• Nu S-Au Găsit Rezultate

Ce este un paradox?

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Ce este un paradox?"

Copied!
87
0
0

Text complet

(1)

Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor

Dr. Iulian Stoleriu

Facultatea de Matematic  Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Ia³i

[email protected];[email protected]

9 aprilie 2016

(2)

Ce este un paradox?

Paradox≺(gr.) paradoxon∼contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.

Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.

1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar  adev - rului unanim recunoscut.

2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.

3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot considerate nici adev rate, nici false.

4. fapt despre care se poate demonstra atât c  este adev rat, cât ³i c  este fals. G. Székely[Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987] dene³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a adev rat dar surprinz tor. Dac  ar s  lu m în seam  aceast  deniµie, atunci multe teoreme se calic  a paradoxuri pentru mulµi dintre. . .studenµii de la Mate.

,

Reformulat ³i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care am ajuns printr-un raµionament logic.

De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acestea sunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .

Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, al mincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.

În Matematic , utilizarea f r  grij  a mulµimilor innite sau a cantit µilor innitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.

(3)

Ce este un paradox?

Paradox≺(gr.) paradoxon∼contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.

Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.

1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar  adev - rului unanim recunoscut.

2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.

3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot considerate nici adev rate, nici false.

4. fapt despre care se poate demonstra atât c  este adev rat, cât ³i c  este fals.

G. Székely[Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987] dene³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a adev rat dar surprinz tor. Dac  ar s  lu m în seam  aceast  deniµie, atunci multe teoreme se calic  a paradoxuri pentru mulµi dintre. . .studenµii de la Mate.

,

Reformulat ³i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care am ajuns printr-un raµionament logic.

De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acestea sunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .

Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, al mincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.

În Matematic , utilizarea f r  grij  a mulµimilor innite sau a cantit µilor innitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.

(4)

Ce este un paradox?

Paradox≺(gr.) paradoxon∼contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.

Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.

1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar  adev - rului unanim recunoscut.

2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.

3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot considerate nici adev rate, nici false.

4. fapt despre care se poate demonstra atât c  este adev rat, cât ³i c  este fals.

G. Székely[Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]

dene³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a adev rat dar surprinz tor.

Dac  ar s  lu m în seam  aceast  deniµie, atunci multe teoreme se calic  a paradoxuri pentru mulµi dintre. . .studenµii de la Mate.

,

Reformulat ³i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care am ajuns printr-un raµionament logic.

De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acestea sunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .

Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, al mincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.

În Matematic , utilizarea f r  grij  a mulµimilor innite sau a cantit µilor innitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.

(5)

Ce este un paradox?

Paradox≺(gr.) paradoxon∼contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.

Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.

1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar  adev - rului unanim recunoscut.

2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.

3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot considerate nici adev rate, nici false.

4. fapt despre care se poate demonstra atât c  este adev rat, cât ³i c  este fals.

G. Székely[Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]

dene³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a adev rat dar surprinz tor.

Dac  ar s  lu m în seam  aceast  deniµie, atunci multe teoreme se calic  a paradoxuri pentru mulµi dintre. . .studenµii de la Mate.

,

Reformulat ³i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care am ajuns printr-un raµionament logic.

De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acestea sunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .

Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, al mincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.

În Matematic , utilizarea f r  grij  a mulµimilor innite sau a cantit µilor innitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.

(6)

Ce este un paradox?

Paradox≺(gr.) paradoxon∼contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.

Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.

1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar  adev - rului unanim recunoscut.

2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.

3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot considerate nici adev rate, nici false.

4. fapt despre care se poate demonstra atât c  este adev rat, cât ³i c  este fals.

G. Székely[Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]

dene³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a adev rat dar surprinz tor.

Dac  ar s  lu m în seam  aceast  deniµie, atunci multe teoreme se calic  a paradoxuri pentru mulµi dintre. . .studenµii de la Mate.

,

Reformulat ³i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care am ajuns printr-un raµionament logic.

De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acestea sunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .

Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, al mincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.

În Matematic , utilizarea f r  grij  a mulµimilor innite sau a cantit µilor innitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.

(7)

Ce este un paradox?

Paradox≺(gr.) paradoxon∼contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.

Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.

1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar  adev - rului unanim recunoscut.

2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.

3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot considerate nici adev rate, nici false.

4. fapt despre care se poate demonstra atât c  este adev rat, cât ³i c  este fals.

G. Székely[Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]

dene³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a adev rat dar surprinz tor.

Dac  ar s  lu m în seam  aceast  deniµie, atunci multe teoreme se calic  a paradoxuri pentru mulµi dintre. . .studenµii de la Mate.

,

Reformulat ³i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care am ajuns printr-un raµionament logic.

De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acestea sunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .

Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, al mincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.

În Matematic , utilizarea f r  grij  a mulµimilor innite sau a cantit µilor innitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.

(8)

Ce este un paradox?

Paradox≺(gr.) paradoxon∼contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.

Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.

1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar  adev - rului unanim recunoscut.

2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.

3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot considerate nici adev rate, nici false.

4. fapt despre care se poate demonstra atât c  este adev rat, cât ³i c  este fals.

G. Székely[Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]

dene³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a adev rat dar surprinz tor.

Dac  ar s  lu m în seam  aceast  deniµie, atunci multe teoreme se calic  a paradoxuri pentru mulµi dintre. . .studenµii de la Mate.

,

Reformulat ³i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care am ajuns printr-un raµionament logic.

De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acestea sunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .

Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, al mincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.

În Matematic , utilizarea f r  grij  a mulµimilor innite sau a cantit µilor innitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.

(9)

Ce este un paradox?

Paradox≺(gr.) paradoxon∼contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.

Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.

1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar  adev - rului unanim recunoscut.

2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.

3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot considerate nici adev rate, nici false.

4. fapt despre care se poate demonstra atât c  este adev rat, cât ³i c  este fals.

G. Székely[Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]

dene³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a adev rat dar surprinz tor.

Dac  ar s  lu m în seam  aceast  deniµie, atunci multe teoreme se calic  a paradoxuri pentru mulµi dintre. . .studenµii de la Mate.

,

Reformulat ³i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care am ajuns printr-un raµionament logic.

De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acestea sunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .

Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, al

(10)

Probabilitate

Probabilitate≺(lat.) probabilis∼asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).

