Colecţia "LICEU”
________________________________________________________________
CULEGERE DE PROBLEME
pentru examenul de admitere la
Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii,
Facultatea de Arhitectură
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României UNIVERSITATEA „POLITEHNICA” (Timişoara)
Culegere de probleme pentru examenul de admitere la:
Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii, Facultatea de
Arhitectură/Universitatea “Politehnica” din Timişoara. Departamentul de Matematică - Timişoara : Editura Politehnica, 2010
Bibliogr.
ISBN 978-606-554-236-5 51(076)(079.1)
DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ
CULEGERE DE PROBLEME
pentru examenul de admitere la
Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii,
Facultatea de Arhitectură
Colecţia "LICEU"
EDITURA POLITEHNICA
TIMIŞOARA - 201 3
Toate drepturile sunt rezervate editurii. Nici o parte din această lucrare nu poate fi reprodusă, stocată sau transmisă prin indiferent ce formă, fără acordul prealabil scris al Editurii Politehnica.
EDITURA POLITEHNICA Bd. Republicii nr. 9
300159 Timişoara, România Tel. 0256/403.823
Fax 0256/403.823
E-mail: [email protected]
Consilier editorial: Prof.dr.ing. Sabin IONEL Redactor: Claudia MIHALI
Bun de imprimat: 10.12.2010 Coli de tipar: 7
C.Z.U. 51(076)(079.1) ISBN 978-606-554-236-5
Tiparul executat la S.C. URC XEDOS Timişoara
CUPRINS
ELEMENTE DE ALGEBRĂ
(simbol AL )...9
ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE
(simbol TG )...45
ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
(simbol AM )...57
ANEXE
Subiecte date la admitere în anii 2009 şi 2010,
cu soluţii complete...79
BIBLIOGRAFIE………..……103
PREFAŢĂ
Prezenta culegere conţine probleme de matematică pentru pregătirea candidaţilor la admiterea în Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii şi Facultatea de Arhitectură din cadrul Universităţii
„Politehnica” din Timişoara.
Problemele sunt prezentate după modelul „test”, cu mai multe răspunsuri, dintre care unul singur este corect.
În finalul culegerii sunt prezentate subiectele, cu soluţii complete, date la admitere în ultimii doi ani la facultăţile menţionate.
Notăm că această culegere este alcătuită din o parte dintre problemele din cartea „Teste grilă de matematică pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior”, Editura Politehnica, 2010, elaborată de autorii: T. Bânzaru, N.
Boja, O. Lipovan, A. Kovacs, G. Babescu, P. Găvruţa, D. Rendi, I. Mihuţ, D. Dăianu, D. Păunescu, C. Milici şi R. Anghelescu.
La concursul de admitere, pentru note până la 8,00, subiectele se extrag exclusiv din această culegere (cu eventuale modificări minore), restul subiectelor provenind din cartea menţionată mai sus.
Departamentul de Matematică al
Universităţii „Politehnica” din Timişoara
DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ
PROGRAMA ANALITICĂ
Elemente de algebră
Progresii aritmetice şi geometrice. Funcţii: funcţia parte întreagă, funcţia radical, funcţia de gradul al doilea; Ecuaţii iraţionale. Sisteme de ecuaţii neliniare.
Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică. Ecuaţii exponenţiale şi ecuaţii logaritmice.
Permutări, aranjamente, combinări. Binomul lui Newton. Numere complexe sub formă algebrică. Matrice. Determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. Legi de compoziţie.
Grupuri. Inele şi corpuri. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ.
Elemente de geometrie şi trigonometrie
Funcţii trigonometrice. Relaţii între funcţii trigonometrice. Aplicaţii trigonometrice în geometria plană: teorema cosinusului, teorema sinusurilor;
rezolvarea triunghiurilor. Dreapta în plan. Ecuaţii ale dreptei. Condiţii de paralelism şi condiţii de perpendicularitate a două drepte. Calcule de distanţe şi arii.
Elemente de analiză matematică
Limite de funcţii. Continuitate. Derivabilitate. Aplicaţii ale derivatelor în studiul variaţiei funcţiilor. Primitive. Integrala definită. Aplicaţii ale integralei definite:
aria unei suprafeţe plane, volumul unui corp de rotaţie.
