Capitolul 2. Faze nat ¸ionale. Probleme date la etapa nat ¸ional˘ a ˆın perioadele 1977-1984; 2008-2011

(1)

(2)

CUPRINS

PREFAT ¸ ˘ A

. . . vii

Capitolul 1. Faze locale ale concursurilor student ¸e¸ sti de matematic˘ a

§1.1. Universitatea Politehnica Bucure¸sti . . . 2

Probleme date la concursul student¸esc ”Traian Lalescu” ˆın perioada 1978-2010 §1.2. Universitatea ”Gheorghe Asachi” Ia¸si . . . 19

Probleme date la concursul student¸esc ”Alexandru Climescu” ˆın perioada 2006-2010 §1.3. Universitatea Tehnic˘a de Construct¸ii Bucure¸sti . . . 26

Probleme date la concursul student¸esc ”Traian Lalescu” ˆın perioada 1987-2011 §1.4. Universitatea Tehnic˘a Cluj-Napoca . . . 34

Probleme date la concursul student¸esc ”Traian Lalescu” ˆın perioada 2001-2011

Capitolul 2. Faze nat ¸ionale. Probleme date la etapa nat ¸ional˘ a ˆın perioadele 1977-1984; 2008-2011

Anul 1977 - subiecte anul I . . . 42

Anul 1980 - subiecte anul II . . . 45

Anul 2008 - subiecte anul I, Profil mecanic . . . 52

(3)

Anul 2008 - subiecte anul I, Profil electric . . . 53

Anul 2009 - subiecte anul II, Profil mecanic . . . 57

Anul 2009 - subiecte anul II, Profil electric . . . 59

Capitolul 3. Probleme propuse

§3.1. Analiz˘a matematic˘a . . . 68

§3.2. Algebr˘a . . . 81

§3.3. Geometrie . . . 88

§3.4. Matematici speciale . . . 94

Capitolul 4. Probleme date la alte concursuri

University CALTECH - SUA - 2005 . . . 98

University CALTECH - SUA - 2006 . . . 99

S¸colile Superioare de Comert¸ ¸si Industrie - Frant¸a - 1998 . . 100

S¸colile de ˆınalte studii comerciale din Paris ¸si Lyon - 2001 . 109 S¸coala Normal˘a Superioar˘a Paris - 2002 . . . 113

S¸coala Normal˘a Superioar˘a Paris - 2003 . . . 116

(4)

Capitolul 5. Probleme date la alte concursuri student ¸e¸ sti - Universitatea Bucure¸ sti

§5.1. Algebr˘a . . . 122

§5.2. Algebr˘a liniar˘a ¸si geometrie . . . 124

§5.3. Analiz˘a ¸si ecuat¸ii diferent¸iale . . . 129

Solut ¸ii la capitolul 1

§1.1. Universitatea Politehnica Bucure¸sti . . . 137

Probleme date la concursul student¸esc ”Traian Lalescu” ˆın perioada 1978-2010 §1.2. Universitatea ”Gheorghe Asachi” Ia¸si . . . 172

Probleme date la concursul student¸esc ”Alexandru Climescu” ˆın perioada 2006-2010 §1.3. Universitatea Tehnic˘a de Construct¸ii Bucure¸sti . . . 190

Probleme date la concursul student¸esc ”Traian Lalescu” ˆın perioada 1987-2011 §1.4. Universitatea Tehnic˘a Cluj-Napoca . . . 211

Probleme date la concursul student¸esc ”Traian Lalescu” ˆın perioada 2001-2011

Solut ¸ii la capitolul 2

(5)

Anul 2009 - subiecte anul II, Profil mecanic . . . 259

Anul 2009 - subiecte anul II, Profil electric . . . 262

Solut ¸ii la capitolul 3

§3.1. Analiz˘a matematic˘a . . . 276

§3.2. Algebr˘a . . . 317

§3.3. Geometrie . . . 337

§3.4. Matematici speciale . . . 349

Solut ¸ii la capitolul 5

§5.1. Algebr˘a . . . 357

§5.2. Algebr˘a liniar˘a ¸si geometrie . . . 361

§5.3. Analiz˘a ¸si ecuat¸ii diferent¸iale . . . 369

(6)

PREFAT ¸ ˘ A

Dup˘a 1900, ˆın t¸ara noastr˘a au avut loc concursuri tinere¸sti anuale de matematic˘a, transformate ˆın evenimente nat¸ionale, ˆıntrerupte doar ˆın anii de r˘azboi sau de tranzit¸ie nedefinit˘a. Organizatorul principal a fost Societatea de S¸tiint¸e Matematice din România, cu implicarea Ministeru- lui Înv˘at¸˘amântului. Este binecunoscut c˘a Olimpiadele Internat¸ionale de Matematic˘a ale elevilor, ajunse la peste 50 de edit¸ii, au fost lansate la init¸iativa României; totodat˘a, au ˆınceput s˘a aib˘a loc concursuri locale - Balcaniada, Scandinaviada, ˆın Benelux, ˆın Asia de Sud - Est etc.

În 1970, concursurile de matematic˘a de la noi au cuprins ¸si pe student¸i, iar Concursul Nat¸ional ”Traian Lalescu” a avut loc sistematic pân˘a ˆın 1984, reluat dup˘a 2007. În jurul acestui concurs, s-a creat o anumit˘a emulat¸ie ¸si o motivat¸ie pentru preg˘atirea student¸ilor talentat¸i, oferind ocazia afirm˘arii acestora. Uneori, concursurile s-au transformat ˆıntr- un fel de nefericit˘a ”ˆıntrecere socialist˘a” ˆıntre ¸sefi de catedr˘a, decani

¸si chiar rectori. Dar dincolo de dificult˘at¸i ¸si asperit˘at¸i, pentru Univer- sit˘at¸ile mari ale t¸˘arii - Politehnicile din Bucure¸sti, Timi¸soara, Ia¸si, Cluj- Napoca, Academia Tehnic˘a Militar˘a - concursurile ”Traian Lalescu” au fost un prilej de competit¸ie, de analiz˘a a preg˘atirii, cu atent¸ie la asig- urarea corectitudinii select¸iei ˆın cadrul concursurilor locale. Premiant¸ii au fost popularizat¸i ˆın pres˘a ¸si au fost recompensat¸i cu diplome ¸si uneori cu bani (put¸ini !). Interesul student¸ilor ¸si prezent¸a lor la fazele locale au avut fluctuat¸ii, dar ˆıntotdeauna a existat un nucleu de student¸i remar- cabili ¸si cadre didactice valoroase, care nu s-au uitat la ceas.

Dup˘a anul 2005, s-a organizat prima Olimpiad˘a Student¸easc˘a de Matematic˘a pentru T¸ ˘arile din Sud - Estul Europei (SEEMOUS), la init¸iativa Societ˘at¸ii de Matematic˘a din Cipru. Deja s-au scurs cˆateva edit¸ii, care au prilejuit ˆıntˆalnirea reprezentant¸ilor a peste 15 - 20 de Univer- sit˘at¸i din t¸˘arile balcanice, la care s-au ad˘augat Rusia, Ucraina, Israel

¸s.a. Aceast˘a competit¸ie a condus la cre¸sterea atent¸iei acordat˘a preg˘atirii student¸ilor no¸stri, ca ¸si test˘arii capacit˘at¸ii lor pentru performant¸˘a.

ˆIn aceast˘a culegere de probleme, nu ne adres˘am unor student¸i care se preg˘atesc pentru examene curente, dornici de exercit¸ii-tip, expediente

¸si ret¸ete-standard, ci unora care au o motivat¸ie l˘auntric˘a de a ˆınt¸elege matematica ¸si a c˘auta performant¸a. Culegerea cuprinde ˆın principal probleme date la concursurile student¸e¸sti anterioare, anii fiind indicat¸i ˆın mod explicit. Calculatorul nu este implicat direct, de¸si el este mereu util ¸si utilizabil. Exist˘a ¸si un capitol de probleme propuse, ˆın bun˘a parte

(7)

originale, dar ˆın general autorii au evitat ”cimiliturile” matematice sau problemele artificiale adresate unor rafinat¸i.

Scopul autorilor a fost acela de a sintetiza un num˘ar mare de probleme

¸si de a prezenta solut¸ii complete, ˆınsot¸ite uneori de comentarii. Este pentru prima dat˘a cˆand se pun laolalt˘a, ˆın Capitolul 1, problemele date la fazele locale ale Concursului ”Traian Lalescu” (de la cˆateva universit˘at¸i din t¸ar˘a), iar ˆın Capitolul 2 - seturile de probleme date la fazele nat¸ionale, ˆın perioadele 1977 - 1984; 2008 - 2011 (ˆıntre anii 1985 ¸si 2007, faza

nat¸ional˘a fiind ˆıntrerupt˘a).

