Utilizarea paradoxurilor în predarea unor noµiuni din Teoria Probabilit µilor
Dr. Iulian Stoleriu
Facultatea de Matematic Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Ia³i
[email protected];[email protected]
9 aprilie 2016
Ce este un paradox?
Paradox≺(gr.) paradoxon∼contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.
Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.
1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar adev - rului unanim recunoscut.
2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.
3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot considerate nici adev rate, nici false.
4. fapt despre care se poate demonstra atât c este adev rat, cât ³i c este fals. G. Székely[Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987] dene³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a adev rat dar surprinz tor. Dac ar s lu m în seam aceast deniµie, atunci multe teoreme se calic a paradoxuri pentru mulµi dintre. . .studenµii de la Mate.
,
Reformulat ³i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care am ajuns printr-un raµionament logic.
De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acestea sunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .
Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, al mincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.
În Matematic , utilizarea f r grij a mulµimilor innite sau a cantit µilor innitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.
Ce este un paradox?
Paradox≺(gr.) paradoxon∼contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.
Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.
1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar adev - rului unanim recunoscut.
2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.
3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot considerate nici adev rate, nici false.
4. fapt despre care se poate demonstra atât c este adev rat, cât ³i c este fals.
G. Székely[Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987] dene³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a adev rat dar surprinz tor. Dac ar s lu m în seam aceast deniµie, atunci multe teoreme se calic a paradoxuri pentru mulµi dintre. . .studenµii de la Mate.
,
Reformulat ³i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care am ajuns printr-un raµionament logic.
De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acestea sunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .
Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, al mincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.
În Matematic , utilizarea f r grij a mulµimilor innite sau a cantit µilor innitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.
Ce este un paradox?
Paradox≺(gr.) paradoxon∼contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.
Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.
1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar adev - rului unanim recunoscut.
2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.
3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot considerate nici adev rate, nici false.
4. fapt despre care se poate demonstra atât c este adev rat, cât ³i c este fals.
G. Székely[Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]
dene³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a adev rat dar surprinz tor.
Dac ar s lu m în seam aceast deniµie, atunci multe teoreme se calic a paradoxuri pentru mulµi dintre. . .studenµii de la Mate.
,
Reformulat ³i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care am ajuns printr-un raµionament logic.
De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acestea sunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .
Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, al mincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.
În Matematic , utilizarea f r grij a mulµimilor innite sau a cantit µilor innitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.
Ce este un paradox?
Paradox≺(gr.) paradoxon∼contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.
Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.
1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar adev - rului unanim recunoscut.
2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.
3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot considerate nici adev rate, nici false.
4. fapt despre care se poate demonstra atât c este adev rat, cât ³i c este fals.
G. Székely[Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]
dene³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a adev rat dar surprinz tor.
Dac ar s lu m în seam aceast deniµie, atunci multe teoreme se calic a paradoxuri pentru mulµi dintre. . .studenµii de la Mate.
,
Reformulat ³i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care am ajuns printr-un raµionament logic.
De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acestea sunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .
Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, al mincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.
În Matematic , utilizarea f r grij a mulµimilor innite sau a cantit µilor innitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.
Ce este un paradox?
Paradox≺(gr.) paradoxon∼contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.
Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.
1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar adev - rului unanim recunoscut.
2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.
3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot considerate nici adev rate, nici false.
4. fapt despre care se poate demonstra atât c este adev rat, cât ³i c este fals.
G. Székely[Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]
dene³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a adev rat dar surprinz tor.
Dac ar s lu m în seam aceast deniµie, atunci multe teoreme se calic a paradoxuri pentru mulµi dintre. . .studenµii de la Mate.
,
Reformulat ³i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care am ajuns printr-un raµionament logic.
De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acestea sunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .
Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, al mincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.
În Matematic , utilizarea f r grij a mulµimilor innite sau a cantit µilor innitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.
Ce este un paradox?
Paradox≺(gr.) paradoxon∼contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.
Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.
1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar adev - rului unanim recunoscut.
2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.
3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot considerate nici adev rate, nici false.
4. fapt despre care se poate demonstra atât c este adev rat, cât ³i c este fals.
G. Székely[Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]
dene³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a adev rat dar surprinz tor.
Dac ar s lu m în seam aceast deniµie, atunci multe teoreme se calic a paradoxuri pentru mulµi dintre. . .studenµii de la Mate.
,
Reformulat ³i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care am ajuns printr-un raµionament logic.
De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acestea sunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .
Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, al mincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.
În Matematic , utilizarea f r grij a mulµimilor innite sau a cantit µilor innitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.
Ce este un paradox?
Paradox≺(gr.) paradoxon∼contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.
Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.
1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar adev - rului unanim recunoscut.
2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.
3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot considerate nici adev rate, nici false.
4. fapt despre care se poate demonstra atât c este adev rat, cât ³i c este fals.
G. Székely[Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]
dene³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a adev rat dar surprinz tor.
Dac ar s lu m în seam aceast deniµie, atunci multe teoreme se calic a paradoxuri pentru mulµi dintre. . .studenµii de la Mate.
,
Reformulat ³i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care am ajuns printr-un raµionament logic.
De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acestea sunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .
Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, al mincinosului, St. Petersburg, Banach-Tarski etc.
În Matematic , utilizarea f r grij a mulµimilor innite sau a cantit µilor innitezimale conduc la apariµia multor paradoxuri.
Ce este un paradox?
Paradox≺(gr.) paradoxon∼contrar a³tept rilor sau a opiniei generale.
Din dicµionarul explicativ: paradóx, paradoxuri, s. n.
1. enunµ contradictoriu ³i, în acela³i timp, demonstrabil; p rere (absurd ) contrar adev - rului unanim recunoscut.
2. opinie sau lucru care vine în contradicµie cu adev rul general acceptat.
3. raµionament aparent just care duce la concluzii contradictorii, ce nu pot considerate nici adev rate, nici false.
4. fapt despre care se poate demonstra atât c este adev rat, cât ³i c este fals.
G. Székely[Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, Springer, 1987]
dene³te un paradox astfel: orice enunµ dovedit a adev rat dar surprinz tor.
Dac ar s lu m în seam aceast deniµie, atunci multe teoreme se calic a paradoxuri pentru mulµi dintre. . .studenµii de la Mate.
