın cazul ˆın care avemtreivectori.
Avem urm ˘atorul rezultat:
Teorema
Pentru ca trei vectori s ˘a fie liniar dependent¸i este necesar s¸i suficient ca ei s ˘a fie coplanari.
Demonstrat¸ie.
Presupunem c ˘a vectorii
a1,a2,a3 (13)
sunt liniar dependent¸i. Atunci putem presupune, f ˘ar ˘a a reduce generalitatea, c ˘a al treilea vector e o combinat¸ie liniar ˘a a primilor doi.
Prin urmare, exist ˘a dou ˘a numere realeλ1s¸iλ2astfel ˆınc ˆat s ˘a avem a3=λ1a1+λ2a2. (14)
Dependent¸a liniar ˘a a vectorilor
Demonstrat¸ie.
Dac ˘a atas¸ ˘am vectorii unui punctO, obt¸inem trei puncteM1,M2,M3 astfel ˆınc ˆat −−→
OM1=a1, −−→
OM2=a2, −−→
OM3=a3. Dac ˘a vectorii−−→
OM1s¸i−−→
OM2sunt necoliniari, atunci puncteleO,M1,M2 sunt necoliniare, deci ele determin ˘a un planΠ. Datorit ˘a relat¸iei (14), vectorul−−→
OM3apart¸ine, de asemenea, planuluiΠ, prin urmare cei trei vectori sunt coplanari. Dac ˘a vectorii−−→
OM1s¸i−−→
OM2sunt coliniari, atunci din relat¸ia (14) rezult ˘a c ˘a vectorul−−→
OM3este, de asemenea, coliniar cu ceilalt¸i doi vectori, prin urmare, cu at ˆat mai mult, cei trei vectori sunt
Dependent¸a liniar ˘a a vectorilor
Demonstrat¸ie.
Invers, s ˘a presupunem c ˘a vectorii (13) sunt coplanari. S ˘a admitem, pentru ˆınceput, c ˘a doi dintre vectori, de exemplu vectoriia1s¸ia2nu sunt coliniari. Atunci, ˆın virtutea teoremei 4, exist ˘a dou ˘a constanteλ1 s¸iλ2astfel ˆınc ˆat s ˘a avem
a3=λ1a1+λ2a2
s¸i, prin urmare, vectorii (13) sunt liniar dependent¸i.
Dac ˘a tot¸i trei vectorii sunt coliniari, atunci avem, de exemplu,a1=λa2, relat¸ie care se poate rescrie sub forma
a1=λa2+0a3,
adic ˘a, din nou, conchidem c ˘a cei trei vectori sunt coplanari.
Dependent¸a liniar ˘a a vectorilor
Drept consecint¸˘a a acestei teoreme, putem conchide c ˘aˆın spat¸iu exist ˘a triplete de vectori liniar independent¸i.
S¸ i ˆın spat¸iu avem un rezultat similar teoremei 4, adic ˘a:
Teorema Dac ˘a vectorii
e1,e2,e3 (15)
sunt liniar independent¸i s¸iaeste un vector oarecare, atunci exist ˘a trei numere reale, x,y,z astfel ˆınc ˆat
a=xe1+ye2+ze3. (16)
Dependent¸a liniar ˘a a vectorilor
Demonstrat¸ie.
Alegem un punct oarecareOdin spat¸iu s¸i determin ˘am punctele E1,E2,E3s¸iMastfel ˆınc ˆat s ˘a avem
−−→OE1=e1, −−→
OE2=e2, −−→
OE3=e3, −−→
OM =a.
Not ˘am cuM1,M2,M3proiect¸iile punctuluiMpe dreptele
OE1,OE2,OE3, paralel cu planeleOE2E3,OE1E3, respectivOE1E2. Se constat ˘a cu us¸urint¸˘a c ˘a
−−→OM =−−→
OM1+−−→
OM2+−−→
OM3. (17)
Cum vectorii−−→
OE1s¸i−−→
OM1sunt coliniari s¸i−−→
OE16=0, rezult ˘a c ˘a exist ˘a un num ˘ar realx astfel ˆınc ˆat−−→
OM1=x−−→
OE1.
Dependent¸a liniar ˘a a vectorilor
Demonstrat¸ie.
ˆIn mod analog, exist˘a numerele realey s¸iz astfel ˆınc ˆat−−→
OM2=y−−→
OE2 s¸i−−→
OM3=−−→
OE3. Unicitatea numerelorx,y,z se demonstreaz ˘a ca s¸i ˆın cazul teoremei 4.