Capitolul 3 cuprinde probleme propuse, iar capitolul urm˘ator - probleme date la alte concursuri, inclusiv la universit˘at¸i celebre din Frant¸a sau SUA, cu scop ilustrativ - informativ; acestea din urm˘a sunt singurele care nu sunt urmate de solut¸ii, ˆın rest toate problemele sunt rezolvate.

Capitolul 5 cuprinde probleme formulate de Facultatea de matematic˘a a Universit˘at¸ii din Bucure¸sti.

Cartea de fat¸˘a fost elaborat˘a ˆın cadrul proiectului POSDRU/56/1.2 /S/32768, ”Formarea cadrelor didactice universitare ¸si a student¸ilor ˆın domeniul utiliz˘arii unor instrumente moderne de predare-ˆınv˘at¸are- evaluare pentru disciplinele matematice, ˆın vederea cre˘arii de competent¸e performante ¸si practice pentru piat¸a muncii”. Finant¸at din Fondul So- cial European ¸si implementat de c˘atre Ministerul Educat¸iei, Cercet˘arii, Tineretului ¸si Sportului, ˆın colaborare cu partenerii: The Red Point, Oameni ¸si Companii, Universitatea din Bucure¸sti, Universitatea Tehnic˘a de Construct¸ii din Bucure¸sti, Universitatea ”Politehnica” din Bucure¸sti, Universitatea din Pite¸sti, Universitatea Tehnic˘a ”Gheorghe Asachi” din Ia¸si, Universitatea Tehnic˘a din Cluj-Napoca, Universitatea de Vest din Timi¸soara, Universitatea ”Dun˘area de Jos” din Galat¸i, Universitatea ”1 Decembrie 1918” din Alba-Iulia, proiectul contribuie ˆın mod direct la realizarea obiectivului general al Programului Operat¸ional Sectorial de Dezvoltare a Resurselor Umane - POSDRU ¸si se ˆınscrie ˆın domeniul ma- jor de intervent¸ie 1.2 Calitate ˆın ˆınvt¸˘amˆantul superior.

Proiectul are ca obiectiv adaptarea programelor de studii ale disciplinelor matematice la cerint¸ele piet¸ei muncii ¸si crearea de mecanisme

¸si instrumente de extindere a oportunit˘at¸ilor de nv˘at¸are. Evaluarea nevoilor educat¸ionale obiective ale cadrelor didactice ¸si student¸ilor legate de utilizarea matematicii ˆın ˆınv˘at¸˘amˆantul superior, masterate ¸si doctor- ate precum ¸si analizarea eficacit˘at¸ii ¸si relevant¸ei curriculelor actuale la nivel de performant¸ei eficiente, ˆın vederea dezvolt˘arii de cuno¸stint¸e ¸si competent¸e pentru student¸ii care nvat¸˘a discipline matematice ˆın univer-

(8)

sit˘at¸i, reprezint˘a obiective specifice de interes ˆın cadrul proiectului. Dez- voltarea ¸si armonizarea curriculelor universitare ale disciplinelor matematice, conform exigent¸elor de pe piat¸a muncii, elaborarea ¸si implementarea unui program de formare a cadrelor didactice ¸si a student¸ilor interesat¸i din universit˘at¸ile partenere, bazat pe dezvoltarea ¸si armonizarea de cur- riculum, crearea unei baze de resurse inovative, moderne ¸si funct¸ionale pentru predarea-nv˘at¸area-evaluarea ˆın disciplinele matematice pentru ˆınv˘a- t¸˘amˆantul universitar sunt obiectivele specifice care au ca raspuns mate- rialul de fat¸˘a.

Formarea de competent¸e cheie de matematic˘a ¸si informatic˘a pre- supune crearea de abilit˘at¸i de care fiecare individ are nevoie pentru dezvoltarea personal˘a, incluziune social˘a ¸si insert¸ie pe piat¸a muncii. Se poate constata ns˘a c˘a programele disciplinelor de matematic˘a nu au ˆıntotdeauna ˆın vedere identificarea ¸si sprijinirea elevilor ¸si studen-t¸ilor potent¸ial talentat¸i la matematic˘a. Totu¸si, studiul matematicii a evoluat ˆın exigent¸e pn˘a a ajunge s˘a accepte provocarea de a folosi noile tehnologii ˆın procesul de predare-nv˘at¸are-evaluare pentru a face matematica mai

atractiv˘a.

ˆIn acest context, analiza flexibilit˘at¸ii curriculei, ˆınsot¸it˘a de analiza metodelor ¸si instrumentelor folosite pentru identificarea ¸si motivarea student¸ilor talentat¸i la matematic˘a ar putea r˘aspunde deopotriv˘a cerint¸elor de mas˘a, cˆat ¸si celor de elit˘a.

Viziunea pe termen lung a acestui proiect preconizeaz˘a determinarea unor schimb˘ari ˆın abordarea fenomenului matematic pe mai multe pla- nuri: informarea unui num˘ar cˆat mai mare de membri ai societ˘at¸ii n leg˘atur˘a cu rolul ¸si locul matematicii ˆın educat¸ia de baz˘a ˆın instruct¸ie ¸si ˆın descoperirile ¸stiint¸ifice menite s˘a ˆımbun˘at˘at¸easc˘a calitatea viet¸ii, inclusiv popularizarea unor mari descoperiri tehnice, ¸si nu numai, ˆın care matematica cea mai avansat˘a a jucat un rol hot˘arˆator.

De asemenea, se urm˘are¸ste evident¸ierea a noi motivat¸ii solide pentru ˆınv˘at¸area ¸si studiul matematicii la nivelele de baz˘a ¸si la nivel de performant¸˘a; stimularea creativit˘at¸ii ¸si formarea la viitorii cercet˘atori matematicieni a unei atitudini deschise fat¸˘a de ˆınsu¸sirea aspectelor specifice din alte ¸stiint¸e, ˆın scopul particip˘arii cu succes ˆın echipe mixte de cercetare sau a abord˘arii unei cercet˘ari inter ¸si multi disciplinare; identificarea unor forme de preg˘atire adecvat˘a de matematic˘a pentru viitorii student¸i ai disciplinelor matematice, ˆın scopul utiliz˘arii la nivel de performant¸˘a a aparatului matematic ˆın construirea unei cariere pro- fesionale.

(9)

Concluzionˆand, aceast˘a lucrare a fost posibil˘a prin efortul comun al reprezentant¸ilor universit˘at¸ilor participante la proiectul POSDRU, care

¸si-au asumat rolul de ”culeg˘atori”. O bun˘a parte dintre ace¸stia sunt ¸si autorii de fapt ai problemelor, dar exist˘a ¸si alt¸i autori al c˘aror nume nu a fost ret¸inut. Lor ¸si tuturor celor care au ˆınlesnit aparit¸ia acestei lucr˘ari, le adres˘am mult¸umiri.

Autorii

(10)

Capitolul 1

FAZE LOCALE

ale concursurilor student ¸e¸ sti de matematic˘ a

(11)

1.1 Universitatea Politehnica Bucure¸ sti Probleme date la concursul student ¸esc

”Traian Lalescu” ˆın perioada 1978-2010

1. Fie f :R³→R³un izomorfism R-liniar.

a) S˘a se arate c˘a imaginea prinf a unei drepte este tot o dreapt˘a . b) Dac˘aT este un tetraedru, s˘a se calculeze raportul dintre volumele f(T) ¸si T.

(etapa local˘a UPB 1978) 2. Pentru orice p∈Z se define¸ste funct¸ia ϕp:R→ C, ϕp(x) =e^ipx. Fie F mult¸imea tuturor funct¸iilor f : R → C de forma f = X

p∈Z

λpϕp, undeλp∈C sunt tot¸i nuli, cu except¸ia unui num˘ar finit.

a) S˘a se arate c˘aF este un spat¸iu vectorial complex (relativ laf+g, λf).

b) Pentru f ∈ F fixat˘a , s˘a se calculeze cq = Z 2π

0

f(x)e^−iqxdx, q∈Z

¸si s˘a se arate c˘a familia de funct¸ii (ϕp)p∈Z formeaz˘a o baz˘a pentruF.

c) S˘a se arate c˘a o funct¸ie f ∈ F, f = X

p∈Z

λpϕp, are toate valorile reale ⇐⇒λp =λ−p, ∀p∈Z.

d) S˘a se arate c˘a aplicat¸iau:F → F,f 7→f⁰−f este un izomorfism C-liniar; este acela¸si lucru valabil ¸si pentru v:F → F, f 7→f⁰−if?