,
Reformulat ³i simplicat: Un paradox este o concluzie contraintuitiv , la care am ajuns printr-un raµionament logic.
De³i multe dintre paradoxurile logice au fost demonstrate a argumente false, acestea sunt folosite pentru a dezvolta gândirea critic .
Exemple de paradoxuri cunoscute: paradoxul b rbierului (Russell), al lui Zenon, al
Probabilitate
Probabilitate≺(lat.) probabilis∼asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).
Din dicµionarul explicativ:
Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a probabil. 2. O m sur a ³ansei ca un anumit eveniment s se realizeze.
3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o armaµie (în sens subiectiv).
Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician care a încercat denirea conceptului de probabilitate.
Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar în corespondenµa dintre Pierre de Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile de noroc.
Probabilitatea este cea mai important noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c nimeni nu are cea mai vag idee despre ce înseamn (B. Russell, 1929).
Teoria probabilit µilor este aplicat îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., Matematici Actuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor nanciare (Matematici Financiare).
Probabilitate
Probabilitate≺(lat.) probabilis∼asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).
Din dicµionarul explicativ:
Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a probabil.
2. O m sur a ³ansei ca un anumit eveniment s se realizeze.
3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o armaµie (în sens subiectiv).
Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician care a încercat denirea conceptului de probabilitate.
Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar în corespondenµa dintre Pierre de Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile de noroc.
Probabilitatea este cea mai important noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c nimeni nu are cea mai vag idee despre ce înseamn (B. Russell, 1929).
Teoria probabilit µilor este aplicat îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., Matematici Actuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor nanciare (Matematici Financiare).
Probabilitate
Probabilitate≺(lat.) probabilis∼asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).
Din dicµionarul explicativ:
Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a probabil.
2. O m sur a ³ansei ca un anumit eveniment s se realizeze.
3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o armaµie (în sens subiectiv).
Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician care a încercat denirea conceptului de probabilitate.
Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar în corespondenµa dintre Pierre de Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile de noroc.
Probabilitatea este cea mai important noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c nimeni nu are cea mai vag idee despre ce înseamn (B. Russell, 1929).
Teoria probabilit µilor este aplicat îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., Matematici Actuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor nanciare (Matematici Financiare).
Probabilitate
Probabilitate≺(lat.) probabilis∼asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).
Din dicµionarul explicativ:
Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a probabil.
2. O m sur a ³ansei ca un anumit eveniment s se realizeze.
3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o armaµie (în sens subiectiv).
Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician care a încercat denirea conceptului de probabilitate.
Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar în corespondenµa dintre Pierre de Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile de noroc.
Probabilitatea este cea mai important noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c nimeni nu are cea mai vag idee despre ce înseamn (B. Russell, 1929).
Teoria probabilit µilor este aplicat îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., Matematici Actuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor nanciare (Matematici Financiare).
Probabilitate
Probabilitate≺(lat.) probabilis∼asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).
Din dicµionarul explicativ:
Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a probabil.
2. O m sur a ³ansei ca un anumit eveniment s se realizeze.
3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o armaµie (în sens subiectiv).
Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician care a încercat denirea conceptului de probabilitate.
Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar în corespondenµa dintre Pierre de Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile de noroc.
Probabilitatea este cea mai important noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c nimeni nu are cea mai vag idee despre ce înseamn (B. Russell, 1929).
Teoria probabilit µilor este aplicat îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., Matematici Actuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor nanciare (Matematici Financiare).
Probabilitate
Probabilitate≺(lat.) probabilis∼asem nat cu adev rul (ger. Wahrscheinlichkeit).
Din dicµionarul explicativ:
Probabilitate, probabilit µi, s. f. 1. Calitatea de a probabil.
2. O m sur a ³ansei ca un anumit eveniment s se realizeze.
3. Grad de siguranµ , bazat pe dovezi clare ³i concludente, în a face o armaµie (în sens subiectiv).
Girolamo Cardano (aka Jérôme Cardan) (1501-1576), a fost primul matematician care a încercat denirea conceptului de probabilitate.
Noµiunea de probabilitate a ap rut pentru prima oar în corespondenµa dintre Pierre de Fermat ³i Blaise Pascal (1654), în discuµii legate de ³ansele de câ³tig la jocurile de noroc.
Probabilitatea este cea mai important noµiune a ³tiinµelor moderne, mai ales c nimeni nu are cea mai vag idee despre ce înseamn (B. Russell, 1929).
Teoria probabilit µilor este aplicat îndeosebi în evaluarea riscurilor (i.e., Matematici Actuariale) ³i în tranzacµionarea instrumentelor nanciare (Matematici Financiare).
Probabilitate vs. intuiµie
Rezultatele din teoria probabilit µilor pot deseori contraintuitive. Spre exemplu:
tendinµa de a crede c dup un insucces este mai probabil s vin un succes
. (sindromul Monte Carlo
,
)se spune c tr snetul nu love³te de dou ori în acela³i loc, dar se crede c momentele norocoase succesive sunt probabile.
din punct de vedere pur matematic, nu exist noroc! (³i, implicit, nici ghinion!) (family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:
(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul? (meci întrerupt) Doi sportivi joac un meci compus din mai multe jocuri. Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit miza de 1000 RON pus în joc? (Presupunem c sportivii sunt la fel de buni la acest joc)
(paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, care secvenµ este mai probabil s apar prima: SS sau SB?
La aruncarea de dou ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB} au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei, secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB apare pentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!
Probabilitate vs. intuiµie
Rezultatele din teoria probabilit µilor pot deseori contraintuitive. Spre exemplu:
tendinµa de a crede c dup un insucces este mai probabil s vin un succes
. (sindromul Monte Carlo
,
)se spune c tr snetul nu love³te de dou ori în acela³i loc, dar se crede c momentele norocoase succesive sunt probabile.
din punct de vedere pur matematic, nu exist noroc! (³i, implicit, nici ghinion!) (family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:
(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul? (meci întrerupt) Doi sportivi joac un meci compus din mai multe jocuri. Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit miza de 1000 RON pus în joc? (Presupunem c sportivii sunt la fel de buni la acest joc)
(paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, care secvenµ este mai probabil s apar prima: SS sau SB?
La aruncarea de dou ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB} au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei, secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB apare pentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!
