Criterii de ireductibilitate ˆın inele de polinoame

Criterii de ireductibilitate ˆın inele de polinoame

Lazorec Mihai Silviu

Facultatea de Matematic˘a

Universitatea “Alexandru Ioan Cuza”, Ia¸si

Februarie, 2019

Not¸iuni preliminare

Fie (R,+,·,0,1)un inel integru ¸si(K,+,·,0,1)un corp comutativ. Not˘am cu:

– U(R) mult¸imea elementelor inversabile ale lui R, i.e.

U(R) ={a∈R | ∃b∈R astfel ˆıncˆata·b= 1};

– R⁰ mult¸imea elementelor nenule ¸si neinversabile ale lui R, i.e.

R⁰ =R\(U(R)∪ {0}).

Observ˘am c˘a:

– Z⁰ =Z\ {−1,0,1}; – K⁰ =∅.

Not¸iuni preliminare

Fie (R,+,·,0,1)un inel integru ¸si(K,+,·,0,1)un corp comutativ. Not˘am cu:

– U(R) mult¸imea elementelor inversabile ale lui R, i.e.

U(R) ={a∈R | ∃b∈R astfel ˆıncˆata·b= 1};

– R⁰ mult¸imea elementelor nenule ¸si neinversabile ale lui R, i.e.

R⁰ =R\(U(R)∪ {0}).

Observ˘am c˘a:

– Z⁰ =Z\ {−1,0,1};

– K⁰ =∅.

Not¸iuni preliminare

Fie f =a0+a1X+a2X²+. . .+anXⁿ∈R[X]un polinom de gradn∈N.

Definit¸ia 1. Spunem c˘a polinomulf este ireductibil ˆınR[X]dac˘a nu exist˘a d∈R⁰, astfel ˆıncˆatd|f, ¸si nu exist˘ag, h∈R[X], cu 1≤gr(g), gr(h)< n, astfel ˆıncˆatf =gh.

Dac˘a f are coeficient¸i ˆın K, Definit¸ia 1 se rescrie astfel:

Spunem c˘a polinomulf este ireductibil ˆınK[X]dac˘a nu exist˘ag, h∈K[X], cu 1≤gr(g), gr(h)< n, astfel ˆıncˆatf =gh.

Not¸iuni preliminare

Fie f =a0+a1X+a2X²+. . .+anXⁿ∈R[X]un polinom de gradn∈N.

Definit¸ia 1. Spunem c˘a polinomulf este ireductibil ˆınR[X]dac˘a nu exist˘a d∈R⁰, astfel ˆıncˆatd|f, ¸si nu exist˘ag, h∈R[X], cu 1≤gr(g), gr(h)< n, astfel ˆıncˆatf =gh.

Dac˘a f are coeficient¸i ˆın K, Definit¸ia 1 se rescrie astfel:

Spunem c˘a polinomulf este ireductibil ˆınK[X]dac˘a nu exist˘ag, h∈K[X], cu 1≤gr(g), gr(h)< n, astfel ˆıncˆatf =gh.

Not¸iuni preliminare

ˆIn particular:

a) dac˘af ∈Z[X]¸si:

– gr(f) = 0, atuncif ireductibil ˆınZ[X]⇐⇒a0este ireductibil ˆınZ; – gr(f) = 1, atuncif este ireductibil ˆınZ[X]⇐⇒@ d∈Z\ {−1,0,1}

astfel ˆıncˆatd|f;

– gr(f) =n >1, atunci f ireductibil ˆınZ[X]⇐⇒@d∈Z\ {−1,0,1}, astfel ˆıncˆatd|f, ¸si @g, h∈Z[X], cu1≤gr(g), gr(h)< n, astfel ˆıncˆat f =gh.

b) dac˘af ∈Q[X]¸si:

– gr(f) = 0, atuncif ∈Q^∗, decif nu este ireductibil fiind inversabil; – gr(f) = 1, atuncif este ireductibil ˆınQ[X];

– gr(f) =n >1, atuncif este ireductibil ˆınQ[X]⇐⇒@g, h∈Q[X], cu1≤gr(g), gr(h)< n, astfel ˆıncˆatf =gh.

Exemplul 1. f = 2X + 4 este reductibil ˆın Z[X], dar este ireductibil ˆın Q[X].

Not¸iuni preliminare

ˆIn particular:

a) dac˘af ∈Z[X]¸si:

– gr(f) = 0, atuncif ireductibil ˆınZ[X]⇐⇒a0este ireductibil ˆınZ; – gr(f) = 1, atuncif este ireductibil ˆınZ[X]⇐⇒@ d∈Z\ {−1,0,1}

astfel ˆıncˆatd|f;

– gr(f) =n >1, atunci f ireductibil ˆınZ[X]⇐⇒@d∈Z\ {−1,0,1}, astfel ˆıncˆatd|f, ¸si @g, h∈Z[X], cu1≤gr(g), gr(h)< n, astfel ˆıncˆat f =gh.

b) dac˘af ∈Q[X]¸si:

– gr(f) = 0, atuncif ∈Q^∗, decif nu este ireductibil fiind inversabil;

– gr(f) = 1, atuncif este ireductibil ˆınQ[X];

– gr(f) =n >1, atunci f este ireductibil ˆınQ[X]⇐⇒@g, h∈Q[X], cu1≤gr(g), gr(h)< n, astfel ˆıncˆatf =gh.