(etapa local˘a UPB 1978) 3.Fiep≥2, polinomulP(X) = 1+

p

X

k=1

(−1)^k

k! X(X−1). . .(X−k+1)

¸si matriceaA∈Mn(R) astfel ˆıncˆat I_n+

p

X

k=1

(−1)^k

k! A(A−I_n). . .(A−(k−1)I_n) =O_n,

(12)

undeI_n este matricea unitate.

a) S˘a se determine r˘ad˘acinile luiP.

b) S˘a se arate c˘aA are valori proprii reale printre r˘ad˘acinile luiP ¸si c˘a 0 nu este valoare proprie.

c) S˘a se arate c˘aA este diagonalizabil˘a.

(etapa local˘a UPB, 1978) 4. Se consider˘a sferele:

x²+y²+z²−4 = 0, x²+y²+z²−2x−2y−2 = 0.

S˘a se determine:

a) ecuat¸ia planelor perpendiculare pe linia centrelor.

b) ecuat¸ia cilindrului circumscris celor dou˘a sfere.

(etapa local˘a UPB, 1979) 5. Pentrux, y∈Rse noteaz˘ad(x, y) =|arctgx−arctgy|.

a) S˘a se arate c˘a d este o distant¸˘a peR.

b) Relativ la distant¸a d, s˘a se arate c˘a ¸sirul xn = n, n ≥ 0 este Cauchy, monoton ¸si m˘arginit, dar nu convergent.

c) Fie mult¸imea X =N^? ¸si pentru orice x, y ∈ X, definim δ(x, y) =

1 x −1

y

. S˘a se arate c˘a (X, δ) este un spat¸iu metric necomplet.

(etapa local˘a UPB, 1979) 6. Fie V spat¸iul vectorial real al ¸sirurilor x = (xn)n≥1 astfel ˆıncˆat seria X

n≥1

x²_n s˘a fie convergent˘a.

a) S˘a se arate c˘a punˆandhx, yi=X

n≥1

x_ny_n , pentru oricex, y ∈V, se obt¸ine un produs scalar.

b) S˘a se calculezehx, yipentrux=2n−1 2^n/2

¸si y= 1 2^n/2

, n≥1.

c) Se cere m˘asura unghiului θ ∈ [0, π] dintre ¸sirurile x = (2¹⁻ⁿ) ¸si y= (3¹⁻ⁿ) , n≥1.

(etapa local˘a UPB, 1980)

(13)

7. Fie V =C⁰_[−π,π] ¸si T :V →V,f 7→g, unde g(x) =

Z π

−π

[1 + sin(x+t)]f(t)dt.

a) S˘a se arate c˘aT este un operator liniar ¸si s˘a se calculezeT(sin) ¸si T(cos).

b) S˘a se determine dimensiunile imaginii ¸si nucleului luiT. c) S˘a se determine valorile proprii ale lui T.

(etapa local˘a UPB, 1980) 8. Fie U =Rⁿ\0,v_i :U →R, x7→ x_i

r² (unde r=p

x²₁+x²₂+. . .+x²_n).

a) S˘a se arate c˘a∀i, j, avem

n

X

k=1

∂vi

∂x_k

∂vj

∂x_k = 1 r⁴δij

¸sir²∆vi+ 2(n−2)vi = 0 ˆınU.

b) Dac˘a f : U → R este de clas˘a C² ¸si ∆f = 0, s˘a se arate c˘a g(x1, x2, . . . , xn) =r²⁻ⁿf(x1, x2, . . . , xn) este de asemenea armonic˘a .

(etapa local˘a UPB, 1981) 9.FieP spat¸iul real al funct¸iilor polinomialef : [0,1]→R, cu norma kf k= sup

x∈[0,1]

|f(x)|. S˘a se arate c˘a:

a) SeriaX

n≥0

xⁿ

n! este absolut convergent˘a, dar nu convergent˘a; cum se explic˘a ?

b) Bila unitate B ={f ∈ R|kfk ≤ 1} este ˆınchis˘a ¸si m˘arginit˘a, dar nu este compact˘a; cum se explic˘a ?

c) Operatorul D:P →P, f 7→f⁰ nu este continuu.

(etapa local˘a UPB, 1981) 10.S˘a se demonstreze urm˘atoarele afirmat¸ii:

a) 3 sin 20^◦>1.

(14)

b) ∀n ≥ 3 ˆıntreg ¸si ∀x ∈ h π 2n,π

2

, exist˘a ε, ε ∈ (0,1), astfel ˆıncˆat

sin(nx) nsinx

<1−ε.

c) ∀n ∈ N, exist˘a a ∈ 0,π

2

astfel ˆıncˆat sin(nx)

sinx ≤ sin(na) sina ,

∀x∈ a,π

2

.

(etapa local˘a UPB, 1981) 11.Fie A∈Mn(R) avˆand valoarea proprie -1.

a) S˘a se arate c˘a In+A este inversabil˘a ¸si c˘a (In+A)⁻¹ comut˘a cu In−A.

b) Fie B = (In−A)(In+A)⁻¹. S˘a se arate c˘a A este ortogonal˘a ⇔ B este antisimetric˘a.

c) S˘a se arate c˘a mult¸imea matricelor p˘atratice din Mn(R) care nu au -1 ca valoare proprie este o mult¸ime deshis˘a ˆın spat¸iulM_n(R)'Rⁿ². (etapa local˘a UPB, 1982) 12.Fie z_n = (x_n, y_n)^T, n≥0, astfel ˆıncˆat

z₀ = (1,1)^T, x_n+1=x_n+ 2y_n, y_n+1=x_n+y_n, n≥0.

a) S˘a se determine o matrice A ∈ M2(R) astfel ˆıncˆat zn+1 = Azn, n≥0 ¸si apoi s˘a se determineznˆın funct¸ie de n.

b) S˘a se arate c˘a toate punctelezn ∈R² sunt situate pe o reuniune de conice, care se vor reprezenta grafic.

c) S˘a se indice o infinitate de perechi (x, y) ∈ N² astfel ˆıncˆat x⁴− 4x²y²+ 4y⁴−1 = 0.

(etapa local˘a UPB, 1982) 13.Fie f :R→R astfel ˆıncˆat

f(x+h)−f(x) =A(x)h+α(x, h) ∀x, h∈R,

unde |α(x, h)| ≤ M|h|³, M > 0 fiind o constant˘a. S˘a se arate c˘a f este un polinom de gradul ˆıntˆai, iar Aeste o funct¸ie constant˘a.

(15)

(etapa local˘a UPB, 1982) 14.S˘a se arate c˘a:

a) O mult¸ime A⊂Rcu propriet˘at¸ile:

∀x, y∈A, x−y∈A,

¸siAcont¸ine un ¸sir convergent de numere reale distincte, este dens˘a ˆın R (adic˘aA=R).

b) Mult¸imea {sin(2n)|n∈N}este dens˘a ˆın [-1,1].

c) max

[0,a](sinx+ cos(πx))<2 ¸si sup

x≥0

(sinx+ cos(πx)) = 2,∀a >0.

(etapa local˘a UPB, 1983) 15. Fie q : Rⁿ → R o form˘a p˘atratic˘a. Se spune c˘a o matrice A ∈ M_n(R) invariaz˘aq dac˘a

∀x= (x1, x2, . . . , xn)≡(x1, x2, . . . , xn)^T, q(x) =q(Ax).

a) S˘a se determine , pentru n = 2, matricele care invariaz˘a formele p˘atraticex²₁+x²₂¸si x²₁−x²₂.

b) S˘a se arate c˘a mult¸imeaG(q) a matricelor dinM_n(R) care invariaz˘a q este ˆınchis˘a relativ la ˆınmult¸irea matricelor ¸si s˘a se indice condit¸ii ca G(q) s˘a fie grup.

(etapa local˘a UPB, 1983) 16. a) dac˘a f : [0,1] → R este o funct¸ie continu˘a, s˘a se determine

n→∞lim

√n Z √¹

n

0

f(x)dx.

b) S˘a se studieze convergent¸a integralei improprii Z 1

0

ln(1 +x) x³ dx.

c) S˘a se calculeze lim

n→∞

√1 n

Z 1

√1 n

ln(1 +x) x³ dx.

(etapa local˘a UPB, 1984) 17.Fie D mult¸imea funct¸iilorf :R→ Rindefinit derivabile ¸si nule ˆın afara unui interval m˘arginit.

(16)

a) S˘a se arate c˘aD este un spat¸iu vectorial real.

b) Fie ϕ : R → R, definit˘a prin ϕ(x) = exp( 1

x²−1), pentru x ∈ (−1,1) ¸si nul˘a ˆın rest. S˘a se arate c˘aϕ∈D, c˘a funct¸iileϕ(x+k),k ∈R sunt liniar independente ¸si dimD =∞.

c) S˘a se demonstreze egalitatea de mult¸imi {f⁰|f ∈D}={g∈D|

Z ∞

−∞

g(x)dx= 0}.