Probabilitate vs. intuiµie
Rezultatele din teoria probabilit µilor pot deseori contraintuitive. Spre exemplu:
tendinµa de a crede c dup un insucces este mai probabil s vin un succes
. (sindromul Monte Carlo
,
)se spune c tr snetul nu love³te de dou ori în acela³i loc, dar se crede c momentele norocoase succesive sunt probabile.
din punct de vedere pur matematic, nu exist noroc! (³i, implicit, nici ghinion!)
(family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil: (a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul? (meci întrerupt) Doi sportivi joac un meci compus din mai multe jocuri. Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit miza de 1000 RON pus în joc? (Presupunem c sportivii sunt la fel de buni la acest joc)
(paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, care secvenµ este mai probabil s apar prima: SS sau SB?
La aruncarea de dou ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB} au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei, secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB apare pentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!
Probabilitate vs. intuiµie
Rezultatele din teoria probabilit µilor pot deseori contraintuitive. Spre exemplu:
tendinµa de a crede c dup un insucces este mai probabil s vin un succes
. (sindromul Monte Carlo
,
)se spune c tr snetul nu love³te de dou ori în acela³i loc, dar se crede c momentele norocoase succesive sunt probabile.
din punct de vedere pur matematic, nu exist noroc! (³i, implicit, nici ghinion!) (family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:
(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul?
(meci întrerupt) Doi sportivi joac un meci compus din mai multe jocuri. Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit miza de 1000 RON pus în joc? (Presupunem c sportivii sunt la fel de buni la acest joc)
(paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, care secvenµ este mai probabil s apar prima: SS sau SB?
La aruncarea de dou ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB} au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei, secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB apare pentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!
Probabilitate vs. intuiµie
Rezultatele din teoria probabilit µilor pot deseori contraintuitive. Spre exemplu:
tendinµa de a crede c dup un insucces este mai probabil s vin un succes
. (sindromul Monte Carlo
,
)se spune c tr snetul nu love³te de dou ori în acela³i loc, dar se crede c momentele norocoase succesive sunt probabile.
din punct de vedere pur matematic, nu exist noroc! (³i, implicit, nici ghinion!) (family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:
(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul?
(meci întrerupt) Doi sportivi joac un meci compus din mai multe jocuri. Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit miza de 1000 RON pus în joc?
(Presupunem c sportivii sunt la fel de buni la acest joc)
(paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, care secvenµ este mai probabil s apar prima: SS sau SB?
La aruncarea de dou ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB} au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei, secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB apare pentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!
Probabilitate vs. intuiµie
Rezultatele din teoria probabilit µilor pot deseori contraintuitive. Spre exemplu:
tendinµa de a crede c dup un insucces este mai probabil s vin un succes
. (sindromul Monte Carlo
,
)se spune c tr snetul nu love³te de dou ori în acela³i loc, dar se crede c momentele norocoase succesive sunt probabile.
din punct de vedere pur matematic, nu exist noroc! (³i, implicit, nici ghinion!) (family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:
(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul?
(meci întrerupt) Doi sportivi joac un meci compus din mai multe jocuri. Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit miza de 1000 RON pus în joc?
(Presupunem c sportivii sunt la fel de buni la acest joc)
(paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, care secvenµ este mai probabil s apar prima: SS sau SB?
La aruncarea de dou ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB} au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei, secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB apare pentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!
Probabilitate vs. intuiµie
Rezultatele din teoria probabilit µilor pot deseori contraintuitive. Spre exemplu:
tendinµa de a crede c dup un insucces este mai probabil s vin un succes
. (sindromul Monte Carlo
,
)se spune c tr snetul nu love³te de dou ori în acela³i loc, dar se crede c momentele norocoase succesive sunt probabile.
din punct de vedere pur matematic, nu exist noroc! (³i, implicit, nici ghinion!) (family paradox) Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment vi se pare mai probabil:
(a) câte doi de acela³i sex; (b) trei copii de un sex ³i unul de altul?
(meci întrerupt) Doi sportivi joac un meci compus din mai multe jocuri. Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit miza de 1000 RON pus în joc?
(Presupunem c sportivii sunt la fel de buni la acest joc)
(paradoxul monedei) La aruncarea unei monede corecte în mod repetat, care secvenµ este mai probabil s apar prima: SS sau SB?
La aruncarea de dou ori a unei monede corecte, secvenµele posibile {SS, SB, BS, BB}
au aceea³i probabilitate de apariµie, 1/4. Totu³i, în arunc ri succesive ale monedei, secvenµa SS apare pentru prima oar , în medie, în 6 arunc ri, iar secvenµa SB apare pentru prima oar , în medie, în 4 arunc ri!
Probabilitate vs. intuiµie
(Penney's game) La un joc, se arunc o moned corect în mod repetat. Juc torul A alege primul o secvenµ de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat juc torului B. Apoi, B alege o alt secvenµ de lungime 3. Moneda este aruncat pân secvenµa unuia apare prima. Orice secvenµ alegeA, juc torulB are ³ans teoretic (probabilitate) mai mare de a câ³tiga jocul.
Chiar exist o diferenµ semnicativ între probabilit µilep=0.99 ³ip=0.9999? Presupunem c un evenimentAare probabilitateapA=0.99 de a se realiza în ecare zi a unui an, în mod independent, iar un evenimentBare probabilitateapB=0.9999 de a se realiza în ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitatea caA s se realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iar evenimentul similar pentruB este 0.9999365≈0.964!
Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s e par?
R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro- babilitatea cerut poate orice num r real din intervalul[0,1].
Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts? Arunc m dou zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelor ap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?
De ce un nanogenar nu se teme de moarte?
Probabilitate vs. intuiµie
(Penney's game) La un joc, se arunc o moned corect în mod repetat. Juc torul A alege primul o secvenµ de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat juc torului B. Apoi, B alege o alt secvenµ de lungime 3. Moneda este aruncat pân secvenµa unuia apare prima. Orice secvenµ alegeA, juc torulB are ³ans teoretic (probabilitate) mai mare de a câ³tiga jocul.
Chiar exist o diferenµ semnicativ între probabilit µilep=0.99 ³ip=0.9999?