Exemplul 1. f = 2X + 4 este reductibil ˆın Z[X], dar este ireductibil ˆın Q[X].

Not¸iuni preliminare

ˆIn particular:

a) dac˘af ∈Z[X]¸si:

– gr(f) = 0, atuncif ireductibil ˆınZ[X]⇐⇒a0este ireductibil ˆınZ; – gr(f) = 1, atuncif este ireductibil ˆınZ[X]⇐⇒@ d∈Z\ {−1,0,1}

astfel ˆıncˆatd|f;

– gr(f) =n >1, atunci f ireductibil ˆınZ[X]⇐⇒@d∈Z\ {−1,0,1}, astfel ˆıncˆatd|f, ¸si @g, h∈Z[X], cu1≤gr(g), gr(h)< n, astfel ˆıncˆat f =gh.

b) dac˘af ∈Q[X]¸si:

– gr(f) = 0, atuncif ∈Q^∗, decif nu este ireductibil fiind inversabil;

– gr(f) = 1, atuncif este ireductibil ˆınQ[X];

– gr(f) =n >1, atunci f este ireductibil ˆınQ[X]⇐⇒@g, h∈Q[X], cu1≤gr(g), gr(h)< n, astfel ˆıncˆatf =gh.

Exemplul 1. f = 2X + 4 este reductibil ˆın Z[X], dar este ireductibil ˆın

Not¸iuni preliminare

Definit¸ia 2. Fie f =a0+a1X+a2X²+. . .+anXⁿ∈Z[X]. Spunem c˘a f este un polinom primitiv ˆınZ[X]dac˘a(a₀, a₁, a₂, . . . , a_n) =±1.

Observat¸ia 1. Elementul (a0, a1, a2, . . . , an) ∈Z se mai noteaz˘a cuc(f)

¸si se nume¸ste cont¸inutul luif.

Lema lui Gauss (privitoare la primitivitate). Fie f, g ∈ Z[X] dou˘a polinoame primitive ˆın Z[X]. Atunci ¸si polinomul produs f g este primitiv ˆınZ[X].

Lema lui Gauss (privitoare la ireductibilitate). Fie f ∈ Z[X] avˆand gr(f)≥1. Atunci

f este ireductibil ˆın Z[X]⇐⇒

f este primitiv ˆınZ[X] f este ireductibil ˆın Q[X]

Not¸iuni preliminare

Definit¸ia 2. Fie f =a0+a1X+a2X²+. . .+anXⁿ∈Z[X]. Spunem c˘a f este un polinom primitiv ˆınZ[X]dac˘a(a₀, a₁, a₂, . . . , a_n) =±1.

Observat¸ia 1. Elementul (a0, a1, a2, . . . , an) ∈Z se mai noteaz˘a cuc(f)

¸si se nume¸ste cont¸inutul luif.

Lema lui Gauss (privitoare la primitivitate). Fie f, g ∈ Z[X] dou˘a polinoame primitive ˆın Z[X]. Atunci ¸si polinomul produs f g este primitiv ˆınZ[X].

Lema lui Gauss (privitoare la ireductibilitate). Fie f ∈ Z[X] avˆand gr(f)≥1. Atunci

f este ireductibil ˆın Z[X]⇐⇒

f este primitiv ˆınZ[X] f este ireductibil ˆın Q[X]

Not¸iuni preliminare

Definit¸ia 2. Fie f =a0+a1X+a2X²+. . .+anXⁿ∈Z[X]. Spunem c˘a f este un polinom primitiv ˆınZ[X]dac˘a(a₀, a₁, a₂, . . . , a_n) =±1.

Observat¸ia 1. Elementul (a0, a1, a2, . . . , an) ∈Z se mai noteaz˘a cuc(f)

¸si se nume¸ste cont¸inutul luif.

Lema lui Gauss (privitoare la primitivitate). Fie f, g ∈ Z[X] dou˘a polinoame primitive ˆın Z[X]. Atunci ¸si polinomul produs f g este primitiv ˆınZ[X].

Lema lui Gauss (privitoare la ireductibilitate). Fie f ∈ Z[X] avˆand gr(f)≥1. Atunci

f este ireductibil ˆın Z[X]⇐⇒

f este primitiv ˆınZ[X]

f este ireductibil ˆın Q[X]

Criterii de ireductibilitate

Criteriul 1. Fie K un corp comutativ ¸si fie f ∈K[X] cu gr(f) ∈ {2,3}.

Atunci

f este ireductibil ˆın K[X]⇐⇒f nu are r˘ad˘acini ˆın K.

Criteriul 1 ¸si Lema lui Gauss conduc la urm˘atorul rezultat: Fie f ∈Z[X]un polinom primitiv de grad 2 sau 3. Atunci

f este ireductibil ˆınZ[X]⇐⇒f nu are r˘ad˘acini ˆın Q. Exemplul 2.

– Polinomul primitiv f = 6X²+ 5X+ 1∈Z[X]nu are r˘ad˘acini ˆın Z. Dar, ambele r˘ad˘acini sunt rat¸ionale (x₁ =−¹₂, x₂ =−¹₃). Deci,f este reductibil ˆın Z[X].

