(1)214 srLVrA ToADER 4 monstfated the properties : l) if G, is a Hamiltonian graph with q vertices., G, is a connected graph wit]I- þ vertices and

214

^srLVrA

ToADER

4 monstfated

the

properties

: l) if

^G,

^is

^a

Hamiltonian

graph

with

q vertices., G, is a connected graph wit]I-

þ

^{vertices and. the connected degree is}

at

most

q'+

7,

then the

^graph

G, lGrl is

Hamiltonian'

2)

¹¹ GL and

G,

are

Hamiltonian

graphs,

then GtlG"] is

Hamiltonian connected.

REVIST',A

ÐE

ANAr,rzÃ.

NUMERTq+_il

^TEORTa

-aFROX{iuaTIEI

Volumul

i,îutoioora 2' ^1972' pp' 216-228

BIBT{IOGRA.I.IÞ

[1]

Harary,

F., On the grouþ of the aornþosition of tøo grøþks. Duke Math'

J''

^{2ß' 29-34}

(1e59).

l2l

^{Ore, O., Hømilton} conneated, grøþhs. J. ^{de Math. Putes et} Appliquées, 42, 1,27-27

(1e63).

[3]IIarar.y, F., Gotdon W.'wilco]e, Booleanoþerationsongràphs. Math.scanili- navica, 20, 1, 4l-51 ^(1567).

[4] Berge, C., Tkéovie des graþhes et ^ses øþþl,ications. Durnod, Patis (1958)'

ASUPRA UNEI ^PROBLTMD DE ^PROGRAMARË

NEr,rNrÀnà FRACTTONARÃ

de

çîEFAN ^TIGAN

(cluj)

P¡imit la 18. II. 1972

Academda, Reþublici'i Sooialiste ^Roncâ,n'ia Fi'liølø d,i,n Ctruj

Institutul' d,e calaul

1.

Introducere

Fie S o

mullime à

fqnctionale reale d.efinite ^pe

S cu

proPrietatea

cä ^{e X e}

^S'

Vom

^considera

ur

(1.1) min{z(x)lXes}'

unde

z(x):t'#,

oo+ I

^o¡r¡

z(x) : --+-'

bo

I

_.Zrbi

ri

^.

bi>0, (i:7,2, ""'n)

^çi

S

: _{{X lX} e {0, l}"' ^H¡(X) {d¡' i : l' ^2' _" "'

unde f/, ⁽ⁱ : l, ^2, " "' ^m)

^slnl

^funclii

pseúdobooleene'

mj,

216 9TEFAN TIGAN

De

asemenea, rezorvarea

unei

probleme

de

programare fractionará cu variabile _reale (vezi

ftl, t4l, tÐ,iare

^{constä io^}

-1oiñir;";iä""r#i

.i ^ori¿rao

Í(x):

Z b¡4{b,

în condifiile:

^ò-t

AX<C x )"0'

å"5ó,,":1::#Í:ï: ii#liï"i#î#'^q'i, ^x : (x,, . ^{., n,) €}

^R',

Ðr,

^x,

I ^bo)

^0,

ppjimalä

a.problemei

(l.I)

se poate

t de solulii pentru un ntímär'fiãii

u.^ d?.o metodä pentru solufionarea tracf,ionarä.

2.

Proeedeu pentru problema

(l;l)

d" ,yålr;"":nJa ^mai intii o

teoremä

din care

rezaltá"

imediat

proced.eul TÐoRJgn{a

l. Fie X, e.S.

' _(Ð

_Penirw

_un

_el,ernent

_{X e}

S,

øre loc urmd.toøreø inegølitate

(2.1) g(x, X') : Zr(X).zr(X') - zlx,)7z.(X) <

^0,

døcd gí,

numai

dacd.

(2,2) _zg) < z(x,).

