View of Über eine Konstruktion von H. Schmidt

NIATHEMATICA

-

REVUE D'ANAI{YSE NUMERIQUE

ET

^{DE TIIÉORIE DD} L'APPROXIMATION

T,'ANALYSE NUMERIQUE

ET I,A

TT{EORIE

DE

L'APPROXIMATION Tome B, No

2,

1979, _PP.

116-187

ÜgNN EINE KONSTRUKTION VON H. SCHMIDT

YOn

ERNEST DANI

(Cluj-NaPoca)

1. Vorbereitende Bernerhungen. H. scrfMID'I

in 2

Arbeitefl,

-

^{die eine}

tnag.

¡fUì, ^die

^{and.eie 1966}

^[19i -, ^und

^{r,. BERNSTEIN}

in ^einer

^Arbeit,

- al"'tgé¿ [1]

erslhienen

ist 1, irab"n ^sich mit der I{onstruktion

^der

g"äo, ì"ãrr"å

quadratisch

en

^ZallTer- bescqäftigt, d"eren regelmässiger. $e!.

Eenbruch

"in"

vðrges"hìi"b"tr" F'brm

hat.

So w:ie

n.

scHMrDT

in

der Arbeit

iigl f"rtrt"llt,

der"eisie, beziehrrngsweise ^d.er zweite Satz von

L.

Ber'nstein, lrr-ä"r.-r

B. Satz ¿"r Ái¡"it _tlBT ^erhalten ist,

beziehungsry"it"^ ergibt

;l"h .1*"h

"i""ãri"f"sã fousttuLtion

^d.erer, durch die der Satz 8 auf Gruqd

à"s Srtr"s G

erhaiiSn wurde.

Die Konstruktion von II.

Schmidt

ist im

ir*gl.;h;u

^{der von}

^I,. Bernstein

^{einfach. Die} Bedeutung dieser..Kon- struï<tion

kann

^{aber noch}

besser ^{Die Art'}

^die'

^fur

die

^wendet

w

che Schreibweise

der'' SPrache ^ze

Konstruktion

vorl

^ossien d'ie Sätze,

auf die sG sich

sli¿t'zl

-

^'

in e

^ganz natitlichen ^Weise den

fnhalt

ausdrúckt'

Der Teilnenrer q

rvird.

durch

^die

Matrix

^:

k): _Iq

.ausgeclrückt

und ^foiglich

^stel1t

die Matrix

| *tt' *"f

(l) ^x : (q') .,.

^(q")

:l _{*,, *,,)}

den Kettenbruch dar,

d.er

als

Teilnenner

die

ganzen Zah'\en

4t,

^{. .}

',

⁸ⁿ

}rat.

Der Kettenbruch

X wird in

d-en gemeinen Bruch

Í(X) : f*.: ^xn

^altge-

bildet.

^{-Wenn gr, . .}

.,

^qn

^pozitíve

^Za:]ñTet

^sind,

^dann

^stellt X

^{einen regel-}

,) ^UBER EINE KONSTRUKTION VON H. SCHMIDT

757

156 ^{ERNEST DÄNI r)}

mässigen_Kettenbruch

dar, in

welchem

sich die

rationale

zahl f(x)

^enl-

wickelt. In

diesem

Fall finden die

Ungleichheiten

0 ( ørr 4 xtz",'X':

^(qI

ftrr xrr: 0 und

%zt

{

^%zz

fir

xr,

- ^i,r, : 1

statt.

Gemäss

den Vorigen ist das

unendliche

produkt

_{Xa . .}

. Xn

. .

.

das

Symbol

eines unencllichen Kettenbruches.

Man nimmt

ohne _Beíveis <len

folgelden

satz_

an: wenn x, ein

regelmässiger

Kettenbruch ist und

x,,,

n > 2,

Kettenbrúche

mit dem

erstèn Teiln-enner positir.er

Zahlen

siná,

natürliche

Kettenbrüche genannt,

dann

existiert

):i ^{Í6' ,. x.)}

und ist gleich rnit einer

irrationalen

Zahl l.

fm

einzelnen, wenn Xn

: X,

^ÍiÚ;r

aile fndizen n,

dantn

ist

das unen-

dliche Produkt x

^{. .}

. x .: . einè

unendliche

potenz,

_{welche abgekürrzt}

durch

das Symbol

X*

bezeichnet

wird.