– Polinomul primitiv f =X⁴+ 4X²+ 3∈Z[X]nu are r˘ad˘acini ˆın Q, dar f este reductibil ˆın Z[X]deoarecef = (X²+ 1)(X²+ 3).

Criterii de ireductibilitate

Criteriul 1. Fie K un corp comutativ ¸si fie f ∈K[X] cu gr(f) ∈ {2,3}.

Atunci

f este ireductibil ˆın K[X]⇐⇒f nu are r˘ad˘acini ˆın K.

Criteriul 1 ¸si Lema lui Gauss conduc la urm˘atorul rezultat:

Fie f ∈Z[X]un polinom primitiv de grad 2 sau 3. Atunci f este ireductibil ˆınZ[X]⇐⇒f nu are r˘ad˘acini ˆınQ.

Exemplul 2.

– Polinomul primitiv f = 6X²+ 5X+ 1∈Z[X]nu are r˘ad˘acini ˆın Z. Dar, ambele r˘ad˘acini sunt rat¸ionale (x₁ =−¹₂, x₂ =−¹₃). Deci,f este reductibil ˆın Z[X].

– Polinomul primitiv f =X⁴+ 4X²+ 3∈Z[X]nu are r˘ad˘acini ˆın Q, dar f este reductibil ˆın Z[X]deoarecef = (X²+ 1)(X²+ 3).

Criterii de ireductibilitate

Criteriul 1. Fie K un corp comutativ ¸si fie f ∈K[X] cu gr(f) ∈ {2,3}.

Atunci

f este ireductibil ˆın K[X]⇐⇒f nu are r˘ad˘acini ˆın K.

Criteriul 1 ¸si Lema lui Gauss conduc la urm˘atorul rezultat:

Fie f ∈Z[X]un polinom primitiv de grad 2 sau 3. Atunci f este ireductibil ˆınZ[X]⇐⇒f nu are r˘ad˘acini ˆınQ. Exemplul 2.

– Polinomul primitiv f = 6X²+ 5X+ 1∈Z[X]nu are r˘ad˘acini ˆın Z. Dar, ambele r˘ad˘acini sunt rat¸ionale (x₁ =−¹₂, x₂ =−¹₃). Deci,f este reductibil ˆın Z[X].

– Polinomul primitiv f =X⁴+ 4X²+ 3∈Z[X]nu are r˘ad˘acini ˆın Q, dar f este reductibil ˆın Z[X]deoarecef = (X²+ 1)(X²+ 3).

Criterii de ireductibilitate

Criteriul 1. Fie K un corp comutativ ¸si fie f ∈K[X] cu gr(f) ∈ {2,3}.

Atunci

f este ireductibil ˆın K[X]⇐⇒f nu are r˘ad˘acini ˆın K.

Criteriul 1 ¸si Lema lui Gauss conduc la urm˘atorul rezultat:

Fie f ∈Z[X]un polinom primitiv de grad 2 sau 3. Atunci f este ireductibil ˆınZ[X]⇐⇒f nu are r˘ad˘acini ˆınQ. Exemplul 2.

– Polinomul primitiv f = 6X²+ 5X+ 1∈Z[X]nu are r˘ad˘acini ˆın Z. Dar, ambele r˘ad˘acini sunt rat¸ionale (x₁ =−¹₂, x₂ =−¹₃). Deci,f este reductibil ˆın Z[X].

– Polinomul primitiv f =X⁴+ 4X²+ 3∈Z[X]nu are r˘ad˘acini ˆın Q, dar f este reductibil ˆın Z[X]deoarecef = (X²+ 1)(X²+ 3).

Criterii de ireductibilitate

Criteriul 2 (Eisenstein). Fief =a0+a1X+a2X²+. . .+anXⁿ∈Z[X], unde n ∈ N^∗. Dac˘a exist˘a un num˘ar prim p ∈ Z ce satisface propriet˘at¸ile p|a_i, ∀ i∈ {0,1,2, . . . , n−1},p-a_n¸sip²-a₀, atuncif este ireductibil ˆın Q[X]. Dac˘a, ˆın plus, f este primitiv, atuncif este ireductibil ˆın Z[X].

Criteriul 3. Fief =a0+a1X+a2X²+. . .+anXⁿ∈Z[X],unden∈N^∗,

¸si fie b∈Z. Atunci

f este ireductibil ˆınZ[X]⇐⇒f(±X+b)este ireductibil ˆın Z[X]. Exemplul 3. Folosind Criteriile 2 ¸si 3 se poate ar˘ata c˘a, pentru orice num˘ar primp, alp-ulea polinom ciclotomicΦp= 1 +X+X²+. . .+X^p−1 ∈Z[X] este ireductibil ˆın Q[X](¸si ˆın Z[X]fiind primitiv).

Criterii de ireductibilitate

Criteriul 2 (Eisenstein). Fief =a0+a1X+a2X²+. . .+anXⁿ∈Z[X], unde n ∈ N^∗. Dac˘a exist˘a un num˘ar prim p ∈ Z ce satisface propriet˘at¸ile p|a_i, ∀ i∈ {0,1,2, . . . , n−1},p-a_n¸sip²-a₀, atuncif este ireductibil ˆın Q[X]. Dac˘a, ˆın plus, f este primitiv, atuncif este ireductibil ˆın Z[X].