Din dicµionarul explicativ:

Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a probabil. 2. O m sur  a ³ansei ca un anumit eveniment s  se realizeze.

3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o armaµie (în sens subiectiv).

Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician care a încercat denirea conceptului de probabilitate.

Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar  în corespondenµa dintre Pierre de Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile de noroc.

Probabilitatea este cea mai important  noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c  nimeni nu are cea mai vag  idee despre ce înseamn  (B. Russell, 1929).

Teoria probabilit µilor este aplicat  îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., Matematici Actuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor nanciare (Matematici Financiare).

(11)

Probabilitate

Probabilitate≺(lat.) probabilis∼asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).

Din dicµionarul explicativ:

Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a probabil.

2. O m sur  a ³ansei ca un anumit eveniment s  se realizeze.

3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o armaµie (în sens subiectiv).

Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician care a încercat denirea conceptului de probabilitate.

Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar  în corespondenµa dintre Pierre de Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile de noroc.

Probabilitatea este cea mai important  noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c  nimeni nu are cea mai vag  idee despre ce înseamn  (B. Russell, 1929).

Teoria probabilit µilor este aplicat  îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., Matematici Actuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor nanciare (Matematici Financiare).

(12)

Probabilitate

Probabilitate≺(lat.) probabilis∼asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).

Din dicµionarul explicativ:

Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a probabil.

2. O m sur  a ³ansei ca un anumit eveniment s  se realizeze.

3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o armaµie (în sens subiectiv).

Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician care a încercat denirea conceptului de probabilitate.

Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar  în corespondenµa dintre Pierre de Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile de noroc.

Probabilitatea este cea mai important  noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c  nimeni nu are cea mai vag  idee despre ce înseamn  (B. Russell, 1929).

Teoria probabilit µilor este aplicat  îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., Matematici Actuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor nanciare (Matematici Financiare).

(13)

Probabilitate

Probabilitate≺(lat.) probabilis∼asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).

Din dicµionarul explicativ:

Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a probabil.

2. O m sur  a ³ansei ca un anumit eveniment s  se realizeze.

3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o armaµie (în sens subiectiv).

Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician care a încercat denirea conceptului de probabilitate.

Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar  în corespondenµa dintre Pierre de Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile de noroc.

Probabilitatea este cea mai important  noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c  nimeni nu are cea mai vag  idee despre ce înseamn  (B. Russell, 1929).

Teoria probabilit µilor este aplicat  îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., Matematici Actuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor nanciare (Matematici Financiare).

(14)

Probabilitate

Probabilitate≺(lat.) probabilis∼asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).

Din dicµionarul explicativ:

Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a probabil.

2. O m sur  a ³ansei ca un anumit eveniment s  se realizeze.

3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o armaµie (în sens subiectiv).

Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician care a încercat denirea conceptului de probabilitate.

Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar  în corespondenµa dintre Pierre de Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile de noroc.

Probabilitatea este cea mai important  noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c  nimeni nu are cea mai vag  idee despre ce înseamn  (B. Russell, 1929).

Teoria probabilit µilor este aplicat  îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., Matematici Actuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor nanciare (Matematici Financiare).

(15)

Probabilitate

Probabilitate≺(lat.) probabilis∼asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).

Din dicµionarul explicativ:

Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a probabil.

2. O m sur  a ³ansei ca un anumit eveniment s  se realizeze.

3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o armaµie (în sens subiectiv).

Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician care a încercat denirea conceptului de probabilitate.

Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar  în corespondenµa dintre Pierre de Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile de noroc.

Probabilitatea este cea mai important  noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c  nimeni nu are cea mai vag  idee despre ce înseamn  (B. Russell, 1929).

Teoria probabilit µilor este aplicat  îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., Matematici Actuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor nanciare (Matematici Financiare).

(16)

Probabilitate vs. intuiµie

Rezultatele din teoria probabilit µilor pot deseori contraintuitive. Spre exemplu:

tendinµa de a crede c  dup  un insucces este mai probabil s  vin  un succes

. (sindromul Monte Carlo

,

)

se spune c  tr snetul nu love³te de dou  ori în acela³i loc, dar se crede c  momentele norocoase succesive sunt probabile.

din punct de vedere pur matematic, nu exist  noroc! (³i, implicit, nici ghinion!) (family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:

(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul? (meci întrerupt) Doi sportivi joac  un meci compus din mai multe jocuri. Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit  miza de 1000 RON pus  în joc? (Presupunem c  sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

(paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, care secvenµ  este mai probabil s  apar  prima: SS sau SB?

La aruncarea de dou  ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB} au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei, secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB apare pentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!

(17)

Probabilitate vs. intuiµie

Rezultatele din teoria probabilit µilor pot deseori contraintuitive. Spre exemplu:

tendinµa de a crede c  dup  un insucces este mai probabil s  vin  un succes

. (sindromul Monte Carlo

,

)

se spune c  tr snetul nu love³te de dou  ori în acela³i loc, dar se crede c  momentele norocoase succesive sunt probabile.

din punct de vedere pur matematic, nu exist  noroc! (³i, implicit, nici ghinion!) (family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:

(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul? (meci întrerupt) Doi sportivi joac  un meci compus din mai multe jocuri. Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit  miza de 1000 RON pus  în joc? (Presupunem c  sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

(paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, care secvenµ  este mai probabil s  apar  prima: SS sau SB?

La aruncarea de dou  ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB} au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei, secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB apare pentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!

(18)

Probabilitate vs. intuiµie

Rezultatele din teoria probabilit µilor pot deseori contraintuitive. Spre exemplu:

tendinµa de a crede c  dup  un insucces este mai probabil s  vin  un succes

. (sindromul Monte Carlo

,

)

se spune c  tr snetul nu love³te de dou  ori în acela³i loc, dar se crede c  momentele norocoase succesive sunt probabile.

din punct de vedere pur matematic, nu exist  noroc! (³i, implicit, nici ghinion!)

(family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil: (a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul? (meci întrerupt) Doi sportivi joac  un meci compus din mai multe jocuri. Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit  miza de 1000 RON pus  în joc? (Presupunem c  sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

(paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, care secvenµ  este mai probabil s  apar  prima: SS sau SB?

La aruncarea de dou  ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB} au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei, secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB apare pentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!

