Blaga (Universitatea “Babes¸-Bolyai”) Dreapta s¸i planul ˆın spat¸iu 2 / 82 (3)Ecuat¸ia vectorial ˘a a planului FieMun punct din spat¸iu

(1)

Paul A. Blaga

Universitatea “Babes¸-Bolyai”

8 aprilie 2020

(2)

Ecuat¸ia vectorial ˘a a planului

Fievs¸iwdoi vectori necoliniari din spat¸iu s¸iM₀un punct oarecare.

Dac ˘a atas¸ ˘am vectorii punctuluiM₀, atunci exist ˘a dou ˘a puncte, unic determinate,P s¸iQ, astfel ˆınc ˆatv=−−→

M₀Ps¸iw=−−−→

M₀Q. Cum vectoriiv s¸iwsunt necoliniari, puncteleM₀,P s¸iQ, la r ˆandul lor, sunt

necoliniare, deci determin ˘a un planΠ. Intent¸ion ˘am s ˘a descriem punctele acestui plan cu ajutorul punctuluiM₀s¸i al vectorilorvs¸iw.

z

O y

x

M₀ M

Paul A. Blaga (Universitatea “Babes¸-Bolyai”) Dreapta s¸i planul ˆın spat¸iu 2 / 82

(3)

FieMun punct din spat¸iu. Not ˘am cur₀vectorul de pozit¸ie al punctului M₀s¸i curvectorul de pozit¸ie al punctuluiM. PunctulM, ˆın mod clar, apart¸ine planului dac ˘a s¸i numai dac ˘a vectorul−−−→

M₀Meste coplanar cu vectorii−−→

M₀Ps¸i−−−→

M₀Q, adic ˘a cu vectoriivs¸iw. S ˘a presupunem c ˘aM apart¸ineplanuluiΠ. Aceasta ˆınseamn ˘a, ˆıntruc ˆat vectoriivs¸iwsunt liniar independent¸i, c ˘a−−−→

M₀M are o descompunere (unic ˘a) sub forma unei combinat¸ii liniare a vectorilorvs¸iw, cu alte cuvinte, exist ˘a (s¸i sunt unice) dou ˘a numere realess¸itastfel ˆınc ˆat s ˘a avem

−−−→M₀M=sv+tw. (1) Pe de alt ˘a parte,−−−→

M₀M=r−r₀, deci ecuat¸ia precedent ˘a se poate scrie

r=r₀+sv+tw, (2)

ecuat¸ie care se numes¸teecuat¸ia vectorial ˘a a planuluiΠ.

(4)

S ˘a presupunem acum c ˘a punctulM are coordonatele(x,y,z),M₀are coordonatele(x0,y0,z0), iar vectoriivs¸iwau componentele

(vx,vy,vz), respectiv(wx,wy,wz). Atunci ecuat¸ia vectorial ˘a (2) este echivalent ˘a cu sistemul de ecuat¸ii scalare







x =x₀+svx+twx

y =y₀+sv_y+tw_y z =z₀+svz+twz

, (3)

ecuat¸ii care se numescecuat¸iile parametrice ale planuluiΠ. Ecuat¸ia planului se poate reprezenta sub form ˘a vectorial ˘a s¸i f ˘ar ˘a a utiliza parametrii. ˆIntr-adev ˘ar, avem urm ˘atorul rezultat:

(5)

Teorema

Ecuat¸ia vectorial ˘a a unui plan care trece printr-un punct M₀s¸i este perpendicular pe un vectorndat este

(r−r₀)·n=0. (4) Demonstrat¸ie.

FieΠplanul determinat de punct s¸i de vectorul normal. Dac ˘aMeste un punct oarecare al planului, atunci−−−→

M₀M⊥n, de unde rezult ˘a c ˘a

−−−→M₀M·n=0 (5) sau

(r−r₀)·n=0.

(6)

Ecuat¸ia general ˘a a planului

Definit¸ie

Se numes¸teecuat¸ie liniar ˘a (general ˘a) relativ la necunoscutele x,y,z o ecuat¸ie de forma

Ax+By+Cz+D=0, (6)

unde cel put¸in unul dintre coeficient¸iiA,B,Cai necunoscutelor este diferit de zero.

Teorema

ˆIntr-un sistem de coordonate carteziene rectangulare, un plan este definit de o ecuat¸ie liniar ˘a general ˘a de forma (6).

(7)

Demonstrat¸ie.

Consider ˘am un plan care trece prin punctulM₀s¸i are vectorul normal n(A,B.C). Atunci, pentru orice punctM(x,y,z)din plan, avem

(r−r₀)·n=0 sau

A(x −x0) +B(y−y0) +C(z−z0) =0 sau, ˆınc ˘a,

Ax+By +Cz−(Ax₀+By₀+Cz₀) =0, care este o ecuat¸ie liniar ˘a general ˘a ˆınx,y,z.

(8)

Demonstrat¸ie.

Invers, fieM(x,y,z)un punct din spat¸iu care verific ˘a o ecuat¸ie de forma

Ax+By+Cz+D=0, cuA²+B²+C²6=0.

S ˘a presupunem, de exemplu, c ˘a ˆın ecuat¸ia de mai susA6=0. Atunci, ˆın mod evident, punctulM₀(−D/A,0,0)verific ˘a, de asemenea, aceast ˘a ecuat¸ie. Not ˘am cunvectorul de componente(A,B,C). Cum

−−−→M₀M ≡r−r₀= (x +D/A,y,z),

ecuat¸ia planului care trece prinM₀s¸i are vectorul normalneste (r−r₀)·n=0

(9)

Demonstrat¸ie.

sau

A(x+D/A) +By +Cz =0 sauAx +By +Cz+D=0,

prin urmare, punctulMeste situat ˆın planul care trece prinM₀s¸i are pe nca vector normal.

(10)

Cazuri particulare ale ecuat¸iei generale a planului

a) Ecuat¸ia unui plan care trece prin origine este:

Ax +By+Cz =0.

ˆIntr-adev˘ar, se observ˘a imediat c˘a ecuat¸ia de mai sus este verificat ˘a de origineaO(0,0,0).

b) Ecuat¸iile planelor paralele cu axele de coordonate sunt Ax+By +D=0 (paralele cu axaOz), Ax+Cz+D=0 (paralele cu axaOy), By+Cz+D=0 (paralele cu axaOx).