3 ^{ASUPRA UNEI PRoBLEME DE} PRoGRAMARE NÉLINIARÀ, FRACTIoNARÃ 2I7

(ii)

Aoern egalitøtea

(2.3) min {g(X,X')lX e

^S}

:

0, døcã.

çi ^numøi

^d.øcä

(2.4) z(X'): min {z(x) lx ^{e s}.}

, lntr-adevär, (i)

yeryúlþ.din-faptul

cä relafia

(2.2) se

obline din

(2.1) dacä se

fine

^{seamä cá"}

^Zr(X) 2

^0.

Acum dacä este adeväratä egalitatea (2.3), atunci are loc inegalitatea:

(2.5) _e(X, X')

>- 0

pentru orice

X €

^S.

^{Dar din}

^{(2.5) se} obtine imediat cä:

z(x)

_{>_}

z(x'), ,

pentru orice X e S, inegalitate care

este echivalentä

cu formula

^(2.4).

Se

poate aráta de

asemenea

färä dificultate cä relalia (2.4) implicä

(2.3).

Prin urmare (ii)

are loc.

Pornind de

la

teorema de mai sus, 1n ipoteza cá multimea S este

finitä çi

^{nevidä, se} poate da pentru problema (1.1) urmätorul procedeu d.e rezol- vafe.

.l ì.,

1o. Se determinä

o

solutie initialä"

X, e

^S.

Presupunem cä s-a ajuns

la

o

iteralie

Þ, avlnd. un gir

Xr,

. . , .

,, Xo

de elemente

din S, cu proprietatea

cá,

z(xr)>Z(x,) >...

2o, Dacá. are

loc

egalitatea:

(2.6) _{min {g(X,}

^Xo)

_lX €

^S}

:

0,

atunci Xo

este

solulie optimalä pentru

problema

(1.1) gi algoritmul

se opreçte.

în

caz

contrar

se continuä 7a 3",

3o.

Se determinä Xpar Q

S,

astfel

lncit:

(2.7) ^g(Xea, Xr) 10,

gi se revine

la 2", cu

X¿.,.1

ln

1ocul

hti Xr.

2IB

Prin proced.eul descris se

...,

Xo,

.,... astfel încît:

obline un çir ^{d.e elemente} distincte

Xr, Xr,

. . .

STEFAN TIGAN _,5 ASUPRA UNEI PROBLEME DE.PROGRAMARE NELINIARÃ FRACTIONARÃ 2Tg

X*aS _çi Z(Xu) >Z(Xo+t), k:1,2, ...

Deoarece

s

conline

un

numär

finit-de

elemente,

çirul (x¿)

conduce la

o

solulie

optimalä,

care _este

ultimul

element

at çiiuGi.

^"

O b s e

r v

a

tia-,.|. 1n

proc.edeul exptgl..se

poate lua,

d.e exemplu,

orice funclie g(*, *,f,- .uu-;;;t.f;;;

"oäãifil",

{-:--

^-*'

(i), _e(X, X') <

^0. dacä

çi ^numai

^d,acä,

Z(X) < ^Z(X,)(X, {, ^e

^S),

(iÐ g(X', X') : 0, pentru

orice

X, e

^S.

_,,,

Fj1:1:itatea-,

procede _de

_alegerea

_funcliei

_g(X,

x')

^precum

_çi.de eficac

d.eterminar"" orrËi-.o'nìrii

pentru inecualia (2.7) s

"o"aigi"i

^12.ó1.

---

3. a¡Iiealie în

eazul

unei

probleme _de

atribuire

neliniarä Partictilanzînd. proced.eul

.prezent

at în paragraftl 2, in

acest _þarasraf.

se,yq

d.a

o

metodä

þentru

sol-ulionare^ .otàetoãtài

prãkáLã-¡i" ;trtbäï;

nellilafa.

Sä se minimizeze

funclia:

(3.1ì z(x):r,'Y":f!2

t¡'¡lew*t¡{bii

x¿i}

^I

se va nota prin s

^mullimea.

soluliilor

admisibile

pentru

problema (3.1), (3.2).