(etapa local˘a UPB, 1984) 18.Fie A∈M₂(R) simetric˘a ¸si inversabil˘a.

a) S˘a se arate c˘a∀k ∈Z, A^k este o combinat¸ie liniar˘a deI2 ¸siA.

b) Dac˘a A = (aij)_i,j=1,2 are valorile proprii λ1, λ2, s˘a se arate c˘a

|a12| ≤ ¹₂|λ1−λ2|.

c) Dac˘a A este pozitiv definit˘a ¸si K = {x ∈ R² | x^TAx = 1}, s˘a se arate c˘a mult¸imea K este compact˘a ¸si s˘a se determine min

x∈Kkxk ¸si maxx∈K kxk.

(etapa local˘a UPB, 1984) 19.Fie f :D→ R, f(x, y) = 1

p1−2xy+y².

a) S˘a se reprezinte grafic domeniul maxim de definit¸ieD ⊂R². b) S˘a se arate c˘a exist˘a polinoame pn de grad n ≥ 0, astfel ˆıncˆat f(x, y) =

∞

X

n=0

pn(x)yⁿ, precizˆand valorile (x, y) admisibile.

c) S˘a se calculeze expresia

E= (1−2xy+y²)∂f

∂y −(x−y)f

¸si s˘a se deduc˘a o relat¸ie de recurent¸˘a ˆıntrepn−1,p_n¸si p_n+1.

(etapa local˘a UPB, 1988) 20. Fie f :M₂(R)→M₂(R),f(X) =X −X^T.

a) Este sau nu f o aplicat¸ieR-liniar˘a ?

(17)

b) S˘a se determine Kerf ¸si Imf ¸si dimensiunile lor.

c) S˘a se determine valorile proprii ale lui f.

(etapa local˘a UPB, 1991) 21. a) Se consider˘a n vectori nenuliu1, u2, . . . , un ∈Rⁿ. S˘a se arate c˘a ei formeaz˘a o baz˘a a lui Rⁿ peste R dac˘a singurul vector ortogonal peste tot¸iu_i, 1≤i≤neste vectorul nul.

b) Fie α ∈ (−1,1), α 6= 0. S˘a se arate c˘a vectorii v_k = (1, α^k, α^2k, . . . , α^k(n−1)), 1 ≤ k ≤ n, formeaz˘a o baz˘a a lui Rⁿ peste R.

(etapa local˘a UPB, 1992) 22.Fie F mult¸imea funct¸iilorf :R²→R astfel ˆıncˆat

|f(x, y)| ≤x²+y², ∀(x, y)∈R².

a) S˘a se arate c˘a orice funct¸ief ∈ F este diferent¸iabil˘a ˆın origine.

b) S˘a se determine f ∈ F de clas˘a C¹ dac˘a este omogen˘a de gradul doi ¸siy∂f

∂x −x∂f

∂y = 0 ˆın fiecare punct dinR²\Oy.

(etapa local˘a UPB, 1992) 23.Fie ¸sirul an= (ne⁻¹)ⁿ

n! , n≥1.

a) Se cere natura seriei X

n≥1

ln a_n

an+1

¸si suma ei.

b) S˘a se arate c˘a seria X

n≥1

(−1)ⁿan este convergent˘a.

(etapa local˘a UPB, 1995) 24.a) S˘a se studieze derivabilitatea funct¸ieif :R→R,

f(x) =

∞

X

n=1

sin(nx) n³ .

b) S˘a se studieze convergent¸a uniform˘a a ¸sirului de funct¸iifn :R→ R,

fn(x) = 1− x²

2! +...+ (−1)ⁿx²ⁿ

2n!, n≥0.

(18)

(etapa local˘a UPB, 1995) 25.Fie V =M2(R). Pentru orice matriceA, B∈V se define¸ste

hA, Bi= tr(A^TB).

a) S˘a se arate c˘a se obt¸ine un produs scalar ˆınV. b) FieC =



 1 0 1 2



,. S˘a se determine matricele dinV, ortogonale peC ¸si peC².

c) S˘a se arate c˘a pentru orice aplicat¸ieR-liniar˘af :V →R, exist˘a o matriceA astfel ˆıncˆat f(M) = tr(AM), pentru orice M∈V.

(etapa local˘a UPB, 1995) 26.Fie ¸sirul(an)n≥0 definit prin

a0= 2

5, an+1= 2ⁿ−3an, ∀n≥0.

S˘a se determine:

a) raza de convergent¸˘a a serieiX

n≥0

anxⁿ. b) suma seriei acestei serii.

(etapa local˘a UPB, 1997) 27. Fie f : R → R, f(x, y) = x⁴y²

x⁸+y⁴ pentru (x, y) 6= (0,0) ¸si f(0,0) = 0.

a) S˘a se arate c˘a f are derivate part¸iale ˆın orice punct (x, y) ∈R², f˘ar˘a a fi continu˘a ˆın origine.

b) S˘a se studieze dac˘a exist˘a sau nu versoriis, tastfel ˆıncˆat df ds(0,0), df

dt(0,0) s˘a fie nule, dar derivata df

dv(0,0) s˘a fie nenul˘a , undev= s+t ks+tk. (etapa local˘a UPB, 1997) 28.Fie seria de funct¸ii X

n≥1

1 n⁴x²+ 1.

(19)

a) Se cere mult¸imea de convergent¸˘a punctual˘a . b) Se define¸stef :R^∗→R, f(x) =x²X

n≥1

1

n⁴x²+ 1. S˘a se arate c˘a f se poate prelungi la o funct¸ie continu˘a fe:R→R.

c) Este sau nu federivabil˘a pe R?

(etapa local˘a UPB, 1997) 29. Fie parabola (P) : y = x² ¸si dreapta (D) : y = x−2 ˆın planul xOy.

a) Se cere distant¸ad(D, P).

b) S˘a se determine ecuat¸ia suprafet¸ei de rotat¸ie a lui (P) ˆın jurul (D), ˆın spat¸iul Oxyz.

(etapa local˘a UPB, 1997) 30. Fie E spat¸iul vectorial real al polinoamelor de grad cel mult n, n≥2. PunemQ0= 1, ¸si∀k≥1,Qk =X(X−1). . .(X−k+ 1).

a) S˘a se arate c˘a polinoamele Q0, Q1, . . . , Qn formeaz˘a o baz˘a B a lui E ¸si c˘a exist˘a ¸si este unic un izomorfism T : E → E astfel ˆıncˆat T(X^k) =Q_k, 0≤k ≤n.

b) Fie aplicat¸iaf : E →E, P(X)7→P(X + 1)−P(X). S˘a se arate c˘a f esteR-liniar˘a ¸si s˘a se determineKer(f) ¸si Im(f).

c) S˘a se expliciteze operatoruld=T⁻¹◦f◦T ¸si matricea luif relativ la baza B. S˘a se decid˘a dac˘a operatorul d este sau nu diagonalizabil.

(etapa local˘a UPB, 1998) 31.Fie disculD ={z ∈C| |z-i| ≤1}.

a) S˘a se calculezeI₁ = I

F rD

dz

(z²+ 1)² ¸siI₂= Z Z

D

zzdxdy;

b)S˘a se arate c˘a dac˘a z₁, z₂ ∈ D, atunci exist˘a z ∈ D astfel ˆıncˆat z²=z₁z₂.

(etapa local˘a UPB, 1998) 32.Fie E mult¸imea funct¸iilor continuef : [−1,1]→R. Se noteaz˘a

kfk∞= sup

x∈[−1,1]

|f(x)|, kfk2= Z 1

−1

f(x)²dx 1/2

, f ∈E.

(20)

a) S˘a se arate c˘a dim_RE =∞¸si c˘a se obt¸in dou˘a structuri de spat¸ii vectoriale normate peE.

b) S˘a se arate c˘a are loc relat¸ia

kf+gk²₂+kf−gk²₂= 2(kfk²₂+kgk²₂), ∀f, g∈E.

Are loc aceast˘a relat¸ie ¸si pentru normak · k∞? c) Fie ¸sirul (fn) ˆınE, fn(x) = 1 +nx, x∈

−1 n,0

, fn(x) = 1−nx, x∈

0, 1

n

¸si nul˘a ˆın rest,n≥1. S˘a se studieze convergent¸a ¸sirului (fn) ˆın cele dou˘a norme.

d) S˘a se arate c˘a normele k · k∞¸si k · k₂ nu sunt echivalente.