(11)

ˆIntr-adev˘ar, dac˘a ˆın ecuat¸ia general˘a a planului punemC=0, ea devine

Ax +By+D=0.

ˆIn acest caz, vectorul normal la plan,n(A,B,0)are proiect¸ia

ortogonal ˘a pe axaOz nul ˘a, as¸adar vectorul este perpendicular pe ax ˘a, deci planul este paralel cu axaOz. La fel stau lucrurile s¸i ˆın celelalte dou ˘a cazuri. Dac ˘a, ˆın particular, s¸iD=0, atunci planeletrecprin axe, nu sunt doar paralele cu ele.

3 Ecuat¸iile planelor paralele cu planele de coordonate sunt Ax +D=0 (paralele cu planulyOz), By +D=0 (paralele cu planulxOz), Cz+D=0 (paralele cu planulxOy).

(12)

ˆIntr-adev˘ar, dac˘a, de exemplu, punem ˆın ecuat¸ia planuluiB =C=0, ea se transform ˘a ˆın

Ax+D =0.

Vectorul normal la acest plan esten(A,0,0). Acest vector este perpendicular pe planulyOz, deci planul care ˆıl are ca vector normal esteparalelcu planulyOz. La fel se rat¸ioneaz ˘a s¸i ˆın cazul celorlalte dou ˘a plane de coordonate.

S¸ i aici, ca s¸i mai sus, dac ˘a punem s¸iD =0, obt¸inem plane care sunt paralele cu planele de coordonate s¸i trec prin origine, adic ˘a obt¸inem ecuat¸iileplanelor de coordonate,x =0,y =0, respectivz =0.

(13)

Alt ˘a form ˘a a ecuat¸iei vectoriale a planului

Plec ˘am de la ecuat¸ia vectorial ˘a a planului care trece printr-un punct s¸i este paralel cu doi vectori necoliniari:

r−r₀=sv+tw, adic ˘a vectoriir−r₀,vsunt liniar dependent¸i sau

(r−r₀,v,w) =0. (7) Aceast ˘a ecuat¸ie se numes¸te, de regul ˘a, pur s¸i simplu,ecuat¸ia planului care trece prin punctul M₀s¸i este paralel cu vectoriius¸iv. Dac ˘a dezvolt ˘am produsul mixt (7), se constat ˘a imediat c ˘a aceast ˘a ecuat¸ie este echivalent ˘a cu ecuat¸ia

x −x₀ y−y₀ z−z₀ v₁ v₂ v₃

w₁ w₂ w₃

=0 (8)

(14)

Alt ˘a form ˘a a ecuat¸iei vectoriale a planului

sau cu ecuat¸ia

v₂ v₃ w₂ w₃

(x−x0) +

v₃ v₁ w₃ w₁

(y−y0) +

v₁ v₂ w₁ w₂

(z−z0) =0. (9)

(15)

Ecuat¸ia planului determinat de trei puncte necoliniare

FieM₁(x₁,y₁,z₁),M₂(x₂,y₂,z₂),M₃(x₃,y₃,z₃)trei puncte necoliniare din spat¸iu. Atunci cele trei puncte determin ˘a un plan. Pentru a obt¸ine ecuat¸ia sa, aplic ˘am metoda de la punctul precent. Mai precis, fie

v≡−−−→

M1M2(x2−x1,y2−y1,z2−z1), w≡−−−→

M₁M₃(x₃−x₁,y₃−y₁,z₃−z₁).

Atunci aces¸ti doi vectori sunt, ˆın mod evident, necoliniari s¸i paraleli cu planul. Planul a c ˘arui ecuat¸ie o c ˘aut ˘am este cel care trece prinM1s¸i este paralel cu vectoriivs¸iw. Prin urmare, ecuat¸ia sa este (vezi 8):

x−x₁ y −y₁ z−z₁ x₂−x₁ y₂−y₁ z₂−z₁ x₃−x₁ y₃−y₁ z₃−z₁

=0. (10)

(16)

Ecuat¸ia planului determinat de trei puncte necoliniare

Ecuat¸ia (10) se poate rescrie ˆın forma de mai jos, mai us¸or de memorat:

x y z 1

x₁ y₁ z₁ 1 x₂ y₂ z₂ 1 x₃ y₃ z₃ 1

=0. (11)

(17)

Condit¸ia de coplanaritate a patru puncte

Din formula (11) rezult ˘a imediatcondit¸ia de coplanaritate a patru puncte:

Patru puncte M₁,M₂,M₃,M₄sunt coplanare dac ˘a s¸i numai dac ˘a:

x₁ y₁ z₁ 1 x₂ y₂ z₂ 1 x₃ y₃ z₃ 1 x₄ y₄ z₄ 1

=0. (12)

Desigur, ecuat¸ia este echivalent ˘a cu condit¸ia

x₂−x₁ y₂−y₁ z₂−z₁ x₃−x₁ y₃−y₁ z₃−z₁ x₃−x₁ y₃−y₁ z₃−z₁

=0.

(18)

Ecuat¸ia planului prin t ˘aieturi

Π– plan care n care nu trece prin origine s¸i prin nici una dintre axe. Atunci ecuat¸ia sa general ˘a este

Ax +By+Cz+D=0,

unde nici unul dintre cei patru coeficient¸i nu se anuleaz ˘a.

Atunci

Π∩Ox ={P(−D/A,0,0)};

Π∩Oy ={Q(0,−D/B,0)};

Π∩Oz={R(0,0,−D/C)}.

Dac ˘a introducem notat¸iile a=−D

A, b=−D

B, c =−D C,

ecuat¸ia planului care trece prin puncteleP,Q,Rse va scrie

(19)

x y z 1 a 0 0 1

0 b 0 1

0 0 c 1

=0.

Dac ˘a dezvolt ˘am ecuat¸ia de mai sus, obt¸inem bcx+cay+abz −abc =0 sau, dac ˘a ˆımp ˘art¸im cuabc,

x a +y

b +z

c −1=0. (13)

Ecuat¸ia (13) se numes¸teecuat¸ia planului prin t ˘aieturi.

(20)

Motivul este legat de faptul c ˘a lungimile cu semna,b,cse numesc t ˘aieturileplanului pe axele de coordonate. Ele sunt lungimile cu semn ale segmentelor determinate de origine s¸i de punctele de intersect¸ie ale planului cu cele trei axe de coordonate.