(19)

Probabilitate vs. intuiµie

Rezultatele din teoria probabilit µilor pot deseori contraintuitive. Spre exemplu:

tendinµa de a crede c  dup  un insucces este mai probabil s  vin  un succes

. (sindromul Monte Carlo

,

)

se spune c  tr snetul nu love³te de dou  ori în acela³i loc, dar se crede c  momentele norocoase succesive sunt probabile.

din punct de vedere pur matematic, nu exist  noroc! (³i, implicit, nici ghinion!) (family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:

(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul?

(meci întrerupt) Doi sportivi joac  un meci compus din mai multe jocuri. Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit  miza de 1000 RON pus  în joc? (Presupunem c  sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

(paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, care secvenµ  este mai probabil s  apar  prima: SS sau SB?

La aruncarea de dou  ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB} au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei, secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB apare pentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!

(20)

Probabilitate vs. intuiµie

Rezultatele din teoria probabilit µilor pot deseori contraintuitive. Spre exemplu:

tendinµa de a crede c  dup  un insucces este mai probabil s  vin  un succes

. (sindromul Monte Carlo

,

)

se spune c  tr snetul nu love³te de dou  ori în acela³i loc, dar se crede c  momentele norocoase succesive sunt probabile.

din punct de vedere pur matematic, nu exist  noroc! (³i, implicit, nici ghinion!) (family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:

(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul?

(meci întrerupt) Doi sportivi joac  un meci compus din mai multe jocuri. Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit  miza de 1000 RON pus  în joc?

(Presupunem c  sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

(paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, care secvenµ  este mai probabil s  apar  prima: SS sau SB?

La aruncarea de dou  ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB} au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei, secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB apare pentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!

(21)

Probabilitate vs. intuiµie

Rezultatele din teoria probabilit µilor pot deseori contraintuitive. Spre exemplu:

tendinµa de a crede c  dup  un insucces este mai probabil s  vin  un succes

. (sindromul Monte Carlo

,

)

se spune c  tr snetul nu love³te de dou  ori în acela³i loc, dar se crede c  momentele norocoase succesive sunt probabile.

din punct de vedere pur matematic, nu exist  noroc! (³i, implicit, nici ghinion!) (family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:

(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul?

(meci întrerupt) Doi sportivi joac  un meci compus din mai multe jocuri. Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit  miza de 1000 RON pus  în joc?

(Presupunem c  sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

(paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, care secvenµ  este mai probabil s  apar  prima: SS sau SB?

La aruncarea de dou  ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB} au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei, secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB apare pentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!

(22)

Probabilitate vs. intuiµie

Rezultatele din teoria probabilit µilor pot deseori contraintuitive. Spre exemplu:

tendinµa de a crede c  dup  un insucces este mai probabil s  vin  un succes

. (sindromul Monte Carlo

,

)

se spune c  tr snetul nu love³te de dou  ori în acela³i loc, dar se crede c  momentele norocoase succesive sunt probabile.

din punct de vedere pur matematic, nu exist  noroc! (³i, implicit, nici ghinion!) (family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:

(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul?

(meci întrerupt) Doi sportivi joac  un meci compus din mai multe jocuri. Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit  miza de 1000 RON pus  în joc?

(Presupunem c  sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

(paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, care secvenµ  este mai probabil s  apar  prima: SS sau SB?

La aruncarea de dou  ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB}

au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei, secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB apare pentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!

(23)

Probabilitate vs. intuiµie

(Penney's game) La un joc, se arunc  o moned  corect  în mod repetat. Juc torul A alege primul o secvenµ  de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat  juc torului B. Apoi, B alege o alt  secvenµ  de lungime 3. Moneda este aruncat  pân  secvenµa unuia apare prima. Orice secvenµ  alegeA, juc torulB are ³ans  teoretic  (probabilitate) mai mare de a câ³tiga jocul.

Chiar exist  o diferenµ  semnicativ  între probabilit µilep=0.99 ³ip=0.9999? Presupunem c  un evenimentAare probabilitateapA=0.99 de a se realiza în ecare zi a unui an, în mod independent, iar un evenimentBare probabilitateapB=0.9999 de a se realiza în ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitatea caA s  se realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iar evenimentul similar pentruB este 0.9999365≈0.964!

Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s  e par?

R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro- babilitatea cerut  poate orice num r real din intervalul[0,1].

Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts? Arunc m dou  zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelor ap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?

De ce un nanogenar nu se teme de moarte?

(24)

Probabilitate vs. intuiµie

(Penney's game) La un joc, se arunc  o moned  corect  în mod repetat. Juc torul A alege primul o secvenµ  de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat  juc torului B. Apoi, B alege o alt  secvenµ  de lungime 3. Moneda este aruncat  pân  secvenµa unuia apare prima. Orice secvenµ  alegeA, juc torulB are ³ans  teoretic  (probabilitate) mai mare de a câ³tiga jocul.

Chiar exist  o diferenµ  semnicativ  între probabilit µilep=0.99 ³ip=0.9999?

Presupunem c  un evenimentAare probabilitateapA=0.99 de a se realiza în ecare zi a unui an, în mod independent, iar un evenimentBare probabilitateapB=0.9999 de a se realiza în ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitatea caA s  se realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iar evenimentul similar pentruB este 0.9999365≈0.964!

Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s  e par?

R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro- babilitatea cerut  poate orice num r real din intervalul[0,1].

Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts? Arunc m dou  zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelor ap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?

De ce un nanogenar nu se teme de moarte?

(25)

Probabilitate vs. intuiµie

(Penney's game) La un joc, se arunc  o moned  corect  în mod repetat. Juc torul A alege primul o secvenµ  de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat  juc torului B. Apoi, B alege o alt  secvenµ  de lungime 3. Moneda este aruncat  pân  secvenµa unuia apare prima. Orice secvenµ  alegeA, juc torulB are ³ans  teoretic  (probabilitate) mai mare de a câ³tiga jocul.

Chiar exist  o diferenµ  semnicativ  între probabilit µilep=0.99 ³ip=0.9999?

Presupunem c  un evenimentAare probabilitateapA=0.99 de a se realiza în ecare zi a unui an, în mod independent, iar un evenimentBare probabilitateapB=0.9999 de a se realiza în ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitatea ca A s  se realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iar evenimentul similar pentruB este 0.9999365≈0.964!

Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s  e par?

R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro- babilitatea cerut  poate orice num r real din intervalul[0,1].

Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts? Arunc m dou  zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelor ap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?

De ce un nanogenar nu se teme de moarte?

(26)

Probabilitate vs. intuiµie

(Penney's game) La un joc, se arunc  o moned  corect  în mod repetat. Juc torul A alege primul o secvenµ  de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat  juc torului B. Apoi, B alege o alt  secvenµ  de lungime 3. Moneda este aruncat  pân  secvenµa unuia apare prima. Orice secvenµ  alegeA, juc torulB are ³ans  teoretic  (probabilitate) mai mare de a câ³tiga jocul.

Chiar exist  o diferenµ  semnicativ  între probabilit µilep=0.99 ³ip=0.9999?

Presupunem c  un evenimentAare probabilitateapA=0.99 de a se realiza în ecare zi a unui an, în mod independent, iar un evenimentBare probabilitateapB=0.9999 de a se realiza în ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitatea ca A s  se realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iar evenimentul similar pentruB este 0.9999365≈0.964!

Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s  e par?

R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro- babilitatea cerut  poate orice num r real din intervalul[0,1].

Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts? Arunc m dou  zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelor ap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?

De ce un nanogenar nu se teme de moarte?

(27)

Probabilitate vs. intuiµie

(Penney's game) La un joc, se arunc  o moned  corect  în mod repetat. Juc torul A alege primul o secvenµ  de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat  juc torului B. Apoi, B alege o alt  secvenµ  de lungime 3. Moneda este aruncat  pân  secvenµa unuia apare prima. Orice secvenµ  alegeA, juc torulB are ³ans  teoretic  (probabilitate) mai mare de a câ³tiga jocul.

Chiar exist  o diferenµ  semnicativ  între probabilit µilep=0.99 ³ip=0.9999?

Presupunem c  un evenimentAare probabilitateapA=0.99 de a se realiza în ecare zi a unui an, în mod independent, iar un evenimentBare probabilitateapB=0.9999 de a se realiza în ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitatea ca A s  se realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iar evenimentul similar pentruB este 0.9999365≈0.964!

Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s  e par?

R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro- babilitatea cerut  poate orice num r real din intervalul[0,1].

Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts? Arunc m dou  zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelor ap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?

De ce un nanogenar nu se teme de moarte?

(28)

Probabilitate vs. intuiµie

(Penney's game) La un joc, se arunc  o moned  corect  în mod repetat. Juc torul A alege primul o secvenµ  de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat  juc torului B. Apoi, B alege o alt  secvenµ  de lungime 3. Moneda este aruncat  pân  secvenµa unuia apare prima. Orice secvenµ  alegeA, juc torulB are ³ans  teoretic  (probabilitate) mai mare de a câ³tiga jocul.

Chiar exist  o diferenµ  semnicativ  între probabilit µilep=0.99 ³ip=0.9999?

Presupunem c  un evenimentAare probabilitateapA=0.99 de a se realiza în ecare zi a unui an, în mod independent, iar un evenimentBare probabilitateapB=0.9999 de a se realiza în ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitatea ca A s  se realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iar evenimentul similar pentruB este 0.9999365≈0.964!

Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s  e par?

R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro- babilitatea cerut  poate orice num r real din intervalul[0,1].

Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts?

Arunc m dou  zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelor ap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?

De ce un nanogenar nu se teme de moarte?

(29)

Probabilitate vs. intuiµie

(Penney's game) La un joc, se arunc  o moned  corect  în mod repetat. Juc torul A alege primul o secvenµ  de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat  juc torului B. Apoi, B alege o alt  secvenµ  de lungime 3. Moneda este aruncat  pân  secvenµa unuia apare prima. Orice secvenµ  alegeA, juc torulB are ³ans  teoretic  (probabilitate) mai mare de a câ³tiga jocul.

Chiar exist  o diferenµ  semnicativ  între probabilit µilep=0.99 ³ip=0.9999?

Presupunem c  un evenimentAare probabilitateapA=0.99 de a se realiza în ecare zi a unui an, în mod independent, iar un evenimentBare probabilitateapB=0.9999 de a se realiza în ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitatea ca A s  se realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iar evenimentul similar pentruB este 0.9999365≈0.964!

Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s  e par?

R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro- babilitatea cerut  poate orice num r real din intervalul[0,1].

Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts?

Arunc m dou  zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelor

De ce un nanogenar nu se teme de moarte?

(30)

Probabilitate vs. intuiµie

(Penney's game) La un joc, se arunc  o moned  corect  în mod repetat. Juc torul A alege primul o secvenµ  de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat  juc torului B. Apoi, B alege o alt  secvenµ  de lungime 3. Moneda este aruncat  pân  secvenµa unuia apare prima. Orice secvenµ  alegeA, juc torulB are ³ans  teoretic  (probabilitate) mai mare de a câ³tiga jocul.

Chiar exist  o diferenµ  semnicativ  între probabilit µilep=0.99 ³ip=0.9999?

Presupunem c  un evenimentAare probabilitateapA=0.99 de a se realiza în ecare zi a unui an, în mod independent, iar un evenimentBare probabilitateapB=0.9999 de a se realiza în ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitatea ca A s  se realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iar evenimentul similar pentruB este 0.9999365≈0.964!

Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s  e par?

R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro- babilitatea cerut  poate orice num r real din intervalul[0,1].

Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts?

Arunc m dou  zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelor ap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?

De ce un nanogenar nu se teme de moarte?

(31)

Probabilitate vs. intuiµie

(Penney's game) La un joc, se arunc  o moned  corect  în mod repetat. Juc torul A alege primul o secvenµ  de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat  juc torului B. Apoi, B alege o alt  secvenµ  de lungime 3. Moneda este aruncat  pân  secvenµa unuia apare prima. Orice secvenµ  alegeA, juc torulB are ³ans  teoretic  (probabilitate) mai mare de a câ³tiga jocul.

Chiar exist  o diferenµ  semnicativ  între probabilit µilep=0.99 ³ip=0.9999?