ELEMENTE DE ALGEBRĂ
ELEMENTE DE ALGEBRĂ (simbol AL)
AL - 001 Să se găsească primul termen a1 şi raţia r ai unei progresii aritmetice
( )
an n≥1 dacă : a a aa a a
2 6 4
8 7 4
7 2
− + = −
− =
⎧⎨
⎩ .
a)a1 = −4,r=3 b)a1 = −4,r=4 c)a1 = −3,r=1 d)a1 = −5,r=2 e)a1 = −2,r=2 f)a1=1,r=1 AL - 002 Să se determine suma primilor 100 de termeni ai unei progresii aritmetice (an), dacă a1=2, a5=14.
a) 10100 b) 7950 c) 15050
d) 16500 e) 50100 f) 350
AL - 003 Pentru o progresie aritmetică suma primilor n termeni ai ei este Sn =5n2 +6n. Să se determine primul termen a1 şi raţia r.
a)a1 =11,r=9 b)a1 =11,r=10 c)a1 =11,r=11 d)a1 =10,r=11 e)a1 =10,r=10 f)a1 =9,r=9 AL – 004 Fie
( )
an n≥1 un şir având suma primilor n termeni Sn =n2+an b+ , unde,
a b∈R, pentru orice n≥1. Să se determine a şi b astfel încât şirul
( )
an n≥1 să fieprogresie aritmetică cu primul termen egal cu 2.
a) 2,a= b=3 b) a∈R, b∈
( )
1, 2 c) 1,a= b=0d) 2,a= b=0 e) a=2,b=1 f) a=1,b=2 AL - 005 Să se determine primul termen a1 şi raţia q pentru progresia
geometrică
( )
an n≥1 dacă : a aa a
5 1
4 2
15 6
− =
− =
⎧⎨
⎩ .
a)a1 =0,q=1 b)a1 =1,q=2 c)a1 16 q 1
= − , =2 d)
a q
a q
1 1
16 1 2
1 2
= −
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
=
=
⎧⎨
sau ⎩ e)a1 =1,q= −1 f) a q
a q
1 4 1
2
2 4
=
=
⎧⎨
⎩
=
=
⎧⎨ sau ⎩
AL - 006 Suma a trei numere în progresie aritmetică este egală cu 12. Dacă se adaugă acestora, respectiv numerele 1, 2, 11, progresia devine geometrică . Să se afle aceste numere.
a) 5,4,7 şi 15,14,13 b) 1,4,7 şi 17,4,-9 c) 6,8,10
d) 1,3,5 şi 17,15,13 e) 5,9,13 şi 18,14,10 f) 2,4,6 şi –1,4,9 AL – 007 Să se calculeze expresia
{ } 1
\ ... ,
1
...
1
2 2 4
2
1
2 ∈ −
+ + + +
+ + +
= + −− a R
a a
a
a a
E a n
n
.
a) a
1
b)1 1
− + a an
c)
1
1
+ + ana
d) an+
1
a e)
1 1
2 +
+
n n
a
a f) 1
AL – 008 Să se determine numerele reale x,y,z dacă x,y,z sunt în progresie aritmetică cu raţia nenulă, x,z,y sunt în progresie geometrică şi x+y+z = 18.
a) - 24, 6, 12 b) 24, 6, -12 c) 6, 12, 0
d) -12, 12, 18 e) 12, -6, 36 f) 36, -18, 0
AL - 009 Notând cu S mulţimea soluţiilor ecuaţiei
[ ]
11 x = x
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎣ ⎦
să se precizeze care din următoarele mulţimi este S a) ⎩⎨⎧ ,n∈
n
1 Z*
⎭⎬
⎫ b) U∗
∈ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
Z
k k
k 1
k, c)
{ n
2; n
∈Z \{ } }
−1,1d) {-1,1} e) [-1,1] f) (-1,1)
AL – 010 Se consideră funcţia f: R→R,
1 2 2
f
⎥⎦⎤+⎢⎣⎡
= x ) x
(
şi se notează f2=f ο f, … , fn = fn-1ο f . Să se determine expresia lui fn
a) fn(x) =f(x) + n; b) fn(x) =2nf(x); c) fn(x) =2n f(x)+2n-1+1 d) fn(x) =f(x); e) fn(x) =f(x)+2n+1; f) fn(x) = 2f(x)+1 AL - 011 Să se calculeze f((1,4]) pentru funcţia de gradul al doilea definită prin f(x)=x2 −4x+3.
a) ][0,3 b) [−1,0) c) (0,3] d) [−1,3] e) (−1,0) f) (0,3) AL - 012 Să se rezolve inecuaţia x <x2 −x.