(etapa local˘a UPB, 1999) 33.Fie f :R²→Rdefinit˘a prin

f(x, y) =x²e^−y²^/x², dac˘ax6= 0 ¸si 0, dac˘ax= 0.

a) Studiat¸i continuitatea lui fˆın punctele (0, y),y∈R.

b) Studiat¸i diferent¸iabilitatea Fr´echet a lui f in (0,0).

c) Calculat¸i derivatele part¸iale ale luif ¸si studiat¸i continuitatea acestora.

d) Fieg(x, y, z) =f(1,p

x²+y²+z²). S˘a se calculeze produsul scalar h(gradg)(x, y, z),¯ri cu ¯r= (x, y, z).

(etapa local˘a UPB, 2003) 34. Se consider˘a seria de puteri

∞

X

n=2

xⁿ

n^α(lnn)^β unde x este real ¸si α, β∈R.

a) S˘a se calculeze raza de convergent¸˘a a seriei.

b) S˘a se precizeze mult¸imea de convergent¸˘a a seriei pentru β = 0 (discut¸ie dup˘a α∈R).

c) S˘a se precizeze mult¸imea de convergent¸˘a a seriei pentru α = 1 (discut¸ie dup˘a β∈R).

(21)

d) Determinat¸i forma funct¸iei f(x) =

∞

X

n=1

xⁿ

n ¸si precizat¸i domeniul maxim de definit¸ie.

(etapa local˘a UPB, 2003) 35. a) Fie D ∈ R³ o mult¸ime deschis˘a, (a, b, c) ∈ D, f : D → R o funct¸ie de clas˘aC¹ cu

f(a, b, c) = 0, ∂f

∂x(a, b, c) 6= 0,∂f

∂y(a, b, c) 6= 0,∂f

∂z(a, b, c) 6= 0.

Fie x =ϕ1(y, z), y =ϕ2(x, z), z =ϕ3(x, y) funct¸iile definite prin apli- carea teoremei funct¸iilor implicite lui f relativ la (a, b, c). S˘a se arate c˘a

∂ϕ1

∂y (b, c)·∂ϕ2

∂z (a, c)·∂ϕ3

∂x (a, b) =−1.

b) Fie F : R³ → R, F(x, a, b) = x⁷+ax+b. Verificat¸i aplicabili- tatea teoremei funct¸iilor implicite pentru F relativ la punctul (1,1,−2)

¸si deducet¸i c˘ax = ϕ(a, b).

c) Calculat¸i ∂ϕ

∂a ¸si ∂ϕ

∂b pentruϕdefinit la b).

d) Verificat¸i c˘aF(x,1,−2) = 0 are o unic˘a r˘ad˘acin˘a real˘a ¸si precizat¸i valoarea acesteia.

e) Calculat¸i aproximativ o r˘ad˘acin˘a a ecuat¸iei x⁷+ 0.99x−2.03 = 0.

(etapa local˘a UPB, 2003) 36.Fie f :R²→R, f(x, y) = arctg(x+y).

a) Scriet¸i formula Taylor cu rest de ordin 2 pentru f ¸si demonstrat¸i c˘a are loc inegalitatea

|f(x, y)−x−y| ≤x²+y², ∀(x, y)∈R².

(22)

b) Dezvoltat¸i ˆın serie Taylor centrat˘a ˆın x= 0 funct¸ia g(x) =

Z x 0

f(t,0) +∂f

∂x(t,0)

dt.

Precizat¸i mult¸imea punctelor de convergent¸˘a dinR.

c) Estimat¸i num˘arul de termeni necesari pentru calculul valorii aprox- imative cu dou˘a zecimale exacte pentru integrala

Z 1 0

g(x)dxfolosind seria de la punctul b).

(etapa local˘a UPB, 2004) 37. Fie funct¸ia z(x, y) definit˘a implicit prin

x²+ 2y²+z²−4x+ 2z+ 1 = 0, z 6=−1.

a) Demonstrat¸i c˘a−3≤z(x, y)≤1.

b) Aducet¸i cuadrica la forma canonic˘a; precizat¸i tipul acesteia.

c) Determinat¸i punctul ˆın care se pot duce plane tangente la cuadric˘a, paralele cu planulx+ 2y−z = 0.

(etapa local˘a UPB, 2004) 38.Fie

A=







6 2 −3 0

2 9 5 1

−3 5 13 −2

0 1 2 20





 .

a) Putet¸i g˘asi, f˘ar˘a a calcula polinomul caracteristic, o majorare pentru cea mai mare valoare proprie ?

b) Operatorul liniar T asociat matricii Aˆın baza canonic˘a este au- toadjunct ? (Justificare).

c) Operatorul liniar T este pozitiv definit ? (Justificare).

(23)

39.Determinat¸i elementele triedrului Frenet pentru curba C :x²+y²+z²= 6 x+y+z = 0

ˆın punctul A(1,1,−2).

(etapa local˘a UPB, 2005) 40.Fie seriaS(x) = 2

∞

X

n=1

(−1)ⁿ x²ⁿ

2n+ 2. Exprimat¸i prin funct¸ii cunos- cute

Z x 1

S(t)dt.

(etapa local˘a UPB, 2005) 41. Fie A ∈ Mn(R) o matrice avˆand toate valorile reale simple ¸si strict pozitive. S˘a se arate c˘a ecuat¸iaX²=Aare solut¸ia

X = 2 πA

Z ∞ 0

(t²I_n+A)⁻¹dt.

(etapa local˘a UPB, 2006) 42.S˘a se arate c˘a seriaX

n≥0

(−1)ⁿ

3n+ 1 este convergent˘a ¸si folosind o serie de puteri convenabil˘a, s˘a se calculeze suma ei.

(etapa local˘a UPB, 2006) 43. Fie f : R → R o funct¸ie de clas˘a C² ¸si u : R² → R, u(x, y) = f(x²−y²). S˘a se determinef dac˘a ∂²u

∂x² +∂²u

∂y² = 0, ˆın toate punctele lui R²\{(0,0)}.

(etapa local˘a UPB, 2006) 44. Fie V spat¸iul vectorial al polinoamelor de grad cel mult 2 cu coeficient¸i reali ¸si aplicat¸iaf :V →V definit˘a prin

f(p(X)) =p(X+ 1) + Z X+1

X−1

p(t)dt.

a) S˘a se arate c˘af esteR-liniar˘a ¸si s˘a se determineKer(f) ¸siIm(f).

(24)

b) S˘a se determine matricea asociat˘a aplicat¸ieif relativ la bazaB = {1, X, X²}a lui V.

c) S˘a se arate c˘afare o singur˘a valoare proprie real˘a ¸si s˘a se determine vectorii proprii respectivi.

(etapa local˘a UPB, 2006) 45.Fie f :R→R o funct¸ie indefinit derivabil˘a astfel ˆıncˆat

n→∞lim f⁽ⁿ⁾(0) = 7

¸si

|f⁽ⁿ⁾(x)−f⁽ⁿ⁻¹⁾(x)| ≤ 1

n², ∀x∈R, ∀n≥1.

S˘a se arate c˘a ¸sirul f⁽ⁿ⁾ este uniform convergent ¸si s˘a se determine limita sa.

(etapa local˘a UPB, 2007) 46.Se consider˘a funct¸ia ϕ: R→R, ϕ(x) ={x}, partea fract¸ionar˘a a lui x.

a) S˘a se arate c˘a ϕ este periodic˘a ¸si s˘a se calculeze In = Z n

0

ϕ(x) cos(2πnx)dx, pentru n∈N.

b) Fie fn(x) =

n

X

k=1

1

2^kϕ(kx). S˘a se arate c˘a ¸sirul (fn), n≥1, este un

¸sir de funct¸ii periodice, de gradul ˆıntˆai pe port¸iuni, uniform convergent peR.

c) Fie f = lim

n→∞fn. S˘a se arate c˘a f este continu˘a peR\Q.

(etapa local˘a UPB, 2007) 47.FieA, B∈ M3(R) astfel ˆıncˆatAB =BA,A²⁰⁰⁷ =I3,B²⁰⁰⁸=I3. a) S˘a se determine valorile proprii comune ale matricelorA¸siB. b) S˘a se arate c˘a polinoamele P =X²⁰⁰⁷−1 ¸si Q= (X + 1)²⁰⁰⁸−1 sunt relativ prime.

c) Presupunem c˘a exist˘a un vector coloan˘a nenul x∈M_3,1(R) astfel ˆıncˆat (A+B+I₃)x= 0. S˘a se arate c˘a (A+I₃)ⁿx= (−1)ⁿBⁿx,∀n≥1.

(25)

d) Folosind punctele b) ¸si c), s˘a se arate c˘a matriceaA+B+I₃este inversabil˘a.

(etapa local˘a UPB, 2007) 48.Fie fn: (0,1)→R, fn(x) =xⁿ⁺¹ln(x),n≥0.

a) S˘a se determine inf

x f_n(x) ¸si sup

x

f_n(x) pentrun≥0 fixat.

b) S˘a se studieze uniform convergent¸a pentru seria X

n≥0

fn(x) pe in- tervalul (0,1).

