Modele stochastice ˆın evaluarea derivatelor financiare
de
Eduard-Paul Rotenstein
Ia¸si, 2017
”There are many paths, but only one journey.”
Naomi Judd
Cuprins
Introducere 1
1 Probabilit˘at¸i ¸si procese stochastice 1
1.1 Variabile aleatoare; caracteristici numerice ¸si funct¸ionale . . . 1
1.2 Media condit¸ionat˘a . . . 4
1.3 Procese stochastice; martingale . . . 8
1.4 Mi¸scarea Brownian˘a . . . 12
1.5 Integrala stochastic˘a . . . 14
1.6 Ecuat¸ii diferent¸iale stochastice ¸si formula lui Itˆo . . . 19
1.6.1 Mi¸scarea Brownian˘a geometric˘a. . . 20
1.6.2 Formula lui Itˆo . . . 21
2 Scurt˘a descriere a piet¸elor financiare 25 3 Opt¸iuni de vˆanzare ¸si cump˘arare ˆın piet¸e financiare la vedere (spot) 30 3.1 Machet˘a de piat¸˘a financiar˘a . . . 30
3.2 M˘asuri martingale ˆın piet¸ele spot . . . 32
3.3 Absent¸a arbitrajului ˆın piat¸a financiar˘a . . . 33
3.4 Machet˘a de piat¸˘a pentru opt¸iuni americane . . . 36
3.5 Inegalit˘at¸i generale ˆın absent¸a arbitrajului . . . 38
4 Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein (CRR) 42 4.1 Construct¸ia modelului . . . 42
4.2 Evaluarea pret¸ului opt¸iunilor europene . . . 44
4.3 Proprietatea martingal˘a a modelului CRR . . . 46
4.4 Opt¸iuni americane ˆın modelul CRR. . . 49
4.4.1 Timpi de oprire; ˆınf˘a¸sur˘atoarea Snell a proceselor stochastice . . . 49
4.4.2 Modelul financiar. . . 52 ii
5 Modelul Black-Scholes 53
5.1 Comportamentul asimptotic al modelului Cox-Ross-Rubinstein . . . 53
5.2 Modelul continuu Black-Scholes . . . 56
5.3 Strategii de schimb autofinant¸ante; m˘asuri martingale pentru o piat¸˘a spot . . . 57
5.4 Formula Black-Scholes de evaluare a pret¸ului ˆın timp continuu . . . 59
5.5 EDP Black Scholes . . . 64
5.6 Indici de senzitivitate ai modelului Black-Scholes . . . 66
6 Piet¸e de instrumente financiare cu venit fix 72 6.1 Obligat¸iuni financiare cu venit fix, nepurt˘atoare de dividende. Modelul matematic 72 6.2 Determinarea pret¸ului obligat¸iunilor ¸si m˘asuri martingale . . . 77
6.2.1 Modele de dobˆanzi pe termen scurt (short-term rate models) . . . 77
6.2.2 Clasa modelelor Heath-Jarrow-Morton . . . 79
6.2.3 M˘asuri martingale forward de risc neutru . . . 82
6.3 Determinarea pret¸ului ¸si acoperirea la risc pentru derivate financiare cu active suport obligat¸iuni. . . 83
6.3.1 Contracte Swaps . . . 85
7 Analiza riscului ˆın piet¸ele financiare 87 7.1 Procese Markov . . . 87
7.2 Descrierea intuitiv˘a a riscului ¸si a not¸iunilor auxiliare . . . 88
7.3 Procesul num˘arului solicit˘arilor de desp˘agubire – Modelarea matematic˘a . . . . 89
7.4 Intervalul ˆıntre aparit¸ii ale solicit˘arilor de desp˘agubire . . . 93 7.5 Procesul omogen al num˘arului de solicit˘ari de desp˘agubire; timpul operat¸ional. 96
Bibliografie 99
Capitolul 1
Probabilit˘ at¸i ¸si procese stochastice
Pentru ˆınt¸elegerea not¸iunilor ¸si a rezultatelor cuprinse ˆın cadrul acestui capitol este necesar˘a parcurgerea ˆın prealabil a unui curs introductiv de Teoria probabilit˘at¸ilor. Cu toate acestea voi rezuma informat¸iile prezentate ˆın aceasta parte doar la strictul necesar dezvolt˘arii teoriilor
¸si a modelelor ulterioare.
1.1 Variabile aleatoare; caracteristici numerice ¸ si funct ¸ionale
Fie Ω un spat¸iu arbitrar, ale c˘arui elemente le vom nota cuω. O submult¸ime a lui Ω o vom numi ˆın cele ce urmeaz˘a eveniment. Ment¸ion˘am c˘a, ˆın cele mai multe cazuri, structura lui Ω nu este important˘a. Totu¸si, ˆın situat¸ia ˆın care se dore¸ste construirea unei variabile aleatoare avˆand o lege dat˘a, este important˘a cuno¸sterea structurii spat¸iului Ω al evenimentelor elementare.
Definit¸ia 1.1. O σ-algebr˘a F pe Ω (sau σ-corp) este o familie de p˘art¸i ale lui Ω, ce cont¸ine mult¸imea vid˘a, este stabil˘a prin trecerea la complementar˘a, la reuniuni num˘arabile
¸si la intersect¸ii num˘arabile. Mai precis, F ⊂ P(Ω) este oσ-algebr˘a pe Ω dac˘a
• ∅ ∈ F;
• ∀A∈ F ⇒Ac∈ F;
• ∀{Ai}i=1,2,..⊂ F ⇒
∞
[
i=1
Ai ∈ F.
Un spat¸iu m˘asurabil este un spat¸iu ˆınzestrat cu oσ-algebr˘a.
Definit¸ia 1.2. Cea mai mic˘aσ-algebr˘a ce cont¸ine o familie de mult¸imi este intersect¸ia tuturor σ-algebrelor ce cont¸in aceast˘a familie. σ-algebra generat˘a de o familie de mult¸imi A este cea mai mic˘a σ-algebr˘a ce cont¸ine aceast˘a familie ¸si o vom nota cuσ(A). Ea concide cu intersect¸ia tuturor σ-algebrelor ce cont¸in mult¸imea A:
σ(A) := \
¯
σ:σ−ag.,A⊂¯σ
¯ σ.
Exemplul 1.1. Un exemplu important de σ-algebr˘a generat˘a de o familie de mult¸imi este σ-algebra Borel pe R, notat˘a BR:
BR:=σ({A⊂R |A este mult¸ime deschis˘a ˆın R}).
Ea este cea mai mic˘aσ-algebr˘a ce cont¸ine toate intervalele deschise (sau ˆınchise, sau deschise la dreapta ¸si ˆınchise la stˆanga).
1
Capitolul 1. Probabilit˘at¸i ¸si procese stochastice 2 Un concept fundamental necesar introducerii not¸iunii de variabil˘a aleatoare este acela de funct¸ie m˘asurabil˘a, dup˘a cum vedem ˆın cele ce urmeaz˘a.
Definit¸ia 1.3. Fie (Ω,F) ¸si (E,E) dou˘a spat¸ii m˘asurabile. O aplicat¸ie f : Ω → E spunem c˘a este (F,E)-m˘asurabil˘a dac˘a f−1(A)∈ F, ∀A∈ E, unde
f−1(A) :={ω ∈Ω :f(ω)∈A}.
O funct¸ie f : R → R spunem c˘a este borelian˘a dac˘a ea este (BR,BR)-m˘asurabil˘a. Aceast˘a proprietatea este suficient s˘a fie verificat˘a pentru intervalele mult¸imii R.
Definit¸ia 1.4. O variabil˘a aleatoare este o funct¸ieX: (Ω,F)→(R,BR) m˘asurabil˘a.
Vom prezenta ˆın continuare trei repartit¸ii importante (dou˘a de tip discret ¸si una de tip absolut continuu), repartit¸ii ce vor fi utilizate frecvent pe parcursul acestei lucr˘ari.
1. Repartit¸ia Bernoulli. Spunem c˘a o variabil˘a aleatoare X : (Ω,F) → {0,1} este o v.a.
repartizat˘a Bernoulli (sau binar˘a) de parametrup∈(0,1) (vom scrieX∼B(p)) dac˘aP({X = 0}) =p¸si P({X= 1}) =q= 1−p. Funct¸ia de repartit¸ie a v.a. X este FX :R→[0,1],
FX(x) =
0, x≤0, p, 0< x≤1, 1, x >1, iar EX=p¸si D2(X) =pq.