a) x∈R b) x∈(−∞,2)∪ (3,∞) c) x∈(3,+∞) d) )x∈(0,+∞ ∪ ( −∞, −2) e) x∈(−∞,0)∪(2,+∞) f) x∈R\{0,2}
AL - 013 Să se determine valorile parametrului real m astfel încât
{
x∈R:(
m−1)
x2 −(
m+1)
x m+ + >1 0}
= ∅.a) m∈ − ∞ − ∪
(
, 1)
⎡⎣⎢53,+∞⎞⎠⎟ b) m∈ +∞[
1,)
c) m∈ − ∞ −(
, 1]
d) m∈⎡ +∞
⎣⎢
⎞
⎠⎟
5
3, e) m∈ −⎡
⎣⎢
⎤ 1 5⎦⎥
,3 f) m∈ − ∞
(
,1]
AL - 014 Fiind dată ecuaţia ax2+bx+c=0, (a ≠0), să se exprime în funcţie de a, b şi c suma
3 2 3 1
3 x x
S = + , unde x1,x2 sunt rădăcinile ecuaţiei date.
a) 3 2
3
3 3
a bc a
S = b − b) 3 2
3
3
3
a bc a
S = c − c) 2 3
2
3
3
a bc a
S =b −
d) 3 2
3
3
3
a bc a
S =−b + e) 3 33
3
2 a bc aS =−c + f) 3 22
3
3 a bc aS =−b +
AL - 015 Să se determine parametrii reali m şi n astfel ca ecuaţiile
( 5
m−52 )
x2+( 4
−m)
x+4
=0
şi( 2
n+1 )
x2 −5
nx+20
=0
să aibă aceleaşi rădăcini.
a) m = -11, n = 7; b) m = - 7, n = 11 c) m = 9, n = 7 d) m = 11, n = 7 e) m = 7, n = 11 f) m = 9, n = -7 AL - 016 Să se rezolve ecuaţia iraţională 1−x2 +x=1.
a) x1=0,x2 =1 b) x1=−1, x2 =1 c) x1=−1,x2 =0 d) x1=1,x2 =2 e) x1=−1,x2 =2 f) x1=0,x2 =2 AL - 017 Fie funcţia de gradul al doilea fm
( )
x =mx2−(
2m−1)
x+m−1,(
m≠0)
. Să se determine m astfel încât vârful parabolei asociate acestei funcţii să se găsească pe prima bisectoare.a) 4
= 1
m b) m=4 c) 2
= 1
m d) m=2 e) 6
=1
m f) m=6 AL - 018 Determinaţi expresia analitică a funcţiei de gradul al doilea f
:
R→R,( )
x ax x cf = 2 +
4
+ , ştiind că graficul ei taie axa Oy în punctul 1 şi are abscisa vârfului3
−
2
.a) f
( )
x =2
x2 +4
x+1
b) f( )
x =3
x2 +4
x−1
c) f
( )
x =4
x2 +4
x+1
d) f( )
x =3
x2 +4
x+1
e) f
( )
x =x2 +4
x+1
f) f( )
x =3
x2 +4
x+3
AL - 019 Să se determine m∈R astfel încât parabolele asociate funcţiilor
( )
x =x2 −2
x−4
f şi g
( )
x =mx2 −2
mx−6
să aibă acelaşi vârf.a) m = -1 b) m = 1 c) m = -2
d) m = 2 e) m = 3 f) m = -5
AL - 020 Să se determine p,q∈R dacă funcţia f
:
R→R, f( )
x =−x2 + px+qare maximul 4 în punctul x = -1.
a) p=−
2 ,
q=3
b) p=−1 ,
q=2
c) p=3 ,
q=−2
d) p=q=−2
e) p=q=1
f) p=2 ,
q=−3
AL - 021 Presupunem că pentru ecuaţia ax2+bx+c=0 (
a≠0)
avem Δ>0 şirădăcinile x1,x2. Să se calculeze x1−x2 în funcţie de Δ şi a.