ˆIntrebarea natural˘a care se pune este: ce se ˆıntˆampl˘a dac˘a avem mai mult de trei vectori? R ˘aspunsul este dat de teorema care urmeaz ˘a.
Teorema
Orice patru vectori sunt liniar dependent¸i.
Dependent¸a liniar ˘a a vectorilor
Demonstrat¸ie.
Presupunem c ˘a dintre cei patru vectori
a1,a2,a3,a (18) trei sunt liniar independent¸i, de exemplu
a1,a2,a3. (19) Atunci, ˆın virtutea teoremei 6, exist ˘a trei numere realeλ1, λ2, λ3astfel ˆınc ˆat
a=λ1a1+λ2a2+λ3a3,
adic ˘a cei patru vectori sunt, ˆıntr-adev ˘ar, liniar dependent¸i.
Dependent¸a liniar ˘a a vectorilor
Demonstrat¸ie.
Dac ˘a vectorii (19) sunt liniar dependent¸i, adic ˘a ˆıntre ei exist ˘a o relat¸ie de forma
µ1a1+µ2a2+µ3a3=0, (20)
unde nu tot¸i coeficient¸ii se anuleaz ˘a, aceast ˘a relat¸ie se poate rescrie sub forma
µ1a1+µ2a2+µ3a3+0a=0, adic ˘a vectorii (18) sunt liniar dependent¸i.
Consecint¸a
Orientarea sistemelor de doi s¸i trei vectori liniar independent¸i
Definit¸ie
Un sistem (ordonat) de vectori liniar independent¸i{a1,a2}ˆıntr-un plan se numes¸te un sistemdreptdac ˘a atunci c ˆand atas¸ ˘am cei doi vectori punctuluiOdin plan, adic ˘a alegem dou ˘a puncteA1s¸iA2din plan astfel ˆınc ˆata1=−−→
OA1s¸ia2=−−→
OA2, c ˆand rotim vectorula1ˆın jurul punctuluiO pentru a-l aplica peste vectorula2(ca direct¸ie s¸i sens), pe drumul cel mai scurt, rotat¸ia se face ˆın sens trigonometric (invers sensului acelor de ceasornic).
Acelas¸i sistem se numes¸test ˆangdac ˘a rotat¸ia ment¸ionat ˘a mai sus se face ˆın sensul acelor de ceasornic.
Observat¸ie
Este clar c ˘a dac ˘a sistemul{a1,a2}este drept, atunci sistemul{a2,a1} este st ˆang s¸i viceversa.
Orientarea sistemelor de doi s¸i trei vectori liniar independent¸i
Definit¸ie
Fie{a1,a2,a3}un sistem ordonat de trei vectori liniar independent¸i din spat¸iu. Fix ˘am, ca s¸i mai sus, un punctOs¸i alegem trei puncte
A1,A2,A3astfel ˆınc ˆat s ˘a avemai =−−→
OAi, i =1,2,3. Sistemul
{a1,a2,a3}se numes¸tedreptdac ˘a ˆın planulOA1A2, v ˘azut din punctul A3, rotat¸ia ˆın jurul punctuluiOcare aplic ˘aA1pesteA2pe cel mai scurt drum, se face ˆın sens trigonometric. ˆIn caz contrar, adic ˘a dac ˘a rotat¸ia se face ˆın sensul acelor de ceasornic, sistemul se numes¸test ˆang.
Observat¸ie
Se poate constata imediat c ˘a dac ˘a sistemul{a ,a ,a }este drept,
Orientarea sistemelor de doi s¸i trei vectori liniar independent¸i
e1
e2 e3
e2
e1 e3
Coordonate pe dreapt ˘a
Fie∆o dreapt ˘a oarecare. Alegem pe ea un vector nenul oarecare,e, pe care ˆıl vom numivector unitarsauversor.
Dac ˘a acumaeste un vector oarecare de pe dreapt ˘a, atunci, conform sect¸iunii precedente, exist ˘a un singur num ˘ar realx astfel ˆınc ˆata=xe. Num ˘arulx se numes¸tecomponentavectoruluia, relativ la dreapta∆, ˆınzestrat ˘a cu versorule.
Alegem pe dreapta∆, ˆınzestrat ˘a cu versorule, un punctO, pe care ˆıl vom numioriginea coordonatelor. Dreapta∆se va numi de-acumax ˘a de coordonate. Dac ˘aMeste un punct oarecare al dreptei, vectorul−−→
OM se va numiraz ˘a vectoaresauvector de pozit¸ieal punctuluiM, iar componenta acestui vector se numes¸te
Coordonate pe dreapt ˘a
Alegem, mai departe, punctulE pe dreapt ˘a astfel ˆınc ˆat s ˘a avem
−→OE =e. SegmentulOE va fi ales ca scar ˘a a lungimilor pe dreapta
∆. Prin urmare, coordonata unui punctM de pe dreapt ˘a nu este altceva dec ˆat magnitudinea(OM)a segmentului orientatOM.