Gemäss dieser Bezeichnun"g

stellt

der Ausdruck

(2) _AB-,

wo A ein

regelmässiger Kettenbruch

und B ein natürlicher

I(ettenbruch

ist, einen

periodischen unendlichen regelmässigen

Kettenbruch mit

^der-

vorperiode

A

und der Periode

B

dar

(A

kann auch das lecre

symbol

sein ;

A

^lund,

B

werden

im

allgemeinen

nicht mit minimalel

r,änge angenorn- men).

Die_ Mengg

der

ganzen Kettenbrüche

bildet

eine Gruppe

l,

^welche

identisch

mit

der Faktorgruppe

der

Gruppe der Matrizen

zdeiten

Gr¿rd.cs,

mit

ganzen

Zahlen als

_Elementen

unc

^-

- :

Kt.tnzz

-

xtzxzt gleich

-1

^oder

1

g der-naïúr-

lichen Kettenbrüche

bil

kanonischer

Zeiegrng in

ein

Produ er

endlichcn

und

unendlichen

Kettenbrüche von vorher bildet ein Halbgrupoid iu

welchem das

Produkt XY nur dann definiert ist,

rvcrur

X cirr

eì,tcliioher

Kettenbruch

ist.

Die vorgefûhrte matrixsche Bezeichnung, zurn Teil auch in clen Art¡citen

t3] - ^[5]

angewendet, unterscheidet sich

nur

de¡

Form

nach,

nicht

auch dem

Inhalt

nach,

von der

gewöhnliclen

in

der

I,iteratur

verrvencleten.

In

diese¡

Richtung kann

rnan

z.B.

einige

Stellen aus

cler

r\rbeit [lB]

^von

H. scHMrD-T ^(S._ 174

und

lBO)

und das Buch [12]

^{\¡or1 rr. rlASSE ãngeben.}

Aus

den sprachen,

-

^der Erscheinung nach nichtrnat¡ixsche, r,velchõ ,.,an aber

leicht in die

matrixsche übersetZen kann

-,

^{ist. es rvichtig, clie vou}

B. DERÁ.srMovrC

in

einer Reihe von

Arbeiten [6] - ^tiOl

^{r'.. a.} vãr*"ndete, zu erwähnen. Der verfasser

führt

eine neue Symbolik ^ein [6] ^{die aus} ,,geordnc-

ten Komplexen"

gebildet

ist und

die man

in

Matrizen übersetzt und ctcn

Operator

,,1" [7]

^welcher

in

den

Ausdruck ,,.f."

^übersetzt

^wird wo

,,."'

der Operator der Multiplikation der

Matrizen und

,die

partikuläre l\{atrix ist,

deren lì.olle

in der

Theorie

der

unimodularen Matrtzen hervorgehoben

ist _[13,

S 18.].

Die P¡oblematik der

verbindung zwischen dem Aspekt des Ausdruckes

x und

der Funktion

f (x) der Ketl

-tenbrüche

ist von

c. ^p.

popovrcr in der Arbeit

_116] unterstìcút word.en.

2. Die

Erhebung

zur

Potenz

der

Matrizen zweiten Gratles.

Die

Aus-

;çchlufg-

der Poteuzen

B"

der Periode

B

(2) íst

nur

eine der Anwendungen ,der

Erhebuîg zúr

Potenz der Matrizen

in

der Theorie

der

Kettenbrücihe.

IJie Formel

für

clie Potcnzen

der

Matrizen

b:liebigen

Grades wurde von

!):_r'-ÐR_RoN [14],

v

^rlEr,rRER [17]

und c.

RÐrscHDR-HArMovrcr

- ^v.

^,r.,\.MAg

.l7l

abgeleitet.

rm

^rta11e der

Matrizet

zweiten Grades wenigstens,

-

^uoá

'in

der vorliegenden

Arbeit

interessieren uns

nur

diese und auõh

von

diesen

nur die mit Norm -1 ^oder 1-, kann

rnan eine

Formel auf

einem viel eiufacheren

weg

ablciten als die allgerneinen, der bisher angeführten Auto-

felr.

Die Matrix (1) mit der Spur S(X) :

xLt

i ^{xrz kann}

^man

in

^d.er

lìorm

1

2

bu

'I t, øa

(3)

X:

c1)

|{"+ø,)

schreiben,

wo

^,u,

: S(X) und u

irgend

ein

gemeinsamer

'leiler

der Zahlen

2r, - ^xr1, ln ^tnd x¡ ist

(man

kann

u

) ⁰

vorarrssetzen). Man

hat

die

Form (3) der Matrix (l) geivählt, weil sie

zugänglicher

in

^{d.er Theorie}

der

arithmetischen cluadraLische¡.

rlorrncn und in ãer Theorie der Ket-

tenbruche

ist

(siehe z_.p. die

A¡beiten

_[11, S.151j, _[18, S.S0],

t9l und i5l).