a)
2
aΔ b)
a
Δ c)
a 2
Δ
d) Δ e)
−a
Δ f)
a a b
2 2
+ Δ
AL - 022 Pentru ce valori ale parametrului real m inegalităţile − < − +
− + <
2 2 2
1 6
2 2
x mx
x x sunt satisfăcute pentru orice x∈R? a) m∈R b) m∈ −
(
2 6,)
c) m∈ +∞(
6,)
d) m∈ − ∞ −
(
, 2 e))
m∈ −(
6 6,)
f) m∈ −[
2 6,]
AL - 023 Să se determine Im f =
{
f( )
x x∈R}
pentru funcţia f:
R→R,( ) 1
2 3
2 2
+ +
+
= −
x x
x x x
f
a) ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ − +
3 21 2 , 9 3
21 2
9
b) ⎟⎟⎠⎢ ⎞
⎣
⎡ +
,
∞3 21 2
9
c) ⎥
⎦
⎤
⎜⎜⎝
⎛−∞ −
3
21 2
, 9
d) ⎟⎟⎠⎢ ⎞
⎣
⎡ + ∞
⎥⎦
⎤
⎜⎜⎝
⎛−∞ −
,
3 21 2 9 3
21 2
, 9
Ue) ⎟⎟⎠
⎢ ⎞
⎣
⎡ + ∞
⎥⎦
⎤
⎜⎜⎝
⎛−∞ −
,
3 21 3 9 3
21 3
, 9
U f) ⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛ − +
3 21 3 , 9 3
21
3
9
AL - 024 Să se rezolve sistemul
⎩⎨
⎧
=
= +
2 3
xyy x
a)
{ ( ) ( )
1,3, 3,1}
b){ ( ) ( )
2,3, 3,2}
c){ ( ) ( )
1,2, 2,1}
d)
{ (
−1,2) (
, 2,−1) }
e){ } ( )
1,1 f){ } ( )
2,2AL - 025 Să se determine soluţiile reale ale sistemului
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= + +
+ = + +
5 3 4 1 1
xy y x
x y y
x
a)
{ ( ) ( )
2,1, 1,2}
, b){ } ( )
1,1 c){ } ( )
2,2d)
{ ( ) ( )
2,3, 3,2}
e){ ( ) ( )
1,3, 3,1}
f){ ( ) ( )
2,2,1,1}
AL - 026 Să se rezolve inecuaţia 2 3+ x+ 5x+ <4 0. a)⎡− −
⎣⎢
⎞
⎠⎟
4 5
2
, 3 b)⎡− −
⎣⎢
⎤
⎦⎥
4 5
2
, 5 c)⎡− −
⎣⎢
⎞
⎠⎟
4 5
7
, 9 d)⎡− −
⎣⎢
⎤
⎦⎥
3 5
1
, 5 e) 0 7 ,9
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ f)⎛−
⎝⎜
⎞
⎠⎟
7 9,0 AL - 027 Să se determine x∈R pentru care 1+ −x 1− =x 1.
a)x∈ − ∞
(
,0 b))
x= −1 c)x= 3 2 d)2
±
3
=
x e)x= − 3
2 f)x∈∅
AL - 028 Fie inecuaţia 4−x2 >1−x
.
Care din intervalele de mai jos reprezintă mulţimea soluţiilor inecuaţiei ?a)
(
−∞,−3)
b) ⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ ,20 2
17 c)
(
−2,2]
d)(
22,+∞)
e)[
4,5)
f) 1 72 2
⎛ −
⎝⎜⎜ ⎤
⎦⎥ , ⎥ AL - 029 Să se determine mulţimea A=⎧⎨⎩x∈R x2 −5x+ ≥6 3−x⎫⎬⎭.
a)
(
− ∞ −, 1 b)] [
2,+∞)
c)[
1,+∞)
d)(
− ∞ ∪,1] { }
3 e)[
1 2,)
∪{ }
3 f)[
3,+∞)
AL - 030 Să se determine valoarea expresiei
( )
(
− ⋅)
∈Z= −
−
−
− ,n
E
n n
n n
3 1 2 1
2 1 1
27 19 27
9 9
a) 6
72
b) 2⋅3n−1 c) 2⋅3 d) 23
3 2
− +
⋅ n e) 1 f) 2 AL - 031 Să se determine toate soluţiile reale ale ecuaţiei
x+ −3 4 x− +1 x+ −8 6 x− =1 1.
a)x∈
{
2 5 10, ,}
b)x∈[ ]
5 10, c)x∈{ }
5,10 d)x∈[ ]
1 5, e)x∈ +∞(
5,)
f)x∈( )
5 10,AL - 032 Să se determine toate soluţiile reale ale ecuaţiei
x x
x
2
1 1 12
− + ⋅ − =0.
a)x∈ −
{ }
11, b)x∈ − −{
2 11, , c)}
x∈∅d)x∈R\ 0
{ }
e)x∈ − ∞ − ∪(
, 1] { }
1 f)x∈ −{
11 0, ,}
AL - 033 Să se calculeze valoarea expresiei E= x+2 x− +1 x−2 x−1 , pentru x∈
[ ]
1 2, .a) E= +1 x b) E=x2 −3x+4 c) E=2 d) E=3x x− 2 e) E= 6x−2x2 f) E=2 2
(
−x)
AL - 034 Să se rezolve ecuaţia: 3 2 2 3 2 2 3 + 2
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟ −⎛ −
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ =
x x
.
a)x=1 b)x=2 c)
( )
x= + 2 2 3 2 2
lg lg
d)x∈∅ e)
( )
x=
− 2 2 3 2 2
lg
lg f)x=2 2lg AL - 035 Determinaţi valoarea lui x pentru care ex +e−x =
2
a) 1 b) –1 c) 2 d) 0 e) –2 f) ln2
AL - 036 Să se rezolve ecuaţia 2x−3x = 6x−9x
a) x1=0 este b) x1=0 c) x1=0
unica soluţie
3 log 1
1
2
2 = −
x x2 =log2
d) x1=0 e) x1=0 f) x1=0
x2 =log23+1
3 log
1
2 2 =
x x2 =log23
AL - 037 Să se rezolve inecuaţia: 1
3 3
⎛ 2
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + > −
x
x.
