• Nu S-Au Găsit Rezultate

Calcul diferent¸ial ¸si integral (notit¸e de curs)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Calcul diferent¸ial ¸si integral (notit¸e de curs)"

Copied!
171
0
0

Text complet

(1)

Calcul diferent¸ial ¸si integral (notit¸e de curs)

S¸t. Balint

E. Kaslik, L. Tˇanasie, A. Tomoioag˘a, I. Rodilˇa, N. Bonchi¸s, S. Mari¸s

Cuprins

I Introducere 6

1 Not¸iunile: mult¸ime, element al unei mult¸imi, apartenent¸a la o mult¸ime:

sunt not¸iuni fundamentale ˆın matematicˇa. 6

2 Simboluri folosite ˆın teoria mult¸imilor. 6

3 Operat¸ii cu mult¸imi. 7

4 Relat¸ii binare. 9

5 Funct¸ii. 10

6 Funct¸ia compusˇa. Inversa unei funct¸ii. 12

7 Simboluri logice. 13

8 Afirmat¸ia contrarˇa, teorema contrarˇa ¸si teorema reciprocˇa. 13

9 Condit¸ie necesarˇa ¸si condit¸ie suficientˇa. 14

II Calcul diferent¸ial ¸si integral pentru funct¸ii reale de o

variabilˇ a realˇ a 15

10 Elemente de topologie ˆın R1. 15

(2)

11 S¸iruri de numere reale. 16

12 Convergent¸a ¸sirurilor de numere reale. 17

13 Reguli privind convergent¸a ¸sirurilor de numere reale. 19

14 Punct limitˇa al unui ¸sir de numere reale. 23

15 Serii de numere reale. 23

16 Reguli privind convergent¸a seriilor de numere reale. 26

17 Serii absolut convergente. 31

18 Limita ˆıntr-un punct a unei funct¸ii. 33

19 Reguli privind limita funct¸iei ˆıntr-un punct. 35

20 Limite laterale. 38

21 Limite infinite. 40

22 Punctele limitˇa ale unei funct¸ii ˆıntr-un punct. 41

23 Continuitatea unei funct¸ii ˆıntr-un punct. 42

24 Reguli privind continuitatea unei funct¸ii ˆıntr-un punct. 43

25 Proprietˇat¸i ale funct¸iilor continue. 44

26 S¸iruri de funct¸ii. Mult¸imea de convergent¸ˇa. 48

27 Convergent¸a uniformˇa a unui ¸sir de funct¸ii ¸si continuitatea. 49

28 S¸iruri de funct¸ii reale egal continue ¸si egal mˇarginite. 50

29 Serii de funct¸ii. Convergent¸ˇa ¸si convergent¸a uniformˇa. 51

30 Criterii de convergent¸ˇa pentru serii de funct¸ii. 53

(3)

31 Serii de puteri. 54

32 Operat¸ii cu serii de puteri. 56

33 Derivabilitatea funct¸iilor. 56

34 Reguli de derivabilitate. 59

35 Extreme locale. 64

36 Proprietˇat¸i fundamentale ale funct¸iilor derivabile. 65

37 Derivabilitatea (diferent¸iabilitatea) de ordin

superior. 68

38 Polinoame Taylor. 69

39 Teorema de clasificare a punctelor de extrem. 74

40 Integrala Riemann-Darboux. 75

41 Proprietˇat¸i ale integralei Riemann-Darboux. 78

42 Clase de funct¸ii integrabile Riemann-Darboux. 82

43 Teoreme de medie. 85

44 Teorema fundamentalˇa de calcul integral. 86

45 Tehnici de determinare a primitivelor. 88

45.1 Integrarea prin pˇart¸i . . . 89 45.2 Schimbarea de variabilˇa . . . 90

46 Integrale improprii. 92

47 Serii Fourier. 94

48 Diferite forme ale seriei Fourier. 99

(4)

III Calcul diferent¸ial ¸si integral pentru funct¸ii de n variabile

reale 104

49 Elemente de topologie ˆın Rn. 104

50 Limita ˆıntr-un punct a unei funct¸ii de n variabile. 108

51 Continuitatea funct¸iilor de n variabile. 109

52 Proprietˇat¸i remarcabile ale funct¸iilor continue de n variabile. 111 53 Diferent¸iabilitatea funct¸iilor de n variabile. 112 54 Proprietˇat¸i fundamentale ale funct¸iilor diferent¸iabile. 118

55 Diferent¸ialˇa de ordin superior. 121

56 Teoremele lui Taylor. 124

57 Teoreme de clasificare a extremelor locale. 125

58 Extreme condit¸ionate. 126

59 Integrala Riemann-Darboux dublˇa pe un interval bidimensional. 127

60 Calculul integralei Riemann-Darboux duble pe un

interval bidimensional. 129

61 Integrala Riemann-Darboux dublˇa pe o mult¸ime

mˇasurabilˇa Jordan. 132

62 Calculul integralei Riemann-Darboux duble pe o

mult¸ime mˇasurabilˇa Jordan. 139

63 Integrala Riemann-Darboux pe o mult¸ime

n-dimensionalˇa mˇasurabilˇa Jordan. 142

64 Calculul integralei Riemann-Darboux pe o mult¸ime n-dimensionalˇa

mˇasurabilˇa Jordan. 147

65 Curbe simple ¸si curbe simple ˆınchise. 149

(5)

66 Integrala curbilinie de spet¸a ˆıntˆai. 155

67 Integrala curbilinie de spet¸a a doua. 157

68 Transformarea integralelor duble ˆın integrale curbilinii. 158

69 Suprafet¸e simple. 161

70 Integrale de suprafat¸ˇa de spet¸a ˆıntˆai. 166

71 Integrale de suprafat¸ˇa de spet¸a a doua. 167

72 Proprietˇat¸i ale integralelor de suprafat¸ˇa. 168

73 Derivarea integralelor cu parametru. 169

(6)

Partea I

Introducere

1 Not¸iunile: mult¸ime, element al unei mult¸imi, apartenent¸a la o mult¸ime: sunt not¸iuni fundamen- tale ˆın matematicˇ a.

ˆIntr-un curs de matematicˇa precis, not¸iunile care se folosesc trebuiesc definite.

O definit¸ie descrie o not¸iune (A) folosind o altˇa not¸iune (B) presupusˇa cunoscutˇa sau ˆın orice caz mai simplˇa decˆat (A). Not¸iunea (B) la rˆandul ei trebuie ¸si ea sˇa fie definitˇa ¸si ˆın definit¸ia ei se va folosi o altˇa not¸iune (C) mai simplˇa ca (B), ¸si a¸sa mai departe.

Prin urmare, pentru construct¸ia unei teorii matematice, ˆın care not¸iunile sunt definite, e nevoie de un set restrˆans de not¸iuni simple la care celelalte pot fi reduse ¸si care la rˆandul lor nu sunt definite. Not¸iunile din acest set vor fi numite not¸iuni fundamentale. Not¸iunile fundamentale ˆın matematicˇa trebuie sˇa fie a¸sa de evidente ca sˇa nu necesite definit¸ii.

Semnificat¸ia not¸iunilor fundamentale se descrie prin exemple.

Not¸iunile: mult¸ime, element al unei mult¸imi, apartenent¸a unui element la o mult¸ime, sunt not¸iuni fundamentale ˆın matematicˇa. Nu existˇa definit¸ii precise a acestor not¸iuni, dar semnificat¸ia lor se poate clarifica prin exemple.

Sˇa considerˇam not¸iunea de mult¸ime. Putem vorbi fˇarˇa nici o ambiguitate despre:

mult¸imea student¸ilor dintr-o salˇa de curs, mult¸imea zilelor dintr-un an, mult¸imea punctelor dintr-un plan, etc. ˆIn cazurile enumerate; fiecare student din sala de curs, fiecare zi a anului, fiecare punct al planului este un element al mult¸imii respective.