Criteriul 3. Fief =a0+a1X+a2X²+. . .+anXⁿ∈Z[X],unden∈N^∗,

¸si fie b∈Z. Atunci

f este ireductibil ˆınZ[X]⇐⇒f(±X+b) este ireductibil ˆın Z[X].

Exemplul 3. Folosind Criteriile 2 ¸si 3 se poate ar˘ata c˘a, pentru orice num˘ar primp, alp-ulea polinom ciclotomicΦp= 1 +X+X²+. . .+X^p−1 ∈Z[X] este ireductibil ˆın Q[X](¸si ˆın Z[X]fiind primitiv).

Criterii de ireductibilitate

Criteriul 2 (Eisenstein). Fief =a0+a1X+a2X²+. . .+anXⁿ∈Z[X], unde n ∈ N^∗. Dac˘a exist˘a un num˘ar prim p ∈ Z ce satisface propriet˘at¸ile p|a_i, ∀ i∈ {0,1,2, . . . , n−1},p-a_n¸sip²-a₀, atuncif este ireductibil ˆın Q[X]. Dac˘a, ˆın plus, f este primitiv, atuncif este ireductibil ˆın Z[X].

Criteriul 3. Fief =a0+a1X+a2X²+. . .+anXⁿ∈Z[X],unden∈N^∗,

¸si fie b∈Z. Atunci

f este ireductibil ˆınZ[X]⇐⇒f(±X+b) este ireductibil ˆın Z[X].

Exemplul 3. Folosind Criteriile 2 ¸si 3 se poate ar˘ata c˘a, pentru orice num˘ar primp, alp-ulea polinom ciclotomicΦp= 1 +X+X²+. . .+X^p−1 ∈Z[X]

este ireductibil ˆın Q[X](¸si ˆın Z[X]fiind primitiv).

Criterii de ireductibilitate

Criteriul 4. Fief =a₀+a₁X+a₂X²+. . .+a_nXⁿ∈Z[X],unden∈N^∗,

¸sia06= 0.Atunci

f este ireductibil ˆın Z[X]⇐⇒r(f) este ireductibil ˆınZ[X], under(f) =a_n+an−1X+an−2X²+. . .+a₀Xⁿ∈Z[X].

Observat¸ia 2. r(f) se nume¸ste reciprocul polinomuluif.

Exemplul 4. Utilizˆand Criteriile 2 ¸si 4 se poate ar˘ata c˘a polinomul f = 6X¹¹+ 27X⁵+ 3X+ 8∈Z[X]este ireductibil ˆın Z[X].

Criterii de ireductibilitate

Criteriul 4. Fief =a₀+a₁X+a₂X²+. . .+a_nXⁿ∈Z[X],unden∈N^∗,

¸sia06= 0.Atunci

f este ireductibil ˆın Z[X]⇐⇒r(f) este ireductibil ˆınZ[X], under(f) =a_n+an−1X+an−2X²+. . .+a₀Xⁿ∈Z[X].

Observat¸ia 2. r(f) se nume¸ste reciprocul polinomuluif.

Exemplul 4. Utilizˆand Criteriile 2 ¸si 4 se poate ar˘ata c˘a polinomul f = 6X¹¹+ 27X⁵+ 3X+ 8∈Z[X]este ireductibil ˆın Z[X].

Criterii de ireductibilitate

Criteriul 4. Fief =a₀+a₁X+a₂X²+. . .+a_nXⁿ∈Z[X],unden∈N^∗,

¸sia06= 0.Atunci

f este ireductibil ˆın Z[X]⇐⇒r(f) este ireductibil ˆınZ[X], under(f) =a_n+an−1X+an−2X²+. . .+a₀Xⁿ∈Z[X].

Observat¸ia 2. r(f) se nume¸ste reciprocul polinomuluif.

Exemplul 4. Utilizˆand Criteriile 2 ¸si 4 se poate ar˘ata c˘a polinomul f = 6X¹¹+ 27X⁵+ 3X+ 8∈Z[X]este ireductibil ˆın Z[X].

Criterii de ireductibilitate

Criteriul 5 (Perron). Fief =a₀+a₁X+a₂X²+. . .+Xⁿ∈Z[X], unde n≥2, ¸si a0 6= 0.Dac˘a

|a_n−1|>1 +|a₀|+|a₁|+. . .+|a_n−2|, atunci f este ireductibil ˆınZ[X].

Exemplul 5.

– Polinomul f =X¹⁰+ 2002X⁹+ 1999X⁴+ 1∈Z[X]este ireductibil ˆınZ[X].

– Polinomul f =Xⁿ+ 6Xⁿ⁻¹+ 4∈Z[X]este ireductibil ˆınZ[X],

∀ n≥2.

Criterii de ireductibilitate

Criteriul 5 (Perron). Fief =a₀+a₁X+a₂X²+. . .+Xⁿ∈Z[X], unde n≥2, ¸si a0 6= 0.Dac˘a

|a_n−1|>1 +|a₀|+|a₁|+. . .+|a_n−2|,

atunci f este ireductibil ˆınZ[X].

Exemplul 5.