2. Repartit¸ia binomial˘a. Fien∈N¸sip∈(0,1). Spunem c˘a o variabil˘a aleatoareX: (Ω,F)→ {0,1, ..., n}este o v.a. repartizat˘a binomial de parametriin¸si p(vom scrieX ∼B(n, p)) dac˘a tabloul s˘au de repartit¸ie este
X :
k
Cnkpk(1−p)n−k
k=0,n−1
. Funct¸ia de repartit¸ie a v.a. X esteFX :R→[0,1],
FX(x) =
0, x≤0,
p0+...+pk, k < x≤k+ 1, k= 0, n−1
1, x > n,
undepk =P({X=k}) =Cnkpk(1−p)n−k, iarEX =np¸siD2(X) =np(1−p). Ment¸ion˘am c˘a o variabil˘a aleatoare repartizat˘a binomial de parametrii n¸si p poate fi scris˘a ca o sum˘a de n variabile aleatoare independente, identic repartizate Bernoulli de parametru p.
3. Repartit¸ia normal˘a. Spunem c˘a o variabil˘a aleatoare X : (Ω,F) → R este repartizat˘a normal (sau Gaussian) de parametriim¸siσ2 (vom scrieX∼N(m, σ2)) dac˘a densitatea sa de repartit¸ie este dat˘a def :R→R+,
f(x) := 1
√ 2πσe−
(x−m)2 2σ2 .
Media sa este EX =m, iar dispersia D2(X) =σ2. Dac˘a m = 0 ¸si σ = 1, atunci despre v.a.
X ∼N(0,1) spunem c˘a este repartizat˘a normal standard.
ˆIn modelarea matematic˘a a activelor financiare, informat¸iile din piat¸˘a la un moment dat sunt interpretate drept submult¸imi, cu caracteristici speciale, ale luiP(Ω). Aceste submult¸imi sunt generate de ”istoricul” piet¸ei financiare considerate.
Capitolul 1. Probabilit˘at¸i ¸si procese stochastice 3
Definit¸ia 1.5. σ-algebra generat˘a de o variabil˘a aleatoare X definit˘a pe (Ω,F) este mult¸imea de p˘art¸i ale lui Ω, de tipul X−1(A), unde A∈ BR. Vom nota aceast˘a σ-algebr˘a cu σ(X). Ea este ¸si cea mai mic˘a σ-algebr˘a pe Ω ˆın raport cu care variabila aleatoareX este m˘asurabil˘a.
Observat¸ia 1.6. O variabil˘a aleatoare real˘a X este G m˘asurabil˘a dac˘aσ(X)⊂ G.
Definit¸ia 1.7. σ-algebra generat˘a de o familie de variabile aleatoare (Xt)t∈[0,T] definite pe acela¸si spat¸iu m˘asurabil este cea mai mic˘a σ-algebr˘a ce cont¸ine mult¸imea
Xt−1(A) t,A, pentru orice t∈[0, T]¸si A∈ BR.Vom nota aceast˘a σ-algebracu σ(Xt, t∈[0, T]).
Definit¸ia 1.8. O probabilitate (sau m˘asur˘a de probabilitate) pespat¸iul m˘asurabil (Ω,F) este o funct¸ie P:F →[0,1] cu propriet˘at¸ile:
a) P(Ω) = 1, b) P
∞ S
n=0
An
=
n
P
i=1
P(An), unde mult¸imileAn∈ F sunt disjuncte dou˘a cˆate dou˘a.
Vom spune c˘a o proprietate este adev˘arat˘a aproape sigur (a.s.) dac˘a ea este adev˘arat˘a ˆın afara unei mult¸imi neglijabile (adic˘a mult¸ime de m˘asur˘a nul˘a). Vom spune de asemenea c˘a pro- prietatea este adev˘arat˘a pentru aproape tot¸iω. Unspat¸iu (cˆamp) de probabilitate(Ω,F,P) este complet dac˘a el cont¸ine toate mult¸imileGcu proprietatea c˘a inf{P(F) :F ∈ F, G⊂F}}= 0.
Definit¸ia 1.9. Dou˘a m˘asuri de probabilitate P1 ¸si P2, definite pe acela¸si spat¸iu m˘asurabil (Ω,F), spunem c˘a sunt echivalente dac˘a au acelea¸si mult¸imi neglijabile, adic˘a
P1(A) = 0⇔P2(A) = 0.
O proprietate adev˘arat˘aP1-a.s. este deci adev˘arat˘a P2-a.s.
Vom reaminti ˆın cele ce urmeaz˘a definit¸iile cˆatorva dintre principalele caracteristici nu- merice ¸si funct¸ionale ale unei variabile aleatoare. Fie Xo variabil˘a aleatoare real˘a, definit˘a pe un cˆamp de probabilitate (Ω,F,P).
Definit¸ia 1.10. Funct¸ia de repartit¸ie a variabilei aleatoare X este funct¸ia cresc˘atoare dat˘a de F =FX :R→[0,1], F(x) =P(X ≤x).
Putem scrie c˘a P(X∈A) = R
Af(x)dx (ˆın ipoteza c˘a aceast˘a integral˘a exist˘a; cu f am notat densitatea de repartit¸ie a variabilei aleatoare absolut continueX). Dac˘a dou˘a variabile
Capitolul 1. Probabilit˘at¸i ¸si procese stochastice 4 aleatoare au aceea¸si lege (sau aceea¸si funct¸ie de repartit¸ie sau aceea¸si densitate) spunem c˘a ele sunt egale ˆın lege. Remarc˘am c˘a dac˘a X, Y sunt dou˘a variabile aleatoare astfel ˆıncˆat P(X ≤a) =P(Y ≤a), ∀a∈R, atunci X ¸si Y au aceea¸si lege de repartit¸ie ¸si not˘amX =L Y. Trebuie subliniat faptul c˘a, dac˘a dou˘a variabile aleatoare au aceea¸si lege de repartit¸ie, aceasta nu ˆınseamn˘a c˘a cele dou˘a variabile aleatoare sunt egale!
Definit¸ia 1.11. Media v.a. X este definit˘a prin R
ΩX(ω)dP(ω) ¸si o vom nota cu E(X) sau, eventual, cu EP(X), pentru a sublinia faptul c˘a integrala se realizeaz˘a sub m˘asura de probabilitateP. Integrala anterioar˘a trebuie ˆınt¸eleas˘a ˆın sens larg, ˆın sensul c˘a ea este o sum˘a ˆın cazul unei variabile aleatoare discrete ¸si o integral˘a clasic˘a ˆın situat¸ia variabilelor aleatoare de tip absolut continuu. ˆIn aceast˘a din urm˘a situat¸ie, E(X) = R
Rxf(x)dx, unde cu f am notat densitatea de repartit¸ie a variabilei aleatoare absolut continue X.
Propozit¸ia 1.12. Media unei variabile aleatoare satisface urm˘atoarele propriet˘at¸i:
a) E(aX+bY) =aE(X) +bE(Y),∀a, b∈R,∀X, Y - variabile aleatoare reale.
b) Dac˘a X≤Y a.s., atunci E(X)≤E(Y).
c)Inegalitatea lui Jensen: dac˘a Φeste o funct¸ie convex˘a astfel ˆıncˆat Φ (X)este integrabil˘a, atunci
Φ (E(X))≤E(Φ (X)).
Dac˘a P1, P2 sunt dou˘a m˘asuri de probabilitate echivalente, atunci exist˘a o variabil˘a aleatoare Y, strict pozitiv˘a, F-m˘asurabil˘a, de medie 1 ˆın raport cu P1 (adic˘a EP1(Y) = 1), astfel ˆıncˆat dP2 = Y dP1 sau P2(A) = R
AY(ω)dP1(ω), pentru A ∈ F. Reciproc, dac˘a Y este o variabil˘a aleatoare strict pozitiv˘a, F-m˘asurabil˘a, de medie 1 ˆın raport cu P1, relat¸ia EP2(Z) = EP1(ZY) define¸ste pe spat¸iul m˘asurabil (Ω,F) o probabilitate P2, echivalent˘a cu P1. Are deci loc relat¸ia
EP2(Z) = Z
Ω
ZdP2= Z
Ω
ZdP2
dP1
dP1= Z
Ω
ZY dP1 =EP1(ZY).
Dac˘a variabila aleatoare Y este doar pozitiv˘a (nu strict pozitiv˘a), atunci P1(A) = 0 ⇒ P2(A) = 0 ¸si spunem c˘a m˘asura de probabilitateP2 este absolut continu˘a ˆın raport cuP1 (nu mai are loc deci echivalent¸a celor dou˘a m˘asuri de probabilitate).
Definit¸ia 1.13. Funct¸ia caracteristic˘a a v.a. X este transformata Fourier a legii lui X, adic˘a funct¸ia ϕ : R→C, ϕ(t) = E eitx
= R
ReitxPX(dx). Funct¸ia caracteristic˘a a unei variabile aleatoare caracterizeaz˘a legea lui X ˆın sensul c˘a dac˘a ¸stim aceast˘a funct¸ie, atunci putem determina legea variabilei aleatoare.