Atunci cˆand se considerˇa o mult¸ime concretˇa ceea ce este esent¸ial este ca sˇa existe un criteriu ˆın baza cˇaruia se poate decide pentru orice element dacˇa apart¸ine sau nu apart¸ine la mult¸ime. Astfel, ˆın cazul mult¸imii zilelor unui an; ”20 mai”, ”3 iulie”, ”29 decembrie”

sunt elemente ale mult¸imii, iar ”miercuri”, ”vineri”, ”ziua liberˇa”, ”ziua lucrˇatoare” nu sunt elemente ale mult¸imii.

ˆIn cazul mult¸imii punctelor dintr-un plan doar punctele din planul considerat sunt ele- mente ale mult¸imii. Dacˇa un punct nu este ˆın planul considerat sau dacˇa elementul nu este un punct, atunci punctul sau elementul nu este element al mult¸imii.

Pentru a defini o mult¸ime concretˇa este necesar sˇa se descrie clar elementele care apart¸in acestei mult¸imi. Orice descriere defectuoasˇa poate duce la contradict¸ie logicˇa.

2 Simboluri folosite ˆın teoria mult¸imilor.

Dacˇa xeste un element al mult¸imii A, atunci aceasta se noteazˇa astfel x∈A. Dacˇa x nu este element al mult¸imii A, atunci aceasta se noteazˇa cu x /∈ A. Simbolul se nume¸ste simbolul apartenent¸ei.

Douˇa mult¸imi A ¸si B care sunt formate exact din acelea¸si elemente se zic egale. Astfel ˆın familia mult¸imilor egalitatea A = B ˆınseamnˇa cˇa aceea¸si mult¸ime se noteazˇa cu litere diferite, sau altfel, A ¸si B sunt nume diferite pentru aceea¸si mult¸ime. Notat¸ia

(7)

A = {x, y, z, ...} ˆınseamnˇa cˇa mult¸imea A este formatˇa din elementele x, y, z, .... Dacˇa ˆıntr-o asemenea notat¸ie anumite simboluri se repetˇa acestea desemneazˇa acela¸si element.

De exemplu: {1,1,1,2,2,3,4,5}={1,2,3,4,5}.

O mult¸ime A formatˇa din toate elementele x ale unei mult¸imi B care au o anumitˇa proprietate, se noteazˇa astfel: A = {x∈B| ...}, unde proprietatea este specificatˇa dupˇa linia verticalˇa. De exemplu, fie a ¸si b douˇa numere reale astfel ˆıncˆat a < b. Mult¸imea de puncte ale intervalului ˆınchis [a, b] este mult¸imea [a, b] =

½

x∈R1

¯¯

¯¯ a≤x≤b

¾ , unde R1 este mult¸imea tuturor numerelor reale.

Dacˇa orice element dintr-o mult¸ime A este element al unei mult¸imi B, atunci zicem cˇa A este o submult¸ime a mult¸imii B ¸si notˇam A B sau B A. Relat¸ia A B se cite¸ste astfel ”mult¸imeaA este inclusˇa ˆın mult¸imeaB”, iar relat¸ia B ⊃A se cite¸ste astfel

”mult¸imea B include mult¸imea A”. Se vede u¸sor cˇa A=B dacˇa ¸si numai dacˇa A⊂B ¸si B ⊂A.

3 Operat¸ii cu mult¸imi.

Definit¸ia 3.1. Oricare ar fi mult¸imileA ¸siB reuniuneaA∪B este mult¸imea de elemente care apart¸in la A sau la B sau la ambele mult¸imi.

Definit¸ia 3.2. Oricare ar fi mult¸imile A¸siB intersect¸ia A∩B este mult¸imea de elemente care apart¸in la A ¸si la B.

Definit¸ia 3.3. Oricare ar fi mult¸imileA ¸siB diferent¸a A−B este mult¸imea de elemente din A care nu apart¸in la B.

Dacˇa mult¸imea B este o submult¸ime a mult¸imii A atunci mult¸imea A−B se nume¸ste complementara lui Bˆın A¸si se noteazˇa CAB.

Comentariu:

1. Este posibil ca douˇa mult¸imi A ¸si B sˇa nu aibˇa nici un element ˆın comun. ˆIntr-un asemenea caz intersect¸ia A∩B nu are nici un element. Cu toate acestea convenim ca ¸si ˆın asemenea cazuri sˇa considerˇam intersect¸ia A∩B drept mult¸ime; care nu cont¸ine nici un element. Aceastˇa mult¸ime se nume¸ste mult¸imea vidˇa (sau mult¸imea nulˇa) ¸si se noteazˇa cu simbolul ∅.

2. Not¸iunile de reuniune a douˇa mult¸imi ¸si de intersect¸ie a douˇa mult¸imi pot fi extinse la trei, patru, cinci sau mai multe mult¸imi. Astfel:

Dacˇa A1, A2, ..., An sunt n mult¸imi atunci:

- reuniunea A1 ∪A2∪...∪An este mult¸imea elementelor care apart¸in la cel put¸in una din mult¸imile A1, A2, ..., An.

- intersect¸ia A1 ∩A2 ∩... ∩An este mult¸imea elementelor care apart¸in la toate mult¸imile A1, A2, ..., An.

3. Oricare ar fi mult¸imea A sunt adevˇarate urmˇatoarele incluziuni: A A ¸si ∅ ⊂ A.

Altfel spus mult¸imea A ¸si mult¸imea vidˇa sunt submult¸imi ale mult¸imiiA. Aceste douˇa submult¸imi ale lui A se numesc submult¸imi improprii ale mult¸imii A. O submult¸ime B a mult¸imii A diferitˇa de A ¸si se nume¸ste submult¸ime proprie a mult¸imii A.

(8)

4. Uneori reuniunea mult¸imilor poartˇa denumirea de suma mult¸imilor ¸si intersect¸ia mult¸imilor poartˇa denumirea de produs al mult¸imilor.

5. Operat¸iile de reuniune ¸si intersect¸ie sunt definite de obicei pe mult¸imea tuturor submult¸imilor (pˇart¸ilor) unei mult¸imi S, care se noteazˇa cu P(S).

Operat¸iile de reuniune ¸si intersect¸ie au urmˇatoarele proprietˇat¸i:

- asociativitate:

(A∪B)∪C =A∪(B ∪C) oricare ar fiA, B, C ∈ P(S) (A∩B)∩C =A∩(B ∩C) oricare ar fiA, B, C ∈ P(S) - comutativitate:

A∪B =B ∪A oricare ar fi A, B ∈ P(S) A∩B =B ∩A oricare ar fi A, B ∈ P(S) - intersect¸ia este distributivˇa fat¸ˇa de reuniune:

A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) oricare ar fi A, B, C ∈ P(S) - reuniunea este distributivˇa fat¸ˇa de intersect¸ie:

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) oricare ar fi A, B, C ∈ P(S)

- pentru orice A ∈ P(S) existˇa un singur B ∈ P(S) astfel ˆıncˆat sˇa avem A∪B = S ¸si A∩B =∅. Mult¸imea B este mult¸imea CSA.

- pentru orice A ∈ P(S) avem A∪S =S ¸si A∩ ∅=∅.

- pentru orice A, B ∈ P(S) avem:

CS(A∪B) =CSA∩CSB CS(A∩B) =CSA∪CSB Aceste egalitˇat¸i se numesc legiile lui De Morgan.

Definit¸ia 3.4. Oricare ar fi mult¸imile A¸si B produsul cartezian A×B este mult¸imea de perechi ordonate (a, b) cu a ∈A ¸si b∈B.