:

.

O:solulie optimalä pentru problema (3.1), (3-2) este.o.solufi^e admisi-

bilä pentru

carê funcgi

i ^ZlX¡

^{19i atinge}

minimul pe mulllmea

^S.

Asupra problemei (3.1), (3.2)

mai

facem ipoteza cä:

{büx¿j}

>

⁰

(3.3) unde

þentru orice X:

lX¡¡1

AS' ^{De exemplu,}

^d-acä

^{b¡¡70, pentru}

^orice

i¿,

j) _eIü x N,

^condigiá

^{de mai}

^sus este satisfäcutä.

problema (3.1), (3.2) este evident,

Ín

^caz particalar.al problemei (1.1),

în

care spre d.dosebiie cÍe exemplele d.in

paragraful

1, funcfiile i

Zr(X):

^max {øn¡X¿¡l Q,

i) eN x

^M}

çi

Zr(X):

^max {bu¡Xr¡l @,

i) eiv ^{x ¡f}}

slnt

neliniare.

Mentionäm d.e asemenea, cä problema (3.1), (3.2) este

o

generalizare

a

^problemei

de atribuire

_,,1n

timp",

care constä

în

minimizarea

functiei:

Í'' ^t')

în concliliile (3,2), problemä stuttiatä

în _[2] (lq" [6] intl-o

^{formä echivalen-}

tä).

Astfel

dii

^{(3.1) se}

^obline

^(3.1')

^{dacl în}

^(3.1)-se

^ia

^b¡¡

:1 pentru

orice

(i, _{' '} j) e.lÍ x _"FG ^N.

acam

X'un

^{element dat d.in} S. ^Ca mai înainte, vom

nota

prin g(X,

X') finclia:

g(X, X') :

ZL(X)

Zr(X') - Zt(X') Z,(X) : - ^{7 tY') max}

^{n,¡Xn¡}

- ^Zr(X')

^{rr;:ax {b¡¡Xa),}

- Lz\z

(¿r€NxN ^{(t,i)€Nx¡v}

sau

s(x, x'):*,,Ëiî"

{øo¡(x') xoi}

-u,H;Í^*{bø(x') xø}'

ø¡¡(X')

-

^ø¡j

^{.2,(X') ((i, i) e N x}

^N)

bn¡(X'):b¿¡'(Zr')

^((¿,

i) eN ^x

^N).

max

(¿, J')€lVxN

în

-condiliile:

{3.2)

fl

DX, :

i:l

I jeN

: r

fr

'Ðx¿j:l'

ieM

X¿i

:0 sau

1,

numere reale nenegativè date,

N :

atrice pätraticä de dimensirlre ?t,.

e

pätraticä de ord.in n,

X :

lX¿;1,

a

(3.1),

(3.2)

dacá elementele

ia¡

220 $TEFAN TIGAN

1, dacä

i:J,

0,

dacä ^.i

# j,

_"rrlitÍi*" ^{Pentru un}

^element

^x,

^fixat

, la¡¡(x,)l çi lb¿¡(x,)l vor fi

Algoritmur þentru problenra de

atribuire

(B.I), (B.oì, care va

fi

prezen_

i#"å;?:::ä:ii? a'^ä"ie-t";'t""ipil

_schema

í'òd,í¿"r,i

^expus

^-in

sec-

1o.

Se

determinä o-solutie

-inifialä X, pentru

problema

(S.l),

(g.2).

De

exemptu,

matrice" x-:-[Ì¡ilää

7 _^SUPRA ^{UNEI PROBLEME DE} PROGRAMARE NELINIARÄ FRACTIONARÃ _22L

iar mullimile D

gi

D'

se definesc

prin

formulele:

(3.5) D' :

_{(¿,

^j)

^.ø¿¡(Xr)

_<b},

(3.6) þ't:NxN-(Dl)D'),

{3.7)

^b

:

min _{{b,¡(Xo) I U,,}

j) €

^D}.