Presupunem c un evenimentAare probabilitateapA=0.99 de a se realiza în ecare zi a unui an, în mod independent, iar un evenimentBare probabilitateapB=0.9999 de a se realiza în ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitatea caA s se realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iar evenimentul similar pentruB este 0.9999365≈0.964!
Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s e par?
R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro- babilitatea cerut poate orice num r real din intervalul[0,1].
Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts? Arunc m dou zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelor ap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?
De ce un nanogenar nu se teme de moarte?
Probabilitate vs. intuiµie
(Penney's game) La un joc, se arunc o moned corect în mod repetat. Juc torul A alege primul o secvenµ de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat juc torului B. Apoi, B alege o alt secvenµ de lungime 3. Moneda este aruncat pân secvenµa unuia apare prima. Orice secvenµ alegeA, juc torulB are ³ans teoretic (probabilitate) mai mare de a câ³tiga jocul.
Chiar exist o diferenµ semnicativ între probabilit µilep=0.99 ³ip=0.9999?
Presupunem c un evenimentAare probabilitateapA=0.99 de a se realiza în ecare zi a unui an, în mod independent, iar un evenimentBare probabilitateapB=0.9999 de a se realiza în ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitatea ca A s se realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iar evenimentul similar pentruB este 0.9999365≈0.964!
Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s e par?
R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro- babilitatea cerut poate orice num r real din intervalul[0,1].
Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts? Arunc m dou zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelor ap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?
De ce un nanogenar nu se teme de moarte?
Probabilitate vs. intuiµie
(Penney's game) La un joc, se arunc o moned corect în mod repetat. Juc torul A alege primul o secvenµ de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat juc torului B. Apoi, B alege o alt secvenµ de lungime 3. Moneda este aruncat pân secvenµa unuia apare prima. Orice secvenµ alegeA, juc torulB are ³ans teoretic (probabilitate) mai mare de a câ³tiga jocul.
Chiar exist o diferenµ semnicativ între probabilit µilep=0.99 ³ip=0.9999?
Presupunem c un evenimentAare probabilitateapA=0.99 de a se realiza în ecare zi a unui an, în mod independent, iar un evenimentBare probabilitateapB=0.9999 de a se realiza în ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitatea ca A s se realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iar evenimentul similar pentruB este 0.9999365≈0.964!
Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s e par?
R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro- babilitatea cerut poate orice num r real din intervalul[0,1].
Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts? Arunc m dou zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelor ap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?
De ce un nanogenar nu se teme de moarte?
Probabilitate vs. intuiµie
(Penney's game) La un joc, se arunc o moned corect în mod repetat. Juc torul A alege primul o secvenµ de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat juc torului B. Apoi, B alege o alt secvenµ de lungime 3. Moneda este aruncat pân secvenµa unuia apare prima. Orice secvenµ alegeA, juc torulB are ³ans teoretic (probabilitate) mai mare de a câ³tiga jocul.
Chiar exist o diferenµ semnicativ între probabilit µilep=0.99 ³ip=0.9999?
Presupunem c un evenimentAare probabilitateapA=0.99 de a se realiza în ecare zi a unui an, în mod independent, iar un evenimentBare probabilitateapB=0.9999 de a se realiza în ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitatea ca A s se realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iar evenimentul similar pentruB este 0.9999365≈0.964!
Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s e par?
R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro- babilitatea cerut poate orice num r real din intervalul[0,1].
Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts? Arunc m dou zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelor ap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?
De ce un nanogenar nu se teme de moarte?
Probabilitate vs. intuiµie
(Penney's game) La un joc, se arunc o moned corect în mod repetat. Juc torul A alege primul o secvenµ de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat juc torului B. Apoi, B alege o alt secvenµ de lungime 3. Moneda este aruncat pân secvenµa unuia apare prima. Orice secvenµ alegeA, juc torulB are ³ans teoretic (probabilitate) mai mare de a câ³tiga jocul.
Chiar exist o diferenµ semnicativ între probabilit µilep=0.99 ³ip=0.9999?
Presupunem c un evenimentAare probabilitateapA=0.99 de a se realiza în ecare zi a unui an, în mod independent, iar un evenimentBare probabilitateapB=0.9999 de a se realiza în ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitatea ca A s se realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iar evenimentul similar pentruB este 0.9999365≈0.964!
Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s e par?
R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro- babilitatea cerut poate orice num r real din intervalul[0,1].
Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts?
Arunc m dou zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelor ap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?
De ce un nanogenar nu se teme de moarte?
Probabilitate vs. intuiµie
(Penney's game) La un joc, se arunc o moned corect în mod repetat. Juc torul A alege primul o secvenµ de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat juc torului B. Apoi, B alege o alt secvenµ de lungime 3. Moneda este aruncat pân secvenµa unuia apare prima. Orice secvenµ alegeA, juc torulB are ³ans teoretic (probabilitate) mai mare de a câ³tiga jocul.
Chiar exist o diferenµ semnicativ între probabilit µilep=0.99 ³ip=0.9999?
Presupunem c un evenimentAare probabilitateapA=0.99 de a se realiza în ecare zi a unui an, în mod independent, iar un evenimentBare probabilitateapB=0.9999 de a se realiza în ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitatea ca A s se realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iar evenimentul similar pentruB este 0.9999365≈0.964!
Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s e par?
R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro- babilitatea cerut poate orice num r real din intervalul[0,1].
Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts?
Arunc m dou zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelor
De ce un nanogenar nu se teme de moarte?
Probabilitate vs. intuiµie
(Penney's game) La un joc, se arunc o moned corect în mod repetat. Juc torul A alege primul o secvenµ de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat juc torului B. Apoi, B alege o alt secvenµ de lungime 3. Moneda este aruncat pân secvenµa unuia apare prima. Orice secvenµ alegeA, juc torulB are ³ans teoretic (probabilitate) mai mare de a câ³tiga jocul.
Chiar exist o diferenµ semnicativ între probabilit µilep=0.99 ³ip=0.9999?
Presupunem c un evenimentAare probabilitateapA=0.99 de a se realiza în ecare zi a unui an, în mod independent, iar un evenimentBare probabilitateapB=0.9999 de a se realiza în ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitatea ca A s se realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iar evenimentul similar pentruB este 0.9999365≈0.964!
Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s e par?
R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro- babilitatea cerut poate orice num r real din intervalul[0,1].
Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts?
Arunc m dou zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelor ap rute este 9 sau suma punctelor ap rute este 10?