A×B ={(a, b)|a∈A, b ∈B}. Produsul cartezian este distributiv fat¸ˇa de reuniune ¸si intersect¸ie:

(B∪C) = (A×B)∪(A×C) oricare ar fiA, B, C (B∩C) = (A×B)∩(A×C) oricare ar fiA, B, C

(9)

4 Relat¸ii binare.

Definit¸ia 4.1. O relat¸ie binarˇa ˆın (sau pe) mult¸imeaA este o submult¸imeR a produsului cartezian A×A : R ⊂A×A.

Prin tradit¸ie apartenent¸a (x, y)∈R se noteazˇa cu xRy.

Definit¸ia 4.2. O relat¸ie binarˇa Rˆın mult¸imea A este reflexivˇa dacˇa pentru orice x∈A avem xRx.

Definit¸ia 4.3. O relat¸ie binarˇa Rˆın mult¸imea A este simetricˇa dacˇa xRy ⇒yRx pentru orice x, y ∈A

Definit¸ia 4.4. O relat¸ie binarˇa Rˆın mult¸imea A este antisimetricˇa dacˇa xRy ¸si yRx⇒x=y pentru orice x, y ∈A

Definit¸ia 4.5. O relat¸ie binarˇa Rˆın mult¸imea A este tranzitivˇa dacˇa:

xRy ¸si yRz⇒xRz pentru orice x, y, z ∈A.

Definit¸ia 4.6. O relat¸ie binarˇa Rˆın mult¸imea A este totalˇa dacˇa pentru orice x, y ∈A este adevˇaratˇa cel put¸in una dintre urmˇatoarele douˇa afirmat¸ii: xRy, yRx.

Definit¸ia 4.7. O relat¸ie binarˇa Rˆın mult¸imeaA este part¸ialˇa dacˇa existˇa x, y ∈A astfel ˆıncˆat nici una din urmˇatoarele douˇa asert¸iuni nu este adevˇaratˇa: xRy, yRx.

Definit¸ia 4.8. O relat¸ie binarˇa R ˆın mult¸imea A este o relat¸ie de ordine part¸ialˇa dacˇa are urmˇatoarele proprietˇat¸i: R este relat¸ie part¸ialˇa;R este reflexivˇa; R este antisimetricˇa;

R este tranzitivˇa.

Definit¸ia 4.9. O relat¸ie binarˇa R ˆın mult¸imea A este relat¸ie de ordine totalˇa dacˇa are urmˇatoarele proprietˇat¸i: R este relat¸ie totalˇa; R este reflexivˇa; R este antisimetricˇa; R este tranzitivˇa.

Definit¸ia 4.10. O mult¸ime Aˆımpreunˇa cu o relat¸ie de ordine part¸ialˇa ˆın A se nume¸ste sistem part¸ial ordonat ¸si se noteazˇa cu (A, R).

Definit¸ia 4.11. O mult¸ime Aˆımpreunˇa cu o relat¸ie de ordine totalˇa Rˆın A se nume¸ste sistem total ordonat ¸si se noteazˇa tot cu (A, R).

Definit¸ia 4.12. Fie(A, R)un sistem part¸ial ordonat ¸siA0 o submult¸ime a lui A:A0 ⊂A.

Un element a A este majorant pentru mult¸imea A0 dacˇa a verificˇa a0Ra oricare ar fi a0 A0. Un majorant a pentru A0 este margine superioarˇa pentru A0 dacˇa a verificˇa aRa pentru orice majorant a al lui A0. Marginea superioarˇa a lui A0 dacˇa existˇa se noteazˇa cu supA0.

Definit¸ia 4.13. Fie(A, R)un sistem part¸ial ordonat ¸siA0 o submult¸ime a lui A:A0 ⊂A.

Un element a A este minorant pentru mult¸imea A0 dacˇa a verificˇa aRa0 pentru orice a0 ∈A0. Un minoranta pentruA0 este margine inferioarˇa pentruA0 dacˇaa verificˇaaRa pentru orice minorant a al lui A0. Marginea inferioarˇa a lui A0 dacˇa existˇa se noteazˇa cu infA0.

(10)

Definit¸ia 4.14. Fie (A, R) un sistem part¸ial ordonat. Un element a A este maximal dacˇa pentru orice a0 ∈A cu proprietatea aRa0 rezultˇa a0Ra.

Remarca 4.1. Familia P(X) a pˇart¸ilor unei mult¸imi X cu relat¸ia de incluziune R =

este un exemplu bun pentru ilustrarea acestor concepte. Sistemul part¸ial ordonat este (P(X);⊂). O margine superioarˇa a unei mult¸imi B ⊂ P(X) este orice submult¸ime a mult¸imii X care cont¸ine mult¸imea [

B∈B

B, iar mult¸imea [

B∈B

B este marginea superioarˇa a mult¸imii B. Analog, mult¸imea \

B∈B

B este marginea inferioarˇa a mult¸imii B. Singurul element maximal ˆın mult¸imea P(X) este mult¸imea X.

Definit¸ia 4.15. O relat¸ieRˆın mult¸imeaAeste relat¸ie de echivalent¸ˇa dacˇa are urmˇatoarele proprietˇat¸i: R este reflexivˇa, R este simetricˇa ¸si R este tranzitivˇa. Un exemplu de relat¸ie de echivalent¸ˇa este egalitatea ˆın mult¸imea pˇart¸ilor P(X) ale unei mult¸imi X.

Definit¸ia 4.16. O relat¸ie Rˆıntre elementele unei mult¸imi A ¸si elementele unei mult¸imi B este o submult¸ime a produsului cartezian A×B;R⊂A×B.

Prin tradit¸ie dacˇa (x, y)∈R se noteazˇa cuxRy.

Definit¸ia 4.17. O funct¸ie f definitˇa pe o mult¸ime A ¸si cu valori ˆın mult¸imea B este o relat¸ie Rˆıntre elementele mult¸imiiA¸si elementele luiB(R⊂A×B)care are urmˇatoarele proprietˇat¸i:

a) pentru orice x∈A , existˇa y∈B astfel ˆıncˆat xRy.

b) dacˇa pentru x∈A ¸si y1, y2 ∈B avem xRy1 ¸si xRy2, atunci y1 =y2.

Prin tradit¸ie, o funct¸ief definitˇa pe mult¸imeaA ¸si cu valori ˆın mult¸imeaB se noteazˇa cu f :A→B.

5 Funct¸ii.

Not¸iunea de funct¸ie joacˇa un rol important ˆın matematicˇa. Nu este o not¸iune fundamen- talˇa pentru cˇa a¸sa cum am vˇazut poate fi definitˇa folosind not¸iunea de mult¸ime (o relat¸ie binarˇa cu anumite proprietˇat¸i). Cu toate acestea pentru cei care abia ˆıncep sˇa studieze analiza matematicˇa este mai u¸sor dacˇa considerˇa not¸iunea de funct¸ie drept not¸iune funda- mentalˇa clarificˆand semnificat¸ia ei prin exemple ¸si descriind-o de o manierˇa satisfˇacˇatoare (pentru sensul comun).

Descrierea 5.1. Dacˇa la fiecare element x al unei mult¸imi A(x A) am pus ˆın corespondent¸ˇa (am asociat) un element y dintr-o mult¸ime B(y∈B) pe baza unei reguli, atunci zicem cˇa am definit o funct¸ie (corespondent¸ˇa, aplicat¸ie) f pe mult¸imeaAcu valori ˆın mult¸imea B ¸si o notˇam cuf :A →B. Astfel o funct¸ie este determinatˇa de mult¸imile A ¸si B, precum ¸si de regula de corespondent¸ˇa (legea) care asociazˇa unui element x A un element y ∈B.