Presupunem c  un evenimentAare probabilitateapA=0.99 de a se realiza în ecare zi a unui an, în mod independent, iar un evenimentBare probabilitateapB=0.9999 de a se realiza în ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitatea ca A s  se realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iar evenimentul similar pentruB este 0.9999365≈0.964!

Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s  e par?

R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro- babilitatea cerut  poate orice num r real din intervalul[0,1].

Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts?

Arunc m dou  zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelor

(32)

Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate

Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate precizat cu exactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuare a experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modul de calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.

Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve- niment elementar are o singur  variant  de realizare într-o prob . Evenimentele ele- mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.

Exemplu: Se arunc  o moned  corect  de 3 ori. Exemple de reguli: moneda este de 50bani, se arunc  de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ  plan 

³i putem observa ce faµ  apare la ecare aruncare. Evenimentele elementare: Ω ={SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}

Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem  (Ω\ {BBB}), un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc. În total, sunt 28=256 evenimente legate de experiment.

La aruncarea a dou  zaruri ideale putem asocia 236=68719476736 evenimente legate de acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.

Not m cuΩspaµiul evenimentelor elementare. FieF ⊆ P(Ω).

O probabilitate este o modalitate de a cuantica ³ansele de realizare a tuturor eveni- mentelor dinF legate de experiment.

Tripletul(Ω, F, P)se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.

(33)

Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate

Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate precizat cu exactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuare a experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modul de calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.

Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve- niment elementar are o singur  variant  de realizare într-o prob . Evenimentele ele- mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.

Exemplu: Se arunc  o moned  corect  de 3 ori. Exemple de reguli: moneda este de 50bani, se arunc  de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ  plan 

³i putem observa ce faµ  apare la ecare aruncare. Evenimentele elementare: Ω ={SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}

Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem  (Ω\ {BBB}), un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc. În total, sunt 28=256 evenimente legate de experiment.

La aruncarea a dou  zaruri ideale putem asocia 236=68719476736 evenimente legate de acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.

Not m cuΩspaµiul evenimentelor elementare. FieF ⊆ P(Ω).

O probabilitate este o modalitate de a cuantica ³ansele de realizare a tuturor eveni- mentelor dinF legate de experiment.

Tripletul(Ω, F, P)se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.

(34)

Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate

Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate precizat cu exactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuare a experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modul de calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.

Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve- niment elementar are o singur  variant  de realizare într-o prob . Evenimentele ele- mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.

Exemplu: Se arunc  o moned  corect  de 3 ori. Exemple de reguli: moneda este de 50bani, se arunc  de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ  plan 

³i putem observa ce faµ  apare la ecare aruncare. Evenimentele elementare:

Ω ={SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}

Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem  (Ω\ {BBB}), un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.

În total, sunt 28=256 evenimente legate de experiment.

La aruncarea a dou  zaruri ideale putem asocia 236=68719476736 evenimente legate de acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.

Not m cuΩspaµiul evenimentelor elementare. FieF ⊆ P(Ω).

O probabilitate este o modalitate de a cuantica ³ansele de realizare a tuturor eveni- mentelor dinF legate de experiment.

Tripletul(Ω, F, P)se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.

(35)

Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate

Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate precizat cu exactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuare a experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modul de calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.

Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve- niment elementar are o singur  variant  de realizare într-o prob . Evenimentele ele- mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.

Exemplu: Se arunc  o moned  corect  de 3 ori. Exemple de reguli: moneda este de 50bani, se arunc  de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ  plan 

³i putem observa ce faµ  apare la ecare aruncare. Evenimentele elementare:

Ω ={SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}

Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem  (Ω\ {BBB}), un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.

În total, sunt 28=256 evenimente legate de experiment.

La aruncarea a dou  zaruri ideale putem asocia 236=68719476736 evenimente legate de acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.

Not m cuΩspaµiul evenimentelor elementare. FieF ⊆ P(Ω).

O probabilitate este o modalitate de a cuantica ³ansele de realizare a tuturor eveni- mentelor dinF legate de experiment.

Tripletul(Ω, F, P)se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.

(36)

Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate

Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate precizat cu exactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuare a experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modul de calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.

Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve- niment elementar are o singur  variant  de realizare într-o prob . Evenimentele ele- mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.

Exemplu: Se arunc  o moned  corect  de 3 ori. Exemple de reguli: moneda este de 50bani, se arunc  de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ  plan 

³i putem observa ce faµ  apare la ecare aruncare. Evenimentele elementare:

Ω ={SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}

Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem  (Ω\ {BBB}), un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.

În total, sunt 28=256 evenimente legate de experiment.

La aruncarea a dou  zaruri ideale putem asocia 236=68719476736 evenimente legate de acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.

Not m cuΩspaµiul evenimentelor elementare. FieF ⊆ P(Ω).

O probabilitate este o modalitate de a cuantica ³ansele de realizare a tuturor eveni- mentelor dinF legate de experiment.

Tripletul(Ω, F, P)se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.

(37)

Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate

Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate precizat cu exactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuare a experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modul de calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.

Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve- niment elementar are o singur  variant  de realizare într-o prob . Evenimentele ele- mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.

Exemplu: Se arunc  o moned  corect  de 3 ori. Exemple de reguli: moneda este de 50bani, se arunc  de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ  plan 

³i putem observa ce faµ  apare la ecare aruncare. Evenimentele elementare:

Ω ={SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}

Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem  (Ω\ {BBB}), un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.

În total, sunt 28=256 evenimente legate de experiment.

La aruncarea a dou  zaruri ideale putem asocia 236=68719476736 evenimente legate de acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.

Not m cuΩspaµiul evenimentelor elementare. FieF ⊆ P(Ω).

Tripletul(Ω, F, P)se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.

(38)

Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate

Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate precizat cu exactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuare a experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modul de calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.

Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve- niment elementar are o singur  variant  de realizare într-o prob . Evenimentele ele- mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.

Exemplu: Se arunc  o moned  corect  de 3 ori. Exemple de reguli: moneda este de 50bani, se arunc  de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ  plan 

³i putem observa ce faµ  apare la ecare aruncare. Evenimentele elementare:

Ω ={SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}

Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem  (Ω\ {BBB}), un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.

În total, sunt 28=256 evenimente legate de experiment.

La aruncarea a dou  zaruri ideale putem asocia 236=68719476736 evenimente legate de acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.