1.2 Media condit ¸ionat˘ a
FieA, Bdou˘a evenimente (submult¸imi ale lui Ω, mai precis,A, B ∈ F ⊂ P(Ω)). Probabilitatea evenimentului A condit¸ionat de B este P(A|B) = P(A∩B)
P(B) , pentru P(B) 6= 0. Aplicat¸ia (funct¸ia)
P(·|B) : (Ω,F)→[0,1]
definit˘a ˆın modul anterior este o probabilitate pe (Ω,F). ˆIntr-adev˘ar, P(Ω|B) = P(Ω∩B)
P(B) = P(B) P(B) = 1
Capitolul 1. Probabilit˘at¸i ¸si procese stochastice 5
¸si, pentru o familie num˘arabil˘a de evenimente {An}n∈N⊂ F, disjuncte dou˘a cˆate dou˘a, avem P S
n∈NAn|B
= P B∩ S
n∈NAn
P(B) = P S
n∈N(B∩An)
P(B) =
(B∩Ai)∩(B∩Aj)=∅
P
n∈NP(B∩An) P(B)
=X
n∈N
P(B∩An) P(B) =X
n∈N
P(An|B).
Putem astfel defini media unei variabile aleatoare ˆın raport cu aceast˘a lege de probabilitate.
Consider˘am cazul unei variabile discreteX, cu valori ˆın mult¸imea{x1, ..., xn}. Fie evenimentul B ∈ F fixat ¸si definim probabilitatea Q : (Ω,F) → [0,1], Q(A) = P(A|B). Deci, pentru variabila aleatoare real˘aX, definit˘a pe (Ω,F), media sa ˆın raport cuQeste
EQ(X) = X
j=1,n
xjQ(X =xj) = X
j=1,n
xjP((X =xj)∩B) P(B) . Avem P((X =xj)∩B) = R
B1{X=xj}(ω)dP(ω) = R
B1{X=xj}dP, unde 1{X=xj} este funct¸ia indicatoare a evenimentului (mult¸imii) {X = xj} = {ω ∈ Ω | X(ω) = xj}, mai precis 1{X=xj}(ω) = 1 dac˘aX(ω) =xj ¸si 0 ˆın caz contrar. Obt¸inem, prin urmare,
EQ(X) = 1 P(B)
Z
B
XdP,
din nou, integrala anterioar˘a trebuind a fi ˆınt¸eleas˘a ˆın sens larg. Vom notaE(X|B) =EQ(X).
FieB,σ-algebra generat˘a deB ∈ F¸si definim variabila aleatoareE(X|B) =E(X|B)1B+ E(X|Bc)1Bc. Avem
Z
D
E(X|B)dP= Z
D
E(X)dP, ∀D∈ B.
Numim E(X|B) media condit¸ionat˘a a luiXˆın raport cuσ-algebra B.Aceasta este o variabil˘a aleatoareB m˘asurabil˘a.
Consider˘am acum dou˘a v.a. X ¸si Y, definite pe acela¸si spat¸iu m˘asurabil (Ω,F), cu valori ˆın mult¸imile{x1, ..., xn}, respectiv {y1, ..., yd}, astfel ˆıncˆatP(Y =yi)6= 0,∀i= 1, d.
Definim
P(X=xj|Y =yi) = P((X =xj)∩Y =yi)
P(Y =yi) =:µ(xj, yi).
Prin urmare, pentru toate valorile yi,i= 1, d, funct¸iaµ(·, yi) define¸ste o (m˘asur˘a de) proba- bilitate pe {x1, ..., xn}. Vom defini media condit¸ionat˘a a lui X,
E(X|Y =yi) = X
j=1,n
xjP(X =xj|Y =yi) = X
j=1,n
xjµ(xj, yi) =
= 1
P(Y =yi) Z
Y=yi
XdP. Definim funct¸ia Ψ (yi) :=E(X|Y =yi) ¸si vom obt¸ine
X
i=1,d
P(Y =yi)E(X|Y =yi) = X
i=1,d
P(Y =yi) Ψ (yi) =E(Ψ (Y)) =
=E(E(X|Y)) =E(X).
Prin urmare, Ψ (Y) =E(X|Y) reprezint˘a media condit¸ionat˘a a variabilei aleatoareXˆın raport cu variabila aleatoare Y.
Capitolul 1. Probabilit˘at¸i ¸si procese stochastice 6 Fie acum X o variabil˘a aleatoare real˘a, integrabil˘a, definit˘a pe cˆampul de probabilitate (Ω,F,P) ¸si G o sub σ-algebr˘a a lui F. Vom introduce ˆın continuare not¸iunea, foarte impor- tant˘a, de medie condit¸ionat˘a a unei variabile aleatoare ˆın raport cu o σ-algebr˘a.
Definit¸ia 1.14. Media condit¸ionat˘aE(X|G) este unica variabil˘a aleatoare definit˘a pe cˆampul de probabilitate (Ω,F,P) astfel ˆıncˆat:
a) aceasta esteG m˘asurabil˘a;
b) are loc R
AE(X|G)dP=R
AE(X)dP,∀A∈ G.
Media condit¸ionat˘a E(X|G) este, de asemenea, unica variabil˘a G-m˘asurabil˘a, ce satisface E(E(X|G)Y) = E(XY), pentru toate variabilele aleatoare Y, G-m˘asurabile, definite, evi- dent, pe acela¸si spat¸iu de probabilitate. ˆIn plus, dac˘a X este de p˘atrat integrabil (adic˘a EX2 < +∞), atunci E(X|G) este proiect¸ia ortogonal˘a a lui X pe subspat¸iul variabilelor aleatoareG-m˘asurabile, de p˘atrat integrabil.
Definit¸ia 1.15. Media condit¸ionat˘a a variabilei aleatoareXˆın raport cu o variabil˘a aleatoare Y va fi notat˘a cu E(X|Y) ¸si este tot o variabil˘a aleatoare, m˘asurabil˘a ˆın raport cuσ-algebra generat˘a de Y, deci este o funt¸ie de Y. Mai precis, exist˘a aplicat¸ia ψ : R → R, borelian˘a, astfel ˆıncˆatE(X|Y) =ψ(Y).
Propozit¸ia 1.16. ˆIn ipoteza c˘a toate variabilele aleatoare ce apar ˆın acest rezultat sunt inte- grabile, urm˘atoarele egalit˘at¸i au locP-a.s.:
i) (Liniaritatea) Datea1, a2 dou˘a constante.reale, avem
E(a1X1+a2X2|G) =a1E(X1|G) +a2E(X2|G), undeG este o sub σ-algebr˘a a lui F;
ii) (Monotonia) FieX, Y dou˘a v.a. astfel ˆıncˆatX ≤Y a.s.. Atunci E(X|G)≤E(Y|G) ;
iii) E(E(X|G))=E(X);
iv) Dac˘a X este o v.a. G-m˘asurabil˘a, atunciE(X|G)=X;
v) Dac˘a X este o v.a. G-m˘asurabil˘a ¸siY este o v.a. oarecare (independent˘a de G), atunci E(XY|G)=XE(Y|G);
vi) Dac˘a X este o v.a. independent˘a de G,atunciE(X|G)=E(X);
vii) Dac˘a G,Hsunt dou˘a sub σ-algebre ale luiF astfel ˆıncˆatG ⊂ H ⊂ F, atunci E(E(X|G)|H) =E(E(X|H)|G) =E(X|G) ;
viii) (Inegalitatea lui Jensen pentru media condit¸ionat˘a) Dac˘a f :R→R este o funct¸ie con- vex˘a pentru caref(X) este o variabil˘a aleatoare integrabil˘a, atunci
f(E(X|G))≤E(f(X)|G).
Capitolul 1. Probabilit˘at¸i ¸si procese stochastice 7 Demonstrat¸ie. i) Notˆand Yi = E(Xi|G), i = 1,2, rezult˘a c˘a a1Y1 +a2Y2 este o variabil˘a aleatoare m˘asurabil˘a ˆın raport cuG¸si, din liniaritatea mediei obt¸inem, pentru orice A∈ G,
E(a1Y1+a2Y2|A) =a1E(Y1|A) +a2E(Y2|A)
=a1E(X1|A) +a2E(X2|A)
=E(a1X1+a2X2|A).