(21)

Ecuat¸ia normal ˘a a unui plan

FieΠun plan s¸iOP – perpendiculara din origine pe plan. Dac ˘a planul trece prin origine, atunci punctulP coincide cu originea, deci lungimea vectorului−→

OPeste egal ˘a cu zero. ˆIn cazul general, ˆıns ˘a, fie p≡

−→OP

lungimea acestui vector (egal ˘a, de fapt, cu distant¸a de la origine la planulΠ).

Fien(cosα,cosβ,cosγ)versorul vectorului−→

OP(care este, ˆın acelas¸i timp, versorul normalei la plan). Atunci punctulP (piciorul

perpendicularei pe plan din origine), va avea coordonatele P(pcosα,pcosβ,pcosγ),

(22)

Dac ˘aM(x,y,z)este un punct oarecare din planulΠ, atunci componentele sale vor fi

−−→

PM(x−pcosα,y −pcosβ,z−pcosγ).

Cum vectorii−−→

PMs¸insunt perpendiculari, avem

−−→

PM·n=0 sau

xcosα+ycosβ+zcosγ−p

cos²α+ cos²β+ cos²γ

| {z }

=1

=0

sau, ˆın final,

xcosα+ycosβ+zcosγ−p=0. (14) Ecuat¸ia (14) se numes¸teforma normal ˘a Hessesau, pur s¸i simplu, forma normal ˘aa ecuat¸iei planului.

(23)

Forma normal ˘a a ecuat¸iei unui plan este util ˘a ˆın anumite situat¸ii, de aceea, vom ar ˘ata cum se poate obt¸ine.

Plec ˘am cu un plan scris sub forma general ˘a, Ax +By+Cz+D=0.

Acest plan are s¸i o ecuat¸ie normal ˘a,

xcosα+ycosβ+zcosγ−p=0.

Cum cele dou ˘a ecuat¸ii trebuie s ˘a reprezinte acelas¸i plan, coeficient¸ii lor trebuie s ˘a fie proport¸ionali:

cosα =λA, cosβ=λB, cosγ =λC, −p=λD.

Dac ˘a ridic ˘am la p ˘atrat primele trei egalit ˘at¸i s¸i le ˆınsum ˘am, obt¸inem λ²

A²+B²+C²

=1.

(24)

As¸adar,

λ=± 1

√

A²+B²+C². (15) Semnul din (15) se alege astfel ˆınc ˆat s ˘a fie opus semnului

termenului liberDdin ecuat¸ia general ˘a.

Dac ˘aD=0, atunci semnul luiλse poate alege oricum.

λse numes¸te, din motive evidente,factor normalizatoral ecuat¸iei generale a planului.

PlanulΠˆımparte mult¸imea tuturor punctelor din spat¸iu care nu apart¸in luiΠˆın dou ˘a submultimi, numitesemispat¸ii deschise.

Vom numisemispat¸iu pozitivacel semispat¸iu ˆınspre care este ˆındreptat vectoruln. Cel ˘alalt se numes¸tesemispat¸iu negativ.

originea spat¸iului se afl ˘a ˆıntotdeauna fie ˆın planulΠ, fie ˆın semispat¸iul negativ.

(25)

Distant¸a de la un punct la un plan

Definit¸ie

Se numes¸tedistant¸˘ade la un punctM₀(x₀,y₀,z₀)la planulΠlungimea d a perpendicularei cobor ˆate din punctulM₀pe planulΠ. Se numes¸te abatere(saudeviere) a punctuluiM₀relativ la planulΠnum ˘arulδ definit astfel ˆınc ˆat:

a) δ =d dac ˘aM₀este ˆın semispat¸iul pozitiv determinat deΠ;

b) δ =0 dac ˘aM₀∈Π;

c) δ =−d dac ˘aM0este ˆın semispat¸iul negativ.

(26)

Teorema

Dac ˘a planul este dat prin ecuat¸ia normal ˘a

xcosα+ycosβ+zcosγ−p=0, atunci au loc formulele

δ=x₀cosα+y₀cosβ+z₀cosγ−p; (16) d =|x₀cosα+y₀cosβ+z₀cosγ−p|. (17)

(27)

Teorema

Dac ˘a planul este dat prin ecuat¸ia sa general ˘a, Ax+By+Cz+D=0, atunci au loc formulele

δ= Ax₀+By₀+Cz₀+D

±√

A²+B²+C² , (18)

d = |Ax₀+By₀+Cz₀+D|

√

A²+B²+C² . (19)

(28)

Demonstrat¸ie.

Not ˘am cuP₀proiect¸ia ortogonal ˘a a luiM₀pe dreaptaOP. Atunci δ = (PP₀) = (OP₀)−(OP) =n·−−→

OM₀−p=x₀cosα+y₀cosβ+z₀cosγ−p. As¸adar, formula (16) este demonstrat ˘a. (17) rezult ˘a din (16), pentru c ˘a, ˆın mod evident,d =|δ|.

(29)

Unghiul a dou ˘a plane

Prinunghiul a dou ˘a planeˆınt¸elegem m ˘asura unghiului plan asociat unghiului diedru format de cele dou ˘a plane, adic ˘a m ˘asura unghiului format de direct¸iile normale la cele dou ˘a plane.

Cele dou ˘a plane formeaz ˘a, ˆın fapt, nu unul cipatruunghiuri, dou ˘a c ˆate dou ˘a opuse s¸i egale s¸i adiacente suplimentare.

Consider ˘am dou ˘a plane

A1x+B1y +C1z+D1=0 (20) s¸i

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0. (21) Vectorii normali la cele dou ˘a plane suntn₁(A₁,B₁,C₁)s¸i

n₂(A2,B2,C2), prin urmare unghiurile sunt date de cosα_1,2=± A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂

q

A²₁+B²₁+C₁²· q

A²₂+B₂²+C₂²

. (22)

(30)

Unghiul a dou ˘a plane

Dac ˘a membrul drept este pozitiv, se obt¸in unghiurile ascut¸ite, dac ˘a este negativ – unghiurile obtuze.

Din formula (22), rezult ˘a c ˘a cele dou ˘a plane sunt perpendiculare dac ˘a s¸i numai dac ˘a

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0. (23)

Pe de alt ˘a parte, planele sunt paralele exact atunci c ˆand cei doi vectori normali sunt paraleli, adic ˘a dac ˘a s¸i numai dac ˘a

A₁ A₂ = B₁

B₂ = C₁

C₂. (24)

(31)

Ecuat¸ia vectorial ˘a s¸i ecuat¸iile parametrice ale dreptei

Fie∆o dreapt ˘a ˆın spat¸iu.