– Polinomul f =X¹⁰+ 2002X⁹+ 1999X⁴+ 1∈Z[X]este ireductibil ˆınZ[X].

– Polinomul f =Xⁿ+ 6Xⁿ⁻¹+ 4∈Z[X]este ireductibil ˆınZ[X],

∀ n≥2.

Criterii de ireductibilitate

Criteriul 6. Fief =a₀+a₁X+a₂X²+. . .+a_nXⁿ∈Z[X], unden∈N^∗. Dac˘a exist˘a un num˘ar natural m≥2astfel ˆıncˆat

i) f(m−1)6= 0, ii) f(m) =prim,

iii) Re(z)< m−¹₂, pentru toate r˘ad˘acinilez∈C ale luif, atunci f este ireductibil ˆınZ[X].

Exemplul 6. Aplicˆand Criteriul 6, pentru m = 2, obt¸inem c˘a polinomul f =X⁴−X²+ 1∈Z[X]este ireductibil ˆın Z[X]. R˘ad˘acinile sunt: z1 =

√3

2 +¹₂i, z2 =

√3

2 −¹₂i, z3=−

√3

2 +¹₂i, z4 =−

√3 2 −¹₂i.

Criterii de ireductibilitate

Criteriul 6. Fief =a₀+a₁X+a₂X²+. . .+a_nXⁿ∈Z[X], unden∈N^∗. Dac˘a exist˘a un num˘ar natural m≥2astfel ˆıncˆat

i) f(m−1)6= 0, ii) f(m) =prim,

iii) Re(z)< m−¹₂, pentru toate r˘ad˘acinilez∈C ale luif, atunci f este ireductibil ˆınZ[X].

Exemplul 6. Aplicˆand Criteriul 6, pentru m = 2, obt¸inem c˘a polinomul f =X⁴−X²+ 1∈Z[X]este ireductibil ˆın Z[X]. R˘ad˘acinile sunt:

z₁ =

√3

2 +¹₂i, z₂ =

√3

2 −¹₂i, z₃=−

√3

2 +¹₂i, z₄ =−

√3 2 −¹₂i.

Criterii de ireductibilitate

Criteriul 7. Fief =a0+a1X+a2X²+. . .+anXⁿ∈Z[X], unden∈N^∗, p ∈ N un num˘ar prim ¸si fˆ= ˆa₀ + ˆa₁X+ ˆa₂X² +. . .+ ˆa_nXⁿ ∈ Zp[X].

Dac˘a

i) gr( ˆf) =gr(f),

ii) fˆeste ireductibil ˆın Zp[X],

atunci f este ireductibil ˆın Q[X]. Dac˘a, ˆın plus, f este primitiv, atunci f este ireductibil ˆın Z[X].

Observat¸ia 3. Polinomul fˆse nume¸ste redusul modulop al lui f.

Exemplul 7. Polinomulf = 11X⁵+ 8X⁴+ 12X³+ 3X²+ 7∈Z[X]este ireductibil ˆın Q[X], dar ¸si ˆın Z[X], ˆıntrucˆat este primitiv.

Criterii de ireductibilitate

Criteriul 7. Fief =a0+a1X+a2X²+. . .+anXⁿ∈Z[X], unden∈N^∗, p ∈ N un num˘ar prim ¸si fˆ= ˆa₀ + ˆa₁X+ ˆa₂X² +. . .+ ˆa_nXⁿ ∈ Zp[X].

Dac˘a

i) gr( ˆf) =gr(f),

ii) fˆeste ireductibil ˆın Zp[X],

atunci f este ireductibil ˆın Q[X]. Dac˘a, ˆın plus, f este primitiv, atunci f este ireductibil ˆın Z[X].

Observat¸ia 3. Polinomul fˆse nume¸ste redusul modulop al lui f.

Exemplul 7. Polinomulf = 11X⁵+ 8X⁴+ 12X³+ 3X²+ 7∈Z[X]este ireductibil ˆın Q[X], dar ¸si ˆın Z[X], ˆıntrucˆat este primitiv.

Criterii de ireductibilitate

Criteriul 7. Fief =a0+a1X+a2X²+. . .+anXⁿ∈Z[X], unden∈N^∗, p ∈ N un num˘ar prim ¸si fˆ= ˆa₀ + ˆa₁X+ ˆa₂X² +. . .+ ˆa_nXⁿ ∈ Zp[X].

Dac˘a

i) gr( ˆf) =gr(f),

ii) fˆeste ireductibil ˆın Zp[X],

atunci f este ireductibil ˆın Q[X]. Dac˘a, ˆın plus, f este primitiv, atunci f este ireductibil ˆın Z[X].

Observat¸ia 3. Polinomul fˆse nume¸ste redusul modulop al lui f.

Exemplul 7. Polinomulf = 11X⁵+ 8X⁴+ 12X³+ 3X²+ 7∈Z[X]este ireductibil ˆın Q[X], dar ¸si ˆın Z[X], ˆıntrucˆat este primitiv.

Criterii de ireductibilitate

Criteriul 8 (Sch¨onemann). Fief =a₀+a₁X+a₂X²+. . .+Xⁿ∈Z[X], unde n ∈ N^∗. Presupunem c˘a exist˘a m ∈ N^∗, un num˘ar prim p ∈ N ¸si polinoamele g, h∈Z[X]satisf˘acˆand condit¸iile:

i) f =g^m+ph,

ii) gˆeste ireductibil ˆınZp[X], iii) gˆ-ˆh.