4o. Fie

V(D) : min

_{{C(X :}

D)lX € ^s}.

(i) Dacä V(D) < 0, atunci o solulie optimalá Xp¡lpentru

^problema

P(D), verificä condilia

(2.7)

cu g(X, X') dat de formulã

(3.3).

-în

acest

caz, algoritmul

se

reia

d.e 7a

2" ctt

Xe¡1

în locul lui

Xo.

(ii)

Dacä

V(D)>- 0,

algoritmul se continuä

la

2o, 1uînd

ln

1ocu1 mul- limä D mu1limea

D -

^{(i, j)lbn¡(X,)

:

ó} unde ó se ob}ine prin formula (3.7).

O.bs e

rv aþta 2.L^

etapa 1o, o solulie

inilialä X,

^{se poate} obline rezolvind problema d.e

atribuire,,în timp" _{(vezi [1]} sau[6])-urmätoare:

min

_{max {ø¡¡X¿¡l(i,

j) _{a N x ¡ûlX €}

S}.

De asemenear.se poate

lua

ca

solulie inilialä, o solulie

ad.misibilä

X,

care

verificä

condilia ^:

Z r(x r)

:,nrftï**

.,r{uo.}

.

Observaþia 3. Un

a1t mod.

de

realizare

a

etapelor

3o gi 4"

ale

algoritmului

precedent poate

fi

urmätoru1:

2'a)

Dacá,

D : Ø, atunci

Xo este

solulie optimalä pentru

problema (3.1), (3.2)

9i algoritmul

se opregte.

b)

Dacá

D

=t-

Ø, atunci se

determinä o solulie optimalä

pentru

urmä- toarea problemä

liniarä de atribuire:

P(D) :min _{õ(X

_;

D)

_I

X € ^s},

unde

^e

6; D):,Ð l,

^{er,¡(D) . xo,,}

6

Y;!:

este o solufie admisibilä çi ^poate

fi luatå

ca

solulie

iniJialá,.

sä presuounem cä dupä

k.itera!ü

am

obtinut un çir

^de

solulii

admisi- biTe

Xr,' Xr,

) .

., Xo cu

p^ropriet

^irü-

"^,

z(x) _> z(x,) > ^...

2o. _Se

ia D -

^{Do, unde}

Dh

: _{(i,

i)ln,¡(Xo)

- ^{qj(XþI <}

^0}.

gi

se trece

la

etapa urmätoare.

I I

I i

I I l

l I I

.","rt;"¿nli:rr,r= ^{Ø (Ø} reprezinti _multimea vidä),

at_unci

xo este

o

,",;';'ä,"d;:äTJå::tf#,'::ï,Si)'J?ilrulf *,:'*U"r;t:;ftr*""

P(D):

min _{{C(X ;}

D)lx € ^s},

unde

c

(x

_;

D) :,Ð,.àtu

_(D)

_x,¡,

IUI çi

L slnt

numere reale pozitive _astfel încît :

(3'4) _{L <}

_ntvr, ^Ç,¡(D)

^:

- M,

^{dacä (i,}

j) eD 0,

^{d.acâ (i,}

j) _e D'

L,

^{d,acá. (i,}

j) _e I)",

$ - ^{Revista de} analizä numericá ti ^teoria aproximaliei, vol' 1, fasc. 2' 19?2,

I

222 $rEFAN,rrcAN

_g

ll[

_çi

L

sînt numere-reale pozitive, _care verificä condilia (8.4),

iarmulfimile

Ð,

D' _çi D"

se d.efinesc

* r;ot*oiìrmätoareror

_formure:

D: _{(i, j) eDolbij(Xh):6},

(3.51 _D' :

_{(i,

j)

_{I øo¡(X)}

<

^6},

(3.61 _D" : (t,l x r/ - ^{(Ð U Ð),}

(3.7.)