Weiter b:zieht

sich die Diskussion

auf

den F'a11,

wenn

die

Zail'D :

U,

i

!

^{4ac, genannt}

^die

Diskriminante cLer

Matrix x,

verschieden

von

einem

'Quadrat ist. Der Matrix (3) kann man

die

Einheit

, - ^{,"(u ¡rJD)}

der

cluadratischen Ordnunq

der

Diskrirninante

D

assoziieren.

Es

finden

die

Gleichheiten S(e)

:

_{S(X) uud}

_l/(e) : _{N(X) statt.}

Mehr noch als soviel.

Man prùft durch

Rechn:n t-o1g:n.Jeir,

im

Grunde

at

r.agtange gehörend.,

\\!

g-"y1.von _I,eg:ndre b:harrCelten

Satz (t15, S.l0Bl;

_[18", Si.B51 und

[12, S.331-333])

^:

.

^2.1,.

^{Ðje zyklisehe} [ìr'uppr der

Mutrizen.

X,', n grrrz, ist

izornorph

,mit dcm

der Einheiúel¡. o""

Die

gestattete Bigenschaft

erlaubt

eine beliebige potenz

2

(u,,

-

^bu,,

)

^or,,

,14) Yx_

,%21,

CU,,

T

^@,

⁺

^ba,)

I- 01

-1

⁰

I

158 ^{ERNEST DANI}

der Matrix X, - ^die

^Ausdrücke

lnt2l

4 ^{5 UBER EINE} KONSTRUKTION VON H. SCHMIDT 159'

1 4t.."tL

2rr_l

Ð

Cru"-r¿aziDi, í:0

.

_a..

- t ttf'"t

çrr*rrn-ri-tn2i+1Di, n 2n-t Eo

anwenclend,

die rnan

clurch

die

Erheburrg zLlt Potenz

""::(*,, ^{2"' lr,,rlD)}

der iiinheit e erhalten hat, zu

schreiben.

Gemäss der RekurrenzreTation ^en-17

:

a"e

erhà|t man die

einfacheren Ausdrücke

1'!',,: Fn¡t

_þt,, ^u,

D) |

^{tF,,-t(w, a, D),}

(s)

ur,

--

F,"(u, a, D),

lvo l: -N(X) ist

^und

. lilt2l

(s')

^{F,(r.t,, a,}

^D) - ,_, D C"o*t*"-2i-ta2iDi, n > ^l,

oder, wie man in. lITl

^zeigl, noch F,,(u, a,

D) - ^F

^{(u, t),}

. t(n-t\ ^{t 2l}

(6)

^Fn(w,

^t) :

Ð

^Çi -.x¡n-2i-lf

,

^'n

> ^l,

welche d.ie Rekurr-enzrelation

Fo(u,

t) :0,

Fr(u,

t) : l,

(6',)

F

(u,

t) : _üF,-t

_@'

t) -l tF,-,

(u,

t), n

Þ ^2, erledigt.

Von

dem bisher F'estgelegten

folgt,

dass

für

die Potenz

X",

neben den

Fôrmeln (4), (5) und (5'),

noch die Formel

r-\ vn I

^xrrF,'(u,

^f) { ^ß*_'(u, t)

xtzF,(u,

t) _I

\t

) ^ :

I

^xrrFn(w,

L)

xrrFn(u,

t) t tF*-t(u, t)

|

stattfind.et,

wo F,(u,,1) die Formel

(6)

von Schu,att llTl

benntzen<l aus- gerechnet wird.

In

Verbindung

mit der

Erhebung zLlr Potenz

der Matrizen

zweiten Grades

mit N(X) - -1 ^oder I kann man

einige Bemerkungen machen.

Jeder

Matrix X

kann man irgend eine natürlich.e Zahl, gerade

für l/(X) :

¹

und ungerade

fúr N(X) : -1,

^{sor,vie eine}

^Matrix

(q) assoziieren, wo q eine algebraische

Zahl ist, bestimmt durch clie Relatio" S((q)') : S(X).

^So kann die Funktion F*(u,

t) mit Hilfe

der F'unktion

F,*(q, -1)

ausgedrückt werden. Diese Möglichkeit

war von

H. scHMrDT

[19] ^und

^{r,. BERNSTETN}

[1] für

^den

Fall

der

Matrix X:

(o)(ó) angewendet worden (die tsedeutung der Buchstaben ^a. und. b

ist

aus den angeführten Arbeitetr ersichtlich), also

r,e

:

ab

f ^{2, wenn}

^q

: ^lñ Ebenfalls, jeder Matrix X mit

-ð/(X)

:

¹

kann man eine

beliebige

Zali

ttt'

ttnd

eine

Matrix

t

L

I

I

a: ⁰ _lq ^-1

-r

assoziieren,

wo q auf Grund der

Relation

S(Ç') : S(X) bestimmt

wird.