Atunci f este ireductibil ˆın Z[X].

Exemplul 8. Polinomulf = (X²+ 2)³+ 5(X⁵+ 10X³+ 5)∈Z[X]este ireductibil ˆın Z[X].

Criterii de ireductibilitate

Criteriul 8 (Sch¨onemann). Fief =a₀+a₁X+a₂X²+. . .+Xⁿ∈Z[X], unde n ∈ N^∗. Presupunem c˘a exist˘a m ∈ N^∗, un num˘ar prim p ∈ N ¸si polinoamele g, h∈Z[X]satisf˘acˆand condit¸iile:

i) f =g^m+ph,

ii) gˆeste ireductibil ˆınZp[X], iii) gˆ-ˆh.

Atunci f este ireductibil ˆın Z[X].

Exemplul 8. Polinomulf = (X²+ 2)³+ 5(X⁵+ 10X³+ 5)∈Z[X]este ireductibil ˆın Z[X].

O leg˘ atur˘ a ˆıntre numerele prime ¸si ireductibilitatea ˆın Z [X ]

Teorema 1 (Cohn). Fie p ∈ N un num˘ar prim ¸si

n

P

i=0

a_i10ⁱ scierea sa ˆın baza 10. Atunci polinomulf =a0+a1X+a2X²+. . . anXⁿ∈Z[X]este ireductibil ˆın Z[X].

Exemplul 9.

– ˆIn 1732, Euler g˘ase¸ste num˘arul prim6,700,417. Deci, polinomul 6X⁶+ 7X⁵+ 4X²+X+ 7∈Z[X]este ireductibil ˆınZ[X].

– ˆIn 1772, Euler indic˘a num˘arul prim 2,147,483,647. Deci, polinomul 2X⁹+X⁸+ 4X⁷+ 7X⁶+ 4X⁵+ 8X⁴+ 3X³+ 6X²+ 4X+ 7∈Z[X] este ireductibil ˆın Z[X].

O leg˘ atur˘ a ˆıntre numerele prime ¸si ireductibilitatea ˆın Z [X ]

Teorema 1 (Cohn). Fie p ∈ N un num˘ar prim ¸si

n

P

i=0

a_i10ⁱ scierea sa ˆın baza 10. Atunci polinomulf =a0+a1X+a2X²+. . . anXⁿ∈Z[X]este ireductibil ˆın Z[X].

Exemplul 9.

– ˆIn 1732, Euler g˘ase¸ste num˘arul prim6,700,417. Deci, polinomul 6X⁶+ 7X⁵+ 4X²+X+ 7∈Z[X]este ireductibil ˆınZ[X].

– ˆIn 1772, Euler indic˘a num˘arul prim 2,147,483,647. Deci, polinomul 2X⁹+X⁸+ 4X⁷+ 7X⁶+ 4X⁵+ 8X⁴+ 3X³+ 6X²+ 4X+ 7∈Z[X] este ireductibil ˆın Z[X].

O leg˘ atur˘ a ˆıntre numerele prime ¸si ireductibilitatea ˆın Z [X ]

Teorema 1 (Cohn). Fie p ∈ N un num˘ar prim ¸si

n

P

i=0

a_i10ⁱ scierea sa ˆın baza 10. Atunci polinomulf =a0+a1X+a2X²+. . . anXⁿ∈Z[X]este ireductibil ˆın Z[X].

Exemplul 9.

– ˆIn 1732, Euler g˘ase¸ste num˘arul prim6,700,417. Deci, polinomul 6X⁶+ 7X⁵+ 4X²+X+ 7∈Z[X]este ireductibil ˆınZ[X].

– ˆIn 1772, Euler indic˘a num˘arul prim 2,147,483,647. Deci, polinomul 2X⁹+X⁸+ 4X⁷+ 7X⁶+ 4X⁵+ 8X⁴+ 3X³+ 6X²+ 4X+ 7∈Z[X]

este ireductibil ˆın Z[X].

O leg˘ atur˘ a ˆıntre numerele prime ¸si ireductibilitatea ˆın Z [X ]

Teorema 2. Dac˘a un num˘ar prim p ∈ N este exprimat ˆıntr-o baz˘a de numerat¸ie b ≥2 ca p =

n

P

i=0

a_ibⁱ, unde 0 ≤ a₁ ≤ b−1, atunci polinomul f =a0+a1X+a2X²+. . . anXⁿ∈Z[X]este ireductibil ˆın Z[X].

Exemplul 10. Thomas Clausen g˘ase¸ste num˘arul prim67,280,421,310,721 ˆın 1855.

672804213107212 = 1111010011000011110001100111001101000100000001.

Atunci, polinomulX⁴⁵+X⁴⁴+X⁴³+X⁴²+X⁴⁰+X³⁷+X³⁶+X³¹+X³⁰+ X²⁹+X²⁸+X²⁴+X²³+X²⁰+X¹⁹+X¹⁸+X¹⁵+X¹⁴+X¹²+X⁸+1∈Z[X] este ireductibil ˆın Z[X].