₆

:

ftrax _{{bo¡(Xo) I (i,}

j) _e

D}.

o,

õt ¡1e

V(D):min{ö(X;D) lxes}

(i) Dacä 7Ø\.<.0, _{atunci o} soluliercptimalä

_X¿a1

pentru

_problema

,i?J¿.'ï í"i"ft,;b'a+i" s(&;,: xri¿î. si'..1;;:"'ìf:åp" 2 ca

^xo*1

,,,rr/*,,:}i^r!"Í?^=o¡!h.'

algoritmul _se continuä

la

3o tuînd 1n tocut

."

"Jlt:lrSaca

7(Q ) ^{0, atunci} xo este solulie optimalä çi

^algoritmul

,""rfri"{iÏ:::r;å':"&1^"n."u ^{vor da o} justificare pentru algorirmii

_pre-

IEoR_EMA

2. Fie

Xn

a S ;i fie ^D C lrl x t/,

østfel _ôncît:

(3.8) _D

Ç

^Dn,

(3.9) _D

=t ^Ø,

[3:]fi1

bo¡(xn) >-

b çi

^(i,

i) ^e

Do imþt'icä _þ,

i) ^{e D (b}

este d,øt de formwta

çc

dÍ'iT;' fri'i-ä:,io¡;.1.!!f'l

^{este sohttic}

^oþti,r

^{td þentru þrobternø}

^p(D) (8.11)

_C(Xo+,;

_D) (

^0,

ASUPRA UNEI PROBLEME DE PROGRAMARE NELINIARÃ FRACTIONARÃ 223

Detnonstrølie.

lntr-adevâr, dacä inegalitatea ^(3.11) are 1oc

atunci avem:

(3.12) Q(Xe¡t)cDUD"

unde

pentru

orice

X e ^S

se noteazä

prin _Q(X)

mulfimea:

{(¿,

i)

I U,

i) ^{e N x ly',}

^X¿i

:

7}.

presupunem

cä àÍ ^exista url element

(þ, q)

a

_Q(X¿+r),

^lncît D". Attnci

avem ^:

C(Xo+r;

D) :¿ _{+ D L,} C"(q x!¡*' i+þ

i*q

.t€lv i€N

çi pentru

^cä.:

Ð

,_D*co¡(D)

xlf'>- -(n -

^t)

^M,

ieN ^jeN

reztltâ cât

C(Xeati

D) > ^L -

⁽ⁿ

- ^{l) M >}

^0,

inegalitate care

contrazice (3.11).

Deci

(3.12)

are

1oc'

Avem,

de asemenea, tttmâtoarea

relalie:

Q(Xo+r) (1

D :l

Ø'

pentru cä, în caz contrar, din

(3.72)

ar

teu:Jt'a

câ

C(Xo*r

i ^D) :

0'

Existä, prin

^urmare,

un

^{element (ú, s)}

e Ç(X¡*t) încît:

(3.13) ^bu(Xn):

^rnâX

{b,¡(X)

| (i,

i) ^{aQ(Xo+t) n D}'}

Acum din

(3.13), (3.7)

çi

^(3.8)

rezultä cä

inegalitatea:

(3.14)

b"(Xo)

2

^ø¿¡(Xn),

are 1oc

pentru orice

^(i,

j) _eQ(Xo+t).

Dar din

(3.13)

çi

^{(3.14) se}

^obline

^cä:

(3.15)

:max {b¡¡(Xu) I ^U,

ù ^aQ(Xo+t)} :

b,,(Xh)

>

>

^max {on¡(Xo) I Q,

il ^eq(X¡a)}, I

ùa (þ, q)

e

øaeln

13.11) g(Xn+t;

XJ <

⁰

224

çi ^{pentru cä:}

t1

a,aetfl,:

$TEFAN, TIGAN

rezartá'

din

(3,15)

cä

inegaritatea

(8.r1')

este lndeplinitä,

TE.REMÂ

3' Fi2 x- sp-

^g¿.J¿!. G.fam'i\iø twtwror swbrnur,!:ïmilor

D

d,in

¡,¡ x N,

cøre uerificA

co'ndi¡üte'1áS¡_1á.tOl.