De ce Descrierea 5.1. a funct¸iei nu este o definit¸ie? Ce-i lipse¸ste? Descrierea 5.1.

folose¸ste not¸iunile de corespondent¸ˇa ¸si regulˇa care nu au fost definite ˆın prealabil ¸si de

(11)

aceea Descrierea 5.1. nu este o definit¸ie. Desigur intuitiv este clar ce este o regulˇa ¸si ce este o corespondent¸ˇa. ˆIn cazuri simple, aceste not¸iuni nu conduc la confuzii ¸si sunt suficient de clare pentru a conferii not¸iunii de funct¸ie calitate de not¸iune fundamentalˇa.

Altfel spus ¸si not¸iunea de funct¸ie poate fi consideratˇa not¸iune fundamentalˇa. Trebuie ˆınsˇa sˇa ret¸inem cˇa acest lucru nu este necesar pentru cˇa funct¸ia poate fi definitˇa cu ajutorul not¸iunii de mult¸ime. Este de asemenea important de ret¸inut cˇa ˆın cazul ˆın care funct¸ia f :A→B este gˆanditˇa ca not¸iune fundamentalˇa descrisˇa de 5.1., atunci regula prin care unui element x A se asociazˇa un element y B este aplicabilˇa fiecˇarui element x din mult¸imea A.

Elementul x A se nume¸ste argumentul funct¸iei, iar elementul y B ce corespunde lui x se nume¸ste valoarea funct¸iei ¸si se noteazˇa y = f(x). ˆIntr-o asemenea notat¸ie ¸si viziune funct¸iaf apare ca o regulˇa care transformˇa fiecare elementx∈Aˆıntr-un element y=f(x)∈B. De aceea funct¸ia se nume¸ste adesea ¸si transformare.

Mult¸imeaA se nume¸ste domeniul de definit¸ie al funct¸ieif ¸si mult¸imea elementelory∈B pentru care existˇa x∈A astfel ca y=f(x), se nume¸ste domeniul de valori al funct¸iei f. Acesta se noteazˇa de obicei cu f(A) :

f(A) =

½ y ∈B

¯¯

¯¯ existˇa x∈A astfel ˆıncˆat f(x) =y

¾

¸si se nume¸ste adesea imaginea mult¸imii A prin funct¸ia f.

ˆIn cele ce urmeazˇa, va trebui sˇa considerˇam funct¸ii care asociazˇa la fiecare numˇar real x dintr-o submult¸imeAa mult¸imii numerelor reale;x∈A⊂R; un numˇar real =f(x)∈R1. Acest gen de funct¸ii se numesc funct¸ii reale de o variabilˇa realˇa ¸si ˆın cazul unora regula de corespondent¸ˇa este datˇa de o expresie algebricˇa explicitˇa. De exemplu:

y=x2+ 2x; y= 1−x

√x+ 2; y= 5 q

1 +7 x

Membrii drept¸i ai acestor egalitˇat¸i reprezintˇa regula dupˇa care x se transformˇa ˆıny. Re- gula ˆın primul caz este: fiecare x se ridicˇa la pˇatrat ¸si apoi se adaugˇa dublul luix.

Regulile ˆın cel de-al doilea ¸si cel de-al treilea caz pot fi formulate ˆın mod asemˇanator.

Regula poate fi formulatˇa ¸si cu ajutorul funct¸iilor elementare exp,loga,sin,cos,tg, ctg, arctg, etc ˆın combinat¸ie cu operat¸ii algebrice. De exemplu:

y= log2

1 + sinx; y= 1

tgx2x.

Membrii drept¸i ai acestor egalitˇat¸i aratˇa regula dupˇa care x se transformˇa ˆıny.

O altˇa metodˇa, utilizatˇa frecvent, pentru a defini o regulˇa este urmˇatoarea: se considerˇa douˇa funct¸ii f1 ¸si f2 definite printr-o expresie ca cele prezentate mai sus ¸si un numˇar a, dupˇa care se scrie:

f(x) =

½ f1(x) pentru x < a f2(x) pentru x≥a

Egalitatea aceasta se interpreteazˇa ca o regulˇa care la un numˇar x mai mic decˆat a face sˇa corespundˇa un numˇar y dupˇa regula f1 ¸si la un numˇar x mai mare sau egal cu a face sˇa corespundˇa un numˇar y dupˇa regula f2.

(12)

6 Funct¸ia compusˇ a. Inversa unei funct¸ii.

Definit¸ia 6.1. Fie f :X →Y ¸si g :Y →Z douˇa funct¸ii. Pentru orice x∈X elementul g(f(x))apart¸ine mult¸imii Z. Corespondent¸a:

x7−→g(f(x))

define¸ste o funct¸ie pe mult¸imea X cu valori ˆın mult¸imeaZ, care se noteazˇa cug◦f :X Z ¸si se nume¸ste compusa funct¸iilor g ¸si f.

Comentariu: Regula dupˇa care elementului x X i se asociazˇa elementul g(f(x)) se formuleazˇa ˆın cuvinte astfel: prima oarˇa se aplicˇa f elementului x ¸si se obt¸ine elementul f(x)∈Y, dupˇa aceea se aplicˇa funct¸ia g elementului f(x) ¸si se obt¸ine elementul g(f(x)) din mult¸imea Z. De exemplu:

f(x) = sinx; g(y) = y2 (g◦f)(x) = g(f(x)) = sin2x f(x) = x2; g(y) = tgy (g◦f)(x) = g(f(x)) = tgx2 f(x) = x

2; g(y) = cosy (g◦f)(x) = g(f(x)) = cosx 2

Definit¸ia 6.2. Funct¸ia f : X Y este injectivˇa dacˇa pentru orice x1, x2 ∈X, x1 6=x2 rezultˇa f(x1)6=f(x2).

Definit¸ia 6.3. Funct¸ia f :X →Y este surjectivˇa dacˇa pentru orice y∈Y existˇa x∈ X astfel ˆıncˆat f(x) = y.

Definit¸ia 6.4. Funct¸ia f :X →Y este bijectivˇa dacˇa este injectivˇa ¸si surjectivˇa.

Comentariu: O funct¸ie injectivˇa f : X Y are urmˇatoarea proprietate: dacˇa f(x1) =f(x2) atunci x1 =x2.

Funct¸iile numerice: y= 5x; y=ex; y=arctg xsunt injective.

O funct¸ie surjectivˇa f :X →Y se nume¸ste funct¸ie cu valori pe Y. Dacˇa funct¸ia definitˇa peX este cu valori peY atunci pentru oricey ∈Y ecuat¸iaf(x) =yare cel put¸in o solut¸ie ˆınX. Funct¸ia numericˇay= sinxeste o funct¸ie definitˇa pe mult¸imeaR1 a numerelor reale

¸si cu valori pe segmentul ˆınchis [−1,1] ¸si nu este o funct¸ie surjectivˇa pe mult¸imea R1 a tuturor numerelor reale. (Ecuat¸ia sinx= 2 nu are solut¸ie).

O funct¸ie bijectivˇa f : X Y este o corespondent¸ˇa unu la unu. Aceasta ˆınseamnˇa cˇa:

orice x X are un corespondent y Y, y = f(x) ¸si la diferit¸i x corespund y diferit¸i;

pentru orice y∈Y existˇa x∈X astfel ca y=f(x) ¸si pentru diferit¸i x, elementele y sunt diferite.

Definit¸ia 6.5. Fie f :X Y o funct¸ie bijectivˇa. Pentru orice y ∈Y existˇa un x ∈X, unic! astfel ca f(x) =y. Corespondent¸a y7−→ ”acel x pentru care f(x) =y” define¸ste o funct¸ie pe mult¸imea Y cu valori pe mult¸imea X, care se nume¸ste inversa funct¸iei f ¸si se noteazˇa cu f−1; f−1 :Y →X.