a)
(
4,+∞)
b)[
−2 1, c)) ( )
0 10, d)(
1,+∞)
e)(
2,+∞)
f)( )
−11,AL - 038 Să se rezolve inecuaţia:
x x
x x
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝ +⎛
− >
⋅ −
3 1 2 2 3
2
2
1.
a) ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
∈
2
1 log 5
, 0
3
x 2 b) ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
∈
2
1 log 5
, 0
3
x 2 c)x∈
( 0 , 1 )
d)x∈( 0 , log
32( 5
−1 ) )
e)x∈( 0 , log
32( 5
+1 ) )
f)x∈(
−1 , 1 )
AL - 039 Să se rezolve ecuaţia:( )
( )
log log
2
2 2
2 5
8 1 2 x
x
−
− = .
a)x1 11 x2
3 3
= , = b)x1 11 x2
3 3
= , = − c)x1 11
= 3 d)x1 =3 e)x1 11 x2
3 3
= − , = − f)x1 =9
AL - 040 Să se precizeze domeniul maxim de definiţie al funcţiei:
( )
f x x
= − x
log2 3 2−
1 .
a)
(
− ∞ ∪,1)
⎛⎝⎜23,+∞⎞⎠⎟ b)(
− ∞ ∪ +∞,1) [
2,)
c)[
2,+∞)
d)
(
1,+∞)
e)(
0,2]
∪( )
4,∞ f)(
−∞,0] [
∪ 2,∞)
AL -041 Să se determine domeniul maxim de definiţie al funcţiei f x
( )
= logx 3x ⋅log3 x.a)
(
0,+∞)
b)(
1,+∞)
c)⎛⎝⎜0,13⎤⎦⎥∪ +∞(
1,)
d) 0 1 2
2 3 1
, ,
⎛
⎝⎜
⎤
⎦⎥∪⎡
⎣⎢
⎞
⎠⎟ e)
( ) (
0 1, ∪ 2,+∞)
f)( )
1 2,AL - 042 Mulţimea soluţiilor ecuaţiei 5
log 2x x+log2xx= 2 este:
a) φ; b) 1, 2 2
⎧ ⎫
⎨ ⎬
⎩ ⎭; c)
{ }
2, 4 ; d) ⎧⎨14, 2⎫⎬⎩ ⎭; e)
{ }
2, 5 f) ⎧⎨15, 2⎫⎬⎩ ⎭
AL - 043 Să se rezolve ecuaţia: log23 2+ log4 x=
(
xlog916)
log13x.a)x=3 b)x=1 c)x=16
3 d)x= 3
16 e)x= 1
3 f)x=3
AL - 044 Să se rezolve ecuaţia
3
2
2 lg 2
lg
x + x= .a) x=10 b) x=100 c) x= 1000
d) x=1 e) x=2 f) x=3
AL - 045 Se consideră inecuaţia: , 0, 1 4
log 3 log
logax− a2x+ a4x≥ a> a≠
şi se notează cu Ma mulţimea tuturor soluţiilor sale. Care dintre următoarele afirmaţii este adevărată ?
a)M1
2
0 1
=⎛ 2
⎝⎜
⎤
, ⎦⎥ b)M1
2
1
=⎛2 +∞
⎝⎜
⎞
, ⎠⎟ c)M1
2
1
=⎡2 +∞
⎣⎢
⎞ , ⎠⎟
d) ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ ∞
=
, 4 1
4
M1 e)M1
( )
10
= − +∞5, f)M2 =
( )
2 10,AL - 046 FieP x
( )
=x2 −xloga y+3loga y−8, y>0, a∈( )
0 1, . Să se determine toate valorile lui y astfel încât P x( )
>0 , oricare ar fi x∈R.a)y∈
(
a a4, 8)
b)y∈(
a a8, 4)
c)y∈[ ]
a8,
ad)y∈
( )
a,2 e)y∈( )
a a3, f)y∈[ ]
a a2,AL - 047 Se consideră funcţia )f :R→(−1,+∞ ,
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
<
= −
0 ,
0 , ) 1
( x x
x x e
f
x
. Calculaţi inversa sa, f−1.