^{---- "}

Dacd. þentrw orice

D e

^{G are Loc} ineqalitateø

V(D)

_2> 0, atunci g(X, Xn)>,_

>- 0, þentru ^orice

X q

S.

Dernonstrati¿. _Sä.: presupunem

cä existä un

element

Xo e S

astfel

lncît g(Xo,

Xo)'

a

O.

ntr"id-

"i"*i-"¿

(3.16)

max _{ø¿¡(xo) I u,

n ^{e g(x,)}} (

max {ba6o) I þ,

i) ^eQ(x,)}.

Fie

acum

(3.17) D : _P"

=

^{(i,

j) _e

Dolb,¡(Xo)

>

^max {br¡(Xo) I Q,

j) _aQ(Xr)}}.

Evident

multimea

Do

este nevidä

çi

^vrcrificä

condiliile

(3.g)

9i

^(g.I0).

Atunci din

(3.5),'

(a.to)-çi é r?f;;;î:å'"å-i:'*'

^Lvuurrr,,t

' ^v(Dg) ( c(xo,

Do)

<

^0,

inegalitate _care contrazice _ipotéza

fäcutä in

teoremä cät

v(D) ) ⁰

^pentru

orice

D e

^G.

. Prin urmare _{4r) > 0,}

_aJe

loc pentru

orice

X e

^S.

. ^În

^legäturä

c *;*íyJlølä;_;ìs"-ttäu1ui _sint

_adevä-

rate urmätoarele _are

_{srnr .srmrlare}

"u teorem"l" t

çi. ã.

2'.

F.ie

L^=l

^çi.

^fie

^{D_Ç ¡,¡}

^{x N,}

^{østfel ôncît}

^D

^aerificd

iî ¡,(,tf),ì'é3¡!rl') ^ø'(x

^{) '-<}

ó'l'

_{d' ù-}

e r;;î*ii;;; 6";i'ä";

Atunci,

d,øcö.

Xe¡r

este

o

solutie oþtímøtd. þentru þrobl,emø

p(D) çi

^are loc inegalitøteø:

max {b¿¡(Xo)l\,

il ^e Ç(xo+J} =

^{max {b,¡(Xo)}

^Xh*,

^{I U,}

ù ^{etr x tr}}

max {ø¡¡(Xo) I ç',

i) ^{e g(Xo+il}} :

max _{ør¡(Xo)

x!¡*'

_{I U,}

ù ^{e¡r x ¡r}}

C(xo*r; D) 10,

þeÌúru ^orice

X eS.

Demonstrølie.

Mai întii vom

atâta

cä din ^condilia (i) r¡zultä

^cä

';'''' . i i

pentru

orice

D e ^G

^astfel

lncit DìC

^Do'

Sä presuprrnem cä existä un

"1çq9+t Dt

'a

^{G cu} proprieúatea ^{cá" DL}

Ç

^{D o}

çi astfel

încît z(DI) äö:iiää;;ì x';;"lJment

^dÏn

^s

cu proprùetâtea cä:

7\a\ ^{¿ Ç(f}

ì ^i,DL\':

l [, ^{ASUPRA UNEI PRoBLEMB DE} PROGRAMÄRE, NBIJM FR'A'CTIONARÃ 225

N

bmøl'fí,mi'l'or

D din

existã,

un

^ele,memt

Do

(Ð V(Oo 0

(iÐ D

€

Ë çi ^{Do ,C} D örnþ'Ii,oã"

v\D\

^{'0, atunòi}

g(x,

xu)

2

^o

,

.D,ut'deoarece:

i 'i , ,: i ' , r ⁱ

rezultá" aã

" ^':

' Î g'(X";'.X)'{ 0i

_,.1,''

ì!