Conform definit¸iei avem
E(a1X1+a2X2|G) =a1Y1+a2Y2 =a1E(X1|G) +a2E(X2|G).
ii) Variabila aleatoareY −X ≥0 a.s. ¸si, prin urmare,E(Y −X|G)≥0. De aici, folosind liniaritatea mediei condit¸ionate obt¸inem rezultatul dorit.
iii) Din definit¸ia mediei condit¸ionate obt¸inem
E(E(X|G)) =E(E(X|G)|Ω) =E(X|Ω) =E(X).
iv) Cum v.a. X este m˘asurabil˘a ˆın raport cu σ-algebra G ¸si verific˘a (trivial) egalitatea E(X|A) = E(X|A), ∀A∈ G, atunci, conform definit¸iei mediei condit¸ionate rezult˘a E(X|G) = X.
vi) Cum EX este o variabil˘a aleatoare constant˘a, ea este ˆın particular G-m˘asurabil˘a.
Pentru A ∈ G, cum X ¸si G sunt independente, rezult˘a c˘a X ¸si 1A sunt variabile aleatoare independente ¸si deci obt¸inem
E(X|A) =E(X 1A) =E(X)E(1A) =E(X)P(A) =E(EX|A).
Conform definit¸iei mediei condit¸ionate rezult˘aE(X|G) =E(X).
viii) Cumf este o funct¸ie convex˘a, pentru oricex0 ∈Rarbitrar fixat exist˘a c=cx0 ∈R astfel ˆıncˆat
f(x)≥f(x0) +c(x−x0), ∀x∈R.
ˆInlocuind x=X(ω) ¸si x0 =E(X|G)(ω) obt¸inem
f(X(ω))≥f(E(X|G)(ω)) +cE(X|G)(ω)(X(ω)−E(X|G)(ω)),
de unde, aplicˆand media condit¸ionat˘a ¸si folosind propriet˘at¸ile de liniaritate ¸si monotonie ale acesteia, obt¸inem
E(f(X)|G)≥E({f(E(X|G)) +cE(X|G)(X−E(X|G)}|G)
=E(f(E(X|G))|G) +E({cE(X|G)(X−E(X|G)}|G)
=f(E(X|G)) +cE(X|G)E({X−E(X|G)}|G)
=f(E(X|G)) +cE(X|G)(E(X|G)−E(X|G))
=f(E(X|G)) +cE(X|G)·0
=f(E(X|G)).
ˆIn demonstrat¸ia anterioar˘a am folosit faptul c˘acE(X|G)este o variabil˘a aleatoareG-m˘asurabil˘a.
Aceasta rezult˘a din faptul c˘a aplicat¸ia x0 7→ cx0 este o funct¸ie m˘asurabil˘a ¸si din faptul c˘a E(X|G) este o variabil˘a aleatoare G-m˘asurabil˘a.
1.3 Procese stochastice; martingale
Capitolul 1. Probabilit˘at¸i ¸si procese stochastice 8 Accesul la informat¸ii complete, exacte este ˆın mod clar esent¸ial pentru oricine implicat activ ˆın activitatea financiar˘a sau de tranzact¸ionare. ˆIntr-adev˘ar, informat¸ia este probabil cel mai important factor determinant al succesului in viat¸a financiar˘a. Pentru simplitate ¸si pentru a reflecta legislat¸ia ¸si reglement˘arile ˆımpotriva tranzact¸iilor ilegale, ne vom limita la situat¸ia ˆın care agent¸ii pot lua decizii pe baza unor informat¸ii din domeniul public, informat¸ii aflate la dispozit¸ia tuturor. Vom presupune, de asemenea, c˘a informat¸iile, odat˘a cunoscute r˘amˆan cunoscute, nu sunt uitate ¸si pot fi accesate ˆın timp real (aceasta ar corespunde piet¸elor finan- ciare f˘ar˘a pierdere de memorie ¸si, a¸sa cum vom vedea,filtr˘arilor f˘ar˘a pierdere de memorie). ˆIn realitate, desigur, problemele sunt mult mai complicate. Supraˆınc˘arcarea cu informat¸ii este la fel de mare pericol precum deficitul de informat¸ii. Capacitatea de a ret¸ine informat¸ia, de a o organiza, ¸si de a o accesa rapid, este unul dintre principalii factori care vor diferent¸ia abilit˘at¸ile diver¸silor agent¸i economici, de a react¸iona la condit¸iile de piat¸˘a ˆın schimbare.
Cu toate acestea, ne vom limita la situat¸ia cea mai simplu posibil˘a ¸si nu vom diferent¸ia agent¸ii economici, pe baza abilit˘at¸ii lor de procesare a informat¸iilor. Astfel, pe m˘asur˘a ce trece timpul, noi informat¸ii devin disponibile pentru tot¸i agent¸ii, care actualizeaz˘a continuu informat¸iile lor. Ceea ce avem nevoie este un limbaj matematic adecvat prin care s˘a model˘am acest flux de informat¸ii, cu trecerea timpului. Acest lucru este furnizat de not¸iunea defiltrare;
vom prezenta ˆın continuare elementele fundamentale ale acestei not¸iuni.
Tripletul (Ω,F,P) (cˆampu de probabilitate) ¸si media condit¸ionat˘a E(X|B) furnizeaz˘a in- strumentele de care avem nevoie pentru a face fat¸˘a situat¸iilor care implic˘a fenomenul aleatoriu.
Pentru a gestiona situat¸iile dinamice, care implic˘a hazardul, avem nevoie de structura definit˘a ˆın cele ce urmeaz˘a. F˘ar˘a a restrˆange generalitatea, putem considera timpul init¸ial, de plecare, t= 0.
Modelele financiare pot fi considerate ca evoluˆand ˆın timp discret sau ˆın timp continuu.
Dorim s˘a model˘am o situat¸ie care implic˘a aleatoriul desf˘a¸surabil ˆın timp. Vom presupune, pentru simplitate, c˘a informat¸iile nu se pierd: astfel, pe m˘asur˘a ce timpul evolueaz˘a, vom afla mai multe informat¸ii privitoare la activele financiare tranzact¸ionate ˆın piat¸a financiar˘a.
Reamintim c˘a σ-algebrele vor reprezenta / modela matematic informat¸iile sau cuno¸stint¸ele asupra piet¸ei. Avem nevoie astfel de o familie cresc˘atoare {Fn | n = 0,1,2, . . .} de sub-σ- algebre ale lui F
Fn⊂ Fn+1 , pentru n= 0,1,2, . . . ,
unde Fn reprezint˘a, ˆın interpretarea economic˘a, informat¸iile disponibile investitorilor la mo- mentuln. Vom presupune ˆıntotdeauna c˘a toateσ-algebrele sunt complete (acest lucru poate fi evitat ¸si nu este ˆıntotdeauna adecvat realit˘at¸ilor din piet¸ele financiare, dar acest˘a presupunere simplific˘a aspectele implicate ¸si este suficient˘a pentru scopurile noastre). Astfel,F0 reprezint˘a informat¸ia init¸ial˘a aflat˘a la dispozit¸ia tuturor investitorilor (dac˘a aceasta nu exist˘a, atunci consider˘amF0={∅,Ω} ca fiindσ-algebra trivial˘a). Pe de alt˘a parte,
F∞: = lim
n−→∞Fn=σ [
n
Fn
!
reprezint˘a tot ce vom ¸sti privitor la dinamica piet¸ei financiare analizate (a¸sa numitaDoomsday σ-algebr˘a).
Definit¸ia 1.17. O astfel de familieF: ={Fn|n= 0,1,2, . . .}va fi numit˘a ˆın cele ce urmeaz˘a filtrare, iar un spat¸iu de probabilitate ˆınzestrat cu o astfel de filtrare, (Ω,F,P,F) se nume¸ste baz˘a stochastic˘a sauspat¸iu de probabilitate filtrat.
Spunem c˘a filtrarea Feste continu˘a la dreapta dac˘a, oricare ar fi n∈N, avem Fn+:= \
m>n
Fm =Fn.
Capitolul 1. Probabilit˘at¸i ¸si procese stochastice 9 Spunem c˘a filtrareaF este complet˘a dac˘a, oricare ar fin∈N,Fn cont¸ine toate mult¸imile P-neglijabile, adic˘a toate mult¸imile N ⊂Ω cu proprietatea c˘a
inf{P(N) |N ⊂F ∈ F }= 0.
(aceasta nu implic˘a ˆıns˘a faptul c˘a N ∈ F, adic˘a mult¸imea N nu este neap˘arat m˘asurabil˘a).