So kann die Funktion Fn(u, -1) ^{durch die Funktion F**(q,} -I)

^aus-

gedrückt werden,

m

beliebig. Diè beiden Verbindungsrelationen fil:t m'

:

7

èrgeben uns die einfachsten Matrizen, deren Potenzen die Funktion

F,(u,

^t) entlralten. Sie sind jedoch liúr

ru

Þ

2 nicht

rnehr einfach,

weil

q

im

^a.71ge- meinen

nicht mehr

eine ganze

Zahl

ist.

3" Ilie

E¡rtrq,iel<lung

in

regelmässigen Kettenbruch eler

reellen

quad- ratischen ZahÌen. Die Verbindung ^der

Matlizen (3) mit den

arithmetischcn quadratischen Formen

und

d.en regelm.ässigen Kettenbrüchen

(2), in

^die

sich die reellen quadratischen Zahlen

I

entwickeln,

ist

bekannt.

Irr

dieser

Hinsicht kan man z.B. die

entsprechenden Stellen

in den

Büchern von DrRrcHrrET

[11,

^S.189-1,

scnor]z

120, ^S.1051, HASsE

ll2,

^S.331

_-3331 und

NDrss

[13, S.95-102]

erwähnen. Diese Verbindung u'urde aber erst

von B.

DERASn\{ôvrc (siche

vor allcm [9]

^den

^Auszug)

^{gànzlidn geklärt.}

Der

Satz

von B.

Derasimovic,

iir

einer äcluivalenten Formulierung, kann

man in

folgender Weise aussprechen:

3.1" Zut,scloen det'Menge der Matr'ízen der Fornt,

X * ABA-L

(3) wnd

der

Menge

der

reellen quødratischen Zahlen

(B)

^'ç

-b ^{+ "nlo}

b- _2a

ø.:

^sgn

u,

g'ibt es eine eine'indetttige Korresþondenz

und

der entsþrechende regelntr,iss'ige Ketterubruch' hønn

'in

der

Form (2)

geschriebetø werden.

Der Satz ist äquivalent mit einem der folgenden Sätze: der von T,AGRANcE

[16, 5.73-741 in

P,ezag

auf die Periodizität der

regelmässigen

l(etten-

brüche,

in

denen

sich die

^reellen quadratischen Zahlen

entwickeln;

der

von

c¿uSS

[11, S. ^178, S. 190] äber

die

Endlichkeit der l(lassen

der arithmetischen quadratischen

Formen positiver Diskriminante;

d.er von DrRrcrrrreT

([20, S.

111] und.

[2, S.

^{152]) über die Existenz} der der von

1 und -

1 verschiedenen Eínheiten ^e

in

de.n reellen quadratischen Körpern,

160 ^ERNEST DANI ⁶

hönnen

in

^einen regelmässigen

en

12,

S.

5531 ^wnd'

der

Red'uh'

l4t)

entaíchelt werd'en"

anle

D > ^{0, D}

verschied'en von

ABA-i

geschrieben werd'en' ^So

chen

d.eñ reellen quadratischen n

X zu

n-tenPot'enz'

AB"A-L.

^{W-enn man}

lim'þ :

^un[D

n4û ^afl

.ergibt,

kann ^man die

^Reihe

^de¡

Gleichheiten

1: _l':: f (AB") :

t-

,l1T f

@B't-r! :

^{b i-}

:-t

^I)

schreiben, rvclchc.d.urch nachrechncrr

üb:rprü[bar ist' und' loiglich (

errt-

*,i^Le1r

sich rn

",;;;';";;1*ärsigc' Kcttònbruch (2),

assc¡ziicrt

sich

^ctie

il{ïtË i ^tgl zu und nãt

^die

^Forrn

^(B)'

iqcn licttenbruch ^tlel'

^gtrnzou iôcl1cn quadratischen ^ZahlerL sche F'orm ^d.es entsprecirenC[en d.en Sätzen,

die sich mit dem

stu-

n in erstel Reihe den von

^GAr,ors

f

^d-ie

Verbindung

d'es regehnässigen

1len quadratischen Zahl I ^lntl É. Ëb:nÊalls mllss dcr ^Satz'

^von

, ⁱⁿ B:zttg auf dic

^{Ëorm d-es rcgel-}

s Problems

in

^welcher¡.