Dar atufci

aVern urmätoarea inegalitate:

(3.18)

^,^x' ^1øo¡(x)

l,þ,'i) € 0(X")Ì < max tbü(X)

^|

Q'j) e'Q(X"))'

Fie (3.1e) 10

.'i ^, )

inegalitate ce contrazice

(i)' '

^{t )'}

Q ,pentru ^otice

-D

e õ, P'Ç ^Dõ

^çi

(ü)-rezulta

^cä, _.V(P^)

>-'

^G'

*u.'"'"äiir""itdllf

^è1

^lnclt

^are

g(Xo*o,,X

) <

^0.

nemonstrafia

teoremei

2'

este asemänätoare

cu

cea

a

teoremei 2.

D' = ^{lþ,i.) a}

Polbn¡(xu)

(

^max _{b'¡(xo) I Q'

h aQ(x")}\

226

^,,:(

,

^{,, ,:}

ì

;,',.

.

^,,,r

_;ibíiñ,

_tiô.Íñ..

_I l rr

r,

j: i :; í:,

12

ur" üå1,Ti*råir3';iÌÏ$. a4i¡¡s¡,(es),ei (s.ioJ. i\tünci,

'r 'r"

v(D\ < ^c(x,,

;

D\ 1

^0t,

l 'ri 'ì: '

_"''

-:ri

^.'. '

iì

''|''

inegalitate ce

contraz.icg.Jenlur,gi

Í@)_>^0,,pentru *".e

" ^å ".,,

Prin _urmare, inegaìit"i"" gçÈ'j'ìj

=-0 ^{are loc} pentruorice x _ê s.

,

^,,

ii .. :1

;, jìi

.1

" ; ^iif;

^',

SUR UN pnogr,Èlt{E

ⁱ

.l lr 'r.ir \ ¡ ^.

, ^:r ,'l- rìír,¿ir:tr{ ¹

NON-LI}[ÉAIRE

.i,i: i lÌ:'

',i:r ..:::'.

i,

:'i..

lrli :.i t.r

l.

#

ry$..

a:.

;r N.

I

",', :'. l

rif'::

¡,!:.

'l:'- ,1,,

'Dahs;

ce,

tra¿ail

,

Déterminer' '

(PJ

^t"{',#ilx ^e,s},

éelles définieb ,sur.uh, _{ensèmble Sr et} 11¡i,{\s¡ipìiíseàte

un

procédé

pour

Ia algorithme

pour

þ

Ia

résolutionifdlun ctionnaire.

:'it

_)'1

[1] Q,þ e,r

i Bf'3L'IOcRAFTE.:

lte _fjti

w,ilh

[2] Duc 1-1

[3]

Fl orian,

M., ,8,

ob^t-;

R illar t4l ¹⁴

unteanu, 8.,

^{RIRO, No} F..V

- l,

_Rado,

^3-9

møi, econotnice

fontä.. $tludri _ç1 de ',(Cluj), laci.rþtoarele de toþit (1s60).

arup,

I(.,

(te65).

XI, fascicola anexä, I49-lSB [5] Sw L,in¿ar Fr'actioøal ,Fr,lhcqt97tq.k Programmiug. Opns. Res,, lg, 1029,_ f086

t6t

Ti

[7]

Di f Ëåi.ft"fí'^w.!iåiíTí¿i,,f{líî,f1,íi,;Hîi,",",-iî::_\,}":tl,ll

_Q1),1, 163-166_(re6e).

492-498'héoZl.'

''o9lammzngi I Mar'ag, Sc.,' Vði; aá¡

P¡imit ta 15, IV. !g72,

i

ì

^, ),,

Acødemia

_i, Socialisfe Româniøi , , ^,.

r .r

d,ín Clu'j

'

^'de

cølaul "i

{