Not m cuΩspaµiul evenimentelor elementare. FieF ⊆ P(Ω).

O probabilitate este o modalitate de a cuantica ³ansele de realizare a tuturor eveni- mentelor dinF legate de experiment.

Tripletul(Ω, F, P)se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.

(39)

Moduri de a deni probabilitatea

clasic  (Laplace, 1812) raportul dintre num rul cazurilor favorabile realiz rii eveni- mentului ³i num rul total de cazuri posibile. (probabilitate a priori sau obiectiv ) frecvenµial  (Ellis, Venn, 1866, von Mises) limita ³irului frecvenµelor relative de realizare a acestui eveniment dintr-un ³ir innit de încerc ri. (probabilitate empiric ) subiectiv  (T. Bayes, 1763) reprezint  gradul de convingere personal  (subiectiv ) c  acel eveniment s-ar realiza. (traducerea bunului simµ în cifre - M. Iosifescu et al, 1985). Nu exist  o formul  teoretic  pentru probabilitatea subiectiv , doarece aceasta reect  opinia personal  a unei persoane care evalueaz  ³ansa de realizare a evenimentului, bazându-se pe erul sau experienµa sa. (e.g., probabilitatea ca Ion s  tr iasc  mai mult de 90 de ani; probabilitatea ca echipaX s  câ³tige meciul.) axiomatic  (A.N. Kolmogorov, 1933) o m sur  num rabil aditiv  denit  pe o σ−algebr .

geometric  (caz particular al probabilit µii denite axiomatic) raportul dintre m - sura mulµimii cazurilor favorabile ³i m sura mulµimii cazurilor posibile.

predispoziµie (propensity) (K. Popper, 1957) tendinµa a unei anumite situaµii zice

(40)

Moduri de a deni probabilitatea

clasic  (Laplace, 1812) raportul dintre num rul cazurilor favorabile realiz rii eveni- mentului ³i num rul total de cazuri posibile. (probabilitate a priori sau obiectiv ) frecvenµial  (Ellis, Venn, 1866, von Mises) limita ³irului frecvenµelor relative de realizare a acestui eveniment dintr-un ³ir innit de încerc ri. (probabilitate empiric ) subiectiv  (T. Bayes, 1763) reprezint  gradul de convingere personal  (subiectiv ) c  acel eveniment s-ar realiza. (traducerea bunului simµ în cifre - M. Iosifescu et al, 1985). Nu exist  o formul  teoretic  pentru probabilitatea subiectiv , doarece aceasta reect  opinia personal  a unei persoane care evalueaz  ³ansa de realizare a evenimentului, bazându-se pe erul sau experienµa sa. (e.g., probabilitatea ca Ion s  tr iasc  mai mult de 90 de ani; probabilitatea ca echipaX s  câ³tige meciul.) axiomatic  (A.N. Kolmogorov, 1933) o m sur  num rabil aditiv  denit  pe o σ−algebr .

geometric  (caz particular al probabilit µii denite axiomatic) raportul dintre m - sura mulµimii cazurilor favorabile ³i m sura mulµimii cazurilor posibile.

predispoziµie (propensity) (K. Popper, 1957) tendinµa a unei anumite situaµii zice s  genereze un rezultat de un anumit tip. Folosit , de exemplu, în Mecanica Statistic .

(41)

Probabilitate clasic 

• Bazat  pe ideea c  probabilitatea poate determinat  a priori prin examinarea spaµiului tuturor posibilit µilor.

• MulµimeaΩa tuturor cazurilor posibile este nit .

• Evenimentele elementare sunt exhaustive, incompatibile ³i echiprobabile (principiul

. indiferenµei/ignoranµei).

Probabilitatea de realizare a evenimentuluiAeste egal  cu raportul dintre num rul cazurilor favorabile realiz rii sale ³i num rul cazurilor posibile, i.e., P(A) = card(A)

card(Ω) .

Exemplu: Se arunc  o moned  ideal  de dou  ori. Care este probabilitatea apariµiei a cel puµin unei steme?

(42)

Probabilitate clasic 

• Bazat  pe ideea c  probabilitatea poate determinat  a priori prin examinarea spaµiului tuturor posibilit µilor.

• MulµimeaΩa tuturor cazurilor posibile este nit .

• Evenimentele elementare sunt exhaustive, incompatibile ³i echiprobabile (principiul

. indiferenµei/ignoranµei).

Probabilitatea de realizare a evenimentuluiAeste egal  cu raportul dintre num rul cazurilor favorabile realiz rii sale ³i num rul cazurilor posibile, i.e., P(A) = card(A)

card(Ω) .

Exemplu: Se arunc  o moned  ideal  de dou  ori. Care este probabilitatea apariµiei a cel puµin unei steme?

*

Cazuri posibile în care stema poate ap rea:

1) la prima aruncare; 2) la a doua aruncare; 3) deloc.

A³adar, avem 3 cazuri posibile, dintre care doar primele dou  sunt favorabile. Probabilitatea este astfelP=2

3.

Unde este gre³eala?

(43)

Probabilitate clasic 

• Bazat  pe ideea c  probabilitatea poate determinat  a priori prin examinarea spaµiului tuturor posibilit µilor.

• MulµimeaΩa tuturor cazurilor posibile este nit .

• Evenimentele elementare sunt exhaustive, incompatibile ³i echiprobabile (principiul

. indiferenµei/ignoranµei).

Probabilitatea de realizare a evenimentuluiAeste egal  cu raportul dintre num rul cazurilor favorabile realiz rii sale ³i num rul cazurilor posibile, i.e., P(A) = card(A)

card(Ω) .

Exemplu: Se arunc  o moned  ideal  de dou  ori. Care este probabilitatea apariµiei a cel puµin unei steme?

Soluµie: Cazuri posibile (echiprobabile): Ω ={SS, BS, SB, BB}, |Ω|=4.

Cazuri favorabile: A={SS, BS, SB}, |A|=3.

(44)

Family paradox

(1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai în vârst  este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s  e fete?

(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la u³a lor. Unul dintre copii r spunde;

este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s  e fete?

(presupunem c  pentru ecare copil sunt ³anse egale de a fat  sau b iat, independent de sexul celuilalt copil)

(45)

Family paradox

(1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai în vârst  este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s  e fete?