Un vector nenulase numes¸tevector directoral dreptei∆dac ˘a orice segment orientat din clasa luiaeste paralel cu dreapta∆.

Dac ˘aa(l,m,n)este un vector director al dreptei∆, iar

M₀(x₀,y₀,z₀)este un punct oarecare dreapt ˘a, atunci un punct arbitrar din spat¸iu,M(x,y,z), apart¸ine dreptei dac ˘a s¸i numai dac ˘a vectorul−−−→

M₀M(x−x₀,y−y₀,z−z₀)este coliniar cu vectorula.

Not ˘am cur₀, respectivrvectorii de pozit¸ie−−→

OM0,−−→

OM ai punctelor M₀, respectivM. Atunci

−−−→M₀M =r−r₀, prin urmare vectorii−−−→

M₀M s¸iasunt coliniari dac ˘a s¸i numai dac ˘a exist ˘a un num ˘ar realt astfel ˆınc ˆat s ˘a avem

r−r₀=ta,

(32)

Ecuat¸ia vectorial ˘a s¸i ecuat¸iile parametrice ale dreptei

sau

r=r₀+ta. (25)

Ecuat¸ia (25) se numes¸teecuat¸ia vectorial ˘aa dreptei∆, care trece prin punctulM₀s¸i are ca vector director vectorula. Pe componente, avem







x =x₀+lt y =y₀+mt z =z0+nt

, (26)

ecuat¸ii care se numescecuat¸iile parametriceale dreptei care trece prin punctulM₀(x₀,y₀)s¸i are vectorul directora(l,m,n).

ˆIntr-un alt sistem de coordonate, ecuat¸iile parametrice ˆıs¸i modific˘a forma.

(33)

Ecuat¸iile canonice ale unei drepte ˆın spat¸iu

Dac ˘a fiecare dintre componentelel,m,nale vectorului directoraeste diferit ˘a de zero, atunci ecuat¸iile (26) sunt echivalente cu sistemul

x−x₀

l = y −y₀

m , y −y₀

m = z−z₀

n , z−z₀

n = x−x₀

l , (27) sistem pe care ˆıl vom scrie, de regul ˘a, sub forma

x−x₀

l = y −y₀

m = z−z₀

n . (28)

Ecuat¸iile (28) se numescecuat¸iile canoniceale dreptei care trece prin punctulM₀(x₀,y₀,z₀)s¸i are vectorul directora(l,m,n).

(34)

Observat¸ie

Din moment ce vectorul directoraeste diferit de zero, ˆıntotdeauna se poate g ˘asi un sistem de coordonate ˆın raport cu care toate

componentele sale s ˘a fie nenule. Totus¸i, ˆın anumite sisteme de coordonate, una sau dou ˘a dintre componentele sale pot fi egale cu zero. Facem aceeas¸i convent¸ie ca s¸i ˆın cazul dreptei ˆın plan. Astel, sistemul

x−x0

l = y−y0

m = z−z0

0 este echivalent cu sistemul de ecuat¸ii

x −x₀

l = y−y₀

m , z =z₀, l 6=0,m6=0, ˆın timp ce un sistem de ecuat¸ii de forma

(35)

Observat¸ie

x−x₀

l = y−y₀

0 = z−z₀

0 , l6=0, este echivalent cu sistemul

y =y₀, z =z₀.

(36)

Dreapta ca intersect¸ie de dou ˘a plane

O dreapt ˘a ˆın spat¸iu se poate reprezenta ca o intersect¸ie de dou ˘a plane distincte, care trec printr-o aceeas¸i dreapt ˘a:

(A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0,

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0. (29) Cum planele care definesc dreapta nu sunt paralele, coeficient¸ii necunoscutelor din cele dou ˘a ecuat¸ii ale sistemului (29) nu sunt proport¸ionali. Altfel spus, rangul matricii acestui sistem de ecuat¸ii liniare este maxim (adic ˘a este egal cu doi).

Ecuat¸iile sistemului (29) care definesc o dreapt ˘a dat ˘a nu sunt unice.

(37)

Fiecare dintre ele se poate ˆınlocui cu o ecuat¸ie de forma α(A₁x+B₁y+C₁z+D₁) +β(A₂x+B₂y+C₂z+D₂) =0, undeαs¸iβ sunt numere reale care nu se anuleaz ˘a simultan, astfel ˆınc ˆat, fires¸te, sistemul s ˘a aib ˘a, ˆın continuare, rang maxim.

S¸ i afirmat¸ia invers ˘a este adev ˘arat ˘a: orice sistem de ecuat¸ii de forma (29), de rang doi, descrie o dreapt ˘a ˆın spat¸iu.

De multe ori, trebuie s ˘a g ˘asim vectorul director al unei drepte dat ˘a ca intersect¸ie de dou ˘a plane. Consider ˘am dreapta (29) s¸i fie

n₁(A₁,B₁,C₁)s¸in₂(A₂,B₂,C₂)– vectorii normali la cele dou ˘a plane care determin ˘a dreapta. Atunci produsul lor vectorial,

v=n₁×n₂

este, ˆın mod evident, un vector director al dreptei.

(38)

Prin urmare:

v=

B₁ C₁ B₂ C₂

i+

C₁ A₁ C₂ A₂

j+

A₁ B₁ A₂ B₂

k.

O alt ˘a modalitate de a g ˘asi vectorul director este “fort¸a brut ˘a”, de exemplu g ˘asim dou ˘a solut¸ii distincte ale sistemului, iar diferent¸a lor este un vector director.

(39)

Ecuat¸iile dreptei care trece prin dou ˘a puncte

S ˘a presupunem c ˘a se dau dou ˘a puncte distincteM₁(x₁,y₁,z₁)s¸i M₂(x₂,y₂,z₂)ale unei drepte∆. Atunci vectorul

−−−→M₁M₂(x₂−x₁,y₂−y₁,z₂−z₁)este un vector director al dreptei, prin urmare dreapta∆este dreapta care trece prin punctulM₁s¸i are ca vector director vectorul−−−→

M₁M₂. As¸adar ecuat¸iile parametrice ale dreptei

∆(care trece prin punctulM₁s¸i are ca vector director pe−−−→

M₁M₂), vor fi







x =x₁+ (x₂−x₁)t, y =y₁+ (y₂−y₁)t, z =z₁+ (z₂−z₁)t.