Spunem c˘a filtrareaFverific˘a condit¸iile uzuale dac˘a ea este continu˘a la dreapta ¸si cont¸ine toate mult¸imileP-neglijabile
Pentru cazul particular al unui spat¸iu de probabilitate finit Ω ={ω1, . . . , ωn}¸si o anumit˘a σ-algebr˘a F pe Ω, exist˘a ˆıntotdeauna o partit¸ie unic˘a finit˘a, P ={A1, . . . , Al} a lui Ω, core- spunz˘atoare luiF. Prin urmare, o filtrareFcorespunde unui ¸sir de partit¸ii{Pn}n=0,1,2,...,din ce ˆın ce mai fine (ˆın raport cu incluziunea).
La momentul init¸ialt= 0 agent¸ii ¸stiu doar c˘a un anumit evenimentω ∈Ω se va ˆıntˆampla, iar la momentul T < ∞ se ¸stie ce eveniment particular ω∗ s-a ˆıntˆamplat. Pe parcursul trecerii timpului, juc˘atorii din piat¸a financiar˘a afl˘a structura specific˘a aσ-algebrelorFn, ceea ce ˆınseamn˘a c˘a ”ˆınvat¸˘a” partit¸iile corespunz˘atoareP. Cunoa¸sterea informat¸iilor din Fn este echivalent˘a cu cunoa¸sterea ˆın care mult¸ime A(n)i ∈ Pn se reg˘ase¸ste evenimentul ω∗. Deoarece partit¸iile devin din ce ˆın ce mai fine odat˘a cu trecerea timpului, informat¸iile cu privire la evenimentul ω∗ devin mai detaliate odat˘a cu fiecare pas. Din nefericire, aceast˘a interpretare facil˘a nu mai poate fi oferit˘a atunci cˆand spat¸iul evenimentelor, Ω, devine infinit. Se pare c˘a not¸iunea de filtrare, mai degrab˘a decˆat cea de partit¸ii este relevant˘a pentru situat¸ia mai general˘a cu Ω infinit, T infinit ¸si procese aleatoare continue ˆın timp.
ˆIn cele ce urmeaz˘a vom introduce not¸iunea de proces stochastic ˆın timp discret. Termenul
”stochastic” (derivat din limba greac˘a) este aproximativ sinonim cu ”aleatoriu”. Vom con- strui un cadru care poate gestiona situat¸ii dinamice, ˆın care timpul evolueaz˘a, ¸si ˆın care noi informat¸ii se genereaz˘a ˆın timp. ˆIn special, trebuie s˘a fim capabili s˘a vorbim ˆın termeni de
”informat¸ii disponibile la momentuln” (sau ”ceea ce ¸stim ˆın momentuln”). Mai mult, trebuie s˘a fim ˆın m˘asur˘a s˘a increment˘am parametrul temporal n, crescˆand astfel informat¸iile disponi- bile atunci cˆand informat¸ii noi apar ¸si s˘a vorbim despre fluxul de informat¸ii ˆın timp. Ceea ce este necesar este o construct¸ie matematic˘a precis˘a, care pot fi manipulat˘a convenabil. Acum
”informat¸ia” nu este doar un cuvˆant obi¸snuit, ci chiar devine un termen tehnic ˆın matematic˘a (lucr˘ari ample au fost dedicate teoriei informat¸iei).
Definit¸ia 1.18. Un proces stochastic X={Xn |n∈I}este o familie de variabile aleatoare, definite pe un spat¸iu comun de probabilitate (Ω,F,P), indexate dup˘a o mult¸ime de indici temporaliI, mult¸ime care poate fi{0,1,2, ...T}ˆın cazul perioadei orizont finite sau{0,1,2, ...}
ˆın situat¸ia celei infinite. ˆIn ambele situat¸ii este vorba despre procese stochastice ˆın timp discret. ˆIn situat¸ia ˆın care mult¸imea de indexare nu este o mult¸ime num˘arabil˘a (este de exemplu un interval) vorbim despre procese stochastice ˆın timp continuu. Spunem c˘a procesul stochastic X ={Xn}∞n=0 este adaptat filtr˘arii F={Fn}∞n=0 dac˘a variabila aleatoare Xn este Fn-m˘asurabil˘a, pentru tot¸i n= 0, ...,∞, adic˘a, oricare ar fi mult¸imea Borelian˘a B ∈ BR,
Xn−1(B) ={ω∈Ω|Xn(ω)∈B} ∈ Fn,
Exemplul 1.2. S˘a consider˘am cazul arunc˘arii de dou˘a ori a unei monede, ¸si s˘a not˘am prin Ω ={B, S} mult¸imea evenimentelor elementare ce pot avea loc la fiecare aruncare (B pentru aparit¸ia banului, S pentru aparit¸ia stemei) ¸si consider˘am F =P({SS, SB, BS, BB}).
Dup˘a prima aruncare ¸stim c˘a s-a obt¸inut banul sau stema, dar nu ¸stim nimic despre rezul- tatul celei de a doua arunc˘ari. Cu alte cuvinte, dup˘a prima aruncare a banului ¸stim dac˘a au avut loc sau nu urm˘atoarele evenimente: ∅ (evenimentul imposibil), {SS, SB} (evenimentul
Capitolul 1. Probabilit˘at¸i ¸si procese stochastice 10 aparit¸iei stemei la prima aruncare), {BS, BB} (evenimentul aparit¸iei banului la prima arun- care) ¸si Ω(evenimentul sigur). Informat¸ia cunoscut˘a dup˘a prima aruncare este deci cont¸inut˘a ˆınσ-algebra F1 dat˘a de
F1={∅,{SS, SB},{BS, BB},Ω}.
Dup˘a a doua aruncare cunoa¸stem rezultatul atˆat a primei cˆat ¸si a celei de a doua arunc˘ari ¸si deci aceast˘a informat¸ie este cont¸inut˘a ˆın σ-algebra F2=F. Este evident faptul c˘a F1 ⊂ F2.
Considerˆand variabilele aleatoare Xn ca reprezentˆand num˘arul de fet¸e stem˘a obt¸inute ˆın primele n arunc˘ari (n= 1,2), avem
X1−1(B) =
∅, 0,1∈/B {BS, BB}, 0∈B,1∈/ B {SS, SB}, 0∈/ B,1∈B
Ω, 0,1∈B,
∈ F1
pentru orice mult¸ime Borelian˘aB ∈ BR¸si deciX1este o v.a. m˘asurabil˘a ˆın raport cuσ-algebra F1.
Cum F2=P(Ω), este evident c˘a variabila aleatoare X2 este F2-m˘asurabil˘a, f˘ar˘a a fi ˆıns˘a m˘asurabil˘a ˆın raport cu F1 (nu putem determina num˘arul de steme ˆın cele dou˘a arunc˘ari cunoscˆand numai rezultatul primei arunc˘ari). Pentru a observa acest lucru consider˘am B = {1}¸si avem c˘a
X2−1(B) =X2−1({1}) ={BS, SB}∈ F/ 1, ceea ce spune c˘a v.a. X2 nu este m˘asurabil˘a ˆın raport cu σ-algebra F1.
Dat˘a o familie de v.a. (Xn)n∈N, putem ˆıntotdeauna determina o filtrare ˆın raport cu care familia de v.a. este adaptat˘a, a¸sa cum vedem ˆın cele ce urmeaz˘a. Definim σ-algebra
Fn=σ({X0, . . . , Xn})
ca fiind filtrarea natural˘a a procesului stochasticX. Astfel, un proces stochastic este ˆıntotdeauna adaptat filtr˘arii sale naturale.
O clas˘a particular˘a ¸si important˘a de procese stochastice o constituie procesele martingale, sau, pe scurt,martingalele, procese utilizate ˆın special ˆın modelarea ”jocurilor echitabile” (fair games) ¸si a piet¸elor financiare.
Definit¸ia 1.19. Un proces stochasticX={Xn}n∈I este o martingal˘a ˆın raport cu ({Fn}n∈I, P) dac˘a:
(i) X este adaptat filtr˘arii{Fn}n∈I; (ii) E|Xn|<∞, pentru orice n∈I;
(iii) E(Xn|Fn−1) =Xn−1,P-a.s., pentru oricen≥1.
Definit¸ia 1.20.
• Un proces stochasticX={Xn}n∈I este o supramartingal˘a dac˘a au loc condit¸iile (i), (ii)
¸si
E(Xn|Fn−1)≤Xn−1,P-a.s., pentru oricen≥1.
• Un proces stochastic X ={Xn}n∈I este o submartingal˘a dac˘a au loc condit¸iile (i), (ii)
¸si
E(Xn|Fn−1)≥Xn−1,P-a.s., pentru oricen≥1.