Comentariu: Regula de corespondent¸ˇa din definit¸ia 6.5 implicˇa urmˇatoarea proprietate a funct¸iei inverse:

f(f−1(y)) = y pentru oricey ∈Y

(13)

f−1(f(x)) =x pentru orice x∈X Funct¸iile f ¸si f−1 sunt mutual inverse; adicˇa:

(f−1)−1 =f

Pentru a gˇasi inversa unei funct¸ii numerice y = f(x) (dacˇa f este bijectivˇa) trebuie sˇa exprimˇam x ˆın funct¸ie de y. Astfel de exemplu: dacˇa y = 3x+ 2 funct¸ia inversˇa este x= y−2

3 ; dacˇa y=x3 funct¸ia inversˇa este: x=3 y.

7 Simboluri logice.

ˆIn matematicˇa se folosesc frecvent urmˇatoarele expresii: ”pentru orice element” ¸si

”existˇa”. Aceste expresii sunt notate cu simboluri speciale.

Expresia: ”pentru orice element” se noteazˇa cu simbolul care se obt¸ine prin inversarea literei A; prima literˇa din cuvˆantul ”Any”.

Expresia ”existˇa” se noteazˇa cu simbolulcare este imaginea ˆın oglindˇa a literei E; prima literˇa din cuvˆantul ”Exist”.

Se folose¸ste de asemenea simbolul cu semnificat¸ia ”rezultˇa”. Dacˇa A ¸si B sunt douˇa afirmat¸ii atunci A⇒Bˆınseamnˇa cˇa din A rezultˇa B.

Dacˇa A B ¸si B A atunci afirmat¸iile A ¸si B sunt echivalente ¸si aceasta se noteazˇa cu A B. A B ˆınseamnˇa cˇa afirmat¸ia A este adevˇaratˇa dacˇa ¸si numai dacˇa B este adevˇaratˇa.

Folosind aceste notat¸ii injectivitatea unei funct¸ii f :X →Y poate fi scrisˇa sub forma:

∀x1, x2 ∈X, x1 6=x2 f(x1)6=f(x2) iar surjectivitatea acelea¸si funct¸ii sub forma:

∀y∈Y ∃x∈X | f(x) = y.

Linia verticalˇa inaintea egalitˇat¸ii f(x) =y se cite¸ste ”astfel ˆıncˆat”.

Notat¸ia A ⇐⇒def B se folose¸ste cˆand vrem sˇa descriem o afirmat¸ie A folosind o afirmat¸ie B. Ea se cite¸ste: ”prin definit¸ieA este B”. Astfel de exemplu notat¸ia:

A ⊂B ⇐⇒ {(∀x)(xdef ∈A)⇒(x∈B)}

define¸steAca submult¸ime a mult¸imiiB. Partea dreaptˇa a notat¸iei se cite¸ste astfel: ”orice element x din A este element al mult¸imii B”.

8 Afirmat¸ia contrarˇ a, teorema contrarˇ a ¸si teorema reciprocˇ a.

Oricare ar fi afirmat¸iaA, notˇam cu ¯A afirmat¸ia: ”afirmat¸iaA este falsˇa”. Afirmat¸ia ¯A se nume¸ste afirmat¸ia contrarˇa.

(14)

Exemplul 8.1. DacˇaAeste afirmat¸ia: ”7 este un numˇar impar” atunci ¯Aeste afirmat¸ia:

”7 nu este un numˇar impar”. Dacˇa A este afirmat¸ia: ”mˆaine va ploua” atunci afirmat¸ia A¯va fi: ”mˆaine nu va ploua”. Dacˇa A este afirmat¸ia: ”toate rachetele vor atinge t¸inta”, atunci ¯A este afirmat¸ia: ”cel put¸in o rachetˇa nu va atinge t¸inta”.

Pentru teorema ”dacˇa A atunci B” afirmat¸ia ”dacˇa ¯A atunci ¯B” se nume¸ste teoremˇa contrarˇa. Teorema contrarˇa a teoremei contrare este teorema init¸ialˇa.

Exemplul 8.2. A=”suma mˇarimilor a douˇa unghiuri opuse ˆıntr-un patrulater este egalˇa cu 180o”,B=”patrulaterul este inscriptibil”, ¯A=”suma mˇarimilor a douˇa unghiuri opuse ˆıntr-un patrulater nu este egalˇa cu 180o”, ¯B=”patrulaterul nu este inscriptibil”

Teorema ”dacˇa A atunci B” se formuleazˇa astfel: ”dacˇa suma maimilor a douˇa unghiuri opuse ˆıntr-un patrulater este egal cu 180o atunci patrulaterul este inscriptibil”. Teorema contrarˇa: ”dacˇa ¯A atunci ¯B” se formuleazˇa astfel: ”dacˇa suma mˇarimilor a douˇa unghiuri opuse ˆıntr-un patrulater nu este egalˇa cu 180o atunci patrulaterul nu este inscriptibil”

ˆIn acest exemplu ambele teoreme: cea directˇa ¸si cea contrarˇa sunt adevˇarate.

Pentru orice afirmat¸ie ˆın matematicˇa (teoremele inclusiv) care au forma A⇒B se poate construi o nouˇa afirmat¸ie permutˆand A ¸si B. Astfel se obt¸ine afirmat¸ia B A care se nume¸ste afirmat¸ie reciprocˇa sau teoremˇa reciprocˇa. Mai exact teorema B A este reciproca teoremei A⇒B. Reciproca teoremei reciproce este teorema init¸ialˇa. De aceea teoremele A⇒B ¸si B ⇒A se zic mutual reciproce.

Dacˇa teorema directˇa A⇒B este adevˇaratˇa, reciproca ei B ⇒A poate fi adevˇaratˇa sau falsˇa.

Exemplul 8.3. Teorema directˇa (teorema lui Pitagora) este: ”dacˇa triunghiul este dreptunghic atunci pˇatratul laturii celei mai mari a triunghiului este egal cu suma pˇatratelor celorlalte douˇa laturi”. Teorema reciprocˇa este: ”dacˇa pˇatratul laturii celei mai mari a triunghiului este egal cu suma pˇatratelor celorlalte douˇa laturi atunci triunghiul este dreptunghic”.

ˆIn acest exemplu atˆat teorema directˇa cˆat ¸si cea reciprocˇa sunt adevˇarate.

Exemplul 8.4. Teorema directˇa: ”dacˇa douˇa unghiuri sunt drepte atunci cele douˇa unghiuri sunt egale”. Teorema reciprocˇa: ”dacˇa douˇa unhiuri sunt egale atunci cele douˇa unghiuri sunt drepte”.

ˆIn acest exemplu teorema directˇa este adevˇaratˇa, iar teorema reciprocˇa este falsˇa.

Teorema reciprocˇa este echivalentˇa cu teorema contrarˇa. Aceasta ˆınseamnˇa cˇa teorema reciprocˇa este adevˇaratˇa dacˇa ¸si numai dacˇa teorema contrarˇa este adevˇaratˇa.

9 Condit¸ie necesarˇ a ¸si condit¸ie suficientˇ a.

Dacˇa teorema A B este adevˇaratˇa atunci: condit¸ia A este suficientˇa pentru B ¸si condit¸ia B este necesarˇa pentru A.

Dacˇa teorema reciprocˇa B ⇒A este adevˇaratˇa atunci: condit¸ia B este suficientˇa pentru

(15)

A ¸si condit¸iaA este necesarˇa pentru B.

Dacˇa teorema directˇaA⇒B¸si teorema reciprocˇaB ⇒Asunt adevˇarate atunci : condit¸ia A este necesarˇa ¸si suficientˇa pentru B ¸si condit¸ia B este necesarˇa ¸si suficientˇa pentru A.