(etapa local˘a UPB, 2008) 49.S˘a se determine valoarea maxim˘a a funct¸ieif :K→R,

f(x, y, z) =x^1/2+y+z², unde

K ={(x, y, z)∈R³| x≥0,y≥0,z≥0,x+y+z≤1}.

(etapa local˘a UPB, 2008) 50.FieA∈M_n(R) o matrice al c˘arei polinom caracteristic nu admite nicio r˘ad˘acin˘a real˘a. Demonstrat¸i c˘a matricea A este inversabil˘a ¸si c˘a polinomul caracteristic al matriceiA⁻¹ nu admite r˘ad˘acini reale.

(etapa local˘a UPB, 2008) 51.Fie (an)nun ¸sir de numere reale cu lim

n→∞an = 0,an 6= 0,∀n∈N^∗. a) Ar˘atat¸i c˘a seriile

∞

X

n=1

|a_n −sina_n| ’si

∞

X

n=1

|a_n|³ au aceea¸si natur˘a (sunt simultan convergente sau divergente).

b) S˘a se arate c˘a, dac˘a seria

∞

X

n=1

|an|³ este convergent˘a atunci seriile

∞

X

n=1

an ¸si

∞

X

n=1

sinan au aceea¸si natur˘a.

c) Studiat¸i convergent¸a simpl˘a ¸si convergent¸a absolut˘a a seriei

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹sin n

√n³+ 1

.

(26)

(etapa local˘a UPB, 2008) 52. FieS spat¸iul vectorial real al ¸sirurilor de numere reale. Fie L=n

(x_n)_n|x_n+1= 5 6x_n−1

6xn−1

o

, n≥2, u= 1 2ⁿ

, v= 1 3ⁿ

. a) S˘a se arate c˘aLeste subspat¸iu al luiS.

b) S˘a se arate c˘a u¸si vapart¸in lui L.

c) Dac˘a (zn)_n ∈ L, z1 = 1, z2 = 0, s˘a se arate c˘a exist˘a α, β ∈ R, astfel ˆıncˆat

z_n=α 1 2ⁿ +β 1

3ⁿ, ∀n≥1.

(etapa local˘a UPB, 2009) 53.FieP ⊂R³planul de ecuat¸iex+2y+2z= 0 ¸si aplicat¸iaf :R³→ R³ care asociaz˘a fiec˘arui punctM, punctul M⁰ = proiect¸ia ortogonal˘a a luiM pe planul P.

a) S˘a se arate c˘a f este liniar˘a ¸si s˘a se determine nucleul ¸si imaginea luif;

b) S˘a se arate c˘a f este diagonalizabil˘a;

c) Generalizare.

(etapa local˘a UPB, 2009) 54.Fie {i, j, k}o baz˘a ortonormat˘a ˆın spat¸iulV3.

a) Dac˘a vectoriia, b, c∈V3satisfac inegalitateakak²+kbk²+kck²<1, atunci vectorii i+a, j+b,k+c∈V3 alc˘atuiesc o baz˘a ˆın V3.

b) Dac˘a vectorii a, b, c∈V3 satisfac inegalitatea cos(a, i) + cos(b, j) + cos(c, k)> 5

2, atunci familia {a, b, c} este o baz˘a ˆınV3.

(etapa local˘a UPB, 2010) 55. Fie A, B ∈ Mn(C) astfel ˆıncˆat A are toate valorile proprii distincte. S˘a se arate c˘a: AB =BA dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a un polinom P ∈C[X] cu B=P(A).

(27)

(etapa local˘a UPB, 2010) 56. Determinat¸i raza de convergent¸¸a R, a seriei X

n≥1

a_nxⁿ, x ∈R, ˆın urm˘atoarele cazuri:

a) an este num˘arul divizorilor luin, (n≥1);

b) a_n = Z 1

0

xⁿe^−xdx, n≥1;

c) a_n = 1 + 1

2 +· · ·+ 1

n, n ≥ 1. ˆIn acest ultim caz calculat¸i suma serieiX

n≥1

anxⁿ, ¸stiind c˘a

∞

X

n=0

yn·

∞

X

n=0

zn=

∞

X

n=0

wn, wn=

n

X

k=0

ykzn−k.

S-a notat

∞

X

n=0

y_n suma seriei X

n≥0

y_n.

(etapa local˘a UPB, 2010) 57. Fie f_n(x) = 1

n!

Z x

−∞

t²ⁿ⁺¹e^−t²dt, x∈R, n∈N.

a) Deducet¸i o relat¸ie de recurent¸˘a ˆıntre fn ¸si fn−1. b) Calculat¸i lim

n→∞

Z 1 0

fn(x) dx.

(etapa local˘a UPB, 2010) 58. Fie Ao matrice 3×3 cu elementele reale, astfel ca A³=A.

a) Ar˘atat¸i c˘a singurele valori proprii sunt−1,1 sau 0.

b) Ar˘atat¸i c˘a o astfel de matrice poate fi totdeauna diagonalizat˘a.

(28)

1.2 Universitatea ”Gheorghe Asachi” Ia¸ si

Probleme date la concursul ”Alexandru Climescu”

ˆın perioada 2006-2010

1. Se d˘a funct¸ia f :R→R. S˘a se arate c˘af este monoton˘a dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice intervalI ⊆R, f⁻¹(I) este interval. (f⁻¹(A) = {x∈R|f(x)∈A}.)

2. Care este mai maree^π sau π^e ?; argumentat¸i r˘aspunsul.

3. Fie (xn)n∈N un ¸sir de numere cu x0∈(0,1) ¸si x_n+1=x_n−x²_n+x³_n− · · ·+x²⁰⁰⁷_n −x²⁰⁰⁸_n . a) Ar˘atat¸i c˘axn este convergent ¸si calculat¸i limita sa.

b) Demonstrat¸i c˘a seria

∞

X

n=0

x^α_n, α∈R este convergent˘a dac˘a ¸si numai dac˘aα >1

4. S¸irulx_n se define¸ste prin relat¸iile

x₀= 1, x₁= 1/2, x_n+2=x_n+1 x²_n, n∈N.

S˘a se determine expresia luixn ¸si limita luixn.

5. Se consider˘a ¸sirul a1 = α ∈ (0,1) ¸si an+1 = 2^aⁿ −1, n ≥ 1.

Studiat¸i

a) existent¸a limitei ¸sirului a_n b) natura seriei

∞

X

n=1

an.

(29)

6. S¸irurile (x_n)n∈N,(y_n)n∈N sunt definite astfelx₀ =a∈ R,y₀ =b∈ R, a6=b, iar pentrun≥1 avem

xn = 2xn−1+ 3yn−1

5 , yn= 4xn−1+yn−1

5 .

S¸tiind c˘a seriile

∞

X

n=0

xn ¸si

∞

X

n=0

yn

sunt convergente, s˘a se determine raportul sumelor lor.

7. Se d˘a ¸sirul

n

X

k=1

1−k

k³+ 6k²+ 11k+ 6. a) Se cere s˘a se arate c˘a ¸sirul este convergent.

b) Calculat¸i limita sa.

8.Seria

∞

X

n=1

an, an ≥0 este convergent˘a. S˘a se arate c˘a dac˘aα >1/2 atunci seria

∞

X

n=1

√a_n

n^α , an ≥0 este convergent˘a.

9. Fie n ∈ N ¸si xi ∈ [0,1], i = 1,· · ·, n. Aflat¸i valoarea maxim˘a a sumei

X

1≤i<j≤n

|xi−xj|.

10.Fief :R→[0,+∞) o funct¸ie derivabil˘a cu derivata continu˘a pe R, care satisfacef(0) =f⁰(0) = 0, f⁰⁰(0) =a 6= 0, f⁰⁰⁰(0) =b. S˘a se arate c˘a

g(x) =







pf(x) f⁰(x)

!0

x6= 0

0 x= 0

define¸ste o funct¸ie ˆıntr-o vecin˘atate a originii ¸si s˘a se calculeze saltul funct¸iei ˆın origine.

(30)

11.Fief : [a, b]→Rde dou˘a ori continuu derivabil˘a pe (a, b). Ar˘atat¸i c˘a pentru orice x∈[a, b] exist˘aξ ∈(a, b) astfel ca

[f(x)−f(a)−f(b)−f(a)

b−a (x−a)] = 1

2(x−a)(x−b)f⁰⁰(ξ).