a) ⎩⎨⎧
+∞
∈
−
∈
= +
−
) , 0 [ ,
) 0 , 1 ( ), 1 ) ln(
( 2
1
x x
x x x
f b)
⎩⎨
⎧
+∞
∈
−
∈
= −
−
) , 0 [ , 2
) 0 , 1 ( ), 1 ) ln(
1(
x x
x x x
f
c) ⎩⎨⎧
+∞
∈
−
= ∈
−
) , 0 [ ,
) 0 , 1 ( , ) ln
1(
x x
x x x
f d)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+∞
∈
−
−
∈
= +
−
) , 0 [ , 1
) 0 , 1 ( ), 1 ) ln(
( 2
2 1
x x
x x x
f
e) ⎩⎨⎧
+∞
∈
−
−
∈
= +
−
) , 0 [ ,
) 0 , 1 ( ), 1 ln(
) 2
( 2
1
x x
x x x
f f)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+∞
∈ +
−
= ∈
−
) , 0 [ , 1
) 0 , 1 ( , ) ln
( 2
2 1
x x
x x x
f
AL - 048 Se consideră expresia E x
( )
=log4 x+logx4 . Determinaţi valorile lui x∈R astfel încât E x( )
<52 .a)x∈
( )
1 2, b)x∈( ) ( )
0 1, ∪ 2 16, c) x∈[ ] [
1,2 ∪16,32]
d)x∈
(
16,+∞)
e)x∈( ) (
1 2, ∪ 20,+∞)
f)x∈( ) (
110, ∪ 20,+∞)
AL - 049 Să se determine numărul de elemente ale mulţimii
( ) ( )
⎭⎬⎫⎩⎨
⎧
< −
∈ +
= +
! 1 15
! 2
4 4
n n
n A
E N n
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 f) 5
AL – 050 Soluţia ecuaţiei
( 6 )( 5 )( 4 )
3
5
8 = + + +
++ x x x
Cxx se află în intervalul :
a) (14,19); b) (-8,-3); c) (-6,-4); d) (20,24) e) (21,27); f) (19,20).
AL - 051 Să se rezolve ecuaţia
2 2 2
1
4
3
Cx+ +x⋅P = Ax.a) x=3 b) x=4 c) x=5
d) x=2 e) x=7 f) x=10
AL - 052 Să se calculeze expresia:
E C C C
C n k n k
nk nk
nk nk
= − − − −− ≥ ≥ ≥ +
−−
2 22
21 , 3, 2, 2.
a)E=1 b)E =2 c)E=3 d)E= 1
2 e)E=1
3 f)E = −1 AL - 053 Determinaţi mulţimea A a valorilor luix∈R pentru care: C10x−1>2C10x. a)A= − ∞ − ∪ −
(
, 3) (
11 ,]
b)A={ }
5 6 7, , c)A=[ ]
1 7,d)A=
{
8 9 10, ,}
e)A= − − ∪[
3 2,] { }
1 2, f)A={
1 2 3 4, , ,}
AL - 054 Să se precizeze termenul care nu conţine pe x din dezvoltarea binomului ⎛ax− +xa− a x +
⎝⎜⎜ ⎞
⎠⎟⎟ ∈
1 2
1 2
30
, , R*.
a)C a3010 15 b)C a305 7 c)C a307 5 d)C a304 12 e)C a3015 14 f)C a308 8
AL - 055 Care este expresia termenului din dezvoltarea binomului a 3 a
3
3 13
⎛ +
⎝⎜⎜ ⎞
⎠⎟⎟ , care conţine pe a4 ?
a)187 3
4 7
a b) 286 3
4 7
a c)107 3
4 5
a d) 286 3
4 3
a e) 202 3
4 7
a f) 200 3
4 4
a
AL - 056 Care este termenul din dezvoltarea binomului x y
y
3 x
3 21
⎛ +
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ , în care exponenţii lui x şi y sunt egali ?
a) T13 b) T10 c) T6 d) T8 e) T15 f) T11 AL - 057 În dezvoltarea binomului ⎛ 2x + 21 x n
⎝⎜ ⎞
− ⎠⎟ , suma coeficienţilor binomiali ai ultimilor trei termeni este egală cu 22. Să se afle valorile lui x pentru care suma dintre termenul al treilea şi termenul al cincilea este egală cu 135.
a)x1 =1,x2 =2 b)x=2 c)x1 = −1,x2 =2 d)x1 = −1,x2 = −2 e)x=1 f)x1 =1,x2 = −1
AL – 058 Calculaţi E= z1z2+12 + z1z2−12 pentru numerele complexe z1 şi z2 (z fiind complexul conjugat numărului z).