Grund ^des

rnen

hat.

Man unterscheidet zwei ^Sch

[5]

^(siehe

^auch l4l)

^verwenden'

goriè

von Kettenbrtichen

^gegeben

ñicht

zu trennen, sond'ern sie kom-

biniert

anzuwend.en.

Es soll am ^Anfang

^u

>

^O.

^{Für ó} : ₀

mocl

2 bestimmt man

^direkt

ttit aie;vrãìti" X (á),1;" _iet"t ø:1 ^annirrmt,

^eine Zerlegang d'er ^F'orrn'

* _- (1,)(o)s- (å)

at

wo

statt,

wo

UBER EINB KONSTRT'KTION VON H. SCHMIDT 161

s*:

a

I

2

f

0

Du

4

1.C

ein natürlicher I{ettenbruch ist,

welcher

der llalbgruppg {[5]

angehtirt"

ierlweiche¡ der

Wert

von

D : ₀

_rnod

4 wäre. Weil u S

^O,

folgt,

dass Sâ

Ç""inri"",

^zwei

primfaktoren hat,

also

S* :

(ø*)S(q*),

*o S auch

^das

leere"

Symbol sein kann,

^{unc1, folglich}

" ^{- (+ + n.)}

^s(2ø*)

^{(i .- u)-'.}

Für å : 1 mod 2 findet die

Gleichheit

t _{- (+J}

^{o)

^s.ro){r) _(?)-'

s*:

a 1r-u

2

u-a

I

Du-2*la

4

-4 - L'ônalyse nurnérjque et la tìrêorie de I'approrlmation

- ^Tome 8, No. 2, l9?S

762 ^{ERNEST DANI}

I mit

^{Ausnahme des Falles}

^D : 5,

wenn

S* = ^E,

^eine

^der

Halbgruppe Ä angehörende

Matrix

ist, für ^jede

D : _{I mod 4.}

_So,

_wie

vorher, erhält man

, _{- (+} +

o-)

seq* + t)(t| + ^q*)-' , ^{q* >}

^o.

Als

Schlussfolgerung

ergibt sich

der _.Satz

von

Legendre, welchen, in der Verallgemeinerung vorl _H. SCHMTDT [18,

S.

176], man folgendermassen formulieren kann:

4.1. Fä,r jed.e gønze reelle quad.ratische Zøhl' ç

_1 ^(t" .^lD)

t- 2 \" ^I

d.er regel,mtissige Kettenbruclt høt d,ie V orþeriod.e

(nicht

unbed.'ingt d,ie

Kür'

zeste)

aus

e,inem e,inz'igen Teilnenner

(b)

gebildet, wo

uo:Iþ+q),

b = q mod 2,

und.

die

Periodè

ist

aon der Form

n :

S(ø),

uo S

^e'in symmetrischer Ketten'bruck oder d'as leere Symbol ist.

Die

Symmetrie bedeutet S

: S',

wo

c

das Symbol der Transposition

der Matrizen

ist.

Es ^sei jetzt _u < 0. ^Man

^kann

X(u <0) - ^X-t(u > ⁰⁾ - (ö.)I(q)s[(óo)1]-'

schreiben.

Die

Äquivalenz.

(q')I(q")(q"') -

^(q'

-'q" -

1)(1)(q"'

- ¹⁾

^benùtzend,

und rnit p

die zyklische Permutation der

Faktorçn [5]

bezeichnend, kann

man

folgenden Satz

formulieren, welcher in dem von

B. DERAsrMovró

[10]

verallgemeinerten

Satz von

Galois

enthalten ist

^: 4.2"

Fär

^jede ganze reelle quadratiscke Zøhl

-; 7 t,

z:;þ

_^lD)

der

entsþrecløende regelmässige Kettenbruch' hat'

die

^V orþeriode au's ^zzaei, (ão)(ö-r), beziehungsueise

drei,

(ö0)(1)(ór), Fahtoren gebildet, wo

UBER EINE KONSTRUKTION VON H. SCHMIDT 163

5. Die

Bestimmung

aller

ganzen

reellen

quadratischen

Zahlen

nnit

positivcr Diffcrente, 1> 4, für den der

symmetrische

Teil S

des rcgel- mässigen Kettenbruches gemeinsam

ist.