Capitolul 1. Probabilit˘at¸i ¸si procese stochastice 11 Ca ¸si interpretare empiric˘a, procesele martingale modeleaz˘a jocurile corecte, supramartin- galele modeleaz˘a jocurile nefavorabile, iar submartingalele pe cele favorabile. Considerˆand Xt ca fiind averea unui juc˘ator la momentul t ¸si Ft informat¸ia disponibil˘a despre joc pˆan˘a la acest moment de timp, putem gˆandi martingala ca fiind modelul matematic al unui ”joc echitabil”, deoarece relat¸ia de definit¸ie arat˘a c˘a valoarea a¸steptat˘a a cˆa¸stigului la momentul t din viitor, dat˘a fiind informat¸ia despre joc pˆan˘a la momentul prezent s(informat¸ie cont¸inut˘a ˆın σ-algebra Fs), este egal˘a cu valoarea Xs a averii la momentul prezent. ˆIn mod similar, putem gˆandi submartingalele ¸si supermartingalele ca fiind jocuri ce favorizeaz˘a, respectiv de- favorizeaz˘a juc˘atorul. Dup˘a cum vom vedea, martingalele (definite mai sus) nu iau valori foarte mari sau foarte mici cu probabilitate apropiat˘a de 1, fiind constante ˆın medie. O alt˘a semnificat¸ie a termenului martingal˘a este legat˘a de jocurile de noroc, ¸si reprezint˘a o strate- gie de pariere popular˘a ˆın Frant¸a secolului 18. ˆIn aceast˘a strategie, juc˘atorul dubleaz˘a miza dup˘a fiecare joc pierdut, astfel ˆıncˆat la primul joc cˆa¸stigat s˘a ˆı¸si recupereze toate pierderile anterioare plus un cˆa¸stig egal cu miza pariat˘a init¸ial. Modelul matematic al acestui joc con- stituie o martigal˘a, ˆın sensul definit¸iei de mai sus. Prezent˘am ˆın continuare dou˘a exemple de martingale: o martingal˘a ˆın timp discret ¸si una ˆın timp continuu.
Exemplul 1.3. Consider˘am urm˘atorul joc: se arunc˘a ˆın mod repetat o moned˘a ¸si la fiecare aruncare juc˘atorul cˆa¸stig˘a 1 leu dac˘a apare stema ¸si pierde1 leu ˆın caz contrar. Notˆand prin Xn variabila aleatoare reprezentˆand rezultatul celei de-a n-a arunc˘ari (consider˘am Xn = +1 ˆın cazul aparit¸iei stemei ¸si Xn =−1ˆın caz contrar) pentru n≥1 ¸si X0 = 0 ¸si definind
Mn:=
n
X
i=0
Xi, n∈N,
{Mn}n∈N este o martingal˘a ˆın raport cu filtrarea F={Fn := σ(Xi | i= 0,1, ..., n) | n ∈N} deoarece Mn este o variabil˘a aleatoare integrabil˘a ¸si m˘asurabil˘a ˆın raport cu Fn oricare ar fi n ∈ N, ¸si oricare ar fi m, n ∈ N cu m < n avem (presupunˆand c˘a arunc˘arile succesive ale monedei sunt independente):
E(Mn|Fm) =E(X0+...+Xn|Fm)
=X0+...+Xm+E(Xm+1+...+Xn|Fm)
=Mm+E(Xm+1+...+Xn)
=Mm+ 0 =Mm
deoarece variabilele aleatoare Xi sunt Fm-m˘asurabile pentru i = 0, ..., m ¸si independente de Fm pentru i=m+ 1, ..., n ¸si deoarece
EXi = (+1)·P(Xi = 1)+(−1)·P(Xi=−1) =(+1)·1
2+ (−1)·1 2 = 0, oricare ar fi i∈N∗.
Ca un exemplu de martingal˘a ˆın timp continuu prezent˘am:
Exemplul 1.4. Fie Y o variabil˘a aleatoare integrabil˘a pe spat¸iul de probabilitate (Ω,F,P) ¸si {Ft}t≥0 o filtrare. Atunci Mt := E(Y|Ft) este o martingal˘a ˆın raport cu filtrarea {Ft}t≥0. ˆIntr-adev˘ar, din definit¸ia mediei condit¸ionate rezult˘a c˘a variabila aleatoareMteste m˘asurabil˘a ˆın raport cuσ-algebra Ft¸si integrabil˘a, iar din propriet˘at¸ile mediei condit¸ionate avem, pentru 0≤s < t:
E(Mt|Fs) =E(E(Y|Ft)|Fs) =E(Y|Fs) =Ms.
Alte dou˘a exemple importante de procese martingale sunt prezentate ˆın cele ce urmeaz˘a.
Capitolul 1. Probabilit˘at¸i ¸si procese stochastice 12 Exemplul 1.5. Fie Y1, Y2, ... un ¸sir de variabile aleatoare independente, identic repartizate, astfel ˆıncˆat EYi = 0 pentru fiecare i ¸si consider˘am {Ft}0≤t<∞ filtrarea sa natural˘a. Atunci Xt=
t
P
j=1
Yj este o martingal˘a.
Exemplul 1.6. Fie Y1, Y2, ... un ¸sir de variabile aleatoare independente, identic repartizate, astfel ˆıncˆat EYi = 0, EYi2 = σ2 < ∞, pentru fiecare i ¸si consider˘am {Ft}0≤t<∞ filtrarea sa natural˘a. Atunci procesul
t
X
j=1
Yj
2
−σ2t este o martingal˘a.
1.4 Mi¸ scarea Brownian˘ a
ˆIn poemul ¸stiint¸ific De rerum natura (Asupra naturii lucrurilor), filosoful ¸si poetul roman Titus Lucretius Carus (ca. 99 BC – ca. 55 BC) a f˘acut o descriere remarcabil˘a a mi¸sc˘arii Browniene a particulelor de praf, el folosind-o apoi ca pe o demonstrat¸ie a existent¸ei atomilor:
”Observat¸i ce se ˆıntˆampl˘a atunci cˆand razele de soare p˘atrund ˆıntr-o ˆınc˘apere ¸si lumineaz˘a colt¸urile ˆıntunecate. Vet¸i observa nenum˘arate particule minuscule amestecˆandu-se ˆıntr-o mul- titudine de moduri...dansul lor este de fapt un indicator al mi¸sc˘arii materiei, ascuns˘a privir- ilor noastre...Ea ˆı¸si are originea chiar ˆın mi¸scarea spontan˘a a atomilor. Apoi, aceste corpuri m˘arunte formate sunt puse ˆın mi¸scare de c˘atre impactul ciocnirilor lor invizibile privirii. Ast- fel, mi¸scarea evolueaz˘a de la nivelul atomilor la o scar˘a perceptibil˘a simt¸urilor noastre, putˆand justifica mi¸sc˘arile ce se petrec ˆın acele raze de soare”.
Cu toate c˘a Jan Ingenhousz a descris ˆın 1785 mi¸scarea iregulat˘a a unor particule de c˘arbune pe o suprafat¸˘a de alcool, botanistul scot¸ian Robert Brown a fost creditat, ˆın 1827, cu descoperirea mi¸sc˘arii Browniene, el observˆand mi¸scarea neregulat˘a a unor granule mici de polen aflate pe suprafat¸a unui lichid (aceast˘a mi¸scare neregulat˘a este rezultatul coliziunilor aleatoare dintre granulele de polen ¸si moleculele lichidului). Ca obiect matematic, mi¸scarea Brownian˘a a fost studiat˘a pentru prima dat˘a de c˘atre Louis de Bachelier (1900) ˆın leg˘atur˘a cu teoria bursei de valori, ¸si de c˘atre Albert Einstein (1905), care a folosit-o pentru a verifica teoria molecular˘a a c˘aldurii. Ei au conjecturat multe din propriet˘at¸ile mi¸sc˘arii Browniene, dar a durat mult timp pˆan˘a cˆand s-a putut demonstra existent¸a procesului cu propriet˘at¸ile specificate.
ˆIn 1923, Norbert Wiener a demonstrat consistent¸a definit¸iei cu proprit˘at¸ile specificate (din acest motiv mi¸scarea Brownian˘a este numit˘a uneori ¸si proces Wiener), ¸si mai tˆarziu, ˆın 1951, Monroe David Donsker a dat o demonstrat¸ie complet˘a a convergent¸ei drumurilor aleatoare c˘atre mi¸scarea Brownian˘a.
Mi¸scarea Brownian˘a paote fi considerat˘a ca fiind limita unui drum aleator, dup˘a cum urmeaz˘a: pe un spat¸iu de probabilitate (Ω,F,P) fixat, consider˘am variabilele aleatoare (Yn)n∈
N∗, independente ¸si identic repartizate, cu
P(Yn= 1) =P(Yn=−1) = 1
2, n∈N∗
¸si definim drumul aleator (Sn)n∈N prin Sn=
Pn
i=1Yi, n∈N∗
0, n= 0, n∈N.