(30)

Ecuat¸iile acestea se pot rescrie, fires¸te, sub forma canonic ˘a:

x−x₁

x₂−x₁ = y −y₁

y₂−y₁ = z−z₁

z₂−z₁. (31)

(40)

Unghiul a dou ˘a drepte ˆın spat¸iu

Prin definit¸ie, unghiul a dou ˘a drepte ˆın spat¸iu este unghiul pe care ˆıl formeaz ˘avectorii lor directori.

Nu este necesar ca cele dou ˘a drepte s ˘a fie coplanare.

Unghiul dintre drepte nu este unic determinat. El depinde de alegerea sensurilor vectorilor directori.

Dac ˘a vrem s ˘a determin ˘am unghiulascut¸itdintre cele dou ˘a drepte, trebuie s ˘a ne asigur ˘am c ˘a unghiul respectiv are un cosinus pozitiv.

Fie, prin urmare,

(D₁) : x−x₁

l₁ = y−y₁

m₁ = z−z₁

n₁ (32)

s¸i

(D₂) : x−x₂

l₂ = y −y₂

m₂ = z−z₂

n₂ , (33)

de vectori directoriv₁(l₁,m₁,n₁), respectivv₂(l₂,m₂,n₂).

(41)

Atunci unghiul dintre cele dou ˘a drepte este dat de cosϕ_1,2=± v₁·v₂

kv₁k · kv₂k =± l₁l₂+m₁m₂+n₁n₂ q

l₁²+m²₁+n₁² q

l₂²+m²₂+n₂²

. (34)

Unghiulascut¸itdintre cele dou ˘a drepte este dat de cosϕ= |l₁l₂+m₁m₂+n₁n₂|

q

l₁²+m₁²+n²₁ q

l₂²+m²₂+n²₂

. (35)

Dreptele (32) s¸i (33) suntperpendicularedac ˘a vectorii lor directori sunt perpendiculari, adic ˘a dac ˘a

v₁·v₂≡l₁l₂+m₁m₂+n₁n₂=0. (36)

(42)

Dreptele (32) s¸i (33) suntparaleledac ˘a vectorii lor directori sunt coliniari, adic ˘a dac ˘a exist ˘a un scalar (nenul, ˆın cazul nostru)λ∈R astfel ˆınc ˆat s ˘a avem

v₁=λv₂ (37)

sau (cu aceeas¸i convent¸ie ca s¸i la ecuat¸iile dreptei) l₁

l₂ = m₁ m₂ = n₁

n₂. (38)

(43)

spat¸iu

Pozit¸iile relative a dou ˘a plane

Presupunem c ˘a s-a fixat un sistem de coordonate afineOxyz s¸i sunt date dou ˘a plane, prin ecuat¸iile lor generale

A₁x +B₁y +C₁z+D₁=0, (39) A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0. (40) Este clar, din considerente geometrice, c ˘a cele dou ˘a plane se pot afla ˆın urm ˘atoarele situat¸ii:

1) se taie dup ˘a o dreapt ˘a;

2) sunt paralele, dar nu coincid;

3) coincid.

Scopul nostru este s ˘a stabilim relat¸iile care exist ˘a ˆıntre coeficient¸ii celor dou ˘a ecuat¸ii ˆın fiecare caz.

(44)

spat¸iu

Urm ˘aa planului (39) pe planul de coordonatexOy = intersect¸ia dintre acest plan s¸i planul de coordonate.

Dac ˘a planul (39) nu este paralel cu planulxOy, atunci aceast ˘a intersect¸ie este o dreapt ˘a care, privit ˘a c ˘a dreapt ˘a ˆın planul de coordonate, va avea, ˆın mod evident, ecuat¸ia

A₁x +B₁y +D₁=0.

Analog se obt¸in urmele planului pe planele de coordonatexOz s¸i yOz, dac ˘a planul nostru nu este paralel nici cu aceste plane de coordonate.

Planul (40) coincide cu planul (39) dac ˘a s¸i numai dac ˘a urmele lor pe planele de coordonate coincid.

(45)

spat¸iu

Aceasta se ˆınt ˆampl ˘a dac ˘a s¸i numai dac ˘a tot¸i coeficient¸ii celor dou ˘a plane sunt proport¸ionali, adic ˘a dac ˘a s¸i numai dac ˘a exist ˘a un scalar nenulλastfel ˆınc ˆat s ˘a avem

A₁=λA₂, B₁=λB₂C₁=λC₂, D₁=λD₂ (41)

sau A₁

A₂ = B₁ B₂ = C₁

C₂ = D₁ D₂.

Din punct de vedere algebric, la aceeas¸i concluzie se poate ajunge s¸i pe alt ˘a cale. Pentru ca planele (39) s¸i (40) s ˘a coincid ˘a, este necesar s¸i suficient ca sistemul format din ecuat¸iile lor s ˘a fie compatibil, dublu nedeterminat, ceea ce ˆınseamn ˘a exact

condit¸ia (41).

(46)

spat¸iu

S ˘a presupunem acum, de exemplu, c ˘a primul plan este paralel cu planulxOy. Aceasta ˆınseamn ˘a, evident, c ˘aA₁=B₁=0, iar rat¸ionamentul algebric de mai sus ne duce la aceeas¸i cocluzie ca pentru planele ˆın pozit¸ie general ˘a.

Dac ˘a sistemul de ecuat¸ii (39)–(40) este incompatibil, atunci ˆınseamn ˘a c ˘a rangul sistemului trebuie s ˘a fie egal cu 1, ˆın timp ce rangul matricei extinse trebuie s ˘a fie egal cu 2. Prin urmare, planele sunt paralele dac ˘a s¸i numai dac ˘a

A₁ A₂ = B₁

B₂ = C₁ C₂ 6= D₁

D₂, (42)

cu aceeas¸i convent¸ie ca mai sus asupra egalit ˘at¸ii cu zero a numitorilor.

(47)

spat¸iu

Ultima situat¸ie posibil ˘a este ca sistemul format din ecuat¸iile planelor s ˘a fie de rang maxim, ceea ce ˆınseamn ˘a c ˘a intersect¸ia este o dreapt ˘a. Aceasta ˆınseamn ˘a c ˘a primii trei coeficient¸i nu pot fi proport¸ionali.

(48)

spat¸iu

Pozit¸iile relative a trei plane

Consider ˘am trei plane, date prin ecuat¸iile lor generale:







(P₁)A₁x +B₁y +C₁z+D₁=0, (P₂)A₂x +B₂y +C₂z+D₂=0, (P₃)A₃x +B₃y +C₃z+D₃=0.

