CAPITOLUL 1
Generalit ˘at¸i despre teoria construct¸iilor geometrice
1.1 Introducere
Problemele de construct¸ii geometrice (de regul˘a executate cu rigla s¸i compasul – vom vedea mai tˆarziu care este semnificat¸ia acestor instrumente) se afl˘a, de peste dou˘a mii de ani, printre problemele esent¸iale ale geometriei elementare (sau, dac˘a preferat¸i, “sinte- tice”).
Se consider˘a c˘a cel care a fixat cele dou˘a instrumente canonice a fost Platon, des¸i dovezile cam lipsesc (des¸i mare parte din opera filozofului s-a p˘astrat, nu exist˘a ment¸iuni explicite ˆın ea la problemele de construct¸ii geometrice). Cartea care a “popularizat” pro- blemele de construct¸ii geometrice este, f˘ar˘a ˆındoial˘a, cartea care st˘a la baza geometriei elementare s¸i ˆın zilele noastre,Elementelelui Euclid.
Nu intent¸ion˘am s˘a d˘am o “definit¸ie” foarte precis˘a a unei probleme de construct¸ii geometrice. Conform lui Euclid ˆınsus¸i, o problem˘a de construct¸ii geometrice este una ˆın care se dau o serie de elemente geometrice (pe care le vom numi figuri) s¸i se cere s˘a se construiasc˘a o serie de alte figuri geometrice, de regul˘a impunˆandu-se restrict¸ii asupra instrumentelor care sunt admise pentru realizarea construct¸iei.
C˘art¸ile vechi, ˆın special, dar s¸i multe dintre c˘art¸ile moderne, omit anumite preciz˘ari, care sunt absolut esent¸iale.
(i) A “rezolva” o problem˘a de construct¸ii geometrice nu ˆınseamn˘a, neap˘arat, s˘a de- senezi figurile cerute pe foaia de desen, ci s˘a furnizezi un algoritm prin care orice punct al figurii sau figurilor de desenat s˘a poat˘a fi desenat.
(ii) Problemele de construct¸ii geometrice sunt probleme “finite”: atˆat figurile date, cˆat 9
s¸i cele ce trebuie construite trebuie s˘a fie ˆın num˘ar finit. De asemenea, algoritmul furnizat pentru construct¸ie trebuie s˘a aib˘a un num˘ar finit de pas¸i.
ˆInc˘a din antichitate a devenit clar c˘a fixarea setului de instrumente de construct¸ie reprezint˘a o restrict¸ie foarte important˘a. Des¸i nu au fost capabili s˘a demonstreze acest fapt, mult¸i dintre marii matematicienii greci au ˆınt¸eles c˘a anumite construct¸ii geometrice (altminteri foarte “simple”: cuadratura cercului, trisect¸iunea unghiului, dublarea cubu- lui) nu se pot realiza utilizˆand doar rigla negradat˘a s¸i compasul (des¸i ele pot fi realizate utilizˆand s¸i alte instrumente).
Abia Gauss a fost capabil s˘a stabileasc˘a ˆın ce condit¸ii o problem˘a de construct¸ii geometrice cu rigla s¸i compasul se poate, efectiv, rezolva.
De regul˘a, rezolvarea unei probleme de construct¸ii geometrice presupune, pe lˆang˘a elaborarea algoritmului de construct¸ie, demonstrarea corectitudinii acestui algoritm s¸i o discut¸ie a diferitelor situat¸ii speciale care pot ap˘area (de exemplu, solut¸iile multiple, ˆıntrucˆat rezolvarea unei probleme de construct¸ii geometrice ˆınseamn˘a determinareatu- turorsolut¸iilor posibile).
1.2 Teoria general˘a a construct¸iilor geometrice ˆın planul eu- clidian
1.2.1 Axiomele generale ale geometriei constructive
ˆIn acest curs, prin geometrie constructiv˘aˆınt¸elegem, f˘ar˘a a ˆıncerca s˘a d˘am o definit¸ie extrem de precis˘a, acea partea a geometriei elementare care se ocup˘a cu construct¸iile geometrice. Vom prezenta un sistem axiomatic minimal, preluat din [1] care, ˆın sti- lul caracteristic al acestei abord˘ari, ment¸ioneaz˘a care sunt elementele primare s¸i care sunt axiomele care leag˘a ˆıntre ele elementele nedefinite. Axiomele descrise ˆın aceast˘a sect¸iune nu au de-a face cu nici un instrument particular. Axiomele principalelor instru- mente (care precizeaz˘a ce construct¸ii sunt posibile cu un anumit tip de instrument) vor fi tratate ˆıntr-o sect¸iune separat˘a.
Obiectul fundamental cu care vom lucra ˆın acest curs este acela defigur˘a geometric˘a.
O figur˘a geometric˘a este orice mult¸ime nevid˘a de puncte. Astfel, figurile geometrice cu care vom lucra cel mai frecvent vor fi: puncte, segmente de dreapt˘a, semidrepte, drepte, arce de cerc s¸i cercuri. Figurile geometrice vor fi notate, de regul˘a, cu majuscule greces¸ti:
ˆ1; ˆ2; : : :.
Vom spune c˘a o figur˘a geometric˘aˆ1este opartea unei figuri geometriceˆ2dac˘a, privite ca mult¸imi de puncte, avemˆ1 ˆ2.
Presupunem c˘a toate figurile geometrice pe care le vom ˆıntˆalni sunt cont¸inute ˆıntr- un acelas¸i plan (care este, evident, s¸i el o figur˘a geometric˘a), pe care ˆıl vom numiplan fundamental.
Toate operat¸iile care se execut˘a cu mult¸imi (reuniune, intersect¸ie, diferent¸˘a) se pot executa, ˆın egal˘a m˘asur˘a, s¸i cu figuri geometrice, ˆıntrucˆat, la urma urmei, figurile geo- metrice sunt cazuri particulare de mult¸imi, ale c˘aror elemente sunt, dup˘a cum am v˘azut, puncte.
ˆIn particular, operat¸iile cu mult¸imi pot fi utilizate pentru a defini noi figuri geome- trice. Fie, de exemplu, punctele distincte din planul fundamentalA1; A2; : : : ; An, unde n3este un num˘ar natural. Vom numipoligon cunlaturifigura geometric˘a
A1A2[A2A3[ [An 1An[AnA1:
Aici, fires¸te, cuAiAiC1not˘am segmentul de dreapt˘a determinat de cele dou˘a puncte1. Axioma I. Planul fundamental este construit.
Axioma II. Dac˘a dou˘a figuri sunt construite, atunci se poate stabili dac˘a diferent¸˘a lor este mult¸imea vid˘a sau nu.
Axioma III. Dac˘a diferent¸a a dou˘a figuri construite este nevid˘a, atunci aceast˘a diferent¸˘a este, de asemenea, construit˘a.
Axioma IV. Dac˘a sunt construite dou˘a figuri cu intersect¸ia nevid˘a, atunci se poate construi cel put¸in un punct din aceast˘a intersect¸ie.
Vom demonstra acum o serie de rezultate care rezult˘a direct din aceste axiome.
Propozit¸ia 1.1. Dac˘a dou˘a figuri sunt construite, se poate stabili dac˘a diferent¸a lor este mult¸imea vid˘a sau nu.
Demonstrat¸ie. S˘a presupunem c˘a figurileˆ1 s¸iˆ2sunt construite. FieS1 Dˆ1nˆ2
– diferent¸a celor dou˘a figuri. Este clar c˘aS1se poate reprezenta s¸i sub forma S1 Dˆ1n.ˆ1\ˆ2/ ;
de unde rezult˘a c˘a
ˆ1DS1[.ˆ1\ˆ2/ :
Dac˘a figurileˆ1s¸iˆ2sunt construite, atunci, ˆın virtutea axiomei II, putem spune dac˘a diferent¸a lor,S1, este vid˘a sau nu. Dac˘aS1D ;, atunci, ˆın mod evident,ˆ1\ˆ2 Dˆ1, deci aceast˘a intersect¸ie este nevid˘a, ˆıntrucˆat orice figur˘a geometric˘a trebuie s˘a cont¸in˘a cel put¸in un punct.