Pentru a scoate ˆın evident¸˘a c ˘a num ˘arul realx este coordonata punctuluiM, vom scrie, de regul ˘a,M(x).
O E M(x) x
Trebuie remarcat c ˘a exist ˘a o infinitate de moduri de a asocia coordonate punctelor de pe dreapt ˘a.
Coordonate pe dreapt ˘a
Coordonata unui punct este unic determinat ˘a doar ˆın momentul ˆın care s-au ales:
versorul dreptei;
originea dreptei.
Datorit ˘a introducerii coordonatelor, fiec ˘arui punctMde pe axa de coordonate∆i se pune ˆın corespondent¸˘a un singur num ˘ar real – coordonata sax. Invers, pentru fiecare num ˘ar realx exist ˘a un singur punctMde pe axa∆a c ˘arui coordonat ˘a estex. Astfel, pozit¸ia fiec ˘arui punct de pe axa de coordonate este unic determinat ˘a prin prescrierea coordonatei acelui punct.
Not ˘am cuρ(M1,M2)distant¸a dintre puncteleM1s¸iM2, adic ˘a lungimea
Coordonate pe dreapt ˘a
Teorema
Pentru orice puncte M1(x1)s¸i M2(x2)de pe axa de coordonate au loc egalit ˘at¸ile:
(M1M2) =x2−x1, (21)
ρ(M1,M2) =|x2−x1|. (22)
Demonstrat¸ie.
Din teorema lui Chasles rezult ˘a c ˘a
(OM1) + (M1M2) = (OM2) =⇒ (M1M2) = (OM2)−(OM1).
Utiliz ˆand definit¸ia coordonatelor, obt¸inem egalitatea (21). Formula (22) rezult ˘a imediat din formula (21).
Coordonate ˆın plan
Coordonate afine
Peste tot ˆın aceast ˘a sect¸iune vom considera c ˘a toate punctele s¸i tot¸i vectorii se afl ˘a ˆıntr-un planΠ.
Definit¸ie
FieOun punct s¸ie1,e2– doi vectori liniar independent¸i (necoliniari) din planulΠ. Tripletul(O,e1,e2)se numes¸tereper afinsausistem de coordonate afinˆın planulΠ.
Atas¸ ˘am vectoriie1s¸ie2punctuluiO, construind puncteleE1s¸iE1 astfel ˆınc ˆat−−→
OE1=e1s¸i−−→
OE2=e2. Segmentele orientateOE1s¸iOE2 definesc dou ˘a axe de coordonate,Ox s¸iOy. PunctulOse numes¸te
Coordonate ˆın plan
Coordonate afine
Fie acumaun vector oarecare din planulΠ. ase poate reprezenta ˆın mod unic sub forma
a=xe1+ye2. (23) Definit¸ie
Coeficient¸iix s¸iy din descompunerea (23) se numesccomponentele vectoruluiarelativ la sistemul de coordonate(O,e1,e2).
x s¸iy sunt, de fapt, lungimile cu semn ale proiect¸iilor vectoruluiape axeleOx s¸iOy, paralel cu axeleOY, respectivOx. Pentru a scoate ˆın evident¸˘a faptul c ˘ax s¸iy sunt componentele vectoruluiavom scrie a=a(x,y)sau, pur s¸i simplu,a(x,y).
Fie, acum,M un punct oarecare al planuluiΠ, ˆın care s-a fixat un sistem de coordonate afine(O,e1,e2). Vectorul−−→
OM se numes¸teraza vectoaresauvectorul de pozit¸ieal punctuluiM.
Coordonate ˆın plan
Coordonate afine
Definit¸ie
Componentelex s¸iy ale vectorului−−→
OM se numesccoordonate afine ale punctuluiMrelativ la reperul(O,e1,e2). De regul ˘a,x se numes¸te abscis ˘a, ˆın timp cey se numes¸teordonat ˘a.
Un sistem de coordonate afine se mai noteaz ˘a s¸i cuOxy, dac ˘a vectorii bazei sunt subˆınt¸eles¸i. Dac ˘ax s¸iy sunt coordonatele unui punctM, vom utiliza ˆın mod frecvent notat¸iaM(x,y).