(43)

Pentru a stabili pozit¸iile relative ale celor trei plane, trebuie s ˘a studiem sistemul de ecuat¸ii (43). Fie∆determinantul sistemului:

∆ =

A₁ B₁ C₁ A₂ B₂ C₂ A₃ B₃ C₃ ,

(49)

spat¸iu

m– matricea sistemului,

m=





A₁ B₁ C₁ A₂ B₂ C₂ A₃ B₃ C₃





s¸iM– matricea extins ˘a a sistemului,

M=





A₁ B₁ C₁ D₁ A₂ B₂ C₂ D₂ A₃ B₃ C₃ D₃



.

Not ˘am, de asemenea, cun₁(A₁,B₁,C₁),n₂(A₂,B₂,C₂),n₃(A₃,B₃,C₃) vectorii normali la cele trei plane.

(50)

spat¸iu

Avem urm ˘atoarele situat¸ii:

(a) Dac ˘a∆6=0, atunci sistemul (43) este compatibil determinat, prin urmare, are o singur ˘a solut¸ie: planele se intersecteaz ˘a ˆıntr-un punct.

(b) S ˘a presupunem acum c ˘a∆ =0,rgm=2,rgM=3, iar vectorii normali la cele trei plane sunt, doi c âte doi, necoliniari. Deoarece rangul matricei sistemului este strict mai mic dec ât rangul matricei extinse, sistemul este incompatibil, prin urmare cele trei plane nu au nici un punct comun. Cum vectorii normali sunt, doi c âte doi, necoliniari, rezult ˘a c ˘a planele sunt, dou ˘a c âte dou ˘a, neparalele.

Ele se intersecteaz ˘a dup ˘a c ˆate o dreapt ˘a, iar cele trei drepta care se obt¸in sunt paralele.

(51)

spat¸iu

(c) De data aceasta avem, de asemenea,rgm=2,rgM=3, dar acum doi dintre cei trei vectori normali la plane sunt coliniari¹. Dou ˘a dintre cele trei plane (cele cu vectorii normali coliniari) sunt paralele ˆıntre ele, iar cel de-al treilea le intersecteaz ˘a pe ambele.

(d) S ˘a presupunem acum c ˘argm=2,rgM=2 (deci sistemul este compatibil), iar vectorii normali sunt doi c âte doi necoliniari. În acest caz, planele sunt dou ˘a c âte dou ˘a distincte s¸i trec prin aceeas¸i dreapt ˘a.

(e) Dac ˘argm=2,rgM =2, iar doi dintre cei trei vectori normali sunt coliniari, atunci, din nou, sistemul este compatibil, dou ˘a dintre plane coincid (cele care au vectorii normali coliniari), iar cel de-al treilea le intersecteaz ˘a dup ˘a o dreapt ˘a.

1Nu pot fi tot¸i trei coliniari, deoarecergm=2!

(52)

spat¸iu

(f) Dac ˘argm=1,rgM =3, atunci sistemul este incompatibil, as¸adar planele nu se intersecteaz ˘a, dar ele sunt paralele ˆıntre ele.

(g) Dac ˘argm=1,rgM =2, atunci dou ˘a dintre plane coincid, iar cel de-al treilea este paralel cu ele.

(h) Dac ˘argm=1,rgM =1, atunci sistemul este compatibil dublu, toate cele trei plane coincid.

(53)

spat¸iu

Fascicole de plane. Snopuri de plane

Definit¸ie

Se numes¸tefascicol de planemult¸imea tuturor planelor care trec printr-o anumit ˘a dreapt ˘a, care se numes¸teaxa fascicolului.

S ˘a presupunem c ˘a sunt date dou ˘a plane distincte concurente

A₁x +B₁y +C₁z+D₁=0, (44) A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0. (45)

(54)

spat¸iu

Teorema

Dac ˘aαs¸iβsunt dou ˘a numere reale care nu se anuleaz ˘a simultan, atunci ecuat¸ia

α(A₁x +B₁y +C₁z+D₁) +β(A₂x+B₂y +C₂z+D₂) =0 (46) este ecuat¸ia unui plan ce apart¸ine fascicolului de plane determinat de planele (44) s¸i (45). Invers, orice plan al acestui fascicol se poate reprezenta cu ajutorul unei ecuat¸ii (46), pentru o anumit ˘a alegere a constantelorαs¸iβ, care nu sunt ambele nule.

Demonstrat¸ia acestei teoreme este perfect analog ˘a cu demonstrat¸ia teoremei similare pentru fascicole de drepte din plan.

(55)

spat¸iu

Spre deosebire de cazul dreptelor din plan, unde am avut de considerat doar familiile de drepte care trec printr-un punct (adic ˘a fascicolele de drepte), ˆın cazul planelor ˆın spat¸iu, pe l ˆang ˘a fascicolele de plane (care trec printr-o dreapt ˘a), putem considera alte familii remarcabile de plane, cele ce trec printr-un punct. ˆIncepem prin a da urm ˘atoarea definit¸ie:

Definit¸ie

Se numes¸tesnop de planemult¸imea tuturor planelor care trec printr-un punct dat, numitcentrul snopului de plane.

(56)

spat¸iu

Dac ˘a centrul snopului de plane este dat prin intermediul coordonatelor sale,S(x₀,y₀,z₀).

Atunci orice plan care trece prin centrul snopului (s¸i, deci, apart¸ine snopului), se poate scrie sub forma

A(x −x₀) +B(y −y₀) +C(z−z₀) =0, (47) unde constantele realeA,B,C nu sunt toate egale cu zero.

Invers, pentru orice constanteA,B,Ccare nu sunt toate egale cu zero, ecuat¸ia (47) este ecuat¸ia unui plan care trece prin centrul snopului.

Ca s¸i ˆın cazul fascicolelor, ˆıns ˘a, de multe ori nu este dat ˆın mod explicit centrul snopului de plane, ci acesta este descris cu ajutorul ecuat¸iilor unor plane care trec prin acest punct.