Cu alte cuvinte condit¸iile A ¸si B sunt echivalente. A este adevˇaratˇa dacˇa ¸si numai dacˇa B este adevˇaratˇa.

Exemplul 9.1. Teorema lui B´ezout este: ”Dacˇa α este o rˇadˇacinˇa a polinomului P(x) atunci polinomul P(x) este divizibil cu x−α”.

Reciproca teoremei lui B´ezout este: ”Dacˇa polinomul P(x) este divizibil cu x−α atunci α este o rˇadˇacinˇa a polinomului P(x).”

S¸tim cˇa atˆat teorema lui B´ezout cˆat ¸si reciproca ei sunt adevˇarate. Rezultˇa de aici cˇa o condit¸ie necesarˇa ¸si suficientˇa pentru ca ”numˇarul α sˇa fie rˇadˇacinˇa a polinomuluiP(x)”

este ca ”polinomul P(x) sˇa fie divizibil cu x−α”. Prin urmare, este adevˇaratˇa teorema:

”polinomulP(x) este divizibil cux−αdacˇa ¸si numai dacˇa αeste rˇadˇacinˇa a polinomului P(x)”.

Partea II

Calcul diferent¸ial ¸si integral pentru funct¸ii reale de o variabilˇ a realˇ a

10 Elemente de topologie ˆın R

1

.

Definit¸ia 10.1. O vecinˇatate a punctuluix∈R1 este o mult¸ime V R1 care cont¸ine un interval deschis (a, b)R1 ce cont¸ine pe x: adicˇa x∈(a, b)⊂V.

Orice interval deschis care cont¸ine pex este vecinˇatate pentrux. Un interval deschis este vecinˇatate pentru orice xce apart¸ine intervalului.

Definit¸ia 10.2. Un punct x∈R1 este punct interior al mult¸imii A⊂R1 dacˇa existˇa un interval deschis (a, b) astfel ˆıncˆat x∈(a, b)⊂A.

Un punct x al intervalului (a, b) este un punct interior al mult¸imii (a, b).

Definit¸ia 10.3. Interiorul unei mult¸imi A R1 este mult¸imea punctelor interioare ale lui A.

Tradit¸ional interiorul mult¸imii A se noteazˇa cuInt(A) sau cu ˚A. Dacˇa A= (a, b), atunci

˚A= (a, b) = A.

Definit¸ia 10.4. Mult¸imea A R1 este deschisˇa dacˇa A=˚A.

(16)

Orice interval deschis este o mult¸ime deschisˇa. Mult¸imea A R1 este deschisˇa, dacˇa ¸si numai dacˇa fiecare punct al ei este ˆın mult¸ime cu o ˆıntregˇa vecinˇatate.

Reuniunea unei familii de mult¸imi deschise este o mult¸ime deschisˇa.

Intersect¸ia unui numˇar finit de mult¸imi deschise este mult¸ime deschisˇa.

Mult¸imea numerelor reale R1 ¸si mult¸imea vidˇa sunt mult¸imi deschise.

Definit¸ia 10.5. Mult¸imea A R1 este ˆınchisˇa dacˇa complementara ei CR1A este deschisˇa.

Orice interval ˆınchis [a, b] este o mult¸ime ˆınchisˇa. Intersect¸ia unei familii de mult¸imi ˆınchise este ˆınchisˇa.

Reuniunea unui numˇar finit de mult¸imi ˆınchise este o mult¸ime ˆınchisˇa.

Mult¸imea numerelor reale R1 ¸si mult¸imea vidˇa sunt mult¸imi ˆınchise.

Definit¸ia 10.6. Punctul x R1 este punct limitˇa sau punct de acumulare al mult¸imii A R1, dacˇa orice vecinˇatate V a lui x cont¸ine cel put¸in un punct y A diferit de x;

y6=x.

Definit¸ia 10.7. ˆInchiderea A¯ a mult¸imii A R1 este intersect¸ia tuturor mult¸imilor ˆınchise care cont¸in mult¸imea A.

ˆInchiderea unei mult¸imi A are urmˇatoarele proprietˇat¸i:

A¯⊃A; ¯¯A= ¯A; A∪B = ¯A∪B;¯

A¯=A dacˇa ¸si numai dacˇa A este mult¸ime ˆınchisˇa.

x∈A¯dacˇa ¸si numai dacˇa orice vecinˇatateV a luixintersecteazˇa mult¸imeaA(V ∩A6=∅).

Definit¸ia 10.8. Mult¸imea A R1 este mˇarginitˇa dacˇa existˇa m, M R1 astfel ˆıncˆat m ≤x≤M pentru orice x∈A.

Definit¸ia 10.9. Mult¸imea A R1 este compactˇa dacˇa este mˇarginitˇa ¸si ˆınchisˇa.

Orice interval ˆınchis [a, b] este mult¸ime compactˇa.

11 S ¸iruri de numere reale.

Definit¸ia 11.1. O funct¸ie definitˇa pe mult¸imea numerelor naturale N={1,2,3, ..., n, ...}

¸si cu valori ˆın mult¸imea R1 a numerelor reale se nume¸ste ¸sir de numere reale.

Comentariu: Valoarea funct¸iei, care define¸ste ¸sirul de numere reale, ˆın 1 se noteazˇa cu a1, valoarea ˆın 2 se noteazˇa cu a2, ... , valoarea ˆın n cu an, ... .

Tradit¸ional a1 se nume¸ste primul termen al ¸sirului, a2 cel de-al doilea termen al ¸sirului, ... ,an cel de-al n-lea termen al ¸sirului sau termenul general.

S¸irul a1, a2, ..., an, ... se noteazˇa tradit¸ional cu (an). Pentru a defini un ¸sir trebuie sˇa definim tot¸i termenii ¸sirului. Altfel spus trebuie datˇa o regulˇa care permite determinarea fiecˇarui termen al ¸sirului.

(17)

Exemplul 11.1.

an=qn−1, q 6= 0; a1 = 1; a2 =q; a3 =q2; ... an=qn−1; ...

an= 1

n; a1 = 1; a2 = 1

2; a3 = 1

3; ... an= 1

n; ...

an=n2; a1 = 1; a2 = 4; a3 = 9; ... an=n2; ...

an= (−1)n; a1 =−1; a2 = 1; a3 =−1; ... an= (−1)n; ...

an= 1 + (−1)n

2 ; a1 = 0; a2 = 1; a3 = 0; ... an= 1 + (−1)n 2 ; ...

Se poate intˆampla ca atunci cˆand n cre¸ste ¸sian cre¸ste.

Definit¸ia 11.2. S¸irul (an) este crescˇator dacˇa pentru orice n N are loc inegalitatea an ≤an+1.

Definit¸ia 11.3. Un ¸sir(an)este descrescˇator dacˇa pentru oricen∈Nare loc inegalitatea an+1 ≤an.

Definit¸ia 11.4. Un ¸sir (an) este monoton dacˇa este crescˇator sau este descrescˇator.

Exemplul 11.2. Dacˇa q > 1 atunci ¸sirul an = qn este crescˇator, iar dacˇa q (0,1) atunci ¸sirul an =qn este descrescˇator. Dacˇa q∈(0,∞) ¸siq 6= 1 atunci ¸sirul an =qn este monoton

Definit¸ia 11.5. Un ¸sir(an)este mˇarginit dacˇa existˇa un numˇarM > 0astfel ˆıncˆat pentru orice n∈N are loc inegalitatea |an| ≤M.

Dacˇa q (0,1) atunci ¸sirul an = qn este mˇarginit (|an| < 1). S¸irul an = (−1)n este mˇarginit (|an| ≤1).

Definit¸ia 11.6. Un ¸sir (an) este nemˇarginit dacˇa nu este mˇarginit. Altfel spus, pentru orice M >0 existˇa nM N astfel ˆıncˆat |anM|> M.