a)
2 (
z12+ z22)
b)2 ( 1
+ z1z22)
c)2 ( 1
+ z12)( 1
− z22)
d)
2
z1z22 e)( 1
+ z12)(
z12−1 )
f)2 ( 1
+ z12− z22)
AL - 059 Să se găsească valorile reale ale lui m pentru care numărul
( 1 ) 5 ( 1 )
2
3
i43− mi42 + −mi41+ estereal i2 =− . a) m=−1 b) m=−2 c)2
−
5
=
m d) m=3 e) m=1 f) m=0
AL - 060 Să se calculeze valoarea expresiei
1996 1996
1 1 1
1
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ + + −
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
−
= +
i i i
E i .
a) i b) 2 c) –i d) –2 e) 2i f) –2i
AL - 061 Să se determine α∈R astfel încât numărul complex
(
i3 1 )
i1
+ +−
α
α
să fie real.a)
2 3
1
− b)4
2
3
+ c)4
1 3
+ d)4 1 3
2
+ e)4
3
f)3
2 1
+AL - 062 Să se determine numerele complexe z astfel încât
4
z2 +8
z2−3
=0
. a)z∈ ± ±⎧ i⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬
⎪ 1 3⎭⎪
, 2 b)z∈ ±⎧ i
⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬
⎪
⎭⎪
1 3
2 c)z∈ ±⎧ i±
⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬
⎪
⎭⎪
3 2
1 , 2
d)z∈ ±⎧ i±
⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬
⎪
⎭⎪
1 2
3
, 2 e)z i i
∈ − ±⎧ ±
⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬
⎪
⎭⎪
1 2 5
, 2 f)z i i
∈ ±⎧ − +
⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬
⎪
⎭⎪
3 2
2
2 5
3
7 , , 2
AL – 063 Să se precizeze cu care din valorile date mai jos este egal
( )
z
( )
i= +i
− 1 1
9 7 . a)z= +1 i b)z=2 c)z= −1 i d)z= −i e)z i= f)z= +2 i AL - 064 Căreia din mulţimile de mai jos aparţine α = z +
z z
z , pentru z∈C\ 0 ?
{ }
N b) Z c) Q d) R e) C R\ f) R\ 0
{ }
AL - 065 Să se determine toate numerele complexe z∈C care verifică ecuaţia z −z=1+2i.
a)z= − +1 i
2 b)z1 1 i z2 i 2
3
2 2
= − + , = − c)z z
2
i2 , 3 0
21 = = +
d)z= −3 i
2 2 e)z1 0 z2 1 i
= , = − +2 f)z= +5 i 2 3 AL - 066 Fieαşiβ rădăcinile ecuaţiei x2+x+1=0. Să se calculeze
2000 2000+β
α .
a) 1 b) 0 c) –1 d) 3i e) −i 3 f) 2
AL - 067 Precizaţi partea imaginară a numărului complex
( )
i i
i i
i
i + −
− − + + −
+
2
6 3 4 1
2 3 4
1
2.
a) i
10
−
23
b) i10
−
29
c) i10
19
d) i13
10
e) i10
−
33
f) i33
−
10
AL - 068 Să se calculeze z dacă z=⎜⎝⎛ 2+ 2 +i 2− 2⎟⎠⎞4.
a) 1 b) 2 c) 2 d) 16 e) 4 f) 6 AL - 069 Rădăcinile pătrate ale numărului complex 3+4i sunt :
a) 2+i, 2-i ; b) 2+i, -2-i ; c) 2+i, -2+1 ;
d) 2-i, -2+i ; e) 1+i, 1-i ; f) 1+i, 2+i
AL - 070 Să se calculeze rădăcina pătrată din numărul complex
( 1 )
, 4
3
+ = −−
= i i
z .
a)
2
+i, 2
−i b)1
+2
i,
−1
+2
i c)1
+2
i,
−1
−2
i d) −2
+i, 2
+i e)1
−2
i,
−1
−2
i f)2
−i,
−1
−2
i AL - 071 Fie z un număr complex astfel încât z−a = a2−b2 , unde, a>b>0. Să se calculezez b
z b
+
− .
a) a b) a
−b
1 c) b a
b a
+
− d) 22 22 b a
b a
+
− e) a +b
1 f) b a
b a
+
−
AL – 072 Numerele complexe z1 şi z2 satisfac relaţia: z1+z2 = z1 ⋅ z2 . Care din afirmaţiile următoare este adevărată ?
a) z1 = 0, z2 =1- i b) z1 = z2 = 2+3i c) z1 =0, z2 > 0
d) z1 >2 şi z2 >2 e) cel puţin unul din cele două numere f) z1 >2, z2 =0 are modulul mai mic sau egal cu 2.