^{Man schreibt}

- lst ^s

^I

ç-r

l,

s

^s,

l'

und für die l\{atrix X - (b.)S(ù(bò-t erhält man

die Ausdrücke

fs

^sr

*

^søl

s(q)

:l ' _-1,

Lsz

^s

f

^szØJ

x _l 1:',

^l- -s

f s,ø ^s¿ _l,

L ^ófrt, I

^bosrq

I sc¡

^.s

f

^{óos, I}

\¡o11

_ist,

wo,

_die in

_KotrgruenzBetracht ziehend, dass die Verbindtr.ng ^xzz

- xtt:

^{Ósz erledigt}

-bltr]_boszÇ f

^sr

*

^sq

=

^sl

+

^sq

= 0 mod

^s,

zu

überprüfen bleibt.

Man

multipTizierL

die letzte

^Kongruenz

rnit

sN(S); welches eine zu

s, relative Primzahl ist, nnd, in betracht

ziehend, dass ^sz

: _N(S)

_moil

sr, folgt

srsN(S)

-q:0

^rnodsr.

Die Diskriminante D wird

aus

dem Produkt

S(q) bestimmt:

sf;D:

^(2s

t

^srq)z

f

^4sr(s,

f

^sq).

Folglich ergibt

sich

die

þigenschaft, gekannt schon

von Euler,

^wie- derentdeckt r¡on

ruurn und

K. E. HoFFMANN

[16, p. 9B],

rvelche,

in

der Verallgemeinerung

von rl. scHMrDT t1B]

folgendermassen formuliert u'erden kann:

5.1. _Jed.e gønze reelle quadralische Zaht

I

mit þositiaer

Differentr,l>E '

deren regelmrissiger Kettenbruclø durch, den Satz 4.1. bestimm,t ist,

für

^S

fix, 'ist

^du,rclo _folgende Werte charøl¡,teris,iett. :

(9) q:N(S)sò,lurs",

uo

ti1, so gewählt

uird,,

dass

die

Ungleichheit

q 2 |

erf,üllt uird,, und

(10) D:8, f

^4N(S)ss, +111,s2.

6. Die

Bcdeutung

dcr Konstruktion von If. Schmitlt. Die

Buchsta- ben ø

und

ä werden

in

den Folgenden gemäss der

Arbeiten [19] uncl l1l benützt. Arn

Anfang werden

in

der matrixschen Sprache die beiden Sätze

von If. Schmidt und I,.

Bernstein wiedergegeben.

I

bo:

1 ^{b q 2}

2

6,: lq + ^r,fr1r B- (!

_9ae1

a

^:.Q).@)'

lq, + ^{I für} B

^S(ø),

S:

^(1)(q,)

...,

6,: lq - ^{r'fgr B-:}

^(ø)'

_{'t 7z'}

^'

lqr-

¹

^für B:

^S(q),

S:

^(ø')

..., _Çt22,

und die

Petiode

ist

der Forn't. Bp", beziehungsueise Be.

11

also

UBER EINE KONSTRUKTION VON H. SCIJM]DT 166

1"64 ^ERNEST DANI 10

Im

^Falle

s :

^(ø),,

genräss d,er

Formel ^(7), wenr man die ^Relation

^(6',)

in Betracht

zieht,

erhält

^rnan

^ ^{| F,-r(a,} l)

^tr _"(ø,

l) l ) :

L F,@,

r) F,rr@,l l

und lolglich kann man in ^den Formeln (9)

^uncL (10) die Blemente

s"

s

und.

sl durch die

entsprechende Ausdrücke

sr:

^{Fn-r(a., 1), s}

: F

^(ø,

7), sr: ^{F,¡r(a, l)}

ersetzen, und es ergibt sich der Satz 8

von rr'

scHMrDT

[18, S'

^{184-)' Dieser}

Satz u'urd-e

tot ¡."g4¡¡¡srnrN,

^{auf eine and-ere} Weise, nochmals ^bewiesen tl

l.

¡ur

$ : Si(ø), 5' :

^(ø)(å),

erhält man in

gleicher Weise

õn,

\ ^{fbî,(ab +2,} - l) ^{F,¡r(ab 1-2,} -l) -

^{F^(ab}

⁺ 2,- ^1)l

rr(,J :1F,,*rlob

+2, - ^t) -

^F,(ab

^-12, _1)

øF**r(ab

1-2, -D

^J

alSo

s.-:

^bFn(ab

+ 2, -l)'

s : F*¡t(ab + ^2, -1) -

^F*(ab

t ^2, -l) sr:

^a'Fn¡r@b

12, -l).

frr Betracht

^{ziehend, dass}

für ^T : Çfã)

^man

11 _^lú6 l

t:l^lñ _øb+tl

erhält,

^folglich

nr,(Jlu, t\:

_",f ^{aun^@b} 1-

2, _-1),

Fr,-r(nlã,1) :

]e, (ab

| ^2, -1) - ^{F,-r(ab + 2,} -l)'

So können die

Elemente s1, s

und s,

auch

in

der Form

" : V:

^{n'^(Jøu' t) '}

r : Fr,*,(/ñ, ^l), rr:!LPr,*r(^,fab,l¡, t-

geschrieben werden, und,

tnil

den Formelu (9)

und

(10) ersetzt, ergibt sich

ãer

zweite Satz

vou

^{L. BERNsTETN} l1].