De ce un nanogenar nu se teme de moarte?
Probabilitate vs. intuiµie
(Penney's game) La un joc, se arunc o moned corect în mod repetat. Juc torul A alege primul o secvenµ de lungime 3 (e.g., SBS) ³i o arat juc torului B. Apoi, B alege o alt secvenµ de lungime 3. Moneda este aruncat pân secvenµa unuia apare prima. Orice secvenµ alegeA, juc torulB are ³ans teoretic (probabilitate) mai mare de a câ³tiga jocul.
Chiar exist o diferenµ semnicativ între probabilit µilep=0.99 ³ip=0.9999?
Presupunem c un evenimentAare probabilitateapA=0.99 de a se realiza în ecare zi a unui an, în mod independent, iar un evenimentBare probabilitateapB=0.9999 de a se realiza în ecare zi a aceluia³i an, în mod independent. Atunci probabilitatea ca A s se realizat în toate cele 365 de zile ale anului este 0.99365 ≈ 0.025 iar evenimentul similar pentruB este 0.9999365≈0.964!
Alegem aleator un num r natural. Care este probabilitatea ca el s e par?
R: Nu o putem calcula, deoarece experimentul aleator este ambiguu. Teoretic, pro- babilitatea cerut poate orice num r real din intervalul[0,1].
Care este probabilitatea de a nimeri centrul dintr-o aruncare la tabla de darts?
Arunc m dou zaruri corecte. Care eveniment este mai probabil: suma punctelor
Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate
Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate precizat cu exactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuare a experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modul de calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.
Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve- niment elementar are o singur variant de realizare într-o prob . Evenimentele ele- mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.
Exemplu: Se arunc o moned corect de 3 ori. Exemple de reguli: moneda este de 50bani, se arunc de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ plan
³i putem observa ce faµ apare la ecare aruncare. Evenimentele elementare: Ω ={SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}
Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem (Ω\ {BBB}), un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc. În total, sunt 28=256 evenimente legate de experiment.
La aruncarea a dou zaruri ideale putem asocia 236=68719476736 evenimente legate de acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.
Not m cuΩspaµiul evenimentelor elementare. FieF ⊆ P(Ω).
O probabilitate este o modalitate de a cuantica ³ansele de realizare a tuturor eveni- mentelor dinF legate de experiment.
Tripletul(Ω, F, P)se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.
Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate
Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate precizat cu exactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuare a experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modul de calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.
Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve- niment elementar are o singur variant de realizare într-o prob . Evenimentele ele- mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.
Exemplu: Se arunc o moned corect de 3 ori. Exemple de reguli: moneda este de 50bani, se arunc de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ plan
³i putem observa ce faµ apare la ecare aruncare. Evenimentele elementare: Ω ={SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}
Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem (Ω\ {BBB}), un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc. În total, sunt 28=256 evenimente legate de experiment.
La aruncarea a dou zaruri ideale putem asocia 236=68719476736 evenimente legate de acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.
Not m cuΩspaµiul evenimentelor elementare. FieF ⊆ P(Ω).
O probabilitate este o modalitate de a cuantica ³ansele de realizare a tuturor eveni- mentelor dinF legate de experiment.
Tripletul(Ω, F, P)se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.
Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate
Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate precizat cu exactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuare a experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modul de calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.
Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve- niment elementar are o singur variant de realizare într-o prob . Evenimentele ele- mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.
Exemplu: Se arunc o moned corect de 3 ori. Exemple de reguli: moneda este de 50bani, se arunc de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ plan
³i putem observa ce faµ apare la ecare aruncare. Evenimentele elementare:
Ω ={SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}
Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem (Ω\ {BBB}), un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.
În total, sunt 28=256 evenimente legate de experiment.
La aruncarea a dou zaruri ideale putem asocia 236=68719476736 evenimente legate de acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.
Not m cuΩspaµiul evenimentelor elementare. FieF ⊆ P(Ω).
O probabilitate este o modalitate de a cuantica ³ansele de realizare a tuturor eveni- mentelor dinF legate de experiment.
Tripletul(Ω, F, P)se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.
Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate
Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate precizat cu exactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuare a experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modul de calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.
Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve- niment elementar are o singur variant de realizare într-o prob . Evenimentele ele- mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.
Exemplu: Se arunc o moned corect de 3 ori. Exemple de reguli: moneda este de 50bani, se arunc de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ plan
³i putem observa ce faµ apare la ecare aruncare. Evenimentele elementare:
Ω ={SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}
Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem (Ω\ {BBB}), un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.
În total, sunt 28=256 evenimente legate de experiment.
La aruncarea a dou zaruri ideale putem asocia 236=68719476736 evenimente legate de acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.
Not m cuΩspaµiul evenimentelor elementare. FieF ⊆ P(Ω).
O probabilitate este o modalitate de a cuantica ³ansele de realizare a tuturor eveni- mentelor dinF legate de experiment.
Tripletul(Ω, F, P)se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.
Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate
Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate precizat cu exactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuare a experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modul de calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.
Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve- niment elementar are o singur variant de realizare într-o prob . Evenimentele ele- mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.
Exemplu: Se arunc o moned corect de 3 ori. Exemple de reguli: moneda este de 50bani, se arunc de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ plan
³i putem observa ce faµ apare la ecare aruncare. Evenimentele elementare:
Ω ={SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}
Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem (Ω\ {BBB}), un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.
În total, sunt 28=256 evenimente legate de experiment.
La aruncarea a dou zaruri ideale putem asocia 236=68719476736 evenimente legate de acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.
Not m cuΩspaµiul evenimentelor elementare. FieF ⊆ P(Ω).
O probabilitate este o modalitate de a cuantica ³ansele de realizare a tuturor eveni- mentelor dinF legate de experiment.
Tripletul(Ω, F, P)se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.
Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate
Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate precizat cu exactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuare a experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modul de calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.
Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve- niment elementar are o singur variant de realizare într-o prob . Evenimentele ele- mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.
Exemplu: Se arunc o moned corect de 3 ori. Exemple de reguli: moneda este de 50bani, se arunc de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ plan
³i putem observa ce faµ apare la ecare aruncare. Evenimentele elementare:
Ω ={SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}
Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem (Ω\ {BBB}), un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.
