Ciprian Manolescu UCLA
Ceremonia DHC, Universitatea Babes-Bolyai 11 iulie 2018
Care este forma Pamantului?
• Nu stim, dar putem pune o intrebare mai simpla:
Care este forma universului?
• Langa fiecare punct, Pamantul arata ca un spatiu plat:
• Spunem ca este o varietate cu doua dimensiuni.
De fapt, pamantul este un geoid:
In topologie nu facem distinctia intre obiecte care pot fi deformate unul in celalalt fara a le rupe:
Geoid = Sfera
Pentru topologi, o ceasca de cafea este acceasi ca si un tor (covrig):
In schimb, sfera este diferita de tor, precum si de planul euclidian.
Clasificarea varietatilor de dimensiune 2:
Planul euclidian
. . . . . .
. . .
Care este forma universului?
Finita or infinita?
Langa fiecare punct, universul arata ca spatiul Euclidian tridimensional:
Spunem ca universul este o varietate tridimensionala.
• Fizicienii au propus mai multe raspunsuri:
1. Infinit (plat)
2. Spatiul Poincare dodecaedral (Luminet et al 2003)
3. Cornul lui Picard (Aurich et al 2004) etc.
• Sarcina matematicienilor este sa clasifice toate spatiile posibile.
Mai multe dimensiuni
Teoria stringurilor: universul poate avea dimensiuni ascunse (care masoara forta electromagnetica etc.)
Topologie: clasificarea varietatilor de orice dimensiune n n=0,1,2,3,4,5,6…
O varietate de dimensiunea n este un spatiu cu proprietatea ca langa fiecare punct ne putem misca in n directii (n grade de libertate)
n=0: punct . n=1: linie
cerc
• n=2:
Spatiul euclidian
. . .
. . .
. . .
Thurston (1982) a propus o schema de clasificare in dimensiunea trei
. . .
Conjectura Geometrizarii a lui Thurston
• Aceasta schema a fost demonstrata adevarata de catre Perelman (2003)
• O consecinta este conjectura lui Poincaré, una dintre cele sapte Probleme ale Mileniului enumerate de Inst. Clay
Dimensiuni mari
n=4, 5, 6, … Exemple:
Spatiul euclidian de dimensiune n Hipersfera de dimensiune n
…
Teorema: Varietatile de dimesiune 4 (sau mai mult) nu admit o schema de clasificare.
Triangulari
Varietatile de dimensiuni n=0,1,2,3 pot fi triangulate:
Acesta nu este cazul pentru cele de dimensiuni 4, 5, 6, … ! (Conjectura triangularii este falsa)
Dimensiuni mari
• Teorema: Varietatile de dimesiune 4 (sau mai mult) nu admit o schema de clasificare.
• Putem insa sa ne limitam la varietatile simplu conexe, cele in care orice curba poate fi stransa intr-un punct:
Sfera este simplu conexa
Torul nu este simplu conex
Clasificarea varietatilor simplu conexe in dimensiuni mari:
Se poate face in dimensiunile n=5,6,7,… (1960’s) Nu se cunoaste in dimensiunea n=4
Topologia in dimensiune 4 este cea mai dificila!
Structuri netede
Daca putem deforma o figura in alta fara a le rupe, putem sa le deforma si fara a face unghiuri (printr-o deformare neteda)?
Daca nu, spunem ca cele doua figuri reprezinta doua structuri netede diferite pe aceeasi varietate.
Structuri netede
• In dimensiunile n=0,1,2,3, fiecare varietate are o unica structura neteda
• Primele structuri netede exotice au fost descoperite de Milnor (1956) pe hipersfera 7-dimensionala
• Spatiul euclidian de dimensiune n are:
o structura netede unica pentru n=0,1,2,3, 5,6,7,….
infinit de multe structuri netede pentru n=4
(cf. Donaldson, Gompf 1980’s)
(cf. Kervaire-Milnor 1963)
dimension # structures
1 1
2 1
3 1
4 ?
5 1
6 1
7 28
8 2
9 8
10 6
dimension # structures
11 992
12 1
13 3
14 2
15 16256
16 2
17 16
18 16
19 523264
20 24
O problema nerezolvata in topologie
Conjectura lui Poincaré in dimensiune 4:
Exista o unica structura neteda pe hipersfera de dimensiune 4?
?
Earth sphere: http://www.freepik.com/free-vector/big-crystal-earth-sphere_677399.htm Tangent space: http://rqgravity.net/BasicsOfCurvature
Two-dimensional Euclidean space: http://spaceguard.iasf-roma.inaf.it/NScience/neo/dictionary/newton.htm
Geoid: Image courtesy of the University of Texas Center for Space Research and NASA.
http://celebrating200years.noaa.gov/foundations/gravity_surveys/ggm01_americas.html Coffee mug turning into doughnut: http://en.wikipedia.org/wiki/Topology
Compact two-dimensional manifolds: http://mathworld.wolfram.com/CompactManifold.html
Three-manifold three-torus: An image from inside a 3-torus, generated by Jeff Weeks' CurvedSpaces software. http://en.wikipedia.org/wiki/3- manifold#mediaviewer/File:3-Manifold_3-Torus.png
Poincare dodecahedral space: View from inside PDS along an arbitrary direction, calculated by the CurvedSpaces program, with multiple images of the Earth (from Jeff Weeks).
http://www.science20.com/news_releases/poincare_dodecahedral_space_model_gains_support_to_explain_the_shape_of_space
Grigori Perelman, solver of Poincaré conjecture, gives a lecture on his solution at New York’s Weaver Hall in 2003. Photograph: Frances M Roberts. http://www.theguardian.com/books/2011/mar/27/perfect-rigour-grigori-perelman-review
A function (blue) and a piecewise linear approximation to it (red). http://en.wikipedia.org/wiki/Piecewise_linear_function Torus: triangulated by the marching method: http://en.wikipedia.org/wiki/Surface_triangulation
A sphere is simply connected because every loop can be contracted (on the surface) to a point.
http://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected_space
The torus is not simply-connected: http://inperc.com/wiki/index.php?title=File:Torus.JPG