Dac˘a, ˆın schimb,S1 ¤ ;, atunci, ˆın virtutea axiomei III, aceast˘a figur˘a se consider˘a construit˘a iar, ˆın virtutea axiomei II, putem spune dac˘a diferent¸a ˆ1nS1 este vid˘a sau nu. Darˆ1nS1 ˆ1\ˆ2, ceea ce ˆıncheie demonstrat¸ia.
1Nu se presupune c˘a poligonul este simplu, prin urmare, el poate avea auto-intersect¸ii
Propozit¸ia 1.2. Dac˘a dou˘a figuri sunt construite, iar intersect¸ia lor este nevid˘a, atunci aceast˘a intersect¸ie se poate presupune construit˘a.
Demonstrat¸ie. Fieˆ1s¸iˆ2cele dou˘a figuri construite. Atunci ˆ1\ˆ2 Dˆ1n.ˆ1nˆ2/ ;
iar figura din membrul drept este construit˘a, conform axiomei III.
Propozit¸ia 1.3. Dac˘a sunt construite dou˘a figuri, atunci s¸i reuniunea lor este construit˘a.
Demonstrat¸ie. Fieˆ1s¸iˆ2cele dou˘a figuri construite. Not˘am cu…planul fundamen- tal. Dac˘a una dintre figuri coincide cu planul fundamental, atunci reuniunea lor este egal˘a cu acesta, care este deja construit (axiom I).
S˘a presupunem acum c˘a nici una dintre cele dou˘a figuri construite nu coincide cu planul fundamental. Atunci, ˆın virtutea axiomei III, sunt construite s¸i figurile F1 D
…nˆ1s¸iF2D…nˆ2.
Utiliz˘am acum identitateaˆ1 [ˆ2 D …n.F1\F2/. Dac˘a intersect¸ia este vid˘a, atunciˆ1[ˆ2 D…, deci reuniunea este construit˘a ˆın virtutea axiomei I. Dac˘a, dim- potriv˘a, F1 \F2 ¤ ;, atunci aceast˘a intersect¸ie, dup˘a cum am v˘azut mai sus, este construit˘a, iarˆ1[ˆ2este construit˘a ˆın virtutea axiomei III.
Propozit¸ia 1.4. Dac˘a sunt construite dou˘a figuri, iarn este un num˘ar natural (nenul) oarecare, atunci ˆıntotdeauna se poate stabili dac˘a intersect¸ia celor dou˘a figuri cont¸ine cel put¸innpuncte sau cont¸ine mai put¸ine.
Demonstrat¸ie. Remarc˘am, ˆınainte de toate c˘a, ˆın conformitate cu consecint¸a 1.1, date fiind dou˘a figuri construite ˆ1 s¸i ˆ2, se poate stabili ˆıntotdeauna dac˘a intersect¸ia lor, ˆ1\ˆ2, este vid˘a sau nu.
ˆIn primul caz, consecint¸a este, ˆın mod evident, demonstrat˘a. ˆIn cel de-al doilea caz, ˆın virtutea axiomei IV, se poate construi un punctP0al intersect¸ieiˆ1\ˆ2. Apoi, ˆın virtutea axiomei II, se poate stabili dac˘a mult¸imileˆ01Dˆ1n fP0gs¸iˆ02 Dˆ2n fP0g sunt sau nu nevide s¸i, prin urmare, s¸i dac˘a ˆ01 \ˆ02 este vid˘a sau nu. Dac˘a aceast˘a intersect¸ie este vid˘a, ˆınseamn˘a c˘aˆ1s¸iˆ2au un singur punct comun, anumeP0. Dac˘a, ˆın schimb, ˆ01 \ˆ02 ¤ ;, atunci, ˆın virtutea axiomei IV, se poate construi cel put¸in un punct, fie elP00, care apart¸ine atˆat luiˆ01, cˆat s¸i luiˆ02. Este clar atunci, din modul de construct¸ie, c˘a punctele P0s¸iP00apart¸ine atˆat luiˆ1, cˆat s¸i luiˆ2, prin urmare am reus¸it s˘a construim dou˘a puncte comune celor dou˘a figuri. Consider˘am acum figurile
ˆ001Dˆ1n fP0; P00g; s¸i ˆ002 Dˆ2n fP0; P00g:
Din nou, fie intersect¸ia lor este mult¸imea vid˘a, s¸i atunci ˆ1 s¸iˆ2 au ˆın comun numai dou˘a puncte, adic˘a P0 s¸iP00, fie este nevid˘a, iar atunci se poate construi un al treilea punct comun al figurilorˆ1s¸iˆ2.
Repetˆand acest rat¸ionament, dup˘a un num˘ar finit de pas¸i, putem r˘aspunde la ˆıntrebarea dac˘a intersect¸iaˆ1\ˆ2cont¸inea sau nu cel put¸innpuncte distincte. Astfel, consecint¸a este demonstrat˘a.
Propozit¸ia 1.5. Se poate construi orice num˘ar finit de puncte comune a dou˘a figuri construite, dac˘a astfel de puncte exist˘a.
Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezult˘a, ˆın mod direct, din demonstrat¸ia consecint¸ei prece- dente.
Propozit¸ia 1.6. Se poate construi un punct care s˘a apart¸in˘a unei figuri construite.
Demonstrat¸ie. Fie ˆo figur˘a construit˘a. Reprezent˘am figura ˆ ca intersect¸ie a dou˘a figuri: ˆ1 D ˆ s¸i ˆ2 D ˆ. Atunci, ˆın mod evident, ˆ D ˆ1 \ˆ2. Cum, con- form axiomei IV, se poate construi un punct comun a dou˘a figuri date, afirmat¸ia este demonstrat˘a.
Propozit¸ia 1.7. Dac˘a este construit˘a o figur˘a care nu coincide cu ˆıntregul plan fun- damental, atunci se poate construi un punct din planul fundamental care, ˆın mod evident, nu apart¸ine figurii construite.
Demonstrat¸ie. S˘a presupunem c˘a ˆın planul fundamental s-a construit o figur˘a ˆ, care nu coincide cu ˆıntregul plan. Atunci, ˆın virtutea axiomelor I s¸i III, se poate considera construit˘a s¸i figura…nˆ. ˆIn virtutea consecint¸ei 1.6, se poate construi un punct care s˘a apart¸in˘a figurii…nˆ, adic˘a s˘a nu apart¸in˘a figuriiˆ.
1.3 Instrumente utilizate ˆın construct¸iile geometrice
Cele mai importante instrumente utilizate ˆın construct¸iile geometrice sunt urm˘atoarele patru:
(i) rigla (cu o singur˘a muchie);
(ii) compasul;
(iii) rigla cu dou˘a muchii (cu laturile paralele);
(iv) echerul.
Aceste instrumente se utilizeaz˘a fie ˆın mod individual, fie ˆın diferite combinat¸ii. De regul˘a, dac˘a ˆın formularea unei probleme de construct¸ii geometrice nu se precizeaz˘a instrumentele ce trebuie utilizate, se presupune c˘a aceste instrumente sunt rigla cu o singur˘a muchie s¸i compasul.
1.3.1 Rigla
Rigla, ˆın sensul utilizat ˆın teoria construct¸iilor geometrice, este un instrument abstract.
Ea este, ˆın esent¸˘a, un instrumentde formaunei rigle, de tipul celor utilizate la desen, cu urm˘atoarele preciz˘ari:
1. doar una dintre cele dou˘a muchii ale sale se consider˘a dreapt˘a, cealalt˘a putˆand avea orice form˘a;
2. rigla nu este gradat˘a;
3. l˘at¸imea riglei nu este important˘a;
4. lungimea riglei poate fi oricˆat de mare (ˆıntrucˆat, dup˘a cum vom vedea mai jos, folosind o singur˘a dat˘a rigla, se pot uni oricare dou˘a puncte ale planului, indiferent cˆat de ˆındep˘artate ar fi unele de altele).