Coordonate ˆın plan
Coordonate afine
Teorema
Componentele unei combinat¸ii liniare de vectori sunt egale cu aceeas¸i combinat¸ie liniar ˘a a componentelor vectorilor. Mai precis, dac ˘a
a(X,Y) =
k
X
i=1
λiai(Xi,Yi), atunci
X =
k
X
i=1
λiXi, Y =
k
X
j=1
λjYj.
Coordonate ˆın plan
Coordonate afine
Consecint¸a
Dac ˘a X(x1,y1)s¸i B(x2,y2)sunt dou ˘a puncte din plan, atunci
−→AB=−→
AB(x2−x1,y2−y1),
adic ˘a pentru a obt¸ine componentele vectorului definit de segmentul orientat AB, trebuie s ˘a sc ˘adem din coordonatele extremit ˘at¸ii sale coordonatele originii.
Demonstrat¸ie.
Rezult ˘a imediat din teorema precedent ˘a s¸i din relat¸ia
Coordonate ˆın plan
Coordonate afine
Consecint¸a
Pentru ca doi vectoria(x1,y1)s¸ib(x2,y2)s ˘a fie coliniari, este necesar s¸i suficient ca ei s ˘a aib ˘a componentele corespunz ˘atoare proport¸ionale.
Proport¸ionalitatea componentelor se poate scrie s¸i x2
x1 = y2 y1,
cu condit¸ia ca ambii numitori s ˘a fie diferit¸i de zero. Ment¸ion ˘am, pe de alt ˘a parte, c ˘a se poate utiliza convent¸ia c ˘a de fiecare dat ˘a c ˆand un numitor este zero, se admite c ˘a s¸i num ˘ar ˘atorul care ˆıi corespunde este zero, ceea ce ˆınseamn ˘a c ˘a, formal, putem scrie egalitatea precedent ˘a s¸i c ˆand unul dintre numitori se anuleaz ˘a.
Coordonate ˆın plan
Coordonate afine
Consecint¸a
Coordonatele mijlocului A al unui segment de dreapt ˘a cu capetele ˆın punctele A1(x1,y1)s¸i A2(x2,y2)sunt
x = x1+x2
2 , y = y1+y2
2 .
A1
A
Coordonate ˆın plan
Coordonate rectangulare
Presupunem c ˘a ˆın planulΠa fost aleas ˘a o unitate de m ˘asur ˘a pentru lungime.
Alegem un punctO s¸i doi vectori de lungime 1, perpendiculari unul pe cel ˘alalt,is¸ij.
Sistemul afin de coordonate(O,i,j)se numes¸tesistem de coordonate rectangularsaucartezian. Despre baza{i,j}vom spune c ˘a esteortonormat ˘a(ceea ce ˆınseamn ˘a c ˘a vectorii sunt ortogonali, adic ˘a perpendiculari s¸i “normat¸i”, adic ˘a de lungime 1).
Toate propriet ˘at¸ile valabile ˆıntr-un sistem de coordonate afin oarecare r ˘am ˆan adev ˘arate s¸i ˆıntr-un sistem rectangular, dar, de regul ˘a, expresiile care intervin sunt mult mai simple atunci c ˆand sunt scrise ˆın coordonate carteziene.
Coordonate ˆın spat¸iu
Coordonate afine s¸i rectangulare
FieOun punct oarecare al spat¸iului s¸ie1,e2,e3– trei vectori liniar independent¸i (adic ˘a necoplanari).
Definit¸ie
Cuadrupletul(O,e1,e2,e3)se numes¸tereper afinsausistem de coordonate afineˆın spat¸iu. PunctulOse numes¸teoriginea coordonatelor, iar vectoriie1,e2,e3se numescvectorii bazei.
Definit¸ie
Se numesccomponenteale unui vectorarelativ la reperul (O,e1,e2,e3)coeficient¸iix,y,z ai descompunerii:
Coordonate ˆın spat¸iu
Coordonate afine s¸i rectangulare
Definit¸ie
Coordonateleunui punctM, relativ la acelas¸i reper sunt, prin definit¸ie, componentelex,y,z ale vectorului s ˘au de pozit¸ie,−−→
OM. Coordonatax se numes¸teabscis ˘a, coordonatay –ordonat ˘a, iar coordonataz –cot ˘a.
Un sistem de coordonate afin se mai noteaz ˘a cuOxyz, dac ˘a vectorii bazei sunt subˆınt¸eles¸i.
Construim puncteleE1,E2,E3astfel ˆınc ˆat
−−→OE1=e1,−−→
OE2=e2,−−→
OE3=e3. (24)
Segmentele orientateOE1,OE2s¸iOE3determin ˘a cele treiaxe de coordonate,Ox,Oy s¸iOz.