În total, sunt 28=256 evenimente legate de experiment.
La aruncarea a dou zaruri ideale putem asocia 236=68719476736 evenimente legate de acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.
Not m cuΩspaµiul evenimentelor elementare. FieF ⊆ P(Ω).
Tripletul(Ω, F, P)se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.
Experiment aleator. Spaµiu de probabilitate
Un experiment aleator este un experiment al c rui rezultat nu poate precizat cu exactitate a priori. Descrierea unui experiment aleator necesit : regulile de efectuare a experimentului, determinarea tuturor cazurilor posibile (spaµiul de selecµie), modul de calcul al probabilit µii asociate evenimentelor legate de experiment.
Un eveniment legat de experiment este compus din evenimente elementare. Un eve- niment elementar are o singur variant de realizare într-o prob . Evenimentele ele- mentare sunt incompatibile ³i exhaustive.
Exemplu: Se arunc o moned corect de 3 ori. Exemple de reguli: moneda este de 50bani, se arunc de 3 ori prin lovirea cu degetul mare, cade pe o suprafaµ plan
³i putem observa ce faµ apare la ecare aruncare. Evenimentele elementare:
Ω ={SSS, SSB, SBS, SBB, BSS, BSB, BBS, BBB}
Alte evenimente (ne-elementare) legate de experiment: m car o stem (Ω\ {BBB}), un singur ban ({SSB, SBS, BSS}), un num r par de bani ({BSB, SBB, BBS}) etc.
În total, sunt 28=256 evenimente legate de experiment.
La aruncarea a dou zaruri ideale putem asocia 236=68719476736 evenimente legate de acest experiment aleator, dintre care 36 sunt elementare.
Not m cuΩspaµiul evenimentelor elementare. FieF ⊆ P(Ω).
O probabilitate este o modalitate de a cuantica ³ansele de realizare a tuturor eveni- mentelor dinF legate de experiment.
Tripletul(Ω, F, P)se nume³te spaµiu/câmp de probabilitate.
Moduri de a deni probabilitatea
clasic (Laplace, 1812) raportul dintre num rul cazurilor favorabile realiz rii eveni- mentului ³i num rul total de cazuri posibile. (probabilitate a priori sau obiectiv ) frecvenµial (Ellis, Venn, 1866, von Mises) limita ³irului frecvenµelor relative de realizare a acestui eveniment dintr-un ³ir innit de încerc ri. (probabilitate empiric ) subiectiv (T. Bayes, 1763) reprezint gradul de convingere personal (subiectiv ) c acel eveniment s-ar realiza. (traducerea bunului simµ în cifre - M. Iosifescu et al, 1985). Nu exist o formul teoretic pentru probabilitatea subiectiv , doarece aceasta reect opinia personal a unei persoane care evalueaz ³ansa de realizare a evenimentului, bazându-se pe erul sau experienµa sa. (e.g., probabilitatea ca Ion s tr iasc mai mult de 90 de ani; probabilitatea ca echipaX s câ³tige meciul.) axiomatic (A.N. Kolmogorov, 1933) o m sur num rabil aditiv denit pe o σ−algebr .
geometric (caz particular al probabilit µii denite axiomatic) raportul dintre m - sura mulµimii cazurilor favorabile ³i m sura mulµimii cazurilor posibile.
predispoziµie (propensity) (K. Popper, 1957) tendinµa a unei anumite situaµii zice
Moduri de a deni probabilitatea
clasic (Laplace, 1812) raportul dintre num rul cazurilor favorabile realiz rii eveni- mentului ³i num rul total de cazuri posibile. (probabilitate a priori sau obiectiv ) frecvenµial (Ellis, Venn, 1866, von Mises) limita ³irului frecvenµelor relative de realizare a acestui eveniment dintr-un ³ir innit de încerc ri. (probabilitate empiric ) subiectiv (T. Bayes, 1763) reprezint gradul de convingere personal (subiectiv ) c acel eveniment s-ar realiza. (traducerea bunului simµ în cifre - M. Iosifescu et al, 1985). Nu exist o formul teoretic pentru probabilitatea subiectiv , doarece aceasta reect opinia personal a unei persoane care evalueaz ³ansa de realizare a evenimentului, bazându-se pe erul sau experienµa sa. (e.g., probabilitatea ca Ion s tr iasc mai mult de 90 de ani; probabilitatea ca echipaX s câ³tige meciul.) axiomatic (A.N. Kolmogorov, 1933) o m sur num rabil aditiv denit pe o σ−algebr .
geometric (caz particular al probabilit µii denite axiomatic) raportul dintre m - sura mulµimii cazurilor favorabile ³i m sura mulµimii cazurilor posibile.
predispoziµie (propensity) (K. Popper, 1957) tendinµa a unei anumite situaµii zice s genereze un rezultat de un anumit tip. Folosit , de exemplu, în Mecanica Statistic .
Probabilitate clasic
• Bazat pe ideea c probabilitatea poate determinat a priori prin examinarea spaµiului tuturor posibilit µilor.
• MulµimeaΩa tuturor cazurilor posibile este nit .
• Evenimentele elementare sunt exhaustive, incompatibile ³i echiprobabile (principiul
. indiferenµei/ignoranµei).
Probabilitatea de realizare a evenimentuluiAeste egal cu raportul dintre num rul cazurilor favorabile realiz rii sale ³i num rul cazurilor posibile, i.e., P(A) = card(A)
card(Ω) .
Exemplu: Se arunc o moned ideal de dou ori. Care este probabilitatea apariµiei a cel puµin unei steme?
Probabilitate clasic
• Bazat pe ideea c probabilitatea poate determinat a priori prin examinarea spaµiului tuturor posibilit µilor.
• MulµimeaΩa tuturor cazurilor posibile este nit .
• Evenimentele elementare sunt exhaustive, incompatibile ³i echiprobabile (principiul
. indiferenµei/ignoranµei).
Probabilitatea de realizare a evenimentuluiAeste egal cu raportul dintre num rul cazurilor favorabile realiz rii sale ³i num rul cazurilor posibile, i.e., P(A) = card(A)
card(Ω) .
Exemplu: Se arunc o moned ideal de dou ori. Care este probabilitatea apariµiei a cel puµin unei steme?