Iat˘a de ce trebuie s˘a facem o distinct¸ie net˘a ˆıntreconstruct¸iile geometrice, ˆın care trebuie doar s˘a descriem modul de construire a unei figuri s¸idesenul geometric, ˆın care aceste figuri trebuie desenate ˆın mod practic s¸i ˆın care caracteristicileconcreteale instrumen- telor geometrice sunt esent¸iale. Urm˘atoarea axiom˘a precizeaz˘a construct¸iile elementare ce se pot realiza cu ajutorul unei rigle:
Axioma A(Axioma riglei). Cu rigla se pot efectua urm˘atoarele construct¸ii geometrice:
a) construirea unui segment care unes¸te dou˘a puncte construite;
b) construirea unei drepte care trece prin dou˘a puncte construite;
c) construirea unei semidrepte care pleac˘a dintr-un punct construit s¸i trece printr-un alt punct construit.
1.3.2 Compasul
Compasul utilizat ˆın construct¸iile geometrice poate fi de dou˘a tipuri:
1. compasul colapsant;
2. transportatorul de segmente.
Cu primul tip de compas se poate construi doar un cerc sau un arc de cerc. Imediat ce se ridic˘a de pe hˆartie, cele dou˘a brat¸e ale sale cad unul peste cel˘alalt (“colapseaz˘a”). De aceea, cu acest instrument, nu este posibil s˘a construim dou˘a cercuri de aceeas¸i raz˘a sau s˘a determin˘am, pe o dreapt˘a dat˘a, un segment de dreapt˘a de lungime egal˘a cu cea a unui segment dat (adic˘a s˘a “transport˘am segmentul”).
Cel de-al doilea compas este cel pe care ˆıl s¸tim din s¸coal˘a. Cu el se pot executa operat¸iile imposibile pentru cel˘alalt tip de compas. Este interesant c˘a, dup˘a cum vom vedea imediat, cele dou˘a tipuri de compase sunt, de fapt, echivalente (cu alte cuvinte, cu un compas colapsant se pot realiza toate construct¸iile realizabile cu un transportator de segmente).
Trebuie s˘a ment¸ion˘am s¸i aici, ca s¸i ˆın cazul riglei, c˘a un compas utilizat ˆın teoria construct¸iilor geometrice este, de asemenea, un instrument idealizat. Vom vedea, de exemplu, c˘a cu compasul se pot construi cercuri de diametre oricˆat de mari, ceea ce, desigur, cu un instrument concret este imposibil.
Compasul la care se refer˘a axioma urm˘atoare este transportatorul de segmente.
Axioma B(Axioma compasului). Cu compasul se pot realiza urm˘atoarele construct¸ii geometrice:
a) construirea unui cerc, dac˘a este construit centrul s˘au s¸i un segment de lungime egal˘a cu raza cercului (sau, cel put¸in, capetele acestui segment);
b) construirea oric˘aruia dintre cele dou˘a arce de cerc complementare, dac˘a este con- struit centrul cercului, precum s¸i capetele comune ale arcelor.
Propozit¸ia 1.8. Compasul colapsant s¸i transportatorul de segmente sunt echivalente, ˆın sensul c˘a cu ajutorul unui compas colapsant se pot realiza toate construct¸iile care se pot executa cu ajutorul transportatorului de segmente.
Demonstrat¸ie. Una dintre implicat¸ii este evident˘a: este clar c˘a orice construct¸ie realiza- bil˘a cu transportatorul de segmente se poate realiza s¸i cu ajutorul compasului colapsant, as¸a c˘a ne vom concentra asupra celeilalte implicat¸ii.
Construct¸ia b) din axioma compasului, se poate executa, desigur, s¸i cu compasul colapsant, prin urmare trebuie doar s˘a demonstr˘am c˘a, cu acest tip de compas, se poate realiza s¸i construct¸ia a).
FieAun punct dat din plan s¸i BC un segment dat. Ceea ce trebuie s˘a facem este s˘a construim cercul de raz˘aBC s¸i de centruA, folosind compasul colapsant. Vom face asta folosind urm˘atoarea serie de construct¸ii:
1) Construim cercul cu centrul ˆınAs¸i care trece prinB.
2) Construim cercul cu centrul ˆınB s¸i care trece prinA. Aceste dou˘a cercuri se inter- secteaz˘a ˆın puncteleDs¸iE.
3) Construim cercul cu centrul ˆınE s¸i care trece prinC. 4) Construim cercul cu centrul ˆınDs¸i care trece prinC.
5) Cercurile de la pas¸ii 3) s¸i 4) se intersecteaz˘a din nou ˆın punctulF. Cercul de centru As¸i de raz˘aAF este cercul care trebuia construit.
A
B C
D E
F
Figura 1.1
L˘as˘am pe seama cititorului s˘a demonstreze c˘a triunghiurile (dreptunghice!) AFD s¸i BCD sunt congruente, ceea ce demonstreaz˘a c˘aAF DBC, adic˘a cercul de dentruA s¸i de raz˘aBC este, ˆıntr-adev˘ar, cercul care trebuia construit.
Observat¸ia1. dd
1.3.3 Rigla cu dou˘a muchii
Rigla cu dou˘a muchii este, ˆın fapt, o rigl˘a pentru care s¸i cea de-a doua muchie este dreapt˘a, paralel˘a cu prima muchie. Ca s¸i ˆın cazul riglei cu o singur˘a muchie, s¸i aici se consider˘a c˘a muchiile (ambele, de data aceasta) sunt infinite s¸i vom nota distant¸a dintre ele cuh.
Axioma C (Axioma riglei cu dou˘a muchii). Cu ajutorul riglei cu dou˘a muchii se pot realiza urm˘atoarele construct¸ii:
a) orice construct¸ie care se poate realiza cu rigla simpl˘a;
b) ˆın fiecare din cele dou˘a semiplane determinate de o dreapt˘a construit˘a ˆın planul fundamental, se poate construi cˆate o dreapt˘a situat˘a la distant¸ahde aceasta;
c) dac˘a sunt construite dou˘a puncteAs¸iB, atunci se poate stabili dac˘a distant¸aAB este sau nu mai mare decˆat l˘at¸imea h a riglei, iar dac˘a AB > h, atunci se pot construi dou˘a perechi de drepte paralele care trec, respectiv, prin puncteleAs¸iB s¸i sunt situate, una fat¸˘a de cealalt˘a, la distant¸ah.
1.3.4 Echerul
Echerul este, ˆın esent¸a lui, echerul pe care ˆıl cunoas¸tem din geometria elementar˘a, cu comentariile de rigoare privitoare la trasarea liniilor drepte pe care le-am f˘acut ˆın cazul
riglei. De asemenea, spre deosebire de echerele pe care le folosim ˆın geometrie, ˆın teoria abstract˘a a construct¸iilor geometrice nu are important¸˘a ce unghiuri sunt ˆın celelalte dou˘a vˆarfuri. De fapt, singurul lucru important este prezent¸a unghiului drept.
Axioma D(Axioma echerului). Echerul permite:
a) realizarea tuturor construct¸iilor ment¸ionate ˆın axioma dreptei;
b) construirea unei drepte care trece printr-un punct dat s¸i este perpendicular˘a pe o dreapt˘a construit˘a;
c) dac˘a sunt construite un segmentABs¸i o figur˘aˆ, atunci se poate stabili dac˘a figura ˆcont¸ine sau nu puncte din care segmentulABse vede sub un unghi drept, iar dac˘a astfel de puncte exist˘a, se poate construi unul dintre ele.
1.3.5 Construct¸ii fundamentale
Not¸iunea deconstruct¸ie fundamental˘aeste o not¸iune care depinde de sistemul de instru- mente selectat. Astfel, pentru o select¸ie de instrumente sunt acele construct¸ii ment¸ionate ˆın axiomele instrumentelor s¸i ˆın axiomele VII–IX. Orice construct¸ie geometric˘a se poate realiza cu instrumentele selectate dac˘a s¸i numai dac˘a ea se poate reduce la o secvent¸˘a finit˘a de construct¸ii fundamentale. Vom enumera aici doar construct¸iile fundamentale corespunz˘atoare celei mai comune select¸ii de instrumente: rigla s¸i compasul.