Dacˇa q >1 atunci ¸sirulan=qn este nemˇarginit.

Definit¸ia 11.7. Un sub¸sir al ¸sirului(an)este un ¸sir de forma(ank)unde (nk) =n1, n2, ...

este un ¸si strict crescˇator de numere naturale.

Comentariu:

Orice sub¸sir al unui ¸sir crescˇator este ¸sir crescˇator.

Orice sub¸sir al unui ¸sir descrescˇator este ¸sir descrescˇator.

Orice sub¸sir al unui ¸sir mˇarginit este ¸sir mˇarginit.

12 Convergent¸a ¸sirurilor de numere reale.

Se poate ˆıntˆampla ca dacˇa n cre¸ste termenii an ai ¸sirului (an) sˇa se apropie de un numˇar L. ˆIn acest caz ajungem la o not¸iune matematicˇa importantˇa, acea de convergent¸ˇa a unui

¸sir la un numˇar.

(18)

Definit¸ia 12.1. S¸irul de numere reale(an)converge la numˇarulLdacˇa pentru oriceε >0 existˇa un numˇar N = N(ε) astfel ca tot¸i termenii ¸sirului de rang n > N(ε) sˇa verifice inegalitatea:

|an−L|< ε

Faptul cˇa ¸sirul (an) converge la numˇarulLse noteazˇa pe scurt cu lim

n→∞an =L¸si se exprimˇa prin cuvintele: ”pentru n tinzˆand la infinit limita lui (an) este egalˇa cu L” sau an−−−→n→∞ L

¸si se exprimˇa prin cuvintele ”pentru n tinzˆand la infinit an tinde la L”.

ˆIn cazul an−−−→n→∞ L se mai spune (an) converge la L.

Comentariu: Dacˇa ¸sirul (an) converge la L, atunci orice sub¸sir (ank) al ¸sirului (an) converge la L. Aceasta ˆıntrucˆat pentru orice ε >0 existˇa N = N(ε) astfel ˆıncˆat pentru n > N(ε) sˇa avem|an−L|< ε. De aici rezultˇa cˇa pentru oricenk > N avem|ank−L|< ε.

Nu orice ¸sir este convergent. De exemplu, ¸sirul an= (−1)n nu converge. Aceasta ˆıntrucˆat sub¸sirul a2k = (−1)2k = 1 converge la 1 ¸si sub¸sirul a2k+1 = (−1)2k+1 =−1 converge la -1.

Limita unui ¸sir convergent este unicˇa.

Afirmat¸ia contrarˇa ar ˆınsemna cˇa ¸sirul (an) converge la L1 ¸si L2 cu L1 6= L2. Rezultˇa de aici cˇa existˇa N1 ¸si N2 astfel ˆıncˆat |an L1| < |L1−L2|

2 pentru orice n > N1

¸si |an L2| < |L1−L2|

2 pentru orice n > N2. De aici rezultˇa cˇa pentru orice n > max{N1, N2} avem: |L1 L2| ≤ |L1 −an|+|L2 −an| < |L1 L2| ceea ce este absurd.

Dacˇa un ¸sir (an) converge la L, atunci este mˇarginit. Aceasta ˆıntrucˆat existˇaN(1) astfel cˇa pentru oricen > N(1) sˇa avem: |an−L|<1 ¸si astfel|an|=|an−L|+|L|<1+|L|

pentru orice n > N(1). Rezultˇa ˆın continuare inegalitatea:

|an| ≤max{|a1|, . . . ,|aN(1)|,1 +|L|}

Exemplul 12.1. Vom arˇata cˇa lim

n→∞

1

n = 0. Considerˇam ε >0 ¸si condit¸ia:

¯¯

¯¯ 1

√n 0

¯¯

¯¯< ε Rezultˇa de aici inegalitatea 1

√n < ε sau 1

n < ε2 echivalent cu n > 1 ε2. Punem N(ε) =

·1 ε2

¸

+ 1, unde

·1 ε2

¸

este partea ˆıntreagˇa a numˇarului 1

ε2. Este evident cˇa dacˇa n > N(ε) atunci n > 1

ε2 ¸si inegalitatea

¯¯

¯¯ 1

√n 0

¯¯

¯¯< ε este satisfˇacutˇa.

ˆIn acest exemplu am demonstrat convergent¸a la zero folosind definit¸ia convergent¸ei.

ˆIn cele ce urmeazˇa va trebui sˇa stabilim reguli care permit stabilirea convergent¸ei ¸si a limitei de o manierˇa mult mai simplˇa.

ˆIn anumite cazuri se spune cˇa ¸sirul (an) converge (tinde) la infinit. Sensul acestei not¸iuni este precizat ˆın urmˇatoarele definit¸ii:

(19)

Definit¸ia 12.2. S¸irul (an) tinde la +∞ dacˇa pentru orice M > 0 existˇa N(M) astfel ˆıncˆat an> M oricare ar fi n > N(M).

S¸irul an =n2 tinde la +∞ˆın sensul acestei definit¸ii.

Definit¸ia 12.3. S¸irul (an) tinde la −∞ dacˇa pentru orice M > 0 existˇa N(M) astfel ˆıncˆat an<−M pentru n > N(M).

S¸irul an =−n2 tinde la−∞ˆın sensul acestei definit¸ii.

13 Reguli privind convergent¸a ¸sirurilor de numere reale.

Fie (an) ¸si (bn) douˇa ¸siruri de numere reale convergente la numerelea ¸si respectiv b.

Regula sumei: S¸irul (an+bn) converge la a+b.

Demonstrat¸ie. Fie ε > 0 ¸si ε0 = 1

2ε. Deoarece an−−−→n→∞ a ¸si bn−−−→n→∞ b existˇa N1 = N10) astfel ˆıncˆat|an−a|< ε0, ∀n > N1¸si existˇaN2 =N20) astfel ˆıncˆat|bn−b|< ε0,∀n > N2. Fie N3 = max{N1, N2}. Pentru oricen > N3 avem:

|an−bn−a−b| ≤ |an−a|+|bn−b|< ε0+ε0 = 2ε0 =ε Aceasta demonstreazˇa cˇa an+bn−−−→n→∞ a+b.

Regula produsului: S¸irul (an·bn) converge la a·b.

Demonstrat¸ie. Deoarece bn−−−→n→∞ b existˇa M > 0 astfel ca |bn| ≤ M pentru orice n N.

Rezultˇa:

|an·bn−a·b|=|an·bn−a·bn+a·bn−a·b|=|bn·(an−a) +a·(bn−b)| ≤

≤ |bn| · |an−a|+|a| · |bn−b| ≤M · |an−a|+|a| · |bn−b|, ∀n N Fie ε >0 ¸si fie ε1 = ε

2M, ε2 = ε 2(|a|+ 1).

Deoarece an−−−→n→∞ a, bn−−−→n→∞ b existˇa N1 ¸si N2 astfel ˆıncˆat: |an −a| < ε1, ∀n > N1 ¸si

|bn−b|< ε2, ∀n > N2.

Fie N3 = max{N1, N2}. Pentru orice n > N3 avem: |an·bn −a·b| < ε. Altfel spus:

an·bn−−−→n→∞ a·b.

Regula cˆatului: Dacˇa bn6= 0, ∀n N¸si b6= 0 atunci ¸sirul an

bn converge la a b.

(20)

Demonstrat¸ie. Prima oarˇa arˇatˇam cˇa 1

bn −−−→

n→∞

1

b. Pentru aceasta evaluˇam diferent¸a:

¯¯

¯¯ 1 bn

1 b

¯¯

¯¯¸si gˇasim:

¯¯

¯¯1 bn 1

b

¯¯

¯¯= |bn−b|

|bn| · |b|

ˆIntrucˆat bn−−−→n→∞ b existˇa N1 astfel ˆıncˆat sˇa avem: |bn b| < 1

2|b| pentru orice n > N1. Considerˇam numˇarul M = max

½ 2

|b|, 1

|b1|, . . . , 1

|bN1|

¾

¸si remarcˇam cˇa are loc inegalitatea

¯¯

¯¯1 bn

¯¯

¯¯< M pentru oricen.