Coordonate ˆın spat¸iu
Coordonate afine s¸i rectangulare
Cele trei plane determinate de c ˆate dou ˘a axe de coordonate se numescplane de coordonate. Aceste plane ˆımpart spat¸iul ˆın opt zone, care se numescoctant¸i de coordonate.
Ca s¸i ˆın cazul reperelor plane, distingem sisteme de coordonate dreptes¸i st ˆangi.
Consider ˘am un triplet de vectori necoplanari(e1,e2,e3). Atas¸am aces¸ti vectori unui punctO, adic ˘a determin ˘am puncteleE1,E2,E3, astfel ˆınc ˆat s ˘a fie verificate relat¸iile (24).
Rotim segmentul orientatOE1, ˆın planulOE1E2, ˆın jurul luiO, pe cel mai scurt drum, p ˆan ˘a c ˆand el coincide, ca direct¸ie s¸i sens, cu
Coordonate ˆın spat¸iu
Coordonate afine s¸i rectangulare
Dac ˘a aceast ˘a rotat¸ie, privit ˘a din extremitatea segmentului orientat OE3(cu alte cuvinte, din punctulE3) se produce ˆın sensul invers mersului acelor de ceasornic, vom spune c ˘a tripletul de vectori (e1,e2,e3)estedrept, altfel vom spune c ˘a estest ˆang.
Un sistem de coordonate(O,e1,e2,e3)se numes¸tedreptsau st ˆang, dup ˘a cum tripletul(e1,e2,e3)este drept sau st ˆang.
Peste tot, ˆın cele ce urmeaz ˘a, sistemele de coordonate vor fi totdeauna drepte, dac ˘a nu se ment¸ioneaz ˘a altfel.
Cel mai simplu dintre sistemele de coordonate afine ˆın spat¸iu este sistemul de coordonate rectangular sau cartezian. Presupunem c ˘a ˆın spat¸iu s-a ales o unitate de m ˘asur ˘a pentru lungime. Atunci un sistem de coordonate rectangular sau cartezian ˆın spat¸iu este determinat de alegerea unui punctO s¸i a trei vectori de lungime 1,i,j,k,
perpendiculari ˆıntre ei.
Coordonate ˆın spat¸iu
Coordonate afine s¸i rectangulare
Pe componente, avem Teorema
Componentele unei combinat¸ii liniare de vectori sunt egale cu aceeas¸i combinat¸ie liniar ˘a a componentelor vectorilor. Mai precis, dac ˘a
a(X,Y,Z) =
k
X
i=1
λiai(Xi,Yi,Zi),
atunci
X =
k
XλiXi, Y =
k
XλjYj, Z =
k
XλjZj.
Produsul scalar al vectorilor
Definit¸ie s¸i propriet ˘at¸i fundamentale
Definit¸ie
Fieas¸ibdoi vectori. Se numes¸teprodus scalaral celor doi vectori num ˘arul real, notata·b, dat de
a·b=kak · kbkcosϕ, (25) undeϕeste unghiul dintre cei doi vectori.
Alegem un punct oarecareOˆın spat¸iu s¸i construim un segment orientatOAastfel ˆınc ˆat −→
OA= a kak.
Not ˘am cu∆axa definit ˘a de segmentul orientatOA. Atunci kbkcosϕ= pr∆b.