As¸adar, cu ajutorul riglei s¸i compasului se pot realiza urm˘atoarele construct¸ii fun- damentale:
1) construirea unui segment care unes¸te dou˘a puncte date (axioma A, a));
2) construirea unei drepte care trece prin dou˘a puncte construite (axioma A, b));
3) construirea unei semidrepte care pleac˘a dintr-un punct construit s¸i trece printr-un alt punct construit (axioma A, c));
4) construirea unui cerc dac˘a sunt construite centrul cercului s¸i un segment de dreapt˘a a c˘arei lungime este egal˘a cu raza cercului sau, cel put¸in, capetele acestui segment (axioma B, a));
5) construirea oric˘aruia dintre cele dou˘a arce complementare de cerc dac˘a sunt constru- ite capetele lor comune s¸i centrul cercului (axioma B, b));
6) construirea oric˘arui num˘ar finit de puncte comune a dou˘a figuri construite, dac˘a astfel de puncte exist˘a (Propozit¸ia 1.5);
7) construirea unui punct care apart¸ine unei figuri construite (Propozit¸ia 1.6);
8) construirea unui punct care nu apart¸ine unei figuri construite dac˘a aceast˘a figur˘a nu coincide cu ˆıntreg planul fundamental (Propozit¸ia 1.7).
1.3.6 Problema de construct¸ie
ˆIntr-o problem˘a de construct¸ii geometrice se cere construirea unei figuri geometrice ˆın condit¸iile ˆın care:
se prescrie un set de instrumente (dac˘a nu se face acest lucru, se presupune, ˆın mod implicit, c˘a aceste instrumente sunt rigla s¸i compasul);
ˆın planul fundamental este construit˘a o figur˘a (figura dat˘a);
sunt indicate o serie de propriet˘at¸i pe care trebuie s˘a le aib˘a figura care trebuie construit˘a (propriet˘at¸i care, de regul˘a, leag˘a figura de construit cu figura dat˘a).
O figur˘a care ˆındeplines¸te condit¸iile problemei se numes¸tesolut¸iea problemei de construct¸ie corespunz˘atoare.
Arezolvao problem˘a de construct¸ii geometrice ˆınseamn˘a a g˘asitoatesolut¸iile pro- blemei. A g˘asi o solut¸ie, ˆınseamn˘a s˘a realiz˘am respectiva construct¸ie printr-o secvent¸˘a finit˘ade construct¸ii fundamentale.
Vom da acum un exemplu de problem˘a de construct¸ii geometrice care va fi rezol- vat˘a cu diferite seturi de instrumente. ˆIn aceast˘a problem˘a se cere, pur s¸i simplu, s˘a se construiasc˘a mijlocul unui segment, dat prin capetele sale, A s¸i B. Pentru fiecare set de instrumente vom enumera construct¸iile fundamentale care conduc la rezolvarea problemei.
1. Realizarea construct¸iei cu ajutorul riglei s¸i al compasuluiSe construiesc, succesiv
!2 !1 M
N A
O B
Figura 1.2
(vezi figura 1.2):
1) dreaptaAB(construct¸ia fundamental˘a 2);
2) cercul!1.A; AB/(construct¸ia fundamental˘a 4);
3) cercul!2.B; AB/(construct¸ia fundamental˘a 4);
4) punctele comuneM s¸iN ale cercurilor!1s¸i!2(construct¸ia fundamental˘a 6);
5) dreaptaMN (construct¸ia fundamental˘a 2);
6) punctul comunOal dreptelorABs¸iMN (construct¸ia fundamental˘a 6).
Este us¸or s˘a ne convingem c˘aAO DBO, ceea ce ˆınseamn˘a c˘aOeste punctul c˘autat.
2. Realizarea construct¸iei cu ajutorul compasuluiSe construiesc succesiv (vezi fi-
!
!5
!1
M
C D
N A
X
B E
!2
!3
!6
!4
Figura 1.3
gura 1.3):
1) cercul!.B; BA/(axioma A, a));
2) cercul!1.A; AB/(axioma A, a));
3) punctul comunC al cercurilor!s¸i!1(axioma VII);
4) cercul!2.C; CA/(axioma A, a));
5) punctul comunDal cercurilor!s¸i!2, diferit de punctulA(axioma VII);
6) cercul!3.D; DB/(axioma A, a));
7) punctul comunEal cercurilor!s¸i!3, diferit de punctulC (axioma- VII).
Remarc˘am c˘a puncteleA; B; Esunt situate pe o dreapt˘a, iarAE D2AB. Construim, mai departe:
8) cercul!4.E; EA/(axioma A, a));
9) punctele comuneM s¸iN ale cercurilor!1s¸i!4(axioma VII);
10) cercul!5.M; MA/(axioma A, a));
11) cercul!6.N; NA/(axioma A, a));
12) punctul comunX al cercurilor!5s¸i!6, diferit deA(axioma VII).
Nu este greu de constatat c˘a punctulX se afl˘a pe dreaptaB. ˆIn plus, triunghiulAM X este asemenea cu triunghiulAEM, ˆıntrucˆat ambele sunt isoscele s¸i au unghiulMAE de la baze comun. Prin urmare, avem:
AX
AM D AM
AE sau AX
AB D AB 2AB; astfel c˘a
AX D 1 2AB s¸i, prin urmare, punctulX este cel c˘autat.
3. Realizarea construct¸iei cu ajutorul riglei cu dou˘a muchii
b
a
h
h C
D E
P
A X B
Figura 1.4
Construim, succesiv (vezi figura 1.4):
1) dreaptaAB(axioma C, a);
2) o dreapt˘aa, paralel˘a cuABs¸i care trece la distant¸ah(l˘at¸imea riglei) de ea (axi- oma C, b);
3) dreaptab, paralel˘a cua, situat˘a fat¸˘a de ea la distant¸ah, care nu coincide cu dreapta AB(axioma C, b);
4) un punctC pe dreaptab(axioma VIII);
5) drepteleAC s¸iBC (axioma C, a);
6) puncteleDDa\AC s¸iE Da\BC (axioma VII);
7) drepteleAEs¸iBD(axioma C, a);
8) punctulP DAE\BD(axioma VII);
9) dreaptaCP (axioma C, a);
10) punctulX DCP \AB(axioma VII).
CumDEeste linia mijlocie a triunghiuluiACB, rezult˘a c˘aAEs¸iBDsunt medianele sale s¸i, prin urmare, s¸iCP trebuie s˘a fie median˘a, ceea ce ˆınseamn˘a c˘a punctulX este punctul c˘autat.
4. Realizarea construct¸iei cu ajutorul echerului
A X B
P C
C0 D
A0 P0 B0
Figura 1.5
Construct¸ia const˘a ˆın urm˘atorii pas¸i (vezi figura 1.5):
1) construim dreaptaAB(axioma D, a));
2) construim drepteleAA0s¸iBB0, perpendiculare pe dreaptaAB(axioma D, b));
3) alegem peAA0un punct oarecareC, diferit deA(axiomele IV s¸i VIII);
4) prin punctulC ducemC C0?AC (axioma D, b));
Construim apoi, ˆın mod succesiv:
5) punctulDDC C0\BB0(axioma VII);
6) drepteleADs¸iBC (axioma D, a);
7) punctulP AD\BC (axioma VII);
8) dreaptaPP0?AB(axioma D, b));
9) punctulX DPP i\AB(axioma VII).
Se poate verifica foarte us¸or c˘a punctulX este cel c˘autat.
1.4 Probleme elementare de construct¸ii geometrice
Am v˘azut ˆın exemplul de problem˘a de construct¸ii geometrice pe care l-am rezolvat la sfˆars¸itul paragrafului precedent c˘a chiar pentru o problem˘a foarte simpl˘a, cum este cea examinat˘a, descompunerea problemei ˆın probleme fundamentale este foarte laborioas˘a s¸i implic˘a un num˘ar mare de pas¸i. De aceea, ˆın practic˘a, lucrurile se desf˘a˘as¸oar˘a un pic altfel, ˆın sensul c˘a o problem˘a dat˘a se reduce nu la o secvent¸˘a de probleme fundamentale (adic˘a, pˆan˘a la urm˘a, la axiome), ci la o serie de probleme elementare, care se presupun cunoscute de toat˘a lumea.