12.Fie S={(xn)n∈N^∗|xn>0,∀n∈n∈N^∗, lim

x→+∞

n

X

k=1

xk= 1}.

a) S˘a se arate c˘a lim

x→+∞

n

X

k=1

x²_k ∈(0,1).

b) S˘a se arate c˘a ∀α ∈ (0,1) exist˘a un ¸sir (x_n)n∈N^∗ ∈ S astfel ca

∞

X

n=1

x²_k=α

13.Fief :R→Ro funct¸ie derivabil˘a peR¸si care satisface condit¸iile : f⁰(0) = 1 ¸sif(x+t) =e^xf(t) +e^tf(x),∀x, t∈R.

a) Ar˘atat¸i c˘af⁰(x)−f(x) =e^x,∀x∈R.

b) Demonstrat¸i c˘a funct¸iag:R→R,g(x) = f(x)

e^x −xeste constant˘a peR.

c) Determinat¸i funct¸iaf.

14.Se consider˘a funct¸ia f :R→R, f(x) =e^x²,∀x∈R¸si F =F(x) o primitiv˘a a acesteia pe R. S˘a se demonstreze c˘a:

a) F(n+ 1)−F(n)> eⁿ², ∀n∈N.

b) lim

x→+∞F(x) =∞ c) lim

x→+∞

f(x) xF(x) = 2 d) Calculat¸i lim

x→+∞(F(x))

F(x) xf(x)

15. S˘a se determine numerele ˆıntregi pozitive n, p1, p2, . . . , pn ce verific˘a

p1+p2+· · ·+pn= 5n−4 1

p₁ + 1

p₂ +· · ·+ 1 p_n = 1

(31)

16.Numerele ˆıntregi pozitivea, bverific˘a a b <√

7. S˘a se arate c˘a a

b + 1 ab <√

7.

17.FieM o mult¸ime format˘a din 10 numere naturale mai mici decˆat 100. S˘a se arate c˘a exist˘a dou˘a submult¸imi nevide ale lui M astfel ca suma numerelor din fiecare submult¸ime s˘a fie aceea¸si.

18.S˘a se demonstreze c˘a oricare ar fix, y, z∈Ravem x¹⁶+y¹⁶+z¹⁶≥x⁵y⁵z⁵(x+y+z).

19.S˘a se rezolve ˆın mult¸imeaRsistemul









 1 x+ 1

2y = (x²+ 3y²)(3x²+y²) 1

x− 1

2y = 2(y⁴−x⁴)

20. S˘a se determine toate polinoamele p(X) cu coeficient¸i complec¸si care au proprietatea p(X)∈Rdac˘a ¸si numai dac˘a X ∈R.

21.Fie α, β∈R, α+β6= 0, β6= 0 ¸si matricele A= (aij)_i,j=1,n, B =

1 a_ij

i,j=1,n

unde

aij=

( α+β dac˘a i=j β dac˘a i6=j

a) S˘a se exprime A¸siBˆın funct¸ie de In ¸siEn unde In este matricea unitate ¸si En este matricea cu toate elementele egale cu 1.

b) S˘a se studieze inversabilitatea matricelorA¸si B.

22.Dac˘a A¸si B sunt matrice p˘atratice de ordinn care verific˘a AB =−I_n atunci s˘a se arate c˘a det(I_n−BA) = 2ⁿ.

(32)

23.Fie xi>0 ¸si s=

n

X

i=1

xi. S˘a se arate c˘a au loc inegalit˘at¸ile

(x₁+· · ·+x_n) 1

x1

+· · ·+ 1 xn

≥n²

s s−x1

+· · ·+ s s−xn

≥ n² n−1

24.FieA, B∈Mn(R) care verific˘aAB−B²A²=In¸siA³+B³=On. S˘a se arate c˘a dac˘a una dintre matriceleA sauB este inversabil˘a atunci are locBA−A²B²=I_n.

25. Se consider˘a matriceleA, B ∈ M_n(C) ¸si C =AB−BA. S¸tiind c˘a AC=CA¸siBC =CB s˘a se arate c˘a

a) AB^k−B^kA=kB^k−1C, k∈N^∗ b) Cⁿ=On.

26.Fie A, B∈Mn(R). Dac˘a AB= 2A+ 3B atunci s˘a se arate c˘a a) rang(A−3In) = rang(B−2In) =n

b) rangA= rangB.

27. Matricele A ∈ M_4,2(R) ¸si B ∈ M_2,4(R) verific˘a relat¸ia

BA= 6 5

−2 4

!

. Determinat¸i a) Rangurile matricelor A, B, AB.

b) Valorile proprii ale matriceiAB.

28. a) Fie A ∈ Mn(R) o matrice simetric˘a ale c˘arei valori proprii suntλ1≤λ2≤. . .≤λn. Demonstrat¸i c˘a are loc inegalitatea

λ1kxk² ≤ hx, Axi ≤λnkxk²,∀x∈Rn.

b) Fie A, B ∈ Mn(R). Not˘am, ˆın ordine cresc˘atoare cu λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λn respectiv µ1 ≤ µ2 ≤ . . . ≤ µn valorile proprii ale matricelor A^TArespectivB^TB.Dac˘aρ este valoare proprie real˘a a matriceiAB,s˘a se arate c˘a λ₁µ₁≤ρ²≤λ_nµ_n.

(33)

c) Dac˘aA¸siB sunt dou˘a matrice reale simetrice, de ordinuln, avˆand autovalorile λi, respectivµi¸si dac˘aAB =BA, atunci rezult˘a

minλ²_i

minµ²_i

≤ρ²_j ≤ maxλ²_i

maxµ²_i

, j = 1, n pentru toate autovalorileρj ale matriceiAB

29.Fie matricea A∈M2(R) ¸si tr(X) suma elementelor de pe diago- nala principal˘a a matriceiX. Demonstrat¸i c˘a

a) det(X+I2) = det(X −I2) dac˘a ¸si numai dac˘a tr(X) = 0.

b) Dac˘aA∈M₂(R), astfel ca det(A+I₂) = det(A−I₂) ¸si det(A²⁰¹⁰+ I₂) = det(A²⁰¹⁰−I₂) atunciA²=O₂.

30.Se d˘a aplicat¸iaf :R⁴→R⁴dat˘a prin matricea







1 1 1 a 1 1 a 1 1 a 1 1 a 1 1 1





 .

a) Calculat¸i polinomul caracteristic al matricei A, P(λ) = det(A− λI4), utilizˆand propriet˘at¸ile determinat¸ilor.

b) Pentru a = −1, s˘a se determine vectorii proprii corespunz˘atori valorii proprii λ= 2.

31. Se d˘a aplicat¸ia T : M₂(R) → M₂(R), T(A) = A+A^t,∀A ∈ M2(R), unde A^t este matricea transpus˘a.

a) S˘a se demonstreze c˘aT este transformare liniar˘a ¸si s˘a se cerceteze bijectivitatea.

b) S˘a se determine matricea transform˘arii liniare ˆın raport cu baza standard format˘a din matricele

E₁₁= 1 0 0 0

!

, E₁₂= 0 1 0 0

!

, E₂₁= 0 0 1 0

!

, E₂₂= 0 0 0 1

! .

c) S˘a se afle valorile ¸si vectorii proprii.

(34)

d) Calculat¸i M²⁰¹⁰ unde M este matricea determinat˘a la punctul b.

32. Fie −→v = 2−→ i −−→

j +−→

k, planul (P) : y +z = 0 ¸si dreapta (D) :x−y= 1, x+z = 1. S˘a se determine locul geometric al punctelor A∈(P) cu proprietatea c˘a exist˘aB ∈(D) astfel ca−→

AB =−→v.

33. Stabilit¸i num˘arul maxim de puncte ce pot fi plasate pe o sfer˘a de raz˘a 1, astfel ca distant¸a dintre oricare dou˘a puncte s˘a fie strict mai mare ca√

2.

34.ˆIn interiorul p˘atratului de latur˘a 1 construim cercuri avˆand suma circumferint¸elor egal˘a cu dublul perimetrului p˘atratului. S˘a se arate c˘a exist˘a o infinitate de drepte care s˘a taie cel put¸in trei cercuri.

35.Tangenta ˆın punctulA

−1 5,3

5

la cercul de ecuat¸iex²+y²+2x= 0 intersecteaz˘a un cerc concentric cu cel dat ˆın dou˘a puncte ˆıntre care distant¸a este 6. Aflat¸i aria coroanei circulare.

(35)

1.3 Universitatea Tehnic˘ a de Construct ¸ii Bucure¸ sti

Probleme date la concursul student ¸esc

”Traian Lalescu” ˆın perioada 1987-2011

1. Fie curba plan˘a avˆand urm˘atoarele ecuat¸iile parametrice:

x=t−chtsht, y= 2 cht.

a) S˘a se calculeze raza de curbur˘a ˆıntr-un un punct curent M al curbei;

b) S˘a se scrie ecuat¸ia tangentei ¸si a normalei ˆı n M;

c) Dac˘a not˘am cu C centrul cercului de curbur˘a al curbei ˆın M, cu N ¸si T punctele ˆın care normala, respectiv tangenta ˆın M intersecteaz˘a axa Ox, s˘a se arate c˘a exist˘a relat¸ia kM Tk²=kM Ck · kM Nk.