Produsul scalar al vectorilor
Definit¸ie s¸i propriet ˘at¸i fundamentale
Prin urmare, definit¸ia devine
a·b=kakpr∆b. (26) Propriet ˘at¸i
1 comutativitatea:
a·b=b·a. (27)
Aceast ˘a proprietate rezult ˘a direct din definit¸ia produsului scalar;
2 compatibilitatea cu ˆınmult¸irea vectorilor cu scalari:
(λa)·b=λ(a·b), (28) a·(λb) =λ(a·b), (29)
Produsul scalar al vectorilor
Definit¸ie s¸i propriet ˘at¸i fundamentale
4 Doi vectorias¸ibsunt perpendiculari dac ˘a s¸i numai dac ˘a produsul lor scalar este egal cu zero:
a·b=0. (31)
5 Produsul scalar a unui vector cu el ˆınsus¸i este egal cu p ˘atratul normei acestui vector:
a·a=kak2. (32)
Produsul scalar al vectorilor
Exprimarea produsului scalar ˆın coordonate
Alegem, ˆın spat¸iu, un sistem de coordonate rectangular, cu originea ˆıntr-un punctO. Fie{i,j,k}baza ortonormat ˘a care genereaz ˘a acest sistem de coordonate. Din propriet ˘at¸ile produsului scalar obt¸inem tabla de multiplicare:
· i j k
i 1 0 0
j 0 1 0
k 0 0 1
(33)
Presupunem acum c ˘a se dau doi vectorias¸ib, care au urm ˘atoarele expresii ˆın raport cu baza de coordonate:
Produsul scalar al vectorilor
Exprimarea produsului scalar ˆın coordonate
Utiliz ˆand tabla de ˆınmult¸ire scalar ˘a (33) a vectorilor bazei, produsul scalar dintreas¸ibva fi
a·b= (Xi+Yj+Zk)·(X0i+Y0j+Z0k) =XX0i2+XY0i·j+
+XZ0i·k+YX0j·i+YY0j2+YZ0j·k+ZX0k·i+ZZ0k2=
=XX0+YY0+ZZ0. As¸adar, ˆın coordonate, avem:
produsul scalar este dat de
a·b=XX0+YY0+ZZ0. (34) condit¸ia de ortogonalitate este
XX0+YY0+ZZ0 =0. (35)
Produsul scalar al vectorilor
Exprimarea produsului scalar ˆın coordonate
lungimea vectoruluiaeste kak=p
X2+Y2+Z2. (36)
Dac ˘a se dauM(x,y,z)s¸iM0(x0,y0,z0), distant¸ad(M,M0)dintre cele dou ˘a puncte este egal ˘a cu lungimea vectorului
−−→MM0(x0−x,y0−y,z0−z), deci
d(M,M0) = q
(x0−x)2+ (y0−y)2+ (z0−z)2. Unghiul dintre vectoriia(X,Y,Z)s¸ib(X0,Y0,Z0), este dat de:
Produsul vectorial al vectorilor
Definit¸ie s¸i propriet ˘at¸i fundamentale
Definit¸ie
Produsul vectorial dintre vectorulas¸i vectorulbeste, prin definit¸ie, vectorul, notat prina×b, determinat prin urm ˘atoarele condit¸ii:
1) dac ˘a vectoriias¸ibsunt coliniari, atunci, prin definit¸ie, produsul lor vectoriala×beste egal cu zero.
2) dac ˘a cei doi vectori nu sunt coliniari, adic ˘a fac ˆıntre ei un unghiϕ, cu 0< ϕ < π, atunci produsul lor vectorial se defines¸te prin urm ˘atoarele trei condit¸ii:
(i) lungimea vectoruluia×beste egal ˘a cukak · kbk ·sinϕ;
(ii) vectorula×beste perpendicular pe ambii vectorias¸ib;
(iii) tripletul de vectori(a,b,a×b)este direct.
Produsul vectorial al vectorilor
Definit¸ie s¸i propriet ˘at¸i fundamentale
Propriet ˘at¸i
1 Dac ˘a vectoriias¸ibnu sunt coliniari, atunci norma vectoruluia×b este egal ˘a cu aria paralelogramului construit pe segmenteleOAs¸i OB, unde Oeste un punct arbitrar din spat¸iu, iar−→
OA=as¸i
−→OB=b.
2 Aria triunghiuluiOABeste egal ˘a cu jum ˘atate din norma produsului vectorial a vectorilor−→
OAs¸i−→
OB.
3 Produsul vectorial esteanticomutativ:
a×b=−b×a. (37)
4 Produsul vectorial este compatibil cu ˆınmult¸irea cu scalari a vectorilor:
Produsul vectorial al vectorilor
Definit¸ie s¸i propriet ˘at¸i fundamentale
5 Produsul vectorial este distributiv fat¸˘a de adunarea vectorilor:
(a+b)×c=a×c+b×c, (40) c×(a+b) =c×a+c×b. (41) Propriet ˘at¸ile produsului vectorial descrise mai sus permit formularea unei reguli pentru calculul produsului vectorial a dou ˘a combinat¸ii liniare de vectori liberi: pur s¸i simplu se calculeaz ˘a produsul fiec ˘arui termen din prima combinat¸ie cu fiecare termen din a doua combinat¸ie s¸i apoi se ˆınsumeaz ˘a rezultatele. De exemplu,
(a+2b)×(2c−3d) =2a×c−3a×d+4b×c−6b×d.
Produsul vectorial al vectorilor
Definit¸ie s¸i propriet ˘at¸i fundamentale
Observat¸ie
Produsul vectorial are o serie de similarit ˘at¸i cu produsul scalar al vectorilor. Sunt, totus¸i, o serie de diferent¸e care trebuie t¸inute minte:
1) Produsul vectorialnueste comutativ – ordinea factorilor conteaz ˘a.