Nu exist˘a un consens general ˆın privint¸a select¸iei problemelor elementare de construct¸ii geometrice, dar ideea este c˘a ele trebuie s˘a fie cele ˆıntˆalnite ˆın manualele de geometrie din s¸coala elementar˘a. O posibil˘a list˘a ar putea fi include:
1. construirea, pe o dreapt˘a dat˘a, a unui segment congruent cu un segment dat;
2. construirea, pe o semidreapt˘a dat˘a, ˆıntr-un semiplan dat, a unui unghi congruent cu un unghi dat;
3. ˆımp˘art¸irea unui segment ˆın dou˘a p˘art¸i egale s¸i, mai general, ˆınnp˘art¸i egale;
4. construirea perpendicularei dintr-un punct pe o dreap˘a (separat dac˘a punctul apart¸ine dreptei sau nu apart¸ine);
5. ˆımp˘art¸irea unui unghi ˆın dou˘a (sau, mai general, 2n) p˘art¸i egale s¸i construirea bisectoarei unghiului;
6. construirea mediatoarei unui segment;
7. construirea unui triunghi dac˘a se cunosc cele trei laturi;
8. construirea unui triunghi dac˘a se dau o latur˘a s¸i unghiurile adiacente;
9. construirea unui triunghi dac˘a se dau dou˘a laturi s¸i unghiul dintre ele;
10. construirea unui triunghi congruent cu un triunghi dat;
11. construirea unei paralele la o dreapt˘a dat˘a, printr-un punct exterior dreptei;
12. construirea unei tangente la un cerc printr-un punct situat pe cerc sau ˆın exteriorul acestuia;
13. construirea unei tangente comune a dou˘a cercuri (interioar˘a sau exterioar˘a);
14. construirea unui triunghi dreptunghic dac˘a se dau o catet˘a s¸i ipotenuza;
15. construirea unui triunghi dreptunghic dac˘a se dau o catet˘a s¸i unghiul ascut¸it adia- cent;
16. construirea unui triunghi dreptunghic dac˘a se dau cele dou˘a catete;
17. construirea unui triunghi dreptunghic dac˘a se dau ipotenuza s¸i unul dintre unghiu- rile acut¸ite.
1.5 Metodica rezolv˘arii problemelor de construcs¸ii geometrice
Pentru rezolvarea unui anumit tip de probleme este necesar, mai ˆıntˆai, s˘a se elaboreze o schem˘a de rezolvare a problemelor respective. O posibil˘a modalitate de abordare a problemelor de construct¸ii geometrice ar putea fi urm˘atoarea:
1. Stabilim mai ˆıntˆai un num˘ar (finit) de cazuri care s˘a epuizeze toate posibilit˘at¸ile de alegere a datelor problemei.
2. Pentru fiecare dintre cazuri stabilim dac˘a problema are solut¸ii s¸i, ˆın caz afirmativ, stabilim num˘arul lor.
3. Pentru fiecare caz cˆand problema are solut¸ii, indic˘am o modalitate de determinare (cu ajutorul instrumentelor selectate) a fiec˘arei dintre solut¸iile posibile sau stabilim c˘a solut¸ia nu poate fi obt¸inut˘a cu ajutorul instrumentelor selectate.
Experient¸a a demonstrat c˘a acest “algortim” nu este cel mai eficient s¸i s-a optat pentru un altul, care se bazeaz˘a, ˆın fapt, pe metodele generale de rezolvare a problemelor de ma- tematic˘a. Conform acestei abord˘ari, rezolvarea unei probleme de construct¸ii geometrice se face, ˆın general, ˆın urm˘atorii pas¸i:
1. analiza;
2. construct¸ia;
3. demonstrat¸ia;
4. discut¸ia.
Vom explica acum, rˆand pe rˆand, semnificat¸ia acestor patru pas¸i.
1.5.1 Analiza
Acest pas este unul preg˘atitor s¸i el ne permite stabilirea unor dependent¸e ˆıntre figura dat˘a s¸i cea c˘autat˘a care s˘a ne conduc˘a la stabilirea unui mod de construire a figurii c˘autate.
Se construies¸te, mai ˆıntˆai, cu aproximat¸ie, figura c˘autat˘a. (Sintagma ce se utilizeaz˘a, ˆın astfel de situat¸ii, este: “Presupunem figura deja construit˘a”). Eventual, la nevoie, se pot face s¸i construct¸ii ajut˘atoare.
S˘a presupunem, de exemplu, c˘a trebuie s˘a construim un triunghi la care se cunoas¸te o latur˘a s¸i mediana s¸i ˆın˘alt¸imea care ˆıi corespund (vezi figura 1.6). Considerˆand figura au- xiliar˘a, remarc˘am imediat c˘a triunghiulABC este us¸or de construit dac˘a putem construi triunghiulBDE. Dar triunghiulBDE este un triunghi dreptunghic la care se cunoas¸te ipotenuza m s¸i cateta h, problem˘a care se presupune rezolvat˘a (problema elementar˘a 12.).
A D E C
B
h m
Figura 1.6
Este util s˘a avem ˆın vedere urm˘atoarele observat¸ii, utile pentru analiza problemei.
1) Dac˘a pe desenul auxiliar pe care l-am f˘acut nu vedem leg˘aturi evidente ˆıntre elemen- tele date s¸i cele ce trebuie construite, care s˘a ne ajute efectiv la rezolvarea problemei, putem s˘a facem construct¸ii auxiliare: dac˘a printre elementele date sunt puncte, putem s˘a le unim prin drepte s¸i s˘a c˘aut˘am punctele de intersect¸ie ale acestor drepte, dac˘a se dau segmente putem, iar˘as¸i, s˘a le prelungim s¸i s˘a c˘aut˘am punctele de intersect¸ie ale dreptelor corespunz˘atoare, etc. Uneori este util s˘a ducem paralele la dreptele date sau perpendiculare pe ele.
S˘a presupunem, de exemplu, c˘a trebuie s˘a construim o dreapt˘a care trece printr-un punct datAs¸i este egal dep˘artat˘a de dou˘a puncte date,Bs¸iC (vezi figura 1.7). Este comod s˘a ˆıncepem prin desenarea figurii cerute: construim, mai ˆıntˆai, o dreapt˘aa, pe ea alegem un punct A s¸i, la distant¸e egale de dreapta a, de-o parte s¸i de alta a
sa, alegem puncteleB s¸iC. Nu apare, ˆınc˘a, pe desen, nici o conexiune care s˘a ne permit˘a s˘a rezolv˘am problema. Coborˆam perpendicularele BB1 s¸i C C1 din B s¸i C pea(B1; C1 2a), construim segmentulBC s¸i punctulM ˆın care acest segment intersecteaz˘a dreaptaa. Este us¸or de verificat c˘a punctulM este mijlocul segmentului BC, s¸i de aici rezult˘a modul de realizare a construct¸iei.
A a
B1
M C1
C B
Figura 1.7
2) Dac˘a ˆın enunt¸ul problemei se d˘a suma sau diferent¸a a dou˘a segmente de dreapt˘a sau dou˘a unghiuri, acestea trebuie reprezentate pe desenul auxiliar, dac˘a nu cumva deja sunt prezente.
S˘a presupunem, de exemplu, c˘a ni se cere s˘a construim un triunghi dreptunghic, ˆın care se cere un unghi ascut¸it s¸i suma catetelor (vezi figura 1.8). Desen˘am un triunghi dreptunghic oarecare,ABC. Prin ipotez˘a, se dau: †˛s¸i un segment de lungimem.
D
45ı
C A
c B
Figura 1.8
Triunghiul ABC c˘autat trebuie s˘a verifice condit¸iile: †A D ˛, AC CCB D m,
†C D 90ı. Pentru a introduce ˆın desen segmentul de lungime mplas˘am, pe pre- lungirea laturiiAC, segmentulCD DBC; atunciADDm. TriunghiulADB este us¸or de construit, deoarece ˆın el sunt cunoscute: laturaAD D ms¸i dou˘a unghiuri:
†A D ˛ s¸i †D D 45ı (problema elementar˘a 8). Dup˘a construirea triunghiului ADB, construirea triunghiului cerut ˆın problem˘a se reduce la problema elementar˘a 4.