(57)

spat¸iu

Este util s ˘a avem o descriere a planelor snopului cu ajutorul unui num ˘ar redus de plane (mai precis, trei), care determin ˘a ˆın mod unic centrul acestui snop. Avem urm ˘atorul rezultat:

Teorema Fie







A1x+B1y+C1z+D1=0 A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 A₃x+B₃y+C₃z+D₃=0

(48)

ecuat¸iile a trei plane care trec prin punctul S(x₀,y₀,z₀)astfel ˆınc ˆat s ˘a fie ˆındeplinit ˘a condit¸ia

(58)

spat¸iu

Teorema

A₁ B₁ C₁ A₂ B₂ C₂ A₃ B₃ C₃

6=0. (49)

Atunci pentru orice numere realeα, β, γcare nu se anuleaz ˘a simultan, ecuat¸ia

α(A₁x+B₁y+C₁z+D₁)+β(A₂x+B₂y+C₂z+D₂)+γ(A₃x+B₃y+C₃z+D₃) =0 (50) descrie un plan al snopului de plane cu centrul ˆın punctul S. Invers, orice plan al acestui snop poate fi descris prin intermediul unei ecuat¸ii de acest tip, pentru o anumit ˘a alegere a constantelorα, β, γ.

(59)

spat¸iu

Pozit¸ia relativ ˘a a unei drepte fat¸˘a de un plan

Consider ˘am un planΠ, dat prin ecuat¸ia general ˘a

Ax+By+Cz+D=0 (51)

s¸i o dreapt ˘a∆, dat ˘a prin ecuat¸iile sale parametrice







x =x₀+lt, y =y₀+mt, z =z₀+nt.

(52)

Trebuie s ˘a stabilim pozit¸ia dreptei∆relativ la planulΠ.

Este clar, din motive geometrice, c ˘a sunt posibile urm ˘atoarele situat¸ii:

(i) dreapta intersecteaz ˘a planul ˆıntr-un punct;

(ii) dreapta este paralel ˘a cu planul s¸i nu este situat ˘a ˆın el;

(iii) dreapta este inclus ˘a ˆın plan.

(60)

spat¸iu

Vom stabili care trebuie s ˘a fie leg ˘atura dintre coeficient¸ii planului s¸i cei ai dreptei pentru fiecare dintre cele trei situat¸ii.

Dac ˘a ˆınlocuim expresiile luix,y,z din ecuat¸iile dreptei∆ˆın ecuat¸ia planuluiΠ, obt¸inem:

(Al+Bm+Cn)t+Ax₀+By₀+Cz₀+D=0. (53) Solut¸ia acestei ecuat¸ii ˆınt reprezint ˘a valoarea parametrului de pe dreapt ˘a care corespunde punctului (sau punctelor) de intersect¸ie dintre dreapt ˘a s¸i plan. Este us¸or de v ˘azut c ˘a ecuat¸ia admite o solut¸ie unic ˘a dac ˘a s¸i numai dac ˘a coeficientul luit este diferit de zero, adic ˘a

Al+Bm+Cn6=0.

(61)

spat¸iu

Semnificat¸ia geometric ˘a a acestei relat¸ii este clar ˘a: vectorul director al dreptei nu este perpendicular pe vectorul normal la plan, adic ˘a dreapta nu este paralel ˘a cu planul. Prin urmare, condit¸ia aceasta este condit¸ia cadreapta s¸i planul s ˘a se intersecteze ˆıntr-un punct.

Dac ˘a este ˆındeplinit ˘a condit¸ia

Al+Bm+Cn=0, Ax₀+By₀+Cz₀+D6=0,

atunci dreapta este paralel ˘a cu planul, dar nu se intersecteaz ˘a cu el.

ˆIntr-adev˘ar, prima condit¸ie arat˘a c˘a dreapta este paralel˘a cu planul, ˆın timp ce a doua condit¸ie indic ˘a faptul c ˘a ecuat¸ia nu are solut¸ie.

(62)

spat¸iu

ˆIn sfˆarsit, dac˘a este ˆındeplinit˘a condit¸ia

Al+Bm+Cn=0, Ax₀+By₀+Cz₀+D=0,

atunci dreapta este inclus ˘a ˆın plan, pentru c ˘a, ˆın acest caz, ecuat¸ia de intersect¸ie se transform ˘a ˆıntr-o identitate, care este verificat ˘a pentru oricetreal.

(63)

spat¸iu

Ecuat¸ia unui plan determinat de dou ˘a drepte concurente

Consider ˘am dreptele

(D₁) : x−x₀

l₁ = y−y₀

m₁ = z−z₀

n₁ (54)

s¸i

(D₂) : x−x₀

l₂ = y −y₀

m₂ = z−z₀

n₂ , (55)

care trec prin punctulM₀(x₀,y₀,z₀).

Atunci planul care trece prin cele dou ˘a drepte este, ˆın fapt, planul care trece prin punctulM₀s¸i este paralel cu vectoriiv₁(l₁,m₁,n₁)s¸i

v₂(l₂,m₂,n₂), deci ecuat¸ia sa este

x−x₀ y −y₀ z−z₀ l1 m1 n1

l₂ m₂ n₂

=0. (56)

(64)

spat¸iu

Ecuat¸ia planului determinat de o dreapt ˘a s¸i un punct

Consider ˘am dreapta

(D) : x−x₁

l = y −y₁

m = z−z₁

n (57)

s¸i punctulM₂(x₂,y₂,z₂), care nu apart¸ine dreptei. Planul pe care ˆıl c ˘aut ˘am este cel care trece prin punctulM₁(x₁,y₁,z₁)s¸i este paralel cu vectoriiv(l,m,n)s¸i−−−→

M₁M₂(x₂−x₁,y₂−y₁,z₂−z₁), deci ecuat¸ia lui va fi

x−x₁ y −y₁ z−z₁ x₂−x₁ y₂−y₁ z₂−z₁

l m n

=0. (58)

(65)

spat¸iu

Ecuat¸ia planului determinat de dou ˘a drepte paralele

Consider ˘am dreptele paralele (s¸i distincte!) (D₁) : x−x₁

l = y−y₁

m = z−z₁

n (59)

s¸i

(D₂) : x−x2

l = y −y2

m = z−z2

n , (60)

care trec prin puncteleM₁(x₁,y₁,z₁)s¸iM₂(x₂,y₂,z₂). Planul pe care ˆıl c ˘aut ˘am este cel care trece prin punctulM₁(x₁,y₁,z₁)s¸i este paralel cu vectoriiv(l,m,n)s¸i−−−→

M₁M₂(x₂−x₁,y₂−y₁,z₂−z₁), deci ecuat¸ia lui va fi

x−x₁ y −y₁ z−z₁ x₂−x₁ y₂−y₁ z₂−z₁

l m n

=0. (61)

(66)

spat¸iu

Proiect¸ia unei drepte pe un plan

Consider ˘am dreapta

(D) : x−x₀

l = y −y₀

m = z−z₀

n (62)

s¸i planul

(P) : Ax +By+Cz+D=0. (63) Este us¸or de constatat c ˘a dac ˘a proiect ˘am ortogonal toate punctele dreptei(D)pe planul(P)obt¸inem o dreapt ˘a situat ˘a ˆın plan, pe care o vom numiproiect¸ia dreptei(D)pe planul(P). Dac ˘a dreapta este perpendicular ˘ape plan, atunci dreapta aceasta, de fapt, se reduce la un singur punct, cel ˆın care dreapta ˆınt¸eap ˘a planul. De aceea, ˆın cele ce urmeaz ˘a, vom admite c ˘a dreaptanueste perpendicular ˘a pe plan.