Unind punctele (n, Sn)n=0,1,2,...prin segmente de dreapt˘a, obt¸inem un grafic asem˘an˘ator traiec- toriei neregulate descrise de granulele de polen observate de Brown.
Capitolul 1. Probabilit˘at¸i ¸si procese stochastice 13 CumEYi= 0 ¸si D2(Yi) = 1 pentru oricei∈N∗, obt¸inem c˘a
ESn= 0 ¸si D2(Sn) =n, iar din Teorema Limit˘a Central˘a rezult˘a c˘a
Sn
√n →
n→∞B1 ∼N(0,1).
Putem extinde construct¸ia anterioar˘a pentru a obt¸ine un proces stochastic Bt definit pentru tot¸i timpiit≥0, considerˆand
Bt:= lim
n→∞
S[nt]
√n, t≥0,
unde am notat prin [x] partea ˆıntreag˘a a num˘arului real x. Se poate demonstra c˘a procesul stochastic {Bt}t≥0 astfel construit este o mi¸scare Brownian˘a ˆın sensul definit¸iei urm˘atoare.
Definit¸ia 1.21. O mi¸scare Brownian˘a 1-dimensional˘a cu startul ˆın 0 ∈ R este un proces stochastic {Bt}t≥0 pe (Ω,F,P) cu urm˘atoarele propriet˘at¸i:
(i) P(B0= 0) = 1;
(ii) Pentru orice 0≤s < t,variabila aleatoare Bt−Bs ∼N(0, t−s) este independent˘a de σ-algebra σ(Br | ∀r≤s);
(iii) Pentru aproape orice ω∈Ω, funct¸ia t∈[0,∞)7→Bt(ω) este continu˘a.
Cˆateva dintre propriet˘at¸ile mi¸sc˘arii Browniene sunt prezentate ˆın rezultatul urm˘ator.
Propozit¸ia 1.22. Fie Bt o mi¸scare Brownian˘a 1-dimensional˘a cu startul ˆın 0∈R.
(a) EBt= 0, cov(Bs, Bt) =s∧t, pentru oricare s, t≥0;
(b) Pentru aproape tot¸i ω∈Ω, traiectoriile t∈[0,∞)7→Bt(ω) mi¸sc˘arii Browniene nu sunt diferent¸iabile ˆın nici un punct t∈[0,∞);
(c) Variat¸ia total˘a pe orice interval finit [0, T] este infinit˘a, adic˘a sup
∆ n
X
i=1
Bti−Bti−1
=∞ a.s.,
unde supremumul este considerat pentru toate partit¸iile ∆ : 0 = t0 < t1 < ... < tn ale intervalului [0, T];
(d) Variat¸ia p˘atratic˘a corespunz˘atoare unei partit¸ii ∆ : 0 =t0 < t1 < ... < tn a intervalului [0, T] converge ˆın L2(Ω×[0, T] ;R) c˘atre T, adic˘a
E
n
X
k=1
Bti−Bti−12
−T
!2
→0 cˆand ||∆n||:= max
1≤i≤n|ti−ti−1| →0. Dac˘a ˆın plus P
n≥1||∆n||<∞, atunci convergent¸a precedent˘a este aproape sigur˘a.
Capitolul 1. Probabilit˘at¸i ¸si procese stochastice 14
1.5 Integrala stochastic˘ a
ˆIn aceast˘a sect¸iune vom prezenta construct¸ia integralei stochastice Itˆo Z t 0
HsdMs, unde Ms este o martingal˘a (cel mai adesea mi¸scarea Brownian˘a) iar Hs este un proces stochastic adaptat filtr˘arii corespunz˘atoare lui Ms. Deoarece traiectoriile mi¸sc˘arii Browniene Bt nu au variat¸ie finit˘a, nu putem defini
Z t 0
HsdBs ca fiind o integral˘a de tip Lebesgue-Stieltjes. Cheia construct¸iei este izometria ˆın L2, care ne va permite s˘a definim integrala stochastic˘a ca fiind limita ˆın L2(P) a unui ¸sir de variabile aleatoare convenabil alese.
Definim I clasa integranzilor ca fiind clasa funct¸iilor f(t, ω) : [0,∞)×Ω→R ce verific˘a urm˘atoarele condit¸ii:
i) funct¸ia (t, ω)7→f(t, ω) este m˘asurabil˘a ˆın raport cuσ-algebra produsBR+×F;
ii) f(t,·) este o variabil˘a aleatoare m˘asurabil˘a ˆın raport cuσ-algebraFt, pentru oricet≥0;
iii) E Z ∞
0
f2(s, ω)ds <∞.
Numim proces elementar un proces stochastic f(t, ω)∈ I de forma f(t, ω) =ϕ(ω)1[a,b)(t).
Observ˘am c˘a propriet˘at¸ileii) ¸siiii) de mai sus revin ˆın acest caz la faptul c˘a variabila aleatoare ϕ=ϕ(ω) este o variabil˘a aleatoare m˘asurabil˘a ˆın raport cuσ-algebraFa, respectiv c˘a variabila aleatoareϕ2 este integrabil˘a. Definim ˆın acest caz integrala stochastic˘a prin
Z t 0
ϕ(ω)1[a,b)(s)dBs(ω) =ϕ(ω)(Bb∧t(ω)−Ba∧t(ω)).
Numim proces simplu un proces stochastic f(t, ω) ∈ I ce poate fi scris ca o combinat¸ie liniar˘a de procese elementare, adic˘a
f(t, ω) =
N
X
i=1
ϕi(ω)1[ai,bi)(t),
unde ϕi = ϕi(ω) sunt variabile aleatoare Fai-m˘asurabile, de p˘atrat integrabil, 1 ≤ i ≤N ¸si 0≤a1 < b1 ≤...≤aN < bN. Definim integrala stochastic˘a ˆın acest caz prin liniaritate, adic˘a
Z t
0 N
X
i=1
ϕi(ω)1[ai,bi)(s)dBs(ω) =
N
X
i=1
ϕi(ω)(Bbi∧t(ω)−Bai∧t(ω)).
Integrala definit˘a anterior are urm˘atoarele propriet˘at¸i.
Propozit¸ia 1.23. Dac˘a f ∈ I este un proces simplu, m˘arginit, atunci integrala stochastic˘a Nt(ω) =
Z t 0
f(s, ω)dBs(ω)
Capitolul 1. Probabilit˘at¸i ¸si procese stochastice 15 este o martingal˘a continu˘a ¸si are loc urm˘atoarea proprietate de izometrie:
E
"
Z t 0
f(s, ω)dBs(ω) 2#
=E Z t
0
f2(s, ω)ds. (1.1)
Demonstrat¸ie. Pentru a demonstra prima afirmat¸ie, datorit˘a liniarit˘at¸ii integralei stochastice, este suficient s˘a consider˘am cazul ˆın care f ∈ I este un proces elementar m˘arginit
f(t, ω) =ϕ(ω)1[a,b)(t),
undeϕ(ω) este o variabil˘a aleatoareFa-m˘asurabil˘a, m˘arginit˘a, de p˘atrat integrabil ¸si 0≤a <
b.
Dac˘a procesul ϕeste m˘arginit de constantaK, obt¸inem
|Nt−Ns|=|ϕ(ω)(Bb∧t(ω)−Ba∧t(ω))−ϕ(ω)(Bb∧s(ω)−Ba∧s(ω))|
≤K|Bb∧t(ω)−Bb∧s(ω)|+K|Ba∧t(ω)−Ba∧s(ω)|, iar continuitatea procesului Nt rezult˘a din continuitatea mi¸sc˘arii BrownieneBt.
Pentru a ar˘ata c˘a Nt este o martingal˘a ˆın raport cu filtrarea {Ft}t≥0 trebuie s˘a ar˘at˘am c˘a, oricare ar fi 0≤s < t avemE(Nt|Fs) =Ns. ˆIn funct¸ie de pozit¸iile relative ale numerelor a, b, s ¸si tdistingem urm˘atoarele situat¸ii:
1. a < s < t < b Avem
E(Nt|Fs) =E(ϕ(ω)(Bt(ω)−Ba(ω))|Fs)
=ϕ(ω) (E(Bt(ω)−Bs(ω)|Fs) +E(Bs(ω)−Ba(ω)|Fs))
=ϕ(ω) (E(Bt(ω)−Bs(ω))) +Bs(ω)−Ba(ω)
=ϕ(ω) (0 +Bs(ω)−Ba(ω))
=ϕ(ω) (Bs(ω)−Ba(ω))
=Ns,
deoarece, ˆın acest caz, Bt−Bs este o variabil˘a aleatoare independent˘a de σ-algebra Fs iar Bs−Ba este o variabil˘a aleatoare Fs-m˘asurabil˘a.