3) Un alt lucru pe care este bine s˘a ˆıl facem ˆın timpul analizei este s˘a ne reamintim teo- reme s¸i probleme de construct¸ii rezolvate de noi mai ˆınainte s¸i care sunt asem˘an˘atoare cu problema curent˘a.
1.5.2 Construct¸ia
Aceast˘a etap˘a a rezolv˘arii este momentul culminant, deoarece acum se realizeaz˘a, efec- tiv, construct¸ia, folosindu-se construct¸iile fundamentale s¸i cele elementare, ment¸ionate mai devreme. Vom ilustra aceast˘a etap˘a printr-o problem˘a cunoscut˘a din s¸coal˘a, aceea a construirii cercului ˆınscris ˆıntr-un triunghi dat.
Dup˘a cum se s¸tie, centrul cercului ˆınscris se afl˘a ˆın punctul de intersect¸ie a bisectoa- relor triunghiului. Prin urmare, construct¸ia va consta din urm˘atorii pas¸i:
1) Se construiesc bisectoarele a dou˘a unghiuri ale triunghiuluiABC (problema elemen- tar˘a 5).
2) Se construies¸te punctul de intersect¸ie, I a celor dou˘a bisectoare (construct¸ia fun- damental˘a 6).
3) Se construies¸te perpendiculara coborˆat˘a dinI pe laturaAB (construct¸ia elementar˘a 4).
4) Se construies¸te piciorul M al perpendicularei de la punctul precedent (construct¸ia fundamental˘a 6).
5) Se construies¸te cercul de centruI s¸i de raz˘aIM (cercul ˆınscris ˆın triunghiulABC, construct¸ia fundamental˘a 4).
1.5.3 Demonstrat¸ia
Rolul demonstrat¸iei ˆın rezolvarea unei probleme de construct¸ii geometrice este acela de a stabili faptul c˘a figura pe care am construit-o ˆındeplines¸te, ˆıntr-adev˘ar, toate condit¸iile din enunt¸ul problemei.
ˆIn cazul construct¸iei cercului ˆınscris ˆıntr-un triunghi, realizat˘a mai sus, trebuie s˘a demonstr˘am c˘a cercul pe care l-am construit este, ˆıntr-adev˘ar, cercul ˆınscris ˆın triunghiul dat. Pentru aceasta, remarc˘am, ˆınainte de toate, c˘a cercul de centru I s¸i de raz˘a IM este tangent drepteiAB, deoarece dreapta este perpendicular˘a pe razaIM a cercului. ˆIn plus, este clar c˘a raza cercului este egal˘a cu distant¸a de laI la laturaABa triunghiului ABC.
Remarc˘am, ˆın continuare, c˘a centrulIal cercului este egal dep˘artat de cele trei laturi ale triunghiuluiABC, deoarece se afl˘a la intersect¸ia celor trei bisectoare interioare ale triunghiului. Prin urmare, distant¸a de la centrul cercului pˆan˘a la laturileAC s¸iBC este egal˘a, de asemenea, cu raza cercului construit. Deci, dac˘a ducem prinIperpendicularele pe aceste laturi, picioarele acestor perpendiculare se afl˘a pe cerc. Asta ˆınseamn˘a c˘a drepteleAC s¸iBC sunt tangente la cerc, deci demonstrat¸ia este ˆıncheiat˘a.
1.5.4 Discut¸ia
Atunci cˆand facem construct¸ia, de regul˘a de restrˆangem lao singur˘asolut¸ie s¸i presupu- nem c˘a tot¸i pas¸ii construct¸iei se pot realiza. De multe ori, ˆıns˘a, ˆın practic˘a lucrurile nu stau chiar as¸a. De aceea, pentru ca solut¸ia s˘a fie complet˘a, trebuie s˘a facem o discut¸ie cae s˘a acopere aspectele de mai jos.
1) ˆInainte de toate, trebuie s˘a stabilim dac˘a pentru orice date init¸iale construct¸ia este posibil˘a, cu instrumentele alse s¸i prin metoda aleas˘a.
2) ˆIn cazul ˆın care, pentru anumite date init¸iale, problema nu se poate rezolva prin me- toda aleas˘a, se poate rezolva prin alt˘a metod˘a, cu acelas¸i set de instrumente?
3) Cˆate solut¸ii exist˘a pentru o anumit˘a alegere a datelor init¸iale?
Vom vedea, ˆın solut¸iile problemelor de mai jos cum se procedeaz˘a ˆın cazuri concrete.
1.6 Exemple de probleme de construct¸ii rezolvate
Problema 1. S˘a se construiasc˘a un triunghi dac˘a se dau: o latur˘a s¸i medianele cores- punz˘atoare celorlalte dou˘a laturi.
Solut¸ie. Analiza. Presupunem c˘a triunghiul ABC este cel c˘autat (vezi figura 1.9).
ABeste latura dat˘a, iarAM1s¸iBM2sunt medianele date, iarGeste punctul de intersect¸ie a medianelor (i.e. centrul de greutate). Prin ipotez˘a, ni se dau trei segmente de lungime c; m1; m2 astfel ˆıncˆatAB D c; AM1 D m1 s¸iBM2 D m2. Construct¸ia triunghiului ABC se reduce la construct¸ia a trei puncte – vˆarfurile triunghiului. Cum laturaABeste dat˘a, dou˘a dintre vˆarfurile triunghiului sunt deja construite, deci mai r˘amˆane de construit doar vˆarfulC. Pe de alt˘a parte,fCg DAM2\BM1, deci problema este rezolvat˘a dac˘a sunt construite puncteleM1s¸iM2.
Punctele M1 s¸i M2 se afl˘a pe semidreptele AG, respectivBG, iar punctulM1 se afl˘a la distant¸am1 deA, ˆın timp ce punctulM2 se afl˘a la distant¸am2de B. As¸a stˆand lucrurile, rezolvarea problemei se reduce la construirea punctuluiG. PunctulG este al treile vˆarf al triunghiului ABGs¸i se poate construi (As¸iBfiind date), ˆıntrucˆat AG D
2
3m1, iarBG D 23m2, adic˘a toate laturile triunghiuluiABGsunt cunoscute.
Construct¸ia. Construim succesiv:
A B c
M1
G M2
C
Figura 1.9
1) segmentulAB, de lungime dat˘ac(problema elementar˘a 1);
2) segmentulr1de lungime 23m1; 3) segmentulr2de lungime 23m2;
4) triunghiulABG, de laturi de lungimi egale, respectiv, cuc; r1; r2(problema elemen- tar˘a 7);
5) semidrepteleAGs¸iBG (construct¸ia fundamental˘a 3);
6) punctulM1pe semidreaptaAP astfel ˆıncˆatAM1 Dm1(problema elementar˘a 1);
7) punctulM2pe semidreaptaBP astfel ˆıncˆatBM2 Dm2(problema elementar˘a 1);
8) punctulC DAM2\BM1.
Demonstrat¸ia. Din construct¸ie nu rezult˘a, ˆın mod explicit, un singur lucru:
faptul c˘aAM1s¸iBM2 sunt, ˆıntr-adev˘ar,medianeletriunghiuluiABC construit de noi.
Pentru asta este suficient s˘a demonstr˘am c˘a punctulM1este mijlocul segmentuluiBC, ˆın timp ce punctulM2este mijlocul segmentuluiAC.
Not˘am cuN1mijlocul segmentuluiAP s¸i cuN2– mijlocul segmentuluiBP. Atunci patrulaterulM1M2N1N2este un paralelogram, deoarece diagonalele sale se ˆınjum˘at˘at¸esc (vezi figura 1.10). As¸adar, segmentele de dreapt˘aM1M2s¸iN1N2sunt egale s¸i paralele.