O leg˘ atur˘ a ˆıntre numerele prime ¸si ireductibilitatea ˆın Z [X ]

Teorema 2. Dac˘a un num˘ar prim p ∈ N este exprimat ˆıntr-o baz˘a de numerat¸ie b ≥2 ca p =

n

P

i=0

a_ibⁱ, unde 0 ≤ a₁ ≤ b−1, atunci polinomul f =a0+a1X+a2X²+. . . anXⁿ∈Z[X]este ireductibil ˆın Z[X].

Exemplul 10. Thomas Clausen g˘ase¸ste num˘arul prim67,280,421,310,721 ˆın 1855.

672804213107212 = 1111010011000011110001100111001101000100000001.

Atunci, polinomulX⁴⁵+X⁴⁴+X⁴³+X⁴²+X⁴⁰+X³⁷+X³⁶+X³¹+X³⁰+ X²⁹+X²⁸+X²⁴+X²³+X²⁰+X¹⁹+X¹⁸+X¹⁵+X¹⁴+X¹²+X⁸+1∈Z[X] este ireductibil ˆın Z[X].

O leg˘ atur˘ a ˆıntre numerele prime ¸si ireductibilitatea ˆın Z [X ]

Teorema 2. Dac˘a un num˘ar prim p ∈ N este exprimat ˆıntr-o baz˘a de numerat¸ie b ≥2 ca p =

n

P

i=0

a_ibⁱ, unde 0 ≤ a₁ ≤ b−1, atunci polinomul f =a0+a1X+a2X²+. . . anXⁿ∈Z[X]este ireductibil ˆın Z[X].

Exemplul 10. Thomas Clausen g˘ase¸ste num˘arul prim67,280,421,310,721 ˆın 1855.

672804213107212 = 1111010011000011110001100111001101000100000001.

Atunci, polinomulX⁴⁵+X⁴⁴+X⁴³+X⁴²+X⁴⁰+X³⁷+X³⁶+X³¹+X³⁰+ X²⁹+X²⁸+X²⁴+X²³+X²⁰+X¹⁹+X¹⁸+X¹⁵+X¹⁴+X¹²+X⁸+1∈Z[X] este ireductibil ˆın Z[X].

O leg˘ atur˘ a ˆıntre numerele prime ¸si ireductibilitatea ˆın Z [X ]

Teorema 2. Dac˘a un num˘ar prim p ∈ N este exprimat ˆıntr-o baz˘a de numerat¸ie b ≥2 ca p =

n

P

i=0

a_ibⁱ, unde 0 ≤ a₁ ≤ b−1, atunci polinomul f =a0+a1X+a2X²+. . . anXⁿ∈Z[X]este ireductibil ˆın Z[X].

Exemplul 10. Thomas Clausen g˘ase¸ste num˘arul prim67,280,421,310,721 ˆın 1855.

672804213107212 = 1111010011000011110001100111001101000100000001.

Atunci, polinomulX⁴⁵+X⁴⁴+X⁴³+X⁴²+X⁴⁰+X³⁷+X³⁶+X³¹+X³⁰+ X²⁹+X²⁸+X²⁴+X²³+X²⁰+X¹⁹+X¹⁸+X¹⁵+X¹⁴+X¹²+X⁸+1∈Z[X]

este ireductibil ˆın Z[X].

O leg˘ atur˘ a ˆıntre numerele prime ¸si ireductibilitatea ˆın Z [X ]

7 Decembrie, 2018: se g˘ase¸ste num˘arul prim2^82,589,933−1care are24,862,048 cifre.

Deci, cu ceva mai mult˘a r˘abdare..., urmˆand ideile de mai sus, putem scrie un polinom ireductibil, cu coeficient¸i ˆıntregi, de grad 24,862,047.

De asemenea, dac˘a exprim˘am num˘arul de mai sus ˆıntr-o baz˘a de numerat¸ie b, am putea scrie un polinom ireductibil, cu coeficient¸i ˆıntregi, de grad [log_b(2^82,589,933−1)].

O leg˘ atur˘ a ˆıntre numerele prime ¸si ireductibilitatea ˆın Z [X ]

7 Decembrie, 2018: se g˘ase¸ste num˘arul prim2^82,589,933−1care are24,862,048 cifre.

Deci, cu ceva mai mult˘a r˘abdare..., urmˆand ideile de mai sus, putem scrie un polinom ireductibil, cu coeficient¸i ˆıntregi, de grad 24,862,047.

De asemenea, dac˘a exprim˘am num˘arul de mai sus ˆıntr-o baz˘a de numerat¸ie b, am putea scrie un polinom ireductibil, cu coeficient¸i ˆıntregi, de grad [log_b(2^82,589,933−1)].

O leg˘ atur˘ a ˆıntre numerele prime ¸si ireductibilitatea ˆın Z [X ]

7 Decembrie, 2018: se g˘ase¸ste num˘arul prim2^82,589,933−1care are24,862,048 cifre.

Deci, cu ceva mai mult˘a r˘abdare..., urmˆand ideile de mai sus, putem scrie un polinom ireductibil, cu coeficient¸i ˆıntregi, de grad 24,862,047.