2. a < s < b < t Avem
E(Nt|Fs) =E(ϕ(ω)(Bb(ω)−Ba(ω))|Fs)
=ϕ(ω) (E(Bb(ω)−Bs(ω)|Fs) +E(Bs(ω)−Ba(ω)|Fs))
=ϕ(ω) (E(Bb(ω)−Bs(ω))) +Bs(ω)−Ba(ω)
=ϕ(ω) (0 +Bs(ω)−Ba(ω))
=ϕ(ω) (Bs(ω)−Ba(ω))
=Ns,
deoarece, ˆın acest caz, Bb −Bs este o variabil˘a aleatoare independent˘a de σ-algebra Fs iar Bs−Ba este o variabil˘a aleatoare Fs-m˘asurabil˘a.
3. Pentru celelalte patru cazuri r˘amase demonstrat¸ia este similar˘a ¸si o vom putea omite.
Capitolul 1. Probabilit˘at¸i ¸si procese stochastice 16 Pentru a demonstra ultima afirmat¸ie din enunt¸ul Propozit¸iei, consider˘am un proces simplu f ∈ I, dat de
f(t, ω) =
N
X
i=1
ϕi(ω)1[ai,bi)(t),
undeϕi(ω) sunt variabile aleatoareFai-m˘asurabile, m˘arginite, de p˘atrat integrabil, 1≤i≤N
¸si 0≤a1< b1 ≤...≤aN < bN.
Folosind independent¸a cre¸sterilor mi¸sc˘arii Browniene ¸si faptul c˘a variabilele aleatoare ϕi
¸si ϕj suntFai, respectivFaj-m˘asurabile, obt¸inem:
E
ϕi(ω)ϕj(ω) (Bbi∧t(ω)−Bai∧t(ω)) Bbj∧t(ω)−Baj∧t(ω)
= (
E ϕ2i(ω)
(bi∧t−ai∧t), i=j
0, i6=j,
de unde rezult˘a c˘a E
"
Z t 0
f(s, ω)dBs(ω) 2#
=E
"N X
i=1
ϕ2i(ω) (Bbi∧t(ω)−Bai∧t(ω))2
#
+ 2E
X
1≤i<j≤N
ϕi(ω)ϕj(ω) (Bbi∧t(ω)−Bai∧t(ω)) Bbj∧t(ω)−Baj∧t(ω)
=E
"N X
i=1
ϕ2i(ω) (bi∧t−ai∧t)
#
=E Z t
0
f2(s, ω)ds, demonstrat¸ia fiind ˆın acest moment ˆıncheiat˘a.
Pentru a extinde definit¸ia integralei stochastice la cazul general al unui proces f ∈ I introducem, pentru ˆınceput, urm˘atorul rezultat.
Lema 1.24. Dac˘af ∈ I, atunci exist˘a un ¸sir de procese simple, m˘arginite,fn∈ I astfel ˆıncˆat E
Z ∞ 0
(f(s, ω)−fn(s, ω))2ds→0 pentru n→ ∞. (1.2) Folosind acest rezultat, putem demonstra urm˘atoarea Teorem˘a.
Teorema 1.25. Oricare ar fi procesulf ∈ I ¸si ¸sirul de procese simple(fn)n∈N⊂ I cu E
Z ∞ 0
(f(s, ω)−fn(s, ω))2ds→0 pentru n→ ∞,
procesul Ntn(ω) = Z t
0
fn(s, ω)dBs(ω) converge ˆın L2(P), uniform ˆın raport cu t∈[0,∞), c˘atre o martingal˘a continu˘a Nt(ω). Mai mult, limita este independent˘a de alegerea ¸sirului (fn)n∈
folosit ˆın aproximarea funct¸iei f. N
Putem enunt¸a, ˆınainte de a trece la demonstrat¸ia Teoremei anterioare, urm˘atoarea Definit¸ie.
Capitolul 1. Probabilit˘at¸i ¸si procese stochastice 17 Definit¸ia 1.26 (Integrala stochastic˘a Itˆo). Definim integrala stochastic˘a Itˆo a unui proces stochastic f ∈ I, ˆın raport cu mi¸scarea Brownian˘a Bt prin
Z t 0
f(s, ω)dBs= lim
n→∞
Z t 0
fn(s, ω)dBs,
undefn este un ¸sir de procese simple, m˘arginite, ce verific˘a relat¸ia (1.2).
Demonstrat¸ie. S˘a observ˘am c˘a, dac˘a g∈ I este un proces simplu, m˘arginit, rezult˘a c˘aMt = Z t
0
g(s, ω)dBs(ω) este o martingal˘a continu˘a ¸si are loc egalitatea
EMt2=E
"
Z t 0
g(s, ω)dBs(ω) 2#
=E Z t
0
g2(s, ω)ds <∞
¸si deci
sup
t≥0EMt2≤E Z ∞
0
g2(s, ω)ds <∞.
Conform teoremei de convergent¸˘a a martingalelor rezult˘a c˘a limita M∞ = limt→∞Mt exist˘a aproape sigur ¸si avem
EM∞2 = lim
t→∞E Z t
0
g(s, ω)dBs(ω) 2
= lim
t→∞E Z t
0
g2(s, ω)ds
=E Z ∞
0
g2(s, ω)ds <∞.
Cum diferent¸a a dou˘a procese simple este tot un proces simplu, aplicˆand rezultatul anterior procesului g(s, ω) =fn(s, ω)−fm(s, ω) ¸si folosind inegalitatea lui Doob, obt¸inem
E
sup
t≥0
(Ntn−Ntm)2
≤cE Z ∞
0
(fn(s, ω)−fm(s, ω))2ds
≤2cE Z ∞
0
(fn(s, ω)−f(s, ω))2ds+ 2cE Z ∞
0
(fm(s, ω)−f(s, ω))2ds
→0
pentru n, m → ∞. Rezult˘a deci c˘a Ntn(ω) este un ¸sir Cauchy ˆın L2(P), uniform ˆın raport cu t ≥ 0. Cum L2(P) este un spat¸iu metric complet rezult˘a c˘a Ntn converge ˆın L2(P) c˘atre un proces pe care ˆıl vom nota cu Nt =Nt(ω). Procesul limit˘a Nt este, de asemenea, un proces continuu ˆın variabila t.
Deoarece Ntn este o martingal˘a, oricare ar fi 0≤s < t, avem E(Ntn|Fs) =Nsn,
de unde, prin trecere la limit˘a pentrun→ ∞, rezult˘a c˘aNteste tot o martingal˘a. Faptul c˘a E(Ntn|Fs)→E(Nt|Fs) pentru n→ ∞
Capitolul 1. Probabilit˘at¸i ¸si procese stochastice 18 rezult˘a din
E
(E(Ntn|Fs)−E(Nt|Fs))2
=E
(E(Ntn−Nt|Fs))2
≤E
E
(Ntn−Nt)2|Fs
=E
(Ntn−Nt)2
n→∞→ 0.
Pentru a demonstra independent¸a limitei de ¸sirul de aproximare (fn)n∈N⊂ I considerat, fie un alt ¸sir de procese simple, m˘arginite, ( ˜fn)n∈N⊂ I, cu
E Z ∞
0
f(s, ω)−f˜n(s, ω) 2
ds→0 pentru n→ ∞
¸si s˘a not˘am ˜Ntn= Z t
0
f˜n(s, ω)dBs(ω).
Conform demonstrat¸iei anterioare avem, folosind din nou inegalitatea lui Doob, E
sup
t≥0
Ntn−N˜tn 2
≤cE Z ∞
0
fn(s, ω)−f˜n(s, ω) 2
ds
→0
pentru n→ ∞ ¸si deci limitaNt este independent˘a de alegerea ¸sirului de aproximare (Ntn)n∈N
considerat.
Exemplul 1.7. Calculat¸i valoarea integralei stochastice Rt
0BsdBs folosind definit¸ia integralei stochastice.
Demonstrat¸ie. Consider˘amf(t, ω) =Bt¸si definim ¸sirul fn(t, ω) =
2n−1
X
j=0
Btj1[tj,tj+1)(t), undetj =tnj =t2jn.
Din independent¸a cre¸sterilor mi¸sc˘arii Browniene obt¸inem E
Z t 0
(f(s, ω)−fn(s, ω))2ds
=E
2n−1
X
j=0
Z tj+1
tj
(Btj−Bs)2ds
=
2n−1
X
j=0
Z tj+1
tj
(s−tj)ds
=
2n−1
X
j=0
1
2(tj+1−tj)2
= t2 2·2n →0
pentru n→ ∞¸si decifn este un ¸sir de aproximare al procesului fˆın sensul relat¸iei (1.2).