2) Produsul vectorial a doi vectori este un vector, nu un scalar. Ca urmare, de data aceasta are sens s ˘a consider ˘am produse de mai mult¸i factori. Totus¸i, as¸a cum vom vedea ceva mai t ˆarziu, produsul vectorialnueste asociativ.
Produsul vectorial al vectorilor
Expresia produsului vectorial ˆın funct¸ie de componentele factorilor
Consider ˘am un sistem de coordonate ortogonalOxyz s¸i fie{i,j,k}
baza ortonormat ˘a de coordonate. Vectorii bazei se ˆınmult¸esc vectorial dup ˘a regulile descrise ˆın urm ˘atoarea tabel ˘a:
× i j k
i 0 k −j j −k 0 i k j −i 0
Fie, acum,as¸ibdoi vectori dat¸i prin componentele lor:
a=Xi+Yj+Zk, b=X0i+Y0j+Z0k.
Atunci
a×b= (YZ0−ZY0)i+ (ZX0−XZ0)j+ (XY0−YX0)k. (42)
Produsul vectorial al vectorilor
Definit¸ie s¸i propriet ˘at¸i fundamentale
T¸ in ˆand cont de regula de dezvoltare a unui determinant de ordinul al treilea dup ˘a prima linie, formula precedent ˘a se mai poate scrie sub urm ˘atoarea form ˘a, mult mai us¸or de ret¸inut:
a×b=
i j k
X Y Z
X0 Y0 Z0
. (43)
Din expresia analitic ˘a (43) rezult ˘a imediat formule analitice pentru aria paralelogramului s¸i aria triunghiului determinate de cei doi vectori.
Astfel, din formula ment¸ionat ˘a rezult ˘a imediat c ˘a Y Z
X Z
X Y
Produsul vectorial al vectorilor
Definit¸ie s¸i propriet ˘at¸i fundamentale
adic ˘a
Ariapar ≡ ka×bk= s
Y Z
Y0 Z0
2
+
X Z
X0 Z0
2
+
X Y
X0 Y0
2
. (44)
Prin urmare, aria triunghiului determinat de cei doi vectori este Ariatriun = 1
2 s
Y Z
Y0 Z0
2
+
X Z
X0 Z0
2
+
X Y
X0 Y0
2
. (45)
S ˘a consider ˘am acum cazul ˆın care avem trei puncte oarecare din planulxOy:A(xA,yA,0),B(xB,yB,0),C(xC,yC,0). Ele determin ˘a doi vectori: a=−→
AB s¸ib=−→
AC. Este clar c ˘aa=a(xB−xA,yB−yA,0)s¸i b=b(xC−xA,yB−yA,0). Prin urmare,
Produsul vectorial al vectorilor
Definit¸ie s¸i propriet ˘at¸i fundamentale
a×b=
i j k
xB−xA yB−yA 0 xC−xA yC−yA 0
=k
xB−xA yB−yA xC−xA yC−yA
=k
xA yA 1 xB yB 1 xC yC 1 ,
de unde rezult ˘a c ˘a
ka×bk=±
xA yA 1 xB yB 1 xC yC 1 .
As¸adar, aria triunghiuluiABC din planulxOy este dat ˘a de formula xA yA 1
Produsul vectorial al vectorilor
Dublul produs vectorial
Dup ˘a cum am putut constata p ˆan ˘a acum, produsul vectorial a doi vectori este, din nou, un vector, de aceea are sens s ˘a ˆınmult¸im acest vector cu un al treilea vector. Rezultatul acestei operat¸ii este ceea ce se numes¸tedublu produs vectorial. Ment¸ion ˘am c ˘aprodusul vectorial nu este asociativ, de aceea nu se poate renunt¸a la paranteze as¸a cum se face, de exemplu, ˆın cazul produsului numerelor reale sau
complexe sau ˆın cazul produsului matricilor. De acest fapt ne putem convinge cu us¸urint¸˘a, studiind produsele elementelor bazei canonice a spat¸iului tridimensional. Avem, de exemplu:
(i×j)×j=k×j=−i,
ˆın timp ce
i×(j×j) =0.
Produsul vectorial al vectorilor
Dublul produs vectorial
Fie, prin urmare,a,bs¸ictrei vectori din spat¸iu. Dup ˘a cum am spus mai devreme,dublul produs vectorialal celor trei vectori este, prin definit¸ie, vectorul(a×b)×c. Are loc urm ˘atoarea relat¸ie:
(a×b)×c= (a·c)b−(b·c)a. (47) Pe de alt ˘a parte,
a×(b×c) =−(b×c)×a= (b·a)c−(c·a)b.