*
Cazuri posibile în care stema poate ap rea:1) la prima aruncare; 2) la a doua aruncare; 3) deloc.
A³adar, avem 3 cazuri posibile, dintre care doar primele dou sunt favorabile. Probabilitatea este astfelP=2
3.
Unde este gre³eala?
Probabilitate clasic
• Bazat pe ideea c probabilitatea poate determinat a priori prin examinarea spaµiului tuturor posibilit µilor.
• MulµimeaΩa tuturor cazurilor posibile este nit .
• Evenimentele elementare sunt exhaustive, incompatibile ³i echiprobabile (principiul
. indiferenµei/ignoranµei).
Probabilitatea de realizare a evenimentuluiAeste egal cu raportul dintre num rul cazurilor favorabile realiz rii sale ³i num rul cazurilor posibile, i.e., P(A) = card(A)
card(Ω) .
Exemplu: Se arunc o moned ideal de dou ori. Care este probabilitatea apariµiei a cel puµin unei steme?
Soluµie: Cazuri posibile (echiprobabile): Ω ={SS, BS, SB, BB}, |Ω|=4.
Cazuri favorabile: A={SS, BS, SB}, |A|=3.
Family paradox
(1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai în vârst este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s e fete?
(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la u³a lor. Unul dintre copii r spunde;
este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s e fete?
(presupunem c pentru ecare copil sunt ³anse egale de a fat sau b iat, independent de sexul celuilalt copil)
Family paradox
(1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai în vârst este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s e fete?
(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la u³a lor. Unul dintre copii r spunde;
este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s e fete?
(presupunem c pentru ecare copil sunt ³anse egale de a fat sau b iat, independent de sexul celuilalt copil)
Soluµie: Pe baza informaµiilor, putem construi spaµiul de selecµie în ecare caz.
(a) Cazuri echiprobabile pentru cei doi copii:
{FF, BF}.
P1=1 2.
(b) Cazuri echiprobabile pentru cei doi copii:
{FF, FB, BF}.
Family paradox
(1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai în vârst este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s e fete?
(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la u³a lor. Unul dintre copii r spunde;
este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s e fete?
(3) Familia Petrescu are doi copii. Cel puµin unul dintre copii este o fat n scut într-o Vineri. Care este probabilitatea ca ambii copii s e fete?
Family paradox
(1) Familia Petrescu are doi copii. Copilul mai în vârst este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s e fete?
(2) Familia Petrescu are doi copii. Batem la u³a lor. Unul dintre copii r spunde;
este o fat . Care este probabilitatea ca ambii copii s e fete?
(3) Familia Petrescu are doi copii. Cel puµin unul dintre copii este o fat n scut într-o Vineri. Care este probabilitatea ca ambii copii s e fete?
Soluµie:
Noua informaµie obµinut ne poate conduce la un proces de selecµie diferit de cel anterior.
P3=13 27 ≈0.48.
Family paradox (reloaded)
Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment este mai probabil:
[1] câte doi de acela³i sex; [2] trei copii de un sex ³i unul de altul?
(presupunem ³anse egale de na³tere a unei fete sau a unui b iat)
Family paradox (reloaded)
Pentru o familie cu 4 copii, care eveniment este mai probabil:
[1] câte doi de acela³i sex; [2] trei copii de un sex ³i unul de altul?
(presupunem ³anse egale de na³tere a unei fete sau a unui b iat) Soluµie:
Spaµiul de selecµie:
{FFFF, FFFB, FFBF, FBFF, BFFF, FFBB, FBFB, BFFB, BBFF, BFBF, FBBF, FBBB, BBFB, BFBB, BBBF, BBBB}
Probabilitatea de a avea câte doi copii de acela³i sex este P1= 6
16=0.375 (= C42
24) Probabilitatea de a avea trei copii de un sex ³i unul de altul este
Birthday problem
Dac într-o clas sunt n=30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puµin unul dintre ei s serbeze ziua de na³tere în aceea³i zi cu tine? (ignor m anii bisecµi).
Birthday problem
Dac într-o clas sunt n=30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puµin unul dintre ei s serbeze ziua de na³tere în aceea³i zi cu tine? (ignor m anii bisecµi).
Soluµie:
Calcul m mai întâi probabilitatea evenimentului contrar, B, ca niciun elev s nu serbeze ziua de na³tere în aceea³i zi cu tine. Trecând la evenimentul complementar, probabilitatea cerut este
P(B) =1−P(B) =1−364 365
30
=0.0790, adic aproximativ o ³ans din 12 (cota 1:11).
Birthday paradox
Dac într-o clas suntn =30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puµin doi dintre ei serbeaz o aceea³i zi de na³tere? (ignor m anii bisecµi).
Birthday paradox
Dac într-o clas suntn =30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puµin doi dintre ei serbeaz o aceea³i zi de na³tere? (ignor m anii bisecµi).
Soluµie:
Calcul m mai întâi probabilitatea evenimentului contrar,A, ca oricare doi elevi s nu serbeze ziua de na³tere în aceea³i zi. Trecând la evenimentul complementar.
Ω ={E = (e1,e2, . . . ,en), ek∈ {1,2, . . . ,365}}, |Ω|=365n A={E ∈Ω, ei 6=ej}, |A|=An365
Obtinem ca:
P(A) =1−P(A) =1− A30365
36523 =1− A30365
36530 =0.7063.
Birthday paradox
Dac într-o clas suntn =30 de elevi, care este probabilitatea ca cel puµin doi dintre ei serbeaz o aceea³i zi de na³tere? (ignor m anii bisecµi).
Joc întrerupt (division paradox)
(Fra Luca Pacioli, 1494) Doi sportivi joac un meci compus din mai multe jocuri.
Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit miza de 1000 RON pus în joc? (Presupunem c sportivii sunt la fel de buni la acest joc)
Joc întrerupt (division paradox)
(Fra Luca Pacioli, 1494) Doi sportivi joac un meci compus din mai multe jocuri.
Meciul este câ³tigat de cel care ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate. Din anumite motive, meciul se întrerupe la scorul de 5 : 3. Cum trebuie împ rµit miza de 1000 RON pus în joc? (Presupunem c sportivii sunt la fel de buni la acest joc) Soluµie:
Miza ar trebui s e împ rµit proporµional cu ³ansele ec rui sportiv de a ajunge primul la 6 jocuri câ³tigate.