(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la u³a lor. Unul dintre copii r spunde;

este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s  e fete?

(presupunem c  pentru ecare copil sunt ³anse egale de a fat  sau b iat, independent de sexul celuilalt copil)

Soluµie: Pe baza informaµiilor, putem construi spaµiul de selecµie în ecare caz.

(a) Cazuri echiprobabile pentru cei doi copii:

{FF, BF}.

P1=1 2.

(b) Cazuri echiprobabile pentru cei doi copii:

{FF, FB, BF}.

(46)

Family paradox

(1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai în vârst  este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s  e fete?

(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la u³a lor. Unul dintre copii r spunde;

este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s  e fete?

(3) Familia Petrescu are doi copii. Cel puµin unul dintre copii este o fat  n scut  într-o Vineri. Care este probabilitatea ca ambii copii s  e fete?

(47)

Family paradox

(1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai în vârst  este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s  e fete?

(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la u³a lor. Unul dintre copii r spunde;

este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s  e fete?

(3) Familia Petrescu are doi copii. Cel puµin unul dintre copii este o fat  n scut  într-o Vineri. Care este probabilitatea ca ambii copii s  e fete?

Soluµie:

Noua informaµie obµinut  ne poate conduce la un proces de selecµie diferit de cel anterior.

P3=13 27 ≈0.48.

(48)

Family paradox (reloaded)

Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment este mai probabil:

[1] câte doi de acela³i sex; [2] trei copii de un sex ³i unul de altul?

(presupunem ³anse egale de na³tere a unei fete sau a unui b iat)

(49)

Family paradox (reloaded)

Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment este mai probabil:

[1] câte doi de acela³i sex; [2] trei copii de un sex ³i unul de altul?

(presupunem ³anse egale de na³tere a unei fete sau a unui b iat) Soluµie:

Spaµiul de selecµie:

{FFFF, FFFB, FFBF, FBFF, BFFF, FFBB, FBFB, BFFB, BBFF, BFBF, FBBF, FBBB, BBFB, BFBB, BBBF, BBBB}

Probabilitatea de a avea câte doi copii de acela³i sex este P1= 6

16=0.375 (= C42

24) Probabilitatea de a avea trei copii de un sex ³i unul de altul este

(50)

Birthday problem

Dac  într-o clas  sunt n=30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puµin unul dintre ei s  serbeze ziua de na³tere în aceea³i zi cu tine? (ignor m anii bisecµi).

(51)

Birthday problem

Dac  într-o clas  sunt n=30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puµin unul dintre ei s  serbeze ziua de na³tere în aceea³i zi cu tine? (ignor m anii bisecµi).

Soluµie:

Calcul m mai întâi probabilitatea evenimentului contrar, B, ca niciun elev s  nu serbeze ziua de na³tere în aceea³i zi cu tine. Trecând la evenimentul complementar, probabilitatea cerut  este

P(B) =1−P(B) =1−364 365

30

=0.0790, adic  aproximativ o ³ans  din 12 (cota 1:11).

(52)

Birthday paradox

Dac  într-o clas  suntn =30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puµin doi dintre ei serbeaz  o aceea³i zi de na³tere? (ignor m anii bisecµi).

(53)

Birthday paradox

Dac  într-o clas  suntn =30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puµin doi dintre ei serbeaz  o aceea³i zi de na³tere? (ignor m anii bisecµi).

Soluµie:

Calcul m mai întâi probabilitatea evenimentului contrar,A, ca oricare doi elevi s  nu serbeze ziua de na³tere în aceea³i zi. Trecând la evenimentul complementar.

Ω ={E = (e1,e2, . . . ,en), ek∈ {1,2, . . . ,365}}, |Ω|=365n A={E ∈Ω, ei 6=ej}, |A|=An365

Obtinem ca:

P(A) =1−P(A) =1− A30365

36523 =1− A30365

36530 =0.7063.

(54)

Birthday paradox

Dac  într-o clas  suntn =30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puµin doi dintre ei serbeaz  o aceea³i zi de na³tere? (ignor m anii bisecµi).

(55)

Joc întrerupt (division paradox)

(Fra Luca Pacioli, 1494) Doi sportivi joac  un meci compus din mai multe jocuri.

Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit  miza de 1000 RON pus  în joc? (Presupunem c  sportivii sunt la fel de buni la acest joc)

(56)

Joc întrerupt (division paradox)

(Fra Luca Pacioli, 1494) Doi sportivi joac  un meci compus din mai multe jocuri.

Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit  miza de 1000 RON pus  în joc? (Presupunem c  sportivii sunt la fel de buni la acest joc) Soluµie:

Miza ar trebui s  e împ rµit  proporµional cu ³ansele ec rui sportiv de a ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate.

Meciul ar mai putut continua cu maximum 3 jocuri.

Exist  8 rezultate teoretice (unele superue) pentru cele 3 jocuri r mase.

Convenµie:1/0−succes/insuccespentru primul juc tor.

Spaµiul de selecµie asociat:

{111, 110, 101, 011, 100, 010, 001, 000}

Probabilitatea ca primul sportiv s  câ³tige este 78.

Miza ar trebui împ rµit  astfel în raport de 7:1, i.e. 875 RON:125 RON.

(57)

Paradoxul po³ta³ului

Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform)nscrisori pentrunpersoane.

Probabilitatea ca prima scrisoare s  mearg  la persoana potrivit  este 1 n. Probabilitatea evenimentului contrar este 1−1

n. Probabilitatea ca nicio persoan  s  nu primeasc  plicul potrivit este

P= 1−1

n n

(≈ 1

e pentrun1). Dac n=2, avem doar doi destinatari (A³iB). Atunci avem doar dou  cazuri posibile: (A,B)sau(B,A), adic  50%³anse s  gre³easc . Totu³i, pentrun=2 în formul , avemP=0.25, adic  25%³anse.

Ce se întâmpl , doctore?

(58)

Paradoxul po³ta³ului

Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform)nscrisori pentrunpersoane.

Probabilitatea ca prima scrisoare s  mearg  la persoana potrivit  este 1 n.