¡¡. scrIMID,I,

den satz von Ir. Bernstein

^nochrnals beweisend, hat

g"r"igi,-ããss di. twesentlichist

_[19]. Gleich-

Zetti{ Lat er

^{rnan beide S.ätz_e}

ⁱⁿ

^gleicher

W"iå erhalten

^d.er

^{Arbeit [18],}

^welcher

ⁱⁿ

àer

vorliegenden

Arbeit ^durch

die Eigenschaft 5.1. gezeigt ist.

Die

matrixsche Bezeichnung der Kettenbrüche

zeigt,

dass

die

beiden Sätze

nichts

anderes

als die

Lösungen

vou

zwei

partikulären

Problemeu ,sind,

durch die Konstruktion von H, schmidt

^gelöst,_ deren _eigentliche nã¿åuturrg

in

d.er l,ösung,

-- auf Grund der

Sätze

4.1.

^und. _{_5.1.,_} durch

¿il-fot*ãt

^des

Erhebun! ,tt

^Potenz

der Matrizen

(7)

-,

^{folgenden all-}

gemeineu Problems entsteht ^:

6.1. Ma+t, sott d,ie g&nzen reellen quadratischen Za.ltlen

mit

_þositiaer

Differente bestim.men,,

4>

^1,

für

^{welche der} sjtmm.etrische

Teil'

d'er Petioilc d,el' regel'mässigen Kettenbruches uon d'er Form'

(11) s: ¡ ^si'

, i:l

ist.

Aus allen schreibweisen cler

Form

(11) einer

Matrix s

sucht man ^die,

für

welche die f,xponenten

n

die möglichst grössten

sind'

So

in den

be-

i¡achteten !'älle vän H.

Schmidt

und l'.

^Belnstein

^{kann man} Sr:

^(ø),

r: l,

beziehungsweise

Sr:

^(ø)

^(å), flL: fl, ⁵² :

(ø),

r:2,

^nehmen.

'Wir

betrachten

ein

and.eres Beispiel als das vorige,

Es sei S':

(r)(/)(e),

r :1.

Man kann

Í ^ef+l

ef

+1

^ezf

l2e

.Í.zn

_l ^{Fr,-t(^l}

^oE,,

t)

^{Fr*(nl o6, 1)}

_I -

T2n.:lrr^(^/ou,

t) Fr,*r(nlã,1) I :

Fn@b

+ ^2, _l) -

^{F^-r(a.b}

^{+ 2,} _7)

^,fîUn"pu

+ 2, -l)

J-øbC.(ab

+ ^2, _l)

Fo*r(ab

+ ^2, _l) -

^F,(ab

^{+ 2, -7)}

sr:

166 ^{ERNEST DANI} 72 13 ^{UBER EINE} KONSTRUKTION VON H. SCHMIDT r67 schreiben, ^und.

- ^lftr,(u,

¹⁾

^{+ F*-r(u,} l) ^(tÍ + l)

^F,,(u,

l) _I

s :

L ^{þÍ + l) F,(u,} l)

^{Fntt(Lt, L)}

- ^{F,(u, l) )'}

wo u,:

^e2Í

I2e l

-f

, ^{also die}

^gesuchte galz1. 1eglle-quadratischc Zahl, deren regeimässiger"Kettenbruch-der Form

A ! (bo),8 :

S(q)

ist,

^gcrnäss

der Konãtruktioñ von II.

^Schmidt,

^{von der}

^F'orm

'l4l - Roneénye neþleryutl.ye d,robi (rr). celye neþreryunye d,robi. stuclia univ. Babeg-Bolyai, Ser. Math. - Phys., lasc. 2, 7-16 (1967).

l5l - ^Ùber zweireihlige^ gønzzaheige pp.33-48 (1972). Matrizen (nìaunúonsta¡el), Mathematica, ltt(87), l, [6] ^D er asimovié, 8., Beilrag zuv Theorie der regelmässigen Rettenbyüche. Mat:n, Zeit-

schr., 62, 320 -329 ^(1955).