Compar ˆand vectorii(a×b)×cs¸ia×(b×c)ajungem la concluzia c ˘a ei pot fie egali doar dac ˘a
Produsul vectorial al vectorilor
Dublul produs vectorial
Astfel,o condit¸ie necesar ˘a pentru ca cele dou ˘a produse vectoriale duble s ˘a fie egale este necesar ca cei trei vectori s ˘a fie coplanari.
Aceast ˘a condit¸ie nu este, ˆıns ˘a, s¸i suficient ˘a, ˆıntruc ˆat,dup ˘a cum se vede din egalitatea de mai sus, coeficient¸ii celor trei vectori nu sunt arbitrari.
Se poate demonstra cu us¸urint¸˘a, utiliz ˆand relat¸ia (47) c ˘a pentru orice trei vectoria,bs¸icare loc urm ˘atoarea identitate (identitatea lui Jacobi):
(a×b)×c+ (b×c)×a+ (c×a)×b=0. (48)
Produsul mixt al vectorilor
Definit¸ie s¸i propriet ˘at¸i fundamentale
Fiea,bs¸ictrei vectori. Se numes¸teprodus mixtal celor trei vectori num ˘arul
(a,b,c) := (a×b)·c. (49) Produsul mixt al vectorilor are o interpretare geometric ˘a remarcabil ˘a, exprimat ˘a de urm ˘atoarea teorem ˘a.
Teorema
Fiea,bs¸ictrei vectori necoplanari. ˆIi atas¸am unui punct O s¸i fie A,B,C punctele pentru care
−→OA=a, −→
OB=b, −−→ OC=c.
Produsul mixt al vectorilor
Definit¸ie s¸i propriet ˘at¸i fundamentale
O A
B C
E h
Produsul mixt al vectorilor
Definit¸ie s¸i propriet ˘at¸i fundamentale
Consecint¸a
Volumul tetraedrului OABC este dat de formula VolOABC =±1
6(a,b,c), undea=−→
OA,b=−→
OB,c=−−→ OC.
Consecint¸a
Un sistem de trei vectori liniar independent¸i{a,b,c}este drept dac ˘a (a,b,c)>0s¸i st ˆang dac ˘a(a,b,c)<0.
Produsul mixt al vectorilor
Definit¸ie s¸i propriet ˘at¸i fundamentale
Produsul mixt al vectorilor ne permite, de asemenea, s ˘a stabilim un criteriu de coplanaritate a trei vectori, cuprins ˆın teorema care urmeaz ˘a.
Teorema
Pentru ca trei vectoria,bs¸ics ˘a fie coplanari este necesar s¸i suficient ca produsul lor mixt s ˘a fie egal cu zero:
(a,b,c) =0. (50)
Produsul mixt al vectorilor
Expresia produsului mixt ˆın coordonate
Dac ˘a, relativ la o baz ˘a ortonormat ˘a, vectoriia,b,csunt dat¸i prin componentele lor:
a(X1,Y1,Z1), b(X2,Y2,Z2), c(X3,Y3,Z3), (51) atunci:
(a,b,c) = (a×b)·c= (Y1Z2−Y2Z1)X3+ (X2Z1−X1Z2)Y3+
+ (X1Y2−X2Y1)Z3=X1Y2Z3+X2Y3Z1+X3Y1Z3−X1Y3Z2−
−X3Y2Z1−X2Y1Z3.
Este us¸or de constatat c ˘a aceast ˘a relat¸ie se poate rescrie cu ajutorul unui determinant de ordinul al treilea:
X Y Z
Produsul mixt al vectorilor
Expresia produsului mixt ˆın coordonate
Din propriet ˘at¸ile determinant¸ilor se obt¸in imediat urm ˘atoarele relat¸ii ˆıntre produsele mixte a trei vectori, luat¸i ˆın diferite ordini:
(a,b,c) = (c,a,b) = (b,c,a) =−(b,a,c) =−(c,b,a) =−(a,c,b).
dac ˘a facem o permutare circular ˘a a factorilor ˆıntr-un produs mixt, valoarea produsului nu se schimb ˘a;
dac ˘a se schimb ˘a ordinea a doi factori (nu neap ˘arat vecini), semnulprodusului se schimb ˘a (dar valoarea absolut ˘a nu!).
dac ˘a doi factori dintr-un produs mixt sunt liniar dependent¸i, produsul se anuleaz ˘a.
Vectorii sunt coplanari dac ˘a ˆıi numai dac ˘a
X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3
=0. (53)