(67)

spat¸iu

Dreapta pe care o c ˘aut ˘am o vom scrie ca intersect¸ie a dou ˘a plane:

planul(P)s¸i planul(P⁰), care trece prin dreapta(D)s¸i este

perpendicular pe planul(P). ˆIn practic ˘a, acest plan este planul care trece prin punctulM₀(x₀,y₀,z₀)de pe dreapt ˘a s¸i este paralel cu vectorul director al dreptei,v(l,m,n)s¸i vectorul normal la planul(P), n(A,B,C), Datorit ˘a ipotezei pe care am f ˘acut-o mai sus, cei doi vectori sunt necoliniari, deci punctul s¸i cei doi vectori determin ˘a, ˆın mod unic, planul(P⁰).

Dup ˘a cum am v ˘azut, ecuat¸ia planului(P⁰)este

x−x₀ y −y₀ z−z₀

l m n

A B C

=0. (64)

(68)

spat¸iu

As¸adar, ecuat¸iile proiect¸iei dreptei pe plan sunt











x−x₀ y −y₀ z−z₀

l m n

A B C

=0, Ax +By+Cz+D=0.

(65)

(69)

spat¸iu

Pozit¸ia relativ ˘a a dou ˘a drepte ˆın spat¸iu

Presupunem c ˘a se dau dou ˘a drepte ˆın spat¸iu, prin intermediul ecuat¸iilor lor parametrice

x =x1+l1t, y =y1+m1t, z =z1+n1t, (66) x =x₂+l₂s, y =y₂+m₂s, z =z₂+n₂s, (67) s¸i vrem s ˘a stabilim pozit¸ia lor relativ ˘a.

Din considerente geometrice, este clar c ˘a putem avea urm ˘atoarele situat¸ii:

(a) dreptele sunt concurente;

(b) dreptele coincid;

(c) dreptele sunt paralele, dar nu coincid;

(d) dreptele sunt necoplanare (str ˆambe).

Vom stabili acum leg ˘aturile dintre coeficient¸ii celor dou ˘a drepte pentru fiecare situat¸ie.

(70)

spat¸iu

Consider ˘am vectorii directori ai celor dou ˘a drepte:

a₁(l₁,m₁,n₁), a₂(l₂,m₂,n₂).

Presupunem c ˘a aces¸ti vectori sunt coliniari, adic ˘a

l₁=λl₂, m₁=λm₂, n₁=λn₂. (68) Atunci dreptele sunt paralele, adic ˘a fie coincid, fie sunt paralele s¸i nu au nici un punct comun. Dreptele coincid dac ˘a s¸i numai dac ˘a vectorul

−−−→M₁M₂, undeM₁(x₁,y₁,z₁),M₂(x₂,y₂,z₂), este paralel cu vectoriia₁s¸i a₂, adic ˘a:

x₂−x₁=µl₁, y₂−y₁=µm₁, z₂−z₁=µn₁. (69) Astfel, egalit ˘at¸ile (68) s¸i (69) reprezint ˘a condit¸iile necesare s¸i suficiente pentru ca dreptele (66) s¸i (67) s ˘a coincid ˘a.

(71)

spat¸iu

Pentru ca dreptele s ˘a fie paralele, f ˘ar ˘a s ˘a coincid ˘a, este necesar s¸i suficient ca condit¸ia (68) s ˘a fie verificat ˘a, iar condit¸ia (69) – nu.

S ˘a presupunem acum c ˘a vectoriia₁s¸ia₂sunt necoliniari, adic ˘a nu este verificat ˘a condit¸ia (68). Atunci dreptele (66) s¸i (67) se intersecteaz ˘a ˆıntr-un punct sau sunt necoplanare.

Dac ˘a se intersecteaz ˘a s¸i, prin urmare, se afl ˘a ˆıntr-un acelas¸i plan Π, atunci vectoriia₁,a₂s¸i−−−→

M₁M₂sunt coplanari. De aceea:

x₂−x₁ y₂−y₁ z₂−z₁

l₁ m₁ n₁

l₂ m₂ n₂

=0. (70)

(72)

spat¸iu

Invers, s ˘a presupunem c ˘a vectoriia₁s¸ia₂sunt necoliniari s¸i este verificat ˘a condit¸ia (70).

Alegem puncteleA₁s¸iA₂astfel ˆınc ˆat s ˘a avem−−−→

M₁A₁=as¸i

−−−→M₂A₂=a₂.

Atunci segmenteleM₁M₂,M₁A₁s¸iM₂A₂determin ˘a un plan, ˆın care sunt situate dreptele (66) s¸i (67).

Cum vectoriia₁s¸ia₂sunt necoliniari, dreptele sunt concurente.

Astfel, dreptele (66) s¸i (67) sunt concurente dac ˘a s¸i numai dac ˘a vectorii lor directori sunt necoliniari s¸i este verificat ˘a

egalitatea (70).

Remarc ˘am c ˘a aceast ˘a egalitate are loc s¸i dac ˘a dreptele sunt paralele, pentru c ˘a ˆın acest caz a doua s¸i a treia linie a determinantului sunt proport¸ionale.

(73)

spat¸iu

Prin urmare, condit¸ia necesar ˘a pentru ca dreptele noastre s ˘a fie necoplanareeste

x₂−x₁ y₂−y₁ z₂−z₁

l₁ m₁ n₁

l₂ m₂ n₂

6=0.

ˆIn restul acestui capitol vom presupune c˘a reperul cu care lucr˘am este ortonormat.