Pe de alt˘a parte, segmentul N1N2 este linie mijlocie ˆın triunghiul ABP, ceea ce ˆınseamn˘a c˘aN1N2 kAB s¸iN1N2 D 12AB. Din cele spuse de mai sus rezult˘a, atunci, c˘a avem s¸i M1M2 k AB s¸iM1M2 D 12AB. Dar asta ˆınseamn˘a c˘aM1M2 este linie mijlocie ˆın triunghiulABC, adic˘aAM1s¸iBM2sunt mediane ˆın triunghiulABC.
A c C N2
N1 P
M2 M1
C
Figura 1.10
Discut¸ia.De regul˘a, cˆand facem discut¸ia unei solut¸ii a unei probleme de construct¸ii geometrice, ne ˆıntoarcem la realizarea construct¸iei, examin˘am pas¸ii pe care i-am f˘acut s¸i ˆıncerc˘am s˘a identific˘am locurile unde ar putea exista probleme. Acestea sunt legate de construct¸iile care nu se pot realiza ˆıntotdeauna.
ˆIn cazul nostru concret, construct¸iile 1), 2) s¸i 3) se pot realiza, ˆın mod evident, tot- deauna. ˆIn ceea ce prives¸te construct¸ia 4), trebuie s˘a impunem nis¸te restrict¸ii. Astfel, ˆın acest caz, trebuie s˘a construim triunghiulABP, ale c˘arui laturi au lungimileAB Dc, AP D 23m1,BP D 23m2. Pentru ca acest triunghi s˘a poat˘a fi construit, este necesar s¸i suficient ca aceste lungimi s˘a verifice inegalit˘at¸ile triunghiului, care, ˆın cazul nostru, se pot sintetiza prin
2
3jm1 m2j< c < 2
3.m1Cm2/: (1.1)
Prin urmare triunghiulABP exist˘a dac˘a s¸i numai dac˘a este verificat˘a dubla inegalitate de mai sus.
Mai departe, construct¸iile de la punctele 5), 6) s¸i 7) sunt, de asemenea, ˆın mod evident, posibile pentru orice date init¸iale.
Mai avem de verificat cazul construct¸iei 8). Aceasta ˆınseamn˘a s˘a vedem dac˘a drep- tele AM2 s¸i BM1 se intersecteaz˘a pentru orice date init¸iale, iar intersect¸ia se afl˘a de aceeas¸i parte a drepteiABca s¸i punctulP (admit¸ˆand c˘a acesta exist˘a).
S˘a presupunem c˘a drepteleAM2s¸iBM1ar fi paralele. Atunci segmentele paralele ABs¸iM2M1cuprinse ˆıntre cele dou˘a drepte paralele ar fi egale. Dar noi am demonstrat c˘aM2M1D 12AB, deci ajungem la o contradict¸ie.
Dac˘a, ˆın schimb, drepteleAM2s¸iBM1s-ar intersecta, dar de cealalt˘a parte a dreptei AB, relativ la punctulP, atunci segmentulAB ar fi mai mic decˆat segmentulM2M1, ceea ce ne-ar conduce, din nou, la o contradict¸ie.
Prin urmare, singura restrict¸ie pentru realizarea construct¸iei este cea de la construct¸ia 4). Deci, triunghiulABC exist˘a s¸i se poate construi cu rigla s¸i compasul dac˘a s¸i numai dac˘a este ˆındeplinit˘a condit¸ia (1.1).
Observat¸ia 2. Discut¸ia, as¸a cum am f˘acut-o, nu este, propriu-zis, complet˘a. Ar mai r˘amˆane de demonstrat c˘a solut¸ia este unic˘a, mai precis, pˆan˘a la urm˘a, c˘a o latur˘a s¸i medianele ce pleac˘a din cele dou˘a capete ale sale determin˘a ˆın mod unic triunghiul.
L˘as˘am pe seama cititorului s˘a verifice acest fapt.
Problema 2. Dou˘a drepte,a s¸ib, intersecteaz˘a o a treia dreapt˘a, fie eac. S˘a se con- struiasc˘a un segment de lungime egal˘a cu o lungime dat˘al, astfel ˆıncˆat segmentul s˘a fie paralel cu dreaptacs¸i s˘a aib˘a un cap˘at pe dreaptaa, iar cel˘alalt pe dreaptab.
Solut¸ie. Analiza. Fie AB segmentul c˘autat (vezi figura 1.11). Asta ˆınseamn˘a c˘a AB Dl,ABkc,A2a; B 2b.
c
A
Q
M
P
B N
b a
l
Figura 1.11
Pentru evident¸ierea leg˘aturilor dintre elementele date s¸i cele c˘autate, vom face, mai ˆıntˆai, nis¸te construct¸ii suplimentare.
Astfel, fie P D c \b. Ducem AM k b s¸i fie Q D AM \c. Atunci PQ D AB Dl, deoarece patrulaterulABPQeste un paralelogram. As¸adar, pentru construirea segmentuluiABeste suficient s˘a determin˘am pozit¸ia punctuluiA, care ne conduce apoi la construirea punctuluiQ, care dup˘a cum vom vedea, nu este dificil˘a.
Construct¸ia. Construct¸ia decurge ˆın modul urm˘ator:
1) Construim punctulP Db\c (construct¸ia fundamental˘a 6.).
2) Pe dreaptac construim un punctQastfel ˆıncˆat s˘a avemPQDl(problema elemen- tar˘a 1.).
3) Construim dreaptaQM kb(problema elementar˘a 1.).
4) Construim punctulADQM \a(construct¸ia fundamental˘a 6.).
5) Construim dreaptaAN kc(problema elementar˘a 11.).
6) Construim punctulBDAN \b.
SegmentulABeste segmentul c˘autat.
Demonstrat¸ia. Din construct¸ie se observ˘a c˘aA2a,B 2bs¸iAB kc. ˆIn plus, AB DPQDl, ca laturi opuse ale unui paralelogram.
Discut¸ia. PunctulP exist˘a, deoarece, din ipotez˘a, dreaptacse intersecteaz˘a cu dreaptab. De aceea, construct¸ia 1) este, ˆıntotdeauna, posibil˘a (vezi figura 1.12).
a c
A
Q
M b
B0 A0
B
P Q0
M0
Figura 1.12
Construct¸ia 2) este, de asemenea, totdeauna posibil˘a s¸i ne d˘a dou˘a puncte, Q s¸i Q0, situate de o parte s¸i de alta a punctului P, pe dreapta c. Construct¸ia 3) este, de asemenea, ˆıntotdeauna realizabil˘a s¸i are o singur˘a solut¸ie, atˆat pentru punctulQ, cˆat s¸i pentru punctulQ0.
Mai departe, avem trei situat¸ii posibile:
a) QM (deci s¸iQ0M0) intersecteaz˘a dreaptaa(vezi figura 1.12);
b) QM (deci s¸iQ0M0) este paralel˘a dreaptaa(vezi figura 1.13);
c) una dintre drepteleQM sauQ0M0coincide cu dreaptaa.
Cazul a) are loc, ˆın mod evident, dac˘a dreptele a s¸i b se intersecteaz˘a. Atunci construct¸iile 4)–6) se pot realiza ˆın mod unic atˆat pentru punctulQ, cˆat s¸i pentru punctul Q0. Problema are, deci, ˆın acest caz, dou˘a solut¸ii.
Cazul b) are loc atunci cˆanda D b. Aici avem dou˘a variante: fiePQ D l (adic˘a Q 2 b) s¸i atunci avem o infinitate de solut¸ii (orice dreapt˘a paralel˘a cuc va intersecta as¸ibˆın dou˘a puncte care ne furnizeaz˘a o solut¸ie a problemei), fieQ … b, s¸i atunci nu avem nici o solut¸ie.
c
b M a M0
Q
l l
P Q0
Figura 1.13
DE CONTINUAT AICI
Problema 3. S˘a se construiasc˘a un triunghi dac˘a se cunosc2 bisectoarea, mediana s¸i ˆın˘alt¸imea care pleac˘a dintr-un acelas¸i vˆarf.
Solut¸ie. Analiza.FieABC triunghiul c˘autat (vezi figura 1.14),AH DhA– ˆın˘alt¸imea coborˆat˘a dinA,AM DmA– mediana dinAs¸iADDbA– bisectoarea unghiuluiBAC
1
.Consider˘am, de asemenea, cercul!, circumscris triunghiuluiABC. FieO centrul s˘au.