(etapa local˘a UTCB, 1987) 2. Fie curba strˆamb˘a (C) de ecuat¸ii parametrice:

x=t−sin t, y = 1−cos t, z= 4 sin t 2.

In fiecare punct al curbei (C) se consider˘a pe direct¸ia pozitiv˘a a normalei sale principale un punct situat la o distant¸˘a de 4 ori mai mare ca valoarea curburii ˆın acel punct.

S˘a se determine ecuat¸ia planului osculator al curbei astfel obt¸inute.

(etapa local˘a UTCB, 1988) 3. Fie curba strˆamb˘a (C) definit˘a implicit de ecuat¸iile urm˘atoare:







x²+y²+z²= 16 y+z = 4

a) S˘a se indice o parametrizare a curbei (C);

(36)

b) S˘a se scrie ecuat¸iile tangentei, binormalei ¸si planului osculator la curba (C) ˆın punctul M(0, 4, 0);

c) S˘a se calculeze curbura ¸si torsiunea curbei (C) ˆın M.

(etapa local˘a UTCB, 1989) 4. Prin V3 vom nota spat¸iul vectorial al vectorilor liberi 3-dimen- sionali ¸si fie −→a, −→c ∈ V3 astfel ˆıncˆat k−→ak = k−→ck = 1 ¸si −→\a ,−→c = α;

transformarea liniar˘a T : V3→ V3 este definit˘a astfel:

T ( −→v ) = ( −→a · −→c )−→v −(−→c · −→v )−→a unde −→v ∈ V3. a) S˘a se arate c˘a −→c ·T (−→v ) = 0 pentru orice −→v ∈V3 ;

b) Determinat¸i ˆın funct¸ie de α valorile proprii ale lui T ¸si precizat¸i pozit¸ia vectorilor proprii asocia t¸i fat¸˘a de−→a ¸si −→c;

c) Care sunt valorile lui α∈Rpentru care matricea asociat˘a lui T, ˆın raport cu baza {−→

i , −→ j , −→

k }, nu este diagonalizabil˘a ?

(etapa local˘a UTCB, 2002) 5. Fie transformarea liniar˘a T :R⁴→R⁴avˆand urm˘atoarea matrice asociat˘a ˆın raport cu baza canonic˘a a lui R⁴:

A=







1 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 −2

1 0 −2 5





 .

a) S˘a se g˘aseasc˘a valorile proprii ale luiT ¸si apoi subspat¸iile proprii corespunz˘atoare;

b) S˘a se cerceteze dac˘a transformarea liniar˘a T este diagonalizabil˘a;

ˆın caz afirmativ s˘a se scrie forma diagonal˘a a matricei A ¸si s˘a se indice o baz˘a ortonormat˘a a luiR⁴ˆın raport cu care se face diagonalizarea;

c) S˘a se calculezeA²⁰⁰².

(etapa local˘a UTCB, 2002) 6. Fie

A={ M (x, y, z)∈E₃

x²+y²=z², x²+y²+ (z−2)²= 3},

(37)

undeE₃ desemneaz˘a spat¸iul geometric 3-dimensional.

a) S˘a se arate c˘a orice dreapt˘a care trece prin originea O(0,0,0) ¸si printr-un punct M ∈ A mai cont¸ine un punct ¸si numai unul din A;

determinat¸i coordonatele acestui punct ˆın funct¸ie de coordonatele luiM.

b) S˘a se arate c˘aAeste reuniunea a dou˘a cercuri; determinat¸i centrele

¸si razele lor.

(etapa local˘a UTCB, 2003) 7. Fie forma p˘atratic˘a Q : R⁴ → R definit˘a prin: Q(x, y, z, u) = 2xy+ 2zu ;

a) S˘a se determine o form˘a canonic˘a a luiQ¸si apoi o baz˘a ortogonal˘a a lui R⁴, ˆın raport cu care Qare aceast˘a form˘a canonic˘a;

b) G˘asit¸i coordonatele lui v = (1,1,1,1) ˆın raport cu baza determinat˘a anterior;

c) FieV un spat¸iu vectorial real ¸siF :V ×V →Ro form˘a biliniar˘a simetric˘a ¸si pozitiv definit˘a; s˘a se arate c˘a (F(x, y))² ≤ F(x, x)F(y, y) pentru oricex, y∈V.

(etapa local˘a UTCB, 2003) 8. Se consider˘a matricea

A=







1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1





 .

¸si vom nota cuS subspat¸iul vectorial al solut¸iilor sistemului omogen:

A





 x y z w







=





 0 0 0 0





 .

a) S˘a se determine o baz˘a ortonormat˘a ˆınSprecum ¸si complementul ortogonal al lui S ;

(38)

b) Dac˘a T : R⁴ → R⁴ este transformarea liniar˘a avˆand pe A ca matrice asociat˘a ˆın raport cu baza canonic˘a a lui R⁴, s˘a se determine nucleul luiT ¸si apoi s˘a se calculeze rang T. EsteT izomorfism ?

c) S˘a se determine valorile proprii ale lui T ¸si apoi subspat¸iile proprii asociate; este T diagonalizabil˘a ? ˆIn caz afirmativ s˘a se scrie forma diagonal˘a a matricei A.

(etapa local˘a UTCB, 2005) 9. Fie spat¸iul vectorial real

V ={a+bcosx+csinx|a, b, c∈R}

ˆınzestrat cu urm˘atorul produs scalar:

< g , h >=

Z π

−π

g(x)h(x)dx, g, h∈V.

a) S˘a se g˘aseasc˘a o baz˘a pentru V ; care este dimV?

b) Fie transformarea liniar˘a T :V →V definit˘a de formula:

T (a+bcosx+csinx) =b+c+ (a+c) cosx+ (a+b) sinx.

S˘a se scrie matricea asociat˘a lui T ˆın raport cu baza determinat˘a la a).

c) S˘a se determine valorile proprii ale lui T ¸si apoi subspat¸iile proprii asociate; este T diagonalizabil˘a ? ˆIn caz afirmativ s˘a se g˘aseasc˘a o baz˘a ortonormat˘a a luiV ˆın raport cu care se face diagonalizarea.

(etapa local˘a UTCB, 2006) 10.Fie matricea:

A=







1 1 0 1 1 0 0 0 2





.

a) S˘a se afle valorile sale proprii ¸si apoi subspat¸iile proprii corespunz˘atoare;

b) S˘a se arate c˘a matricea A este diagonalizabil˘a ¸si s˘a se indice o matrice ortogonal˘a ˆın raport cu care se face diagonalizarea;

(39)

c) Fie forma p˘atratic˘ag:R³→Rcare are peA ca matrice asociat˘a ˆın raport cu baza canonic˘a a lui R³; s˘a se scrie forma canonic˘a a lui g

¸si s˘a se precizeze dac˘a este pozitiv definit˘a.

(etapa local˘a UTCB, 2006) 11.Fie transformarea liniar˘aT :R³ →R³ definit˘a de

T (x, y, z) = (x+y+z, x+y+z, x+y+z)

a) S˘a se determine valorile proprii ale lui T ¸si apoi subspat¸iile proprii corespunz˘atoare;

b) S˘a se arate c˘a T este diagonalizabil˘a ¸si s˘a se determine o baz˘a ortonormat˘a ˆın raport cu care se face diagonalizarea;

c) S˘a se determine m ∈ R astfel ˆıncˆat matricea A+ m I3 s˘a fie pozitiv definit˘a, unde A desemneaz˘a matricea asociat˘a transform˘arii liniare T ˆın raport cu baza canonic˘a a lui R³.

(etapa local˘a UTCB, 2007) 12. Fie planul (P)⊂E3de ecuat¸iex+y+z = 0, undeE3desemneaz˘a spat¸iul geometric 3-dimensional; se consider˘a T :R³→R³ definit˘a de

T (a, b, c) = (x, y, z)

unde (x, y, z) sunt coordonatele proiect¸iei punctuluiM(a, b, c) pe planul (P).

a) S˘a se afle expresia luiT ¸si s˘a se arate c˘a este transformare liniar˘a;

b) S˘a se determine valorile proprii ale luiT ¸si apoi subspat¸iile proprii corespunz˘atoare;

c) S˘a se calculezeT²⁰⁰⁷(3,0,6).

(etapa local˘a UTCB, 2007) 13.Fie V =M2(R) spat¸iul vectorial al matricelor p˘atratice de ordin 2, cu coeficient¸i reali ¸si fie transformarea liniar˘a T : V → V definit˘a astfel:

T ( X ) = 0 1 1 0

!

X + X 0 1

1 0

! ,