¡11 - ^{Ütter d,ie} I{eienbruch,enøiìhtung quad,rati.scher Irrøtionalzøhlen. NIat;¡.. Zeitschr. GG,

228-239 (r956).

l8) - ^{Über d,ie binàren} quad,røtischen Fovmen. Math. Zeitschr. ß6, B2g-340 (19s7).

i9] - O ueviløi'n, reþrezentacijøma realnih i nehih homþtehsnih huødyatnih iryaiio.nøtnik bro- .ieua. MatematiCki Vesnik, l(tß), 267-283 (1964).

[10] - ProSirenje teo/em'e Galois o þerioCiðnim ueyiïnint, yazlornci.mø. Maternaticki Vesnik, 3(18), 119-122 (1966).

[1] Dirichlet, L., Voylesangen über Zahletctheoyíc. Braunschweig, (1g94).

U2l Hasse, rr., vorlesungen irber Berlin, (19s0) (iusiischê ûbersetzung).

l1q] ryeiss, In., Einfithrung in. d.i.e S. Hirzel, r,eipzig, (1952).

[14] Perron, O., Zur Theorìe der Matrizen. Mailr. Ann.64 (1007j.'

t15l - Die ^{Lehre uon d,en.} Keìtenbyüchen. B. G. Teubner, Leipzig uncl Berlin, (1913).

[16] Popovici, c. P., Asþcctut de exþrcsii. çi ^d,e funclii ^{at jrøc¡ütor continue, 'An.} îniv.

. Fucuregti, Ser. $tiin. natur. ^Mat. - ^{Mec., 14,} n. 1, 29_39 (1965).

[17] Reischer-rrairnovic-!c.-T1maç,y.,Asuþrøçi,ruùlorrecurenie. _{1.n. gt. univ.}

,A.1. I. Cuza, Iaçi, Mat. t. X., fasc. 7 (1964).

[18] Schmiclt, H., Ztt'v Aþþroximation uzd, Keltenbyuchentwiahlwng quadratischer Zahlen.

Math. Zeitschr., 59, 168- 191 (1949).

t19l - Zur Ermi,ttlung reeller quad,røtisoher'Zahien aus d.em symmetrischen Anteil d,ey Ket-

- ,tenbruchþeriode. IÛ[.allr. Zeilscbr., 9¡ß, 58-61 ^(1967).

t20l ^s cl:orz, a., Einfahrung in d.òe Zaklentheorie. gz-ús,, _sarnmlung Göschen Band 1131, W. de Gruyter u.G., Berlin uncl Leipzig (1989).

' ^{Received 3,} III. ¹⁹⁷² r

2

(t _+,JD

sein

wird,

wo

b-2bo-q,

D

:

_Ç'

₊ 4N(S)(/¡-,(u,l) * F,_j.(u,l))', +

^4m(ef

I ^l)F,(u,

^I)

q:

N(S)(¿/

| ^l)F,(u, l)(fF.(t't,, l) ! ^F*-'(u,

¹⁾⁾

⁺

Z.B.'||rr e: l, f :2,.

1ru

-2, bo: l, n't':0,

ka-qn marl

Lt':6, F-o-:

:0,-F, I l, Fr:'6, F": ^gl,

^q

-

^ùZ+ schreib:n,

u*d

folglich b

: -

^232'

D

:

55432, also

1: - 116+Ji3858-.

Der regelmässige Kettenbruc:n:nat die vorperiod.-e (1).und. die Period.e (1X2)(1)(1)12)(1)(æã),

was dufch

^Rechnen

überprúft wird.

Gleichzeitig,

g"iàäù'àóÀ"5ãì,." 4.2., ergibt

sich,

ldass die konjugierte

garLze reelle

quadratische

Zall ,.,

^I

i,',rlili¡,

,,.¡,.,¡i.; t:-lfO 'a/r3aS8ri .

ì

die

Vorperiode

(-234j1s¡ u"a

d.ie Periodg (1)(1)i?)(i)(234)(1)(2) hat.

Es

ist klar,

äass ¿iàtês firgebniss

mit

denen, die durch die Sätze von

H. schmidt und I,.

Bernstein-bestimmt

wufden,

analog

ist. weil

^solche

þrgebnisse in unendlicher

Art und

Weise abgeleit-et wefden können,

ist

^es

nicit der

^F'a11, dass

man

einen neucn SatZ

aufstellt.

Hervorzuheben ist

nur,

dass

die Konstruktion von I{. Schmidt

angewendet wefden kann, welches

immer .die konkrete Form

der

Matrix

(11) sei'

I

I

LIl'E

^{RA'TU R}