De asemenea, dac˘a exprim˘am num˘arul de mai sus ˆıntr-o baz˘a de numerat¸ie b, am putea scrie un polinom ireductibil, cu coeficient¸i ˆıntregi, de grad [log_b(2^82,589,933−1)].

Polinoame ciclotomice

Fie n∈N^∗.Polinomul Xⁿ−1∈C[X]are r˘ad˘acinile z_k= cos2kπ

n +isin2kπ

n , k∈ {1,2, . . . , n}.

Polinomul Φn= Q

k=1,n (k,n)=1

(X−z_k) se nume¸ste aln-ulea polinom ciclotomic.

Propriet˘at¸i:

– gr(Φn) =φ(n), ∀ n∈N^∗; – Xⁿ−1 = Q

d|n

Φd, ∀n∈N^∗; – Φ_n∈Z[X], ∀ n∈N^∗;

– Φ_n este ireductibil ˆınZ[X], ∀n∈N^∗;

Polinoame ciclotomice

Fie n∈N^∗.Polinomul Xⁿ−1∈C[X]are r˘ad˘acinile z_k= cos2kπ

n +isin2kπ

n , k∈ {1,2, . . . , n}.

PolinomulΦn= Q

k=1,n (k,n)=1

(X−z_k)se nume¸ste al n-ulea polinom ciclotomic.

Propriet˘at¸i:

– gr(Φn) =φ(n), ∀ n∈N^∗; – Xⁿ−1 = Q

d|n

Φd, ∀n∈N^∗; – Φ_n∈Z[X], ∀ n∈N^∗;

– Φ_n este ireductibil ˆınZ[X], ∀n∈N^∗;

Polinoame ciclotomice

Fie n∈N^∗.Polinomul Xⁿ−1∈C[X]are r˘ad˘acinile z_k= cos2kπ

n +isin2kπ

n , k∈ {1,2, . . . , n}.

PolinomulΦn= Q

k=1,n (k,n)=1

(X−z_k)se nume¸ste al n-ulea polinom ciclotomic.

Propriet˘at¸i:

– gr(Φn) =φ(n), ∀ n∈N^∗; – Xⁿ−1 = Q

d|n

Φd, ∀n∈N^∗;

– Φ_n∈Z[X], ∀ n∈N^∗;

– Φ_n este ireductibil ˆınZ[X], ∀n∈N^∗;

Polinoame ciclotomice

Fie n∈N^∗.Polinomul Xⁿ−1∈C[X]are r˘ad˘acinile z_k= cos2kπ

n +isin2kπ

n , k∈ {1,2, . . . , n}.

PolinomulΦn= Q

k=1,n (k,n)=1

(X−z_k)se nume¸ste al n-ulea polinom ciclotomic.

Propriet˘at¸i:

– gr(Φn) =φ(n), ∀ n∈N^∗; – Xⁿ−1 = Q

d|n

Φd, ∀n∈N^∗; – Φ_n∈Z[X], ∀n∈N^∗;

Polinoame ciclotomice

– Φ_p =X^p−1+X^p−2+. . .+X+ 1, pentru orice num˘ar primp∈N; – Φ2n(X) = Φn(−X), pentru orice num˘ar natural imparn≥3;

– Φ105 este primul polinom ciclotomic care are cel put¸in un coeficient ˆın mult¸imea Z\ {−1,0,1} (coeficient¸ii luiX⁷ ¸siX⁴¹ sunt -2).

Observat¸ia 4. S¸i prin intermediul polinoamelor ciclotomice putem in- dica polinoame ireductibile, cu coeficient¸i ˆıntregi, de grad foarte mare: gr(Φ₂^82,589,933₋₁) = 2^82,589,933−2.

Polinoame ciclotomice

– Φ_p =X^p−1+X^p−2+. . .+X+ 1, pentru orice num˘ar primp∈N; – Φ2n(X) = Φn(−X), pentru orice num˘ar natural imparn≥3;

– Φ105 este primul polinom ciclotomic care are cel put¸in un coeficient ˆın mult¸imea Z\ {−1,0,1} (coeficient¸ii luiX⁷ ¸siX⁴¹ sunt -2).

Observat¸ia 4. S¸i prin intermediul polinoamelor ciclotomice putem in- dica polinoame ireductibile, cu coeficient¸i ˆıntregi, de grad foarte mare:

gr(Φ₂^82,589,933₋₁) = 2^82,589,933−2.

Bibliografie

Brillhart, J., Filaseta, M., Odlyzko, A., On an irreducibility theorem of A. Cohn, Canad. J. Math.33 (1981), 1055-1059.

Dorwart, H.L., Irreducibility of polynomials, Amer. Math. Monthly 42 (1935), no. 6, 369-381.

Ion, I.D., Radu, N., Algebr˘a, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1991.

Murty, M.R.,Prime numbers and irreducible polynomials, Amer.

Math. Monthly 109 (2002), no. 5, 452–458.

Tofan, I., Volf, A.C., Algebr˘a: Inele. Module. Teorie Galois, Editura Matrix Rom, Bucure¸sti, 2001.

T˘arn˘auceanu, M.,Probleme de algebr˘a, vol. II., Editura Universit˘at¸ii

“Al. I. Cuza”, Ia¸si, 2004.

The List of Largest Known Primes Home Page, https://primes.utm.edu/primes/