Fie acum ε > 0 ¸si ε0 = ε· |b|

M . Pentru ε0 >0 existˇa N2 =N20) astfel ˆıncˆat |bn−b| < ε0 pentru oricen > N2. De aici rezultˇa cˇa

¯¯

¯¯ 1 bn

1 b

¯¯

¯¯< εpentru oricen > N3 = max{N1, N2}.

Cu alte cuvinte 1

bn −−−→

n→∞

1

b. ˆIn virtutea regulii produsului rezultˇa: an bn −−−→

n→∞

a b.

Regula de ˆınmult¸ire cu scalar: S¸irul(k·an) converge la k·a pentru orice numˇar real k.

Regula de ˆınmult¸ire cu un scalar este un caz special al regulii produsului.

Aplicat¸ie 13.1 Determinat¸i limita:

n→∞lim

n2+ 2n+ 3 4n2 + 5n+ 6 =?

Solut¸ie: Regula cˆatului nu poate fi aplicatˇa direct pentru cˇa nici numˇarˇatorul nici numitorul fract¸iei n2+ 2n+ 3

4n2+ 5n+ 6 nu converge la o limitˇa finitˇa.

Cu toate acestea dacˇa se dˇa factor comun n2 ¸si la numˇarˇator ¸si la numitor ¸si fract¸ia se simplificˇa cu n2 se obt¸ine:

an= 1 + 2

n + 3 n2 4 + 5

n + 6 n2 Se aratˇa u¸sor cˇa 1

n −−−→

n→∞ 0 ¸si cˇa ¸sirul constant (k) converge la k. Aplicˆand acum regula sumei, a produsului ¸si a ˆınmult¸irii cu un scalar rezultˇa urmˇatoarele convergent¸e:

1 + 2 n + 3

n2 −−−→

n→∞ 1 4 + 5 n + 6

n2 −−−→

n→∞ 4 Aplicˆan ˆın continuare regula cˆatului obt¸inem urmˇatoarea convergent¸ˇa:

an = n2+ 2n+ 3

4n2+ 5n+ 6 = 1 + 2 n + 3

n2 4 + 5

n + 6 n2

−−−→n→∞

1 4

Regula ”cle¸stelui”: Fie (an), (bn), (cn) trei ¸siruri de numere reale care verificˇa:

an≤bn ≤cn, ∀n N

(21)

Dacˇa ¸sirurile (an) ¸si (cn) sunt convergente la aceea¸si limitˇa L atunci ¸sirul (bn) converge la L.

Demonstrat¸ie. Deoarece an bn ≤cn, ∀n Navem: an−L ≤bn−L≤cn−L, ∀n ¸si deci:

|bn−L| ≤max{|an−L|,|cn−L|}, ∀n.

Pentru ε >0 existˇa N1 =N1(ε) ¸si N2 =N2(ε) astfel ˆıncˆat sˇa avem:

|an−L|< ε, ∀n > N1(ε) ¸si |cn−L|< ε, ∀n > N2(ε) Rezultˇa cˇa avem:

|bn−L|< ε, ∀n > N3 =N3(ε) = max{N1(ε), N2(ε)}.

Cu alte cuvinte bn−−−→n→∞ L.

Aplicat¸ia 13.2. Arˇatat¸i cˇa (−1)n· 1

n2 −−−→

n→∞ 0.

Solut¸ie: Fie an= 1

n2; bn = (−1)n· 1

n2; cn = 1 n2.

ˆIntrucˆat an−−−→n→∞ 0;cn−−−→n→∞ 0 ¸si an≤bn≤cn rezultˇa (aplicˆand regula cle¸stelui) bn−−−→n→∞ 0.

Regula de convergent¸ˇa a ¸sirurilor monotone: Dacˇa (an) este un ¸sir monoton ¸si mˇarginit atunci este convergent.

Demonstrat¸ie. Vom demonstra afirmat¸ia pentru un ¸sir crescˇator ¸si mˇarginit. Demonstrat¸ia este similarˇa pentru un ¸sir descrescˇator ¸si mˇarginit.

Fie (an) un ¸sir crescˇator ¸si mˇarginit ¸si fie M0 = sup{an|n∈N}. Pentru oriceε >0 existˇa N =N(ε) astfel ˆıncˆat aN > M0−ε.

Dacˇa n > N, atunci an aN ¸si deci an > M0−ε. ˆIn plus an ≤M0 pentru orice n N.

Rezultˇa astfel cˇa |an−M|< ε pentrun > N. Aceasta demonstreazˇa cˇa an−−−→n→∞ M0. Aplicat¸ie 13.3. Un ¸sir (an) este definit astfel: a1 = 1 ¸si an+1 =

an+ 1 pentru n 1.

Sˇa se arate cˇa: an−−−→n→∞ 1 + 5

2 .

Solut¸ie: Prima oarˇa se aratˇa, prin induct¸ie, cˇa ¸sirul (an) este crescˇator.

Deoarece a1 = 1 ¸si a2 =

2 avem: a1 ≤a2. Calculˇam acum diferent¸a an+1−an ¸si gˇasim:

an+1−an=

an+ 1p

an−1 + 1 = an−an−1

√an+ 1 +

an−1+ 1 ˆIntrucˆat suma

an+ 1 +

an−1+ 1 este pozitivˇa dacˇa an−1 an, atunci an an+1. Astfel rezultˇa prin induct¸ie cˇa ¸sirul (an) este crescˇator.

Din relat¸ia de recurent¸ˇa an+1 =

an+ 1 prin ridicare la pˇatrat se obt¸ine egalitatea:

a2n−a2n+1 =a2n−an1 = µ

an1 2

2

5 4

¸si deoarece ¸sirul (an) este crescˇator avem: (an 12)2 54 0. Din aceastˇa inegalitate rezultˇa imediat cˇa ¸sirul (an) este mˇarginit superior de numˇarul 1 +

5

2 . Cu regula de

Referințe

DOCUMENTE SIMILARE

Ca ¸si ˆın cazul ¸sirurilor de numere reale, se poate ar˘ ata c˘ a limita unui ¸sir ˆıntr-un spat¸iu metric space este unic˘

Imaginea digitizat˘ a este reprezentat˘ a printr-o matrice ˆın care fiecare element este o colect¸ie de numere ce descriu atributele unui pixel al imaginii sau o funct¸ie de

Dacă expresia simbolică depinde de mai mult de o variabilă şi variabila pentru care se face substituţia nu este specificată, substituţia se face pentru variabila

Dacă expresia simbolică depinde de mai mult de o variabilă şi variabila pentru care se face substituţia nu este specificată, substituţia se face pentru variabila

Mai mult, „un simbol e important nu numai pentru că prelungeşte o hierofanie sau pentru că i se substituie, ci, înainte de toate, pentru că poate continua procesul de

dernităţii, căci postmodernitatea nu este decât o modernitate care se ia atât de în serios qua modernitate încât are impresia că se joacă, nici din

Pe de alt˘ a parte, dac˘ a consider˘ am un corp a¸sezat fix pe o masa (cu ajutorul unor tije) ˆıntr-un tren ce se afl˘ a ˆıntr-o mi¸scare ce nu este rectilinie ¸si uniform˘

Daca destinatia este intr-o retea conectata direct cu G, atunci G foloseste o intrare care arata costul folosirii retelei, si faptul ca nu este folosita nici o gateway (poarta)