AL – 073 Aflaţi a∈R astfel ca matricea diagonală constantă
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
a a a X
0 0
0 0
0 0
să fie soluţia comună a ecuaţiilor matriceale
( )
11 2 3 3 2
1 =
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
X şi
( )
13 2 1 1 2
3 =
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ X
a)
10
=
3
a b)
10
=
2
a c)
10
=
1
ad)
3
=
10
a e)
2
=
10
a f) a=10
AL - 074 Se dau matricele pătratice de ordinul al doilea ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛−
=
4 6 3
E
5
şi⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
=
3 7 2
F
1
.Să se calculeze matricea
A = 2E – 3F
a) ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
= −
9 1
12
A
13
b) ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
−
= −
9 1
12
A
13
c) ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
−
= −
9 1
12
A13
d) ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛
9 1
12
A
13
e) ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
= −
9 1
12
A
13
f) ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
= −
9 1
12
A
13
AL - 075 Fie 3
( )
Z3 1 3
1 1 2
2 0 1
M
A ∈
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
= .
Dacă f
( )
x =3x să se calculeze f( )
A .a)
( )
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
3 1 3
1 1 2
6 0 3 A
f b)
( )
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
3 1 9
1 1 6
2 0 3 A
f c)
( )
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
9 3 9
3 3 6
6 0 3 A f
d)
( )
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
9 1 3
1 3 2
2 0 3 A
f e)
( )
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
3 1 9
1 3 2
6 0 1 A
f f) f
( )
A =I3AL - 076 Să se calculeze produsul de matrice A⋅B, unde
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛
2 1 0
1 2
A
3
,⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
= 2 3 1 B
a) ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
11
7
b) ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
6 3
7
11
c) ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
2 1 3
2 7 11
d) ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
7
11
e)(
11 7 3)
f)⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ 3 7 11
AL - 077 Să se rezolve ecuaţia matriceală:
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
7 3
4 2 5 2
2
X1
a) ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
1 1
0
2
b) ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
0 1
2
0
c) ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
4 3
1 1
d) ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
2 5
2
1
e) ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
1 1
4
1
f) ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
1 0
1 2
AL - 078 Să se rezolve ecuaţia matriceală:
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
5 2 1
2 3 4
3 1 1
1 1 1
0 1 2
1 1 1 X
a) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
0 3 5
2 5 4
0 2 3
b)
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛−
0 3 1
1 5 1
0 2 3
c)
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛−
0 3 1
1 5 1
1 2 3
d) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
0 3 5
1 5 4
0 1 3
e)
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
2 3 5
0 5 4
0 2 3
f)
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
1 3 5
2 5 4
0 2 3
AL - 079 Să se rezolve ecuaţia matriceală
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⋅ 0 1 6
8 9 6 1 4 3
4 3 2
3 2 1 X
a) ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
= −
1 1
1
X
1
b) ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
= −
1 0 1
1 1
X
0
c)⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
1 1 2
2 1 1
1 1 2 X
d) ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
= −
3 2 1
2 1
X
3
e) ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
= −
1 1 1
1 1
X
1
f) ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛
1 3 2
3 2
X1
AL - 080 Să se determine matricea X care verifică relaţia: 2 3
2 2 4
3 3 6
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ = −
−
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
X .
a) X =
(
1 −1 2)
b) X = ⎛⎝⎜10 0 0−1 2⎞⎠⎟ c) X = ⎛⎝⎜12 −12⎞⎠⎟d) X =
(
1 −2 3)
e) X = 112
−
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟ f) X = 1 1
2 2
−
−
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
AL - 081 Să se rezolve ecuaţia matriceală X
2 2 3
1 1 0
1 2 1
1 2 3
1 3 2
−
−
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟ = −
− −
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟.
a) X = 6 31 5
4 12 14
− −
− −
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ b) X = 6 32 21
4 23 14
− −
− −
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ c) X =
2 4 6 1 3 2
1 2 2
−
−
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟
d) X =
6 4
31 2
5 11
−
−
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟ e) X = 5 31 4 4 12 10
−
−
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ f) X = 6 32 21 4 23 14
−
−
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
AL - 082 Fie A = 1 2 0 1
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ . Să se arate că An este de forma: An = 1 0 1
an
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟şi să se determine apoi an , n ∈ N.
a) an+1 =an +2,an =2n b) an+1 =a an, n =1 c) an+1 =an +1,an =n d) an+1 =2a an, n =2n e) an+1 =an +2,an =2n f) an+1 =2a an, n=2n2
AL - 083 Să se calculeze 1 2
3 2 3 2
1 2
30
−
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟⎟ .
a) −
−
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ 1 0
0 1 b) 1 0
0 1
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ c) 0 1
1 0
−
−
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
d) 0 1
−1 0
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ e) 0 1
1 0
−
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ f) 1 0
0 −1
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