Probabilitatea evenimentului contrar este 1−1

n. Probabilitatea ca nicio persoan  s  nu primeasc  plicul potrivit este

P= 1−1

n n

(≈ 1

e pentrun1). Dac n=2, avem doar doi destinatari (A³iB). Atunci avem doar dou  cazuri posibile: (A,B)sau(B,A), adic  50%³anse s  gre³easc . Totu³i, pentrun=2 în formul , avemP=0.25, adic  25%³anse.

Ce se întâmpl , doctore?

(59)

Paradoxul po³ta³ului

Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform)nscrisori pentrunpersoane.

Probabilitatea ca prima scrisoare s  mearg  la persoana potrivit  este 1 n. Probabilitatea evenimentului contrar este 1−1

n. Probabilitatea ca nicio persoan  s  nu primeasc  plicul potrivit este

P= 1−1

n n

(≈ 1

e pentrun1).

Dac n=2, avem doar doi destinatari (A³iB). Atunci avem doar dou  cazuri posibile: (A,B)sau(B,A), adic  50%³anse s  gre³easc . Totu³i, pentrun=2 în formul , avemP=0.25, adic  25%³anse.

Ce se întâmpl , doctore?

(60)

Paradoxul po³ta³ului

Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform)nscrisori pentrunpersoane.

Probabilitatea ca prima scrisoare s  mearg  la persoana potrivit  este 1 n. Probabilitatea evenimentului contrar este 1−1

n. Probabilitatea ca nicio persoan  s  nu primeasc  plicul potrivit este

P= 1−1

n n

(≈ 1

e pentrun1).

Dac n=2, avem doar doi destinatari (A³iB). Atunci avem doar dou  cazuri posibile: (A,B)sau(B,A), adic  50%³anse s  gre³easc .

Totu³i, pentrun=2 în formul , avemP=0.25, adic  25%³anse. Ce se întâmpl , doctore?

(61)

Paradoxul po³ta³ului

Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform)nscrisori pentrunpersoane.

Probabilitatea ca prima scrisoare s  mearg  la persoana potrivit  este 1 n. Probabilitatea evenimentului contrar este 1−1

n. Probabilitatea ca nicio persoan  s  nu primeasc  plicul potrivit este

P= 1−1

n n

(≈ 1

e pentrun1).

Dac n=2, avem doar doi destinatari (A³iB). Atunci avem doar dou  cazuri posibile: (A,B)sau(B,A), adic  50%³anse s  gre³easc . Totu³i, pentrun=2 în formul , avemP=0.25, adic  25%³anse.

Ce se întâmpl , doctore?

(62)

Paradoxul po³ta³ului

Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform)nscrisori pentrunpersoane.

Probabilitatea ca prima scrisoare s  mearg  la persoana potrivit  este 1 n. Probabilitatea evenimentului contrar este 1−1

n. Probabilitatea ca nicio persoan  s  nu primeasc  plicul potrivit este

P= 1−1

n n

(≈ 1

e pentrun1).

Dac n=2, avem doar doi destinatari (A³iB). Atunci avem doar dou  cazuri posibile: (A,B)sau(B,A), adic  50%³anse s  gre³easc . Totu³i, pentrun=2 în formul , avemP=0.25, adic  25%³anse.

Ce se întâmpl , doctore?

De fapt, probabilitatea exact  este:

P= !n n! =

n

X

k=0

(−1)k

k! (≈1

e pentrun1).

(63)

Paradoxul independenµei

EvenimenteleA³iB sunt independente d.n.d. P(A∩B) =P(A)·P(B).

Se arunc  dou  monede corecte. Consider m evenimentele:

Afaµa ce apare la prima moned  este stema;

Bfaµa ce apare la a doua moned  este stema;

Cdoar la o moned  din cele dou  a ap rut faµa cu stema.

Se observ  c  oricare dou  dintre evenimenteleA,B ³iC sunt independente:

P(A∩C) =P(A)·P(C) = 1

4; P(B∩C) =P(B)·P(C) = 1 4 P(A∩B) =P(A)·P(B) =1

4

Totodat , oricare dou  dintre ele determina în mod unic pe al treilea.

Sunt sau nu suntA,B,C independente???

(64)

Paradoxul independenµei

EvenimenteleA³iB sunt independente d.n.d. P(A∩B) =P(A)·P(B). Se arunc  dou  monede corecte. Consider m evenimentele:

Afaµa ce apare la prima moned  este stema;

Bfaµa ce apare la a doua moned  este stema;

Cdoar la o moned  din cele dou  a ap rut faµa cu stema.

Se observ  c  oricare dou  dintre evenimenteleA,B ³iC sunt independente:

P(A∩C) =P(A)·P(C) = 1

4; P(B∩C) =P(B)·P(C) = 1 4 P(A∩B) =P(A)·P(B) =1

4

Totodat , oricare dou  dintre ele determina în mod unic pe al treilea.

Sunt sau nu suntA,B,C independente???

Morala: Independenµa dou  câte dou  a evenimentelor nu implic  independenµa în ansamblu. Într-adev r, 0=P(A∩B∩C)6=P(A)·P(B)·P(C) = 18.

Referințe

DOCUMENTE SIMILARE

Un graf de ordin cel puµin trei este numit condenµial conex dac , pentru orice trei noduri distincte a; b ³i c, exist  un drum de la a la b astfel încât c este diferit de ³i nu

Dacă acesta este un nume de funcţie în linia de comandă vor apărea informaţiile de care avem nevoie despre funcţia căutată, dar acestea nu vor conţine

• Un bootloader (pentru RISC) incarca o secventa de cod de pe un mediu de stocare extern pentru a-l executa ca

Ca ¸si ˆın cazul ¸sirurilor de numere reale, se poate ar˘ ata c˘ a limita unui ¸sir ˆıntr-un spat¸iu metric space este unic˘

Aplicații complexe, pe mai multe niveluri pentru sisteme eterogene, aplicații și servicii Web, etc.. Java Virtual

Mitul 2: cea mai importanta e interfata Mitul 3: cel mai important e programul Mitul 4: cele mai importante sunt datele.. Faptul 2: sunt

O varietate de dimensiunea n este un spatiu cu proprietatea ca langa fiecare punct ne putem misca in n directii (n grade de libertate)?. n=0:

De¸si deja am ob¸tinut faptul c˘a A ^ = X este un estimator MVU (deoarece este eficient), utiliz˘am acum Teorema RBLS, care poate fi folosit˘a chiar ¸si atunci când nu exist˘a