Atunci dreaptaOM este perpendicular˘a pe coardaBC s¸i, de aceea, ˆımparte ˆın dou˘a p˘art¸i egale fiecare dintre cele dou˘a arce de cerc determinate de aceast˘a dreapt˘a. Dar bisectoareaADde asemenea ˆımparte ˆın dou˘a p˘art¸i egale arcul de pe cercul!pe care se sprijin˘a unghiulBAC
1
. De aceea, dreaptaOM s¸i bisectoareaADse intersecteaz˘a ˆıntr-un punct P de pe cercul circumscris triunghiuluiABC. Mai remarc˘am c˘a perpendiculara dinO peAP trece prin mijloculS al segmentuluiAP.Construct¸ia. ˆIncepem prin a construi triunghiul dreptungic AHD, ˆın care cunoas¸tem ipotenuza AD D bA s¸i cateta AH D hA. Pe semidreapta HD construim punctul M, intersecˆand cercul !.A; mA/ cu dreapta DH. Not˘am cu P punctul de intersect¸ie dintre dreaptaADs¸i perpendiculara ˆınM pe dreaptaDH. Construim centrul Oal centrului circumscris!ca intersect¸ie dintre dreaptaMP s¸i mediatoarea segmentu- luiAP.
PuncteleBs¸iC se determin˘a intersectˆand dreaptaDH cu cercul! !.O; OA/.
Demonstrat¸ie.SegmentulAHeste ˆın˘alt¸ime a triunghiuluiABC, din construct¸ia triunghiului dreptunghic AHD, cu unghiul drept ˆın H. Prin urmare, drepteleAH s¸i DH BC sunt perpendiculare. PunctulM este mijlocul segmentuluiBC, deoarece este punctul de intersect¸ie dintre coardaBC s¸i un diametru al cercului circumscris per- pendicular pe ea. ˆIntrucˆat punctul P este mijlocul arculuiBP C, unghiurile ˆınscrise
1
BAP s¸iCAP
1
sunt egale ˆıntre ele, astfel c˘aADeste bisectoarea unghiuluiA.2ca lungimi de segmente!
! A
A M D
H C
O S
P
Figura 1.14
Discut¸ie. O condit¸ie necesar˘a pentru rezolvabilitatea problemei este dubla ine- galitate:
mAbAhA;
ˆıntrucˆat, ˆıntr-un triunghi, fie bisectoarea este situat˘a ˆıntre median˘a s¸i ˆın˘alt¸ime, fie cele trei linii coincid3. Dac˘amADbADhA, atunci problema const˘a ˆın construirea unui triunghi isoscel cunoscˆand ˆın˘alt¸imea care pleac˘a din v˘arful ˆın care se intersecteaz˘a laturile egale.
ˆIn mod evident, aceast˘a problem˘a este nedeterminat˘a (are o infinitate de solut¸ii!), iar construirea unei solut¸ii particulare este absolut trivial˘a. De aceea, de acum ˆıncolo vom considera c˘a suntem ˆın situat¸ia ˆın care e valabil˘a dubla inegalitate:
mA> bA> hA
s¸i discut˘am construct¸ia de mai sus.
TriunghiulADH se poate construi s¸i este unic determinat de datele problemei. Cer- cul!.A; mA/se intersecteaz˘a cu dreaptaHDˆın punctulM, deoarecemA> hA.
Punctul P exist˘a s¸i este unic determinat, ca intersect¸ie dintre o perpendicular˘a s¸i o oblic˘a pe aceeas¸i dreapt˘a. Dreapta AP nu este perpendicular˘a peMP, deoarece ea nu este paralel˘a cu DH; de aceea, perpendiculara pe segmentul AP se intersecteaz˘a ˆıntotdeauna cuMP, adic˘a centrul cercului circumscris exist˘a s¸i este determinat ˆın mod unic prin construct¸ie. DreaptaDH se intersecteaz˘a cu cercul!ˆın dou˘a puncte, fie ele
3Demonstrat¸i acest fapt!
B s¸iC, ˆıntrucˆat trece prin punctulD, care este interior acestui cerc. Astfel, modalitatea de construct¸ie descris˘a conduce ˆıntotdeauna la o solut¸ie.
O alt˘a modalitate de construct¸ie nu poate furniza o nou˘a solut¸ie. ˆIntr-adev˘ar, dac˘a se obt¸ine un alt triunghiABC, este us¸or de demonstrat c˘a el este egal cu cel construit mai sus4.
Problema 4. S˘a se construiasc˘a un triunghiABC dac˘a se dau ˆın˘alt¸imile corespunz˘atoare a dou˘a vˆarfuri,hBs¸ihC, precum s¸i mediana coresounz˘atoare celui de-al treilea vˆarf,mA. Solut¸ie. Analiza. FieABC triunghiul c˘autat (vezi figura 1.15),AD D mA – me- diana sa care pleac˘a din vˆarfulA,BL DhB s¸iCH DhC – ˆın˘alt¸imile care pleac˘a din vˆarfurileB, respectivC. Construirea triunghiuluiABC ar deveni mult mai simpl˘a dac˘a am reus¸i s˘a determin˘am unghiulBAC
1
. Dar]BAC D]CADC]BAD:
A L F C
D H
B
Figura 1.15
DucemDF ?AC. Atunci devine evident c˘a unghiulCADeste us¸or de determinat prin construirea triunghiului dreptunghicAFD, ˆın care se cunosc ipotenuzaAD DmA
s¸i catetaDF D 12hB. ˆIn mod analog se determin˘a s¸i unghiulBAD.
1
Construct¸ia. (vezi figura 1.16)
1) Construim triunghiul dreptunghicADF, cu ipotenuzaAD D mA s¸i o catet˘a egal˘a cuDF D 12hB.
2) Construim triunghiul dreptunghicADE, astfel ˆıncˆat puncteleE s¸iF s˘a fie de p˘art¸i diferite ale drepteiADs¸iDE D 12hC.
4Facet¸i aceast˘a demonstrat¸ie! Trebuie ar˘atat c˘a dac˘a pentru dou˘a triunghiuri bisectoarea, mediana s¸i ˆın˘alt¸imea care pleac˘a din acelas¸i vˆarf au aceeas¸i lungime (iar cele trei lungimi ale elementelor triunghiurilor nu sunt egale ˆıntre ele), atunci triunghiurile sunt egale.
3) Pe semidreaptaFDlu˘am un segmentFKDhB.
4) Prin punctul K ducem o dreapt˘a paralel˘a cu dreaptaAF s¸i not˘am cu B punctul de intersect¸ie dintre aceast˘a dreapt˘a s¸i semidreaptaAE.
5) Construim dreaptaBD.
6) Not˘am cuC punctul de intersect¸ie dintre drepteleBD s¸iAF. TriunghiulABC este triunghiul c˘autat.
A
L F
C D
H E
B K
Figura 1.16
Demonstrat¸ia. Din egalitatea triunghiurilorDBK s¸iCDF rezult˘a c˘aBD D DC, adic˘aAD este median˘a. AD D mA, din construct¸ie. Coborˆam dinB perpendi- culara BLpe AF. AtunciBL D KF D hB. Fie CH ? AB. ˆIn triunghiulCHB, segmentulDEeste linie mijlocie. De aceea,CH D2DE DhC, ˆıntrucˆatDE D 12hC, prin construct¸ie. Discut¸ia. Primul pas al construct¸iei de mai sus este ˆıntotdeauna posibil˘a s¸i furnizeaz˘a o solut¸ie unic˘a dac˘a mA > 12hB, al doilea – dac˘a mA > 12hC. Pas¸ii 3, 4, 5, 6 sunt t¸ntotdeauna posibili. Astfel, algoritmul de ma sus ne furnizeaz˘a o solut¸ie unic˘a dac˘a s¸i numai dac˘a sunt ˆındeplinite simultan inegalit˘at¸ile hB < 2mA
s¸i hC < 2mA. Dac˘a m˘acar una dintre aceste inegalit˘at¸i nu este verificat˘a, nu exist˘a solut¸ie.