Meciul ar mai putut continua cu maximum 3 jocuri.
Exist 8 rezultate teoretice (unele superue) pentru cele 3 jocuri r mase.
Convenµie:1/0−succes/insuccespentru primul juc tor.
Spaµiul de selecµie asociat:
{111, 110, 101, 011, 100, 010, 001, 000}
Probabilitatea ca primul sportiv s câ³tige este 78.
Miza ar trebui împ rµit astfel în raport de 7:1, i.e. 875 RON:125 RON.
Paradoxul po³ta³ului
Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform)nscrisori pentrunpersoane.
Probabilitatea ca prima scrisoare s mearg la persoana potrivit este 1 n. Probabilitatea evenimentului contrar este 1−1
n. Probabilitatea ca nicio persoan s nu primeasc plicul potrivit este
P= 1−1
n n
(≈ 1
e pentrun1). Dac n=2, avem doar doi destinatari (A³iB). Atunci avem doar dou cazuri posibile: (A,B)sau(B,A), adic 50%³anse s gre³easc . Totu³i, pentrun=2 în formul , avemP=0.25, adic 25%³anse.
Ce se întâmpl , doctore?
Paradoxul po³ta³ului
Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform)nscrisori pentrunpersoane.
Probabilitatea ca prima scrisoare s mearg la persoana potrivit este 1 n.
Probabilitatea evenimentului contrar este 1−1
n. Probabilitatea ca nicio persoan s nu primeasc plicul potrivit este
P= 1−1
n n
(≈ 1
e pentrun1). Dac n=2, avem doar doi destinatari (A³iB). Atunci avem doar dou cazuri posibile: (A,B)sau(B,A), adic 50%³anse s gre³easc . Totu³i, pentrun=2 în formul , avemP=0.25, adic 25%³anse.
Ce se întâmpl , doctore?
Paradoxul po³ta³ului
Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform)nscrisori pentrunpersoane.
Probabilitatea ca prima scrisoare s mearg la persoana potrivit este 1 n. Probabilitatea evenimentului contrar este 1−1
n. Probabilitatea ca nicio persoan s nu primeasc plicul potrivit este
P= 1−1
n n
(≈ 1
e pentrun1).
Dac n=2, avem doar doi destinatari (A³iB). Atunci avem doar dou cazuri posibile: (A,B)sau(B,A), adic 50%³anse s gre³easc . Totu³i, pentrun=2 în formul , avemP=0.25, adic 25%³anse.
Ce se întâmpl , doctore?
Paradoxul po³ta³ului
Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform)nscrisori pentrunpersoane.
Probabilitatea ca prima scrisoare s mearg la persoana potrivit este 1 n. Probabilitatea evenimentului contrar este 1−1
n. Probabilitatea ca nicio persoan s nu primeasc plicul potrivit este
P= 1−1
n n
(≈ 1
e pentrun1).
Dac n=2, avem doar doi destinatari (A³iB). Atunci avem doar dou cazuri posibile: (A,B)sau(B,A), adic 50%³anse s gre³easc .
Totu³i, pentrun=2 în formul , avemP=0.25, adic 25%³anse. Ce se întâmpl , doctore?
Paradoxul po³ta³ului
Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform)nscrisori pentrunpersoane.
Probabilitatea ca prima scrisoare s mearg la persoana potrivit este 1 n. Probabilitatea evenimentului contrar este 1−1
n. Probabilitatea ca nicio persoan s nu primeasc plicul potrivit este
P= 1−1
n n
(≈ 1
e pentrun1).
Dac n=2, avem doar doi destinatari (A³iB). Atunci avem doar dou cazuri posibile: (A,B)sau(B,A), adic 50%³anse s gre³easc . Totu³i, pentrun=2 în formul , avemP=0.25, adic 25%³anse.
Ce se întâmpl , doctore?
Paradoxul po³ta³ului
Un po³ta³ distribuie la întâmplare (uniform)nscrisori pentrunpersoane.
Probabilitatea ca prima scrisoare s mearg la persoana potrivit este 1 n. Probabilitatea evenimentului contrar este 1−1
n. Probabilitatea ca nicio persoan s nu primeasc plicul potrivit este
P= 1−1
n n
(≈ 1
e pentrun1).
Dac n=2, avem doar doi destinatari (A³iB). Atunci avem doar dou cazuri posibile: (A,B)sau(B,A), adic 50%³anse s gre³easc . Totu³i, pentrun=2 în formul , avemP=0.25, adic 25%³anse.
Ce se întâmpl , doctore?
De fapt, probabilitatea exact este:
P= !n n! =
n
X
k=0
(−1)k
k! (≈1
e pentrun1).
Paradoxul independenµei
EvenimenteleA³iB sunt independente d.n.d. P(A∩B) =P(A)·P(B).
Se arunc dou monede corecte. Consider m evenimentele:
A−faµa ce apare la prima moned este stema;
B−faµa ce apare la a doua moned este stema;
C−doar la o moned din cele dou a ap rut faµa cu stema.
Se observ c oricare dou dintre evenimenteleA,B ³iC sunt independente:
P(A∩C) =P(A)·P(C) = 1
4; P(B∩C) =P(B)·P(C) = 1 4 P(A∩B) =P(A)·P(B) =1
4
Totodat , oricare dou dintre ele determina în mod unic pe al treilea.
Sunt sau nu suntA,B,C independente???
Paradoxul independenµei
EvenimenteleA³iB sunt independente d.n.d. P(A∩B) =P(A)·P(B). Se arunc dou monede corecte. Consider m evenimentele:
A−faµa ce apare la prima moned este stema;
B−faµa ce apare la a doua moned este stema;
C−doar la o moned din cele dou a ap rut faµa cu stema.
Se observ c oricare dou dintre evenimenteleA,B ³iC sunt independente:
P(A∩C) =P(A)·P(C) = 1
4; P(B∩C) =P(B)·P(C) = 1 4 P(A∩B) =P(A)·P(B) =1
4
Totodat , oricare dou dintre ele determina în mod unic pe al treilea.
Sunt sau nu suntA,B,C independente???
Morala: Independenµa dou câte dou a evenimentelor nu implic independenµa în ansamblu. Într-adev r, 0=P(A∩B∩C)6=P(A)·P(B)·P(C) = 18.